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1．4.3正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点 正切函数的性质函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × ) 提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.题型一 正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z 解析 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域、值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34， 所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.反思感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 题型二 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． 考点 正切函数的单调性、周期性与对称性 题点 判断正切函数的单调性 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 (2018·四川石室中学高二期中)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是________． 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z解析 令k π－π2<2x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z .题型三 利用正切函数的单调性比较大小 例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 答案 (1)< (2)<解析 (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵当0°<x <90°时，y ＝tan x 单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°. (2)tan18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 跟踪训练3 比较下列正切值的大小． (1)tan 1 320°与tan 70°； (2)tan17π6与tan ⎝⎛⎭⎫－π3. 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 解 (1)tan 1 320°＝tan(360°×3＋240°) ＝tan 240°＝tan 60°，因为函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数， 所以tan 60°<tan 70°， 即tan 1 320°<tan 70°. (2)tan17π6＝tan ⎝⎛⎭⎫3π－π6＝tan ⎝⎛⎭⎫－π6， 因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数， 所以tan ⎝⎛⎭⎫－π6>tan ⎝⎛⎭⎫－π3. 即tan17π6>tan ⎝⎛⎭⎫－π3.正切函数图象的画法及应用典例 画出f (x )＝tan|x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性． 考点 正切函数图象与性质的综合应用 题点 正切函数图象与性质的综合应用 解 f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…)． [素养评析] 根据正切函数图象的画法，先画出函数的图象，建立数与形的联系，借助几何直观理解问题，认识事物解决问题，提升直观想象的数学核心素养.1．(2018·河北定州中学高二期末)函数y ＝－2＋tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 A解析 由－π2＋k π<12x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .2．函数y ＝tan x ＋1tan x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 考点 正切函数的周期性与对称性 题点 正切函数的奇偶性 答案 A解析 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x 是奇函数． 3．已知A 为锐角，且tan A ＝23，那么下列判断正确的是( )A ．0°<A <30°B ．30°<A <45°C ．45°<A <60°D ．60°<A <90°考点 正切函数的单调性 题点 正切函数单调性的应用 答案 B 解析33<23<1，即tan 30°<tan A <tan 45°. 由正切函数随锐角的增大而增大， 得30°<A <45°，故选B.4．函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． 考点 正切函数的周期性与对称性 题点 正切函数的周期性 答案 π3解析 T ＝π|ω|＝π3.5．求函数y ＝tan 2x －2tan x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 解 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， 所以tan x ∈[－3，3]，因为y ＝tan 2x －2tan x ＋3＝(tan x －1)2＋2，所以当tan x ＝1时，y min ＝2， 当tan x ＝－3时，y max ＝6＋23， 所以函数的值域为[2,6＋23]．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间．一、选择题1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是() A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0)考点 正切函数的周期性与对称性题点 正切函数的对称性答案 C2．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z考点题点答案 C3．(2018·江西高安中学高二期末)函数f (x )＝|tan 2x |是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数考点 正切函数周期性与对称性题点 正切函数周期性、奇偶性答案 D解析 f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )，故f (x )为偶函数，T ＝π2.4．(2018·福建阅读第四中学高一期末)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是() A ．x ＝π2 B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8考点 正切函数的图象题点 正切函数的图象答案 C解析 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．令k ＝0，得x ＝π8.5．已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则使f (x )≥3成立的x 的集合是( )A.⎣⎡⎭⎫π24＋12k π，π8＋12k π，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫－π8＋12k π，π24＋12k π，k ∈ZC.⎣⎡⎭⎫π24＋k π，π8＋k π，k ∈ZD.⎣⎡⎦⎤π24＋k π，π8＋k π，k ∈Z考点 正切函数图象与性质的综合应用题点 正切函数图象与性质的综合应用答案 A解析 因为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f (x )≥3化为tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥3，即π3＋k π≤2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ； 解得π24＋12k π≤x <π8＋12k π，k ∈Z ， 故使f (x )≥3成立的x 的集合是⎣⎡⎭⎫π24＋12k π，π8＋12k π，k ∈Z . 6．(2018·河南林州第一中学高二期末)函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的值域答案 C解析 ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1，即－tan 1≤tan x ≤tan 1.∴－tan 1≤tan(cos x )≤tan 1. 7．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 考点 正切函数周期性与对称性题点 正切函数周期性与对称性答案 B解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B. 二、填空题8．比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4________tan ⎝⎛⎭⎫－9π5. 考点 正切函数的单调性题点 正切函数的单调性的应用答案 >解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5. 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5<tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4>tan ⎝⎛⎭⎫－9π5. 9．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π7－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝________.考点 正切函数的周期性与对称性题点 正切函数的周期性答案 ±210．(2018·南京高一检测)已知点M (－3，－1)，若函数y ＝tan π4x (x ∈(－2,2))的图象与直线y ＝1交于点A ，则|MA |＝________.考点 正切函数的周期性与对称性题点 正切函数的周期性答案 2 5解析 令y ＝tan π4x ＝1，解得x ＝1＋4k ，k ∈Z ， 又x ∈(－2,2)，所以x ＝1，所以函数y ＝tan π4x 与直线y ＝1的交点为A (1,1)， 又M (－3，－1)，所以|MA |＝(1＋3)2＋(1＋1)2＝2 5.三、解答题11．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心． 解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . ②∵T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π. ③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ， 解得2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ， 得x ＝k π＋2π3，k ∈Z . ∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0，k ∈Z . 12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．考点 正切函数图象与性质的综合应用题点 正切函数图象与性质的综合应用解 (1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝π2， 即πω＝π2. 所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称， 所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4， 故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ， 得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z ， 即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z . 所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－3π8＋k π2，π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间． (3)由(1)知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z ， 即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z . 所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .13．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π4，π4内是增函数，则() A ．0<ω≤2 B ．－2≤ω<0C ．ω≥2D ．ω≤－2 考点 正切函数图象与性质的综合应用题点 正切函数图象与性质的综合应用答案 A解析 根据函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π4，π4内是增函数，可得π4ω≤π2，求得ω≤2，再结合ω>0.得ω的取值范围是0<ω≤2.14．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域．考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的值域解 令μ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以μ∈[－3，3]，所以函数化为y ＝μ2－2μ，μ∈[－3，3]， 对称轴为μ＝1∈[－3，3]，所以当μ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1， 当μ＝－3时，y max ＝3＋23，所以f(x)的值域为[－1,3＋23]．。
