三角函数最值问题常见的求解策略

2021·3中旬中学教学参考锐角三角函数值的求解攻略

浙江嘉善县泗洲中学（314100）杨晓霞

［摘要］锐角三角函数是历年中考数学的重点和热点内容，研究锐角三角函数对中考应用题的复习备考乃至中考数学命题

模式的把握都有非常重要的指导意义.

［关键词］三角函数；锐角；求解

［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）08-0020-02

一、定义法

［例1］如图1，在Rt△ABC中，

∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB

的垂直平分线DE交BC的延长线于点

D，垂足为E，求sin∠CAD的值.

分析：在图1中，∠CAD为直角三角形CAD的一个

内角，根据锐角的正弦的定义，可知sin∠CAD=CD

AD.因

此，本题的解题关键是求出∠CAD的对边CD和斜边

AD的长度.根据线段的垂直平分线的性质易知AD=

BD.已知条件BC=3，可表示出CD长.在Rt△CAD中

运用勾股定理求解.当然，这里最好引入一个未知数，

以简便表示相关线段长度.

解：因为AB的垂直平分线DE交BC的延长线于

点D，所以有AD=BD.不妨设AD=BD=x，又

BC=3，则CD=x-3，而AC=15，在Rt△CAD中，

根据勾股定理知AC2+CD2=AD2，即15+()x-32=

x2，解得x=4.即AD=4，CD=1，所以sin∠CAD=

CD

AD=1

4.

点评：本题主要考查锐角三角函数中正弦的定

义，并检测学生对一元二次方程的求解的掌握程度，

勾股定理在解题中起了关键作用.

二、参数法

［例2］如图2，在△ABC中，∠C=90°，

sinA=2

5，求sinB的值.

分析：根据已知条件中的sinA=2

5，可

以结合锐角三角函数中正弦的定义，引入一个参数，

设出角A的对边CB和斜边AB的长度，再运用勾股定

理求得角A的邻边AC的长度后，问题得解.

解：因为∠C=90°，sinA=2

5，根据此比值可设

CB=2x，AB=5x，其中x>0，再由勾股定理得AC2=AB2-CB2=21x2，即AC=21x，结合锐角三角函数

1 专题1-1 三角函数重难点、易错点突破

（建议用时：180分钟）

1 同角三角函数关系巧应用

同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.

一、知一求二

例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.

二、“1”的妙用

例2 证明：1－sin6x－cos6x1－sin4x－cos4x＝32.

三、齐次式求值

例3 已知tan α＝2，求值：

(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________；

(2)2sin2α－3cos2α＝________.

2 三角函数的性质总盘点

三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.

一、定义域

例1 函数y＝cos x－12的定义域为________.

二、值域与最值

例2 函数y＝cos(x＋π3)，x∈(0，π3]的值域是________. 2 三、单调性

例3 已知函数f(x)＝sin(π3－2x)，求：

(1)函数f(x)的单调减区间；

(2)函数f(x)在[－π，0]上的单调减区间.

四、周期性与对称性

例4 已知函数f(x)＝sin(2ωx－π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的对称轴方程是________.

五、奇偶性

例5 若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.

1 善用数学思想——巧解题

一、数形结合思想

例1 在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是________.

二、分类讨论思想

例2 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.

高三数学专题备考——高考中的最值问题的解题策略

主讲人：黄冈中学高级教师 汤彩仙

一、复习策略

1、函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题．求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等．

2、求几类重要函数的最值方法；

(1)二次函数：配方法和函数图像相结合；

(2)：均值不等式法和单调性加以选择；

(3)多元函数：数形结合或转化为一元函数．

3、三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不等式法求解．

4、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，二次函数的最值)．

5、不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m恒成立，即＞m；f(x)＜m恒成立，即＜m．

6、参数范围问题内容涉及代数和几何的多个方面，解题的关键是不等关系的建立，其途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等．解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等．

二、典例剖析

问题1：函数的最值问题 例1、(07江苏卷)已知二次函数的导数为，，对于任意实数，都有，则的最小值为（ ）

A．3 B． C．2 D．

解：

＝，依题意，有：，可得，

＝＝＋1≥2＋1≥2＋1＝2，故选(C)．

例2、如下图(1)所示，定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数A，都有≥A成立，则称函数在D上有下界，其中A称为函数的下界. (提示：图(1)、(2)中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零)

（1） （2）

(Ⅰ)试判断函数在(0，＋)上是否有下界？并说明理由； (Ⅱ)又如具有上右图(2)特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数在D上有上界的定义，并判断(Ⅰ)中的函数在(－， 0)上是否有上界？并说明理由；

高一使用 3031年4月

▼ W bW V- b*e ・▼ ■ r~9

• w* * ■ 一■—

W-^

■张文伟

三角函数是高中数学的重要内容,也是

高考的常考点。同学们要掌握三角函数的有

关概念和性质(单调性、对称性、奇偶性、周期

性、最值)，要理解和掌握三角函数的图像与

性质，掌握三角函数模型的简单应用。

题型1

:角的概念

象限角的两种判断方法:(

1)图像法，在

平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限

角的定义直接判断已知角是第几象限角

;

(2)转化法，先将已知角化为k

X 360° + a

(0°Ca

V360°k

eZ)

的形式，即找出与已知

角终边相同的角a,再由角a终边所在的象

限判断已知角是第几象限角。利用终边相同

的角的集合S

= ,,

= 2k

n + a

, e Z｝

判断

一个角,所在的象限时，只需把这个角写成

[0,2n)范围内的一个角a与

2n的整数倍的

和，然后判断角a所在的象限。

例

1

在一

720°〜

0°范围内所有与

45°终

边相同的角为 。

解：

所有与

45°终边相同的角可表示为

,

= 45° + k

X 360°(k

e Z

)。令一

720°C45° +

k

X360°V0°(k

eZ

)，可得一

765°Ck

X360°V

7(^5° A

50

—

45°(-

ez)

，解得一

76noC- v

—

4°( -

e

360 360

Z

),即一

2.125Ck

V0.125(k

ez

),可知 k

=

—

2或k = —

1,代入可得,

=一

675°或,

=

—

315°。答案为一

675°或一

315°。

跟踪训练 1

若a

= k

X 360° + 3,

= m

X

360°—3-m

e Z

),则角a与角,的终边的

位置关系是

) )O

A.重合

B.关于原点对称

C.

关于x轴对称

D.

关于y轴对称

提示：由题意知角a与角3的终边相同,

角，

与角一3的终边相同。因为角3与角

一3

的终边关于x轴对称，所以角a与角,的终

边关于x轴对称。应选