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授课主要内容或板书设计
例题变式解：在∆ABC中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，
根据余弦定理，
AC=ABC
BC
AB
BC
AB∠
⨯
⨯
-
+cos
2
2
2
=
︒
⨯
⨯
⨯
-
+137
cos
0.
54
5.
67
2
0.
54
5.
672
2
≈113.15
根据正弦定理,
CAB
BC
∠
sin
=
ABC
AC
∠
sin
sin∠CAB =
AC
ABC
BC∠
sin
=
15
.
113
137
sin
0.
54︒
≈0.3255,
所以∠CAB =19.0︒
75︒- ∠CAB =56.0︒
答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需
要航行113.15n mile
练习：（对例3的变式）
在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，
沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角
为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A
的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD
中，
实际问题中需要
掌握
近似估计、运算
通过变式，让学生
体会该数学模型
的在不同问题中
的应用。
某某省某某市高级中学高一数学解斜三角形的应用课题:解斜三角形的应用教学设计:创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的。
本节教学中,我们充分利用课本的例题创设问题情景，旨在帮助学生学生从实际问题中抽象出数学模型，学会运用正弦定理和余弦定理解斜三角形，指导学生学会探索和归纳数学规律的思想方法和策略，培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。
充分利用学生资源，从多方位、多角度着手，让学生参与创造性的数学活动，让应用意识化为信念，伴随着学生的学习与生活，成为终生享用的财富。
例题多解教学是发展学生的主体性，让学生成为解题方法的发现者，教师成为例题多解的策划者，课堂教学过程的控制者，学生解题方法的欣赏者评价者，学生思维发展的梳理升华者。
教学目标:知识与能力:（1）使学生掌握利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的方法，学会分析在实际问题中何时运用正弦定理，何时运用余弦定理。
（2）通过在解决实际问题中应用解斜三角形的知识，逐步培养学生发现问题、提出问题和明确探究方向的数学建模能力。
过程与方法:（1）使学生会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。
（2）提高学生将实际问题转化为数学问题的能力,了解转化、化归与数形结合的数学思想方法.情感态度价值观:发挥学生的主体作用，让学生体验数学思维活动的过程和成功的喜悦，从而形成合作交流的学习气氛，。
教学重点：解斜三角形在实际中的应用，关键是把实际问题转化为解三角形的问题来解决．教学难点：数学建模教学方法和教学手段：引导分析法，案例教学，以计算机辅助教学，应用软件：几何画板．教学过程一．创设问题情景阅读例题：[例1] 自动卸货汽车的车箱采用液压机构。
设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（图5—40）。
已知车箱的最大仰角为60O ，°油泵顶点B 与支点A 之间的距离为，AB 与水平线之间的夹角为6O 20’，AC 长为，计算BC 的长（保留三个有效数字）。
用正弦定理求A-内角和定理 ，求B -正弦定理一；求AO 求 AA课题：解斜三角形应用举例(2) 教学目的：1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛 的应用； 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 ”教学重点：1实际问题向数学问题的转化； 2解斜三角形的方法.教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法：自学辅导法在上一节学习的基础上， 引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型， 自己尝试求解应用题.在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能 力得到锻炼+ 教学过程： 一、 复习引入：上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用， 了解了一些把实际问题转化为 解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧 .这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决 .二、 讲解范例：例1如图，是曲柄连杆机的示意图’当曲柄CB 0绕C 点旋转时，通过连杆 AB 的传递，活塞作 直线往复运动*当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在A 处*设连杆AB 长为340 mm,曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 按顺时针方向旋转 80 °,求活塞移动 的距离(即连杆的端点 A 移动的距离A o A )(精确到1 mm )*分析：如图所示，因为 A )A = AC - AC 又知 AB AB^ BC= 340 + 85= 425，所以只要求 出AC 的长，问题就解决了 .在△ ABC 中,已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出 AC解：在△ ABC 中，由正弦定理可得BCsinC 85 sin80 sin A =0.2462.AB 340因为BC k AB 所以A 为锐角，得 A = 14° 15'・ ••• B = 18O°-( A + C )= 18O°-( 14° 15 ' + 80° 由正弦定理，可得AC= AB 遊=340 sin85 45 = 344.3mmsi nC 0.9848因此，A o A = AC — AC= (AB^ BC ) — AC= (340+ 85) — 3443 = 8O7~ 81 (mm) 答：活塞移动的距离约为 81mm ・评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围 意解题步骤的总结：)=85° 45'•要求学生注例2如图，为了测量河对岸 A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线 CD 现已测出 CD= a和/ ACD= a ，/ BCD= 3，/ BDC= Y ，/ ADC= s ，试求 AB 的长.分析：如图所示：对于 AB 求解，可以在厶 ABC 中或者是△ ABC 中求解，若在△ ABC 中, 由/ ACB= a - 3，故需求出 AC BC 再利用余弦定理求解+而AC 可在△ ACD 内利用正弦定 理求解，BC 可在△ BCD 内由正弦定理求解.解：在△ ACD 中，已知 CD= a ,/ ACD= a ，/ ADC= S ，由正弦定理得在厶ABC 中,已经求得 AC 和 BC 又因为/ ACB= a 余弦定理，就可以求得评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用•(2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用 ・例3据气象台预报，距 S 岛300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时 30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响 +问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.分析：设B 为台风中心，则 B 为AB 边上动点，SB 也随之变化*S 岛是否受台风影响可转 化为SB< 270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB 可设台风中心经过 t 小时到达B点，则在△ ABS 中，由余弦定理可求 SB 解：设台风中心经过 t 小时到达B 点，由题意，/ SAB= 90°— 30 = 60在△ SAB 中，SA= 3OO AB= 30t , / SAB= 60°, 由余弦定理得：S^= SA + A B — 2SA- AB- cos SAB.zV it=300+( 30t ) 2— 2 - 300 3C t cos6O 。
《实物测量》一、教材分析《实物测量》选自高中一年级数学第二学期（上海教育出版社）第五章的探究与实践内容。
这是继解斜三角形之后的一节数学探究课，将生活中无法直接测量高度的实际问题转化为数学问题，培养学生数学建模的能力。
二、学情分析在本节课之前，学生已经学习并掌握了解斜三角的基本方法，并能用解斜三角形的知识解决简单的应用题。
初中时，学生曾探究过利用解直角三角形和相似三角形的知识测量旗杆高度的问题，而本节课，通过障碍物的设计，将问题转化为学生刚学过的解斜三角形问题，对学生提出了更高的要求。
本节课通过课前活动、课上展示的方式，激发学生对数学学习的热情。
三、教学目标和学习目标1、运用解斜三角形的知识解决实物测量问题。
2、通过实物测量，经历实验方案制定、数据记录、计算验证、小结评价的过程，初步形成数学应用意识和数学建模能力。
3、通过测量活动，激发学生对数学的兴趣，培养学生合作意识，获得在活动中克服困难，运用知识解决问题的成功体验.四、教学重点与难点重点：运用解斜三角形的知识解决实物测量问题。
难点：在实物测量的过程中，建立恰当的数学模型。
五、课前准备（1）学生课前自制测角仪。
（2）学生课前设计测量方案，并对学校的旗杆高度进行实地测量。
（3）完成实物测量报告单。
（见附件）（4）教师课件制作。
六、教学过程七、教学反思本节课，通过实地测量，课堂展示，讨论质疑，激发了学生对数学的学习兴趣。
但在教学过程中，难免存在着一些不足之处。
首先，教师作为课堂的引导者，应该在学生展示、质疑时，及时介入，将学生展示的数学模型以数学更准确、精炼的方式提炼出来。
同时，在学生展示、讨论的过程中，教师应对学生出现的问题和可以优化的地方及时进行指导，充分发挥出教师的引领作用。
在学生展示讨论之后，也可以安排一个评比环节。
让学生选出模型中的最佳方案。
让学生感受到哪个模型可以使实地测量更有可操作性，可以提高最后计算的准确度。
课上，在学生讨论用相机拍照测量是否可行的问题时，纠结了过多时间，也导致后面第二个环节测两个旗杆顶端距离的问题没有得以讨论。
解斜三角形教案如何提高学生知识运用能力2解斜三角形是初中数学中重要的内容之一，是建立在初中数学知识体系之上，具有强的数学运算能力要求及综合运用能力要求。
因此，针对中学数学教育中解斜三角形的学习和教学，针对提高学生的知识运用能力，需要制定出专门的教案。
一、掌握解斜三角形的基本概念解斜三角形是指由三个给定的元素确定的那个三角形，其中至少有一边不在水平面上。
要让学生对解斜三角形有更清晰的认识，首先应强调其基本概念。
在教学中，要注意让学生对斜边、高、底边等进行分类，对三角形内部的角度关系进行了解，了解斜边、底边和高之间的关系，注重理解斜边、底边和高之间所构成的直角三角形，并引导学生熟练掌握解斜三角形求解的基本公式。
二、习题引导学生总结解题经验学生是通过习题训练不断巩固解斜三角形的知识的。
从教师的指导到学生自主掌握，可以通过分类习题法来实现。
例如分类解题中，可以安排常见斜边问题的作业，让学生在进行解题过程中，经常性对答案进行分析，并总结解题经验。
学生可以逐步掌握求解斜边长的方法和步骤，同时熟悉斜边长的不同概念和表达方式，并将问题转化为代数方程形式进行计算。
除此之外，例如，习题解析和作业巩固，都是提高学生的知识运用能力的有效方法。
三、技巧训练以提高解题速度为了让学生在学习、训练速度上保持一定的平衡，我们可以通过技巧训练来提高解题速度。
在教学中，教师可利用《教学视频》，对学生进行技巧训练，让学生熟悉解题思路。
在训练过程中，可以使用定式思路，对已知条件和未知条件进行分析，对俯角、仰角的概念进行理解、考虑几何意义，运用基本公式进行计算和求解。
用技巧训练的效果达到提高解题速度和稳定性的目的。
四、提倡小组合作以深化合作精神在教学中，我们经常采用班级分组的方式，让学生通过小组之间的合作互动，相互借鉴和帮助，提高学习效果并让学生深入合作精神。
在解斜三角形的教学上也是如此，我们可以把课堂上的练习和问题解决，朝向形象的实践引导和提高学生们的合作意识。
绿地规划中的数学问题[教学目的]：1、通过课堂教学使学生进一步体验数学与实际生活的联系，体验综合运用数学知识和数学思想解决实际问题的一般过程。
2、利用函数思想在解决实际问题的过程中，培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生获取信息、分析处理信息的能力，及归纳类比的能力。
3、通过教学激发学生应用数学的意识，形成科学严谨的探究习惯。
[教学难点]：根据实际问题，探求及确定适当的角作为自变量，建立三角函数关系式。
[教学重点]：根据实际问题建立函数关系式，学会用三角函数解决实际问题[教学方式]：启发，交流，讨论。
[教学手段]：计算机辅助教学[教学过程]：一、问题引入前一阶段我们研究了三角函数的定义、图象和性质，以及三角函数的简单应用。
在学习过程中我们发现三角函数与生产、生活密切相关，现实生活中有许多问题可以用三角函数的有关知识来解决。
下面来看一个生活中的实际问题。
二、展示问题问题：学校有一块圆形空地，现在要在空地里规划一块矩形绿地，请同学们设计一个最佳方案：使绿地面积最大？转化为数学问题：在半径为R，圆心为O的圆形中，如何截取一个面积最大的内接矩形？（课件演示，激发学生的学习兴趣）作法：圆周的四等分点就是矩形的顶点。
三、问题探究例1（变式1）将圆形空地变为半圆形的空地，同样的要截取一个内接矩形，研究矩形绿地何时面积最大？θ间的关系，建立面积的三角函数关系式，并搞清角在实际问题中的范围。
）),0(,2πθθ∈=∠BODθsinRBD=，OB=θcosRS=θθθ2sincos2)sin(2RRRABBD=⋅=⋅当sin2θ=1,4πθ=时S max=R2思考：若将半圆换成圆心角为四分之一个圆的扇形，矩形绿地何时面积最大？（直接由上题得出结果，与第一个问题建立联系）例2（变式2）在半径为R 圆心角为3π的空地中，矩形边AB 落在半径上，点C 落在弧上，点D 落在另一半径上，研究何时矩形面积最大？ （让学生自己去找作为自变量的角）例3（变式3）在圆心角为2α，],0(2πα∈，半径为R 的扇形中，作出两顶点在圆弧上，两顶点在半径上的内接矩形，研究何时绿地的面积最大？（动画演示：引导学生发现这个图形正好是例题２图形的一半）O FA BE CDθOABCD M NF θEα 设∠ BOC=θ，θ∈()3,0πBC=Rsin θ,AB=OB-OA=Rcos θ-ADctg 3π= Rcos θ-33R θsinS= (Rsin θ)(Rcos θ-33R θsin )=33R 2sin(26πθ+)-63R2当sin(26πθ+)=1，θ=6π时，S max==33R 2-63R 2=63R 2作法：将扇形的弧两等分的点C 就是矩形的顶点。
O x y A B C a b c D【学习目标描述】同学们，今天我们将学习新的三角知识并用它来解决一个实际问题。
在测量问题中，我们常会碰到一些无法直接测量的数值，距离、面积、角度等，这就需要数学帮忙了，比如测量森林大火中火情与我们的距离、测量河对岸两点之间的距离民、测量超高层建筑或山的高度等等。
我们要学习两个定理：正弦定理、余弦定理，了解它们的推导过程，并比较我们初中已掌握的直角三角形的一些知识，了解他们的异同。
我们要识记这两个定理，并通过一些小练习学习如何区分使用这两个定理来解斜三角形。
我们将会用这两个定理解决一个实际问题：测量森林大火中火情与观察哨之间的距离。
请同学们仔细体会这其中蕴含的数学思想。
【学习材料准备】教材内容：5.6《正弦定理、余弦定理和解斜三角形》资源链接：解斜三角形训练题、练习册5.6、《名师点金》5.6（第一课时）【自学路径导航】[驱动问题]问题一：读题：看到这个引例，请在学案上画出解决问题所需三角形。
引例：某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A 和B ，某日两个观测点的工作人员分别观测到C 处出现火情。
在A 处观测到火情发生在正北方向，而在B 处观测到火情在北偏西60°方向，已知B 在A 的正东方向10千米处，试确定火场C 距A 、B 各有多远？（保留到0.1km ）变式1、若在A 处观测到火情发生在北偏西40º方向，在B 处观测到火情发生在北偏西60º方向。
试确定火场C 距A 、B 各有多远？（保留到0.1km ）变式2、若在A 处观测到火情发生在北偏西40º方向且距离为15千米，试确定火场C 距B 有多远？（保留到0.1km ）问题二：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角比，可以由已知的边和角求出未知的边和角，那么对斜三角形怎么办？请总结直角三角形中角与角、边与边、边与角之间的关系及面积公式，并分析斜三角形中是否有类似关系？[核心问题]问题三：在坐标系中，利用三角比表示点的坐标，通过面积公式推导出正弦定理。
5.6 (3) 解斜三角形
一、教学内容分析
本节课是高中数学第五章三角比中第三单元的第三节课，学生已在前两节学习了正弦定理和余弦定理，知道了任意三角形的边角满足的数量关系式，这节课是利用这两个定理来解决实际生活的相关问题.
本小节的重难点是如何利用正弦定理、余弦定理来解决斜三角形，能够正确审题，将实际问题数学化是关键.通过本节课的学习更加明确数学来源于生活，又服务于生活. 二、教学目标设计
加深理解正弦定理和余弦定理的内容：任意三角形的边角数量关系及其应用.体验正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程； 深刻理解任意三角形的边角数量关系并灵活运用定理解三角形；通过实际问题的解决，感受数学与生活的密切关系，激发学习数学的热情，增强学习数学的动力.
三、教学重点及难点 教学重点
用正弦定理、余弦定理解斜三角形问题. 教学难点
用适当的方法解斜三角形及计算问题. 四、教学流程设计
12、正弦定理的两个应用：
（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；
（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. 3、余弦定理及其变形：在ABC ∆中有：A bc c b a cos 2222-+=
B ac c a b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+=
.2cos ,2cos ,2cos 2
22222222ab
c b a C ac b a c B bc a c b A -+=-+=-+=
4、 余弦定理的两个应用：
（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角； （2）已知三边，求三个内角. [说明]学生回答. 二、学习新课 1、例题解析
例1、已知∆ABC 中，∠A 0
60=
，=a 求sin sin sin a b c
A B C ++++
解：设sin sin a b A B =(>o)
sin c
k k C == 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =
从而
++++==++++sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c k A k B k C
k A B C A B C
又sin a
A
=
2k
==，所以
++=++2sin sin sin a b c
A B C
[说明]在∆ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c
C ==
()++=>++0sin sin sin a b c
k k A B C
恒成立.
这个k 是∆ABC 的外接圆直径,即k=2R.
例2、C B A b a c ABC ,,326,62,34，求中，在+===∆ 解：由已知，,b c a <<得B 最大，由余弦定理得
22
sin sin ,105,0426cos 0===∴<--
=b B c C B B 再由正弦定理得，
又0
0001054530,45,====∴>B C A C c b 于是
例3如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）．
[说明] 最大仰角是车厢立起的最大角度．
解：已知△ABC 的两边AB ＝1.95m ，AC ＝1.40m ，夹角A ＝66°20′， 由余弦定理，得
60
620'
答：顶杆 约长1.89m.
[说明] 由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结．
例4、如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 处，设连杆AB 长为340mm ，由柄CB 长为85mm ，曲柄自CB 按顺时针方向旋转80°，求活塞移
动的距离（即连杆的端点A 移动的距离
）（精确到1mm ）
[说明]：B 与0B 重合时，A 与0A 重合，故C A 0＝AB ＋CB ＝425mm ，且A A 0＝ C A 0－AC ．
解：已知△ABC 中， BC ＝85nun ，AB ＝34mm ，∠C ＝80°，
在△ABC 中，由正弦定理可得：
因为BC ＜AB ，所以A 为锐角
A ＝14°15′
∴ B ＝180°－（A ＋C ）＝85°45′
又由正弦定理：
答：活塞移动的距离约为81mm ． 例5、如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度θ.
解：在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒-15︒ = 30︒
由正弦定理：
15sin 30
sin 100BC
= ∴BC = 200sin15︒ 在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90
由正弦定理：
)90sin(15sin 20045sin 50θ+︒︒
=︒ ⇒cos θ =3-例6、某船在距救生艇A 处10 海里的C 处遇险，测得该船的方位角为45︒，还测得该船正沿方位角105︒的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，救生艇以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该救生艇的航向及与它们相遇所需时间. 解：设所需时间为t 小时， 在点B 处相遇（如图）
在△ABC 中，∠ACB = 120︒, AC = 100, AB = 21t, BC = 9t
由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 - 2×10×9t×cos120︒
整理得：36t2 -9t - 10 = 0 解得：12
5,3221-==t t （舍去）
由正弦定理：1433322123
)329(sin sin 120sin =⨯
⨯
⨯=
∠⇒∠=CAB CAB
BC AB
143
3arcsin
=∠∴CAB
B
A
D
例7、我舰在敌岛A 南偏西50°相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才
能用2小时追上敌舰？
[说明]已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角 解：如图，在△ABC 中由余弦定理得：
∴我舰的追击速度为14海里/小时.
又在△ABC 中由正弦定理得：
故我舰行的方向为北偏东 )14
3
5arcsin
50(-︒ 三、课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤是：
1、分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
2、建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
3、求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
4、检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
即解斜三角的基本思路
五、课后作业
略。
