【高考数学】 二轮专题复习 专题一 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形

第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位1 •三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式（两角和的核心；2•正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）进行变换, “角”的变换是三角恒等变换真题感晤丨考点整合:::::::• ■•••••••••••••••••■ ••••• ••••・••・•••••••• ••••••• • • ・• •罷瀧皐1明考向專蕊扣要点i真题感1.（2018-全国III卷）若sina=28 A97 B9解析cos 2a =1—73，贝0 cos 2a =（8D_9答案2.（2018-全国III卷）AABC的内角A，B, C的对边分别为a, b, c.若△ABC的面积为a2-}~b2— c2，则C=（仆兀B-3C'4r兀D6解析根据题意及三角形的面积公式知j^sin c =厂,所以sin C —/ + 方2 —c22ab= cos C,所以在△ 4BC中,答案C3.（2018•浙江卷）在厶ABC中，角4, B, C所对的边分别为©b, c.若a=^i, b = 2,4 = 60°,贝lj sin B= ________ , c= _________ .・2X迪r解析因为b = 2, A = 60°,所以由正弦定理得^=零. 由余弦定理t/2—Z?2+c2— 2£>ccos A 可得c2— 2c—3 = 0,所以c=3.答案卑34.（2017•浙江卷）已知△ ABC, AB=AC=4, BC=2.点。

为AB延长线上一点，BD = 2,连接CD 则△BDC的面积是__________ , cos ZBDC= ___________ ・解析依题意作出图形，如图所示，则sinZDBC=sinZABC.由题意知AB=AC=4, BC=BD=2,贝U sinZ4BC=乎,cosZABC=^.所以S^BDC —2 BCBD sinZDBC= | X2X2X .因为BD2+BC2-CD2CQ = {Td由余弦定理，得cosZBDC=4+10—4 ^JIQ 2X2XV1O= 4 ・答案V15 Vio2 4B\—~7Ccos DBC —cosZABC= 2BDBC1・三角函数公式(2) 诱导公式：对于“㊁土弘kEZ 的三角函数值”与“a 角的三角函数值” 面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(a±0) = sin acos 〃土cos asin 0； cos(a 土〃)=cos acos P s in asin 〃； tan(a 土〃)(4) 二倍角 公式：sin 2a = 2sin acos a, cos la=cos 2a — sin 2a = 2cos 26z —1 = 1_____ b y考点整合⑴同角关系: sin 2a+cos 2a=l,a.cos a的关系可按下tan a 土tan卩1 tan atan B(5)辅助角公式：asin x~\~bcos x==^/u2+Z?2sin(x+^), 其中tan(p=^.2•正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1) 正弦定理在厶ABC 中，聶=岛=蠢=2R(R 为AABC 的外接圆半径);(2)余弦定理在△佔c 中， a 1 = b 1-\-c 1— 2bccos A ；变形：b 2j rc 2- j 2 1 2 2 2 b 十 c —a~ ci —2bccos4, cos A — n 7(3)三角形面积公式1 7 1 1SgBc=fbsin C=~Z?csin A=^acsin B.变形：a = 2/?sin A, sinci ： b ： c=sinA : sin B ： sin C等.I热点聚焦丨分类突破I■■■誥絃総研热点扭[析考法浚签瘗热点一三角恒等变换及应用【例1] (1)(2018-全国I卷)己知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重2合，终边上有两点A(l, a). B(2, b),且cos 2(z=j,贝\\\a~b\ = { ) 1A-5 D.1(2)若tan兀a = 2tanI 3兀cos a—而则一；一, sin<z_5A.lB.2C.3D.4(3)如图，圆O与兀轴的正半轴的交点为A,点C, B在圆O上，且点C位于第一象12 _丄、巨_13,\/3cos2|—sin|-cos^— j 的值为2解析⑴由题意知cos a>0•因为cos 2a = 2cos2a—1=~,所以、6 、5 …土*得Itan od=*~・由题意知Itan a\ =,所以1“一勿=晋.故选B.,ZAOC=a.若IBCI = 1,则限，点B的坐标为cos 心晋,sin 0 =/ \ JI sin a — sin 心2+1 —3 . 7t . 7t tan a = 2— 1 sin otcosc -cos asing --------------------------- 1 5 5 7i tan 5f 3旳 co r _w(713兀、 s 吨+「而 sin”+£ tan a 】 .7T 71 asing tang sin acos^+cos(3)由题意得\OC\ = \OB\ = \BC\ = \,从而AOBC 为等边三角形，所以sinZAOB = 513*答案(1)B (2)C ⑶备 sin 曾_彳=器所以羽cos?号一sin^cos*— 22« 3_ 厂 1+cos a sin a 吋3 1 . =p3・ 2 P 2探究提高1 •解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时”“所求角”般表示为“两个已知角”的和或差的形式;⑵当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把"所求角”变成"已知角".2•求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.【训练11 (1)(2018-全国II卷)已知sin a+cos 0= 1, cos oc+sin0=0,则sin(a+0)⑵(2017•北京卷)在平面直角坐标系兀Oy中，角u与角0均以S为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin(/=*,则cos(or—〃)= ___________ .一 1 ] 4、疗71 兀(3)(2018-湖州质检)若cos(2a_0) = _盲,sin(a—20)=〒,Ov0v&vav刁贝!j a+0的值为解析(l)Tsin a + cos p= 1, cos a+sin0=0,sin2a + co邙+2sin acos①cos2a+sii?0+2cos asin £=0,②①②两式相加可得sin2a+cos2a+sin2^+cos2^+2(sin acos 0+cos asin 0)=1，/.sin(ot+^)1 =_2-(2)c t与0的终边关于y轴对称，贝lj a+p=Tt+2k7t,比丘乙：・B=Tt_aS ・7( 1) 7 /.cos(a—^) = cos( a — n + a — 2^)= — cos 2a=— (1 — 2sin^a) = — 11— 2X-| =—-,所以sin(2a—0)=p7・所以cos(a—20)=*所以cos(a +0) = cos[(2oc一0) —(a —20)] = cos(2«—”)・cos@ —2") + sin(2a —”)sin(a —X因为问+0罟，所以a + B =£. 答案(1)—£ (2)—£ (3)|热点二正、余弦定理的应用［考法1］三角形基本量的求解【例2—1】（2018-全国I卷）在平面四边形ABCD中，ZADC=90° , ZA=45° , AB =2, BD=5.⑴求cosZADB；(2)若DC=2d求BCRD A D C 2解⑴在△ABD中'由正弦定理得口二右而即而产sin為' 所以sinZADB=€・由题设知，ZADB<90°,、2(2)由题设及(1)知，cos ZBDC= sin ZADB =在△BCD 中，由余弦定理得、2BC 2=BD 2-hDC 2-2BDDCcosZBDC=25-h8-2X5X2\/2X^-=25. 所以BC=5.所以 cos ZADB=2=运 25— 5 •探究提高1•解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”，即“统—角、统一函数、统一结构"•［考法2］求解三角形中的最值问题【例2 — 2】（2018-绍兴质检）已知"，b, c分别为ZVIBC的内角4, B, C的对边，且tzcos C+羽asin C—b—c = 0・⑴求4;（2）若ci = 2,求AABC面积的最大值.解（1）由cicos C+书asin C—b—c=0及正弦定理得sin Acos C+^/3sin Asin C—sin B —sin C=0・因为B=TI—A — Cy所以书sinAsin C—cos Asin C—sin C=0・易知sin C T^O,所以^/3sin A—cos A=l,所以sin A—=-又0<A<7i,所以A=^.(2)法一由⑴得B+C=y C=^—B (OVB<刽，由正弦定理得聶=盒二c 2 4 4 4 晶寸—卞 所以bpsinb c=^sm C. sin § v v v易知一£<23—£<¥，故当2E-*=号,即B=£时，S △初c 取得最大值，最大值为斗平A=|x^sin B X ^sin C sin |=^sin Bsin C=^ (2n }•sin B sin w B Id 丿¥血"cos B +^sin 2B =sin 2B~/3 , J3 2^3 3C0S 2B+ 3 = 3 / \ 7C 1 sin 2B —y + I 6丿 113・所以S^BC =法二由(1)知4=务又u = 2,由余弦定理得22= b2+c2-2bccos p即b2-\-c2~bc—4 Z?c+4 —Z?2+ c22Z?c bcW4,当且仅当b = c = 2时，等号成立.] 1 、厅、庁所以SgBc=qbcsin A=^X专bcW计X4=书,即当b = c = 2时，S^BC取得最大值, 最大值为也.探究提高求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值・(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.［考法3］解三角形与三角函数的综合问题( \【例2 — 3】(2018-嘉兴、丽水高三测试)己知函数您)= cos 2x+中+羽(sinx+cosx)2.(1)求函数/(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC的三边心b, c所对的角分别为力，B, C,若a = 2, 0=好/片+㊁戶好求b的值.] 、/3 ( Tt]解(1)因为—2COS 2%—专sin 2x+A/3(l+sin 2x) = sin 2x+g +书，所以/W的最大值为1+羽，最小正周期T=TI.z\ / \ / \ / \C(2)因为/ (才十qJ=sinl+C+gJ+^=cos C+& +羽=羽,所以cos| C+g =0 c=y由余弦定理c2=a+b2-2abcos C可得沪一2^ —3 = 0,因为b>0,所以b = 3.探究提高解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题, 优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练2】(2016-浙江卷)在△ABC中，内角儿B，C所对的边分别为心4 c.已矢口b+c = 2acos B.⑴证明：A = 2B；2(2)若△ABC的面积S=牛,求角A的大小.(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B = sin B + sin(A+B) =sin B + sin Acos B + cos Asin B,于是sin B = sin(A-B).又儿Be(0, TC),故0<4—3<兀，所以或 3 =A—B,因此A=7t(舍去)或A = 2B，所以A = 2B・2 2(2)解由S=才得如bsin C=予，故有sin Bsin C=gsin 2B = sin Bcos B,因sinBHO,得sin C=cos B.又B, C£(O, TC),所以C=q土B. 当B+C=》时，A=|；当C~B=^时，A=中.综上，4=申或M纳总结丨思维升华I ■■■■課穩穩探规律瘗防失:误浚签瘗1 •对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；I(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：（1）通过正弦定理实施边角转换；（2）通过余弦定理实施边角转换；（3）通过三角变换找出角之间的关系；（4）通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；（5）若涉及两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设岀未知量，从几个三角形中列岀方程（组）求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S= fabsinC来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.。

2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、平面向量 第二讲 三角恒等变换与解三角形课时作业 理1．(2016·贵阳模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－717B ．177C ．717D ．－177解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－512＋11＋512＝717，故选C. 答案：C2．(2016·合肥模拟)△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( )A ．2 B.52 C ．3 D.72解析：由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a ＋2)×78⇒a ＝2，故选A. 答案：A3．(2016·高考全国Ⅲ卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A ．31010B ．1010C ．－1010D ．－31010解析：利用正、余弦定理或三角恒等变换求解．解法一 设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a ＝－1010.故选C. 解法二 同解法一得c ＝23a . 由正弦定理得sin C ＝23sin A ，又B ＝π4， ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝23sin A ， 即22cos A ＋22sin A ＝23sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A 为钝角．又∵1＋tan 2 A ＝1cos 2 A ，∴cos 2A ＝110，∴cos A ＝－1010.故选C. 答案：C4．(2016·河南八市联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α的值为( ) A ．－15B.75 C ．－75D.34解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，知tan 2α＋11－tan 2α＝17，∴tan 2α＝－34.∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2α＝35，cos 2α＝－45.∴sin 2α＋cos 2α＝－15，故选A. 答案：A5．(2016·高考全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：利用诱导公式及二倍角的余弦公式，将三角函数最值问题转化为给定区间的二次函数的最值问题求解．∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B. 答案：B6．(2016·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( ) A ．14 h B ．15 h C ．16 hD ．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2－2×20t ×600×22≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以Δt ＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B.答案：B7．(2016·高考四川卷)cos 2 π8－sin 2 π8＝________.解析：逆用二倍角公式化简求值． cos 2 π8－sin 2 π8＝cos π4＝22.答案：228．(2016·高考浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.解析：借助三角恒等变换求解． ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ， ∴A ＝2，b ＝1. 答案： 2 19．(2016·广西联考)已知△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________．解析：因为S ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，所以12bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，又sin 2A ＋cos 2 A ＝1，所以sin A ＝4(1－cos A )，所以sin A ＝817，所以S ＝12bc sinA ＝417bc ≤417⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝6417. 答案：641710．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x2＋3sin x .(1)求函数f (x )的最大值，并写出取得最大值时相应的x 的取值集合； (2)若tan α2＝12，求f (α)的值．解析：(1)f (x )＝1＋cos x ＋3sin x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝1，即x －π3＝2k π，x ＝2k π＋π3(k ∈Z)时，函数f (x )的最大值为3，此时相应的x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z. (2)f (α)＝2cos 2 α2＋23sin α2cos α2＝2cos 2 α2＋23sin α2cosα2cos 2 α2＋sin 2α2＝2＋23tanα21＋tan 2α2＝8＋435.11．(2016·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．解析：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得a sin B ＝b sin A .又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ， 所以cos B ＝32，所以B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 12．(2016·昆明模似)如图在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－13，AB ＝32，BD ＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－13，所以sin ∠BAC ＝223.又sin ∠BAC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ＝223， 在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ， 即AD 2－8AD ＋15＝0，解得AD ＝5或AD ＝3，由于AB >AD ， 所以AD ＝3.(2)在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB，又由cos ∠BAD ＝223得sin ∠BAD ＝13，所以sin ∠ADB ＝63，则sin ∠ADC ＝sin(π－∠ADB )＝sin ∠ADB ＝63.因为∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ＝π2＋∠C ，所以cos ∠C ＝63.在Rt △ADC 中，cos ∠C ＝63，则tan ∠C ＝22＝AD AC ＝3AC， 所以AC ＝32，则△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×32×32×223＝6 2.。