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《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。
第二十教时教材：解斜三角形的应用目的：要求学生利用数学建模思想，结合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知识解决实践中的有关问题。
过程：一、提出课题：解斜三角形的应用二、例一 (课本P132 例一) 略例二[变题] 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0.3，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6︒20’，AC 长为1.40米，求货物开始下滑时AC 的长。
解： 设车箱倾斜角为θ，货物重量为mgθμμcos mg N f ==当θθμsin cos mg mg ≤即θμtan ≤时货物下滑θμtan = θtan 3.0= '42163.0arctan ==θ'0223'206'4216 =+在△ABC 中: BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222787.10'0223cos 40.195.1240.195.122=⨯⨯⨯-+= 28.3=BC例三 (课本P133 例二) 略例四 我舰在敌岛A 南50︒西相距12 nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10︒西的方向以10nmileh 的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小时追上敌舰？解：在△ABC 中：AB=12 AC=10×2=20 ∠BAC=40︒+80︒=120︒BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222784)21(20122201222=-⨯⨯⨯-+= BC=28即追击速度为14mileh又：∵△ABC 中，由正弦定理：A BCB ACsin sin = ∴1435sin sin ==BC AAC B ∴1435arcsin =B ∴我舰航行方向为北)1435arcsin 50(- 东三、作业：P134 练习 1、2 习题5.10 1—4第（1）课时 课题：书法---写字基本知识 课型：新授课 教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
芯衣州星海市涌泉学校§9解斜三角形应用举例〔二〕教学目的：1．灵敏运用正、余弦定理及三角形面积公式解决有关问题；2．体会“边角代换〞、“方程思想〞、“数形结合思想〞在解题中的应用． 教学重点：利用“边角代换〞、“方程思想〞解题．教学难点：探究“数形结合〞的解题方法．教学过程知识平台1．在ABC △中，a=b =30A ∠=，那么边c =． 2．||8AB =，||12AC =，48AB AC =-，那么||BC =．3．在ABC △中，：60A ∠=，4AB =且ABCS =△那么BC =，ABC △的外接圆半径R =，其内切圆半径r =． 4．在ABC △中，根据以下条件解三角形，其中有两个解的是〔〕A ．10,45,70bA C =∠=∠=B ．60,48,60a c B ==∠= C ．7,5,80a b A ==∠=D ．14,16,45a b A ==∠=5．锐角三角形三边长分别为3，4，x ，那么x 的取值范围是．6．在四边形ABCD 中，AD CD ⊥，10AD =，14AB =，60BDA ∠=， 135BCD ∠=，求BC 的长． 【小结】1°两边,a b 和其中一边的对角A ，解三角形时解的情况断定①正弦定理：sin b A a b <<两解；sin a b A =一解；sin a b A <无解．D CB A②余弦定理：222(2cos )0,0c b A c b a -+-=∆>二解；0∆=一解；0∆<无解． 2°内切圆半径2ABC S ra b c=++△． 才能平台7．在ABC △中，a b=90A B -=，求C ． 8．在ABC △中，假设2cos 22A b c c +=，试判断ABC △的形状． 【小结】充分运用转化、化归思想和边角关系的互化来判断三角形的形状． 作业：教材P137习题0T3，T4后记:。
解斜三角形应用举例【同步教育信息】一. 本周教学内容：§5.10 解斜三角形应用举例 §5.11 实习作业目标：使学生掌握利用正弦定理和余弦定理解任意三角形的方法；懂得解任意三角形的知识在实际中有着广泛的应用；从而培养学生分析问题、解决问题的能力；进一步巩固学生所学知识；提高分析和解决简单的实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力；增强用数学的意识。
二. 重点、难点：重点：利用正弦定理、余弦定理等知识解决实际问题。
难点：将实际问题转化成数学问题；利用正弦定理、余弦定理或有关数学方法解斜三角形。
三. 学法指导：在生产和实际生活中；有时会遇到测量、航海、物理等方面的问题；处理这一类问题一般要用到解三角形的知识；解题时首先要认真分析题意；画出示意图；将该实际问题转化成数学问题；然后利用正弦定理、余弦定理及相关知识和方法解决问题。
在计算过程中；要注意实际问题的计算精度要求；利用近似计算的规则；要做到算法简练；算式工整；计算准确。
【典型例题】例1. 如图（），隔海看两目标、，但不能到达，在岸边选取相距千米的、两1A B 3C D 点，并测得，，，（、、、在同一∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒ACB BCD ADB ADC A B C D 75454530平面内）。
求两目标、之间的距离。
A BD图（1）分析：要求出、之间的距离，可以在（或）中去找关系式。
但不管在哪A B ACB DB ∆∆A个三角形中；除AB 的另外两边也都是未知的；需要在其他三角形中找出合适的关系式；求出它们的值。
解：在中，，，∆A C D A D C A C D A C B B C D ∠=︒∠=∠+∠=︒+︒=︒307545120 ∴∠=︒=∠C A D A D C 30 ∴==A C C D 3()在中，∆B D C C B D ∠=︒-︒-︒+︒=︒180******** 由正弦定理可得B C C D =⋅︒︒=⋅+=+s i n s i n 7560362432622 在∆A B C中；由余弦定理得 A B A C B C A C B C B C A2222=+-⋅⋅∠c o s ()=++⎛⎝ ⎫⎭⎪-⋅⋅+⋅︒3622236227522c o s ()=++-⋅+⋅-38434362624=++-=32335∴=A B 5（千米）故、之间的距离为千米。
教学设计（主备人：李安杰）教研组长审查签名：高中课程标准•数学必修教案执行时间：5.10解斜三角形应用举例（2）一．内容及其解析1. 内容在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼2. 解析：（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．（2）通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；（3）通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定二．目标及其解析1. 目标(1)通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力．(2)熟练了解实际问题向解斜三角形类型的转化；(3)通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力2．解析我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决三．教学问题诊断分析向量是既有大小又有方向的量，物理中很多量(如力、速度等)都是这种量．这一节我们就用向量的有关知识研究物理中的相关问题．用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化成数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．四、教学支持条件分析 三角板五. 教学过程设计 (一) 教学基本流程(二) 教学情景问题一：如何建立数学模型？ 设计意图:把数学问题转换为数学问题 师生活动：以学生思考后回答 （三）、讲解新课： 例题：例1如图，是曲柄连杆机的示意图当曲柄CB 0绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A O 处设连杆AB 长为340 ｍｍ，曲柄CB 长为85 ｍｍ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(即连杆的端点A 移动的距离A 0A )(精确到1 ｍｍ)分析：如图所示，因为A 0A ＝A O C －AC ，又知A O C ＝AB ＋BC ＝340＋85＝425，所以只要求出AC 的长，问题就解决了在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC解：在△ABC 中，由正弦定理可得 sin A ＝.2462.034080sin 85sin =︒⨯=AB C BC 因为BC ＜AB ，所以A 为锐角，得A ＝14°15′∴B ＝18O °－（A ＋C ）＝18O °－（14°15′＋8O °）＝85°45′由正弦定理，可得AC ＝.3.3449848.05485sin 340sin sin mm C B AB ='︒⨯=因此，A O A ＝A O C －AC ＝(AB ＋BC ）－AC ＝(34O ＋85)－3443＝8O7≈81（ｍｍ） 答：活塞移动的距离约为81ｍｍ设计意图：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围要求学生注意解题步骤的总结：用正弦定理求A −−−→−内角和定理求B−−−→−正弦定理求AC →求AOA师生活动：教师提示，学生自己完成例2 如图，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，∠ADC ＝ｓ，试求AB 的长分析：如图所示：对于AB 求解，可以在△ABC 中或者是△ABD 中求解，若在△ABC 中，由∠ACB ＝α－β，故需求出AC 、BC ，再利用余弦定理求解而AC 可在△ACD 内利用正弦定理求解，BC 可在△BCD 内由正弦定理求解解：在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝α，∠ADC ＝δ，由正弦定理得AC ＝[])sin(sin )(180sin sin δαδδαδ+=+-︒a a 在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝[])sin(sin )(180sin sin γββγββ+=+-︒a a在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝α－β，所以用余弦定理,就可以求得AB ＝)cos(222βα-⋅⋅-+BC AC BC AC设计意图：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用 (2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用师生活动：求解过程在实际当中的应用师生活动,由学生自己完成，学生补充.目标检测：1.在△ABC 中，下列各式正确的是 A.ba =AB sin sinB.a sin C =csin BC.a sin(A +B )=c sinAD.c 2=a 2+b 2－2ab cos(A +B )2.已知等腰三角形的底边长为6，腰长为12，则此三角形外接圆的半径为 A.5157 B.43 C.5158D.633.已知三角形的三边长分别为a 、b 、22b ab a ++，则这个三角形的最大角是 A.135° B.120° C.60°D.90°4.某人向正东方向走x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为A.3B.23C.23或3D.35.海上有A 、B 两个小岛相距10 nmile ，从A 岛望B 岛和C 岛成60°的视角，从B 岛望A 岛和C 岛成75°角的视角，则B 、C 间的距离是A.52nmileB.103nmileC.6310nmileD.56nmile答案：1.C 2.B 3.B 4.C 5.D设计意图：检验学生所知识的了解情况，加强学生对知识的理解。
用正弦定理求A-内角和定理 ，求B -正弦定理一；求AO 求 AA课题：解斜三角形应用举例(2) 教学目的：1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛 的应用； 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 ”教学重点：1实际问题向数学问题的转化； 2解斜三角形的方法.教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法：自学辅导法在上一节学习的基础上， 引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型， 自己尝试求解应用题.在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能 力得到锻炼+ 教学过程： 一、 复习引入：上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用， 了解了一些把实际问题转化为 解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧 .这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决 .二、 讲解范例：例1如图，是曲柄连杆机的示意图’当曲柄CB 0绕C 点旋转时，通过连杆 AB 的传递，活塞作 直线往复运动*当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在A 处*设连杆AB 长为340 mm,曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 按顺时针方向旋转 80 °,求活塞移动 的距离(即连杆的端点 A 移动的距离A o A )(精确到1 mm )*分析：如图所示，因为 A )A = AC - AC 又知 AB AB^ BC= 340 + 85= 425，所以只要求 出AC 的长，问题就解决了 .在△ ABC 中,已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出 AC解：在△ ABC 中，由正弦定理可得BCsinC 85 sin80 sin A =0.2462.AB 340因为BC k AB 所以A 为锐角，得 A = 14° 15'・ ••• B = 18O°-( A + C )= 18O°-( 14° 15 ' + 80° 由正弦定理，可得AC= AB 遊=340 sin85 45 = 344.3mmsi nC 0.9848因此，A o A = AC — AC= (AB^ BC ) — AC= (340+ 85) — 3443 = 8O7~ 81 (mm) 答：活塞移动的距离约为 81mm ・评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围 意解题步骤的总结：)=85° 45'•要求学生注例2如图，为了测量河对岸 A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线 CD 现已测出 CD= a和/ ACD= a ，/ BCD= 3，/ BDC= Y ，/ ADC= s ，试求 AB 的长.分析：如图所示：对于 AB 求解，可以在厶 ABC 中或者是△ ABC 中求解，若在△ ABC 中, 由/ ACB= a - 3，故需求出 AC BC 再利用余弦定理求解+而AC 可在△ ACD 内利用正弦定 理求解，BC 可在△ BCD 内由正弦定理求解.解：在△ ACD 中，已知 CD= a ,/ ACD= a ，/ ADC= S ，由正弦定理得在厶ABC 中,已经求得 AC 和 BC 又因为/ ACB= a 余弦定理，就可以求得评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用•(2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用 ・例3据气象台预报，距 S 岛300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时 30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响 +问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.分析：设B 为台风中心，则 B 为AB 边上动点，SB 也随之变化*S 岛是否受台风影响可转 化为SB< 270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB 可设台风中心经过 t 小时到达B点，则在△ ABS 中，由余弦定理可求 SB 解：设台风中心经过 t 小时到达B 点，由题意，/ SAB= 90°— 30 = 60在△ SAB 中，SA= 3OO AB= 30t , / SAB= 60°, 由余弦定理得：S^= SA + A B — 2SA- AB- cos SAB.zV it=300+( 30t ) 2— 2 - 300 3C t cos6O 。
若S 岛受到台风影响，则应满足条件、东I SB|< 270 即 SW w 276"化简整理得t 2— 10t + 19< 0解之得 5 — \ 6 w t w 5 + ■ J 6在厶BCD 中，由正弦定理得sin 180 +Y ）】—si n （R +丫）AB= . AC 2 BC 2 -2ACa sin a sin—3,所以从现在起，经过 5 —- 6小时S岛开始受到影响，(5 + . 6 )小时后影响结束.持续时间：(5 + .6 ) —( 5— 6 )= 2 , 6 小时•答：S岛受到台风影响，从现在起，经过( 5—.6 )小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2 .6小时一例4假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为 Q3，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为 195米，AB 与水平线之间的夹角为 6 20' AC 长为1.40米, 求货物开始下滑时 BC 的长, 解：设车箱倾斜角为，货物重量为f -」N - - 'mg cos当 J mg COS T :: mg sin v 即」_ tan v 当二=tanr 时，0.3 二 tanr ，-- / BAC=16 42' 6 20' = 23 02' 在厶ABC 中：BC 2 二 AB 2 AC 2 -2AB AC cos BAC2 2=1.9521.40 -2 1.95 1.40 cos23 02』10.787 , BC =3.28三、 课堂练习：1海中有一小岛B ,周围3. 8海里有暗礁，军舰由西向东航行到 A ,望见岛在北75°东，航行8海里到C,望见岛B 在北6O 东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险 ？ 答案：不会触礁・2直线AB 外有一点 C,Z ABC= 60°, AB- 200 km,汽车以8O km/h 速度由 A 向B 行 驶，同时摩托车以 5O 公里的时速由B 向C 行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小 .答案：约13小时.四、 小结 通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确 解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化， 逐步提高数学知识的应用能力 + 五、 课后作业：1.已知在厶 ABC 中，si nA ： sinB ： si nC=3 ： 2 : 4，那么 COS C 的值为（ ）1 122A .-—c.——D.-443 3分析：先用正弦定理：a b C b : C =3 : 2 : 4,— 可求出a :sin A sin B si nC所以可设a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理:2卄？ _ 2COS C =— - —可得 COS C =2ab答案：A2 •一货轮航行到 M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15。
相距20里处，随后货轮按北偏西 30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°,求货轮的速度，解：如图所示，/ SMN=15° +30° =45°,/ SNM=180°- 45°- 30° =105 °2 2 29k 4k -16k2 3k 2 k 1即 COS C .430•••/ NSM=180° - 45° - 105° =30由正弦定理-J MN 20■si n30* sin 105°.MN =10(、. 6 — .2)1 _10( . 6 - ,2) 20( . 6 - 2)2答：货轮的速度为20( 6 -2)里/小时+ 3 .△ ABC 中，a+b=10，而 cosC 是方程 2x 2- 3x — 2=0 的一个根，求△ ABC 周长的最小值一 分析：由余弦定理可得 c 2 =a 2 b 2 —2abcosC ，然后运用函数思想加以处理 2 1解：2x -3x - 2 =0 .捲=2,X 22又T cosC 是方程2x 2 — 3x — 2=0的一个根” c O C = 2 由余弦定理可得 c 2 = a 2 • b 2「2ab = (a ■ b)2「ab 则 c 2 =100 -a(10 -a) =(a -5)2 75 当 a=5 时，c 最小且 c= •. 75 = 5 •. 3此时 a b c = 5 5 5 3 =10 5 3• △ ABC 周长的最小值为10・5\3.4 •在湖面上高h 米处，测得云的仰角为 a ，而湖中云之影(即云在湖中的像)的俯角为 3 , 试证：云高为hsin(［」米. sin(E -a ) 分析：因湖而相当于一平面镜， 故云C 与它在湖中之影 D 关于湖面对称，设云高为x=CM , 则从△ ADE,可建立含x 的方程，解出x 即可+ 解:如图所示，设湖面上高h 米处为A ,测得云的仰角为a ,而C 在湖中的像D 的俯角为3 , CD 与湖面交于 M ，过A 的水平线交 CD 于E ,设云高CM=x 则 CE=x — h , DE=x+h AE =(x -h)cot:且AE = (x h) cot - (x _h)cot ： = (x h) cot : 解得 tan ： tan :tan 卜 tan :2coScoss i n £c o s . - c o s s i nc o s c o s5 •在某定点A 测得一船初始位置 B 在A 的北偏西a 1处，十分钟后船在 A 正北，又过十分 钟后船到达A 的北偏东a 2处一若船的航向与程度都不变，船向为北偏东0，求B 的大小』a 1> a 2)分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题 解：如图所示，在△ ABC 中，由正弦定理可得：BC AC BC AC 金 ，即①sin _卯 sin [二-严 「)] sin _：*sin()- > 1)在厶ACD 中，由正弦定理可得：即 sin sin( v - ： 2)= sin ： 2 sin( J ■ 1).sin :,(s in ncos 工 2 -COSTS in 二 2) =si n 二 2(s in vcos 、 COSTS in 禺) 即sin vsin: 2) = 2cosvsin :j sin : 22sin :j sin :-2 sin (冷一<-2)6 • (1998年全国高考题)在厶 ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，设 a+c=2b,A — C=—,求sinB 的值.3解：T a+c=2b,「. sinA+sinC=2sinBB 二=cos 0, A - C =— 2 3cos 旦-1 -sin 2 B =42 \24B 口 rr B、=2s i n 即 si i n2 24c ■ A+C A-C .B B 2si n cos =4si n cos2 2 2 2由和差化积公式得 米)sin {- > )CD sin : 2AC sin( v - - 2)，即CD根据题意，有BC=CD 由①、②得:sin -：»sin -：i 2sin (J ■ 1) sin (丁 - -■ 2)=arcta n2 sin 一：» sin 二2(a > a 2) sinJI 0 . B :::—六、 板书设计（略） 七、 课后记：于是sin B = 2sin%sB=2 三-132 24 4。
