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高中数学必修一函数——单调性考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。
能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。
利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。
掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。
知识要点：1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用一、单调性的定义（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间（2）设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。
二、函数单调性的证明重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；定义法判断单调性：如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④下结论。
一、函数单调性的定义如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数.二、单调性的定义的等价形式 设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是增函数.三、函数单调性的应用若()f x 在区间D 上递增且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). 四、函数单调性的性质在公共定义域内，有:①增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；②减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；③增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；④减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数.五、双勾函数及其性质 函数)0,0(>>+=b axbax y 叫做双勾函数. 双勾函数在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减.六、复合函数单调性的判断（同增异减）讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：①若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数;②若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下:单性相异时递减． 七、用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:(1)取值:设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； (2)变形:作差变形(因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号:判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论．。
函数的单调性函数的单调性： 一、定义：①()f x 在区间I 上是增函数（递增）：121212221112()(,,()())I D x x I x x x x f x f f x f x x <<⎧⎪⎨⎪⇒⎩>⊆∈⇒>、、任意或中文理解：函数值随着自变量的增大而增大（因变量大小与自变量大小一致）。
图像理解：从左到右，由下至上。
②()f x 在区间I 上是减函数（递减）：121121212212()(),,()()I D x x I x x f x x f x f x x f x ><<⎧⎪⎨⎪⇒⎩∈>⊆⇒任、、意或中文理解：函数值随着自变量的增大而减小（因变量大小与自变量大小相反）。
图像理解：从左到右，由上至下。
二、知识要点：1、单调区间I 与定义域D 的关系：I D ⊆练1：根据下列函数的图像，分别写出其定义域D 与单调区间增区间I ，单调减区间I 直线型 指、对数型：x y a =与log a y x =(0)y k x b k =+> (0)y k x b k =+< (0)y kx b k =+=二次曲线 幂函数：1:()0:1,0aa y xy x a Q a y x ==⎧=∈⎨==≠⎩2()(0)y a x b c a =-+> 2()(0)y a x b c a =-+< =2y x 3y x = 52y x =D D IIIID D IIIIy=x(1,0)a>1y=log a xy=a x oyx(0,1)0<a<1y=x(1,0)y=log a xy=a x(0,1)oyxboxy y xobb oxyx=boxy c cyx o x=b(0)y a x b c a =-+>(0)y a x b c a =-+<x=bx=bc oxyy xo c=12y x 25y x = 13y x =-=1y x 2y x -= 12y x -=三角函数反三角函数双曲线型函数 函数的对称变换 分段函数 小结：1、单调性是局部性质，是对D 内的某一个子集区间而言。
4.1、函数的单调性函数的单调性就是函数的一种增减性，主要看y 随x 的变化而发生的一种变化情况，简单的说当y 随x 的增大而增大时，就说y 是在相应的x 的取值范围内是增函数，对应的区间为其增区间；而当y 随x 的增大而减小时，我们就说y 是在相应的x 的取值范围内是减函数，对应的区间为其减区间。
A 、定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I 。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。
B 、函数单调性的证明对于某区间内的函数的单调性，一般利用定义来证明，其基本步骤如下： （1）取值：设21,x x 为该区间内的任意两个值，并且21x x <；（2）作差变形：作差)()(21x f x f -，并利用因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值的符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）下结论：根据函数的单调性的定义得出结论。
C 、函数单调性的判断判断函数单调性的常用方法有：（1）定义法：即“取值——变形——定号——下结论”；（2）图像法：先作出函数的图像，在利用图像的形象直观判断函数的单调性；（但应注意极值点及其拐点） （3）复合法：)(x f y =增 增 减 减（4）导数法：求出函数导数后，在令其导数大于零的x 的连续区间为其单调递增区间，令其导数小于零的x 的连续区间为其单调递减区间；4.1.1、函数单调性的判断与证明A 、函数单调性的证明：1、证明函数12)(+-=x x f 在R 上是减函数。
函数的单调性一、导入：二、知识点精讲1.单调函数的定义：（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数.（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在区间D 上是减函数.（3）单调性：如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.【教材第29页例1】2.函数单调性的证明：证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义，定义法基本步骤如下：（1）取值：任取D x x ∈21,，且21x x <；（2）作差变形：作差)()(21x f x f -，通过因式分解、配方、通分、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；（3）定符号：确定差值的符号（符号不确定时，可分类讨论）；（4）判断：根据定义作出结论.【教材第29页例2】3.判断函数单调性的方法：（1）定义法；（2）图像法：作出函数的图象，利用图像的直观性判断单调性.（3）利用结论：①增函数+增函数=增函数； 减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数. ②)(x f y =与)(x f c y ⋅=，c (为常数，0),,0>≠c c 时增减性相同，0<c 时增减性相反；③若0)(≠x f ，则)(x f 与)(1x f 增减性相反； ④若0)(≥x f ，则)(x f 与)(x f 增减性相同.4.函数最值的概念 （1）最大值：设函数)(x f y =定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(； ②存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（2）最小值：（3）利用函数单调性求函数的最值.【教材第30页例3、例4】5.复合函数的单调性由函数))((A x x f y ∈=和))((A x x g u ∈=复合而成的函数)]([x g f y =称为复合函数，自变量为x .复合函数单调性的判定：在函数)]([x g f y =的定义域中，令)(x g u =，则)(u f y =，复合函数)]([x g f y =的单调性由)(x g u =和)(u f y =的单调性共同决定.归结为四字“同增异减” )(x g u =)(u f y = )]([x g f y = 增函数增函数 增函数 减函数减函数 增函数 增函数减函数 减函数 减函数增函数 减函数如何求复合函数的单调区间？见例题6.抽象函数的单调性 三、例题精讲例1.求下列函数的单调区间（1）4444)(22++++-=x x x x x f ； （2）32212-+-=x x y例2.已知函数228)(x x x f -+=，)2()(2x f x g -=，试求)(x g 的单调区间.例3.求函数x x y 2412--+=的最大值.例4.已知函数)(x f y =在),0(+∞上为增函数，且)0(0)(><x x f ，试判断)(1)(x f x F =在),0(+∞上的单调性并给出证明过程.例5.已知函数)(x f 对任意R y x ∈、，总有)()()(y x f y f x f +=+，且当0>x 时，32)1(,0)(-=<f x f . （1）求证：)(x f 是R 是的减函数；（2）求)(x f 在]3,3[-上的最大值和最小值.例6.函数)(x f 对任意R b a ∈、，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，并且当0>x 时，1)(>x f .（1）求证：)(x f 是R 是的增函数；（2）若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f .四、课堂练习1.证明：函数x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数.2.讨论)0,11(12≠<<--=a x x ax y 的单调性.3.函数)(x f 在),0(+∞上为减函数，试比较)1(2+-a a f 与)43(f 的的大小.五、家庭作业1.选择题（1）设)(x f 是),(+∞-∞上的增函数，a 为实数，则有（ ）)()1(.)()(.)()(.)2()(.222a f a f D a f a a f C a f a f B a f a f A >+<+<<（2）下列函数在)1,0(上是增函数的是（ ）5.2.1.21.2=+-=-=-=y D x x y C x y B x y A（3）设),(),,(d c b a 都是函数)(x f 的单调增区间，且2121),,(),,(x x d c x b a x <∈∈，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系是（ ）)()(.21x f x f A < )()(.21x f x f B > )()(.21x f x f C = .D 无法确定（4）当]5,0[∈x 时，函数c x x x f +-=43)(2的值域为（ ）]20,.[]55,34.[],34.[]55,.[c c D c c C c c B c c A +++-+-+（5）函数111--=x y （ ） .A 在),1(+∞-内单调递增 .B 在),1(+∞-内单调递减.C 在),1(+∞内单调递增 .D 在),1(+∞内单调递增减2.已知函数)(x f 是R 上的增函数，且)()(2a x f x x f ->+对一切实数都成立，求实数a 的取值范围.3.已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f y x f +=⋅.（1）求)1(f ；（2）证明：)(x f 在定义域上是增函数；（3）如果1)31(-=f ，求满足不等式2)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围.六、高考题链接1.设函数)0()(>>++=b a bx a x x f ，求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性.2.已知)(x f 是定义在R 上的恒不为0的函数，且对任意的y x ,都满足：)()()(y x f y f x f +=⋅.（1）求)0(f 的值，并证明对任意的R x ∈，都有0)(>x f ；（2）设当0<x 时，都有)0()(f x f >，证明：)(x f 在),(+∞-∞上是减函数.。
，0上是减函数。
C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)[小结](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．题型二、分段函数单调性判断及应用使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；第三步 满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步 得出结论.【例1】 已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2 B ．(][),12,-∞+∞ C ．[]1,2 D ．()(),12,-∞+∞+∞+∞ D(2,) (1,)【变式练习3】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是[小结] 1、最值问题使用情景：分段函数的最值问题解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；第三步 满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；第四步 得出结论.2、单调性问题其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）与整体函数相同；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.题型三、抽象函数的单调性【例1】已知奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，且在[]2,0-内递减，求满足：2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．【例2】定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为 ．【变式练习1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A.22t -≤≤B.2t ≤-或2t ≥C.0t ≤或2t ≥D.2t ≤-或2t ≥或0t =【变式练习2】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______[小结]不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．题型四、函数单调性判断方法（性质）的应用函数单调性的性质：(1)若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝f (x )单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反． 【常见判断方法】方法一 定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 取值定大小：设任意，且； 第二步 作差：；第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论. 【例1】 判断并证明：21()1f x x =+在(,0)-∞上的单调性．12,x x D ∈12x x <12()()f x f x -x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)[方法技巧]用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b )<f (a )．应用(三) 求参数的取值范围[例5] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)[易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【变式练习3】1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )3．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为________．随堂检测1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．2．讨论函数f (x )＝x ＋a x(a >0)的单调性．。
函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。
2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。
注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。
（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。
（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
《函数的单调性》（必修一）学导案——函数的单调性（1）【课程学习目标】：理解函数单调性的概念，能正确地判定和讨论函数的单调性，会求函数的单调区间。
【学习重点】：增函数和减函数的定义.【学习难点】：用增减函数定义证明函数的单调性（通过初中学过的一次函数和反比例函数突破）读记教材交流：（自主预习）不看不讲1．增函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时，都有 ，则称函数)(x f y =在 是单调增函数，I 为 图象示例：2．减函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时，都有 ，则称函数)(x f y =在 是单调减函数，I 为 图象示例：3．单调性：函数)(x f y =在 上是 ，则称)(x f y =在 具有单调性4. 单调区间： 说明：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．（4）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a .设x 1．x 2∈给定区间，且x 1＜x 2 （取值）；b .计算f （x 1）－f （x 2）至最简（作差）；b .判断上述差的符号（断号）；d .下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数) ．基础训练：1．画出2y x =的图象，观察（1）x ∈[)+∞,0;（2）x ∈(]0,∞-;（3）x ∈（-∞，+∞） 当x 的值增大时，y 值的变化情况。
2．若（a,b ）是函数)(x f y =的单调区间，x 1．x 2∈（a,b ）且x 1＜x 2，则有（ ）A ． f (x 1)< f (x 2)B f (x 1)>f (x 2).C f (x 1)=f (x 2).D 以上都可能 3．函数x x f 2)(=，x ∈[)]2,1-上的单调性为（ ）A 减函数B 增函数C 先减后增D 先增后减4．函数2)(x x f -=的单调区间为A ．x ∈[)+∞,0;B x ∈(]0,∞-;C x ∈（-∞，+∞）D x ∈（0，+∞）5．若函数)(x f 是实数集R 上的增函数，a 是实数，则下面不等式中正确的是_________.(1))1()(2->a f a f (2))3()(a f a f < (3))()(22a f a a f >+(4))()1(22a f a f <-能力交流训练：（新知学习）不议不讲例1．说出函数x x f 1)(=的单调区间，并指明在该区间上的单调性。
变题：（1）判断函数xx x f 1)(+=在（０，１）的单调性例2．证明：（1）函数3x 5)x (f +=在),(+∞-∞上是增函数．（2）函数x x f 1)(=在),0(+∞上是减函数．变题：（2）若函数1)(-=x ax x f 在区间（∞-，1）上是增函数，试求a 的取值范围。
例3．（1）如图，已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数。
（2）函数32)(2-+=x x x f 的单调递增区间 ；单调递减区间 。
变题1：作出函数223y x x =--的图象，并写出函数的单调区间。
变题2：函数5)2(22+-+=x a x y 在),4(+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.变题3：函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，在]2,(--∞上是减函数，求函数)(x f 的解析表达式。
例3．（1）函数f （x ）在（0，＋∞）上是减函数,比较f （a 2－a ＋1）与f （34）的大小关系。
（2）已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的取值范围是________ _____ 。
变题：已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的取值范围是________ _____ 。
课后训练：1．在区间),0(+∞上是减函数的是________________.(1) 2x y = (2)32-=x y (3) xy 1= (4) x y = 2．若函数)(x f 是实数集R 上的增函数，a 是实数，则下面不等式中正确的是_________. (1))1()(2->a f a f (2))3()(a f a f < (3))()(22a f a a f >+(4))()1(22a f a f <-3．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .4、函数2212)(a ax x x f +-+-=在区间]2,(-∞上是增函数，在区间),2[+∞上是减函数，则=)2(f ______5．已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋a 2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，则a 的取值范围是 。
【反思小结】：(1)增函数 ， 减函数 ， 单调性 ， 单调区间 四个概念(2)判断函数单调性的两种方法 （图象法，定义证明法）作业：1．求证：（1）函数f(x)=x 2+1在)0,(-∞上是减函数.（2）函数f(x)=1-x 1在)0,(-∞上是增函数.（3）函数1)(3+--=x x x f 在),(+∞-∞是减函数.拓展延伸：1．函数4)25()(22-+--=a x a ax x f 在),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.2．已知函数1()2ax f x x +=+在区间()+∞-,2上是增函数，试求a 的取值范围。
《函数的单调性》（必修一）学导案——函数的单调性（2）【课程学习目标】：1．使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；2．掌握增(减)函数在比较大小、解不等式、求函数最值方面的应用．【学习重点】：1、会叛断函数的单调性，求单调区间。
2、求函数的最值或求某变量的取值范围。
【学习难点】：函数单调性的简单运用读记教材交流：（自主预习）不看不讲1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，（1）当x 1<x 2时，都有f(x 1) f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是 函数（2）当x 1<x 2时，都有f(x 1) f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是 函数基础训练：1、函数2x y -=的单调增区间为 （ ）A.]0,(-∞B.),0[+∞C.),(+∞-∞D.),1(+∞-2、函数32)(2+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于 （ ）A.-3B.13C.7D.由m 而定的常数3、若函数xx k x f -=)(在)0,(-∞上是减函数，则k 的取值范围是 （ ） A.0=k B.0>k C.0<k D.0≥k 4、函数||)(x x f =的减区间是____________________.5、若函数n x m x f +-=)12()(在),(+∞-∞上是减函数，则m 的取值范围是______.能力交流训练：（新知学习）不议不讲例1 求函数21y x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值． 【思路分析】先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值．【变式】若区间为[6,2]--呢？例2 已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围． 解：由f(x-1)<f(x2-1)及f(x)的定义域．增减性，可得到不等式组：例3 如果二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调增函数，求f(2)的取值范围． 解：f(x)是开口向上的抛物线且f(x) 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是单调增函数，22-1x-11-1x -11x-1<x -1≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪⎩220x 20x 2x -x>0≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪⎩≤≤⎧⎪∴≤≤∴≤⎨⎪⎩0x 2x 1<x x<0或x>1∴≤a-1122a 2≤解得f(2)=4-2(a-1)+5=11-2a 课后训练： 1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ） A.13+-=x y B. 3x y = C.342+-=x x y D.x y 4=2、函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞3、函数163)(2+-=x x x f ，)4,3(∈x 上的单调性是_____________________.4、已知函数582++=ax x y 在),1[+∞上递增，那么a 的取值范围是________.5、设函数)(x f 为R 上的增函数，令)2()()(x f x f x F --=（1）、求证：)(x F 在R 上为增函数（2）、若0)()(21>+x F x F ，求证221>+x x()∴≥f 27。
