辽宁省葫芦岛市第八中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题

2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数a的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．a，b，c中至多有一个偶数B．a，b，c中一个偶数都没有C．a，b，c至多有一个奇数D．a，b，c都是偶数3．（5分）已知函数f（x）=a，且f′（1）=1，则实数a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣24．（5分）复数z满足（1﹣i）z=，则|z|=（）A．1B．2C．D．5．（5分）曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，则实数a的值为（）A．1B．2C．﹣3D．6．（5分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（）A．1项B．2k﹣1项C．2k项D．2k+1项7．（5分）由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A．B．4C．5D．68．（5分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若9+=92×（a、b为正整数），则a+b等于（）A．89B．90C．98D．999．（5分）已知a1、a2∈（1，+∞），设P=+，Q=+1，则P与Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定10．（5分）函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3] 11．（5分）观察如图，则第（）行的各数之和等于20152．A．2014B．2016C．1007D．100812．（5分）若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x﹣3）为奇函数，f（﹣6）=﹣3，则不等式f（x）＜3e x的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，6）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=．14．（5分）曲线f（x）=ax3+2x﹣1在点（1，f（1））处的切线过点（3，4），则a=．15．（5分）给出下列三个类比结论：①“（ab）n=a n b n”类比推理出“（a+b）n=a n+b n”；②已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．类比推理出：已知向量，，，若∥，∥，则∥；③同一平面内，直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．类比推理出：空间中，已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ．其中结论正确的有个．16．（5分）若函数f（x）=lnx+在区间[1，e]上的最小值为，则实数a的值为．三、解答题：本大共6小题，共70分17．（10分）已知复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，求a的值；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，求a的取值范围．18．（12分）（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（）2≤．19．（12分）已知f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，试确定常数a，b使得f′（x）=xcosx﹣sinx成立．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．21．（12分）在数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n=（2n2﹣n）a n．（1）写出S1，S2，S3，S4；（2）归纳猜想{a n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．22．（12分）设函数f（x）=，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．2015-2016学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数a的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z====2+i，则=2﹣i，则对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的和为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．a，b，c中至多有一个偶数B．a，b，c中一个偶数都没有C．a，b，c至多有一个奇数D．a，b，c都是偶数【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中一个偶数都没有”，故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=a，且f′（1）=1，则实数a=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）=a，∴f′（x）=，∴f′（1）=1=，∴a=2，故选：C．4．（5分）复数z满足（1﹣i）z=，则|z|=（）A．1B．2C．D．【解答】解：【法一】∵（1﹣i）z=，∴z===﹣1，∴|z|=1．【法二】∵（1﹣i）z=，∴|1﹣i|•|z|=，即•|z|=，解得|z|=1．故选：A．5．（5分）曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，则实数a的值为（）A．1B．2C．﹣3D．【解答】解：由f（x）=sin（4x+）+ax，得：f′（x）=4cos（4x+）+a，∴f′（0）=2+a，即曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线的斜率为2+a．又曲线f（x）=sin（4x+）+ax在x=0处的切线与直线x+3y=1垂直，∴2+a=3，解得a=1．故选：A．6．（5分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（）A．1项B．2k﹣1项C．2k项D．2k+1项【解答】解：用数学归纳法证明1+++…+＜n的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：C．7．（5分）由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A．B．4C．5D．6【解答】解：由题意，由曲线y=2x2﹣x+2与y=0，x=0，x=1所围成的平面图形的面积S=∫01（2x2﹣x+2）dx==．故选：A．8．（5分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…若9+=92×（a、b为正整数），则a+b等于（）A．89B．90C．98D．99【解答】解：由已知得出：若9+=92×（a，b为正整数），则a=92﹣1=80，b=9，所以a+b=89，故选：A．9．（5分）已知a1、a2∈（1，+∞），设P=+，Q=+1，则P与Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不确定【解答】解：∵P=+，Q=+1，∴P﹣Q=+﹣﹣1==，∵a1、a2∈（1，+∞），∴1﹣a1＜0，a2﹣1＞0，∴P﹣Q＜0，即P＜Q．故选：C．10．（5分）函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（1，4]D．（1，3]【解答】解：∵f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x﹣log2（a2﹣1），可得a2﹣1＞0，解得a＜﹣1或a＞1，∴f′（x）=3ax2﹣4ax+（a+1），△=16a2﹣12a（a+1）≤0时，即1＜a≤3时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件综上，函数f（x）=ax3﹣2ax2+（a+1）x不存在极值点的充要条件是1＜a≤3．故选：D．11．（5分）观察如图，则第（）行的各数之和等于20152．A．2014B．2016C．1007D．1008【解答】解：观察下列数的规律图：12343456745678910…知：第1行各数之和是1=12=（2×1﹣1）2，第2行各数之和是2+3+4=32=（2×2﹣1）2，第3行各数之和是3+4+5+6+7=52=（2×3﹣1）2，第4行各数之和是4+5+6+7+8+9+10=72=（2×4﹣1）2，∴第n行各数之和是（2n﹣1）2，由20152=（2n﹣1）2，解得n=1008．故选：D．12．（5分）若定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），在R上满足f′（x）＞f（x），且y=f（x﹣3）为奇函数，f（﹣6）=﹣3，则不等式f（x）＜3e x的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，6）【解答】解：∵y=f（x﹣3）为奇函数，∴f（0）=f（3﹣3）=﹣f（﹣3﹣3）=﹣f（﹣6）=3设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，又∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）﹣f（x）＞0，∴g′（x）＞0．∴y=g（x）单调递增．由f（x）＜3e x．即g（x）＜3．又∵g（0）==3，∴g（x）＜g（0）∴x＜0．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=﹣1．【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i 它是实数1+m3=0∴m=﹣1故答案为：﹣1．14．（5分）曲线f（x）=ax3+2x﹣1在点（1，f（1））处的切线过点（3，4），则a=﹣．【解答】解：函数f （x ）=ax 3+2x ﹣1的导数为：f ′（x ）=3ax 2+2，f ′（1）=3a+2，而f （1）=a+1，切线方程为：y ﹣a ﹣1=（3a+2）（x ﹣1）， 因为切线方程经过（3，4）， 所以4﹣a ﹣1=（3a+2）（3﹣1），解得a=﹣． 故答案为：﹣．15．（5分）给出下列三个类比结论：①“（ab ）n =a n b n ”类比推理出“（a+b ）n =a n +b n ”；②已知直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．类比推理出：已知向量，，，若∥，∥，则∥；③同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ．类比推理出：空间中，已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ． 其中结论正确的有 0 个．【解答】解：当n=2时，（a+b ）2=a 2+2ab+b 2≠a 2+b 2，故①错； 当=，向量与不一定平行，故②错；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交，故③错． 故答案为：0．16．（5分）若函数f （x ）=lnx+在区间[1，e]上的最小值为，则实数a 的值为．【解答】解：由f （x ）=lnx+（x ＞0），得f ′（x ）=﹣=，f ′（x ）=0则x=a ，若a ＜1，则f （x ）min =f （1）=a=，不满足题意；若a ＞e ，则f （x ）min =f （e ）=1+=，则a=＜e ，不合题意；若e ≥a ≥1，则f （x ）min =f （a ）=lna+1=，则a=＜e ，满足题意；故答案为：．三、解答题：本大共6小题，共70分17．（10分）已知复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，求a的值；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，求a的取值范围．【解答】解：复数z=a2﹣1﹣（a2﹣3a+2）i，a∈R．（1）若z是纯虚数时，可得：a2﹣1=0，a2﹣3a+2≠0，解得a=1．a的值为：1；（2）若z是虚数，且z的实部比虚部大时，可得：a2﹣1＞﹣a2+3a﹣2≠0，解得a＞1或a且a≠2．a的取值范围：（﹣∞，）∪（1，2）∪（2，+∞）．18．（12分）（1）设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，求z．（2）已知m＞0，a，b∈R，求证：（）2≤．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则a2+b2=25，∵（3+4i）z=（3+4i）（a+bi）=（3a﹣4b）+（4a+3b）i，∴，解得或．∴z=4+3i或z=﹣4﹣3i．（2）证明：∵m＞0，∴1+m＞0，欲证（）2≤成立，只需证（a+mb）2≤（1+m）（a2+mb2），即证m（a2﹣2ab+b2）≥0，即证（a﹣b）2≥0，显然（a﹣b）2≥0恒成立，∴（）2≤．19．（12分）已知f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，试确定常数a，b使得f′（x）=xcosx﹣sinx成立．【解答】解：由f（x）=xsinx+（ax+b）cosx，则f′（x）=sinx+xcosx+acosx﹣（ax+b）sinx=（x+a）cosx﹣（ax+b﹣1）sinx，与f′（x）=xcosx﹣sinx比较可得：，可得．∴a=0，b=2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）恒成立．∵x≥1．∴a ≤（x ﹣），当x≥1时，令g（x）=（x ﹣）是增函数，g（x）min=（1﹣1）=0．∴a≤0．（2）∵x=3是f（x）的极值点∴f′（3）=0，即27﹣6a﹣3=0，∴a=4．∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x有极大值点x=﹣，极小值点x=3．此时f（x）在x∈[﹣，3]上时减函数，在x∈[3，+∝）上是增函数．∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是：f（3）=﹣18，最大值是：f（1）=﹣6，（因f（a）=f（4）=﹣12）．21．（12分）在数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n=（2n2﹣n）a n．（1）写出S1，S2，S3，S4；（2）归纳猜想{a n}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）S1=a1=，S2=（2×4﹣2）（S2﹣S1），∴S2=，S3=（2×9﹣3）（S3﹣S2），∴S3=，S4=（2×16﹣4）（S4﹣S3），∴S4=（2）由（1）的计算可猜想S n =，下面用数学归纳法证①当n=1时，结论显然成立．②假设当n=k时结论成立，即S k =，则当n=k+1时，S k+1=[2×（k+1）2﹣（k+1）]（S k+1﹣S k），第11页（共13页）∴（2k2+3k）S k+1=k（k+1），∴S k+1==，故当n=k+1时结论也成立．由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有S n =．22．（12分）设函数f（x）=，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．【解答】解：（1）f′（x）==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=e x+e x（x﹣1）=xe x，当x＞0时，h′（x）=xe x＞0，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，∴h（x）＞h（0）=0故f′（x）=＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）|f（x）﹣1|=||，当x＞0时，令g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）﹣1|=，原不等式化为＜a，即e x﹣（1+a）x﹣1＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）令∅（x）=e x﹣（1+a）x﹣1，则∅′（x）=e x﹣（1+a），由∅′（x）=0得：e x=1+a，解得x=ln（1+a），当0＜x＜ln（1+a）时，∅′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，∅′（x）＞0．故当x=ln（1+a）时，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）令s（a）=﹣ln（1+a），a＞0则s′（a）=＜0．第12页（共13页）故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a）＜0．因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）第13页（共13页）。

2015-2016学年辽宁省葫芦岛八中高二（下）期中数学试卷一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i2．（5分）若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）则的值为（）A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．03．（5分）曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．4．（5分）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．2B．C．D．﹣25．（5分）下列结论中正确的个数为（）①y=ln2，则y′=②y=，则y′|x=3=﹣③y=2x，则y′=2x ln2④y=log2x，则y′=．A．0B．1C．2D．36．（5分）的值是（）A．0B．C．2D．47．（5分）有一个由奇数组成的数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3，5}，第三组含三个数{7，9，11}，第四组含四个数{13，15，17，19}，…，经观察，可以猜想每组内各数之和与其组的编号数n的关系为（）A．等于n2B．等于n3C．等于n4D．等于（n+1）n 8．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内为增函数的是（）A．y=sinx B．y=xe2C．y=x3﹣x D．y=lnx﹣x 9．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．10．（5分）“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是（）A．实数分为有理数和无理数B．π不是有理数C．无理数都是无限不循环小数D．有理数都是有限循环小数11．（5分）用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除12．（5分）如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=．14．（5分）设复数z满足，则z=．15．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为．16．（5分）函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为﹣1，有以下命题：①f（x）的解析式是f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的极值点有且只有1个；③f（x）的最大值与最小值之和为0；其中真命题的序号是．三、解答题（共6道小题，共70分）17．（10分）计算：（1）+（2）（4﹣i5）（6+2i7）+（7+i11）（4﹣3i）18．（12分）证明：（1）＞（2）＜．19．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调区间．20．（12分）已知：1=1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16…（1）归纳1+3+5+…+（2n﹣1）=？（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．21．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2处取得极大值6，在x=1处取得极小值．（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求f（x）在区间[﹣3，3]的最大值和最小值．22．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+x+a（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f'（﹣1）=0，①求f（x）的单调区间．②证明对任意的x1，x2∈（﹣1，0），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜恒成立．2015-2016学年辽宁省葫芦岛八中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【解答】解：====﹣1+i．故选：B．2．（5分）若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）则的值为（）A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．0【解答】解：=．故选：B．3．（5分）曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：．故选：A．4．（5分）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．2B．C．D．﹣2【解答】解：（1+bi）（2+i）=（2﹣b）+（1+2b）i，则，∴b=2选A．5．（5分）下列结论中正确的个数为（）①y=ln2，则y′=②y=，则y′|x=3=﹣③y=2x，则y′=2x ln2④y=log2x，则y′=．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①，y′=（ln2）′=0，故①错误；②，y′=﹣，则y′|x=3=﹣，故②正确；③，y′=（2x）′=2x ln2，故③正确；④，故④正确；综上，结论中正确的有②③④，故选：D．6．（5分）的值是（）A．0B．C．2D．4【解答】解：=（﹣cosx+sinx）|=（﹣cosπ+sinπ）﹣（﹣cos+sin）=1﹣1=0，故选：A．7．（5分）有一个由奇数组成的数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3，5}，第三组含三个数{7，9，11}，第四组含四个数{13，15，17，19}，…，经观察，可以猜想每组内各数之和与其组的编号数n的关系为（）A．等于n2B．等于n3C．等于n4D．等于（n+1）n 【解答】解：由题意，1=13，3+5=23，7+9+11=33，故可得每组内各数之和与其组的编号数n的关系为n3，故选：B．8．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内为增函数的是（）A．y=sinx B．y=xe2C．y=x3﹣x D．y=lnx﹣x【解答】解：A中，y=sinx在（﹣+2kπ，+2kπ）（k∈Z）内是增函数，∴不满足条件；B中，y=xe2在R上是增函数，∴在（0，+∞）内是增函数，满足条件；C中，令y′=3x2﹣1＞0，得x＞，或x＜﹣；∴y=x3﹣x在（﹣∞，﹣）和（，+∞）上是增函数，不满足条件；D中，令y′=﹣1＞0，得0＜x＜1；∴y=lnx﹣x在（0，1）上是增函数，不满足条件；故选：B．9．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选：C．10．（5分）“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是（）A．实数分为有理数和无理数B．π不是有理数C．无理数都是无限不循环小数D．有理数都是有限循环小数【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由无理数都是无限不循环小数π是无限不循环小数，所以π是无理数，∴大前提是无理数都是无限不循环小数．故选：C．11．（5分）用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除，故选：B．12．（5分）如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选：A．二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=3．【解答】解：f′（x）==．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为314．（5分）设复数z满足，则z=2﹣i．【解答】解：，可得z=故答案为：2﹣i15．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]16．（5分）函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为﹣1，有以下命题：①f（x）的解析式是f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的极值点有且只有1个；③f（x）的最大值与最小值之和为0；其中真命题的序号是①③．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为﹣1，则有，解得a=0，b=﹣4．所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可见f（x）=x3﹣4x，因此①正确；②令f′（x）=0，得x=±．因此②不正确；所以f（x）在[﹣，]内递减，且f（x）的极大值为f（﹣）=，极小值为f（）=﹣，两端点处f（﹣2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=﹣，则M+m=0，因此③正确．故答案为：①③．三、解答题（共6道小题，共70分）17．（10分）计算：（1）+（2）（4﹣i5）（6+2i7）+（7+i11）（4﹣3i）【解答】解：（1）+=+（）1005=+（）1005= +（）1005=i﹣1﹣i=﹣1，（2）（4﹣i5）（6+2i7）+（7+i11）（4﹣3i）=（4﹣i）（6﹣2i）+（7﹣i）（4﹣3i）=24﹣2﹣14i+28﹣3﹣25i=47﹣39i18．（12分）证明：（1）＞（2）＜．【解答】证明：（1）欲证＞﹣，只需证（）2＞（﹣）2，即证5﹣2＞9﹣4，即证＞2（﹣1），只需证6＞4（6﹣2），即证9＞4，只需证81＞80，显然81＞80恒成立，∴＞﹣．（2）欲证＜，只需证（）2＜（）2，即证1﹣＜﹣，只需证＞+1只需证（n+2）（n+1）＞n（n+1）+1+2，即证n+1＞，只需证（n+1）2＞n（n+1），即证n+1＞n，只需证1＞0，显然1＞0恒成立，∴＜．19．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调区间．【解答】解：（1）由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，所以f（x）=x3+bx2+cx+2，则f'（x）=3x2+2bx+c．由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，即f（﹣1）=1，f'（﹣1）=6∴，即，解得b=c=﹣3，故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．（2）∵f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．∴f′（x）=3x2﹣6x﹣3=3（x2﹣2x﹣1）．由f′（x）=3（x2﹣2x﹣1）＞0，解得x＞1+或x＜1﹣，此时函数单调递增，由f′（x）=3（x2﹣2x﹣1）＜0，解得1﹣＜x＜1+，此时函数单调递减，即函数的单调递减区间为为（1﹣，1+），函数的单调递增区间为为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）．20．（12分）已知：1=1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16…（1）归纳1+3+5+…+（2n﹣1）=？（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．【解答】解：（1）：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，（2）证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，∴左边=右边②假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）=k2当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．综上①②可知1+3+5+…+（2n﹣1）=n2对于任意的正整数成立．21．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2处取得极大值6，在x=1处取得极小值．（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求f（x）在区间[﹣3，3]的最大值和最小值．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣2．由条件知，解得a=，b=，c=；（2）f′（x）=x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），令f′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞1；f′（x）＜0，可得﹣2＜x＜1，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（1，+∞）；单调减区间是（﹣2，1）；（3）由（2）可得函数在（﹣3，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，∵f（﹣3）=，f（﹣2）=6，f（1）=，f（3）=∴在区间[﹣3，3]上，当x=3时，f max=；当x=1，f min=．22．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+x+a（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若f'（﹣1）=0，①求f（x）的单调区间．②证明对任意的x1，x2∈（﹣1，0），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜恒成立．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+x+a，∴f′（x）=3x2+2ax+，（1）∵函数f（x）的图象有与x轴平行的切线，∴f′（x）=0有实数解则△=4a2﹣4×3×≥0，即a2≥，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（2）∵f′（﹣1）=0，∴3﹣2a+=0，a=，∴f′（x）=3x2+x+=3（x+）（x+1），①由f'（x）＞0得x＜﹣1或x＞﹣；由f′（x）＜0得﹣1＜x＜﹣，∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（﹣，+∞）；单调减区间为（﹣1，﹣）；②证明：易知f（x）的最大值为f（﹣1）=，f（x）的极小值为f（﹣）=，又f（0）=，∴f（x）在[﹣1，0]上的最大值M=，最小值m=，∴对任意x1，x2∈（﹣1，0），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m=﹣=．。

2016-2017学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）1．（5分）设复数z满足iz=1+2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角3．（5分）A﹣C等于（）A．0B．﹣10C．10D．﹣404．（5分）已知a，b，c∈R，c≠0，n∈N*，下列使用类比推理恰当的是（）A．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“（ab）n=a n b n”类比推出“（a+b）n=a n+b n”C．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc”D．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“=+”5．（5分）已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e xB．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e xD．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣16．（5分）有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A．24B．72C．144D．2887．（5分）函数f（x）=lnx﹣4x+1的递增区间为（）A．（0，）B．（0，4）C．（﹣∞，）D．（，+∞）8．（5分）已知函数f（x）=cos（3x+），则f′（）等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．（，]B．[，]C．[，π）D．[0，）∪[，π）10．（5分）“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100B．900C．999D．1000 11．（5分）若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．﹣4D．﹣312．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣5，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．（5分）若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，则|z|=．14．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）=．15．（5分）若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx=．16．（5分）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h．三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算定积分：（1）dx（2）4cosxdx．18．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．19．（12分）已知函数f（x）=xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．20．（12分）设（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4（1）求a2的值（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值．21．（12分）将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？22．（12分）设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）1．（5分）设复数z满足iz=1+2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由iz=1+2i，得z=，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．2．（5分）在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，故选：B．3．（5分）A﹣C等于（）A．0B．﹣10C．10D．﹣40【解答】解：原式=A﹣==10．故选：C．4．（5分）已知a，b，c∈R，c≠0，n∈N*，下列使用类比推理恰当的是（）A．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“（ab）n=a n b n”类比推出“（a+b）n=a n+b n”C．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc”D．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“=+”【解答】解：对于A：“若a•5=b•5，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的，如（1+1）2=12+12对于C：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于D：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，故选：D．5．（5分）已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e xB．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e xD．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣1【解答】解：f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x，故选：C．6．（5分）有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A．24B．72C．144D．288【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求甲、乙、丙三人站在一起，将3人看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A33=6种情况，②、将这个整体与其他三人全排列，有A44=24种不同顺序，则不同的排法种数为6×24=144种；故选：C．7．（5分）函数f（x）=lnx﹣4x+1的递增区间为（）A．（0，）B．（0，4）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【解答】解：∵f（x）=lnx﹣4x+1定义域是{x|x＞0}∵f'（x）=﹣4=当f'（x）＞0时，0＜x＜故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=cos（3x+），则f′（）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：f′（x）=﹣3sin（3x+），∴f′（）=﹣3sin（）=﹣，故选：D．9．（5分）设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．（，]B．[，]C．[，π）D．[0，）∪[，π）【解答】解：由y=x﹣x2﹣lnx，得y′=1﹣x﹣（x＞0），∵1﹣x﹣=1﹣（x+），当且仅当x=1时上式“=”成立．∴y′≤﹣1，即曲线在点P点处的切线的斜率小于等于﹣1．则tanθ≤﹣1，又θ∈[0，π），∴θ∈（]．故选：A．10．（5分）“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100B．900C．999D．1000【解答】解：根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步计数原理可得共有9×10×10=900故选：B．11．（5分）若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．﹣4D．﹣3【解答】解：函数的定义域为：x＞0；f′（x）=x+2﹣，令f′（x）＞0，解得：1＜x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）=f（1）==，解得：a=﹣1，极小值故选：B．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣5，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]【解答】解：f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，设切点为（），则．∴过切点处的切线方程为，把点（2，n）代入得：．整理得：．若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则方程有三个不同根．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，则g′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），∴当x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）．∴当x=1时，g（x）有极大值为g（1）=5；当x=2时，g（x）有极小值为g（2）=4．由4＜﹣n＜5，得﹣5＜n＜﹣4．∴实数n的取值范围是（﹣5，﹣4）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．（5分）若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，则|z|=5．【解答】解：∵复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，∴z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，∴|z|==5．故答案为：5．14．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）=2．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x+2x﹣e，则f′（1）=e+2﹣e=2，故答案为：215．（5分）若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx=．【解答】解：m为正整数，则x（x+sin2mx）dx=（x2+xsin2mx）dx=2+=2×+0=；故答案为：．16．（5分）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为﹣5℃/h．【解答】解：由题意，f′（x）=2x﹣7，当x=1时，f′（1）=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．故答案为：﹣5三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算定积分：（1）dx（2）4cosxdx．【解答】解：（1）dx=lnx|=ln2﹣ln1=ln2；（2）4cosxdx=4sinx|=4sin=2．18．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．【解答】解：（1）f′（x）=4（2x﹣1）+5=8x+1；（2）f′（2）=17，故切线方程是：y﹣19=17（x﹣2），即17x﹣y﹣15=0．19．（12分）已知函数f（x）=xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．【解答】解：（1）f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=0得x=﹣1，令f′（x）＞0得x＞﹣1，∴f（x）的增区间为（﹣1，+∞）．令f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）．（2）当时x∈[0，1]，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上递增，∴f（x）min=f（0）=5，f（x）max=f（0）=e+5，∴f（x）在[0，1]上的值域为[5，e+5]．20．（12分）设（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4（1）求a2的值（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值．【解答】解：（1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得：48（2x﹣1）2=2a2+6a3x+12，令x=0，可得a2=24．（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，分别令x=1，x=﹣1，可得：a0+a1+a2+a3+a4=1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=34=81．21．（12分）将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：①、在7人中选出4人，将其分到甲学校，有C74=35种选法；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，有C32=3种选法；③、将剩下的1人分到丙学校，有1种情况，则一共有35×3=105种分配方案；（2）根据题意，分2步进行分析：①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，有C74×C32×C11=105种分组方法，②、将分好的三组全排列，对应3个学校，有A33=6种情况，则一共有105×6=630种分配方案．22．（12分）设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，令f'（x）=0时得；令f'（x）＞0得递增；令f'（x）＜0得0，f（x）递减，∴f（x ）在处取得极小值，且极小值为，∵f（0）=0，f（2）=4，所以由数形结合可得0≤m≤4或．（2）当x≤0时，f'（x）=a（x+1）e x，a＜0，令f'（x）=0得x=﹣1；令f'（x）＞0得﹣1＜x≤0，f（x）递增；令f'（x）＜0得x＜﹣1，f（x）递减．∴f（x）在x=﹣1处取得极小值，且极小值为．∴a＞0，∴，因为当即时，，∴，∴．当即时，，∴，即a≥0，∴．综上，．第11页（共11页）。

葫芦岛市八高中2015–2016学年下学期高二实验班4月份月考试题（科目：数学 ）答题时间：120分钟 总分数：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.函数xy 1=在区间，,的平均变化率分别为321,,k k k ，则（ ） A.321k k k << B.312k k k << C.123k k k << D.231k k k <<2.设函数)(x f 可导，则=∆-∆+→∆x f x f x 3)1()1(lim0（ ） A.)1('f B.3)1('f C.)1(31'f D.)3('f 3.抛物线13)(2+-=x x x f 在点（1， -1）处的切线方程为（ ）A,1--=x y B.x y = C.x y -= D.1+=x y4.在2x y =上切线的倾斜角为4π的点是（ ）A.(0,0) B.(2,4) C.)161,41( D.)41,21(5.n x x f =)(,若12)2('=f ，则n 等于（ ）A.3 B.4 C.5 D.66.下列各式正确的是（ ）（1）2'sin )cos (xx x x -= （2）x x e x e x x )12(])1[('2+=++ （3）222'2)1(22)12(+-=+x x x x （4）13'133)(++=x x e e A.(1)(2) B.(3)(4) C.(2)(3) D.(1)(4) 7.下列结论中正确的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.3(1)2ln =y ,则21'=y (2)21x y =,则272|3'-==x y (3)x y 2=,则2ln 2'x y = (4)x y 2log =,则2ln 1'x y = 8.下列函数中，在),0(+∞内为增函数的是（ ）A.x y sin =B.2xe y =C.x x y -=3D.x x y -=ln9.函数x x y ln 212-=的单调递减区间为（ ）A.(-1,1 C.+∞,1[) D.),0(+∞ 10.设)(),(x g x f 在上可导，且)()(''x g x f >，则当b x a <<时，有（ ）装订线内禁止答题 班级 姓名考号A.)()(x g x f >B.)()(x g x f <C.)()()()(a f x g a g x f +>+D.)()()()(b f x g b g x f +>+11.0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x=1处有极值，则ab 的最大值等于（ ）A.2B.3C.6D.912.函数5)1(6)(23--++=x a x ax x f 有极值的充要条件是（ ）A.3-=a 或4=aB.43<<-aC.4>a 或3-<aD.R a ∈二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数b ax y +=2在点（1,3）处的切线斜率为2，则ba =_______________ 14.若函数1)(2++=x a x x f 在x=1处取极值，则a=_____________ 15.函数),0(,sin 25)(π∈++=x x x x f 的单调递增区间是_________16.函数x x x f ln 921)(2-=在上存在极值点，则a 的取值范围是________ 三、解答题（17题10分，18到22题每题12分，共70分）17.求下列函数的导数（1）x x y sin 2= （2）x y tan =18.求下列函数的单调区间（1）x x y ln -= （2）x y 21=19.函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2），且在点M （-1，)1(-f ）处的切线方程为076=+-y x （1）求)(x f y =解析式 （2）求)(x f y =的单调区间20.已知4431)(3+-=x x x f （1）求函数的极值（2）求函数在区间上的最值 21.设a 为实数，函数a x x x x f +--=23)(（1）求)(x f 的极值（2）曲线)(x f y =与x 轴仅有一个交点，求a 的取值范围22.已知x e k x x f )()(-=（1）求)(x f 的单调区间（2）求)(x f 在区间上的最小值。

2015—2016学年辽宁省葫芦岛八中高二(上）期中数学试卷(理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．下列语句中是命题的是（）A．｜x+a｜B．0∈NC．集合与简易逻辑D．真子集2．集合A=｛1，a｝,B=｛1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的（)条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．若p：∀x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx＞1 B．¬p：∀x∈R，sinx＞1C．¬p:∃x∈R，sinx≥1 D．¬p:∀x∈R，sinx≥14．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为;命题q:函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真5．命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为（)A．0 B．1 C．2 D．46．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣7．若双曲线﹣=1上点P到点（5,0）的距离为15，则点P到点（﹣5，0）的距离为（）A．7 B．23 C．5或25 D．7或238．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（﹣2，3）的抛物线方程是（）A．y2=x B．x2=yC．y2=﹣x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=y9．直线AB过抛物线y2=x的焦点F,与抛物线相交于A、B两点,且｜AB|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（)A．1 B．C．D．210．F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（)A．1+B．2+C．3﹣D．3+11．椭圆的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为(）A．B．C．D．412．已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(）A．（0,1）B．(0，］C．（0,） D．[，1）二．填空题（每题5分，共20分）13．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根;②若x+y≠8,则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是．14．与双曲线有共同的渐近线，且过点(2,2）的双曲线的标准方程为．15．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|：|PF2|=2:1，则△PF1F2的面积等于．16．若不论k为何值，直线y=k(x﹣2）+b与曲线x2﹣y2=1总有公共点,则b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分)17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，命题q：实数x满足；命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）与椭圆共焦点且过点（2，1）（2）过点(1,1），（2，）19．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上任一点(1）若∠F1PF2=,求△F1PF2的面积；（2）求｜PF1|•|PF2|的最大值．20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4,﹣）．点M(3，m）在双曲线上．（1)求双曲线方程；（2)求证：•=0；（3）求△F1MF2面积．21．已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(1)求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(﹣a，0)，点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上,且，求y0的值．22．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），(0，b)的直线的距离为c．(Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．2015—2016学年辽宁省葫芦岛八中高二（上)期中数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分)1．下列语句中是命题的是（）A．|x+a| B．0∈NC．集合与简易逻辑D．真子集【考点】四种命题．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】判断一件事情的语句叫命题，命题都有的题设和结论两部分组成．【解答】解：A、C、D只是对一件事情的叙述，故不是命题．故选：B．【点评】本题利用了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．集合A={1，a｝，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B"的(）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法;简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：集合A=｛1，a}，B=｛1，2,3},若“a=3”,则“A⊆B”，是充分条件，若“A⊆B”,则a不一定是3,不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合问题，是一道基础题．3．若p：∀x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p:∃x∈R，sinx＞1 B．¬p：∀x∈R，sinx＞1C．¬p：∃x∈R，sinx≥1 D．¬p：∀x∈R，sinx≥1【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以若p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p：∃x∈R，sinx ＞1．故选：A．【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查．4．设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【考点】复合命题的真假；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题;函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q 为假命题,p∨q为是假命题．故选C．【点评】本题考查复合命题的真假判断,解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则,本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强,难度不大．5．命题“对于正数a，若a＞1,则lg a＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别写出四种命题，判断其真假，即可得到结论．【解答】解：原命题“对于正数a,若a＞1，则lga＞0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lga＞0,则a＞1”是真命题；否命题“对于正数a,若a≤1，则lga≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lga≤0,则a≤1”是真命题．故选D．【点评】本题考查四种命题，考查命题真假的判断,属于基础题．6．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于(）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题；数形结合法．【分析】把椭圆5x2+ky2=5的方程化为标准形式，得到c2的值等于4，解方程求出k．【解答】解：椭圆5x2+ky2=5 即x2 +=1，∵焦点坐标为（0，2），c2=4,∴﹣1=4，∴k=1,故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值．7．若双曲线﹣=1上点P到点（5，0）的距离为15，则点P到点（﹣5，0)的距离为（) A．7 B．23 C．5或25 D．7或23【考点】双曲线的定义．【专题】计算题．【分析】根据双曲线的标准方程,写出实轴的长和焦点的坐标，根据双曲线的定义,得到两个关于要求的线段的长的式子，得到结果．【解答】解：∵双曲线﹣=1,∴2a=8，（5，0)（﹣5,0）是两个焦点，∵点P在双曲线上，∴｜PF1|﹣｜PF2|=8，∵点P到点（5，0)的距离为15,则点P到点(﹣5，0）是15+8=23或15﹣8=7故选D．【点评】本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值．8．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（﹣2，3)的抛物线方程是（)A．y2=x B．x2=yC．y2=﹣x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=y【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将M点坐标代入即可求出抛物线标准方程．【解答】解:（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点(﹣2，3）,设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0）∴9=4p，解得p=,∴y2=﹣x．（2）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为x2=2py(p＞0）∴4=6p，解得：p=．∴x2=y∴抛物线方程是y2=﹣x或x2=y．故选:D．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，解题过程中要注意对称轴是x轴和y轴两种情况作答，属于基础题．9．直线AB过抛物线y2=x的焦点F，与抛物线相交于A、B两点，且|AB｜=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．1 B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解:∵F是抛物线y2=x的焦点F（）准线方程x=,设A(x1，y1）,B（x2，y2）∴|AB|=｜AF|+|BF｜==3解得,∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选B．【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．10．F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．2+C．3﹣D．3+【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先由△F1PF2是等腰直角三角形得|F1F2|=|PF2｜，再把等量关系转化为用a,c来表示即可求双曲线C的离心率．【解答】解：由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠｜PF2｜，故必有|F1F2|=｜PF2｜，即2c=，从而得c2﹣2ac﹣a2=0，即e2﹣2e﹣1=0，解之得e=1±，∵e＞1,∴e=1+．故选：A．【点评】本题是对双曲线性质中离心率的考查．求离心率，只要找到a，c之间的等量关系即可求．是基础题．11．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P,则P到F2的距离为（)A．B．C．D．4【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，然后结合题意求出P点的坐标可得的长度，再根据椭圆的定义计算出．【解答】解：由椭圆可得椭圆的焦点坐标为（，0）设F点的坐标为（﹣,0）所以点P的坐标为(﹣，)，所以=．根据椭圆的定义可得,所以．故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关性质与椭圆的定义．12．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1） B．（0,]C．(0，）D．［，1）【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b,c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a,b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b,c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容,解题时要注意公式的选取，认真解答．二．填空题（每题5分，共20分）13．给定下列命题:①若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根；②若x+y≠8,则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①只需求△,②由原命题和逆否命题同真假，可判断逆否命题的真假,③④按要求写出命题再进行判断．【解答】解：①∵△=4﹣4(﹣k）=4+4k＞0，∴①是真命题．②其逆否命题为真,故②是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零"是真命题．故答案为:①②④【点评】本题考查四种命题及真假判断，属基本题．14．与双曲线有共同的渐近线,且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】由于与双曲线有共同的渐近线,故方程可假设为,再利用过点（2，2）即可求【解答】解:设双曲线方程为∵过点（2，2)，∴λ=3∴所求双曲线方程为故答案为【点评】本题的考点是双曲线的标准方程,主要考查待定系数法求双曲线的标准方程,关键是方程的假设方法．15．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且｜PF1|：|PF2｜=2：1,则△PF1F2的面积等于4．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆方程，得a=3，椭圆的焦点为F1(﹣，0），F2(，0)．由椭圆的定义结合｜PF1｜:|PF2｜=2：1，得｜PF1|=4，|PF2｜=2，结合勾股定理的逆定理得△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形,由此不难得到△PF1F2的面积．【解答】解：∵椭圆的方程为，∴a=3，b=2,c==．得椭圆的焦点为F1（﹣，0），F2（,0），∵｜PF1|+｜PF2｜=2a=6,且|PF1｜：｜PF2|=2：1∴｜PF1｜=4，|PF2|=2可得｜PF1｜2+|PF2｜2=20=|F1F2｜2,因此，△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形,得△PF1F2的面积S=｜PF1｜•|PF2｜=4故答案为:4【点评】本题给出椭圆的两条焦半径的比值，求焦点三角形的面积，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．16．若不论k为何值,直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2﹣y2=1总有公共点，则b的取值范围是［﹣，]．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把y=k（x﹣2）+b代入x2﹣y2=1得(1﹣k2）x2﹣2k(b﹣2k）x﹣(b﹣2k）2﹣1=0，△=4k2(b ﹣2k）2+4（1﹣k2）［（b﹣2k)2+1]=4［3（k﹣2b×)2+b2+1﹣4b2×]，不论k取何值，△≥0，所以≤1,由此能求出b的取值范围．【解答】解：把y=k（x﹣2)+b代入x2﹣y2=1得（1﹣k2）x2﹣2k（b﹣2k）x﹣（b﹣2k）2﹣1=0，△=4k2（b﹣2k）2+4(1﹣k2）［(b﹣2k）2+1]=4[3（k﹣2b×)2+b2+1﹣4b2×］=1﹣，因为不论k取何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2﹣y2=1总有公共点,所以△≥0，所以≤1，所以b的取值范围是[﹣，],故答案为：[﹣，］．【点评】本题考查直线与双曲线的性质和应用，解题时要认真审题,仔细解答，注意根的判别式的合理运用．三、解答题(共6小题,满分70分)17．设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0,其中a≠0，命题q：实数x满足；命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法;简易逻辑．【分析】分别求出关于p，q的x的范围，根据命题p是命题q的充分不必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：设A={x｜x2﹣4ax+3a2＜0,a＞0}=｛x｜a＜x＜3a}，a＜0时：A=｛x|3a＜x＜a｝B={x|}=｛x｜2＜x≤3}，若命题P是命题q的充分不必要条件，则由题意可得A⊊B，∴或，解得：≤a≤3,故实数a的取值范围为：［，3]．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查集合的包含关系,是一道基础题．18．求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）与椭圆共焦点且过点（2，1）(2)过点（1，1），（2，）【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题;转化思想;待定系数法;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）先求出c,再利用双曲线与椭圆共焦点且过点（2，1)，建立方程，求出a,b．即可求出双曲线的标准方程；（2)利用待定系数法，设出方程，代入点的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1)椭圆的焦点坐标为（±，0），∴c=,∵双曲线与椭圆共焦点且过点（2，1)∴=1，∴a=,b=1，∴双曲线的标准方程为=1；（2）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1(mn＞0），∵双曲线过点（1，1）,（2,），∴,∴m=2，n=1，∴双曲线的标准方程为=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查待定系数法，考查学生的计算能力属于中档题．19．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上任一点（1）若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积；（2）求|PF1|•｜PF2｜的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】(1）设|PF1|=m，｜PF2｜=n，利用余弦定理可求得mn=的值，最后利用三角形面积公式求解即可得出结论．（2）利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值20,再利用均值定理求积|PF1｜•|PF2｜的最大值即可．【解答】解：(1）设｜PF1|=m，｜PF2｜=n，则根据椭圆的定义可得m+n=20．在△F1PF2中，∠F1PF2=60°,所以根据余弦定理可得：m2+n2﹣2mn•cos60°=144从而（m+n）2﹣3mn=144，所以mn=，所以S△F1PF2=mnsin60°=…(2）根据椭圆的定义可得m+n=20,所以mn≤=100，当且仅当m=n时等号成立…故｜PF1|•|PF2|的最大值为100…【点评】本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．20．已知双曲线的中心在原点,焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，﹣）．点M（3，m)在双曲线上．（1）求双曲线方程；（2)求证：•=0；(3)求△F1MF2面积．【考点】双曲线的标准方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系；双曲线的简单性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1)双曲线方程为x2﹣y2=λ，点代入求出参数λ的值,从而求出双曲线方程,（2）先求出•的解析式，把点M（3，m）代入双曲线,可得出•=0，（3）求出三角形的高，即m的值,可得其面积．【解答】解:（1）∵e=，∴可设双曲线方程为x2﹣y2=λ．∵过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6．∴双曲线方程为x2﹣y2=6．（2)证明:∵=（﹣3﹣2，﹣m）,=(2﹣3,﹣m)，∴•=（3+2）×（3﹣2)+m2=﹣3+m2，∵M点在双曲线上,∴9﹣m2=6，即m2﹣3=0,∴•=0．（3)△F1MF2的底｜F1F2|=4，由（2）知m=±．∴△F1MF2的高h=｜m｜=，∴S△F1MF2=6．【点评】本题考查双曲线的标准方程、2个向量的数量积、双曲线的性质．21．已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B,已知点A的坐标为（﹣a，0）,点Q(0,y0）在线段AB的垂直平分线上，且，求y0的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题．【分析】（1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得a和b的关系,进而根据求得a和b，则椭圆的方程可得．（2)由（1)可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率,表示出直线l的方程与椭圆方程联立,消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB｜进而求得k，则直线的斜率可得．设线段AB的中点为M，当k=0时点B 的坐标是(2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据求得y0;当k≠0时,可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据求得y0；综合答案可得．【解答】解：（1）由e=，得3a2=4c2．再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．由题意可知，即ab=2．解方程组得a=2,b=1．所以椭圆的方程为．(2)由（Ⅰ）可知点A的坐标是（﹣2,0）．设点B的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k(x+2）．于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．由,得．从而．所以．设线段AB的中点为M，则M的坐标为．以下分两种情况：①当k=0时，点B的坐标是（2，0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是．由，得．②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为．令x=0，解得．由，，==，整理得7k2=2．故．所以．综上，或．【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力．综合性强,难度大,易出错．22．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c,0），（0，b)的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ)如图，AB是圆M：（x+2）2+(y﹣1)2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．【专题】创新题型；直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c,0）的直线方程，运用点到直线的距离公式,结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ)由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式,解方程可得b2=3,即可得到椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ)经过点（0，b）和(c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===;（Ⅱ）由（Ⅰ)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①由题意可得圆心M（﹣2，1)是线段AB的中点，则|AB|=,易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1,代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4(1+2k）2﹣4b2=0,设A(x1，y1），B(x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2,于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==,解得b2=3,则有椭圆E的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．。

2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z满足z（1﹣2i）=3+4i复数z的共轭复数所对应的点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四2．（5分）下列函数中x=0是极值点的函数是（）A．f（x）=﹣x3B．f（x）=﹣cosxC．f（x）=sinx﹣x D．f（x）=3．（5分）设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．B．[0，）∪[，π）C．D．4．（5分）用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数5．（5分）我们用圆的性质类比球的性质如下：①p：圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；q：球心与小圆截面圆心的连线垂直于截面．②p：与圆心距离相等的两条弦长相等；q：与球心距离相等的两个截面圆的面积相等．③p：圆的周长为C=πd（d是圆的直径）；q：球的表面积为S=πd2（d是球的直径）．④p：圆的面积为S=R•πd（R，d是圆的半径与直径）；q：球的体积为V=R•πd2（R，d是球的半径与直径）．则上面的四组命题中，其中类比得到的q是真命题的有（）个．A．1B．2C．3D．46．（5分）设曲线y=x2+1在点（x，f（x））处的切线的斜率为g（x），则函数y=g （x）cosx的部分图象可以为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=f´（）cosx+sinx，则f（）=（）A．B．﹣1C．1D．08．（5分）已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是由曲线y=x与y=x2围成的封闭区域，若向Ω上随机投一点p，则点p落入区域A的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）以圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（）A．76B．78C．81D．8410．（5分）从0，1，2，3，4，5，6这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．432B．378C．180D．36211．（5分）点P是曲线x2﹣y﹣2ln=0上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的横线上.13．（5分）要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有种不同的种法（用数字作答）．14．（5分）有13名医生，其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式：①C135﹣C71C64；②C72C63+C73C62+C74C61+C75；③C135﹣C71C64﹣C65；④C72C113；其中能成为N的算式是．15．（5分）在（﹣2x）9的展开式中的常数项是．16．（5分）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知虚数z满足|2z+5|=|z+10|．（1）求|z|；（2）是否存在实数m，是+为实数，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；（3）若（1﹣2i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z．18．（12分）（1）用适当方法证明：如果a＞0，b＞0那么+≥+（2）若下列三个方程：x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实根，试求a的取值范围．19．（12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人．（以下问题用数字作答）（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的情形？（2）这6人同时加入6项不同的活动，每项活动限1人，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？（3）将这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员；求丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的概率．20．（12分）（文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．21．（12分）已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）．（1）求a0及s n=a1+a2+…+a n；（2）试比较s n与（n﹣2）•2n+2n2的大小，并用数学归纳法给出证明过程．22．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x＞0时，e x+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z满足z（1﹣2i）=3+4i复数z的共轭复数所对应的点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【解答】解：∵z（1﹣2i）=3+4i，∴z=，则，∴复数z的共轭复数所对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限．故选：C．2．（5分）下列函数中x=0是极值点的函数是（）A．f（x）=﹣x3B．f（x）=﹣cosxC．f（x）=sinx﹣x D．f（x）=【解答】解：A、y′=﹣3x2≤0恒成立，所以函数在R上递减，无极值点B、y′=sinx，当﹣π＜x＜0时函数单调递增；当0＜x＜π时函数单调递减且y′|x=0=0，故B符合C、y′=cosx﹣1≤0恒成立，所以函数在R上递减，无极值点D、y=在（﹣∞，0）与（0，+∞）上递减，无极值点故选：B．3．（5分）设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．B．[0，）∪[，π）C．D．【解答】解：y′=3x2﹣≥﹣，tanα≥﹣，∴α∈[0，）∪[，π），故选：B．4．（5分）用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为：“自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：D．5．（5分）我们用圆的性质类比球的性质如下：①p：圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；q：球心与小圆截面圆心的连线垂直于截面．②p：与圆心距离相等的两条弦长相等；q：与球心距离相等的两个截面圆的面积相等．③p：圆的周长为C=πd（d是圆的直径）；q：球的表面积为S=πd2（d是球的直径）．④p：圆的面积为S=R•πd（R，d是圆的半径与直径）；q：球的体积为V=R•πd2（R，d是球的半径与直径）．则上面的四组命题中，其中类比得到的q是真命题的有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：我们用圆的性质类比球的性质如下：①p：圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；q：球心与小圆截面圆心的连线垂直于截面，故正确；②p：与圆心距离相等的两条弦长相等；q：与球心距离相等的两个截面圆的面积相等，故正确；③p：圆的周长为C=πd（d是圆的直径）；q：球的表面积为S=πd2（d是球的直径），故正确；④p：圆的面积为S=R•πd（R，d是圆的半径与直径）；q：球的体积为V=R•πd2（R，d是球的半径与直径），故正确，故选：D．6．（5分）设曲线y=x2+1在点（x，f（x））处的切线的斜率为g（x），则函数y=g （x）cosx的部分图象可以为（）A．B．C．D．【解答】解：g（x）=2x，g（x）•cosx=2x•cosx，g（﹣x）=﹣g（x），cos（﹣x）=cosx，∴y=g（x）cosx为奇函数，排除B、D．令x=0.1＞0．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=f´（）cosx+sinx，则f（）=（）A．B．﹣1C．1D．0【解答】解：∵f（x）=f´（）cosx+sinx，∴f′（x）=﹣f´（）sinx+cosx，∴f′（）=﹣f´（）×+，∴f′（）=﹣1，∴f（π）=（﹣1）×（﹣）+=﹣1，故选：B．8．（5分）已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是由曲线y=x与y=x2围成的封闭区域，若向Ω上随机投一点p，则点p落入区域A的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：y=x与y=x2两曲线的交点分别为O（0，0）、A（1，1）．因此，两条曲线围成的区域A的面积为S=∫01（x﹣x2）dx=（）|=．而Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，面积为4，∴在Ω上随机投一点P，则点P落入区域A中的概率P=；故选：D．9．（5分）以圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（）A．76B．78C．81D．84【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0化成标准形式，得（x﹣1）2+（y﹣1）2=3∴圆心C（1，1），半径r=满足横坐标与纵坐标均为整数的点，且在圆内的点有（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）共9个点9个点中任取3个，共有=84种取法，其中三点共线的情况共有8种∴这9个点能构成三角形的个数为84﹣8=76个故选：A．10．（5分）从0，1，2，3，4，5，6这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．432B．378C．180D．362【解答】解：从1，3，5中任意选两个奇数有种选法．从0，2，4，6中任意选出两个偶数分为两种情况：一种是含有0时，选出的偶数只有三种情况．此时从0，1，2，3，4，5，6这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为：=162．另一种是不含有0时，选出的偶数只有种情况．此时从0，1，2，3，4，5，6这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为：=216．综上可得：组成没有重复数字的四位数的个数为162+216=378．故选：B．11．（5分）点P是曲线x2﹣y﹣2ln=0上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是（）A．B．C．D．【解答】解：即∴又4x+4y+1=0即为y=﹣x令得与直线4x+4y+1=0平行的切线的切点为∴点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是故选：B．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的横线上.13．（5分）要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有72种不同的种法（用数字作答）．【解答】解：首先，区域1可取4种颜色任何一种色，有种，区域2只能取除1以外的颜色有种；区域4与区域2不相邻，也可取除1以外的3种颜色，有种；区域5有两种可能：①区域2，区域4取同一色，有种；②区域2，区域4取不同色，区域5只有一色可取，有种方法；区域3也有2种可能：若区域2，区域4取同一色，有种取法；若区域2，区域4取不同色，区域5只有一色可取，有种方法；区域2、区域4共×=3×3=9取法中，3种取法是同一色的，6种取法是不同色的；所以，共有着色方法×3××+×6××=4×3×2×2+4×6×1×1=48+24=72种．故答案为：72．14．（5分）有13名医生，其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式：①C135﹣C71C64；②C72C63+C73C62+C74C61+C75；③C135﹣C71C64﹣C65；④C72C113；其中能成为N的算式是②③．【解答】解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人．利用直接法，2男3女：C72C63；3男2女：C73C62；4男1女：C74C61；5男：C75，所以N=C72C63+C73C62+C74C61+C75；利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即N=C135﹣C71C64﹣C65；所以能成为N的算式是②③．故答案为：②③．15．（5分）在（﹣2x）9的展开式中的常数项是﹣672．【解答】解：（﹣2x）9的展开式的通项为C9r（﹣2）r x，令=0，解得r=3，故（﹣2x）9的展开式中的常数项是C93（﹣2）3=﹣672，故答案为：﹣672．16．（5分）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是12600．【解答】解：将10个气球进行编号1﹣10，则下方气球号码小于上方气球号码的排列方法种数就是打破气球的方法数．∴不同的打破方法有=12600种．故答案为：12600．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知虚数z满足|2z+5|=|z+10|．（1）求|z|；（2）是否存在实数m，是+为实数，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；（3）若（1﹣2i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z．【解答】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R且y≠0），由|2z+5|=|z+10|得：（2x+5）2+4y2=（x+10）2+y2，化简得：x2+y2=25，所以|z|=5．…（2分）（2）∵+=+=+=+i为实数，∴，又y≠0且x2+y2=25，∴，解得m=±5．…（6分）（3）由（1﹣2i）z=（1﹣2i）（x+yi）=（x+2y）+（y﹣2x）i及已知得：x+2y=y ﹣2x，即y=﹣3x，代入x2+y2=25，解得：或，故或．…（10分）18．（12分）（1）用适当方法证明：如果a＞0，b＞0那么+≥+（2）若下列三个方程：x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实根，试求a的取值范围．【解答】证明（1）：（用综合法），=．∵a＞0，b＞0，∴，∴．（2）：假设没有一个方程有实数根，则：16a2﹣4（3﹣4a）＜0，①（a﹣1）2﹣4a2＜0，②4a2+8a＜0，③，由①②③解得：﹣＜a＜﹣1，故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤﹣}．19．（12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人．（以下问题用数字作答）（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的情形？（2）这6人同时加入6项不同的活动，每项活动限1人，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？（3）将这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员；求丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的概率．【解答】解：（1）分别求出这6个人只去1个人、只去2个人、只去3个人、只去4个人、只去5个人，6的人全去的方法数，故共有63种不同的去法…（4分）（2）所有的安排方法共有A66种，求得甲参加第一项活动的方法有A55种，乙参加第三项活动的方法有A55种，甲参加第一项活动而且乙参加第三项活动的方法有A44种，即为所求故共有504种不同的安排方法…（8分）（3）这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员，6人可以分为（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2）三组，再分配到三项不同活动中，共有C63A33+C61C52A33+C62C42种，其中丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中，共有2C31A33种，故故丙、戊恰好被安排在一项活动中的概率为…（12分）20．（12分）（文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，从上表可知，∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2﹣2ln2；（2），①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；②当a=2时，∵，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．21．（12分）已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）．（1）求a0及s n=a1+a2+…+a n；（2）试比较s n与（n﹣2）•2n+2n2的大小，并用数学归纳法给出证明过程．【解答】解：（1）取x=1，则a0=2n；…（2分）取x=2，则a0+a1+a2+a3+…+a n=3n，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=3n﹣2n；…（4分）（2）要比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2猜想：当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，…（6分）下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，…（7分）假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k﹣1）2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣3）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞（（k+1）﹣1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，…（11分）∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．…（12分）22．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x＞0时，e x+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣2ax，∴f′（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，解得：a=1，b=e﹣2；（2）由（1）得：f（x）=e x﹣x2，f′（x）=e x﹣2x，f″（x）=e x﹣2，∴f′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，1]递增，∴f（x）max=f（1）=e﹣1；（3）∵f（0）=1，由（2）得f（x）过（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程是y=（e﹣2）x+1，故可猜测x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，下面证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，g′（x）=e x﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）=e x﹣2，由（2）得：g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∵g′（0）=3﹣e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，∴g′（ln2）＜0，∴存在x0∈（0，1），使得g′（x）=0，∴x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0当且仅当x=1时取“=”，故≥x，x＞0，由（2）得：e x≥x+1，故x≥ln（x+1），∴x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取“=”，∴≥x≥lnx+1，即≥lnx+1，∴e x+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，即e x+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，当且仅当x=1时“=”成立．。

2016-2017学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）1．设复数z 满足iz=1+2i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．在用反证法证明“在△ABC 中，若∠C 是直角，则∠A 和∠B 都是锐角”的过程中，应该假设（ ）A ．∠A 和∠B 都不是锐角 B ．∠A 和∠B 不都是锐角C ．∠A 和∠B 都是钝角D ．∠A 和∠B 都是直角3．A ﹣C等于（ ）A ．0B ．﹣10C ．10D ．﹣404．已知a ，b ，c ∈R ，c ≠0，n ∈N *，下列使用类比推理恰当的是（ ） A ．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b” B ．“（ab ）n=a n b n”类比推出“（a+b ）n=a n+b n” C ．“（a+b ）•c=ac +bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc”D ．“（a+b ）•c=ac +bc”类比推出“=+”5．已知函数f （x ）=6﹣x 3，g （x ）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（ ） A ．f′（x ）=6﹣3x 2，g′（x ）=e xB ．f′（x ）=﹣3x 2，g′（x ）=e x﹣1 C ．f′（x ）=﹣3x 2，g′（x ）=e x D ．f′（x ）=6﹣3x 2，g′（x ）=e x ﹣16．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（ ） A ．24 B ．72 C ．144 D ．2887．函数f （x ）=lnx ﹣4x+1的递增区间为（ ）A ．（0，）B ．（0，4）C ．（﹣∞，）D ．（，+∞）8．已知函数f （x ）=cos （3x+），则f′（）等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣9．设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．（，] B．[，] C．[，π）D．[0，）∪[，π）10．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100 B．900 C．999 D．100011．若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣312．设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n 的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣5，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，则|z|= ．14．已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）= ．15．若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx= ．16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h．三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算定积分：（1）dx（2）4cosxdx．18．已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．19．已知函数f（x）=xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．20．设（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4（1）求a2的值（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值．21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？22．设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的）1．设复数z满足iz=1+2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，再求出的坐标得答案．【解答】解：由iz=1+2i，得z=，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．2．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角”的过程中，应该假设（）A．∠A和∠B都不是锐角B．∠A和∠B不都是锐角C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，故选：B．3．A﹣C等于（）A．0 B．﹣10 C．10 D．﹣40【考点】D4：排列及排列数公式；D5：组合及组合数公式．【分析】利用排列组合数的计算公式即可得出．【解答】解：原式=A﹣==10．故选：C．4．已知a，b，c∈R，c≠0，n∈N*，下列使用类比推理恰当的是（）A．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“（ab）n=a n b n”类比推出“（a+b）n=a n+b n”C．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc”D．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“=+”【考点】F3：类比推理．【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．【解答】解：对于A：“若a•5=b•5，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的，如（1+1）2=12+12对于C：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于D：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，故选：D．5．已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣1【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x，故选：C6．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A．24 B．72 C．144 D．288【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用捆绑法将甲、乙、丙三人看成一个整体，并考虑三人之间的顺序，②、将这个整体与其他三人全排列，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求甲、乙、丙三人站在一起，将3人看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A33=6种情况，②、将这个整体与其他三人全排列，有A44=24种不同顺序，则不同的排法种数为6×24=144种；故选：C．7．函数f（x）=lnx﹣4x+1的递增区间为（）A．（0，）B．（0，4）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣4x+1定义域是{x|x＞0}∵f'（x）=﹣4=当f'（x）＞0时，0＜x＜故选：A8．已知函数f（x）=cos（3x+），则f′（）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】63：导数的运算．【分析】利用复合函数的导数运算法则即可得出．【解答】解：f′（x）=﹣3sin（3x+），∴f′（）=﹣3sin（）=﹣，故选：D．9．设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）A．（，] B．[，] C．[，π）D．[0，）∪[，π）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解．【解答】解：由y=x﹣x2﹣lnx，得y′=1﹣x﹣（x＞0），∵1﹣x﹣=1﹣（x+），当且仅当x=1时上式“=”成立．∴y′≤﹣1，即曲线在点P点处的切线的斜率小于等于﹣1．则tanθ≤﹣1，又θ∈[0，π），∴θ∈（]．故选：A．10．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121，666，54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）A．100 B．900 C．999 D．1000【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步计数原理可得共有9×10×10=900故选：B．11．若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣3【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值，求出a的值即可．【解答】解：函数的定义域为：x＞0；f′（x）=x+2﹣，令f′（x）＞0，解得：1＜x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）极小值=f（1）==，解得：a=﹣1，故选：B．12．设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n 的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣5，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标（），求出原函数的导函数，写出切线方程，把点（2，n）代入切线方程，整理得到．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，利用导数求其极大值为g（1）=5；极小值为g（2）=4．再由4＜﹣n＜5求得n的范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，设切点为（），则．∴过切点处的切线方程为，把点（2，n）代入得：．整理得：．若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则方程有三个不同根．令g（x）=2x3﹣9x2+12x，则g′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），∴当x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）．∴当x=1时，g（x）有极大值为g（1）=5；当x=2时，g（x）有极小值为g（2）=4．由4＜﹣n＜5，得﹣5＜n＜﹣4．∴实数n的取值范围是（﹣5，﹣4）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，则|z|= 5 ．【考点】A8：复数求模．【分析】先求出z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，由此能求出|z|．【解答】解：∵复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i，∴z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，∴|z|==5．故答案为：5．14．已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）= 2 ．【考点】63：导数的运算．【分析】根据函数的导数公式直接求导即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x+2x﹣e，则f′（1）=e+2﹣e=2，故答案为：215．若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx= ．【考点】67：定积分．【分析】将被积函数变形，两条定积分的可加性以及微积分基本定理求值．【解答】解：m为正整数，则x（x+sin2mx）dx=（x2+xsin2mx）dx=2+=2×+0=；故答案为：．16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为﹣5 ℃/h．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用导数法可求变化的快慢与变化率．【解答】解：由题意，f′（x）=2x﹣7，当x=1时，f′（1）=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．故答案为：﹣5三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算定积分：（1）dx（2）4cosxdx．【考点】67：定积分．【分析】利用微积分基本定理，分别求出被积函数的原函数，代入积分上限和下限求值．【解答】解：（1）dx=lnx|=ln2﹣ln1=ln2；（2）4cosxdx=4sinx|=4sin=2．18．已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据求导公式求出f（x）的导数即可；（2）求出切线的斜率f′（2），从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）f′（x）=4（2x﹣1）+5=8x+1；（2）f′（2）=17，故切线方程是：y﹣19=17（x﹣2），即17x﹣y﹣15=0．19．已知函数f（x）=xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值和最小值，从而求出f（x）在[0，1]上的值域即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=0得x=﹣1，令f′（x）＞0得x＞﹣1，∴f（x）的增区间为（﹣1，+∞）．令f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）．（2）当时x∈[0，1]，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上递增，∴f（x）min=f（0）=5，f（x）max=f（0）=e+5，∴f（x）在[0，1]上的值域为[5，e+5]．20．设（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4（1）求a2的值（2）求（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得：48（2x﹣1）2=2a+6a3x+12，令x=0，可得a2．2（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，分别令x=1，x=﹣1，可得：a0+a1+a2+a3+a4=1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，代入（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）即可得出．【解答】解：（1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得：48（2x﹣1）2=2a2+6a3x+12，令x=0，可得a2=24．（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，分别令x=1，x=﹣1，可得：a0+a1+a2+a3+a4=1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=34=81．21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）根据题意，分3步进行分析：①、在7人中选出4人，将其分到甲学校，②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，③、将剩下的1人分到丙学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行分析：①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，②、将分好的三组全排列，对应3个学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：①、在7人中选出4人，将其分到甲学校，有C74=35种选法；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，有C32=3种选法；③、将剩下的1人分到丙学校，有1种情况，则一共有35×3=105种分配方案；（2）根据题意，分2步进行分析：①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，有C74×C32×C11=105种分组方法，②、将分好的三组全排列，对应3个学校，有A33=6种情况，则一共有105×6=630种分配方案．22．设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用分段函数，当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，判断函数的单调性以及函数的极值，推出m的范围．（2）当x≤0时，求出函数的导函数f'（x）=a（x+1）e x，通过a＜0，求解函数的单调性以及极值，推出a＞0，利用函数的极值推出a的范围．【解答】解：（1）当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，令f'（x）=0时得；令f'（x）＞0得递增；令f'（x）＜0得0，f（x）递减，∴f（x）在处取得极小值，且极小值为，∵f（0）=0，f（2）=4，所以由数形结合可得0≤m≤4或．（2）当x≤0时，f'（x）=a（x+1）e x，a＜0，令f'（x）=0得x=﹣1；令f'（x）＞0得﹣1＜x≤0，f（x）递增；令f'（x）＜0得x＜﹣1，f（x）递减．∴f（x）在x=﹣1处取得极小值，且极小值为．∴a＞0，∴，因为当即时，，∴，∴．当即时，，∴，即a≥0，∴．综上，．。

辽宁省葫芦岛市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）计算的结果是（）A . iB . -iC . 2D . -22. （2分）由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为（）A .B . 2－ln3C . 4＋ln3D . 4－ln33. （2分） (2016高一上·景德镇期中) 设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1 ，x2∈D，当x1+x2=2A 时，恒有F（x1）+f（x2）=2b，则称（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心，研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2016）+f（﹣2015）+f（﹣2015）+f（﹣2014）+…+f （2014）+f（2015）+f（2016）=（）A . 0B . 2016C . 4032D . 40334. （2分）已知，观察下列式子：，，，类比有，则a是（）A .B . nC . n+1D . n-15. （2分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是（）A . 假设三内角都不大于60°B . 假设三内角都大于60°C . 假设三内角至多有一个大于60°D . 假设三内角至多有两个大于60°6. （2分） (2019高二下·临海月考) 函数在区间上的平均变化率等于（）A . 4B .C .D . 4x7. （2分）函数在某一点的导数是（）A . 在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B . 一个函数C . 一个常数，不是变数D . 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率8. （2分）若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A . [﹣1，1]B . （﹣1，1）C . （﹣2，2）D . [﹣2，2]9. （2分） (2018高二下·双流期末) 下列不等式成立的有（）① ，② ，③A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个10. （2分）用数学归纳法证明不等式，第二步由k到k+1时不等式左边需增加（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·晋江期末) 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）已知a，b∈R，且ex+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A . e3B . e3C . e3D . e3二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2015高二下·屯溪期中) 抛物线y=x2在A（1，1）处的切线与x轴及该抛物线所围成的图形面积为________．14. （1分）已知a＞b＞c，则与的大小关系为________．15. （1分） (2016高二下·南阳开学考) 观察下面的算式：，，，则12+22+…+n2=________（其中n∈N*）．三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为________．四、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2018高二下·陆川期末) 设实部为正数的复数，满足 ,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.（1）求复数；（2）若复数为纯虚数，求实数的值.18. （10分） (2016高一上·黑龙江期中) 已知函数，（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．19. （10分） (2016高二下·昌平期中) 计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．20. （5分） (2016高一上·哈尔滨期中) 若函数y=f（x）在R上单调递减，且f（t2）﹣f（t）＜0，求t 的取值范围．21. （10分） (2017高二上·定州期末) 已知椭圆的离心率为，且经过点是椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上运动，求的最大值.22. （5分）设（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（2）若在[)上为减函数，求的取值范围。

辽宁省葫芦岛市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·浙江开学考) 已知，若（为虚数单位）为纯虚数，则（）A . 0B . 1C . -1D . ±12. （2分） (2020高三上·顺德月考) 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（）A .B .C .D .3. （2分）已知：函数f（x）=sinx﹣cosx，且f'（x）=2f（x），则 =（）A .B .C .D .4. （2分）已知为实数，若，则（）A . 1B .C .D .5. （2分） (2020高二下·赣县月考) 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·合肥期中) 设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+ ，b+ ，c+ （）A . 都不大于﹣2B . 都不小于﹣2C . 至少有一个不大于﹣2D . 至少有一个不小于﹣27. （2分） (2017高二下·宜昌期末) 函数f（x）= 的图象在点（1，﹣2）处的切线方程为（）A . 2x﹣y﹣4=0B . 2x+y=0C . x﹣y﹣3=0D . x+y+1=08. （2分）下面几种推理中是演绎推理的序号为（）A . 半径为r圆的面积S=πr2 ，则单位圆的面积S=πB . 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C . 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质D . 由平面直角坐标系中圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ，推测空间直角坐标系中球的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2+（z﹣c）2=r9. （2分）设下列关系式成立的是（）A . a＞bB . a+b＜1C . a＜bD . a+b=110. （2分）复数的虚部为（）A .B .C .D .11. （2分）满足f(x)=f'(x)的函数是（）A . f(x)＝1－xB . f(x)＝xC . f(x)＝0D . f(x)＝112. （2分）已知函数在处有极值10，则等于（）A . 11或18B . 11C . 17或18D . 18二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·嘉定期末) 已知定点，点Q在抛物线上运动，若复数、在复平面内分别对应点P、Q的位置，且，则的最小值为________.14. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 设f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，若h（x）= ，则h′（5）=________．15. （1分）(2017·成都模拟) 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为________．16. （1分） (2016高二下·三原期中) 若函数y=x3+x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2020高二下·通州期末) 已知复数是虚数单位）.（1）求；（2）如图，复数，在复平面上的对应点分别是A，B，求 .18. （10分） (2019高二上·荔湾期末) 已知函数， .（1）讨论的单调性；（2）若，证明：当时，．19. （10分） (2019高二下·六安月考)（1）当时，求证：；（2）若，用反证法证明：函数（）无零点.20. （10分） (2016高二上·福州期中) 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ，满足a =2Sn+n+4，且a2﹣1，a3 ， a7恰为等比数列{bn}的前3项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn= ﹣，求数列{cn}的前n项和Tn ．21. （15分）设复平面上点Z1 ， Z2 ，…，Zn ，…分别对应复数z1 ， z2 ，…，zn ，…；（1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn=rn（cosnα+isinnα），n∈Z+（2）已知，且（cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{zn}的通项公式；（3）在（2）的条件下，求|+…．22. （10分）(2018·石家庄模拟) 已知函数，，在处的切线方程为 .（1）求，；（2）若方程有两个实数根，，且，证明： .23. （10分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知函数（）（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在定义域内为单调函数，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

辽宁省葫芦岛市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 已知，曲线在点处的切线的斜率为k，则当k取最小值时a的值为（）A .B .C . 1D . 22. （2分）数列的一个通项公式是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·武威期末) 曲线y＝ x2－2x在点处的切线的倾斜角为（）．A . －135°B . 45°C . －45°D . 135°4. （2分）数 f(x)=x2 在点(2,f(2))处的切线方程为（）A . y=4B . y=4x+4C . y=4x+2D . y=4x-45. （2分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）=2xf′（2）+x3 ，则f′（2）等于（）.A . ﹣8B . ﹣12C . 8D . 126. （2分）(2018·汕头模拟) 函数（），若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·抚州期中) 设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A . （﹣3，0）∪（3，+∞）B . （﹣3，0）∪（0，3）C . （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D . （﹣∞，﹣3）∪（0，3）8. （2分） (2017高二下·海淀期中) 函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A . 1B . ﹣C .D . 或﹣9. （2分）函数f（x）=lnx﹣x2的极值情况为（）A . 无极值B . 有极小值，无极大值C . 有极大值，无极小值D . 不确定10. （2分）(2017·莆田模拟) 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（）A . 0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B . 0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)C . 0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D . 0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)12. （2分） (2018高二下·巨鹿期末) 已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·宝鸡模拟) 有限与无限转化是数学中一种重要思想方法，如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x．这可以通过方程 =x确定出来x=2，类似地可以把循环小数化为分数，把0. 化为分数的结果为________．14. （1分）(2012·重庆理) =________．15. （1分）若f（x）=x2+（a2﹣1）x+6是偶函数，则a=________16. （1分）定积分________三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2016高二下·三亚期末) 计算 f（x）dx，其中，f（x）= ．18. （5分）用数学归纳法证明：．19. （5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2﹣ax=0}，且A∪B=A，求实数a的值．20. （15分）已知函数f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．（3）证明： + + +…+ +（1+ ）n＜（n∈N*，n≥2）．21. （10分） (2018高二下·鸡西期末) 设函数过点（1）求函数的单调区间和极值；（2）求函数在上的最大值和最小值.22. （5分） (2018高二下·陆川月考) 如图，求直线与抛物线所围成的图形的面积.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5、答案：略6、答案：略7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16、答案：略三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。

葫芦岛市八高中2015–2016学年上学期高二年级期中考试试卷科目:数学（理）答题时间:120分钟 总分:150分一，选择题（每题5分，共60分） 1.下列语句中是命题的是（ ）A.a x +B.N ∈0C.集合与简易逻辑D.真子集2.集合A={1，a}，B={1,2,3}，则“a=3”是“B A ⊆”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3.若p:1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A.1sin ,:≥∈∀⌝x R x pB.1sin ,:>∈∀⌝x R x pC.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pD.1sin ,:>∈∃⌝x R x p4.设命题p ：函数y=sin2x 的最小正周期为2π；命题q ：函数y=cosx的图像关于x=2π对称。

则下列判断正确的是（ ）A.p 为真B.非q 为假C.p 且q 为假D.p 或q 为真 5.命题“对于正数a ，若a>1，则lga>0”及其逆命题，否命题，逆否命题四种命题中，真命题的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.4 6.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0,2），则k=（ ） A.-1 B.1 C.5 D.-57.已知双曲线191622=-y x 上的点P 到（5,0）的距离为15，则点P 到点（-5,0）的距离为（ ）A.7B.23C.5或25D.7或238.顶点在原点，对称轴为坐标轴，过点（-2,3）的抛物线方程是（ ） A.x y 492= B.y x 342=或x y 292-= C.y x 342-=或x y 492-= D.y x 342= 9.已知F 是抛物线x y =2的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，3=AB ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A.43B.1C.45D.4710.21,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，21F PF ∆是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A.1+2 B.2+2 C.3-2 D.3+211.椭圆1422=+y x 的两个焦点21,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ） A.23 B.3 C.27D.4 12.已知21,F F 是椭圆的两个焦点，21MF MF ⋅=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A.)22,0( B.]21,0( C.（0,1） D.)1,22[二．填空题（每题5分，共20分）13.给出下列命题：（1）若k>0，则方程022=-+k x x 有实数根；（2）若62,8≠≠≠+y x y x 或则；（3）“矩形的对角线相等”的逆命题；（4）“若xy=0，则x ，y 中至少有一个为0”的否命题。

辽宁省葫芦岛市第八高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题（无答案）答题时间：120分钟 总分数：150分 一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1、2)1(21i i -+=( ) A.－1－12i B.－1＋12i C.1＋12i D.1－12i 2、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈，则000()()lim h f x h f x h h→+--=( ）A.0()f x ' B.)(20x f '- C.)(20x f ' D.03、曲线x x y 43-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( ) A.34π B.2π C.4π D.6π 4、若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数，（i 是虚数单位）则实数b =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．25、下列结论中正确的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.3(1)2ln =y ,则21'=y (2)21x y =,则272|3'-==x y (3)x y 2=,则2ln 2'x y = (4)x y 2log =,则2ln 1'x y = 6、dx x x ⎰+ππ2)cos (sin 的值是( )A ．0 B.π4C ．2D ．4 7、有一个奇数列1,3,5,7,9…现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…观察每组内各数之和与其组的编号数n 的关系为( )A ．等于n 2B ．等于n 3C ．等于n 4D ．等于(n ＋1)n8.下列函数中，在),0(+∞内为增函数的是（ ）A.x y sin =B.2xe y =C.x x y -=3D.x x y -=ln9、设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r=2S a ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R=( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 410、“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，此推理的大前提是（ ）A 、实数分为有理数和无理数 B.π不是有理数C.无限不循环小数都是无理数D.有理数都是有限循环小数11、用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除12、如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数)(x f y '=的图象可能是（ ）二、填空题（共4道小题，每小题5分，共20分）13、若函数1)(2++=x a x x f 在x=1处取极值，则a=_____________ 14、设复数z 满足12i i z +=，则z =_____________ 15、函数x x y ln 212-=的单调递减区间为_____________ 16、已知函数]2,2[,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示的曲线过原点，且在1±=x 处的切线斜率均为1-，有以下命题：①)(x f 的解析式为]2,2[,4)(3-∈-=x x x x f ；②)(x f 的极值点有且只有一个；③)(x f 的最大值与最小值之和等于零；其中正确的命题是________（填序号）三、解答题（共6道小题，共70分）17、（10分）计算：（1）20102)12()1(22ii i ++-+ （2）)34)(7()26)(4(1175i i i i -+++- 18、（12分）证明：（1）4523->- （2）n n n n -+<+-+11219、函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2），且在点M （-1，)1(-f ）处的切线方程为076=+-y x （1）求)(x f y =解析式 （2）求)(x f y =的单调区间20、（12分）已知： 167531,9531,431,11=+++=++=+=（1）归纳=-++++)12(531n ？（2）用数学归纳法证明（1）中的结论21、（12分）已知函数c x bx ax x f +-+=2)(23在2-=x 处取得极大值6，在1=x 处取得极小值。

辽宁省葫芦岛市第八中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考（4月）试题（无答案） 答题时间：120分钟 总分数：150分 一、选择题（每小题5分，共60分）1.函数xy 1=在区间[1,2]，[2,3],[3,4]的平均变化率分别为321,,k k k ，则（ ） A.321k k k << B.312k k k << C.123k k k << D.231k k k <<2.设函数)(x f 可导，则=∆-∆+→∆x f x f x 3)1()1(lim0（ ） A.)1('f B.3)1('f C.)1(31'f D.)3('f 3.抛物线13)(2+-=x x x f 在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A,1--=x y B.x y = C.x y -= D.1+=x y4.在2x y =上切线的倾斜角为4π的点是（ ）A.(0,0) B.(2,4) C.)161,41( D.)41,21( 5.n x x f =)(,若12)2('=f ，则n 等于（ ）A.3 B.4 C.5 D.66.下列各式正确的是（ ）（1）2'sin )cos (x x x x -= （2）x x e x e x x )12(])1[('2+=++ （3）222'2)1(22)12(+-=+x x x x （4）13'133)(++=x x e e A.(1)(2) B.(3)(4) C.(2)(3) D.(1)(4) 7.下列结论中正确的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.3(1)2ln =y ,则21'=y (2)21x y =,则272|3'-==x y (3)x y 2=,则2ln 2'x y = (4)x y 2log =,则2ln 1'x y = 8.下列函数中，在),0(+∞内为增函数的是（ ）A.x y sin =B.2xe y = C.x x y -=3 D.x x y -=ln 9.函数x x y ln 212-=的单调递减区间为（ ）A.(-1,1] B.(0,1] C.+∞,1[) D.),0(+∞ 10.设)(),(x g x f 在[a ，b]上可导，且)()(''x g x f >，则当b x a <<时，有（ ）A.)()(x g x f >B.)()(x g x f <C.)()()()(a f x g a g x f +>+D.)()()()(b f x g b g x f +>+11.0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x=1处有极值，则ab 的最大值等于（ ）A.2B.3C.6D.912.函数5)1(6)(23--++=x a x ax x f 有极值的充要条件是（ ）A.3-=a 或4=aB.43<<-aC.4>a 或3-<aD.R a ∈二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数b ax y +=2在点（1,3）处的切线斜率为2，则ba =_______________ 14.若函数1)(2++=x a x x f 在x=1处取极值，则a=_____________ 15.函数),0(,sin 25)(π∈++=x x x x f 的单调递增区间是_________16.函数x x x f ln 921)(2-=在[a-1，a+1]上存在极值点，则a 的取值范围是________ 三、解答题（17题10分，18到22题每题12分，共70分）17.求下列函数的导数（1）x x y sin 2= （2）x y tan =18.求下列函数的单调区间（1）x x y ln -= （2）x y 21=19.函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2），且在点M （-1，)1(-f ）处的切线方程为076=+-y x （1）求)(x f y =解析式 （2）求)(x f y =的单调区间20.已知4431)(3+-=x x x f （1）求函数的极值（2）求函数在区间[-3,4]上的最值 21.设a 为实数，函数a x x x x f +--=23)(（1）求)(x f 的极值（2）曲线)(x f y =与x 轴仅有一个交点，求a 的取值范围22.已知x e k x x f )()(-=（1）求)(x f 的单调区间（2）求)(x f 在区间[0,1]上的最小值。