2017届北京市第四中学高三上学期期中考试数学(理)试题(word版)

北京四中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣22．（5分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）A．B．C．D．4．（5分）“m＜8”是“方程﹣=1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=16．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）两个焦点分别为F1，F2，若C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．5B．C．4D．AD8．（5分）若有两个焦点F1，F2的圆锥曲线上存在点P，使|PF1|=3|PF2|成立，则称该圆锥曲线上存在“α”点，现给出四个圆锥曲线：①﹣=1 ②x2﹣=1 ③+=1④+=1，其中存在“α”点的圆锥曲线有（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是．10．（5分）“∃x∈R，x2+x﹣8＞0”的否定为．11．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦距为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程是．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，∠F1PF2的大小为．13．（5分）过点（0，﹣4）且与直线y=4相切的圆的圆心轨迹方程是．14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，斜率为1的直线过F且交椭圆于A、B两点，若+与=（3，﹣1）共线，则此椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分．）15．（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且C上一点到C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与C相切，求直线l的方程．16．（10分）若抛物线C：y2=2px的焦点在直线l：2x+y﹣2=0上．（1）求抛物线C的方程；（2）求直线l被抛物线C所截的弦长．17．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ 分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）18．（5分）p：∃t∈R，使得直线x﹣y+t=0与圆x2+y2=1相交；q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．p是假B．￢q是真C．p∧q是假D．p∧q是真19．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x20．（5分）过抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点F作直线交C于P，Q两点，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则m2+n2的最小值为（）A．B．2a2C．a2D．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）21．（5分）经过点A（3，1）作直线l，它与双曲线﹣y2=1只有一个公共点，这样的直线l有条．22．（5分）曲线的极坐标方程ρ=sinθ﹣cosθ化为直角坐标方程为．23．（5分）抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线y=x对称的相异两点A，B，则|AB|等于．三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）24．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．25．（10分）设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：x 3 ﹣2 4y ﹣20 ﹣4 ﹣（1）求C1、C2的标准方程；（2）设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l 过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．北京四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=﹣8x的准线方程．解答：解：抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，∴抛物线y2=﹣8x的准线方程为x==2故选A．点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．2．（5分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线﹣y2=1的a，b，由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，即可得到．解答：解：双曲线﹣y2=1的a=，b=1，由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，则所求渐近线方程为y=±x．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：由于和是终边相同的角，故点M的极坐标也可表示为．解答：解：点M的极坐标为，由于和是终边相同的角，故点M 的坐标也可表示为，故选D．点评：本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，是一道基础题．4．（5分）“m＜8”是“方程﹣=1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．分析：根据双曲线的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若方程﹣=1表示双曲线，则（m﹣10）（m﹣8）＞0，即m＞10或m＜8．∴“m＜8”是“方程﹣=1表示双曲线”的充分而不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的定义求出m的取值范围是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆的离心率求得a，最后根据a和c的关系求得b．解答：解：抛物线y2=8x，∴p=4，焦点坐标为（2，0），∵椭圆的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，∴椭圆的半焦距c=2，即a2﹣b2=4，∵e==，∴a=4，b==2，∴椭圆的标准方程为+=1，故选：B．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程的问题．同时考查抛物线的方程和性质，要熟练掌握椭圆方程中a，b和c的关系，求椭圆的方程时才能做到游刃有余．6．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）两个焦点分别为F1，F2，若C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率．解答：解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，∴|PF1|+|PF2|=6m＞|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于=．故选：A．点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．属于基础题，7．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．5B．C．4D．AD考点：抛物线的定义．专题：计算题．分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|=|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，直线FA与抛物线交于P0点，可得P0，分析出当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，进而求得|FA|，则|PA|+|PM|的最小值可得．解答：解：依题意可知焦点F（，0），准线x=﹣，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH|．|PM|=|PH|﹣=|PF|﹣，|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（﹣，）舍去．当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|=．则所求为|PM|+|PA|==．故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了考生分析问题的能力，数形结合的思想的运用．8．（5分）若有两个焦点F1，F2的圆锥曲线上存在点P，使|PF1|=3|PF2|成立，则称该圆锥曲线上存在“α”点，现给出四个圆锥曲线：①﹣=1 ②x2﹣=1 ③+=1④+=1，其中存在“α”点的圆锥曲线有（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；阅读型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出曲线①②③④的焦点坐标，设出P（x，y），运用两点的距离公式化简整理得到P的轨迹方程，联立曲线方程，消去y，解关于x的方程，注意曲线的范围，判断即可得到．解答：解：对于①，﹣=1的焦点F1（﹣4，0），F2（4，0），设P（x，y），则由|PF1|=3|PF2|可得（x+4）2+y2=9，化简得x2+y2﹣10x+16=0，代入双曲线的方程，消去y，得3x2﹣（10x﹣16﹣x2）=12，即为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，由双曲线的范围可得x≥2，故存在P，则①正确；对于②，x2﹣=1的焦点F1（﹣4，0），F2（4，0），则P（x，y）的轨迹方程为x2+y2﹣10x+16=0，代入双曲线的方程，消去y，得15x2﹣（10x﹣16﹣x2）=15，即为16x2﹣10x+1=0，解得x=或，由双曲线的范围为x≥1，故不存在点P，则②不正确；对于③，+=1的焦点F1（﹣，0），F2（，0），设P（x，y），则由|PF1|=3|PF2|可得（x+）2+y2=9，化简得x2+y2﹣x+2=0，代入椭圆方程，消去y得2x2﹣x+81=0，可得判别式大于0，两根之积为＞9，由椭圆的范围可得|x|≤3，故不存在P，则③不正确；对于④，+=1的焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x，y），则由|PF1|=3|PF2|可得（x+2）2+y2=9，化简得x2+y2﹣5x+8=0，代入椭圆方程，消去y得2x2﹣15x+36=0，可得x=6或，由椭圆的范围可得|x|，即有x=成立，故存在P，则④正确．故选B．点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查轨迹方程的求法，注意联立方程求解时，别忽视圆锥曲线的范围，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．解答：解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．10．（5分）“∃x∈R，x2+x﹣8＞0”的否定为∀x∈R，x2+x﹣8≤0．考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称的否定是全称写出结果即可．解答：解：因为特称的否定是全称．所以，“∃x∈R，x2+x﹣8＞0”的否定为：∀x∈R，x2+x ﹣8≤0．故答案为：∀x∈R，x2+x﹣8≤0．点评：本题考查的否定，特称与全称的否定关系，基本知识的考查．11．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦距为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1或y2﹣x2=1．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知得，由此能求出双曲线方程．解答：解：由已知得，解得a=1，c=，∴b==1，∴当焦点在x轴时，双曲线方程为x2﹣y2=1．当焦点在y轴时，双曲线方程为y2﹣x2=1．故答案为：x2﹣y2=1或y2﹣x2=1．点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=2，∠F1PF2的大小为120°．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．解答：解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2；120°点评：本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分）过点（0，﹣4）且与直线y=4相切的圆的圆心轨迹方程是x2=﹣16y．考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出动圆圆心的坐标，根据题意可知圆心到定点（0，﹣4）到直线y=4的距离都等于半径，进而利用抛物线的定义可求得x和y的关系式．解答：解：设动圆圆心坐标为（x，y）∵动圆过定点（0，﹣4）且与直线y=4相切，∴圆心到定点（0，﹣4）到直线y=4的距离都等于半径，∴根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹方程是x2=﹣16y故答案为：x2=﹣16y点评：本题考查轨迹方程，利用抛物线的定义来求轨迹方程是关键．14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，斜率为1的直线过F且交椭圆于A、B两点，若+与=（3，﹣1）共线，则此椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率．解答：解：设椭圆方程为，则直线AB的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程的，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∵+=（x1+x2，y1+y2），与=（3，﹣1）共线∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，∴x1+x2=c，∴= c∴a2=3b2．∴c==a，故离心率e==．故答案为：．点评：考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理．三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分．）15．（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且C上一点到C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与C相切，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆C的标准方程为，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设直线为y=，则由题意得，根据直线与曲线相切得△=0，求得直线．解答：解：（1）设椭圆C的标准方程为，由题意解得a=2，b=1．所以椭圆C的标准方程（2）设直线为y=，则由题意得得2x2+4mx+4m2﹣4=0△=16m2﹣8（4m2﹣4）=0解得m=故直线方程为．点评：本题主要考查椭圆方程的求法，和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题目．16．（10分）若抛物线C：y2=2px的焦点在直线l：2x+y﹣2=0上．（1）求抛物线C的方程；（2）求直线l被抛物线C所截的弦长．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，代入即可求得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）联立直线和抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义，即可求得弦长．解答：解：（1）抛物线C：y2=2px的焦点为（，0），由题意可得，p﹣2=0，解得p=2，即有抛物线方程为y2=4x；（2）由直线2x+y﹣2=0和抛物线y2=4x，消去y，可得x2﹣3x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=3，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=3+2=5．则直线l被抛物线C所截的弦长为5．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，属于中档题．17．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ 分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由离心率为，即可得a2=2b2，从而C：，再把点代入椭圆方程即可求得b2，进而得到a2．（Ⅱ）由（Ⅰ）写出焦点F1，F2的坐标，设直线MN的方程为y=k（x+2），由直线MN与直线PQ互相垂直得直线PQ的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立直线MN与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及弦长公式可用k表示|MN|，同理可表示出|PQ|，计算即可得到为定值．解答：（Ⅰ）解：由已知，得．所以a2=2b2．所以C：，即x2+2y2=2b2．因为椭圆C过点，所以，得b2=4，a2=8．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2）．由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0．则，．所以|MN|===．同理可得|PQ|=．所以==．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，韦达定理及弦长公式是解决该类题目的基础，应熟练掌握．一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）18．（5分）p：∃t∈R，使得直线x﹣y+t=0与圆x2+y2=1相交；q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．p是假B．￢q是真C．p∧q是假D．p∧q是真考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：根据直线与圆的位置关系判断出p的真假，根据双曲线的性质判断出q的真假，进而得到答案．解答：解：由得：2x2+2tx+t2﹣1=0，△=﹣4t2+8，∃t∈R，使得判别式△≥0，故p是真；∵双曲线﹣=1中a=b=|m|=m，∴c=m，∴e==，故q为真．故p∧q是真，故选：D．点评：本题考查了直线与圆的位置关系以及双曲线的性质，考查了复合的判断，是一道基础题．19．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x考点：抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A 的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得．解答：解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等．考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用．20．（5分）过抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点F作直线交C于P，Q两点，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则m2+n2的最小值为（）A．B．2a2C．a2D．考点：抛物线的简单性质．专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点和准线方程，设出直线PQ的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义，求得m，n的式子，以及m+n，mn的关系式，运用配方，即可得到最小值．解答：解：抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，设PQ直线方程是y=kx+，则x1，x2是方程ax2﹣kx﹣的两根，可设x1＞0，x2＜0，P（x1，ax12），Q（x2，ax22），x1+x2=，x1x2=﹣，由抛物线的定义可得m=ax12+，n=ax22+，m+n=a（x1+x2）2﹣2ax1x2+=+，mn=a2x12x22++（x12+x22）=++×=，则m2+n2=（m+n）2﹣2mn=﹣=≥，当且仅当k=0，取得最小值，且为．故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）21．（5分）经过点A（3，1）作直线l，它与双曲线﹣y2=1只有一个公共点，这样的直线l有2条．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分为两类考虑：直线的斜率不存在；与渐近线平行的直线，即可得到结论．解答：解：①当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=3，直线与双曲线相切，满足题意；②因为a=3，b=1，所以双曲线的渐近线方程为y=x，则A在渐近线y=x上，可作出一条与渐近线y=﹣x平行的直线，即与双曲线只有一个交点；故满足条件的直线共有2条．故答案为：2．点评：本题考查了直线与双曲线有一个公共点的情况，做题时极容易丢平行渐近线的情况，做题时一定要细心．属于基础题型．22．（5分）曲线的极坐标方程ρ=sinθ﹣cosθ化为直角坐标方程为x2+y2+x﹣y=0．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直接利用x2+y2=ρ2，ρsinθ=y，ρcosθ=x把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程．解答：解：由于曲线的极坐标方程ρ=sinθ﹣cosθ，所以：ρ2=ρsinθ﹣ρcosθ由于：x2+y2=ρ2，ρsinθ=y，ρcosθ=x所以曲线的直角坐标方程为：x2+y2=y﹣x即：x2+y2+x﹣y=0故答案为：x2+y2+x﹣y=0点评：本题考查的知识要点：曲线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题型．23．（5分）抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线y=x对称的相异两点A，B，则|AB|等于3．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简利用根与系数的关系可得x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，根据AB的中点（﹣，﹣+b）在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=•求得结果．解答：解：由题意可得，可设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=﹣x2+3化简可得x2+x+b﹣3=0，∴x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，故AB的中点为（﹣，﹣+b），根据中点在直线x+y=0上，∴﹣+（﹣+b）=0，∴b=1，故x1•x2=﹣2，∴|AB|=•=3，故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，求得x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣2，是解题的关键．三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）24．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为，建立方程组，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）（k≠0）代入椭圆方程，求出P，Q的坐标，利用以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0，0），则等价于=0恒成立，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．所以椭圆C的方程是．…（4分）（Ⅱ）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．直线y=k（x﹣1）（k≠0）代入椭圆可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=．又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）．由题意可知直线AM的方程为y=（x﹣2），故点P（0，﹣）．直线BM的方程为y=（x﹣2），故点Q（0，﹣）．若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0，0），则等价于=0恒成立．又因为=（x0，），=（x0，），所以•=x02+•=0恒成立．又因为（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=，y1y2=k（x1﹣1）（x2﹣1）=，所以x02+•=﹣3=﹣0．解得x0=．故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点（，0）．…（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，综合性强．25．（10分）设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：x 3 ﹣2 4y ﹣20 ﹣4 ﹣（1）求C1、C2的标准方程；（2）设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），由题意知C2：y2=4x（2分）．设，把点（﹣2，0）（，）代入得解得，由此可知C1的方程．（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为x﹣1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），由．得x1x2+y1y2=0．由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，然后由根的判别式和根与系数的关系可知假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y﹣2=0．解答：解：（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，据此验证5个点知只有（3，）、（4，﹣4）在统一抛物线上，易求C2：y2=4x（2分）设，把点（﹣2，0）（，）代入得解得∴C1方程为（5分）（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0）设其方程为x﹣1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），由．得x1x2+y1y2=0（*）（7分）由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，△=16m2+48＞0∴①x1x2=（1+my1）（1+my2）=1+m（y1+y2）+m2y1y2；=②（9分）将①②代入（*）式，得解得（11分），∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y﹣2=0（12分）点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．。

2017北京四中高三（上）期中数学（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，则∁U A=（）A．{4}B．{3，4}C．{3}D．{1，3，4}2．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．25．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．846．（5分）已知x∈R，则“α=π”是“sin（x+α）=﹣sinx”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上单调递增，a=f（3），b=f（），c=f（2），则a，b，c大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a8．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥kx，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设i是虚数单位，则=．10．（5分）执行如图所示的框图，输出值x=．11．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式xf（x）＞0的解集为．13．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是元．14．（5分）已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：A t={y|y=f（x）}，点P（t，f（t）），Q（x，f （x））满足|PQ|．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则（1）若函数f（x）=x，则h（1）=；（2）若函数f（x）=sin x，则h（t）的最小正周期为．三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15．（13分）集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|＜8}，C={x|（x+2）（x﹣m）＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若（A∪B）⊆C，求实数m的取值范围．16．（13分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．17．（13分）已知函数f（x）=4sinxcos（x+），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．18．（13分）已知函数f（x）=ln（ax+1）+，其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．19．（14分）设函数f（x）=（alnx+e x，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）设g（x）=xe﹣x﹣，求g（x）的最大值；（Ⅲ）证明函数f（x）的图象与直线y=1没有公共点．20．（14分）对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．（Ⅰ）写出f A（1）和f B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B？参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.）1．【解答】全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，则∁U A={3，4}，故选：B2．【解答】命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．3．【解答】∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选C．4．【解答】作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=0+2×1=2．最大值故选：D．5．【解答】∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B6．【解答】当“α=π”⇒“sin（x+α）=﹣sinx“当sin（x+α）=﹣sinx，α=（2k+1）π，k∈Z所以后者推不出前者，所以“α=π”是“sin（x+α）=﹣sinx“的充分而不必要条件．故选A．7．【解答】由条件f（x+1）=﹣f（x），可以得：f（x+2）=f（（x+1）+1）=﹣f（x+1）=f（x），所以f（x）是个周期函数．周期为2．又因为f（x）是偶函数，所以图象在[0，1]上是减函数．a=f（3）=f（1+2）=f（1），b=f（）=f（﹣2）=f（2﹣）c=f（2）=f（0）0＜2﹣＜1所以a＜b＜c故选D8．【解答】由题意可得，①当x≤0时，|﹣x2+2x|≥kx恒成立，即x2﹣2x≥kx，即x2≥（k+2）x，∴x ≤k+2，∴k+2≥0，k≥﹣2．②当x＞0时，ln（x+1）≥kx恒成立，∴0≥kx，求得k≤0．综上可得，k的取值为[﹣2，0]，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）9．【解答】=，故答案为：﹣i．10．【解答】模拟程序框图的运行过程，如下；x=1是奇数，则x+1=2是偶数，x+2=4，4+1=5是奇数，则5+1=6，6+2=8，8+1=9是奇数，9+1=10，10+2=12＞8；输出x=12．故答案为：12．11．【解答】由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．12．【解答】f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，故当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣4x，故函数f（x）的图象如图：不等式xf（x）＞0，即①，②．解①可得x＞4，解②可得x＜﹣4，故不等式的解集为（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．13．【解答】设长方体容器的长为xm，宽为ym，则x•y•1=4，即xy=4，则该容器的造价为：z=200xy+100（x+x+y+y）=800+200（x+y）≥800+200×2=800+800=1600．（当且仅当x=y=2时，等号成立）故该容器的最低总价是1600元．故答案为：1600．14．【解答】（1）若函数f（x）=x，则点P（t，t），Q（x，x），∵|PQ|，∴≤，化简可得|x﹣t|≤1，﹣1≤x﹣t≤1，即1﹣t≤x≤t+1，即M t =1+t，m t =1﹣t，∵h（t）=M t﹣m t ，h（1）=（1+1）﹣（1﹣1）=2．（2）若函数f（x）=sin x，此时，函数的最小正周期为=4，点P（t，sin），Q（x，sin），如图所示：当点P在A点时，点O在曲线OAB上，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．当点P在曲线上从A接近B时，h（t）逐渐增大，当点P在B点时，M t=1，m t=﹣1，h（t）=M t﹣m t=2．当点P在曲线上从B接近C时，h（t）逐渐见减小，当点P在C点时，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．当点P在曲线上从C接近D时，h（t）逐渐增大，当点P在D点时，M t=1，m t=﹣1，h（t）=M t﹣m t=2．当点P在曲线上从D接近E时，h（t）逐渐见减小，当点P在E点时，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．…依此类推，发现h（t）的最小正周期为2，故答案为2．三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15．【解答】（Ⅰ）A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2）；；所以A∩B=（1，2）；（Ⅱ）A∪B=（0，4），若m＞﹣2，则C=（﹣2，m），若A∪B=（0，4）⊆C，则m≥4；若m=﹣2，则C=∅，不满足A∪B=（0，4）⊆C，舍；若m＜﹣2，则C=（m，﹣2），不满足A∪B=（0，4）⊆C，舍；综上m∈[4，+∞）．16．【解答】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得d===3．∴a n=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．∴数列{a n}的通项公式为：a n=3n；设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，由题意得：q3===8，解得q=2．∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1．从而b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∴数列{b n}的通项公式为：b n=3n+2n﹣1；（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．17．【解答】（Ⅰ）由题意：函数f（x）=4sinxcos（x+），x∈R；化简可得：=====．根据正弦函数的图象和性质：可得，是单调递减，解得：，所以函数f（x）的单调减区间为．（Ⅱ）因为，所以，故得，于是，所以﹣2≤f（x）≤1．当且仅当时f（x）取最小值；当且仅当，即时最大值．故得函数f（x）在上的最大值是1，最小值为﹣2．18．【解答】定义域为[0，+∞）.．（Ⅰ）若a=1，则，令f'（x）=0，得x=1（舍﹣1），所以a=1时，f（x ）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）单调递增，所以f（x）的最小值是f（0）=1；②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0，解得：x＞，由f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）的单调减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞），所以f（x）在x=处取得最小值，注意到f（）＜f（0）=1，所以不满足，综上可知，若f（x）得最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．19．【解答】（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．由题意可得f（1）=2，f'（1）=e.．（Ⅱ）．所以当x∈（0，1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．故g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从而g（x）在（0，∞）的最大值为g（1）=﹣．（Ⅲ），又f（1）=eln1+2e0=2＞1，于是函数f（x）的图象与直线y=1没有公共点等价于f（x）＞1．．设函数h（x）=xlnx，则h'（x）=lnx+1.．故h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，从而h（x）在（0，+∞）的最小值为h （）=﹣．由（Ⅱ）知综上，当x＞0时，h（x）＞g（x），即f（x）＞1．20．【解答】（Ⅰ）结合所给定义知，f A（1）=1，f B（1）=﹣1，A△B={1，6，10，16}．（Ⅱ）根据题意可知：对于集合C，X，①若a∈C且a∉X，则Card（C△（X∪{a}）=Card（C△X）﹣1；②若a∉C且a∉X，则Card（C△（X∪{a}）=Card（C△X）+1．所以要使Card（X△A）+Card（X△B）的值最小，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，16是否属于X不影响Card（X△A）+Card（X△B）的值，但集合X不能含有A∪B之外的元素．所以当X为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．所以Card（X△A）+Card（X△B）的最小值（Ⅲ）因为A△B={x|f A（x）•f B（x）=﹣1}，所以A△B=B△A．由定义可知：f A△B（x）=f A（x）•f B（x）．所以对任意元素x，f（A△B）△C （x）=f A△B（x）•f C（x）=f A（x）•f B（x）•f C（x），f A△（B△C）（x）=f A（x）•f B△C（x）=f A（x）•f B（x）•f C（x）．所以f（A△B）△C （x）=f A△（B△C）（x）．所以（A△B）△C=A△（B△C）．由（P△A）△（Q△B）=A△B知：（P△Q）△（A△B）=A△B．所以（P△Q）△（A△B）△（A△B）=（A△B）△（A△B）．所以P△Q△∅=∅．所以P△Q=∅，即P=Q．因为P，Q⊆A∪B，所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为27=128．第11页共11 页。

北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试高三数学 期中试卷（理)（试卷满分：150分 考试时间：120分钟)一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

） 1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{1,2}A =，则UA =A ．{4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{1,3,4}2．设命题2:,2n p n n∃∈>N ，则p ⌝为A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2nn n∃∈N ≤C ．2,2nn n∀∈N ≤ D ．2,2n n n∃∈<N3．为了得到函数3lg 10x y +=的图象,只需把函数lg y x =的图象上所有的点A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．等比数列{}na 满足11353,21,aa a a =++=则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．846．已知x ∈R ，则“απ=”是“sin()sin x x α+=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在区间[1,0]-上单调递增，设)3(f a =，)2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a8。

已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤,若()f x ax ≥,则实数a 的取值范围是 A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[2,1]-D ．[2,0]-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.) 9．设i是虚数单位，则1i1i-=+ 。

物理试卷（试卷满分为100分，考试时间为100分钟）一．选择题（本大题共17小题；每小题3分，共51分。

在每小题给出的四个选项中，有一个选项或多个选项正确。

全部选对的得3分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分）1．关于物体的运动，以下说法正确的是（）A．物体做平抛运动时，加速度不变B．物体做匀速圆周运动时，加速度不变C．物体做曲线运动时，加速度一定改变D．物体做曲线运动时，加速度可能变也可能不变2．从地面以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球从抛出点上升到最高点所用时间为t1，从最高点下落到抛出点所用时间为t2。

若空气阻力的作用不能．．忽略，则对于t1与t2大小的关系，下列判断中正确的是（）A．t1= t2 B．t1< t2C．t1> t2 D．无法断定t1、t2哪个较大3．如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千。

某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变。

木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后（）A．F1不变，F2变大B．F1不变，F2变小C．F1变大，F2变大D．F1变小，F2变4．某人乘电梯竖直向上加速运动，在此过程中（）A．人对电梯地板的压力大于人受到的重力B．人对电梯地板的压力小于人受到的重力C．电梯地板对人的支持力大于人对电梯地板的压力D．电梯地板对人的支持力与人对电梯地板的压力大小相等5．如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖。

若该同学左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速运动，则关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是（）A．笔尖做匀速直线运动B．笔尖做匀变速直线运动C．笔尖做匀变速曲线运动D．笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小6．某人将小球以初速度v 0竖直向下抛出，经过一段时间小球与地面碰撞，然后向上弹回。

2017-2018学年高三数学 期中测试卷(文)试卷满分共计150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1．若集合{1,2,3}A =，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0,1,2,3}B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}2．设3log 2a =，21log 8b =，c = A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>3．“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若实数,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．2 5．从,,,,A B C DE 5名学生中随机选出2人，A 被选中的概率为A ．15B ．25C ．825D ．9256. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是A ．y x =B ．lg y x =C ．2x y = D．y =7．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为A ．3B ．4C ．5D ．68．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．设命题p ：∃n ∈N ，2n >2n ，则p ⌝为______ .10．若i 为虚数单位，则21i=+______ .11．数列}{n a 中，若11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于______ .12．曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为______ .13．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则边c =______ .14．设函数21()4()(2)1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，①若1a =，则()f x 的最小值为______；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______ .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知：ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sin 2sin a B A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1cos 3A =，求sin C 的值．16．（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． （Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？17．（本小题满分13分）已知：函数2()sin 2f x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）把函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值．18．（本小题满分13分）已知：函数2()()(0)x f x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为3-和0． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为1-，求()f x 的极大值．19.（本小题满分14分）已知：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数()f x 在[1,1]-上是增函数；（Ⅱ）解不等式：1()(1)2f x f x +<-；（Ⅲ）若2()21f x m m ≤-+对所有[1,1]x ∈-恒成立，求：实数m 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知：对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*{|,}n A x x a n ==∈N，*{|,}n B x x b n ==∈N ，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =∅且*A B =N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列．（Ⅰ）若21n a n =-， 42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n n a =且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和； （Ⅲ）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式．高三数学 期中测试卷(文)答题纸班级___________学号___________姓名___________成绩___________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分），请把答案填涂在机读卡上二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）三、解答题（本大题共6小题，共80分）参考答案： CDAD BDBA9．p ⌝：2,2n n N n ∀∈≤； 10．1i -； 11．27；12．21y x =-； 13．； 14． 1-；11[2)2，，⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；15．解：（Ⅰ）ABC ∆中，由正弦定理BbA a sin sin =，可得A bB a sin sin =，又由A b B a sin 32sin =得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==，所以23cos =B ， 因为0B π<<，6π=B ； ………7分（Ⅱ）由31cos =A 及0A π<<得322sin =A ，则)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π，所以)6sin(sin π+=A C 6162cos 21sin 23+=+=A A ． ………13分16．解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=； ………4分 （Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=； ………8分（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． ………13分17．解：2()sin 2f x x x =+cos2)sin 2x x -+sin 2x x =2sin(2)3x π=-………3分 （Ⅰ）22T ππ==； ………5分（Ⅱ）由222232k x k πππππ-≤-≤+（k ∈Z ）得51212k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），则()f x 的单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-+（k ∈Z ）； ………8分（Ⅲ）函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数2sin()3y x π=-+再把得到的图象向左平移3π个单位得到函数2sin y x =()2sin g x x =()2sin 166g ππ=+=． ………13分18．解：（Ⅰ）2()()x f x ax bx c e =++，定义域：R22()(2)()[(2)]x x x f x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++． 令()0f x '=，则3x =-和0x =，由0x e >，0a >，则则()f x 的单调增区间是(,3)-∞-，(0,)+∞，单调减区间是(3,0)-， ………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(0)f x f c ==极小值，3-和0是2(2)0ax a b x b c ++++=的根，则1230(3)0c a b a b c a ⎧⎪=-⎪+⎪-+=-⎨⎪+⎪-⨯=⎪⎩，解得111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以2()(1)x f x x x e =+-，又由（Ⅰ）知，335()(3)(93f x f e e-=-=--=极大值………13分19．解：（Ⅰ）证明：设任意12,[1,1]x x ∈-且12x x <，由于()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，∴2121()()()()f x f x f x f x -=+- 因为12x x <，所以21()0x x +-≠，由已知有2121()()0()f x f x x x +->+-,∵2121()0x x x x +-=->，∴21()()0f x f x +->，即21()()f x f x >， 所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数. ………5分（Ⅱ）由不等式1()(1)2f x f x +<-得1112111112x x x x⎧-≤+≤⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪+<-⎩，解得104x ≤<………9分（Ⅲ）由以上知()f x 最大值为(1)1f =，所以要使2()21f x m m ≤-+对所有[1,1]x ∈-，只需2121m m ≤-+恒成立， 得实数m的取值范围为m ≤或2m ≥.………14分20．解：（Ⅰ）若21n a n =-， 42n b n =-，则*{|,}{1,3,5,7,}n A x x a n ==∈=N ，*{|,}{2,6,10,14,}n B x x b n ==∈=N因为4∉A ，4∉B ，所以4∉A B ，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列； ………4分（Ⅱ）若2n n a =，*{|,}{2,4,8,16,32,}n A x x a n ==∈=N ， 则当{1,3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,}B =时满足条件， 则数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++()512020221802+=⨯--=； ………9分（Ⅲ）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=， 由136151a d =-≥，得1d =或2，若1d =，则121a =，20n a n =+，则{}n b 中只有20项与{}n b 是无穷数列矛盾； 若2d =，则16a =，24n a n =+，5255n nn b n n ≤⎧=⎨->⎩． ………14分。

北京市第四中学 2015届高三上学期期中考试数学（理）试题（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. （1） 设集合，2{|320}N x x x =-+≤，则＝（A ）{1} （B ）{2} （C ）{0，1} （D ）{1，2}（2） 设11533114,log ,73a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （A ） （B ） （C ）（D ）（3） 已知i 是虚数单位，，则“”是“”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4） 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（A ）向右平移个单位 （B ）向左平移个单位 （C ）向右平移个单位 （D ）向左平移个单位 （5） 函数的图象大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（6）设，向量，，，且，，则＝（A）（B）（C）（D）（7）已知11,1,()ln, 01,xf x xx x⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数只有一个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）④存在经过点的直线与函数的图象不相交.（A）①②（B）①③（C）②③（D）②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（8）在等差数列中，已知，则该数列前11项和＝ . （9）如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是.（10）在△中，角的对边分别为.，，，则 .（11）已知实数满足，则的最大值是.（12）若直线上存在点满足约束条件30,230,,x yx yx m+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数的取值范围为.（13）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点.则在下列集合中① ； ②；① ； ④ 整数集.以0为聚点的集合有 .（请写出所有满足条件的集合的编号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （14） （本题满分13分）已知函数()sin )sin f x x x x =-,. （Ⅰ）求函数的最小正周期与单调增区间； （Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值. （15） （本题满分13分）已知数列满足：，1221,N n n a a n *+=+∈.数列的前项和为，219,N 3n n S n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）设，.求数列的前项和. （16） （本题满分13分）已知函数2()(1)2ln(1)f x x a x =+-+. （Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，，求函数图象上任意一点处切线斜率的取值范围.（Ⅰ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?（Ⅱ）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?（17） （本小题满分14分）已知函数32()ln(21)2(0).3x f x ax x ax a =++--≥ （Ⅰ）若为的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）若在上为增函数，求实数a 的取值范围.（18） (本小题满分14分) 已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==，或1，，对于，表示U 和V 中对应位置的元素不同的个数．（Ⅰ）令，求所有满足，且的的个数；（Ⅱ）令，若，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥； （Ⅲ）给定，，若，求所有之和．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题：本大题共6小题，共80分15.解：()2cos21f x x x=+-12cos2)12x x=+-.（Ⅰ）的最小正周期为令222,262k x k kπππππ-++≤+≤+∈Z，解得36k x kππππ-+≤≤+，所以函数的单调增区间为[,],36k k kππππ-+∈Z.（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以.当且仅当时取最小值当且仅当，即时最大值.16．解: （Ⅰ）由得，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，于是11(1)2nna a n d+=+-=，. 当时，1211196,3b S-⎛⎫==-=⎪⎝⎭当时，，231211299333n nn n n nb S S----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又时，所以，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以21(1),N3nn n nc a b n n-*⎛⎫==+∈⎪⎝⎭.所以10121111234(1)3333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)17.解：（Ⅰ）函数的定义域为.22(1)2'()2(1)11x a a f x x x x ⎡⎤+-⎣⎦=+-=++ 当时，在上恒成立，于是在定义域内单调递增.当时，得12111()x x =-=--舍 当变化时，变化情况如下所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 综上，当时，单调递增区间是，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.（Ⅱ）当时，2()(1)2ln(1)f x x x =+-+，令2()'()2(1)(1)1h x f x x x x==+-≠-+， 则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知. 18．解: （Ⅰ）∵,∴∴,∴63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=（） 根据得sin 1040m sin ACAB C B==,所以乙在缆车上的时间为（min ）.设乙出发（）分钟后,甲、乙距离为,则222212(130)(10050)2130(10050)200(377050)13d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯-+ ∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. （Ⅱ）由正弦定理sin sin BC AC A B =得12605sin 50063sin 1365AC BC A B ==⨯=(m).乙从出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m 才能到达. 设乙步行速度为,则 .解得.∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内. 19. （Ⅰ）解：222[2(14)(42)]2()222121x ax a x a a f x x x a ax ax +--+'=+--=++ 1分 因为x = 2为f (x )的极值点，所以 2分 即，解得：a = 0 3分 又当a = 0时，，当时，时，从而x = 2为f (x )的极值点成立． 6分 （Ⅱ）解：∵f (x )在区间[3，+∞)上为增函数，∴22[2(14)(42)]()021x ax a x a f x ax +--+'=+≥在区间[3，+∞)上恒成立． 8分①当a = 0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f (x )在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意． 9分②当a > 0时，222(14)(42)0ax a x a +--+≥在区间[3，+∞)上恒成立． 令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为∵a > 0，∴，从而g (x )≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可， 由2(3)4610g a a =-++≥a ∵a > 0，∴． 13分综上所述，a 的取值范围为[0，] 14分 20. 解：（Ⅰ）； ………4分 （Ⅱ）证明：令， ∵或1，或1；当，时， 当，时， 当，时， 当，时， 故 ∴123(||||||)n a a a a =++|++|123(||||||)n b b b b +++|++|112233(||||||)n n a b a b a b a b ≥-+-+--|++| ………9分（Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为∵的共有个，的共有个． ∴ =1111111122(2|0|2|1|2|0|2|120|21|)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+---|++|+|=∴=． ……14分 法二：根据（Ⅰ）知使的共有个∴=012012nn n n n C C C n C ++++=12(1)(2)0n n n n n n n n C n C n C C --+-+-++两式相加得=。

北京四中 2017-2018 学年上学期高中一年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100 分，卷（Ⅱ） 50 分，合计 150 分考试时间： 120 分钟卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分）1. 设会合 A={1 ， 2， 6} ， B={2 ，4} ，则 A∪ B=A. {2}B. {1，2，4}C.{1， 2，4，6}D. {2，4}【答案】 C【分析】会合，应选 C.2. 函数 y=的定义域为A.（ -2，2）B. （ -∞， -2）∪（ 2， +∞）C. [-2 ， 2]D. （ -∞， -2] ∪ [2， +∞）【答案】 A【分析】要使函数存心义，则有，解得，即定义域为，应选A.3.A. 14B. -14=C. 12D. -12【答案】 B【分析】，应选 B.4. 若函数 f （x） = ，则方程 f （ x） =1 的解是A.或2B.或3C.或 4D.±或 4【答案】 C5.若函数 f （x） =x，则函数 y=f （ -2x ）在其定义域上是A. 单一递加的偶函数B. 单一递加的奇函数C. 单一递减的偶函数D. 单一递减的奇函数【答案】 D【分析】, 为奇函数，又为增函数，为减函数，应选 D.6. 若， b= ，c= ，则 a， b，c 的大小关系是A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. c<a<b【答案】 B【分析】由对数函数的性质，可得，，应选 B.【方法点睛】此题主要考察对数函数的性质、指数函数的单一性及比较大小问题，属于中档题 . 解答比较大小问题，常有思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单一性直接解答；数值比许多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7. 函数的单一递加区间是A. （ -∞， 2]B. [2 ， +∞）C. [1， 2]D.[1，3]【答案】 A【分析】令为增函数，的增区间就是的增区间，应选 A.8.李老师骑自行车上班，最先以某一速度匀速前进，半途因为自行车发生故障，停下修车耽搁了几分钟，为了准时到校，李老师加速了速度，仍保持匀速前进，结果准时到校，在课堂上，李老师请学生画出自行车前进行程 s（千米）与前进时间 x（秒）的函数图象的表示图，你以为正确的选项是A. B.C. D.【答案】 C【分析】最先以某一速度匀速前进，这一段行程是时间的正比率函数；半途甶于自行车故障，停下修车耽搁了几分祌，这一段时间变大，行程不变，因此选项必定错误，第三阶段李老师加速了速度，仍保持匀速前进，结果准时到校，这一段，行程随时间的增大而增大，因此选项，必定错误；这一段时间中，速度要大于开始时的速度，即单位时间内行程变化大，直线的倾斜角要大，应选 C.【方法点晴】此题经过对多个图象的选择考察函数的图象与性质、阅读能力以及解决实质问题的能力，属于中档题.这种题型也是最近几年高考常有的命题方向，该题型的特色是综合性较强较强、考察知识点许多，可是其实不是无路可循.解答这种题型能够从多方面下手，依据函数的定义域、值域、单一性、奇偶性、特别点以及函数图象的变化趋向，利用清除法，将不合题意的选项一一清除.9. 已知，则 f （ 5） =A. B. C. D. lg5【答案】 D【分析】令，，应选 D.10. 某同学在研究函数（ x∈Ｒ）时，分别给出下边几个结论：①函数 f （ x）是奇函数；②函数 f （ x）的值域为（-1 ，1）；③函数 f （ x）在Ｒ上是增函数；此中正确结论的序号是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】 D【分析】奇函数函数在的定义域是实数集，函数是奇函数，故① 正确；，故②正确；函数在上可化为上是增函数，在其定义域内是增函数，故③ 正确，应选D.,【方法点睛】此题主要经过对多个命题真假的判断，主要综合考察函数的单一性、函数的奇偶性、函数值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热门，同学们常常因为某一处知识点掌握不好而致使“通盘皆输”，所以做这种题目更要仔细、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，此外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点下手，而后集中精力打破较难的命题.二、填空题：（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11. 若会合 A=[0 ， 2] ，会合 B=[1 ， 5] ，则 A∩ B=_________.【答案】 [1， 2]【分析】会合，会合依据会合交集的定义，可得，故答案为.12. 函数 y=2-4 的零点是 _________.【答案】 2【分析】令，得，即函数的零点是，故答案为.13. 函数 f （ x） =（x∈ [1，2]）的值域为______________.【答案】 [0， 1]【分析】,函数的值域是，故答案为.14. 函数 f （ x） =3x-1 ，若 f[g （x） ]=2x+3 ，则一次函数g（x） =______________.【答案】【分析】，，，故答案为.15. 若函数 f （ x） = 的反函数的图象过点（_______. 2， -1 ），则 a=【答案】【分析】的反函数图象过的图象过，即，故答案为 .16. 若函数是奇函数，则使 f （ x） >3 建立的 x 的取值范围是 _______.【答案】（0， 1）【分析】函数为奇函数，则：，解得： a＝ 1.则，由，得 x∈(0,1) ．三、解答题（本大题共 3 小题，共26 分）17. 已知：函数 f （ x） =（x-2 ）（ x+a）（ a∈Ｒ）， f （ x）的图象对于直线x=1 对称 . （Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）求 f （ x）在区间[0， 3]上的最小值.【答案】 (1) a=0 (2) =-1【分析】试题剖析：（ I ）化简，先求出函数的对称轴，得到,解出即可； ( II) 先求出函数的对称轴，经过判断对称轴的地点 ,联合二次函数的单一性，从而获取答案.试题分析：，（Ⅰ）函数 f （x）图象的对称轴为x= =1，则a=0;（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为x=1 ∈[0 ，3]，所以=f （ 1）=-1.18.某家庭进行理财投资，依据长久利润率市场展望，投资债券类稳重型产品的利润与投资额成正比，投资股票类风险型产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知两类产品各投资 1 万元时的利润分别为 0.125 万元和 0.5 万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的利润y（万元）与投资额x（万元）的函数关系；（Ⅱ）该家庭有20 万元资本，所有用于理财投资，问：怎么分派资本能使投资获取最大收益，最大利润是多少万元？【答案】 (1) y=0.125x, y=0.5 ， (2) 投资债券类稳重型产品16 万元，投资股票类风险型产品 4 万元，此时得益最大为 3 万元 .【分析】试题剖析：（ 1）依据题意，得，，代入点的坐标，求的的值，即可可获取两种产品的利润与投资的函数关系；（ 2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，令，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大利润．试题分析：（ 1），，，，（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元．令，则所以当，即万元时，利润最大，万元．考点：函数的实质应用问题．19. 已知：函数 f （ x） = （ a>0 且 a≠1） .（Ⅰ）求函数 f （ x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（ x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）设 a= ，解不等式 f（ x）>0.【答案】 (1) （ -1， 1）； (2) 看法析； (3) {x|-1<x<0}【分析】试题剖析：（ I ）依据对数函数存心义可知真数要大于0，列不等式组，解之即可求出函数的定义域；（Ⅱ ）依据函数的奇偶性的定义进行判断，计箄与的关系，从而确定函数的奇偶性；（Ⅲ ）将代入，依据函数的定义域和函数的单一性列不等式组，解之即可求出的范围.试题分析：（Ⅰ）由题知：，解得：-1<x<1，所以函数f（ x）的定义域为（ -1，1）；（Ⅱ）奇函数，证明：因为函数f（ x）的定义域为（-1， 1），所以对随意x∈（ -1，1），f （ -x）= = =-f （ x）所以函数 f （ x）是奇函数；（Ⅲ）由题知：即有，解得： -1<x<0 ，所以不等式 f （x） >0 的解集为 {x|-1<x<0}.【方法点睛】此题主要考察函数的定义域、奇偶性及函数的单一性，属于中档题.判断函数的奇偶性第一要看函数的定义域能否对于原点对称，假如不对称，既不是奇函数又不是偶函数，假如对称常有方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（ 2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .卷（Ⅱ）20. 设会合 A= ， B={x|x-2=0} ，则=A. B. C. D.【答案】 D【分析】且，应选 D.21. 已知函数 f （x） =，则知足f（ x） <0 的 x 的取值范围是A. （ -∞， 0）B. （ 0，+∞）C. （ -∞， -1）D. （ -1， +∞）【答案】 C【分析】,，应选 C.22. 下表是某次丈量中两个变量x， y 的一组数据，若将y 表示为对于x 的函数，则最可能的函数模型是x 2 3 4 5 6 7 8 9y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99A. 一次函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型【答案】 D【分析】对于，因为平均增添，而值不是平均递加，不是一次函数模型；对于，由于该函数是单一递加，不是二次函数模型；对于，过不是指数函数模型，应选D.23. 用二分法求方程的一个近似解时，已知确立有根区间为（0， 1），则下一步可确立这个根所在的区间为_________.【答案】【分析】设，函数零点在下一步可确立方程的根在，故答案为.24. 已知函数f （x）是定义在Ｒ上的偶函数，当x≥0 f（ x） =，假如函数时，g（ x） =f （ x） -m 恰有 4 个零点，则实数m 的取值范围是 ________.【答案】 0<m<1【分析】函数恰有个零点等价于函数与恰有个交点，作函数与的图象如图，由图知，函数与恰有个交点时的取值范围是，故答案为.【方法点睛】函数零点个数的三种判断方法：(1) 直接求零点：令，假如能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不单要求函数在区间上是连续不停的曲线，且，还一定联合函数的图象与性质(如单一性、奇偶性 )才能确立函数有多少个零点；(3) 利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，此中交点的横坐标有几个不一样的值，就有几个不一样的零点.25. 函数 f（ x）=（a>0且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则 a 的值是 ___________.【答案】【分析】试题剖析：当时，函数是增函数，最大值和最小值的和是，解得，舍去，当时，函数是，最大值和最小值的和相同是，解得考点： 1．指对函数的单一性；26. 已知函数 f （x） =2．指对函数的最值．，若 f （1-x ） =f （ 1+x ），且f （ 0） =3.（Ⅰ）求b， c 的值；（Ⅱ）试比较（ m∈Ｒ）的大小 .【答案】 (1) b=2， c=3 (2)当m>0时，f（2）<f（3）.当m=0时，f（2）=f（3）. 当 m<0 时， f （2 ） >f （ 3 ）【分析】试题剖析：（ I ）利用已知, 求出的值；利用,获取为图象的对称轴，从而求出的值；（ II ）经过对的分类议论获取与的大小关系以及与对称轴的大小关系 , 利用二次函数的单一性可获取与的大小关系 .试题分析：（Ⅰ）由已知，二次函数的对称轴x= =1，解得 b=2，又 f（ 0） =c=3 ，综上， b=2 ， c=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x） =x-2x+3 ，所以， f（ x）在区间（ -∞， 1）单一递减，在区间（1， +∞）单一递加 .当 m>0 时， 3 >2 >1 ，所以 f （ 2 ） <f （ 3 ） .当 m=0 时， 3 =2 =1 ，所以 f （ 2 ） =f （ 3 ） .当 m<0 时， 3 <2 <1 ，所以 f （ 2 ） >f （ 3 ）【方法点睛】此题主要考察二次函数的分析式和单一性、分类议论思想的应用. 属于中档题 . 分类议论思想解决高中数学识题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，特别在解决含参数问题发挥着奇异功能，大大提升认识题能力与速度. 运用这种方法的重点是将题设条件研究透，这样才能迅速找准打破点. 充足利用分类议论思想方法能够使问题条理清楚，从而顺利解答，希望同学们能够娴熟掌握并应用与解题中间.27. 会合 A 是由知足以下性质的函数f（ x）构成的：对于随意 x≥0， f（x）∈ [-2， 4] 且 f（ x）在[0 ， +∞）上是增函数 .（Ⅰ）试判断与（ x≥0）能否属于会合 A，并说明原因；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中你以为属于会合 A 的函数 f（x），证明：对于随意的x≥0，都有f （ x） +f （ x+2 ） <2f （x+1 ） .【答案】 (1) ，(2) 看法析 .【分析】试题剖析：（ I ）由已知可得函数的值域，从而可得，对于，只需分别判断函数定义域能否知足条件①，值域能否知足条件②，单一性能否满足条件③，即可得答案；（ II ）由（ I）知，属于会合，原不等式为，利用作差法指数幂的运算法例化简整理能够证明结论.试题分析：（Ⅰ），，原因以下：因为（49） =5>4，（ 49）[-2， 4]，所以（ x） A.对于因为在[0 ，+∞）上是减函数，且其值域为（0，1] ，所以在区间 [0， +∞）上是增函数 .所以≥f（ 0）=-2 ，且= <4，所以对于随意 x≥0， f （x）∈ [-2， 4].所以∈ A（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，f （ x+1） =4- =4-3 · ，所以2f（ x+1 ）-[f （ x）+f （ x+2 ） ]=2[4-3 ·]-[4-6 ·+4- ·]= ·>0，所以对于随意的x≥0，都有 f （ x） +f （ x+2）<2f （ x+1 ）.。

北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试高三数学 期中试卷（理）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{1,2}A =,则U A =ðA ．{4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{1,3,4}2．设命题2:,2n p n n ∃∈>N ，则p ⌝为A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2n n n ∃∈N ≤C ．2,2n n n ∀∈N ≤D ．2,2n n n ∃∈<N3．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．846．已知x ∈R ，则“απ=”是“sin()sin x x α+=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在区间[1,0]-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a8.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 9．设i 是虚数单位，则1i1i-=+ . 10．执行如图所示的框图，输出值x = . 11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大． 12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式()0x f x >的解集为______. 13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是________元．14．已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合:{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||PQ .设,M m t t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记()h t M m t t =-.则 (1) 若函数()f x x =，则(1)h =______；（2）若函数π()sin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()h t 的最小正周期为______.三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分）集合2{|320}A x x x =-+<，11{|28}2x B x -=<<，{|(2)()0}C x x x m =+-<， 其中m ∈R . （Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若()A B C ⊆ ，求实数m 的取值范围.16．（本题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本题满分13分）已知函数()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.18．（本题满分13分）已知函数()1()ln(1)01xf x ax x x-=+++≥，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19．（本题满分14分）设函数()ln e x b f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为e(1)2y x =-+.（Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）设()2()e 0ex g x x x -=->，求()g x 的最大值； （Ⅲ）证明函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点. 20．（本题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,().1,M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？参考答案一．选择题（每小题5分，共40分）15. 解：（Ⅰ）()2{|320}1,2A x x x =-+<=；()1{|28}0,42x B x -=<<=； 所以()1,2A B = ； （Ⅱ）()0,4A B = ，若2m >-，则()2,C m =-，若()0,4A B C =⊆ ，则4m ≥； 若2m =-，则C =∅，不满足()0,4A B C =⊆ ，舍； 若2m <-，则(),2C m =-，不满足()0,4A B C =⊆ ，舍； 综上[)4,m ∈+∞.16. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===. 所以1(1)3,n a a n d n n *=+-=∈N ． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =. 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=. 从而11232,n n n n b a n n --*=+=+∈N ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知132,n n b n n -*=+∈N ．123n n S b b b b =++++01211(32)(62)(92)(32)2n n n --=++++++++ 0121(3693)(2222)n n -=+++++++++(33)12212n n n +-=+-2332122n n n =++- 所以，数列{}n b 的前n 项和为2332122n n n ++-.17. 解：()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭14sin sin 2x x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭2cos 2sin x x x =-2cos21x x =+-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得263k x k ππππ+≤≤+，所以函数()f x 的单调减区间为2[+,],63k k k ππππ+∈Z .（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π-≤+≤ ，所以2()1f x -≤≤.当且仅当2x π=时 ()f x 取最小值min ()()22f x f π==-;当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.18. 解:定义域为[)0,+∞.22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++. （Ⅰ）若1a =，则221()(1)(1)x f x x x -'=++，令()0f x '=，得1x =（舍1-）.所以1a =时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++，∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，所以()(0)1;f x f =的最小值为②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）.所以()f x在x =处取得最小值，注意到(0)1,f f <=，所以不满足 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞19. 解：()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+),()2()ln ln ln .x x x b b a bb f x a x e a x e a x e x x x xx '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)2,(1).f f e '==由题意可得 21,.a b e==故 （Ⅱ）2(),'()(1)x x g x xe g x e x e--=-=-则.(0,1)()0;(1,)()0.()1()(0,)(1).x g x x g x g x g x g e ''∈>∈+∞<∞∞=-所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为 （Ⅲ）12()ln ,x x f x e x e x-=+由（I ）知又0(1)ln12=21,f e e =+>于是函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点等价于()1f x >。

2017北京四中高三（上）期中数 学（理）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,1}B =--，那么A B U 等于A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,0}--C ．{2,1}--D ．{1}-2．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin20α>D ．cos20α>3．已知向量,a b 满足2=-0a b ，()2=-⋅a b b ，则||=b A.12B. 1C. 2D.24．设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．已知(1,1),(1,3)x x =-=+a b ，则2x =是ab 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可以为A. 21()f x x x=- B. 31()f x x x =-C. 1()e xf x x =- D. 1()ln f x x x=-7．实数,x y 满足30,60x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则实数a 的取值范围是 A. [1,0]- B. [0,1] C. [1,1]- D. (,1][1,)-∞-+∞8．设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--(a ∈R )．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是yOx第6题图A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 若函数32,6()log ,6x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则((2))f f 等于___________.10. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k =___________.11. 已知函数()()sin (0,)2f x x ωϕωϕπ=+><的导函数()'y f x =的部分图象如图所示，且导函数()'f x 有最小值2-，则ω=___________，ϕ=___________.12. 已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值是___________.13.已知函数226e 5e 2,e,()2ln ,e x x xf x x x x ⎧-++--≤=⎨->⎩（其中e 为自然对数的底数，且e 2.718≈），若2(6)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是___________.14．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -．例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈. 现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“,,()b a D f a b ∀∈∃∈=R ”； ②若函数()f x B ∈，则()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈,()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)(2,)1xf x a x x a x =++>-∈+R 有最大值，则()f x B ∈.其中的真命题有___________. （写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.第11题图15．（本小题满分13分）已知集合2{|10210}A x x x =-+<, 22{|1log log 10}B x x =<<,{|22}x aC x =<.（Ⅰ）求()A B R ð；（Ⅱ）已知:p x A ∈，:q x C ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.16.（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知5b =，7sin 4A =，ABC ∆的面积1574ABC S ∆=. （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求sin C 的值.17.（本小题满分13分）已知函数()2(3cos sin )sin ,.f x x x x x =-∈R （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.18.（本小题满分13分）已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（Ⅱ）当1a =时，试问曲线()y f x =与直线23y x =-是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．19.（本小题满分14分）已知函数x a x a x x f ln )2()(2++-= (a 为实常数). （Ⅰ）若2-=a ，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 在[1,e]上的单调性；（Ⅲ）若存在[]1,e x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分14分）设()f x 是定义在D 上的函数，若对D 中的任意两数12,x x （12x x ≠），恒有()()121212123333⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭f x x f x f x ，则称()f x 为定义在D 上的C 函数．（Ⅰ）试判断函数()2=f x x 是否为定义域上的C 函数，并说明理由；（Ⅱ）若函数()f x 是R 上的奇函数，试证明()f x 不是R 上的C 函数；（Ⅲ）设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数[0,1]α∈以及D 中的任意两数12,x x （12x x ≠），恒有()()()()()121211f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的π函数. 已知()f x 是R 上的π函数，m 是给定的正整数，设(),0,1,2,,==n a f n n m L ，且00,2m a a m ==，记12=+++f m S a a a L . 对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值.数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCCBACCB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 题号 9 10 11答案 3 4 =2=3πωϕ，题号 12 1314 答案9(3,2)-①③④三、解答题共6小题，共80分。