三角函数的求值化简问题的解题技巧

课题：§三角函数的化简、求值与证明 日期：2009年

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高考目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值,能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．

教学重点熟练地运用三角公式进行化简与证明．有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．

知识回顾

1、三角函数式的化简：1常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦,异名化同名,异角化同角；③ 三角公式的逆用等;2化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2、三角函数的求值类型有三类：1给角求值：一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题；2给值求值：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论；3给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角;

3、三角等式的证明：1三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”；2三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明;

主要方法1．三角函数的求值：

1．寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角；

2．正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；

3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．

1．三角函数式的化简：

三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化．

1分钟学会-诱导公式化简求值问题

诱导公式是指一组六个三角函数之间的关系式，它们可以相互转化。在求解三角函数值时，有时候可以通过利用诱导公式将一个函数转化为其他函数来简化计算。以下是一些通过使用诱导公式求解三角函数值的例子。

例1：求解sin(π/4)的值。

我们知道sin(π/4)可以通过利用45度角（π/4弧度）对应的特殊三角形上的边长比例来求解。但是我们也可以通过使用诱导公式简化计算。

诱导公式中，我们有：

sin(π/4) = (sin(π/6) + cos(π/6)) / 2

现在，我们已经知道sin(π/6)和cos(π/6)的值，它们都是特殊三角形上45度角对应的边长比例：

sin(π/6) = 1/2

cos(π/6) = √3/2

将这些值代入诱导公式中，我们可以得到：

sin(π/4) = (1/2 + √3/2) / 2

=(√3+1)/4

因此，sin(π/4)的值是(√3 + 1) / 4

例2：求解tan(7π/6)的值。

对于tan(θ)，我们可以使用诱导公式：

tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) 现在，我们已经知道sin(7π/6)和cos(7π/6)的值，它们可以通过特殊三角形上120度角（或7π/6弧度）对应的边长比例来求解：

sin(7π/6) = -1/2

cos(7π/6) = -√3/2

将这些值代入诱导公式中，我们可以得到：

tan(7π/6) = (-1/2) / (-√3/2)

=1/√3

=√3/3

因此，tan(7π/6)的值是√3/3

通过使用诱导公式，我们可以将一些三角函数的值转化为其他三角函数的值，从而简化计算。需要注意的是，诱导公式中的一些值是在特殊三角形上的边长比例，这些值可以通过记忆或者推导得到。

高中数学专题练习-三角函数的化简与求值

[题型分析·高考展望] 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.

常考题型精析

题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值

基本公式：sin2α＋cos2α＝1;tan α＝sin αcos α.

基本方法：(1)弦切互化;(2)“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α;(3)在进行开方运算时，注意判断符号.

例1 已知tan α＝2，求：

(1)4sin α－2cos α5sin α＋3cos α的值;

(2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α的值.

点评 本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cos α”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2α＋cos2α代换“1”，变成分式后再化简.

变式训练1 (·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )

A.125 B.－125 C.512 D.－512

题型二 利用诱导公式化简与求值

1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”;一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.

2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！

例2 (1)化简：tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πsin－π－α;

(2)求值：sin 690°·sin 150°＋cos 930°·cos(－570°)＋tan 120°·tan 1 050°.

点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.

高考题集三角函数，化简求值通用步骤

求解三角函数的性质通常情况下需利用三角函恒等变换公式将函数的解析式转化为y=Asin(wx+φ)+B的形式，然后根据基本三角函数y=sinx的性质结合整体代换的思想求解，这点大家还是很熟悉了，下面一起来看下

解三角函数化简步骤：诱导公式（π，2π，，，）→和差角公式（π/6，π/4，π/6）→正弦二倍角逆用公式（sinxcosx,）→降幂公式（sin²x，cos²x）→辅助角公式（asinx+bcosx）→y=Asin(wx+φ)+B

在化简过程中这个步骤非常好用，括号里的就是题目条件中会给到的常见的数学公式符号特征，只要按照相应公式展开即可，快速又简便

题中sin（x-π/6），就是特征，按正弦差角公式展开，由于π/6的正余弦值知晓，所以就化简一层了，接着乘法张开，就发现降幂公式使用以后，就化成同角正余弦了，最后直接用辅助角公式即可化成y=Asin(wx+φ)+B，然后根据基本三角函数y=sinx的性质结合整体代换的思想求解。

方法还是非常独特的思路，利用和差角公式，凑出y+z，y-z，再加减消元，y即求出，只是这个方法考试的时候还是需要慎用，因为一不小心算不出来，找不到关系，就意味着要重新计算，耽误时间，心里压力又加大，老生常谈的话就是用你最拿手的办法，解你自己的题，不管别人如何解，走自己的路让别人说去吧。

方法3就是凑角，恒等变换求结果

三角函数这部分的知识，化简恒等变换就是重点，是求性质的前提，所以把化简步骤记忆掌握就尤其重要了，解题往往是在前往通法的道路上，找到适合此题的又独特解法，方法是死的，人是活的，脑子是活的，你想怎么用，想先用哪个都随你心，加油哦