高中数学第一章推理与证明3反证法例题与探究北师大版选修2_2

第一章DIYIZHANG推理与证明§3反证法课后篇巩固提升A组1.设a,b是两个实数,能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是( )A.a+b>1B.a+b=2C.ab>1D.a+b>2A,若a=12,b=23,则a+b>1,因此A推不出;对于B,若a=b=1,则a+b=2,故B推不出;对于C,若a=-2,b=-3,则ab>1,故C推不出;对于D,a+b>2,满足“a,b中至少有一个大于1”的条件,利用反证法:若a≤1,b≤1,则a+b≤2与已知a+b>2矛盾,因此假设不正确,故原结论正确.故选D.(1)所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾;(2)所以∠B<90°;(3)假设∠B≥90°;(4)由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )A.(1)(2)(3)(4)B.(4)(3)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)D.(3)(4)(2)(1)C.3.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可以作为条件使用的是( )①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论.A.①②B.②③C.①②③D.①②④.4.若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,则这个三角形的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定ABC的直线只能过一个顶点,且与对边相交,如直线AD(点D在BC 上),则∠ADB+∠ADC=π.若∠ADB为钝角,则∠ADC为锐角.而∠ADC>∠BAD,∠ADC>∠ABD,△ABD与△ACD不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠时,才符合题意.ADC=∠BAC=π2或|y|≥26.有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”,其中正确的叙述有(填序号即可).,应为a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上;④错,应为三角形的内角中有两个或三个钝角.7.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1为三角形,△A2B2C2为三角形(填“锐角”或“钝角”).A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,可知△A 1B 1C 1为锐角三角形.则由题意,知△A 2B 2C 2为锐角三角形或钝角三角形.假设△A 2B 2C 2是锐角三角形,由{ sinA 2=cosA 1=sin (π2-A 1),sinB 2=cosB 1=sin (π2-B 1),sinC 2=cosC 1=sin (π2-C 1),得{ A 2=π2-A 1,B 2=π2-B 1,C 2=π2-C 1,∴A 2+B 2+C 2=π2与A 2+B 2+C 2=π矛盾.∴△A 2B 2C 2是钝角三角形. 钝角8.证明对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l 与双曲线C:3x 2-y 2=1的交点A,B 关于直线y=ax(a 为常数)对称.k,使得点A,B 关于直线y=ax 对称,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax 垂直;(2)点A,B 在直线l:y=kx+1上;(3)线段AB 的中点(x 1+x 22,y 1+y 22)在直线y=ax 上.所以{ka =-1,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2,y 1+y 22=a ·x 1+x22,①②③由②③,得a(x 1+x 2)=k(x 1+x 2)+2. ④由{y =kx +1,y 2=3x 2-1,得(3-k 2)x 2-2kx-2=0, 因此x 1+x 2=2k 3-k 2,将其代入④,得ak=3.这与①矛盾,所以假设不成立.因此不存在实数k,使得点A,B 关于直线y=ax 对称.B 组1.设a,b,c 都是正数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a( )A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2a+1b<2,b+1c<2,c+1a<2,则a+b+c+1a+1b+1c <6.∵a,b,c 都是正数,∴a+1a≥2,b+1b≥2,c+1c≥2.∴a+b+c+1a+1b+1c≥6,与假设相矛盾.∴a+1b,b+1c,c+1a中至少有一个不小于2.2.下列说法不正确的是( )B.三角形的内角中至少有一个不大于60度C.若-1,∈[0,1],使得”的否定形式是:“∀m ∈[0,1],总有”A 选项,反证法假设时,假设“x≠1或y≠1”,故A 选项说法正确;对于B 选项,假设三个内角都大于60度,则内角和大于180度,故假设不成立,故B 选项说法正确;对于C 选项,假设等比数列公比为q(q≠0),则y=(-1)·q 2<0,所以C 选项说法错误;综上所述,故选C.3.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x 0叫做函数f(x)的“新驻点”,如果函数g(x)=x 与h(x)=ln(x+1)的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是 .g'(x)=1,h'(x)=1x+1,所以α=1,ln(β+1)=1β+1,假设β≥α=1,则β+1≥2,则0<1β+1≤12,所以0<ln(β+1)≤12=ln √e ,∴1<β+1≤√e <2,∴0<β<1与β≥1矛盾,故α>β.4.已知a,b,c 是互不相等的实数,求证:由y=ax 2+2bx+c,y=bx 2+2cx+a 和y=cx 2+2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点.x 轴有两个不同的交点.由y=ax 2+2bx+c,y=bx 2+2cx+a,y=cx 2+2ax+b,得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.同向不等式求和,得4b 2+4c 2+4a 2-4ac-4ab-4bc≤0,∴2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac≤0.∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.∴a=b=c.这与题设a,b,c 互不相等矛盾,因此,假设不成立.故由y=ax 2+2bx+c,y=bx 2+2cx+a 和y=cx 2+2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点.5.用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.:在△ABC 中,∠BAC>90°,D 是BC 的中点,求证:AD<12BC.证明如下:假设AD≥12BC.(1)若AD=12BC,由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半,则这条边所对的角为直角”知∠BAC=90°,与题设矛盾,所以AD≠12BC.(2)若AD>12BC,因为BD=DC=12BC,所以在△ABD 中,AD>BD,从而∠B>∠BAD;同理∠C>∠CAD.所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,即∠B+∠C>∠BAC.因为∠B+∠C=180°-∠BAC,所以180°-∠BAC>∠BAC,则∠BAC<90°,与题设矛盾.由(1)(2)知AD<12BC.。

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§1。

3 反证法1.了解间接证明的一种基本方法—-反证法。

2。

理解反证法的概念及思考过程和特点.（难点）3.掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材P13～P14“例3”以上内容，完成下列问题.1.反证法的定义在证明数学命题时,先假定命题结论的反面成立,在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法。

2。

反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定-—推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题)的过程。

用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：错误!→错误!→错误!→错误!判断(正确的打“√"，错误的打“×"）(1）反证法属于间接证明问题的方法.( ）(2)反证法的证明过程既可以是合情推理,也可以是一种演绎推理。

( )（3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾。

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．1994．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()()2f x f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.14．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n n a a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B 【解析】 【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.5．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的； 对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的； 综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．C解析：C 【解析】 设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符； 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符； 当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符. 故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论． 【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014， 故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1， 从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2，第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ． 【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2.点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.14．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194 【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.15．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392 【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时， 故A 到F 的最短时间就为9小时， 则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时， 即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为：4n+2．18．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x的不等式111kx bxax cx-+<--可化为111bk xa cx x-+<--，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx-∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x的不等式111kx bx ax cx -+< --的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．19．1和3【详解】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】 （1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =， 则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+， 即当1n k =+时猜想也成立， 由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立， 即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 23．见解析. 【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）假设当()*,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．详解：证明：①当1n =时，左边111224=>，不等式成立. ②假设当()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即11111112324k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++， 则当1n k =+时，111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 111112421221k k k >++-+++， ∵11121221k k k +-+++ ()()()()()21212212121k k k k k +++-+=++()()102121k k =>++，∴11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．24．（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.【解析】试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.试题 解：（I ）()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴()5254441f =+⨯=．（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 25．见解析. 【分析】将代数式()()2222a b +++展开，利用基本不等式()2222a b a b ++≥可证出所证的不等式. 【详解】222a b ab +≥，()()2222222a babab a b ∴+≥++=+，则()222122a b a b ++≥=，()()()222212522484822a b a b a b ∴+++=++++≥++=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()2225222a b +++≥. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立． 【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。

学习资料课时素养评价五反证法（20分钟·50分）一、选择题(每小题5分，共20分)1。

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾.其中正确的为( )A。

①②B。

②③C。

③④ D.①②③④【解析】选D.利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论,以此说明原假设的结论不成立,从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.①与已知条件矛盾；正确。

②与假设矛盾；正确。

③与定义、公理、定理矛盾；正确。

④与事实矛盾.正确.2.小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名"；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名";小红：“我得第一名”。

已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名。

根据以上信息可以判断出得第一名的人是( ）A.小明B。

小马 C.小红 D.小方【解析】选A。

假设第一名是小方,则小方、小明、小马说的都是真话，小红说的是假话，不合题意；假设第一名是小明，则只有小明说的是真话,另外三人说的都是假话，符合题意；假设第一名是小马，则小方、小红说的都是假话，小马、小明说的是真话，不合题意;假设第一名是小红，则小方、小明说的是假话，小马和小红说的是真话,不合题意。

3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为（)A.一定是异面直线B。

一定是相交直线C。

不可能是平行直线D。

不可能是相交直线【解析】选C。

假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线。

4.已知x1〉0，x1≠1且x n+1=(n=1,2，…),试证:数列｛x n｝对任意的正整数n都满足x n〉x n+1，当此题用反证法否定结论时应为( ）A。

对任意的正整数n,有x n=x n+1B.存在正整数n,使x n=x n+1C。

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师大版选修2-2一、选择题1．用反证法证明命题“若a＞b,则错误!＞错误!”时，假设的内容是( ）A.错误!＝错误! B.错误!＜错误!C。

3，a＝错误!，且错误!＜错误!D。

错误!＝错误!或错误!＜错误!解析：“3a＞错误!”的否定是“错误!≤错误!”，即“错误!＝错误!或错误!＜错误!"．答案: D2．如果两个实数之和为正数，那么这两个数( ）A．一个是正数,一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数解析：若都不是正数,则两数之和一定不会是正数．答案：C3．设a、b、c都是正数，则三个数a＋错误!，b＋错误!，c＋错误!( ）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2解析: 错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥2＋2＋2＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”．故选C。

答案：C4．已知f(x）是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：①若a＋b≥0，则f（a）＋f(b)≥f （－a)＋f（－b);②若f(a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b)，则a＋b≥0；③若a＋b＜0,则f （a)＋f(b)＜f（－a)＋f(－b)；④若f(a）＋f（b）＜f(－a)＋f（－b），则a＋b＜0，其中真命题个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：易知①③正确．②用反证法:假设a＋b＜0，则a＜－b,b＜－a,∴f（a）＜f（－b)，f（b）＜f(－a），∴f(a)＋f（b)＜f(－a)＋f（－b)与条件矛盾，故a＋b≥0，从而②为真命题,④类似于②用反证法．答案：D二、填空题5．若a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，ab＞0，则用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时，应假设为___________．答案：a、b、c不全是正数6．命题“a,b是实数,若|a－1|＋|b－1｜＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为_________．答案: a≠1或b≠1三、解答题7．设f（x)＝x2＋ax＋b，求证：|f（1）|、|f(2)|、|f(3）|中至少有一个不小于错误!。

§3 反证法反证法是一种间接证明的方法,它是通过证明原命题的否定的真实性来确立原论题的真实性的证明方法,在应用反证法证明问题的过程中以找它的逆否命题然后推出矛盾为根本.本节内容就开始学习反证法.高手支招1细品教材1.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法.反证法就是一种常用的间接证明方法.2.反证法(1概念:假定命题结论的反面成立.在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这样的证明方法叫做反证法(有时也叫归谬法.(2形式:由证明p⇒q转向证明:⌝q⇒r⇒…⇒t,t与假设或与某个真命题矛盾,⌝q为假,推出q为真.状元笔记反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题的过程.用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示为:3.反证法的证题步骤包括以下三个步骤:(1作出否定结论的假设(反设——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真;(2逐步推理,导出矛盾(归谬——从假设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;(3否定假设,肯定结论(存真——由矛盾结果,断定假设不真,从而肯定原结论成立.【示例】p>0,q>0,p3+q3=2.试用反证法证明:p+q≤2.思路分析:此题直接由条件推证p+q≤2是较困难的,由此用反证法证之.证明:假设p+q>2,∵p>0,q>0,∴(p+q3=p3+3p2q+3pq2+q3>8.又∵p3+q3=2,代入上式得:3pq(p+q>6,即pq(p+q>2.①又由p3+q3=2,得(p+q(p2-pq+q2=2.②由①②得pq(p+q>(p+q(p2-pq+q2,∵p+q>0.∴pq>p2-pq+q2⇒p2-2pq+q2<0⇒(p-q2<0.但这与(p-q2≥0相矛盾.∴假设p+q>2不成立.故p+q≤2.状元笔记归谬矛盾的几种情况:(1与已知条件矛盾;(2与已有公理、定理、定义矛盾;(3自相矛盾;(4与客观事实矛盾.4.反证法的适用情况(1结论以否定形式出现;(2结论以“至多……”“至少……”形式出现;(3唯一性、存在性问题;(4结论的反面是比原结论更具体,更容易研究的命题.高手支招2基础整理本节的内容主要讲述了反证法的概念、形式及其证明步骤.反证法作为间接证明的一种重要形式,为证明题的解决开辟了一条重要途径,提供了便利.本节的知识结构如下:。