三角函数值域求解题技巧

三角函数值域的求法

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 例谈三角函数值域（最值）的几种求法

南县一中 肖胜军

有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。

一、 合理转化，利用有界性求值域

例1、求下列函数的值域：

（1）1sincosyxx （2）cos3cos3xyx

（3）22sin2sincos3cosyxxxx （4）3sin()4cos()44yxx解析：（1）根据11sincossin222xxx可知：1322y

（2）将原函数的解析式化为：3(1)cos1yxy，由cos1x可得：122y

(3) 原函数解析式可化为：21sin22cos2sin2cos222sin(2)4yxxxxx可得：2222y

（4）根据222222sincossin(),axbxabxabab可得：55y

二、单调性开路，定义回归

例2、求下列函数的值域：

（1）1sin2yx （2）cos(sin)yx

（3）2cos3sin,63yxxx （4）22cos5sin1yx

116sin0sin222xx解析：（1）由-1知：

1sin1,cos1cossincos1cos(sin)122xxx（2）由-有（）125sin()663366xxx（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y2

姆●　解题技巧与方法　馕域《　值》鳓　裤乘　◎李春燕　（江苏省南京市秣陵中学，江苏　南京２１００００）　【摘要】有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各　类考试考查的热点之一，这类问题的解决涉及化归、转换、　类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问　题转换、等价化归等常用方法．掌握这类问题的解法，不仅　能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提　高数学思维能力和运算能力．　【关键词】高中数学；三角函数的值域；几种求法　一、合理转化，利用有界性求值域　例１　求函数的值域：ｙ＝１＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ．　１　１　解析（１）根据Ｉ　ｓｉｎｘｃｏｓｘＩ≤÷Ｉ　ｓｉｎ２ｘＩ≤÷，　‘　二　１　可知：÷≤　≤÷．　二、单调性开路，定义回归　例２求函数的值域：ｙ＝￣／ｃｏｓ（ｓｉｎｘ）．　解析（２）由一１≤ｓｉｎｘ≤１，　有ｃｏｓｌ≤ＣＯＳ（ｓｉｎｘ）≤１，．’．　ｃｏｓ１≤　ｃｏｓ（ｓｉｎｘ）≤１　三、抓住结构特征。巧用均值不等式　例３若０＜　＜竹，求＿厂（　）＝　坠　的最小值　解析由０＜　＜＂ＩＴ得：ＸＳｌ［Ｉ￣＞０，根据均值小等式：　）＝９　ｓｉ似　４≥２￣９ｘｓｉｎｘ　ｘｓｉＬ＝１２．　当９ｘｓｉｒｒ＊＝＿４，即Ｘ２Ｓｉｎ　＝丢时　）　＝１２．ＸＳ１／／Ｘ　…‘　例４　已知　：ｃｏｓ（　＋卢），其中　、卢为锐角，求ｔ那　ｓｌｎｏｔ　。　的最大值．　解析　由ｓｉｒｌ　＝ｓｉｎ［（Ｏｔ＋卢）一　］＝ｓｉｎ（　＋卢）ｃ０ｓ　—　ＣＯＳ（＋廖）ｓｉｎｔ￣＝ｓｉｎａｃｏｓ（　＋　），　即ｓｉｎ（　＋　）ｃｏｓ　＝２ｓｉｎｔ￣ｃｏｓ（ａ＋　），　有ｔａｎ（理＋　）＝２ｔａｎａ．　于是：ｔａ　一ｔａｎ［（　＋ＪＢ）一ｑ］＝　端＝　ｌ＋２ｔａｎ２ｏｔ一一１＋２ｔａｎｃｔ　ｔａｎｔｘ　≤譬．　当　ｔａｎ—ｔｘ＝２ｔａｎ　即ｔａｎ２ｏ／÷时，有（ｔａ　）　：鲁．　Ｚ　“…　４　四、易元变换，整体思想求解　例５　求函数Ｙ　ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ的值域．　解法一设ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＝ｔ，　则　＝√＿ｓｉｎ（　＋号）　［一　，　］＇ｓｉ眦ＣＯＳＸ－－丁ｔ２－１，　·　·　ｌｉｔ　．·．ｙ：　＋　＝÷（￡＋１）　一１，　ｅ［－　，　］．　故当　：　寸，有Ｙ　＝　＋÷．　解法二构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭　区间内求最大值　设ｓｉｎｘ＝ｍ＋ｎ，ＣＯＳＸ＝ｍ—ｇ／，，　则ｓｉｎｘ＋ｃ０ｓ　＝２ｍ，ｓｉｎｏ％ｃｏｓ．ｘ＝ｍ２一ｎ２．　由ｓｉｎ２ｘ＋Ｃ０８２Ｘ￣．　，得ｍ２＋／７，２：　１，ｍｓ【一芋，　】，　．·．　＝ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＋ｓｉａｘｅｏｓｘ＝２ｍ＋ｍ　一　＝２ｍ　＋２ｍ一　÷，ｍ　［一　，　】，　故当ｍ：牟时，有），…：　＋　五、方程架桥，问题转化　例６　求函数Ｙ：　一±≥　拿　巫　的最大值、最　Ｚ十Ｓ１眦　小值．　解析将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解　的充要条件：　原函数解析式转化为：ｓｉｎ　＋（４一Ｙ）ｓｉｎｘ＋３—２ｙ＝０．　令ｔ＝ｓｉｎｘ，则ｌｔＩ≤１，　．·．ｔ　＋（４一Ｙ）ｔ＋３—２ｙ＝Ｏ在［一１，１］上有解，故有：　ｒ△＝（４一ｙ）　一４（３—２ｙ）≥Ｏ，　ｊ　孚　，　或　一１　。，　Ｉ，（一１）ｔ＞０，　Ｌ，（１）＞１０　、　解得２≤　≤÷．　六、运用模型、数形结合　例７　求函数Ｙ＝　二　的值域．　—ＣＯＳＸ　解析函数的值域可看作求过点Ｐ（２，２）的单位圆的　切线的斜率ｋ的最大、最小值．　设切线ＰＡ的方程为：ｙ一２＝ｋ（ｘ一２），　即　一　一２ｋ＋２＝０．　设原点到切线的距离ｄ，则ｄ＝１，　即ｄ－　：ｌ，即３ｋ　一８ｋ＋３：０，解得　：　，　１＋∥　故所求函数的值域为：［４一　，　】．　数学学习与研究

浅析求函数值域的技巧和方法　谢　琴　（江西省赣州市宁都师范学校３４２８００）　函数一直是高考的热点，而求函数的值域及最值更是高考考　查的重点内容。由于求函数值域涉及多种数学思想方法，涵盖函　数、三角、方程、不等式等多个内容；而且求解没有固定模式和通用　方法，题目灵活多变，要靠自己积累经验，掌握规律。因此，函数值　域也是学习的一个难点。　求函数值域方法很多，常有观察法、反函数法、配方法、换元　法、判别式法、不等式法、数形结合法（图像法）、函数的单调性法、　分离常数法、均值不等式法、函数有界性法以及导数法等等。这些　方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利　解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选　择求值域的方法。　一、结合例题介绍几种常见函数值域的求法：　Ｉ、利用基本函数的值域法：　有的函数结构并不复杂，可通过基本函数的值域及不等式的　性质直接观察出函数的值域。　【例】求函数ｙ一３一、／ｘ的值域。　解析：‘．。√ｘ≥０．’．一√ｘ　ｏ，３－－４￣３　故函数的值域是：［ｏ。，３２　练习（１）：求函数ｙ一￣／亓＋￣／而，（ｘ≥１）的值域。　［　，＋ｏ。）　（２）：求函数Ｙ一￣／ｘ　＋６Ｘ＋１０的值域。　［１，＋ｏ。）　２、反函数法：　用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数　的定义域得原函数的值域。行如：ｙ一　≠ｏ）的函数值域可　用此法，当然也可用分离常数法。　【例】求函数ｙ一　的值域。　解　１）反函数的一　的反函数为ｙ一　，　其定义域为（Ｘ／Ｘ￣Ｒ且Ｘ：Ｇ３｝，．‘．原函数的值域为｛ｙ／ｙ￣Ｒ且ｙ≠３｝　（２）分离常数法．．・’ｙ一　一　一３＋　，　又。・‘　≠ｏ＇・。　＋　≠３０．ｙ一　的值域为｛Ｙ／Ｙ　Ｒ且ｙ≠３｝　练习（１）：求函数ｙ一蠹　的值域。　［一。。，了２］Ｕ　，２　｛　、　ｆ—　，十　ｊ　ｊ　（２）：求函数ｙ一蓑　，［ｃ≠０，ｘ≠一÷］的值域。　ｒ　，　］Ｕ　ｒ旦，＋一］　ｃ　３、换元法　运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一　函数，从而求得原函数的值域，形如：Ｙ—ａＸ＋ｂ±ｖ／ｃｘ＋ｄ（ａ、ｂ、Ｃ、ｄ　均为常数，且ａｃ≠Ｏ）的函数常用此法求解。　解析：令￣／１—２Ｘ—ｔ（ｔ＼／０），则ｘ一　，　・．‘ｙ一　≠＋ｔ一｛（ｔ一１）２＋１　１．・．值域：（一。。，１］　练习：（１）求函数ｙ＝２Ｘ＋４、／，　二　的值域。　（一。。，４］　（２）求函数ｙ＝ｘｑ－￣／１一）ｃ２的值域。（利用三角换元）　［　１√２］　４、配方法：　二次函数或转化为形如：Ｆ（ｘ）一ａ　（ｘ）＋ｂ，（ｘ）＋Ｃ的函数的　值域问题，均可使用配方法。而后面的函数要注意，（ｘ）的范围。　【例】求函数ｙ一　ｘ　４－ｘ－Ｉ－２的值域。　解析：由　ｘ　＋ｘ＋２≥０，可知函数的定义域为ｘｆ［一１，２］　此时一ｘｚ＋Ｘｑ－２＝（ｘ一｛）　＋号　Ｅ０，詈］　．‘．ｏ≤、／ｒ＝　Ｆ　≤÷，函数的值域是［０，÷］。　练＞－ｊ（１）：求函数ｙ一３ｘ　－Ｘ－￣２的值域。　［景，＋。。］　（２）：求函数ｙ—ｘ＋　二Ｔ的值域。　［１，＋　）　５、不等式法：　利用基本不等式：ａ＋ｂ三三＝２￣／　、ａ＋ｂ＋ｃ　３　￣／ａｂｃ．用此法求　值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正，二定，三相等”。如　利用：“＋ｂ≥２￣／曲应满足三个条件：ａ＞０．ｂ＞Ｏ；ａ＋ｂ（或ａｂ）为定　值；取等号ａ—ｂ。　【例】求函数ｙ一　（ｘ＜。　的值域。　解析　３　Ｘ一　３　‘ｘ＜。）　Ｘ　＋专／＿２・。．ｘ＋专　／＿　３　土　ｎ　Ｘ　‘　即一３ｔ／ｙ＜Ｏ，函数值域：［一３，０）　练习（１）：求函数ｙ一　（｛＜ｘ三三三３）的值域。　＿√２４－÷，＋。。］　（２）：求函数Ｙ一２Ｘｑ－　１（ｘ＞Ｏ）的值域。　Ｅ３，＋　）　二、求函数值域应注意的问题：　１．不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。函　数的值域取决于定义域和对应法则，不但要重视对应法则的作用，　而且要特别注意定义域对值域的制约作用。　２应熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对　数函数、及各三角函数的值域，它是求复杂函数的基础。　３要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先　考虑采用特殊方法如配方法，换元法，不等式法…．当特殊方法不易解　决时，再采用一般方法求解。如一题可多解，应注意选择最优解法。　４．求函数值域没用万能的方法，也没有固定的模式，必须熟练　掌握各种技能技巧，根据函数的特点灵活选择求值域的方法。　５．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单　【例】求函数ｙ－二ｘ＋　ｉ二　的值域　调性再确定函数最值过程中的作用。　１２２

２８　中’７擞・７（２ｏｌ１年第１１期・高中版）　・解题研究・　三类三角函数最值（值域）问题的简捷通珐　６５３１００云南省玉溪第一中学武增明　在竞赛和高考中，我们经常会遇到求如下类型的三　角函数的最值（值域）问题，如果用常规方法来求解，十　分繁琐，难度较大，甚至可能解不出来，多数同学常常出　错．笔者试想，有更好方法解决此问题吗？经过探究，寻　找到了一种简捷通法——换元求导法．　１　，（　）＝ａｓｉｎ　ｘ＋ｂｃｏｓ　（ａ，ｂ　ＥＲ。ｎＥＮ　）型　例１　（２０１０年全国高中数学联赛福建省预赛试题）　函数　）＝ｓｉｎ　‘Ｘ－Ｉ－ｃｏｓ　ｘ（ｋ∈Ｎ’）的最小值为——．　设Ｃ的离心率为ｅ，则由双曲线的第二定义知　胧Ｉ＝　４Ｊｃ　Ｉ　ＢＮ　Ｉ＝魁ｅ—ｅ，　ｅ　ｅ　从而ＩＡＥｌ：ＩＡＭＩ—ＩＢＮＩ：　．　②　ｅ　由直线ＡＢ的斜率为√　知　Ｅ＝６０。，于是在　Ｒｔ△Ａ船中由①，②式可得ｃｏｓ　ＢＡＥ＝　Ａ　Ｅ　Ｉ＝妄，所以　ｅ＝丽３　＝　６，所以选Ａ．　例４　（２０１０年高考全国卷Ｉ理１６）已知Ｆ是椭圆　Ｃ的一个焦点，Ｂ是短轴的一个端点，线段ＢＦ的延长线　交Ｃ于点Ｄ，且赢：２　，则Ｃ的离心率为一　解如图４所示，设ｃ的　２　２　方程为ｘ　Ｌ，　＝１（０＞６＞０），不　“　ｌ，　妨设Ｆ（ｃ，０）是ｃ的右焦点，由　是Ｃ短轴的一个端点知　Ｉ　ＢＦ　Ｉ＝０，由Ｂ—Ｆ＝２而得　ｆ　Ｇ　Ａ　‘　，　／Ｂ　Ｅ　图４　ｌ　ＢＦ　ｌ＝２　Ｉ　ＦＤ　Ｉ，设ｌ　ＦＤ　ｌ＝　，则ｌ　ＢＦ　ｌ＝２ｘ，从而Ｉ　ＢＤ　ｌ＝　ＩＢＦＩ＋ＩＦＤＩ＝３ｘ．　①　又设ｅ为Ｃ的离心率，ｌ为Ｃ的右准线，过Ｂ，Ｄ分别　作ＢＡ上ｌ于Ａ，ＤＥ上ｌ于Ｅ，过Ｄ作ＤＧ上ＢＡ于Ｇ，则由椭　圆的第二定义知Ｉ　Ｉ：　：２＿＿５ｘ，Ｉ　ＤＥ　Ｉ：　：　，　于是Ｉ　ＢＧ　Ｉ＝Ｉ　ＢＡ　Ｉ—ｌ　ＤＥ　Ｉ＝羔．　②　Ｉ￣ｔ　Ｒｔ△　。Ｆ　ＲｔＡＢＧＤ得同Ｉ　ＢＣ　ｌ＝丽Ｉ　ＯＦ［：　Ｃ＝ｅ，将　①，②式代入即得　：　，于是　：　．　例５（２０１０年高考辽宁省文科第２０题）设Ｆ。，　分别为椭圆ｃ：　＋鲁＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点，过　的　Ｕ　Ｕ　直线ｚ与椭圆ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，直线ｆ的倾斜角为　６０。，，。到直线ｚ的距离为２ＶＹ．　（Ｉ）求椭圆ｃ的焦距；　（Ⅱ）如黝　＝２　Ｆ２百，求椭圆ｃ的方程．　解（Ｉ）如图５所示，过　作Ｆ。Ｄ上ｌ于Ｄ，则由题意　得ｌ　ＦｌＤｌ＝２√３，设椭圆的焦距　Ｉ　Ｆ。　Ｉ＝２ｃ，则在Ｒｔ△Ｆ。Ｄ　中由　Ｆ。　Ｄ＝６０。得２ｃｓｉｎ　６０。　＝２，５，于是ｃ＝２，故焦距为４．　Ｊ　ＩＶ　Ｌ　—＼　Ｎ　１　■。　Ａ　Ｅ　图５　（ＩＩ）设Ｌ为Ｃ的右准线，过Ａ，Ｂ分另Ｕ作ＡＭ上Ｌ于　Ｍ，删上　于Ⅳ，过Ｂ作ＢＥ＿１＿ＡＭ于Ｅ由　＝２　Ｆ—ＥＢ，￣－　ｌＡ　ｌ＝２　Ｉ　Ｆ２　ｌ，设Ｉ　Ｆ２ＢＩ＝　，则ＩＡ　Ｉ＝２ｘ，从而ｌＡＢ｝＝　ＩＡ　ｌ＋Ｉ　Ｉ＝３ｘ．又设Ｃ的离心率为ｅ，则由椭圆的第　二定义知ＩＡＭＩ：　：一２ｘ，ＩＢＮＩ：　：羔，从而　ＩＡＥＩ＝ｌＡＭＩ—ｌＢＮＩ＝旦．　①　由题设知直线ｌ的倾斜角为６０。，所以／＿．ＢＡＥ＝６０。．　在ＲｔＡＡＥＢ中由勾股定理得　ｌ朋ｌ＝　开　＝√９　２一事＝　警　．②　所以由①，②式可得ｔａｎ　６０。＝面Ｉ　ＢＥ［＝、／／而，即　＝　，解得ｅ　４０．　又由（Ｉ）的结论知ｃ＝２，所以ａ　＝９，从而ｂ　＝ｎ２一ｃ　：５，故椭圆Ｃ的方程为等＋÷＝１．　ｆ收稿日期：２０１１０８２２）