高中数学 第五节 解斜三角形习题

高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，由得，即，由于为三角形的内角，故，即，因此三角形为等边三角形.【考点】判定三角形的形状.2.海事救护船在基地的北偏东，与基地相距海里，渔船被困海面，已知距离基地海里，而且在救护船正西方，则渔船与救护船的距离是()．A．海里B．海里C．海里或海里D．海里【答案】C【解析】在中，,，,，当;当；渔船B与救护船A的距离是100海里或200海里．【考点】解三角形的应用．3.在中，角所对的边分别为，且是方程的两个根，且，求：（1）的度数；（2）边的长度．【答案】(1),(2)【解析】解题思路：（1）利用三角形三角和定理求角C;(2)根据方程的根与系数的关系求两根之和与积；利用余弦定理求边c．规律总结：解三角形问题，要分析题意，寻找边角关系，选择合适的定理．注意点：在利用余弦定理求解时，要注意利用“整体思想”，减少计算量．试题解析：（1）,;故．是方程的两根，，由余弦定理，得，．【考点】1．三角形三角和定理；2．方程的根与系数的关系；3．余弦定理．4.在中，边上的中线长为3，且，，则边长为（）. A．B．C．D．【答案】A.【解析】如图，因为与互补，所以当时，，则，又，则，所以，在三角形BAD中，由正弦定理有：，从而，所以，在三角形ADC中，由余弦定理有：，所以，故选A.【考点】三角函数的基本关系：平方关系，正弦定理与余弦定理，两角和的正弦公式，化归思想.5.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图6.中，若，则的面积为A．B．C．1D．【答案】A【解析】解：△ABC的面积=AB•BC•sin60°=×2×1×＝．故选C．.【考点】三角形的面积公式．.7.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.8.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.9.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。

解斜三角形的应用题目1. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一个锐角的度数。

2. 已知直角三角形中，两个锐角分别为45度和45度，斜边长为5，求此三角形的两条直角边长。

3. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为5，求另一条直角边的长。

4. 已知直角三角形中，斜边长为10，一条直角边长为5，求另一条直角边的长。

5. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。

6. 已知直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，求斜边长。

7. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。

8. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。

9. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。

10. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

11. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。

12. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。

13. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。

14. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

15. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为12，求另一条直角边的长。

16. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。

17. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。

18. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

19. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。

20. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。

21. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。

22. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。

高三数学解斜三角形试题答案及解析1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）【答案】60【解析】，，.【考点】解三角形.2.在中，内角所对边长分别为，，．（1）求；（2）若的面积是１，求．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，可得，；，由正弦定理，，则，故，．由，．（2）由的面积是１，可得，得．．3.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．【答案】（1）14海里/小时（2）【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28海里．所以渔船甲的速度为＝14海里/小时．(2)在△ABC中，因为AB＝12海里，∠BAC＝120°，BC＝28海里，∠BCA＝α，由正弦定理，得.即sinα＝.4.一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α(0°＜α＜45°)，在海面上向山顶的方向行进mm后，测得山顶C的仰角为90°－α，则该山的高度为________m．(结果化简)【答案】mtan2α【解析】由题意知∠CAB＝α，∠CDB＝90°－α，∠CDA＝90°＋α，且AD＝m，则∠ACD＝90°－2α.由正弦定理得，即，即AC＝，所以山高BC＝ACsinα＝＝mtan2α5.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()．A．B．3C．D．7【答案】A【解析】S＝×AB·AC sin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝.6.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且。

解 斜 三 角 形一、根本知识：〔1〕掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵敏选用正弦定理、余弦定理解斜三角形． 〔2〕能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数． 〔3〕能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题． 二、例题分析：例1 在△ABC 中，a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b分析 两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2＜a ， ∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×123 = 32 ， ∴∠C=60°，或者∠C=120°．∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6． 当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．点评 两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析 欲判断△ABC 的形状，需将式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进展，假设将三角函数换成边，那么可进展代数变形，或者将边换成三角函数，那么可进展三角变换．解 方法一：由余弦定理，得 a ·〔b 2+c 2—a 22bc 〕=b ·〔a 2+c 2—b 22ac 〕，∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ． ∴a 2－b 2=0，或者c 2－a 2－b 2=0． ∴a=b ，或者c 2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或者直角三角形． 方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或者2A=π－2B ． ∴A=B ，或者A+B=π2．∴△ABC 为等腰三角形或者直角三角形．点评 假设式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或者正弦定理，将角换成边或者将边换成角，然后进展代数或者三角恒等变换．例3 圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程． 解 连结BD ，那么有四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12BC ·CD ·sinC ．·ABCDO∵A+C=180°，∴sinA=sinC．故S=12〔2×4+6×4〕sinA=16sinA．在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC．∴20－16cosA=52－48cosC．∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－1 2．又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．故S=16sin120°=8 3 ．点评注意两个三角形的公用边在解题中的运用．例4墙壁上一幅图画，上端距观察者程度视线b下端距程度视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．分析如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB最大，所以需寻找∠APB的目的函数．由于有关边长，所以考虑运用三角函数解之．解设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，那么∠APB=θ为视角．y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =xax b x a x b ⋅+-1 =b —a x+ab x≤b —a 2ab ， 当且仅当x= abx , 即x=ab 时，y 最大．由θ∈〔0，π2〕且y=tan θ在〔0，π2〕上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大．点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题． 三、训练反应：1．在△ABC 中，a= 2 ，b=2，∠B=45°，那么∠A 等于 〔 A 〕A ．30°B ．60°C ．60°或者120°D ．30°或者150° 2．假设三角形三边之比为3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角为 〔 C 〕 A ．60° B ． 90° C ． 120° D ． 150° 3．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需 航行半小时，那么C 到A 的间隔 是 〔 C 〕 A ．10 6 km B ．10 2 kmC ．10( 6 － 2 ) kmD ．10〔 6 ＋ 2 〕km 4．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA= 34，那么该三角形是 〔 A 〕 A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或者直角三角形5．在△ABC 中，〔b+c 〕∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，那么此三角形的最大内角为 〔 A 〕 A ．120° B ．150° C ．60° D ．90°6．假设A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，那么点P 〔cosB －sinA ，sinB －cosA 〕在 〔 B 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．△ABC 中，假设sinAsinB ＜cosAcosB ，那么△ABC 的形状为 ．钝角三角形8．在△ABC 中，c=10，A=45°，C=30°，那么b= ．5〔 6 + 2 〕9．在△ABC 中，假设sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，那么cosA= ．121310．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，那么∠C 的大小为 ．π611．a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，假设a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．21 或者6112．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小． π313．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最 大面积．设∠AOB=θ，θ= 5π6 时，S 最大值 =2+5 34励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为、、，、、成等比数列，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由于、、成等比数列，，由正弦定理得. 由于，，由余弦定理推论得.【考点】余弦定理的应用.2.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.3.已知中，的对边分别为且.（1）判断△的形状，并求的取值范围；（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，若直线直线，且相交于点，求间距离的取值范围.【答案】（1）为直角三角形，；（2）.【解析】（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简得到，从而可确定，为直角三角形；法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到，从而可确定为直角，为直角三角形；（2）先引入，并设，根据三角函数的定义得到，进而得到，利用三角函数的图像与性质即可得到的取值范围，从而可确定两点间的距离的取值范围.试题解析：(1)法一：因为所以即所以，所以所以是以为直角的直角三角形法二：因为所以是以为直角的直角三角形即(2)不仿设，所以所以.【考点】1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.座落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．【答案】180米．【解析】本题难点在于选择函数解析式模型,是用余弦定理解三角形,还是取直角三角形表示边.如用余弦定理解三角形,则得,解此方程成为难点;如构造直角三角形就会减少运算量,即作CE AB于E,构造直角三角形CBE和直角三角形CAE,利用两角和的正切公式得到关于BD的方程,解此方程的运算量要少得多.将一个已知角分为两个角的和,这种思维不常见,须多加注意,深刻体会.试题解析：解：如图作CE AB于E．因为AB∥CD，AB=150，CD=90，所以BE=90，AE=60．设CE=，，则． 2分在和中，， 4分因为，所以． 8分化简得，解得或（舍去）． 10分答：天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离为180米． 12分【考点】两角和的正切公式,函数与方程.6.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.7.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。

解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。

分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。

【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。

高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为、、，、、成等比数列，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由于、、成等比数列，，由正弦定理得.由于，，由余弦定理推论得.【考点】余弦定理的应用.2.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）.A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由正弦定理及,得;则，即;又因为A,B是三角形的内角，,即三角形为等腰三角形.【考点】正弦定理、三角形形状的判定.3.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.4.在中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则 = ．【答案】【解析】由三角形内角和定理可知,又∠A：∠B：∠C=1：2：3,所以,由正弦定理可知,因此答案为.【考点】内角和定理与正弦定理5.如图，小岛A的周围3.8海里内有暗礁.一艘渔船从B地出发由西向东航行，观测到小岛A在北偏东75°，继续航行8海里到达C处，观测到小岛A在北偏东60°.若此船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？【答案】此船继续前行没有触礁的危险【解析】根据已知条件可知，，可得边长，构造直角三角形用三角函数即可求得点到的距离，若此距离大于就没有触礁的危险，否则就会有触礁的危险。

试题解析：解法1在中，,所以. 4分又已知，所以=8. 8分过点作⊥BC,垂足为D,在直角三角形中，＞3.8 11分所以此船继续前行没有触礁的危险 12分解法2 过点A作AD ⊥,垂足为D,由已知，BC=8，∠BAD=75°, ∠CAD=60° 4分在直角三角形ABD中，，在直角三角形ACD中，同法可得, 8分所以BC=BD-CD=，所以＞3.8 11分所以此船继续前行没有触礁的危险 . 12分【考点】解三角形问题。

高二数学解斜三角形试题答案及解析1.△ABC中，如果＝＝，那么△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】＝＝，＝＝，＝＝，A=B=C△ABC是等边三角形. 故选B.【考点】正弦定理.2.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走米，测得塔顶的仰角为，则塔高是米.【答案】【解析】如下图，是塔高，则由，由，所以，解得.【考点】解三角形.3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.【答案】(1) A＝；(2) b＝c＝2.【解析】(1)利用等差中项建立方程，三角形三角形内角和定理建立方程即得A＝；(2)由已知利用三角形面积公式S＝bcsinA和余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA建立方程组，解方程组即可.试题解析：解：(1)∵为，的等差中项，，2分∵,∴A＝.4分(2)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.6分而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.8分解得b＝c＝2.10分【考点】1.等差中项；2.内角和定理；3.三角形面积公式；4.余弦定理.4.如图，从高为米的气球上测量铁桥()的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥长为米.【答案】【解析】如下图，设于点，则依题意有，则有即，由，得，所以.【考点】解斜三角形.5.在中，已知，求边的长及的面积.【答案】，.【解析】根据题意，由余弦定理，可求出的值，再由三角形面积公式，可求得的面积.试题解析：在中,由余弦定理得: 3分∴ 6分由三角形的面积公式得： 9分12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为,若.(1)求角B;(2)若的面积为,求函数的单调增区间【答案】(1)； (2)单调增区间【解析】(1)∵∴又∵∴∴(2)∴∴∴令得单调增区间【考点】余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式。

解斜三角形习题精选1.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.2在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.3在△ABC 中，若∠C =60°，则ca b c b a +++=_______.4.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.5已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.6在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cB b sin 的值.7在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB B cos sin 2sin 1++的取值范围.8.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2.（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.答案：1解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π. 2解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1， ∴1＜c ＜5.3解析：c a b c b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22=222c bc ac ab bc ac b a ++++++.（*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab .∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222c bc ac ab bc ac b a ++++++=1.答案：1 4解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45°5剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B .（2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CD tan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.6、剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cB b sin 的值. 解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac .又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .在△ABC 中，由余弦定理得 cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aA b sin ， ∵b 2=ac ，∠A =60°， ∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中， 由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cB b sin =sin A =23.7、解：∵b 2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21. ∴0＜B ≤3π， y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7， ∴22＜sin （B +4π）≤1.故1＜y ≤2. 8、解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb 2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cos C =ab c b a 2222-+=21. 又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ） =23sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ）=3sin A cos A +3sin 2A=23sin2A －23sin2A cos2A +23 =3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233.。

高三数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，，，△的面积为，则边的值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，解得，∴，.【考点】解三角形.2.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则DABC的形状一定为___________.【答案】等腰三角形【解析】由等式，得，即，又由平行四边形法测可知所得向量在底边的中线上，又点为任一点，则此时有底边与其中线垂直，因此的形状为必为等腰三角形，故正确答案为等腰三角形.【考点】向量运算、三角形.3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B【解析】由b cos C＋c cos B＝a sin A，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0<A<π，得A＝，所以△ABC为直角三角形．4.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形5.在中，若，面积记作，则下列结论中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为在中，所以。

故D正确。

【考点】三角形面积及正弦函数的值域。

6.在中，角所对的边分别为，若，，则角的值为 .【答案】【解析】利用正弦定理化简，得：，将代入得：，即，∴由余弦定理得：，∵为三角形内角，∴，故答案为：．【考点】解三角形．7.5.在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，成等比数列，所以.又，∴.在中，由余弦定理得：，那么.由正弦定理得，又因为，，所以.【考点】1、等比数列的性质；2、正弦定理和余弦定理的应用.8.在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选C.【考点】三角形面积公式.9.已知点在球心为的球面上，的内角所对边的长为，且，球心到截面的距离为，则该球的表面积为 .【答案】【解析】如图，在中，由及余弦定理，得再由正弦定理得在中，由勾股定理得所以该球的表面积为．【考点】考查球的截面的性质、正弦定理、余弦定理及球表面积的计算．10.已知A、B、C是三角形ABC的三内角，且，并且（1）求角A的大小。