(完整)2018江苏专转本考试高等数学真题[含解析]

江苏省专转本⾼数真题及答案⾼等数学试题卷(⼆年级)注意事项：出卷⼈：江苏建筑⼤学-张源教授1、考⽣务必将密封线内的各项⽬及第 2页右下⾓的座位号填写清楚. 3、本试卷共8页，五⼤题24⼩题，满分150分，考试时间120分钟. ⼀、选择题(本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分) 1、极限 lim(2xsin 1 Sin 3x )=()x xA. 0B.2C.3D.52、设f (x)⼆2)sinx ,则函数f (x )的第⼀类间断点的个数为()|x|(x -4)'A. 0B.1C.2D.3133、设 f(x) =2x 2 -5x 2，则函数 f(x)()A.只有⼀个最⼤值B.只有⼀个极⼩值C.既有极⼤值⼜有极⼩值D.没有极值34、设z =ln(2x)-在点(1,1)处的全微分为()y1 1A. dx - 3dyB. dx 3dyC. ⼀ dx 3dyD. - dx - 3dy2 21 15、⼆次积分pdy.y f （x, y ）dx 在极坐标系下可化为（）sec'— 'sec jA. —4d ⼨ o f （「cos 〒，「sin ⼨）d 「B. —4d 丁 ? f （「cos 〒，「sin ⼨）「d 「&下列级数中条件收敛的是()⼆、填空题(本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，共24分)7要使函数f(x)=(1-2x )x 在点x=0处连续，则需补充定义f(0)= _________________ . 8、设函数 y = x （x 2 +2x +1）2 +e 2x ，贝⼙ y ⑺（0） = _______ .江苏省 2 0 12 年普通⾼校专转本选拔考试2、考⽣须⽤钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上, 答在草稿纸上⽆效. sec ? iC. o f （「cosd 「sin Jd 「D.4sec ?2d 丁 ? f （「cos ⼨,「sin ⼨）:?d "「TVXTnW ?、n9、设y =x x (x >0)，则函数y 的微分dy =.(1)函数f (x)的表达式;11、设反常积分［_e 」dx=q ，则常数a= ______________ . 12、幕级数￡上律(x -3)n 的收敛域为 __________________ :“⼆ n3 三、计算题(本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64 分)2x +2cosx —2 lim ⼚x 0x ln(1 x)2116、计算定积分"，-严.17、已知平⾯⼆通过M (1,2,3)与x 轴，求通过N(1,1,1)且与平⾯⼆平⾏，⼜与x 轴垂直的直线⽅程.18、设函数 “ f(x,xyr (x 2 y 2)，其中函数f 具有⼆阶连续偏导数，函数具有⼆阶连-2续导数，求⼀Zc^cy19、已知函数f(x)的⼀个原函数为xe x ，求微分⽅程丫 4/ 4^ f (x)的通解. 20、计算⼆重积分..ydxdy ，其中D 是由曲线y 「x-1，D四、综合题(本⼤题共2⼩题，每⼩题10分，共20分)21、在抛物线y =x 2(x 0)上求⼀点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平⾯图形的⾯积为2，并求该平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转体的体积.3x322、已知定义在(⽫，畑)上的可导函数f(x)满⾜⽅程xf(x)-4( f(t)dt=x 3-3，试求：10、设向量a,b 互相垂直，且= 3,^=2,,贝 U ^+2b13、求极限 14、设函数 y = y(x)由参数⽅程 xdty = t 2 2lnt所确定, 求鱼dx dx 2 °15、求不定积分 2x 1 J 2~cos x1直线T 及x 轴所围成的平⾯(2)函数f(x)的单调区间与极值;(3)曲线y= f(x)的凹凸区间与拐点.五、证明题(本⼤题共2⼩题，每⼩题9分，共18分)123、证明：当0 ： x ：： 1 时，arcsinx x x3.6⼗x0 g(t)dt g(x)24、设f(x)⼀2—XHO，其中函数g(x)在(⽫,母)上连续，且lim g(x⼃=3证x T1—COSX卫(0) x = 01明：函数f (x)在X = 0处可导，且f (0)⼔.⼀. 选择题1-5BCCABD⼆. 填空题7-12e°128x n(1 ln x)dx5ln 2 (0,6]13求极限x m0 2x 2 cos x - 216、计算定积分 ----------- dx .1x ? 2x T13 t -^dt ⼆21 1 ：; t2 1 t2dt =2arctant 1 t2原式=x叫x2 2 cos x -2 2x—2si nx=limx_0x—sin x3= lim4x3 x刃2x314、设函数y = y(x)由参数⽅程所确定，求2』=t +21 nt dydxd2ydx2原式号dx dydtdx2t -t12td2y_d燈)dtdx2t2 dt t2dx2dxdtt2115、求不定积分2x 12dx. cos x2x 1原式=i'2■ dx ' cosx ⼆(2x 1)d tanx ⼆(2x 1) tanx - tanxd(2x 1) 原式=令.2x -1 “，则原式=.?? 32(1)函数f (x)的表达式;17、已知平⾯⼆通过M (1,2,3)与x 轴，求通过N(1,1,1)且与平⾯⼆平⾏，⼜与x 轴垂直的直线⽅程.解：平⾯⼆的法向量n -OM 「=(0,3,⼀2)，直线⽅向向量为S = n "「= (0,-2,-3),直线⽅程：x -1 y -1 z -10 ⼀ -2 ⼀ -3 18、设函数z ⼆f(x,xy^ (x 2 y 2)，其中函数f 具有⼆阶连续偏导数，函数具有⼆阶连Z =f i f 2 y 2x ' zf i2 x f 2 xyf 22 2x 2y : .x :x.y19、已知函数f (x)的⼀个原函数为xe x ，求微分⽅程y” ? 4y ' 4y = f (x)的通解. 解：f (x) = (xe x ^ = (x 1)e x ，先求 y ” ? 4y ' 4y =0 的通解，特征⽅程：r 2 ? 4r *4 = 0,h 、2 = -2，齐次⽅程的通解为Y =(G C 2X )e'x .令特解为y =(Ax B)e x ，代⼊原⽅程9Ax 6A 9^x 1，有待定系数法得:__ 120、计算⼆重积分i iydxdy ，其中D 是由曲线y = ：x-1，直线y= —x 及x 轴所围成的平⾯D 2闭区域.原式=ydy 丫 dx 1.j 0'2y12四. 综合题21、在抛物线y =x 2(x 0)上求⼀点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平⾯图形的⾯积为2，并求该平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转体的体积. 3 解：设 P 点(x 0，x ° )(x 0 0)，则 k 切=2x °，切线：，y - x ° = 2x 0(x- x °)续导数，求；2z解:9A=1QA+9B =1解得* A 」9 -1，所以通解为丫"6)⼧(討?2x/即，y +x ° =2x °x ，由题意((y x^ 2x 0s y)dy =⼻，得 X0 = 2，P(2,4)(2)函数f(x)的单调区间与极值;(3)曲线—f(x)的凹凸区间与拐点.x解：(1)已知 xf(x)-4 4 f (t)dt =X 3 -3两边同时对 x 求导得：f (X )? x 「(x)-4f(x) =3x 2 3即.y" — -y=3x 则 y = —3x 2+cx 3 由题意得：f(1)=—2， c=1，贝U f(x)=—3x 2 + x 3 ■ x ' (2) f (x) =3x 2 -6x = 0,论=0,x 2 = 2 列表讨论得在(-⼆,0) (2,：：)单调递增，在(0,2)单调递减。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B ⋂=________．【答案】{1，8}.【解析】分析：根据交集定义{}A B x x A x B 且⋂=∈∈求结果.详解：由题设和交集的定义可知：{}1,8A B ⋂=.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为i 12i z ⋅=+，则12i 2i iz +==-，则z 的实部为2. 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b R ∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90.【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为8989909191，，，，，故平均数为89+89+90+91+91905=. 点睛：12,,,n x x x L 的平均数为12n x x x n+++L .4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.5.函数()f x =________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞. 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】3.10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3.10点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7.已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________． 【答案】6π-. 【解析】 分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+；(2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.8.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________． 【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,b y x a =±即0bx ay ±=,bc b c ==所以2b c =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e == 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．【答案】2 【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22f f f =-=-=-+=因此1π2((15))()cos .242f f f === 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】 分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，2，，所以该多面体的体积为21421(2).33⨯⨯⨯= 点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11.若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．【答案】3-.【解析】分析：先结合三次函数图象确定在(0,)+∞上有且仅有一个零点的条件，求出参数a ,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由()2620f x x ax '=-=得0,3a x x ==，因为函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，因此322()()10, 3.33a a a a -+==从而函数()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以()max ()0,f x f ={}min ()min (1),(1)(1)f x f f f =-=-，max min ()()f x f x +=()0+(1)14 3.f f -=-=- 点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v ，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ， 由0AB CD ⋅=u u u v u u u v 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+= 当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14.已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}n B x x n N ==∈．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设=2k n a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++L L()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m L L =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >.由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,2,n n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数），符号型（如2(1)n n a n =-），周期型（如πsin 3n n a =）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4 •作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5 •如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：锥体的体积Y 其中药是锥体的底面积，h是锥体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合A｛叩丄已，pi」血約，那么MU__________________ .【答案】｛1 , 8｝【解析】分析：根据交集定义■- : ：■- - . \ ：-\ ■ - .求结果•详解：由题设和交集的定义可知：点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小2. 若复数/满足I ■ z M2：，其中i是虚数单位，则z的实部为___________ .【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果1 +2i详解：因为id 1+匸，—:—-2 L,则2的实部为2.I点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数a亠hLfAbER.｝的实部为乩、虚部为tv模为（齐总、对应点为d共轭复数为乞-呼.•3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为9 011（第\题）【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数详解：由苹叶图可知t 5位裁判打出的分数分别为89.90,91,91 ,故平均数为B9 - S9 + 90 + 91 + 91-------- ------------- = 90□be + 3C + + xJ点睛：的平均数为n4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ________ .I ------------------------- 1”1!I I門![While 7<6 ；:I十2；:S—2S ；；End While ；；Print S \…〔第WW…【答案】8【解析】分析：先判断i■:二T是否成立，若成立，再计算 .，若不成立，结束循环，输出结果•详解：由伪代码可得■红7总-4 因为，所以结束循环，输出=二|点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小5. 函数2屮曾'的定义域为 _______________ .【答案】［2, +R)【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域详解：要使函数「(川有意义，则log2x 110,解得X-2,即函数的定义域为［工点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为【答案】10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率•详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为10点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1) 列举法•(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求采用树状图法••对于基本事件有有序”与无序”区别的题目，常(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化⑷排列组合法(理科)：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目7.已知函数y ■- sin(2x + < P --的图象关于直线对称，则T的值是【答案】【解析】分析：由对称轴得qj - --4 k<k € Z)，再根据限制范围求结果•详解：由题意可得:1，所以2 兀丸n +甲■ ■十上旺(p - ― + kz(k毛Z)，因为-、 2 6北...-，所以：.点睛：函数厂加诚曲IB (A>0, 3>0 )的性质：(彷唤-2 乞沁厂八I B；(2)最小正周期I(!)冗朮;(3)由厨為I业■，+求对称轴；(4)由斥+ ］也冬3咒+屮冬；斗求增区间；2 223x兀JX 、由_ + 2kjt ——■+ 2kx(k € £.i求减区间•8.在平面直角坐标系中，若双曲线-=iu >o)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_________ •【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率详解:因为双曲线的焦点F(c.O)到渐近线y = ± :热即bx ±av= 0的距离为聲寻=7= 0所以b = yc ,因此『=c2-b? = c2-|c?= f a = ^c#e = 2.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b,焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为 a.(cos—,0 < x < 2,9.函数［侃满足+ 4) - «x.KxeR)，且在区间(W］上，f(刃二：贝他⑸)的值为|x - - 2 <x< 0h【答案】2【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果•详解：由、•门2得函数世対的周期为4，所以I.讥iH) F I L - \ '，因此.. .1 兀 Qt(f(l5)) = f(^) = cos- = —点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现|；m：的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围•10.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 _______________ •（第10®）【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，| l r 4所以该多面体的体积为2 —1、〔a -点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.若函数I： . . I ：：_:在•内有且只有一个零点，则：在|上的最大值与最小值的和为【答案】-【解析】分析：先结合三次函数图象确定在隐-閱上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由- 0得—0^ ■:,因为函数啦•在0亠「珂上有且仅有一个零点且f(0)］,所以一品从而函数須在［上单调递增，在［H'J上单调递减，所以轨《.阿躯也・曲诃［-1)血)}7可，附心+姻)丄・| D- 1-4--3.点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件•从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.12. 在平面直角坐标系中，A为直线族■:制上在第一象限内的点，|哄淇；|，以AB为直径的圆C与直线I交于另一点D •若AB 00 = (',则点A的横坐标为_____________ •【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果亂+ 5详解：设|A(aJa)(a >0),则由圆心C为.中点得C(——Q易得|OC.(x-5)(x a)-hyiy-2a) o|,与y■■毀联立解 2得点D的横坐标£ - I」所以疥、聞.所以p I厂遊颅上J上二2-克| £1 + 5 r由.输■ CD = 0得15-a)( 1—-—) + (^2aX2_a) - 0用^2a 3 ■ 0,a ■ 3或a ■ - 1 ,因为Im】，所以£ - |点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法•13. 在|二阳也:中，角km所对的边分别为k"l，m m •心:的平分线交于点D，且.m，则碾::的最小值为__________ •【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值详解：由题意可知，渝込-仏加口+ S ABCL,由角平分线性质和三角形面积公式得ncsinl 20" - ■ I - + 1sin60°，化简得ac " a + + - = I ,因此|2 2 2 A c] [ (T 4a |cWa + c = (4a + + -) = 5-i >5 + 2 h1— - 9,a c a. c * e当且仅当匚J.i 2时取等号，则！(.的最小值为目.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中正”即条件要求中字母为正数卜定”不等式的另一边必须为定值)、等”等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合A ■仪恢■ 2n—l,n €N }, B ■凶％■ E N } •将AUB(的所有兀素从小到大依次排列构成一个数列何J.记S：为数列他丿的前n项和，则使得S n> I2a-—成立的n的最小值为_____________ •【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，贝U -Q- i —w十--十住芒--：；■]占+ 十2(1-右_ 尹七小_22 1-2由驚》也.十]得尹'+ 屮"012(21£+]人少¥-20(2* \T4AQ210 l> ：\k>6所以只需研究是否有满足条件的解，此时\ = [(21-1)十(2 V—I)十…十门叶打]十十于十…十刃[J + f 2, %+1-加+ 1 , m为等差数列项数，且序-化由' ‘I !- 1. ■' r- I ■得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.15.在平行六面体 I ' ■- \1'_' J .中, 一"；I '求证：（1） d 訂..\： （2）平面1 平面AiBC . 【答案】答案见解析【解析】分析：（1 ）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB I A I ，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后 根据面面垂直判定定理得结论 详解：证明：（1）在平行六面体 ABCD-A I B I C I D I 中，AB // A I B I .因为 AB 平面 A 1B 1C , A 1B 1；平面 A 1B 1C , 所以AB //平面A 1B 1C .见类型主要有分段型（如如需需蠶），符号型（如备十曲），周期型（如埠喑）（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA I=AB，所以四边形ABB i A i为菱形,因此AB i丄A I B .又因为AB i 丄B i C i, BC // B1C1,所以AB i丄BC.又因为A I B Q BC=B, A I B平面A i BC, BC 平面A i BC,所以AB i丄平面A i BC .因为AB i ：二平面ABB i A i,所以平面ABB i A i丄平面A i BC.点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明i6.已知为锐角，，^3 5(i)求卜芯领的值；(2 )求• 的值.°7【答案】(i) ■加osPT -25lan2a-tan(tt + B) 2(2)1 + un2atan(<i 十卩) 11【解析】分析：先根据同角三角函数关系得帚抄』，再根据二倍角余弦公式得结果;公式得，再利用两角差的正切公式得结果(2)因为k加为锐角，所以(■: -：-又因为costa+ p）= - ，所以$in（a + p）= Ji - 卩）因此"U42Lum 24因lana，所以un2a 、-(2)先根据二倍角正切详解：解:4sina tana ，t^na3COS<1因为ccsTi 1，所以因此，3曲"■烷(i)因为，所以3 1 - tan3a 丁因此,tan2a - Un（a + 阳 2吨邛）-网"3卩）］■门融亦卩1 5点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 配凑”.(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦”、升幕与降幕”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有: 换”、逆用变用公式”、通分约分”、分解与组合”、配方与平方”等• 17.某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆0的一段圆弧if ( P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已 知圆0的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米•现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地 块形状为矩形 ABCD ，大棚H 内的地块形状为 HF ,要求卢制均在线段上,均在圆弧上.设 0C 与MN 所成的角为耳(第门题)(1 )用卜分别表示矩形 忙益时和■■■■■■ 的面积，并确定林嗟的取值范围； (2)若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚n 内种植乙种蔬菜， 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为岂胡.求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【答案】 (1)矩形ABCD 的面积为800 (4sin 9cos &+cos B)平方米，△ CDP 的面积为【解析】分析：(1)先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定阪的取值范围；(2)根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根 据单调性确定函数最值取法 •常值代1600 (cos B —in 0cos 9) , sin 1) (2)当详解:解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN，所以OH=10.过O 作OE 丄BC 于E，贝U OE // MN，所以/ COE= 0,故OE=40cos 0 EC=40sin 0,则矩形ABCD 的面积为2><4Ocos0( 40sin0+1O) =800 (4sin 0cos 0+cos 0), △ CDP 的面积为1X2 X40cos 0 (40 -40sin 0) =1600 (cos 0-sin 0cos 0).过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .I gr令/ GOK= 0,则sin 0= , (0,).4 6r兀当0€ [ 0,-)时，才能作出满足条件的矩形ABCD ,所以sin0的取值范围是[,1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin0cos 0+cos 0平方米，△ CDP的面积为11600 (cos 0-in 0cos 0) , si n0 的取值范围是[,1).]4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k (k>0),则年总产值为4k >800 (4si n0cos0+cos0) +3kX1600 (cos 0-si n 0cos 0)=8000k (sin 0cos 0+cos 0) , 0€ [ 00,).设 f ( 0) = sin 0cos0+cos 0, 0€[ 0, “)，则卜覚=「屣憑-涂蛙理心=-划用2心H=-加z -斗ii：兀令f⑹0,得0-,当0€ ( 0,)时，，所以f ( 0)为增函数；当0€ (,)时,]；;/：*所以f ( 0)为减函数，因此，当0=时，f ( 0)取到最大值.p7C答：当匸时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题•18. 如图，在平面直角坐标系koy中，椭圆C过点屁',焦点F1(曲切皿新0)，圆O的直径为F』』.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线I与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线I与椭圆C交于两点.若的面积为工，求直线I的方程.7i【答案】（1）椭圆C的方程为- +［；圆O的方程为耳（2）①点P的坐标为；②直线I的方程为］；•=,【解析】分析：（1 ）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得即得椭圆方程；（2 ）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标•第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程•详解：解：（1 ）因为椭圆C的焦点为.：•，所以a2 4b2，解得a" - ~ 3,因此，椭圆C的方程为F十严=1・因为圆O的直径为儿叫，所以其方程为宀 f（2）①设直线I与圆O相切于，则，%所以直线1的方程为V =-上& -心+ y0，y=-—X +a,b,可设椭圆C的’-一=l(a ■' b ■■■ O'.又点『b2（黒）在椭圆C上,点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用+ - ?帰 + 36 - 4y 02 0-（ *） 因为直线I 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以鸟=.羽叼卩-4（%' yf ）（茹_ %?）=地代J ・2） = o| • 因为陥％ - °，所以鮭■百矿】•因此，点P 的坐标为匕：.办『②因为三角形OAB 的面积为•，所以丄需■设卜念「■.； ：/：•.：「：： 由（* ）得2% 士（4%丫好 一2）2（吋+泊所以总”广=十：_“「因为 所以解得(^2^)2 49,5瓜■:血-20舍去），则yf ［，因此P 的坐标为 »）设而不求”思想求解;由综上，直线I 的方程为因此，f (x )与g (x )不存在“ S ”点.(2)函数『3I TTK则 fCx) -2ax, g R (x)--.x设 x o 为 f (x )与 g (x )的“ S'点，由 f (x o )与 g (x o )且 f ' (x o )与 g (x o ),得，即得 Inxo---甘八则1 ea . --------- ■ ■T1 2 2(/ ¥当垃■时,--=、满足方程组(*),即k 为f ( X )与g (X )的“ s’点. ^0芒因此，a 的值为I二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的 情况•19•记分别为函数f(x).g(x)的导函数.若存在K ,满足Rg 以血且l (K 』・g 〔加，则称为函数「(X ) 与|券:的一个“ S 点”. (1)证明：函数血r.与 不存在“ S 点”；(2) 若函数- ax 3-l.与Inx 存在“ S 点”，求实数a 的值；(3) 已知函数”闆■」缸，皐代^骂. 对任意a *0,判断是否存在b >0 ,使函数心)与g (心在区间(0*亠上)内x 存在“ S 点”，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) a 的值为(3)对任意a>0，存在b>0，使函数f (x )与g (x )在区间(0, +8)内存在“ S 点” 【解析】分析：(1 )根据题中S 点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论； (2)同(1)根据S 点的定义列两个方程，解方程组可得 a 的值；(3)通过构造函数以及结合S 点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论 •详解：解：(1)函数 f (x ) =x , g (x ) =x 2+2x-2，贝V f' (x ) =1 , g' (x ) =2x+2 .由 f (x ) =g (x )且 f' (x ) = g' (x ),得(x = X' + 2x - 2 (1 = 2x + 2 ，此方程组无解,(3)对任意 a>0，设+乩.因为1. j I |.L _ 1.，且h (x )的图象是不间断的,be" f(x) = - x 2 + a . g(x)=——由 f (x )与 g (x )且 f' (x )与 g' (x )，得be -+ a -——Xbe y (x - 1)所以存在(0, 1),使得h(%) 0,令匕=，则 b>0.函数 则 f(x) = - 2x ,, g'lx}be\x - 1 j，即(** )此时, 满足方程组(** ),即是函数f (x )与g (x )在区间(0, 1)内的一个"S 点”因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f (x )与g (x )在区间(0, +〜内存在"S 点” 点睛: 涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单 调性、 最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底 还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路 20.设卜丿是首项为 ，公差为d 的等差数列，|代是首项为，公比为q 的等比数列. (1)设」.j2,若％ bjub ］对：i 12〃均成立，求d 的取值范围;(2)若 =b 1>0,m€N".c]G(l.V -l，证明：存在乙；K ，使得'"r - 对-I 均成立，并求旧的取 值范围(用％ E 兀表示).【答案】(1) d 的取值范围为 D与2(2) d 的取值范围为MEM 0------- •—I m m,证明见解析。

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是 （ ）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （ ）A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （ ）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctan π+++=xx y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学1. 已知集合，，那么__________.2. 若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的实部为__________.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为______.5. 函数的定义域为__________.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为__________.8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是__________.9. 函数满足，且在区间上，，则的值为__________.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________.12. 在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点若，则点A的横坐标为__________. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为__________.14. 已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为______.15. 在平行六面体中，，求证：平面；平面平面16. 已知，为锐角，，求的值；求的值．17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧为此圆弧的中点和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为用分别表示矩形ABCD和的面积，并确定的取值范围；若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点，，圆O的直径为求椭圆C及圆O的方程；设直线l与圆O相切于第一象限内的点①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若的面积为，求直线l的方程．19. 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．证明：函数与不存在“S点”；若函数与存在“S点”，求实数a的值；已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．设，，，若对，2，3，4均成立，求d的取值范围；若，，证明：存在，使得对，3，…，均成立，并求d的取值范围用，m，q表示21. 如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为若，求BC的长．22. 已知矩阵求A的逆矩阵；若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．23. 在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．24. 若x，y，z为实数，且，求的最小值．25. 如图，正三棱柱中，，点P，Q分别为，BC的中点．求异面直线BP与所成角的余弦值；求直线与平面所成角的正弦值．26. 设，对1，2，……，n的一个排列……，如果当时，有，则称是排列……的一个逆序，排列……的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序，，则排列231的逆序数为记为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．求，的值；求的表达式用n表示答案和解析1.【答案】【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．本题考查交集及其运算，属于基础题．【解答】解：，，，故答案为：2.【答案】2【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得，的实部为故答案为：3.【答案】90【解析】【分析】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为故答案为：4.【答案】8【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属基础题.【解答】解：模拟程序的运行过程如下；，，，，，，，，此时不满足循环条件，则输出故答案为：5.【答案】【解析】【分析】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：，解得：，函数的定义域是故答案为：6.【答案】【解析】【分析】本题考查了古典概率的问题，属于基础题．设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可.【解答】解：设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率，故答案为：7.【答案】【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：的图象关于直线对称，，，即，，，当时，，故答案为：8.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，可得：，可得，即，所以双曲线的离心率为：故答案为：9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由得函数是周期为4的周期函数，则，，即，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题．将多面体看做两个正四棱锥，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的体积为故答案为11.【答案】【解析】【分析】解：，，①当时，，函数在上单调递增，，在上没有零点，舍去；②当时，的解为，在上递减，在递增，又只有一个零点，，解得，则，，，的解集为，在上递增，在上递减，，，，，，在上的最大值与最小值的和为：【解答】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．推导出，，当时，，，在上没有零点；当时，的解为，在上递减，在递增，由只有一个零点，解得，从而，，，利用导数性质能求出在上的最大值与最小值的和．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．设，，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合求得a值得答案．【解答】解：设，，，，则圆C的方程为联立，解得解得：或又，即A的横坐标为故答案为：13.【答案】9【解析】【分析】本题主要考查三角形的面积公式与基本不等式的应用．根据面积关系建立条件等式，结合基本不等式利用1的代换的方法进行求解即可．【解答】解：由题意得，即，得，得，当且仅当，即，亦即，时，取等号，故答案为：14.【答案】27【解析】【分析】本题考查数列的递推关系以及数列的分组转化求和，属于拔高题.根据题意说明当，时不符合题意，当时，，符合题意，求出n的最小值. 【解答】解：集合A是由所有正奇数组成的集合，集合B是由组成的集合，所有的正奇数与按照从小到大的顺序排列构成，在数列中，前面有16个正奇数，即，当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，，，不符合题意；当时，，，，符合题意．故使得成立的n的最小值为故答案为：15.【答案】证明：平行六面体中，，又平面平面；得平面；在平行六面体中，，得四边形是菱形，在平行六面体中，，又，平面，平面得面，且平面平面平面【解析】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．由平面；可得四边形是菱形，，由面，平面平面16.【答案】解：由，解得，；由得，，则，，，则【解析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题．由已知结合平方关系求得，的值，再由倍角公式得的值；由求得，再由求得，利用，展开两角差的正切求解．17.【答案】解：，，当B、N重合时，最小，此时；当C、P重合时，最大，此时，的取值范围是；设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则，其中；设，则；令，解得，此时，；当时，，单调递增；当时，，单调递减；时，取得最大值，即总产值y最大．【解析】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是较难题．根据图形计算矩形ABCD和的面积，求出的取值范围；根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数，利用导数求的最大值，即可得出为何值时年总产值最大．18.【答案】解：由题意可设椭圆方程为，焦点，，椭圆C过点，，又，解得，椭圆C的方程为：，圆O的方程为：①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，可设直线l的方程为，由圆心到直线l的距离等于圆半径，可得，即由，可得，，可得，，结合，，解得，将，代入，可得，解得，，故点P的坐标为②设，，由联立直线与椭圆方程得，，O到直线l的距离，，的面积为，解得，正值舍去，直线l的方程为【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于较难题．由题意可得，，又，解得，，即可得到椭圆C的方程和圆O的方程；①可设直线l的方程为，，可得，即，由，可得，，解得，，进而可得P点坐标；②设，，联立直线与椭圆方程得，根据弦长公式和点到直线得距离公式可解得，正值舍去，，即可得到直线方程.19.【答案】解：证明：，，则由定义得，得方程无解，则与不存在“S点”；，，，由得，得，，得；，，，由，假设，得，得，由，得，得，令，，设，，则，，得，又的图象在上不间断，则在上有零点，则在上有零点，则存在，使与在区间内存在“S”点．【解析】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；根据“S点”的定义解两个方程即可；分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．20.【答案】解：由题意可知对任意，2，3，4均成立，，，，解得即且对，3，…，均成立，，…，，即，…，，…，，，…，，又，…，，存在，使得对，3，…，均成立当时，，设，则，…，，设，，单调递增，，设，且设，则，，，，在上恒成立，即单调递减，又，，对…，均成立，数列，…，单调递减，的最大值为，的最小值为，的取值范围是【解析】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．21.【答案】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以因为圆O的半径为2，，所以，，所以，所以，所以为等边三角形，所以【解析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断是等边三角形，BC的长．本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．22.【答案】解：矩阵，，所以A可逆，从而：A的逆矩阵设，则，所以，因此点P的坐标为【解析】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．矩阵，求出，A可逆，然后求解A的逆矩阵设，通过，求出，即可得到点P的坐标．23.【答案】解：曲线C的方程为，，，曲线C是圆心为，半径为得圆．直线l的方程为，，直线l的普通方程为：圆心C到直线l的距离为，直线l被曲线C截得的弦长为【解析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．24.【答案】解：由柯西不等式得，，是当且仅当时，不等式取等号，此时，，，的最小值为4【解析】本题主要考查求的最值，利用柯西不等式是解决本题的关键．根据柯西不等式进行证明即可．25.【答案】解：如图，在正三棱柱中，设AC，的中点分别为O，，则，，，故以为基底，建立空间直角坐标系，，，，，，，点P为的中点．，，异面直线BP与所成角的余弦值为；为BC的中点．，，设平面的一个法向量为，由，可取，设直线与平面所成角的正弦值为，，直线与平面所成角的正弦值为【解析】本题考查了异面直线所成角，直线与平面所成角，向量法求空间角，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．设AC，的中点分别为O，，以为基底，建立空间直角坐标系，由可得异面直线BP与所成角的余弦值；求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的正弦值为，可得，即可得直线与平面所成角的正弦值．26.【答案】解：记为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有，，，，，，，，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，；对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，当时，……因此，当时，【解析】由题意直接求得的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得的值；对一般的的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得，则当时，…，则的表达式可求．本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。

2018年江苏省普通高校“专转本”统一考试一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、当0x →时，下列无穷小与()2sin f x x x =同阶的是 （ )A.2cos 1x -1 C. 31x - D 。

()3211x +- 2、设函数2()x a f x x x b-=++，若1x =为其可去间断点，则常数a ，b 的值分别为 ( ) A 。

1,2- B 。

1,2- C 。

1,2-- D. 1,23、设1()1x f x x ϕ-⎛⎫= ⎪+⎝⎭,其中()x ϕ为可导函数，且()13ϕ'=，则()0f '等于 ( ） A.6- B 。

6 C.3- D. 34、设()2x F x e =是函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx '=⎰ （ ） A. 2112x e x C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ B. ()221x e x C -+ C. 2112x e x C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D. ()221x e x C ++ 5、下列反常积分发散的是（ )A 。

0x e dx -∞⎰B 。

311dx x +∞⎰C 。

211dx x +∞-∞+⎰D 。

011dx x+∞+⎰ 6、下列级数中绝对收敛的是( )A. 1n n ∞=∑()1121nn n ∞=+-∑ C. 21sin n n n ∞=∑ D 。

31(3)n n n ∞=-∑ 二、填空题（本大题共6小题,每小题4分，共24分）7设()102lim 1lim sin x x x ax x x→→∞+=,则常数a =_________． 8、设函数()0y x =>，则y '=____________．9、设(),z z x y =是由方程21z xyz +=所确定的函数,则z x ∂=∂___________． 10、曲线43234612y x x x x =+--的凸区间为___________．11、已知空间三点()1,1,1M ，()1,1,0A ，()2,1,2B ，则AMB ∠的大小为__________．12、幂级数1(4)5nn n x n ∞=+∑的收敛域为____________．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、求极限()22011lim ln 1x x x →⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦． 14、设函数)(x y y =由参数方程323101x xt t y t t ⎧-+-=⎪⎨=++⎪⎩所确定,求0t dy dx =． 15、求不定积分． 16、计算定积分()2121ln x xdx +⎰ ．17、求通过点()1,2,3M 及直线131415x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩的平面方程．18、求微分方程()323220y x y dx x dy -+=的通解． 19、设,x z xf y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数具有一阶连续偏导数，求全微分dz ．20、计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，其中()(){}22,11,0D x y x y y x =-+≤≤≤． 四、证明题(本大题共2小题，每小题9分，共18分）21、证明：当0x >时，ln x ≤ 22、设0()0()00x f t dt x F x x x⎧⎪≠=⎨⎪⎩⎰ ＝，其中函数()f x 在),(+∞-∞上连续，且0()lim 1x f x x →=，证明：()F x '在点0=x 处连续.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23、设D 是由曲线弧cos 42y x x ππ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭与sin 4y x x ππ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭及x 轴所围成的平面图形，试求： (1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．24、设函数()f x 满足方程()()()320f x f x f x '''-+=，且在0x =处取得极值1，试求:（1）函数)(x f 的表达式;（2）曲线()()f x y f x '=的渐近线．。

好教育云平台 高考真题汇编卷 第1页（共12页） 好教育云平台 高考真题汇编卷 第2页（共12页）2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学(江苏卷)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B =________． 2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．5．函数()f x =________．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．7．已知函数()sin 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到一条，则其离心率的值是________． 9．函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,0221,202x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩，则()()15f f 的值为________．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．11．若函数()()3221f x x ax a =-+∈R 在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为________．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 13．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．14．已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*2,n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数{}n a 列的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平行六面体1111ABCD A BC D -中，1AA AB =，111ABB C ⊥． 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号好教育云平台 高考真题汇编卷 第3页（共12页） 好教育云平台 高考真题汇编卷 第4页（共12页）求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．16．（14分）已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos 5αβ+=- （1）求cos 2α的值； （2）求()tan αβ-的值．17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．好教育云平台 高考真题汇编卷 第5页（共12页） 好教育云平台 高考真题汇编卷 第6页（共12页）18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点12⎫⎪⎭，焦点()1F，)2F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．19．（16分）记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． （1）证明：函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数()2f x x a =-+，()e xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,+∞内存在“S 点”，并说明理由．好教育云平台 高考真题汇编卷 第7页（共12页） 好教育云平台 高考真题汇编卷 第8页（共12页）20．（16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设10a =，11b =，2q =，若1n n a b b -≤对1n =，2，3，4均成立，求d 的取值范围；（2）若110a b =>，*m ∈N，(q ∈，证明：存在d ∈R ，使得1n n a b b -≤对2n =，3，，1m +均成立，并求d 的取值范围（用1b ，m ，q 表示）．数学II （附加题）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲]如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C．若PC =BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换]已知矩阵2312A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求A 的逆矩阵1A -；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点()3,1P '，求点P 的坐标．好教育云平台 高考真题汇编卷 第9页（共12页） 好教育云平台 高考真题汇编卷 第10页（共12页）C ．[选修4—4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，直线l 的方程为sin 2π6ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（10分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点P ，Q 分别为11A B ，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值； （2）求直线1CC 与平面1AQC 所成角的正弦值．好教育云平台 高考真题汇编卷 第11页（共12页） 好教育云平台 高考真题汇编卷 第12页（共12页）23．（10分）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称(),s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序()2,1，()3,1，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． （1）求()32f ，()42f 的值；（2）求()()25n f n ≥的表达式(用n 表示)．好教育云平台 高考真题汇编卷答案 第1页（共10页） 好教育云平台 高考真题汇编卷答案 第2页（共10页）2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学 答 案(江苏卷)数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．【答案】{}1,8 2．【答案】2 3．【答案】90 4．【答案】8 5．【答案】[)2,+∞6．【答案】310 7．【答案】π6-8．【答案】2 9．【答案】2 10．【答案】4311．【答案】3- 12．【答案】3 13．【答案】9 14．【答案】27二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）在平行六面体1111ABCD A BC D -中，11ABA B ∥．因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以AB ∥平面11A B C ．（2）在平行六面体1111ABCD A BC D -中，四边形11ABB A 为平行四边形． 又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形，因此11AB A B ⊥．又因为111AB B C ⊥，11BC B C ∥，所以1AB BC ⊥． 又因为1A BBC B =，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ．因为1AB ⊂平面11ABB A ， 所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．16．【答案】（1）725-；（2）211-． 【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos 22cos 125αα=-=-．（2）因为α，β为锐角，所以()0,παβ+∈． 又因为()cos 5αβ+=-，所以()sin 5αβ+==， 因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，()()()()tan 2tan 2tan tan 21tan 2tan 11ααβαβααβααβ-+-=-+==-⎡⎤⎣⎦++． 17．【答案】（1）1,41⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）当π6θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解析】（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH MN ⊥，所以10OH =． 过O 作OE BC ⊥于E ，则OE MN ∥，所以COE θ∠=， 故40cos OE θ=，40sin EC θ=，则矩形ABCD 的面积为()()240cos 40sin 108004sin cos cos θθθθθ⨯+=+，CDP △的面积为()()1240cos 4040sin 1600cos sin cos 2θθθθθ⨯⨯-=-．好教育云平台 高考真题汇编卷答案 第3页（共10页） 好教育云平台 高考真题汇编卷答案 第4页（共10页）过N 作GN MN ⊥，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 当0π2,θθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是1,41⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为()30k k >， 则年总产值为()()48004sin cos cos 31600cos sin cos k k θθθθθθ⨯++⨯- ()8000sin cos cos k θθθ=+，0π2,θθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．设() sin cos cos f θθθθ=+，0π2,θθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()()()()222cos sin sin 2sin sin 12sin 1sin 1f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+． 令()=0f θ'，得π6θ=，当0π6,θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()>0f θ'，所以()f θ为增函数； 当ππ,62θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()<0f θ'，所以()f θ为减函数，因此，当π6θ=时，()f θ取到最大值． 18．【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y +=；圆O 的方程为223x y +=；（2）①点P的坐标为)；②直线l的方程为y =+．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为()1F，)2F ，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以222231143a ba b +=-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得2241a b ==⎧⎨⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=． 因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()()00000,,0P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧⎪⎪⎨+==-+⎪⎪⎩，消去y ，得()222200004243640x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为0x ，00y >，所以0x =01y =． 因此，点P的坐标为)．②因为三角形OAB，所以1262AB OP ⋅=，从而7AB =． 设()11,A x y ，()22,B x y ，由（*）得1200x =，，所以()()()()2222200201212222200048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+⋅ ⎪⎝⎭+． 因为22003x y +=， 所以()()20222016232491x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得2052x =（2020x =舍去），则2012y =，因此P的坐标为⎝⎭． 综上，直线l的方程为y =+．19．【答案】（1）见解析；（2）a 的值为e2；（3）对任意0a >，存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,+∞内存在“S 点”．好教育云平台 高考真题汇编卷答案 第5页（共10页） 好教育云平台 高考真题汇编卷答案 第6页（共10页）【解析】（1）函数()f x x =，()222g x x x =+-，则()1f x '=，()22g x x '=+．由()()f x g x =且()()f x g x ''=，得222122x x x x =+-=+⎧⎨⎩，此方程组无解，因此，()f x 与()g x 不存在“S ”点．（2）函数()21f x ax =-，()ln g x x =，则()2f x ax '=，()1g x x'=． 设0x 为()f x 与()g x 的“S ”点，由()0f x 与()0g x 且()0f x '与()0g x '，得2001ln 12ax x ax x ⎧-==⎪⎨⎪⎩，即200201ln 21ax x ax -==⎧⎨⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则2121e e 22a -==⎛⎫ ⎪⎝⎭． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意0a >，设()323h x x x ax a =--+．因为()00h a =>，()11320h a a =--+=-<，且()h x 的图象是不间断的，所以存在()00,1x ∈，使得()00h x =，令()03002e 1x x b x =-，则0b >．函数()2f x x a =-+，()e x bg x x=，则()2f x x '=-，()()2e 1x b x g x x -'=． 由()()f xg x =且()()f x g x ''=，得()22e e 12x x b x a xb x x x -+⎧⎪⎪⎨=--=⎪⎪⎩，即()()()00320030202e e 1e 122e 1xx x x x x a x x x x x x x -+=⋅---=⋅-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（**）， 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数()f x 与()g x 在区间()0,1内的一个“S 点”．因此，对任意0a >，存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,+∞内存在“S 点”．20．【答案】（1）d 的取值范围为75,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）d 的取值范围为()112,m m b q b q m m ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，证明见解析．【解析】（1）由条件知：()1n a n d =-，12n n b -=． 因为1n n a b b -≤对1n =，2，3，4均成立， 即()1121n n d ---≤对1n =，2，3，4均成立， 即11≤，13d ≤≤，325d ≤≤，739d ≤≤，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由条件知：()11n a b n d =+-，11n n b b q -=． 若存在d ，使得1n n a b b -≤（2n =，3，，1m +）成立， 即()11111n b n d b q b -+--≤（2n =，3，，1m +），即当2n =，3，，1m +时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(q ∈，则112n mq q -<≤≤， 从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2n =，3，，1m +均成立． 因此，取0d =时，1n n a b b -≤对2n =，3，，1m +均成立．下面讨论数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的最大值和数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最小值（2n =，3，，1m +）．①当2n m ≤≤时，()()()1112222111n n nn n n n n n q q q q q nq q nq n n n n n n -----+----+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而()120n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭单调递增，好教育云平台 高考真题汇编卷答案 第7页（共10页） 好教育云平台 高考真题汇编卷答案 第8页（共10页）故数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的最大值为2m q m -． ②设()()21x f x x =-，当0x >时，()()ln21ln220x f x x =--<'， 所以()f x 单调递减，从而()()01f x f <=．当2n m ≤≤时，()111112111nn n qq n n f q n n n n --⎛⎫⎛⎫=≤-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，故数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最小值为mq m ． 因此，d 的取值范围为()112,m m b q b q m m ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 数学II （附加题）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．【答案】2【解析】连结OC ，因为PC 与圆O 相切，所以OC PC ⊥．又因为PC =2OC =，所以4OP ==．又因为2OB =，从而B 为Rt OCP △斜边的中点，所以2BC =．B ．【答案】（1）12312A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）()3,1-． 【解析】（1）因为2312A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 221310A =⨯-⨯=≠， 所以A 可逆，从而12312A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设(),P x y ，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 因此点P 的坐标为()3,1-．C ．【答案】直线l 被曲线C截得的弦长为 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=， 所以曲线C 的圆心为()2,0，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为sin 2π6ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则直线l 过()4,0A ，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则π6OAB ∠=． 连结OB ，因为OA 为直径，从而π2OBA ∠=，所以4cos 6πAB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为 D ．【答案】4【解析】由柯西不等式，得()()()222222212222x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时23x =，43y =，43z =， 所以222x y z ++的最小值为4．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．【答案】（1；（2【解析】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，设AC ，11AC 的中点分别为O ，1O ，则OB OC ⊥，1OO OC ⊥，1OO OB ⊥，以{}1,,OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O xyz -．因为12AB AA ==，好教育云平台 高考真题汇编卷答案 第9页（共10页） 好教育云平台 高考真题汇编卷答案 第10页（共10页）所以()01,0A -,，)B，()0,1,0C ，()10,1,2A -，)12B ，()10,1,2C ．（1）因为P 为11A B的中点，所以1,22P ⎫-⎪⎪⎝⎭，从而1,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,2,2AC =，故111cos ,205BPAC BP AC BP AC ⋅-<>===⋅． 因此，异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值为20． （2）因为Q 为BC 的中点，所以31,022Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此33,02AQ ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()10,2,2AC =，()10,0,2CC =．设(),,x y z =n 为平面1AQC 的一个法向量，则100AQ AC ⎧=⋅=⎨⎪⋅⎪⎩n n即3022220x y y z +=+=⎪⎨⎪⎩，不妨取)1,1=-n ，设直线1CC 与平面1AQC 所成角为θ，则111sin cos ,CCCC CC θ⋅=<>===⋅n n n， 所以直线1CC 与平面1AQC 23．【答案】（1）2，5；（2）5n ≥时，()2222n n n f --=．【解析】（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有()123=0τ，()132=1τ，()213=1τ，()231=2τ，()312=2τ，()321=3τ，所以()301f =，()()33122f f ==．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，()()()()433322105f f f f =++=．（2）对一般的()4n n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ，所以()01n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以()11n f n =-．为计算()12n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，()()()()()122102n n n n n f f f f f n +=++=+．当5n ≥时，()()()()()()()()11254422222222n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()24212422n n n n f --=-+-+++=，因此，5n ≥时，()2222n n n f --=．。