研究生矩阵论第1讲线性空间
矩阵论
1、意义
随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容
《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：
线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆) 以及第一类初等变换(非正交的)、对角标准形(含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．
矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富．
3、方法
在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：
线性代数：引入概念直观，着重计算．
矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．
第1讲线性空间
内容： 1.线性空间的概念；
2.基变换与坐标变换；
3.子空间与维数定理；
4.线性空间的同构
线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．
§1 线性空间的概念
1. 群，环，域
代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．
代数运算：假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b，按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算．
代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统．
1.1群
定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．
1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有V ∈+βα；
2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有βββ=+=+e e ；e 称为单位元；
4）对于,V ∈β有e =+=+αββα．称α为β的逆元．
注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．
1.2 环
定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”与“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为α,β的和与积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；
2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；
3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．
注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．
1.3 域
定义1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．
例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最
常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．
此外，还有其它很多数域.如{}
.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1．
2. 线性空间
定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“?”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ与它们对应，称δ为k 与α的数乘，记为αδ?=k ．如果加法与数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：
⑴ 交换律αββα+=+；
⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
⑶ V V ∈?∈?0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；
⑷ V V ∈?∈?βα,，有0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）；
⑸ P V ∈∈?1,α，有αα=?1；
⑹ αα?=??)()(kl l k ，P l k ∈,；
⑺ ααα?+?=?+l k l k )(；
⑻ βαβα?+?=+?k k k )(，
则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，
V 就称为实线性空间；
P 为复数域，V 就称为复线性空间．
例1.按通常向量的加法与数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例2.按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ?矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ?．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合r
R 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ?）．
例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．
例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。证明：R +是实数域R 上的线性空间．证：首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性。唯一性和封闭性．唯一性显然，若,0 x ,0 y k R ∈，则有：xy y x =+R +∈，k k x x =o R +∈，封闭性得证．
其次，八条性质。
（1）)()()()(z y x z xy yz x z y x ++===++
（2） x y yx xy y x +===+
（3） 1是零元素．x x =+1
（4） 1x 是x 的负元素 111=+=+x
x x x （5） )()()()(y k x k y x xy y x k k k k +===+ [数因子分配律]
（6） )()()(x l x k x x l k l k +==++ [分配律]
（7） x kl x x x l k kl k l )()()(=== [结合律]
（8） x x x ==11 [恒等律]
由此可证，+R 是实数域R 上的线性空间．证毕
3.线性空间的基本性质：
（1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的．
（2）如下恒等式成立：θ=x 0，)()1(x x -=-．
4.线性组合与线性表示，线性相关与线性无关性，维数
定义1.5 线性组合：,,,,21V x x x m ∈? P c c c m ∈,,,21 ,
x x c x c x c x c m
i i i m m ==+++∑=12211 ，
x 称为元素组m x x x ,,,21 的一个线性组合．
定义1.6 线性表示：
V 中某个元素x 可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x 可由该元素组线性表示．
定义1.7 设V 是数域P 上的线性空间，n x x x ,,,21 是V 的一组向量，如果P 中有一组不全为零的数n k k k ,,,21 ，使得
02211=+++n n x k x k x k (1.1)
则称向量n x x x ,,,21 线性相关；若等式(1.1)仅当021====n k k k 时才能成立，则称这组向量是线性无关的．线性空间V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为V 的维数，记为V dim ．
§2 基变换与坐标变换
1．线性空间的基与坐标
定义2.1 设V 是数域P 上的线性空间, )1(,,,21≥r x x x r ，是属于V 的r 个任意元素，如果它满足
（1）r x x x ,,,21 线性无关；
（2）V 中任一向量x 均可由r x x x ,,,21 线性表示．
则称r x x x ,,,21 为V 的一个基或基底，并称r x x x ,,,21 为该基的基元素．
基正是V 中最大线性无关元素组, V 的维数正是基中所含元素的个数．基通常是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等．线性空间的维数是确定的，不会因选取不同的基而改变．
例1:考虑全体复数所形成的集合C ．如果C P =（复数域），则
该集合对复数加法和复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取R P =（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为},1{i ，空间维数为2．
定义2.2 称线性空间n V 的一个基n x x x ,,,21 为n V 的一个坐标系，
n V x ∈?，它在该基下的线性表示为：
∑==n
i i i x x 1ξ，（n i V x P i i ,,2,1,, =∈∈ξ ）
则称n ξξξ,,,21 为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为T n ),,,(21ξξξ .
一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质．但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来．
更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘．
1 ),,,()
,,,(),,,(22112121n n T n T
n y x y x ηξηξηξηηηξξξ+++=+→== 2 T n T n k k k kx x ),,,(),,,(2121ξξξξξξ =→=
2.基变换与坐标变换
定义2.3 设n x x x ,,,21 是n V 的旧基，n y y y ,,,21 是n V 的新基，它们可以相互线性表示
即 [][][]C x x x c c c c c c c c c x x x y y y n nn n n n n n n ,,,,,,,,,212122221112112121 =
= （1.2）其中C 称为由旧基改变为新基的过渡矩阵，而称式（1.2）为基变换公式．可以证明，过渡矩阵C 是非奇异矩阵．设n V x ∈，它在旧基下的线性表示为[]
==∑=n n n i i i x x x x x ξξξξ 21211,,,，它在新基下的线性表示为[]
==∑=n n n i i i y y y y x ηηηη 21211,,,，由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系
[][]
=n n n n x x x y y y ξξξηηη 21212121,,,,,, , 则
=→=-n n n n C C ξξξηηηξξξηηη 211212121 上式给出了在基变换式下向量坐标的变换公式．
例1已知矩阵空间22?R 的两个基：
（1）??
=10011A ，-=10012A ，=01103A ，-=01104A （2）=11111B ，??
=01112B ，=00113B ，=00014B 求由基（1）改变为基（2）的过渡矩阵．
解为了计算简单，采用中介基的方法．引入简单基：
(3) =000111E ，=001012E ，=010021E ，??
=100022E 由基（3）到基（1）的过渡矩阵为1C ,即1222112114321),,,(),,,(C E E E E A A A A =，
可得--=00111100110000111C ，
--=-01100110100110012111C 再写出由基（3）到基（2）的过渡矩阵为2C ，即2222112114321),,,(),,,(C E E E E B B B B =
=00010011011111112C 于是写出由基（1）到基（2）的过渡矩阵为C ，即C A A A A B B B B ),,,(),,,(43214321=
=--==-01000122111011122100010011011111110110
01101001100121211C C C §3 子空间与维数定理
1.线性子空间的定义及其性质
定义 3.1 设1V 是数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件
（1）如果1,V y x ∈，则1V y x ∈+；
（2）如果1V x ∈，P k ∈，则1V kx ∈，
则称1V 是V 的一个线性子空间或子空间．
由于线性子空间也是线性空间，因此，前面引入的关于维数、基和坐标等概念亦可应用到线性子空间中去．
性质：（1）线性子空间1V 与线性空间V 享有共同的零元素；
（2）1V 中元素的负元素仍在V 1中．
子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间．{O }和V 本身称为平凡子空间；除以上两类子空间外的称为非平凡子空间，由于零子空间不含线性无关的向量，因此它没有基，规定其维数为零．
定义3.2 设m x x x ,,,21 为V 中的元素，它们的所有线性组合所成的集合
=∈∑=m i i i i m i P k x k 1,,2,1, 也是V 的线性子空间，称为由m x x x ,,,21 生成（张成）的子空间，记为
),,,(21m x x x L 或者),,,(21m x x x Span
．若m x x x ,,,21 线性无关，则m x x x L m =),,,(dim 21 ．
定理 3.1(基扩定理)：设1V 是数域P 上的线性空间n V 的一个m 维子空间，m x x x ,,,21 是1V 的一个基，则这m 个基向量必可扩充为n V 的一个基；换言之，在n V 中必可找到m n -个元素n m m x x x ,,,21 ++使得n x x x ,,,21 成为n V 的一个基,这m n -个元素必不在1V 中．
2．子空间的交与和
定义3.3 设1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则 {}2121,V x V x x V V ∈∈=
{}2121,V y V x y x V V ∈∈+=+
分别称为1V 和2V 的交与和．
定理3.2：若1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则21V V ，21V V +均为V 的子空间．
定理3.3(维数公式)：若1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则有
)dim()dim(dim dim 212121V V V V V V ++=+
3．子空间的直和
定义3.4 设1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，若其和空间21V V +中的任一元素都只能唯一的表示为1V 的一个元素与2V 的一个元素之和，即21V V x +∈?，存在唯一的1V y ∈、2V z ∈，使z y x +=，则称21V V +为1V 与2V 的直和，记为21V V ⊕．定理3.4：如下四种表述等价
（1）21V V +成为直和21V V ⊕
（2）}0{21=V V
（3）2121dim dim )dim(V V V V +=+
（4）若s x x x ,,,21 为1V 的基，t y y y ,,,21 为2V 的基，则s x x x ,,,21 ，
t y y y ,,,21 为21V V +的基
注：子空间的和与交的概念以及有关的定理，可以推广到多个的子空间情形．
§4 线性空间的同构
定义4.1 设U ，V 是数域P 上的线性空间，T 是从U 到V 的映射，即对于U
中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈与之对应，则称T 为V 的一个映射或算子，记为y Tx =，称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。若变换T 还满足:
)()()(y lT x kT ly kx T +=+，P l k V y U x ∈∈∈?,,,,
称T 为线性映射或线性算子.
定义 4.2 设U ，V 是数域P 上的线性空间，T 是从U 到V 的线性映射，如果T 是一一映射且为满射，则T 为从U 到V 的同构映射．若线性空间U ，V 之间存在同构映射，则称U ，V 为同构的线性空
间．若T 为从U 到U 的同构映射，则称T 为从U 的自同构映射．简单地说，一对一的线性算子称为同构算子．
例1 定义,,0110)(2R x x x T ∈
=则T 为2R 的自同构映射．定理 4.1: 设T 为从数域P 上的线性空间U 到V 的线性映射，且为满射，则T 为从U 到V 的同构映射的充分必要条件是若v x T 0)(=，则u x 0=．推论１设T 为从数域P 上的线性空间U 到V 的线性映射，则T 为从U 到V 的同构映射的充分必要条件是V U R =)(且}0{)(u T N =
定理4.2: 设U ，V 是数域P 上的有限维线性空间，则U ，V 同构的充分必要条件是V U dim dim =.
第一章 线性空间 线性空间是我们以前学习过的n 维向量空间的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有重要的地位，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。 §1.1 线性空间的定义和性质 为下面讨论需要，先引入数域的概念。 定义1 设P 是由一些复数组成的集合，如果它包含0与1，且P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然属于P ，则称P 为一个数域。 显然，有理数集Q 、实数集R 和复数集C 都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域。另外，数集 },3{)3(Q b a b a Q ∈+= 也是一个数域，但整数集不是数域。 我们知道n 维向量空间n R 就是全体n 维向量组成的集合，在其中定义了加法运算和实数与向量的数乘运算，并且这二种运算满足八条规律。另外，在全体n m ⨯阶实矩阵组成的集合n m R ⨯中，也定义了矩阵的加法运算和实数与矩阵的数乘运算，且这二种运算满足八条规律。还有很多这样的例子，从这些例子中可见，所考虑的对象虽然完全不同，但它们有一个共同点，即它们都具有两种运算：一种是两个元素之间的加法运算；另一种运算是数与元素之间的数乘运算，且满足八条规律。我们撇开这些对象的具体含义，加以抽象化，得到线性空间的概念。 定义2 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，如果 1. V 中元素具有可加性 对任意V ∈βα,，在V 中总存在唯一元素γ与它们对应，γ称为α与β的和，记作βαγ+=，并且对任意V ∈γβα,,满足： （1）交换律 αββα+=+ （2）结合律 )()(γβαγβα++=++ （3）在V 中存在零元素0，使对任意V ∈α，都有αα=+0； （4）对任意V ∈α，存在V 中的元素β，使得0=+βα（β称为α的负元素，记为－α）； 2. V 中元素与数域P 中的数具有可乘性 对任意P k ∈和任意V ∈α，在V 中总存在唯一元素δ与之对应，δ称为数k 与α的数量乘法（简称数乘），记为αδk =，并且对任
第一章：线性空间与线性变换 矩阵概念 数域：用F表示，其中的数称为纯量。 非空集合：用V表示，其中的元素称为向量。 向量加法：它包含的运算规律有4条 （1）a+b=b+a （2）(a+c)+c=a+(b+c) （3）存在零向量0，对每一个V中的a，有a+0=a （4）对于V中的每一个a，存在负向量-a，使得a+（-a）=0 纯量积运算：也包含四条运算律。X、Y是纯量。 （1）x（ya）=（xy）a （2）1a=a （3）x（a+b）=xa+xb （4）（x+y）a=xa+yb 如果满足以上运算规律，则称V是F上的线性空间。
设V是数域F的线性空间，如果V中存在一个有限元素集{a1 a2 a3。。。。。。an}满足：（1）a1 a2 a3。。。。。。an线性无关（2）V中任一向量都可以由a1 a2 a3。。。。。。an线性表示。 则{a1 a2 a3。。。。。。an}称为V的基，并称V为n维线性空间，记为n=dimV。 一组基：在线性空间中C M×N中，E ij为第i 行，第j列元素为1，其余元素为0的m×n 矩阵，i、j一直取完，则{E ij}就是一组基。5 不同基坐标之间的变换（过渡矩阵）：设线性空间V中的向量a在基{a1 a2 a3。。。。。。an}下的坐标是{x1、x2.。。。。。。xn}T，在基{b1、b2.。。。。。。。。bn}下的坐标是{y1、y2.。。。。。yn}T，从基1到基2的过度矩阵是A，则有： {x1、x2.。。。。。。xn}T=A{y1、y2.。。。。。yn}T
子空间：如果向量空间V的子集U在V中规定的向量加法和纯量积运算下的一个向量空间，则称U是V的子空间。 矩阵的核：设A是m×n实矩阵，则齐次线性方程组Ax=0的所有解向量构成R n的子空间，我们将这个子空间称为矩阵A的核，记为Ker（A）。Im（A）={Ax∈R m|x∈R n}，则Im（A）是R m的子空间，称为矩阵A的像。很显然矩阵A的像是指经过Ax运算后得到的矩阵。 （证明题）向量空间子集是否为向量空间，即U是V的子空间的充分必要条件： （1）对任意的a，b∈U，有a+b∈U （2）对任意的纯量x∈F，a∈U，有xa∈U 生产子空间：设V是一个线性空间，a1，a2.。。。。。。as∈V，则W={x1a1+x2a2+。。。。。。
矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将
来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45) 1、（1）对于V y x ∈?,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=???? ??+++=???? ??+++=+112211112211； （2）对于V z y x ∈?,,， ? ??? ??+++++++=? ??? ??+++++++=???? ??+???? ??+++=++))()(11111122211111121122 11121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ， ? ??? ??+++++++=? ??? ??+++++++=???? ??++++???? ??=++))()(11111122211111111222 11111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ， 即)()(z y x z y x ++=++。 （3）对于???? ??=00θ和V x ∈?，显然x x x x x x x =???? ??=???? ??+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈?，令???? ??--=221 1x x x y ， 则θ=???? ??=???? ??--+-=???? ??--+???? ??=+002122121 1221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。 （5）对于R ∈?μλ,和V x ∈?，有 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=? ?? ? ??+=??? ? ? ??+-++++=? ??? ? ??--+++++=????? ??+-+-+++=? ? ? ? ? ??-++????? ??-+=+（6）对于R ∈?λ和V y x ∈?,，有
第一章 线性空间与线性变换 1．1 引言 在中学及大学所学的数学课程中，空间解析几何与线性代数是两门重要的基础课。而在这两门课程中有一个共同的概念就是向量的概念，其来源的背景主要是为了研究物理学中一些既有方向又有大小的物理量之间的关系，例如在运动学中速度、加速度的概念，在动力学中力、力矩、动量的概念，除此之外，在物理学乃至其它学科也存在着大量的既有方向又有大小的量。为此，在空间解析几何中将这些物理量的量纲属性抛弃而抽象地定义一个数学量，即向量的概念，而将量与量之间的关系抽象成线性运算。线性运算包括两种运算，即加法运算和数乘运算。加法运算的定义体现了两个具有相同量纲的物理向量的按照叠加原理所构成叠加关系，例如两个不同方向的力1F 与2F 的合成即以叠加原理构成新的合力F ，如图1.1.1(a)。数乘运算的定义体现了两个同方向且具有相同量纲的物理向量的强度关系,例如, 两个同方向的力1F 与2F 满足21F k F =,其中k 为常数,如图1.1.1(b);另外数乘运算的定义还 1F 2F a F F 21F k F = a m F = 2F 图1.1.1(a) 图1.1.1(b) 图1.1.1(c) 可以体现两个同方向但具有不同量纲的物理向量的强度关系,最著名的就是牛顿第二定律,如图1.1.1(c)a m F =,其中F 表示作用在质点上的力, m 表示质点的质量, a 表示质点的由力F 引起的加速度。在研究以物理为背景的向量的性质时，不能忘记这些向量所在的空间场 所，即平面空间和立体空间。尽管在这两个空间中向量的线性运算的几何形式非常直观，但是对于一些较复杂的计算问题相对变得比较困难，为此，需要引入坐标系。最一般的是分别在平面上和空间中引入仿射坐标系，从而使平面上的任何一个向量与一个二维实数对相对应，且平面上的线性运算分别对应于二维实数对的线性运算,同时也使空间中的任何一个向量与一个三维实数对相对应，且空间中的线性运算分别对应于三维实数对的线性运算。由于平面二维问题是立体三维问题的特殊情况，因此这里仅将立体三维问题的运算结构给予详述。 对于给定的一个立体空间S ，首先在S 上确定一个原点o ，任给三个从原点出发而又不在同一平面的三个向量321ααα,,（用代数语言称321ααα,,线性无关）作为立体空间S 上的仿射坐标系，于是对于任意向量S ∈α，都有332211ααααx x x ++=，其中321x x x ,,是
矩阵论复习纲要 前两讲要求理解并掌握高等代数中的基本概念与理论，这些是矩阵论进一步研究必要的基础。对应于教材第八章8.1—8.6的内容 第一讲 线性空间 一、线性空间的定义及性质 1. 线性空间的定义与性质 ； 2. 线性相关性：线性组合；线性表示；线性相关性；.线性空间的维数 二、线性空间的基与坐标 1. 基的定义； 2. 坐标的定义； 3. 基变换与坐标变换 三、线性子空间的定义及其性质 1. 线性子空间的定义 ； 2. 线性子空间的性质 ； 3. 生成子空间 ； 4. 基扩定理 四、子空间的交与和 1. 子空间的交与和定义，两子空间的交与和仍为子空间；2 维数公式；3.子空间的直和及直和充要条件 第二讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 1. 线性变换的定义； 2. 线性变换的性质 3. 线性变换的运算：恒等变换; 变换的相等; 线性变换的和,数乘,负变换,乘积,逆变换,线性变换的多项式。 二、线性变换的矩阵表示 1、线性变换的矩阵的定义与性质；2. 相似矩阵及其性质 三、线性变换及矩阵的值域和核及其性质：()R T 、()N T ；()R A ；()N A 。 四、线性变换的不变子空间 1. 不变子空间的定义 ；2. 不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系. 习题要求：习题八P215 1—24题（选做） 第三讲 矩阵的相似对角化与Jodan 标准形 第三讲对应于教材第一章1.1-1.3的内容 **一、矩阵的相似对角化 1. 特征值与特征向量；特征多项式 **例1 已知 1222 2424 2A -????=--????-? ? ，求其特征值和特征向量。（P1） 2. 矩阵的迹与行列式与特征根的关系 1 1 n n ii i i i trA a λ=== = ∑ ∑； 1 d e t n i i A λ== ∏ . 3. 性质 (1)若A 与B 相似，则detA= detB ，rank(A)=rank(B), tr(A)=tr(B), det(λI-A)= det(λI-B); (2)设A 、B 分别为m n ?和n m ?阶矩阵，则()()tr A B tr B A =; **4. 矩阵对角化的条件 引理 n 阶方阵A 的互不相同的特征根对应的特征向量线性无关。 定理1 n 阶方阵A 可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n 个线性无关的特征向量。 推论1 n 阶方阵有n 个互异的特征值，则必可对角化。（充分条件） 推论2 设λ1, λ2,…, λs 为n 阶方阵A 的所有不同的特征值，其重数分别为r 1, r 2,…, r s ， 则A 可以对角化 的充要条件是对应r i 的特征值λi 有r i 个线性无关的特征向量。
矩阵论讲义 第一章：线性空间与线性变换 1．1 线性空间 一、线性空间的定义 设A ≠∅，F 是数域，在V 中定义“加法”和“数乘”运算： （1）,,V V αβαβ∀∈⇒+∈ （2）,.V k F k V αα∀∈∈⇒∈ 满足①—⑧规则。则称V 为F 上的线性空间。记为：()V F 。 例如：(){}12,,,|T n n i X x x x x ==∈ 对向量的加法和数乘运算构成 上的线性空间。 {}[]|m n ij m n ij A a a ⨯⨯==∈ 对矩阵的加法和数乘运算构成 上的 线性空间。 1 0[]()|n k n k k k P x p x a x a -=⎧⎫ ==∈⎨⎬⎩⎭ ∑ 对多项式的加法和数乘运算构成 上的线性空间。 二、基与维数 设V 为线性空间，若存在一组线性无关的向量1,,n αα 使V 中任一向量β均可由它们线性表示，即11n n k k βαα=++ ()i k F ∈。则称{}1n i i α=为V 的一组基。基所含向量的个数n 称为V 的维数： dim V n =。 例如：{}1n i i e =是n 的一组基，dim n n = ； {} 11i m ij j n E ≤≤≤≤是m n ⨯ 的一组基，dim m n m n ⨯=⨯ ；
{} 10 n k k x -=是[]n P x 的一组基，[]dim n P x n =。 例1 设{}112312(,,)|20T V x x x x x α==-=是一线性空间，求1V 的基与维数。 解：1231(,,)T x x x V α∀=∈，则1220x x -=，即212x x =，从而 11313(,2,)(1,2,0)(0,0,1)T T T x x x x x α==+， 由此可知，1V 中的任一向量α可由1(1,2,0)T α=，2(0,0,1)T α=线性表示，且12,αα线性无关。故12,αα是1V 的一组基，1dim 2V =。 三、坐标 设{}1n i i α=是V 的一组基，V β∀∈， []111 ,,n i i n i n x x X x βααα=⎡⎤ ⎢⎥===B ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ∑ 则称1(,,)T n X x x = 为β在基{}1n i i α=下的坐标。 例如：取3[]P t 的基{}21,,t t B =，则2()21p t t t =-+在基B 下的坐标为()1,1,2T -。 22 1317R ⨯-⎛⎫∈ ⎪ ⎝⎭ 在基{}ij E 下的坐标为()1,3,1,7T -。 四、基变换与坐标变换 设{}1n i i αα==B ，{} 1 n j j ββ==B 是V 的两组基，则每个j β(1)j n ≤≤都 可由基αB 线性表示： []111 ,,1,2,,j n j ij i n j i nj c c C j n c αβααα=⎡⎤⎢⎥ ===B =⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ∑ 从而 [][][]111,,,,,,n n n C C C βαββααB ===B
第一讲线性空间 一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（ ），交（ ） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示； K 是一个数域，其元素用k ,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z + +=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈， k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 () k x y k x k y + =+ ； （6）分配律 ()k l x k x l x +=+； （7）结合律 () () k l x k l x =；
矩阵是什么？ 矩阵是线性映射的表示： 线性映射的相加表示为矩阵的相加 线性映射的复合表示为矩阵的相乘 矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。 定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。如：对称矩阵可以定义为：a ij=a ji 也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y), 还可以定义为：Ax=f(x), 其中f(x)=x T Bx/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。 第一章：线性空间和线性变换 1.线性空间 集合与映射 集合是现代数学的最重要的概念，但没有严格的定义。 集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合
的补；集合中元素没有重合，子集，元素 映射：为一个规则：S S', 使得S中元素a和S'中元素对应，记为a'=(a),或：a a'. 映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。 映射的原象，象；映射的复合。满射,单射,一一映射。 若S'和S相同，则称为变换。 若S'为数域，则称为函数。 线性空间的定义和性质 定义1.1设V是一个非空集合，它的元素用x,y,z等表示，并称之为向量；K是一个数域，它的元素用k,l,m等表示，如果V满足下列条件 (I)在V中定义一个加法运算，即当V x,时，有惟一的 ∈ y x，且加法运算满足下列性质 +y ∈ V (1)结合律; + x+ = + + y ) ( z (z ) y x (2)交换律;x + = y y x+ (3)存在零元素0，使x+0=x； (4)存在负元素，即对任何一向量x V ,存在向量y，使 x+y=0，则称y为x的负元素，记为-x，于是有
矩阵论 前言 为何要学矩阵论： 矩阵论是数学的一个分支，是学习数学和其它学科（如数值分析、最优化理论、概率统计、控制论、信息科学）的基础，也是科学和工程计算的有力工具。如求解线性方程组的解 AX＝b 在A－1存在的情况下，解为X＝A－1b，有两个问题：怎么知道A－1存在不存在；如果存在，怎么求A－1。 在A－1不存在的情况下，如何求误差范数b AX 为最小的最小二乘解。这也涉及到矩阵范数定义，最小二乘解的求解方法。 再如，已知矩阵A，如何求A100。或许有人会说。简单，进行矩阵连乘不就行了。但是，计算量太大，如何用一个更好的方法来求呢？如何求A e，A sin,A 第一章线性空间与线性变换 1.1线性空间 1.1.1线性空间的概念及定义 数域：设F是包含0和1在内的数集，若F对于数的加、减、乘、除都封闭，即F中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在F中，则称F是一个数域。 由全体实数构成的集合为实数域（R）,由全体复数构成的集合为复数域（C）。不存在所谓的整数域。我们用F表示数域（实数域或
复数域）。 线性空间：设V 是非空集合，F 是数域，在V 中定义了两种代数运算。 加法：就是给定了一个法则“＋”，对于V 中的任意两个元素α和 β，在V 中都有惟一的元素γ与之对应称为α与β的和，记为 βαγ+= 加法运算满足以下4条规则： （1）αββα+=+ （交换律） （2）)()(γβαγβα++=++ （结合律） （3）在V 中存在零元素“0”，对V 中的的任一元素，即V ∈α，都有αα=+0； （4）对V 中的每一元素α，都存在元素β，使0=+βα，β称为α的负元素，记为αβ-=。 数乘：就是给定一个法则，对V 中的任一元素α和数域F 中的任一数k ，在V 中都有惟一的元素δ与它们对应称为α与k 的乘积，记为αδk =。 数乘运算满足以下4条规则： （5）αα)()(kl l k = （6）αα=1 （7）βαβαk k k +=+)( （8）αααl k l k +=+)( 对加法、数乘运算满足（1）~（8）条规则的非空集合V ，称为定义
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．