无限自由度体系振动(第16讲,11月26日)

′ EIϕ′ ( l) = 0
′ EIϕ′′ ( l) =−mω2ϕ( l) 0
自由端：弯矩为零， 自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡
利用同上述算例相同的方法，得频率方程： 利用同上述算例相同的方法，得频率方程：
cos βl coshβl +1=αβl ( sinβl coshβl −cos βl sinh βl ) m 其中： 其中： α = 0 为集中质量与梁质量之比 m m = ρSl 为梁质量
得：
l
l
0
j
i
0 l
i
j
0
i
j
2 i
l
0
i
j
l
(ωi2 − ω 2 ) ∫ ρSφiφ j dx = 0 相减： 相减：得 ： j 0
l
0
i
j
2 j
l
0
i
j
ω 如果 i ≠ j 时， i ≠ ω j
l
则有： 0 则有： ∫ ρSφiφjdx = 0, i ≠ j 主振型关于质量的正交性 ）、（5） 由（4）、（ ）式，得 ： ）、（
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
i≠ j 时
i= j 时
l
∫ ρSφφ dx = 0
0 i j
l
′ ∫ φ (EIφ′′)′′dx = ∫ EIφ′φ′′dx =0
0 j i 0 i j
l
l
ρSφj2dx = mpj 第 j 阶主质量 ∫0
φj (EIφ′′)′′dx = ∫0 EI(φ′′)2 dx = kpj j j ∫0
y(x,t) =φ(x)q(t)
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
固定端： 固定端： φ(0) = 0 φ′(0) = 0 弹性支撑端： 弹性支撑端： EIφ′′′(l) = k2φ(l)
0
y
k1
x
EIφ′′(l) = −k1φ′(l)
k2 l
由固定端条件解得： 1 由固定端条件解得：C = −C , C2 = −C4 3 由弹性支撑固定端条件解得： 由弹性支撑固定端条件解得：
讨论： 讨论： （2）若k1＝0、k2 无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形 ） 、 无穷大，
cos βl sinh βl −sin βl cosh βl = 0
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
例：悬臂梁自由端附有质量 求频率方程 解：
固定端： 固定端：
0
y
m0
l
x
ϕ( 0) = 0 ϕ′( 0) = 0
′ 分部积分 ：0 φ j ( EIφi′′)′′dx = φ j ( EIφi′′)′ 0 − φ ′j ( EIφi′′) 0 + ∫0 EIφi′φ ′j′dx ∫
l l l l
(3)
′ ） ∫ φ ( EIφ ′′)′′dx = ∫ EIφ ′φ ′′dx （4） ′ （5） ） 代入（ ） 代入（3）式，有 ： ∫ EIφ ′φ ′′dx = ω ∫ ρSφ φ dx ′ 同理， 式两边乘 φi 并沿梁长积分可得： ∫ EIφ ′φ ′′dx = ω ∫ ρSφ φ dx 同理， (2)式两边乘 并沿梁长积分可得： l
k1 cos βl cosh βl +1=− ( cos βl sinhβl +sinβl coshβl) , EIβ
或
( k2 = 0) ( k1 = 0)
k2 cos βl cosh βl +1=− cos βl sinh βl −sin βl cosh βl ) , 3( EIβ
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
0 0
代入（ ） 代入（3）式，有 ：
∫
l
0
EIϕi′′0
∫
ρ Sϕiϕ j dx
l l 2 j 0
ϕj 同理， 式两边乘 并沿梁长积分可得： 同理， (2)式两边乘 φi 并沿梁长积分可得：∫0 EIϕi′′ ′′dx = ω
相减： 相减：得 ：ω − ω
2 i
′ 分部积分 ：0 φ j ( EIφi′′)′′dx = φ j ( EIφi′′)′ 0 − φ ′j ( EIφi′′) 0 + ∫0 EIφi′φ ′j′dx ∫
l l l l
(3)
′ ） ∫ φ ( EIφ ′′)′′dx = ∫ EIφ ′φ ′′dx （4） ′ （5） ） 代入（ ） 代入（3）式，有 ： ∫ EIφ ′φ ′′dx = ω ∫ ρSφ φ dx ′ 同理， 式两边乘 φi 并沿梁长积分可得： ∫ EIφ ′φ ′′dx = ω ∫ ρSφ φ dx 同理， (2)式两边乘 并沿梁长积分可得： l
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
主振型的正交性
只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的 即质量密度 ρ 及截面积 S 等都可以是 x 的函数
∂ 2u ∂ ∂u 杆的动力方程 ： ρS 2 = ( ES ) + p( x, t ) ∂t ∂x ∂x
自由振动： 自由振动： 主振动 ： 代入， 代入，得 ：
( k2 = 0) ( k1 = 0)
cos βl cosh βl +1= 0
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
y
0
k1
x
0
y
x
k2
l
l
k1 cos βl cosh βl +1= − (cos βl sin βl +sin βl cosh βl), (k2 = 0) h EIβ k2 cos βl cosh βl +1= − (cos βl sin βl −sin βl cosh βl), (k1 = 0) h 3 EIβ
C EIβ ( cos βl +cosh βl) +k1 ( sin βl +sinh βl) + 1 C2 EIβ ( sin βl +sinh βl ) −k1 ( cos βl −cosh βl) = 0
C EIβ3 ( sin βl −sinh βl ) −k2 ( cos βl −cosh βl ) − 1 C2 EIβ3 ( cos βl +cosh βl ) +k2 ( sin βl −sinh βl ) = 0
C EIβ3 ( sin βl −sinh βl ) −k2 ( cos βl −cosh βl ) − 1 C2 EIβ3 ( cos βl +cosh βl ) +k2 ( sin βl −sinh βl ) = 0
C、 2 非零解条件导出频率方程： 1 C 非零解条件导出频率方程：
+ ρS
∂2 y( x,t ) ∂t
2
=0
t 主振动： y(x,t) =φ(x)q(t) =φ(x)asin( ω +θ) 主振动：
代入， 代入，得： 设： 有：
(EIϕ′′)′′ −ω2ρSϕ = 0
ωi
φ i (x)
ωj
φ j (x)
( EIφi′′)′′ = ωi2 ρSφi ( EIφ ′j′)′′ = ω 2 ρSφ j j
y
y
k1
0
x x
0
k2
l
k1 cos βl cosh βl +1=− ( cosβl sinh βl +sin βl coshβl) , EIβ k2 cos βl cosh βl +1=− cos βl sinh βl −sin βl cosh βl ) , 3( EIβ
讨论： 讨论： 同时为零， （1）若k1、k2 同时为零，则退化为悬臂梁的情形 ）
∂ 2u ∂ ∂u ρS 2 = ( ES ) ∂t ∂x ∂x
u ( x, t ) = φ ( x) a sin(ωt + θ )
( ESφ ′)′ = −ω 2 ρSφ
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
( ESφ ′)′ = −ω 2 ρSφ
杆的简单边界 ： 固定端 φ ( x) = 0
x=0或l
l l
第 j 阶主刚度
ωj = kpj / mpj
第 j 阶固有频率
l
主振型中的常数按下列归一化条件确定 ： ∫0 正则振型的正交性： 正则振型的正交性：
ρSφ j2 dx = m pj = 1
正则振型
∫ ρSφφ dx =δ
0 i j l
l
ij l
φj (EIφi′′ ′′dx = ∫ EIφi′′ ′′dx =δijω2 ) φj j ∫0 0
′ ∫ φ (EIφ′′)′′dx = ∫ EIφ′φ′′dx = 0,
0 j i 0 i j l
i ≠ j 主振型关于刚度的正交性
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
( EIφi′′)′′ = ωi2 ρSφi （1） ） 2 ( EIφ ′j′)′′ = ω j ρSφ j （2） ） l l 2 (1)式两边乘 φ j并沿梁长对 x 积分：∫0 φ j ( EIφi′′)′′dx = ωi ∫0 ρSφiφ j dx 式两边乘 积分：
x
k2 l
ϕ( 0) = 0 ϕ′( 0) = 0
′′ EIϕ′ ( l ) = k2ϕ( l ) EIϕ′′( l) =−k1ϕ′( l)
弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、 弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等
2 ∂ ∂ y( l,t ) 剪力平衡条件： 剪力平衡条件： EI = k2 y( l,t ) 2 ∂x ∂x ∂2 y( l,t ) ∂y( l,t ) 弯矩平衡条件： 弯矩平衡条件： EI =−k1 2 ∂x ∂x