矩阵论研究生复习题
矩阵理论及应用证明题复习题
正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等）
1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ，
证明：（1）1H n H x Ax
x x
λλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤.
2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。证明：(1)存在正定矩阵S 使得2
A S =；
（2）对任意n 维列向量,X Y ，有2
H
H H Y AX
X AX Y AY
≤，并且，等号成立当
且仅当,X Y 线性相关。
3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ，则A B +的特征值都大于a b +。
4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）H
nn A
G a ββ??
=
是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）H
nn A
G a ββ
=
正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：
2
46A A I -+是正定Hermite 矩阵
6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵
范数
1.设?为n n
C ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：m
m A λ
≤（m 为正整数）
2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数证明：1
1
A λ
-≥
3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()1
1A A
ρ-≥
4.A 是n 阶复矩阵，证明22
1A
A A
∞
≤
5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。证明：F
F
A
UAV
=，
22A UAV =。
6.设()
ij
n n
A a ?=为n 阶Hermite 矩阵,证明：（1）2()A A ρ=；（2）()ij a
A ρ≤.
7.设A 为n 阶方阵,A 是从属于任何向量范数的矩阵范数, 证明:1)1I =; 2) 1A <时，I A -可逆，且
()1
1111I A A A
-≤-≤+-.
矩阵分解
1. A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在列满秩矩阵P ,使得H
A P P =∑,其中
1(0,1,2,,),H i r r i r P P λλλ??
∑=>== ?
I （其中r I 为r 阶单位矩阵） 2.设A 是n 正定Hermite 矩阵，利用矩阵的QR 分解证明：存在一个上三角形矩阵T ,使得
H A T T =
3.设矩阵,A B 都是m n ?矩阵，利用矩阵的满秩分解证明：()rank
A B ran kA rankB +≤+.
4.A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在行满秩矩阵P ,使得H
A P P =∑,其中
1(0,1,2,,),H i r r i r PP I λλλ?? ?∑=>== ?
. 5.A 、B 都为n 阶Hermite 矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，证明：存在可逆矩阵Q ，使
=H Q BQ E ,H Q AQ 为对角矩阵（这里E 为n 阶单位矩阵）
6.A 是n 阶可逆矩阵，则A 可以分解为一个酉矩阵与一个正定矩
阵的乘积
7.设m n A C ?∈，证明A 的秩为r 的充分必要条件是存在,m r
r m r
r F C G C ??∈∈，使得
A FG =.
8.设A 为n 阶可逆方阵，证明：存在酉矩阵,Q P 使得QAP 为对角线元素都是正数的对角矩阵.
09级-研-矩阵论试题及参考答案 一（15分）设实数域上的多项式 321()223p x x x x =+++，322()23p x x x x =+++ 323()45p x x x x =-+--，324()367p x x x x =-++ （1）求线性空间()1234span ,,,W p p p p =的一组基和维数； （2）求多项式32()41p x x x =++在你所求基下的坐标。 解：（1）11111 0021130 1012246001233570 00r A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ =−−→ ⎪ ⎪ -- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 123,,p p p 是W 的一组基，dim 3W =； （2）123()()()()p x p x p x p x =++，p 的坐标为(1,1,1)T x =。 或：x^3+1 , x^2 , x+1.这三个基形式是最简单的。 坐标为（1，4，0）。 二（15分）(1)设2 T ()tr()F f X X X X ==,其中()m n ij m n X x R ⨯⨯=∈是矩阵变量，求 df dX ； （2）设()m n ij m n A a R ⨯⨯=∈，12(,,,)T n n x x x x R =∈ 是向量变量，()F x Ax =，求T dF dx . 解 （1）211 ()m n ij i j f X x === ∑∑， 2ij ij f x x ∂=∂， ()22ij m n ij m n df f x X dX x ⨯⨯⎛⎫ ∂=== ⎪ ⎪∂⎝⎭；
(2) 11 1()n k k k n mk k k a x F x Ax a x ==⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ∑∑ ，1,1,2,,i i mi a F i n x a ⎛⎫∂ ⎪ == ⎪∂ ⎪ ⎝⎭ ， 11111(,,)n T n m mn a a dF F F A dx x x a a ⎛⎫ ∂∂ ⎪ === ⎪∂∂ ⎪⎝⎭ 。 三（15分）已知微分方程组 0d d (0)x Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ ，200031011A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1）求矩阵A 的Jordan 标准形J 和可逆矩阵P 使1 P AP J -= （2）求矩阵A 的的最小多项式)(λA m （3）计算矩阵函数At e ； （4）求该微分方程组的解。 解：（1） 3(2)I A λλ-=-，rank(2)1I A -=，2λ=对应两个线性无关的特征向量 A 的Jordan 标准形J 2212⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 12212P AP J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中101111110P -⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ （不唯一） （2）由A 的Jordan 标准形知 2()(2)A m λλ=-
矩阵论研究生复习题 矩阵理论及应用证明题复习题 正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等） 1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ， 证明：（1）1H n H x Ax x x λλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤. 2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。证明：(1)存在正定矩阵S 使得2 A S =； （2）对任意n 维列向量,X Y ，有2 H H H Y AX X AX Y AY ≤，并且，等号成立当 且仅当,X Y 线性相关。 3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ，则A B +的特征值都大于a b +。 4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）H nn A G a ββ?? = 是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）H nn A G a ββ = 正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：
2 46A A I -+是正定Hermite 矩阵 6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵 范数 1.设?为n n C ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：m m A λ ≤（m 为正整数） 2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数证明：1 1 A λ -≥ 3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()1 1A A ρ-≥ 4.A 是n 阶复矩阵，证明22 1A A A ∞ ≤ 5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。证明：F F A UAV =， 22A UAV =。 6.设()
研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二 习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ -? -?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ++?? -----?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-→-→? -++
， 则该矩阵为Smith 标准型为 +)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? --?? -??；（3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 +--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1
1、已知n 阶矩阵A 的秩为r ,n R 上的线性变换(),n T A R α=α?α∈，则T 的核空间()Ker T 的维数 2、设线性空间V 的一组基123,,εεε，112321233123,,t t t α=ε+ε+εα=ε+ε+εα=ε+ε+ε，如果123,,ααα也是V 的基，则t 满足的条件 3、已知矩阵11111111,11111111A B ------????== ? ?------???? ，12,V V 分别是齐次线性方程组0,0Ax Bx ==的解空间，则()12dim V V ?是 4、已知121001121A ?? ?= ? ??? ，则A 的QR 分解 5、已知矩阵120A i -??= ?-??，21i =-，则其范数1m A = ；F A = ； 6设线性空间{}23012[]()|,1,2,3i F t f t a a t a t a R i ==++∈=. 对于任意的 22012012(),()f t a a t a t g t b bt b t =++=++3[]F t ∈，定义： 001122[(),()]23f t g t a b a b a b =++ （i ）证明：[(),()]f t g t 是3[]F t 的一个内积； （ii ）求3[]F t 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 7设1111B ??= ?-?? ，22X R ??∈定义映射()T X XB = （i ）证明：T 是22R ?上的线性变换； （ii ）求T 在基1112212210010000,,,00001001E E E E ????????==== ? ? ? ????????? 下的矩阵A 。 8 设矩阵101120403A -?? ?= ? ?-?? （i ）求A 的Jordan 标准形；（ii ）求A 的最小多项式。
中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
习题四 1．求下列微分方程组的通解 （1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=;34,2212211 x x dt dx x x dt dx （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+= . ,3 233212321 ,x x dt dx x x x dt dx x x dt dx 解：(1)设,3421⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ,则原方程组可写为 Ax dt dx =， 矩阵A 的特征方程为 0)1)(5(3 4 2 1 =+-=----= -λλλλλA I ， 则矩阵A 的特征值为51=λ,12-=λ,求得矩阵A 的特征向量分别为⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,21, 令⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡-=1211P ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1211311 P ,有 Λ=⎥ ⎦ ⎤⎢⎣⎡-=-10051 AP P ,1-Λ=P P A , 则 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==------Λt t t t t t t t t t t At e e e e e e e e e e P Pe e 555551 22231121100121131. 故该方程组的通解为 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--+-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+==------t t t t t t t t t t t t At e c c e c c e c c e c c c c e e e e e e e e c e x )2()22()2()(31222312152121521215555其中21,c c 为任意常数.
(2)设,110111110⎥⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=A ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=321x x x x ,则原方程可写为 Ax dt dx =， 矩阵A 的特征方程为 0)1(2=-=-λλλA I ， 则矩阵A 的特征值为01=λ,132==λλ. A 的属于特征值01=λ的特征向量为 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=1121η, 由方程组 ⎩⎨ ⎧+==3 232 2ηηηηηA A 解得A 的属于特征值132==λλ的广义特征向量为 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,10132ηη. 令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==111101112,,321ηηηP ,则⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-111312101 1 P ,有 11,100110000--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=PJP A J AP P ,由于⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎣⎡=t t t Jt e te e e 0 00001, 则
《矩阵论》复习题 一、矩阵的相似变换与Jordan 标准型 1、叙述矩阵的Jordan 标准型定理。 2、设33?∈C A ,向量组3321,,C p p p ∈并且线性无关。并且满足关系式： 33212112p Ap p p Ap p Ap =+== （1）写出矩阵A 的JCF 以及将A 相似变换到Jordan 标准型的相似变换矩阵； （2）写出矩阵A 的特征值和它们的代数重数、几何重数。
3、已知8阶矩阵A 的JCF 为： ???????????? ??????????????=00111112212J （1）请写出矩阵A 的全部互异特征值，并指明它们的代数重数和几何重数； （2）写出矩阵的特征多项式和最小多项式； （3）求矩阵A 的迹)(tr A ；矩阵A 可逆么？为什么？ （4）求100A （假设将A 相似变换为J 的相似变换矩阵是P ）
二、对称正定矩阵 1、利用矩阵的Schur 标准型，证明Hermite 矩阵的特征值都是实数。 2、考虑对称矩阵??????????=011 101 110 A ,写出矩阵A 的一种谱分解。即∑==31i T i i i u u A λ。
3、利用对称矩阵的谱分解定理，证明A 是对称正定矩阵的充分必要条件存在一个对称正定矩阵B ，使得2B A =。 三、矩阵分析 1、范数 （1）给定向量()T i x 43,2,1+-=,计算p x ,其中∞=,2,1p ； （2）给定矩阵?? ????-=0111A ,计算p A ,F p ,,2,1∞=以及∞)(cond A ； （3）设A 是5阶实对称矩阵，并且其特征值为：0.5（2重），2，3（2重），则2)(cond A （4）证明向量的2范数和矩阵的Frobenius 范数具有酉不变性。
习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ⎡⎤ -⎢⎥ -⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦ ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ⎡⎤ ⎢⎥ -⎢ ⎥ ⎢⎥-⎢⎥ -⎣⎦ ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤ +--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦ ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ . 解：（1）对矩阵作初等变换 1 3 3 1 22222222111001100(1)c c r r λλλλλλλ λλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ -−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦ 2 3221311(1)10 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦ ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,
从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ ； （3）对矩阵作初等变换 1332212 13 2132222222222242322 (2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤ +--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤ -+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦312 2131211342322 (2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 1)⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 故该矩阵的Smith 标准型为 ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换
第二章 内积空间 一、基本要求 1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念． 2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质． 3、理解Hermite 二次型的定义． 4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系． 5、了解欧氏子空间的定义． 6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系． 7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系． 8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵． 二、基本内容 1、内积空间 设数域F 上的线性空间)(F V n ，若)(F V n 中任意两个向量βα,都有一个确定的数与之对应，记为),(βα，且满足下列三个条件 (1) 对称性：),(),(αββα=，其中),(αβ表示对数),(αβ取共轭； (2) 线性性：),(),(),(22112211βαβαβααk k k k +=+； (3) 正定性：0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα， 则称),(βα为向量α与β的内积．当R F =时，称)(R V n 为 欧氏空间；当C F =时，称)(C V n 为酉空间． 注意：在n R 中，),(),(βαβαk k =；在n C 中，),(),(βαβαk k =． 通常的几个内积： (1) n R 中，αββαβαT T n i i i y x ===∑=1 ),(
习题五 1．证明：-AA 与A A -均为幂等矩阵，即- -=AA AA 2 )(，A A A A - - =2 )( 证明:因为A A AA =-,故 ------===AA A A AA AA AA AA )()(2, A A A AA A A AA A A A ------===)()(2. 2．设n m C A ⨯∈，试证{ }1)(T T A A =- 证明:只需证明T T T T A A A A =-)(即可,实际上,由于A A AA =- ,故 T T T T T A A AA A A A ==--)()(. 3．设n m C A ⨯∈，则 （1）n rankA I A A n =⇔=- （2）m rankA I AA m =⇔=- 证明:(1)必要性.设n I A A =- ,则 n rankI A A rank rankA n ==≥-)(, 故n rankA =; 充分性.设n rankA =,由于 )()()(A A rank A AA rank rankA A A rank ---≤=≤, 故n A A rank =-)(,则1 )(--A A 存在,又由第1题,知A A A A - -=2)(,在此式两端同时乘以1 )(--A A ,有n I A A =-. (2)必要性.设m I AA =- ,则 m rankI AA rank rankA m ==≥-)(,
故m rankA =; 充分性.设m rankA =,由于 )()()(---≤=≤AA rank A AA rank rankA AA rank , 故m AA rank =- )(,则1)(--AA 存在,又由第1题,知A A A A - -=2)(,在此式两端同时乘以1 )(--AA ,有m I AA =-. 4．证明： （1）rankA A A rank =- )( （2）rankA A rank r =-)( 证明:(1) 因为 )()()(A A rank A AA rank rankA A A rank ---≤=≤, 故rankA A A rank =- )(; (2) 因为 )()()(-----≤=≤=r r r r r A rank A rankAA rankA AA A rank A rank , 故rankA A rank r =- )(. 5．验证（1）--=)(**AA A A m （2）* *)(A A A A l --= 证明:(1)设-=)(**AA A G ,则证明-=m A G ,即GA GA A AGA ==* )(,. A AA A A AA A GA *******])[(])([)(--== GA A AA A AA A ===--)(])[(*****; *))((A AGA A AGA -- *****])(][)([A A AA AA A A AA AA --=-- ])(][)([******A AA AA A A A AA AA --=--
武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 （共6题,答题时不必抄题,标明题目序号） 一,填空题（15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-，则其最小多项式为 ２、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数1α= ;2α= ； ∞α= ； 二，(20)设1112112121220a a V A a a a a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩ ⎭为22⨯R 的子集合, １、证明:V 是22⨯R 的线性子空间； 2、求V 的维数与一组基； 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ V ∈，定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积； ４、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、（15分）设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于３的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈，定义：
2014复习题 1、设)(x f 在]2,0[上四阶连续可导，求)(x f 次数不超过3次的插值多项式)(x P ，使满足插值条件：1)0()0(==f P 、2)1()1(==f P 、1)2()2(==f P 、1)1()1(-='='f P ，并求余项表达式。 2、（1）已知(1)2,(1)0,(2)4f f f -=-==，求()f x 的二次插值多项式； （2）如果又知道(1)=0(2)=3f f ''，，求()f x 的四次插值多项式。 3、设2 1 ()1f x x = +，()h I x 是对()f x 在[5,5]-上取10n =并按等距节点所求得的分段线性插值函数。 （1）求()h I x 在各节点间中点处的表达式（只需写出其表达式，不做数值计算）； （2）在[5,5]-上估计()h I x 与()f x 的误差。 4、设2()[,]f x C a b ∈，()0f a =，()1f b =， 证明： 2 1 m a x |()|()m a x |()| 8 a x b a x b x a f x b a f x b a ≤≤≤≤-''-≤--。 5、观测得到二次多项式)(2x p 的值： 表中)(2x p 的某一个函数值有错误，试找出并校正它。 6、已知函数)(x f 是一个多项式并满足下列函数表，试运用差商的方法确定)(x f 的次数及 7、（1）求,a b 使得22 (sin )I ax b x dx = +-⎰ 取最小值，并求此最小值。 （2）确定,,a b c 使得1 22 1 (arcsin )I x ax bx c -=---⎰ 取最小值，并求此最小 值。 8、（1）求函数x x f πcos )(=在区间]1,0[上关于的二次最佳平方逼近多项式，并计算平方
一、名词解释（10分） 矩阵谱半径：设A 是nxn 矩阵，λi 是其特征值，i=1,2……n,称p(A)=max{|λi|,i=1,2……n}为A 的谱半径矩阵谱范数：设A=()mxn ij mxn a C ∈,则21||||A λ=，λ1为H A A 的最大特征值， 则称2||||A 为矩阵A 的谱范数 Householder 变换：称H=I-2u T u 为Householder 矩阵，其中u 为单位列向量 矩阵Rayleigh 商：设A 是n 阶实对称矩阵，n x R ∈，称()T T x Ax R x x x =为矩阵A 的Rayleigh 商 矩阵奇异值：设A 为复数域内mxn 阶矩阵，H A 表示A 的共轭转置，则H A A 的特征值为 121......0r r n λλλλλ+≥≥≥≥===，则称i (1,2,...)i i n σλ==为A 的奇异值 设A 为m*n 阶矩阵，的n 个特征值的非负平方根叫作A 的奇异值 正稳定矩阵:对于矩阵A ，若存在正定矩阵W ，使得T AW WA +为正定矩阵，则称A 为正稳定矩阵 正交矩阵：如果实方阵Q 满足T Q Q I =或1 T Q Q -=则称Q 为正交矩阵 Givens 变 换 ： 设 实 数 C 与 S 满 足 221 C S +=，称 1 11 =()1 1 1s c i T i j ij s c j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ <⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ 镜面反射变换：设y 是欧氏空间V 中的的单位向量，x V ∈，定义变换Tx=x-2(y,x)y,T 是正 交变换，这称这种变换是镜面反射变换。 M 矩阵：如果n 阶矩阵A =()ij nxn a 主对角线外的元素非正，且1 A -为非负矩阵，即()ij a 0()i j ≤≠，1 A -≥0，则称A 为M 矩阵 二．已知空间中的两个基，求基1到基2的过渡矩阵（P 14例1.8；P 25， 8；）
习题二 1．化如下矩阵为Smith 标准型： 〔1〕222 211λλλλ λλλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣ ⎦ ; 〔2〕222 2 00 00(1)000 0λλλ λλλ ⎡⎤ ⎢⎥-⎢ ⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ ; 〔3〕2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦; (4)23014360220 620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ . 解：〔1〕对矩阵作初等变换 1 3 3 1 22222222111001100(1)c c r r λλλλλλλ λλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ -−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦ 2 3221311(1)10 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦ ， 如此该矩阵为Smith 标准型为 ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣ ⎡+)1(1 λλλ； 〔2〕矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,
从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ ； 〔3〕对矩阵作初等变换 1332212 13 2132222222222242322 (2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤ +--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦ ⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦312 2131211342322 (2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 1)⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 故该矩阵的Smith 标准型为 ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换
矩阵论复习题 1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。 证明: 充分性： A 与 B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性: A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1 A RBR -= 11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换 111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。因此A 与B 的特征值相同。 # 2 作出下列矩阵的奇异值分解 10(1)A 0111⎡⎤ ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1) 632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ -⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦ 特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2T C A A ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ -⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦⎣⎦ 特征值对应，特征值对应
故26 3 2 6 32 210263 2 203 2 6 3220063 2 20 3 3H A ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤ ⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ =⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ -⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ (2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ==⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 特征值对应，特征值对应，特征值对应 010102 2200A 001 2 2020220 2 2H ⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥ =-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3.求下列矩阵A 的满秩分解 123002111021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 1122110012300 10,0211101021110012300 10,021101100001001230=0 1 0021-11 -11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故 4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则3 3B A ≥.
习题一 1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设A 是n 阶实数矩阵.A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数乘； （2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法； （3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法⊕和数乘运算： ),,(),(),(ac d b c a d c b a +++=⊕)2 )1(,(),(2 a k k k b ka b a k -+ = （4）设R +是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算： ,k a b ab k a a ⊕== 其中,,a b R k R + ∈∈； （5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘； （6）设{}12sin sin 2sin ,,02k i V x x c t c t c kt c R t π==++ +∈≤≤，V 中 元素对于通常的加法与数乘，并证明：{}sin ,sin 2,,sin t t kt 是V 的一个基，试 确定i c 的方法. 解 （1）是. 令{} 矩阵为是实系数多项式，n n x f f V ⨯=A A )()(1.由矩阵的加法和数乘运算知, ),()(),()()(A A A A A d kf h g f ==+ 其中k 为实数，)(),(),(x d x h x f 是实系数多项式.1V 中含有A 的零多项式，为1V 的零元素.)(A f 有负元1)(V f ∈-A .由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故1V 关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间. （2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭. （3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.