复合函数的单调性

复合函数单调性一般地，设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω有以下四种情况：（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。

注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。

规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

即我们所说的“同增异减”规律。

求y=122)21(--x x 的单调区间.解 ： 设y=u)21(.由u ∈R,u=x 2－2x －1,解得原复合函数的定义域为x ∈R.因为y=u)21(在定义域R 内为减函数,二次函数u=x 2－2x －1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x 2－2x －1=(x －1)2－2在x ≤1时单调减，由x ∈R, (复合函数定义域)x ≤1， (u 减)解得x ≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间. y=x17.0;((－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.)y=232x -;(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间) y=3)31(+x ,((－∞，+∞)为单调减区间.)y=227x x -；((－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)指数运算和指数函数1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n n(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a a ap p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m且(5)负分数指数幂 n mn ma a 1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。

图谈复合函数的单调性1．复合函数的概念如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即)(u f y =，)(x g u =，那么y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数)(u f y =和)(x g u =的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。

)(x g u =叫内层函数，)(u f y =叫外层函数。

例如：函数x x y 22)31(-=是由x x u 22-=， u y )31(=复合而成立。

函数)43lg(2x x y -+=是由243x x t -+=，t y lg =复合而成立。

2．复合函数单调性的判断方法定理：设函数)(x g u =在区间M 上有意义，函数)(u f y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N u ∈，有以下四种情况：（1）若)(x g u =在M 上是增函数，)(u f y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数； 例如：x y 212=是由x u 21=与u y 2=复合而成的函数，这两个函数都是增函数，而x x y )2(221==显然是增函数；（2）若)(x g u =在M 上是减函数，)(u f y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。

例如：x y -=)21(是由u=-x 与u y )21(=复合而成的函数，这两个函数都是减函数，而xx y 2)21(==-显然是增函数；（3）若)(x g u =在M 上是增函数，)(u f y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数； 例如：x y -=2是由u=-x 与u y 2=复合而成的函数，u=-x 是减函数，uy 2=是增函数，而x x y )21(2==-显然是减函数； （4）若)(x g u =在M 上是减函数，)(u f y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；例如：x y 21)21(=是由x u 21=与u y )21(=复合而成的函数，x u 21=是增函数，u y )21(=是减函数，而x x y )21()21(21==显然是减函数； 判断口诀：同增异减3.例题学习例1. 求函数222)(-+=x x x f 的单调区间.解：函数的定义域是R ，设22-+=x x t 则t y 2=，内层函数是22-+=x x t ，外层函数是ty 2=如左图，内层函数22-+=x x t 的单调增区间：),21[+∞-，单调减区间：]21,(--∞ 由于外层函数t y 2=为增函数，所以复合函数的增区间为：),21[+∞-，复合函数的减区间为： ]21,(--∞，从右图也可以看到上述单调性及单调区间。

复合函数的单调性的研究摘要：函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减”.[1]为了帮助考生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结合例题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，进行全面的研究.关键词：复合函数、函数单调性、定义域、单调递增、单调递减正文部分一、引言：什么是复合函数.对于函数y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A，如果x∈A时u=g(x)的值域C与函数y=f(u)的定义域B的交集非空，即C∩B≠φ，那么就说y=f(u) u∈B 与u=g(x) x∈A可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数.比如， (x∈R)的复合函数是u＝－X2 ∵u=－x2≤0与u≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u≥0，也不是x∈R，而是x=0.也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）.由定义知道就不能复合成f(g(x)).二．复合函数单调性的判断总体步骤：复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x).其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;(2) 确定函数的定义域；(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数.复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”.[2]三．详细分析3.1观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么?第一组:第二组:显然第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组组函数，函数值y随x的增大而减小.这正是两组函的主要区别.当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小.虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一个函数却具有一种共同的性质.。

复合函数的单调性
复合函数的单调性也可以叫做函数的增减性。

当函数f（x）的
自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f（x）也随着增
大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

当x一直增大的时候，函数值也一直增大，这就叫单调递增；
当x一直增大的时候，函数值一直减小，就是单调递减。

其具体含义为：
内外函数的单调性相同（同），则复合函数为增函数（增）；
内外函数的单调性相反（异），则复合函数为减函数（减）。

关键：因为外函数的定义域是内函数的值域，所以判断外函数的单调性时，判断的是外函数在内函数的值域上的单调性。

函数的定义域：对于函数f（x）x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，所有横坐标的数值构成的集合就是函数的定义域。

函数的值域：函数f（x）代表函数图象上每一个点的纵坐标的
数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构的集合就是函数的值域。

复合函数的单调性设单调函数)(xfy=为外层函数，)(xgy=为内层函数(1) 若)(xfy=增，)(xgy=增，则))((xgfy=增.(2) 若)(xfy=增，)(xgy=减，则))((xgfy=减.(3) 若)(xfy=减，)(xgy=减，则))((xgfy=增.(4) 若)(xfy=减，)(xgy=增，则))((xgfy=减.结论：同曾异减例1. 求函数222)(-+=xxxf的单调区间.外层函数：ty2=内层函数：22-+=xxt内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单调性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来涉及到定义域而学生又容易忽略的情况.例2.求函数)2(log)(22-+=xxxf的单调区间.解题过程：外层函数：ty2log=内层函数：22-+=xxt22>-+=xxt由图知：内层函数的单调增区间：[∈x内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x例3.求函数xy cos=的单调区间解题过程：外层函数：ty=内层函数：xt cos=cos≥=xt由图知：内层函数的单调增区间：]2,22[πππkkx+-∈内层函数的单调减区间：]22,2[πππkkx+∈由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：]2,22[πππkkx+-∈复合函数的减区间为：]22,2[πππkkx+∈复合函数的定义域函数的概念：设是,A B非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称:f A B→为集合A到集合B的函数，记作：(),y f x x A=∈。

高中数学-复合函数的单调性复合函数是中学数学的重要内容，也是高考的常考内容。

复合函数的单调性是一个难点，常常出错，容易失分。

下面对复合函数单调性进行总结，以便于掌握其规律。

⒈复合函数的判断形如f []()g x 的函数叫做复合函数，其中g(x)叫内函数，f(x)叫外函数。

可以用语言叙述为：在一个函数的自变量位置又出现另一个函数的函数叫复合函数。

它不同于函数的四则运算。

如：f(x)=11x -是复合函数，它是由y=1u 与u=x-1复合而成的；g(x)=1x+2x 不是复合函数，它是函数y=1x 及函数y=2x 之和。

在复合函数中内函数的值域应是外函数定义域的子集。

⒉复合函数单调性的判断法则判断复合函数的单调性应按“同增异减”的法则。

“同增异减”四个字表示四个不同的内容，“同”是指内函数与外函数单调性相同，包括都是增函数和都是减函数两种情况。

“增”是指复合函数是增函数。

“异”是指内函数与外函数单调性不同，包括都是内增外减和内减外增两种情况。

“减”是指复合函数是减函数。

下面以内函数为减函数，外函数为增函数为例证明“同增异减”的法则。

例1：设y= f []()g x ,已知f(u)在u ∈(c,d)内是增函数，u=g(x)在x ∈(a,b)内是减函数。

证明y= f []()g x 在x ∈(a,b)内是减函数。

分析：利用减函数的定义进行证明。

证明：设x 1<x 2，且x 1、x 2∈∈(a,b)。

∵u=g(x)在x ∈(a,b)内是减函数∴g(x 1)>g(x 2)又∵f(u)在u ∈(c,d)内是增函数，且g(x 1)、g(x 2)∈(c,d)∴f []1()g x >f []2()g x ，故y= f []()g x 在x ∈(a,b)内是减函数。

点评：类似可以证明其它三种情况。

⒊求复合函数单调区间的步骤⑴求复合函数的定义域。

⑵将复合函数分解为内函数和外函数。

⑶分别判断内函数和外函数的单调性。