专转本数学模拟试题与解析(一)

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试高等数学 模拟考试试题（一）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1. 当x →0时，函数e x -cosx-x 是x 2的（ ） A.低阶无穷小量 B.等价无穷小量C.高阶无穷小量D.同阶但非等价的无穷小量2.. 下列函数中，当x →0时是无穷小量的是（ ）A.f (x )=x x sinB.f (x )=x 1C.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥02x xx xD.f (x )=x1x)(1+3.、下列级数中，条件收敛的是（ ）. A. ∑∞=++12231n n n B. ()11nn ∞=-∑ C. ()11nn ∞=-∑21sin 1n n n ∞=+∑4. 下列函数在给定区间上满足罗尔中值定理条件的是（ ）A ．[]π,0,cos sin )(x x x f +=B ．[]1,0,1)(x x x f -=C ．[]e x x x f ,1,ln )(∈=D ．()=tan ,0,4f x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5. 曲线x 2=4-y 与x 轴所围图形的面积为（ ） A.⎰-202dx )x 4(2 B.⎰-202dx )x 4(C.⎰-2dy y 4D.2⎰-20dy y 46、直线34273x y z++==--与平面－２x-7y+3z=3的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 直线与平面斜交二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、21dz z y dy y+=的解的是 . 8、301lim(1)4xx x-→+= .9、设0()10,12,133x f x x x x ⎧≥⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪->-⎩ 则在x = 处, ()f x 不可导.10、z=,y x 122--则dz . 11、131(1x dx -+=⎰，12、用待定系数法求方程25sin 2xy y y e x '''-+=的通解时，特解*y 应设为 .三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、（1）计算011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. （2）求极限1lim(1)tan2x xx π→-14、计算dx x cos x cos 203⎰π-15、设()y y x =是由函数方程22ln()1x y x y +=+-在(0,1)处所确定的隐函数, 求y '及(0,1)|.dy16、计算120x x e dx⎰.17、求微分方程cos sin 1y x y x '+=满足01x y ==的特解.18、计算⎰⎰==+=D0y ,2y x ,x y D ,xydxdy 由其中围成的平面区域.19、求过点()1,2,1且与两直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩和200x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩都平行的平面方程.20、求复合函数2,y u f x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数，其中f 具有连续的二阶偏导数.求2u x y∂∂∂四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21、当0x >时，证明不等式)1lnx x +>五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22、计算二重积分：211y xdx e dy-⎰⎰.23、已知曲线：:C y =（1）求C 上一点()2,1处的切线L 的方程；（2）求,L C 与x轴所围平面图形A 的面积S ；（3）求A 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积yV .24、设函数()f x 连续, 且201(2)arctan .2xtf x t dt x -=⎰ 已知(1)1,f = 求21()f x dx ⎰的值.江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试高等数学 模拟考试试题（二）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、1lim sin 4n n n→∞=（ ）A.2B.41C.1D.21 2（1）() 07 0x e x f x x ⎧≠=⎨=⎩，则=→)x (f lim 0x ( )A.不存在B.∞C.0D.12（2）设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-1,0,)1(1x k x x x 连续，则k=( )A.e -1B.e +1C.e 0D.不存在3.当0x →时，2（1xe -）+x 2sinx1是x 的（ ） A.等价无穷小 B.同阶但不等价的无穷小 C.高阶无穷小 D.低阶无穷小4.当△x →0时，1cos x -∆与△x 相比，是( ) A.与△x 等价的无穷小量B.与△x 同阶(但不等价)的无穷小量C.比△x 低阶的无穷小量D.比△x 高阶的无穷小量5曲线y=x 3-1在点(-2，-9)的切线斜率k=( ) A.-9 B.7 C.12 D.-86.设函数f(x)在x 0可导，则=--+→h)h 2x (f )h 2x (f lim 000h （ ）A.)x (f 410'B. )x (f 210'C.)x (f 0'D.4)x (f 0'二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π>+π≤4x k x 224x x sin 在x=4π处可导，则k= 8、曲线2xy e -=在x = 处有拐点.9、设()21,0x x af t dt e x =->⎰，则()f x =.10、设→→→c b a ,,为单位向量，且满足0=++→→→c b a ，则=⋅+⋅+⋅→→→→→→a c c b b a .11、幂级数∑∞=⋅-12)1(n n nn x 的收敛区间为 .12、交换二次积分次序：()2220,y y dy f x y dx =⎰⎰.三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限xsin xsin tgx x lim 330x -+→.14、设函数()y y x =由参数方程()32ln 1x t t y t t⎧=-+⎨=+⎩所确定，求22d y dx .15、设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂。

专升本（高等数学一）模拟试卷60(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．＝( )A．一3B．1C．0D．3正确答案：D解析：(x2＋x＋1)＝3．2．若f(x一1)＝x2一2，则f′(x)等于( )A．2x＋2B．2x一1C．x(x＋1)D．x(x一1)正确答案：A解析：令x一1＝t，所以x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2一2＝t2＋2t一1，即f(x)＝x2十2x一1，f′(x)＝2x＋2．3．设函数f(x)＝，在x＝0连续，则k等于( ) A．1B．e－3C．e3D．0正确答案：C解析：由＝e3．4．2xexdx＝( )A．＋CB．＋CC．＋CD．2xex＋C正确答案：A解析：因为＋C(a＞0，a≠1)，所以＋C．5．设y＝x2一4x＋a，则点x＝2 ( )A．不为y的极值点B．为y的极小值点C．为y的极大值点D．是否为y的极值点与a有关正确答案：B解析：y′＝2x一4，令y′＝0，则x＝2，又因为当x＜2时，y′＜0；x ＞2时，y′＞O，所以x＝2为y的极小值点．6．设函数f(x)在[a，b]上连续，则曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的平面图形的面积等于( )A．f′(ξ)(b一a)(a＜ξ＜b)B．f(x)dxC．｜f(x)dx｜D．｜f(x)｜dx正确答案：D解析：当f(x)≥0时，面积A＝f(x)dx；当f(x)≤0时，面积A＝一[f(x)]dx ＝一f(x)dx；当x∈[a，c]时，f(x)≥0；当x∈[c，b]时，f(x)≤0，面积A＝A1＋A2＝f(x)dx—f(x)dx，综上，面积A＝｜f(x)｜dx．7．设f(x，y)＝x2sin 4y,则＝( )A．4x2COS 4yB．2xsin 4yC．2xcos 4yD．4x2sin 4y正确答案：B解析：＝2xsin 4y．8．方程x2＋3y2一z2＝0表示的二次曲面是( )A．椭球面B．旋转抛物面C．锥面D．柱面正确答案：C解析：锥面的标准方程为：＝0，所以方程x2＋3y2一z2＝0表示的二次曲面为锥面．9．微分方程y″＋2y′＋y＝0的通解为( )A．y＝(C1＋C2)exB．y＝(C1＋C2x)e－xC．y＝(C1＋C2x)exD．y＝(C1＋C2)e－x正确答案：B解析：微分方程的特征方程为r2＋2r＋1＝0，解得r＝一1，为二重根，由通解公式可知其通解为y＝(C1＋C2x)e－x．10．级数( )A．绝对收敛B．收敛C．收敛于D．发散正确答案：D解析：，其中发散，收敛，由级数的性质可知发散．填空题11．＝__________．正确答案：1解析：＝1．12．设f(x)＝且f(x)在x＝0处连续，则a＝__________．正确答案：4解析：(x2＋4)＝4＝f(0)＝a，所以a＝4．13．设Y＝f(x)在x＝0处可导，且x＝0为f(x)的极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为__________．正确答案：y＝f(0)解析：由题意可知，f′(0)＝0，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))的切线方程为：y 一f(0)＝f′(0)(x一0)＝0，所以y＝f(0)．14．设y＝，则y′＝___________．正确答案：解析：15．设f(2)＝2，f(x)dx＝1，则xf′(x)dx＝_________．正确答案：3解析：由分部积分公式有：f(x)dx＝2×2—1＝3．16．过点M0(2，－2，0)且与直线垂直的平面方程为__________．正确答案：3x—y＋z一8＝0解析：因为直线的方向向量s＝｛3，一1，1}，且平面与直线垂直，所以平面的法向量n＝｛3，一1，1｝．由点法式方程有平面方程为：3(x一2)一(y＋2)＋(z—0)＝0，即3x—y＋z一8＝0．17．dx＝__________．正确答案：解析：d(1＋x2)＝18．幂级数xn的收敛半径R为__________．正确答案：+∞解析：由＝0，所以级数的收敛半径R＝＋∞．19．微分方程y″一8y′＋16y＝0的通解是__________．正确答案：C1e4x＋C2xe4x解析：该微分方程的特征方程为：r2—8r＋16＝0，特征根为r＝4(二重)，所以通解为：y＝C1e4x＋C2xe4x20．设区域D＝｛(x，y)｜x2＋y2≤9｝，则5dxdy＝__________．正确答案：45π解析：5dxdy＝5dxdy＝5×π×32＝45π．解答题21．计算．正确答案：原式＝22．设f(x)＝，求f(x)在[1，3]上的最大值．正确答案：因为f′(x)＝一xe－x2，所以f(x)在[1，3]上单调递减，所以它的最大值是f(1)，而23．已知曲线y＝ax4＋bx3＋x2＋4在点(1，6)处与直线y＝11x一8相切，求a，b．正确答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6＝a＋b＋5，①再y′＝4ax3＋3bx2＋2x，且曲线在点(1，6)处与y＝11x一8相切，所以y′＝4a＋3b＋2＝11，②联立①②解得a＝6，b＝一5．24．求．正确答案：原式＝＋C．25．求y″＋6y′＋13y＝0的通解．正确答案：特征方程为r2＋6r＋13＝0，故r＝一3±2i为共轭复根，于是通解为y＝e－3x(C1cos 2x＋C2 sin 2x)．26．将函数y＝展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．正确答案：因为xn，x∈(－1，1)，所以3nxn，其中3x∈(一1，1)，即x ∈(一)．所以收敛区间为(一)．27．计算二重积分y2dxdy 其中D为曲线x＝y2＋1，直线x＝0，y＝0，y＝1所围成的区域．正确答案：如图所示，积分区域D＝｛(x，y)｜0≤Y≤1，0≤x≤y2＋1｝，所以28．求由曲线y＝3一x2，y＝2x与y轴所围成的平面图形的面积s，以及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Vx．正确答案：所给曲线围成的平面图形如图所示，记为D．由解得(舍掉)．则S＝Vx＝π[(3一x2)一(2x)2]dx＝π[9—6x2＋x4一4x2]dx ＝π(9－10x2＋x4)dx＝π(9x－。

浙江专升本（高等数学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．下列关于奇偶函数表述正确的是( )A．若f(x)，g(x)均为奇函数，则f(g(x))，g(f(x))均为奇函数．B．若f(x)，g(x)均为奇函数，则f(x)g(x)，(g(x)≠0)均为奇函数．C．若f(x)为奇函数、g(x)为偶函数，则f(g(x))，g(f(x))均为奇函数．D．若f(x)为奇函数、g(x)为偶函数，则f(x)＋g(x)，f(x)一g(x)均为奇函数．正确答案：A解析：由于f(x)，g(x)为奇函数，则有：f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)；因而：f(g(－x))＝f(－g(x))＝－f(g(x))；g(f(－x))＝g(－f(x))＝－g(f(x))故有：f(g(x))，g(f(x))为奇函数．2．设函数f(u)可导，y=f(x2)在自变量x＝一1处取得增量△x＝一0．1时，相应函数的增量△y的线性主部为0．1，则f′(1)＝( )A．一1B．0．1C．1D．0．5正确答案：B解析：由微分的定义可知，△y＝A.△x+o(△x)，其中A称为线性主部，A=0．1，且f′(1)=A，因此，选项B正确．3．下列选项正确的是( )A．(a.b)2＝a2b2B．(a×b)2＋(a.b)2＝a2b2C．如果a.b=0，a×c＝0，那么b.c＝0D．(a×a).a＝a×(a×a)正确答案：B解析：由数量积和向量积的定义可知选项A，D错误．B答案正确．对于选项C，如果a，b，c为零向量，结论就不成立．4．微分方程y″.一3(y′)8＝x6lnx的阶数是( )A．3B．5C．8D．6正确答案：A解析：微分方程阶数指的是微分方程中含有最高阶导数的阶数，易知y″.一3(y′)8=x6lnx属于三阶微分方程，可见选项A正确．5．下列四个命题正确的是( )A．若f′(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界C．若f′(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界D．若f(x)在(0，1)内有界，则f′(x)在(0，1)内有界正确答案：C解析：令f(x)=，则f(x)与f′(x)＝－都在(0，1)内连续，但f(x)在(0，1)内无界，所以排除选项A和B，又令f(x)＝，则f(x)在(0，1)内连续，但f′(x)＝在(0，1)内无界，所以排除选项D，因此，选项C正确．填空题6．设在x=0处连续，则a＝____________．正确答案：a=1解析：根据连续的定义f(x)=f(0)得到a=1．7．若=e4，则a＝____________．正确答案：a=2解析：据题意知=e6，所以3a=6,a=2．8．曲线f(x)=的拐点是____________．正确答案：解析：f′(x)=，且令f″(x)=0，得x=时，f″(x) 9．函数f(x)=e－t2dt(x＞0)的单调递增区间是___________．正确答案：(0，＋∞)解析：因为f′(x)=e－x2＞0，所以f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增．10．y=ln(sinx+10－x)，则dy＝____________．正确答案：解析：由微分和导数的关系知dy=y′dx=11．若f′(x)=f(x)，且f(0)=1，则f(x)＝____________．正确答案：ex解析：解可分离变量的微分方程=y可得y=Cex，然后将y(0)=1代入可得C=1，故f(x)=ex．12．dx＝____________．正确答案：arctanex+C解析：dex=arctanex＋C．13．函数y=sinx在x=0处的幂级数展开式中x2n的系数是___________．正确答案：0解析：sinx在x=0处展开sinx=，由此可知偶次幂的系数为0．14．直线=z与平面x+2y+3z=5的交点坐标是_____________．正确答案：(16，－13，5)解析：将直线方程化为，将此方程代入x+2y+3z=5得到：z=5，进一步计算得到x=16，y=－13，所以交点为(16，－13，5)．15．微分方程y″＋y=0的通解为___________．正确答案：C1cosx+C2sinx解析：特征方程为r2+1=0，解得特征根为虚根±i，因而其通解可写为y=C1cosx+C2sinx．解答题解答时应写出推理、演算步骤。

专升本（高等数学一）综合模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．极限等于( )A．eB．ebC．eabD．eab+b正确答案：C解析：由于，故选C。

知识模块：极限和连续2．在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示( )A．两个平面B．双曲柱面C．椭圆柱面D．圆柱面正确答案：A解析：由于所给曲面方程x2-4(y-1)2=0中不含z，可知所给曲面为柱面，但是由于所给方程可化为x2=4(y-1)2，进而可以化为x=2(y-1)与-z=2(y-1)，即x-2y+2=0，x+2y-2=0，为两个平面，故选A。

知识模块：空间解析几何3．级数是( )A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性不能判定正确答案：A解析：依前述判定级数绝对收敛与条件收敛的一般原则，常常先判定的收敛性，由于的p级数，知其为收敛级数，因此所给级数绝对收敛，故选A。

知识模块：无穷级数填空题4．若函数在x=0处连续，则a=________。

正确答案：-2解析：由于(无穷小量乘有界变量)，而f(0)=a+2，由于f(x)在x=0处连续，应有a+2=0，即a=-2。

知识模块：极限和连续5．若f’(x0)=1，f(x0)=0，则=________。

正确答案：-1解析：由于f’(x0)存在，且f(x0)=0，由导数的定义有知识模块：一元函数微分学6．设y=xe+ex+lnx+ee，则y’=________。

正确答案：y’=ee-1+ex+解析：由导数的基本公式及四则运算规则，有y’=ee-1+ex+。

知识模块：一元函数微分学7．曲线y=ex+x上点(0，1)处的切线方程为________。

正确答案：由曲线y=f(x)在其上点(x0，f(x0))的切线公式y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)，可知y-1=2(x-0)，即所求切线方程为y=2x+1。

解析：注意点(0，1)在曲线y=ex+x上，又y’=ex+1，因此y’|x=0=2。

江苏省普通高校专转本模拟试题及参考答案高等数学 试题卷一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分,共 32 分.在下列每小题中选出一个正确答 案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1. 要使函数21()(2)xx f x x −−=−在区间(0,2) 内连续，则应补充定义 f (1) =（ ）A. 2eB. 1e −C. eD. 2e − 2. 函数2sin ()(1)xf x x x =−的第一类间断点的个数为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 1 3. 设'()1f x =，则0(22)(22)limh f h f h h→−−+=（ ）A. 2−B. 2C. 4D. 4−4.设()F x 是函数()f x 的一个原函数，且()f x 可导，则下列等式正确的是（ ） A. ()()dF x f x c =+∫ B. ()()df x F x c =+∫ C.()()F x dx f x c =+∫ D.()()f x dx F x c =+∫5. 设2Dxdxdy =∫∫，其中222{(,)|,0}D x y x y R x =+≤>，则R 的值为（ ）A. 1B.D.6.下列级数中发散的是（ ）A 21sin n nn∞=∑. B. 11sin n n ∞=∑C. 1(1)nn ∞=−∑ D.211(1)sinnn n ∞=−∑ 7.若矩阵11312102A a −−= 的秩为2，则常数a 的值为（ ）A. 0B. 1C. 1−D. 28. 设1100001111111234D =−−，其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式，则3132M M +=（ ） A. 2− B. 2 C. 0 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 9. 1lim sinn n n→∞=____________________________.10.设函数2sin ,0()10,0xx f x x x ≠ =+ =，则'(0)f =______________________________________.11.设函数()cos 2f x x =, 则(2023)(0)f =__________________________________________. 12.若21ax e dx −∞=∫，则常数a =___________________________________.13. 若幂级数1nnn a x +∞=∑的收敛半径为2，则幂级数11(1)nn n x a +∞=−∑的收敛区间为__________________. 14.若向量组1(1,0,2,0)α=，2(1,0,0,2)α=，3(0,1,1,1)α=，4(2,1,,2)k α=线性相关，则k =_____________________________________.三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 15. 求极限22sin lim(cos 1)x x t tdtx x →−∫；16.求不定积分22x x e dx ∫；17.求定积分21sin 2x dx π−∫； 18.设函数(,)z z x y =由方程cos y x e xy yz xz =+++所确定的函数，求全微分dz . 19.求微分方程''4'5x y y y xe −−−=的通解； 20.求二重积分Bxydxdy ∫∫，其中D 为由曲线2(0)y x x ≥及直线2x y +=和y 轴所围成的平面闭区域；21.设矩阵A 与B 满足关系是2AB A B =+，其中301110014A= ，求矩阵B .22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解； 四、证明题（本大题10分）23.证明：当04x π−<<时，0sin xt e tdt x <∫.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=，且(0)0f =，求： （1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的单调区间和极值点.参考答案一、单项选择题1. B2. D3. D4. D5. B6. B7. A8. B9. C 二、填空题9. 1 10. 1 11. 0 12. 1ln 2213. (1,3)− 14. 4三、计算题15. 2232022250022sin sin 2sin()4lim lim 4lim (1cos )63()2x x x x x t tdt t tdt x x x x x x x →→→===−∫∫； 16. 2222222222222222222224x x x x x x x xxe e x e e e x e e e x e dx x x dx x dx x c =−=−+=−++∫∫∫；17.26206111sin (sin )(sin )22212x dx x dx x dx πππππ−=−+−−∫∫∫； 18. 因为sin sin ,,z zz x y zx y yz x x x x y x ∂∂∂−−−−=+++=∂∂∂+ 且0,y yz zz e x z e x z y x y yy y x∂∂∂−−−=++++=∂∂∂+ 所以可得sin y x y z e x zdzdx dy y x y x−−−−−−=+++. 19. 解：因为特征方程为2450r r −−=，特征值为125,1r r ==−，所以齐次微分方程''4'50y y y −−=的通解为5112x x y c e c e −=+； 设''4'5x y y y xe −−−=的一个特解为*()x y x ax b e −=+，可得11*()1236x y x x e −=−+，所以原方程的通解为：511211*()1236x x x y y y c e c e x x e −−=+=+−+.20. 由22y x x y =+= 可得交点坐标(11)，， 可得21116xBxydxdydx xydy ==∫∫∫∫； 21. 因为2AB A B =+，所以可得(2)A E B A −=，从而可得：1(2)B A E A −=−；又因1211(2)221111A E −−−−=−−− ，所以可得1522(2)432223B A E A −−− =−=−− − ； 22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解； 解：111361113611136101241513601012010120101212212031240011200112100120101200112−−−−−−→−→−→− −−−−−−− →− − 一个特解为2220 ，齐次线性方程组12341234123430530220x x x x x x x x x x x x ++−=−++= −+−= 的一组基础解系为：11111η= ，所以原方程组的通解为：123412121210x x c x x=+. 四、证明题 23.证明：当04x π−<<时，0sin xt e tdt x <∫.证明：令0()sin xt f x x e tdt =−∫，则有'()1sin x f x e x =−，令：''()sin cos 0x x f x e x e x =−−=，可得4x π=−，当04x π−<<，''()0f x <，所以当04x π−<<时，'()1sin x f x e x =−为递减函数，可得'()1sin '(0)1x f x e x f =−>=，所以当04x π−<<时，0()sin xt f x x e tdt =−∫为递增函数，因此可得：0()sin (0)0xt f x x e tdt f =−>=∫，从而可证得：0sin x t e tdt x <∫； 五、综合题 24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..解：x x y = ⇒ =，则图形面积为：20Aydx dx = 旋转体的体积：2222200022y V x dy ydy ππππ====∫∫； 25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=，且(0)0f =，求： （1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的单调区间和极值点. 解：（1）()()()1dxdxx x x f x e xe dx c e xe dx c x ce −−−−−∫∫=+=+=−++∫∫，又因为(0)0f =，所以可得：1c =−，即：()1x f x x e −=−+−； （2）令'()10x f x e −=−+=，可得0x =； x(,0)−∞ 0 (0,)+∞ '()f x −+因此可知：(,0)−∞为函数()1x f x x e −=−+−的递减区间，(0,)+∞为函数()1x f x x e −=−+−的递增区间，点(0,0)为函数()1x f x x e −=−+−的极小值点.。

河南省专升本（高等数学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数f(x)=的定义域为( )A．x≠0，x≠-3B．x&gt;0C．x&gt;-3D．x≥-3且x≠0正确答案：D解析：使函数有意义，需lg(4+x)≥0且x≠0，即4+x≥1且x≠0，所以x≥-3且x≠0．2．下列各对函数中相同的是( )A．y=，y=x+4B．y=，y=xC．y=lgx4，y=4lgxD．正确答案：D解析：对于A，第一个函数的定义域为x≠4，第二个函数的定义域为全体实数；对于B，第一个函数值域为y≥0，第二个函数值域为全体实数；对于C，第一个函数的定义域为x≠0，第二个函数的定义域为x＞0；对于D，两个函数的定义域、值域、对应法则都相同，所以选D.3．当x→∞时，f(x)=( )A．是无穷小量B．是无穷大量C．有界，但不是无穷小量D．无界，但不是无穷大量正确答案：A解析：当x→∞时，是无穷小量，而是有界变量，所以当x→∞时，f(x)=是无穷小量．4．f(x)=的第二类间断点个数为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：f(x)=有三个间断点，分别为-1，0，1，因为=∞，所以x=-1是垂直渐近线；又=0，所以x=1不是渐近线；又=-1，所以x=0不是渐近线；又因为=1，y=1是水平渐近线．5．设f(x)=在x=1处连续且可导，则a，b的值分别为( )A．a=-2，b=-1B．a=-2，b=1C．a=2，b=-1D．a=2，b=1正确答案：C解析：因为f(x)在x=1处连续，所以，所以a+b=1；又因f(x)在x=1处可导，所以，整理=2，利用洛必达法则得a=2，所以b=-1．6．下列函数在x=0处可导的是( )A．y=｜3sinx｜B．y=3lnxC．y=｜5x｜D．y=｜6cosx｜正确答案：D解析：对于D，从y=｜6cosx｜图象能看出在x=0处切线为y=6，所以y=｜6cosx｜在x=0处可导．7．下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：对于D，y=在[1，e]上连续，在(1，e)内可导，所以满足拉格朗日定理．8．y=x3(x-2)的拐点的个数为( )A．1B．2C．3D．无拐点正确答案：B解析：y’=3x2(x=2)+x3=4x3-6x2，y’’=12x2-12x=12x(x-1)，当x＜0时，y’’>0；当01时，y’’>0；所以(0，0)，(1，-1)为拐点．9．y=2+的渐近线( )A．只有水平渐近线B．只有垂直渐近线C．既有水平渐近线又有垂直渐近线D．无渐近线正确答案：C解析：因为=3，所以y=3为水平渐近线；又因=+∞，所以x=0为垂直渐近线．10．下列函数中是同一函数的原函数的是( )A．lgx3，lg3xB．arccosx，arcsinxC．sin2x，sin2xD．cos2x，2cos2x正确答案：D解析：同一个函数的原函数只相差一个常数，所以选D.11．设，且f(0)=1，则f(x)= ( )A．e3xB．e3x+1C．3e3xD．正确答案：A解析：对于，两边同时求导，得f(x)=f’(x)，整理得，=∫3dx，所以f(x)=Ce3x，又因为f(0)=1，所以C=1，即f(x)=e3x12．下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：对于D，，所以选D.13．设f(x)在[a，b]上连续，则f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积等于( )A．B．C．D．正确答案：D解析：根据定积分的几何意义，知应选D.14．直线与平面4x-2y-2z-3=0的位置关系是( ) A．直线与平面垂直B．直线与平行平面C．直线与平面斜交D．直线在平面内正确答案：B解析：直线的方向向量为={2，7，-3}，平面的法向量为=｛4，-2，-2}，因=2×4+7×(-2)+(-3)×(-2)=0，故这两个向量垂直，即直线与平面平行或重合，又直线过定点(-3，-4，0)不在平面上，所以直线与平面平行，故选B.15．方程x2+y2=3z2在空间直角坐标系下表示的是( )A．柱面B．椭球面C．圆锥面D．球面正确答案：C解析：根据二次曲面的特点知，x2+y2=3z2为圆锥面．16．= ( )A．2B．0C．∞D．-2正确答案：D解析：17．设z=xy，则dz｜(2,1)= ( )A．dx+dyB．dx+2ln2dyC．1+3ln2D．0正确答案：B解析：zx=yxy-1，zy=xylnx，所以dz=yxy-1x+xylnxdy，所以dz｜(2,1)=dx+2ln2dy．18．z=f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都存在，则( )A．z=f(x，y)在(x0，y0)处可微B．z=f(x，y)在(x0，y0)处连续C．z=f(x，y)在(x0，y0)处不连续D．和在(x0，y0)处是否连续无关正确答案：D解析：对于二元函数z=f(x，y)，偏导数在点(x0，y0)处存在与在该点处连续没有关系．19．y=ln(1+x2)的凸区间为( )A．(-∞，-1)B．(-1，1)C．(1，+∞)D．(-∞，-1)∪(1，+∞)正确答案：D解析：y’=，所以x＜-1或x＞120．(x0，y0)=0，(x0，y0)=0是函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极值的( )A．无关条件B．充分条件C．充要条件D．必要条件正确答案：A解析：根据二元函数极值的性质，知应选A.21．函数z=2x3-3y2-6x+6y+1的极值点为( )A．(1，1)B．(-1，1)C．(1，1)和(-1，1)D．(0，0)正确答案：B解析：令=6x2-6=0，=6-6y=0，得驻点为(1，1)，(-1，1)．设P(x，y)==72x，把点(1，1)代人P(x，y)，得P(1，1)=72>0，所以在点(1，1)处没有极值；又P(-1，1)=-72dxdy=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：区域D化为极坐标的形式得D：{(r，θ)｜0≤θ≤2π,0≤r≤3)，所以23．设I=f(x，y)dy，交换积分次序后，I=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：如第23题图所示，积分区域D还可表示为：{(x，y)｜0≤y≤4，≤x≤y｝，故积分，交换积分次序后为：I=，所以选A．24．设L由沿圆周x2+y2=2x的上半部分和x轴闭区域边界正方向围成，则∮L2exsinydx+(2excosy+x)dy= ( )A．πB．C．D．不存在正确答案：C解析：2exsinydx+(2excosy+x)dy=(2excosy+1-2excosy)dxdy=dxdy=25．若收敛，则下列级数必收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：例如，收敛，对于A，发散；对于B，发散；对于C，发散，所以选D.26．若a为常数，则级数( )A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性与a有关正确答案：A解析：，根据P级数的特点，因为绝对收敛，所以绝对收敛．27．下列级数中为条件收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：对于A，因=1，所以发散；对于B，因=∞，所以发散；对于C，因，根据P 级数的特点知该极数收敛，所以绝对收敛；对于D，发散，但收敛，所以为条件收敛．故选D．28．xy’’-2y’=x3+x的通解为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：令u=y’，则u’=y’’，原方程可化为u’-2.=x2+1，解得u=y’=x3-x+C1x2，两边积分得y=29．y’’+y=cosx的特解应设为( )A．x(acosx+bsinx)B．x2(acosx+bsinx)C．acosx+bsinxD．acosx正确答案：A解析：y’’+y=cosx化为标准形式为y’’+y=e0x(cosx+0.sinx)，其特解的形式为y’=xke0x(acosx+bsinx)，其齐次方程的特征方程为r2+1=0，解得r=0±i，又0+i是一个特征根，所以k=1，即特解应设为y’=x(acosx+bsinx)．30．y’’-6y’+8y=0的通解为( )A．C1e2xB．C1e4xC．C1e2x+C2e4xD．e2x+e4x正确答案：C解析：原方程的特征方稗为r2-6r+8=0．特征根为r1=4，r2=2．所以通解为y=C1e2x+C2e4x填空题31．设f(ex)=e2x+ex+1，则f(x+1)=________正确答案：x2+3x+3解析：令t=ex，f(t)=t2+t+1，从而f(x+1)=(x+1)2+(x+1)+1=x2+3x+3．32．设=6，则a=_________正确答案：-1解析：因x→0时，函数的分母以0为极限，从而要使极限为6，应使分子以0为极限，故1+a=0，即a=-1．33．设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则=______正确答案：1解析：方程两边对x求导，得(2x+y’)=3x2y+x3.y’+cosx，因当x=0时，y=1，故=cos0=1．34．曲线y=的渐近线有_________正确答案：y=0及x=-1解析：因=0，故曲线有水平渐近线y=0；又=∞，故曲线有垂直渐近线35．曲线y=xe3x的拐点坐标是__________正确答案：解析：因y’=e3x+x.3e3x=(1+3x)e3x，y’’=(6+9x)e3x，令y’’=0，得x=，且x＜时，y’’时，y’’>0，故曲线的拐点为36．设a={3．-2．1}，b={p．-4．-5}．已知a⊥b，则a×b=__________正确答案：｛14,14，-14｝解析：因a⊥b，于是有3×P+8-5=0，从而p=-1，即b={-1，-4，-5}，故a ×b==14i+14j-14k={14，14，-14}．37．设z=xexy，则=______正确答案：(2x+x2y)exy解析：因=exy+xyexy=(1+xy)exy．故=xexy+(1+xy)xexy=(2x+x2y)exy38．设曲线C：x2+y2=1取逆时针方向，则曲线积分=________ 正确答案：-2π解析：39．通解为y=C1ex+C2的二阶常系数齐次微分方程是________正确答案：y’’-y’=0解析：由题设知特征根为r1=0，r2=1，故特征方程为r2-r=0 所以该二阶常系数齐次微分方程为y’’-y’=0．40．幂级数的和函数s(x)=_________正确答案：x33e-x解析：=x3e-x 即和函数5(x)=x3e-x解答题解答时应写出推理、演算步骤。

专升本（高等数学一）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．当x→0时，无穷小x+sinx是比xA．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：因=2，所以选C。

2．设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的—个极小值，则等于A．一2B．0C．1D．2正确答案：B解析：因f(x)在x=x0处取得极值，且可导．于是f’(x0)=0．又3．设函数f(x)=，则f’(x)等于A．B．C．D．正确答案：C4．函数y=x-arctanx在(一∞，+∞)内A．单调增加B．单调减少C．不单调D．不连续正确答案：A解析：因y=x—arctanx，则y’=1一于是函数在(一∞，+∞)内单调增加．5．设∫f(x)dx=ex+C,则∫xf(1一x2)dx为A．B．C．D．正确答案：D解析：6．设ψ(x)=则ψ’(x)等于A．tanx2B．tanxC．sec2x2D．2xtanx2正确答案：D解析：因tantdt是复合函数，于是ψ’(x)=tanx2．2x=2xtanx2．7．下列反常积分收敛的A．B．C．D．正确答案：D解析：当p≤1时发散，p＞1时收敛，可知应选D.8．级数A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．无法确定敛散性正确答案：C解析：级数的通项为此级数为p级数．又因所以级数发散．9．方程x2+y2=R2表示的二次曲面是A．椭球面B．圆柱面C．圆锥面D．旋转抛物而正确答案：D解析：由方程特征知，方程x2+y2=R2表示的二次曲面是圆柱面．10．曲线A．有水平渐近线，无铅直渐近线B．无水平渐近线，有铅直渐近线C．既有水平渐近线，又有铅直渐近线D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线正确答案：C填空题11．函数F(x)=(x＞0)的单调递减区间是________．正确答案：解析：12．设f”(x)连续，正确答案：yf”(xy)+f’(x+y)+yf”(x+y)解析：13．设D是圆域x2+y2≤a2，则I=________．正确答案：0解析：用极坐标计算．14．设f(x)=ax3一6ax2+b在区间[一1，2]的最大值为2，最小值为一29，又知a＞0．则a，b的取值为_________．正确答案：解析：f’(x)=3ax2一12ax，f’(x)=0，则x=0或x=4．而x=4不在[一1．2]中，故舍去．f”(x)=6ax一12a，f”(0)=一12a．因为a＞0，所以f”(0)＜0，所以x=0是极值点．又因f(一1)=一a一6a+b=b一7a，f(0)=b，f(2)=8a一24a+b=b—16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．所以b一16a=一29，即16a=2+29=31．15．设曲线则该曲线的铅直渐近线为_______．正确答案：x=一1解析：16．当p_______时，级数收敛.正确答案：＞1解析：当p＞1时收敛，由比较判别法知p＞1时，17．求正确答案：解析：18．幂级数的收敛半径R=_______．正确答案：1解析：19．方程y”一2y’+5y=exsin2x的特解可没为y*=________．正确答案：xex(Asin2x+Bcos2x)解析：由特征方程为r2一2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x)．20．正确答案：解析：解答题21．确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点．正确答案：在(0，0)点，△＞0，所以(0，0)不是极值点．在(a，a)点，△＜0．且一6a＜0(a＞0)．故(a，a)是极大值点．22．正确答案：23．讨论级数的敛散性．正确答案：因所以级数收敛．24．正确答案：25．证明：ex＞1+x(x＞0)．正确答案：对F(x)=ex在[0，x]上使用拉格朗日中值定理得F(x)-F(0)=F’(ξ)x，0＜ξ＜x，因F’(ξ)=eξ＞1，即故ex＞x+1(x＞0)．26．设x＞0时f(x)可导，且满足f(x)=f(t)dt，求f(x)．正确答案：因f(x)=可导，在该式两边乘x得xf(x)=x+∫1xf(t)dt，两边对x求导得f(x)+xf’(x)=1+f(x)，则f(x)=lnx+C，再由x=1时．f(1)=1．得C=1，故f(x)=lnx+1．27．求方程y”-2y’+5y=ex的通解．正确答案：y”一2y’+5y=0的特征方程为r2一2r+5=0。