2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十八讲 计数原理、二项式定理

2014年高考数学陕西卷理科第18题:在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域（含边界）上（1）若0=++PC PB PA；（2）设),(R n m n m ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.(Ⅰ)解法1：在∆ABC 中，0++=PA PB PC ,所以P 为∆ABC 的重心,即P 为∆ABC 三条中线的交点，取AB 的中点32E （,2），则AB 边上中线EC 的方程为2=y ，取AC 的中点32F(2,)，则AC 边上中线BF 的方程为2=x ，两直线的交点就是重心P （2,2），故22=OP 陕西省靖边中学 赵世念)解法2：由两点间距离公式知==AB AC 所以∆ABC 为等腰三角形，则重心P必在底边BC 的高线=y x 上，设点(,)P t t ，由重心的性质知3232-==-PC tPE t ，解得2=t ，故22=OP (西北工业大学附属中学 焦小龙 ；陕西省靖边中学 赵世念) (Ⅱ)解法1：将=+OP mAB nAC 坐标化(,)(1,2)(2,1)=+x y m n ，整理得2=+x m n ，2=+y m n ，两式作差可得+-=-m n x y ，设()-1,1M ，则(,),(1,1)==-OP x y OM ，记,OP O M α<>=,则+=cos =-⋅z x y OM OP α，转化为求OP 在OM方向上投影的最大值.当点P 与点B 重合时，OP 在OM 方向上投影最大将3B(2,)代入得+=1-=-m n x y .(陕西省靖边中学 赵世念) 解法2：由解法1知+-=-m n x y ，令d 为点(),P x y 到直线+0-=x y的距离，则=d ，由图知，点B 和点C到直线的距离最大，最大值为2，即2=≤d +1-≤x y . (陕西省靖边中学 赵世念)解法3：),(R n m n m ∈+=()()()()n m n m y x ++===2,2,,1,2,2,1,,32,32x y n m yx n x y m -=--=-=⇒ 把)2,3(),3,2(),1,1(C B A 三点代入，则：.1,1,0-=-n mn m -的最大值.为1；（目标函数的最值在可行域的边界处或顶点处取得）. （陕西省武功县5702中学 薛博谋）解法4：由(,)OP mAB nAC m n =+∈R 得(,)(1,2)(2,1)x y m n =+，所以22m n xm n y +=⎧⎨+=⎩，解得2323y x m x y n -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，从而m n y x -=-.因为由题设知点(,)P x y 满足不等式组21021050x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，又22m n x m n y +=⎧⎨+=⎩，所以实数,m n 满足不等式组13133350m n m n ⎧≥⎪⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎪⎩.（*）111(33)(2)5(2)1333m n m n n -=++-≤⨯+-⨯=，当且仅当33513m n n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即4313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时不等式取等号.故所求m n -的最大值为1.(陕西省西安市临潼区马额中学 童永奇)解法5：同解法4（*）如图，在mOn 坐标系中画出（*）表示的平面区域，令z m n =-，则通过平移可知：当动直线z m n =-经过点41E(,)33时，z 取得最大值.故所求m n -的最大值为41133-=. （陕西省西安市临潼区马额中学 童永奇）。

第四讲 不等式不等式不等式的基本性质比较两实数大小的法则比较大小二元一次不等式(组)与平面区域简单的线性规划问题基本不等式最大(小)值问题一元二次不等式及其解法“三个二次”问题1．(一元二次不等式的解法)(2013·广东高考)不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 【解析】 方程x 2＋x －2＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝1，故不等式x 2＋x －2<0的解集为(－2,1)．【答案】 (－2,1)2．(不等式的性质)设a 、b 为非零实数，且a ＜b ，给出下列四个结论：①a 2＜b 2，②ab 2＜a 2b ，③1ab 2＜1a 2b ，④b a ＜ab .其中所有正确结论的序号是________．【解析】 当a ＜0＜b 且|a |＞|b |时，易知①④错误；当0＜a ＜b 时，ab 2－a 2b ＝ab (b －a )＞0，即ab 2＞a 2b ，则②错误；而1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b2＜0恒成立，故③正确．【答案】 ③3．(“三个二次”问题)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |－1＜x ＜5}，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调递增区间是________ .【解析】 由已知得a ＜0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－1＋52＝2，故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调递增区间为(－∞，2]．【答案】 (－∞，2]4．(线性规划)若实数x ，y 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝________.【解析】 如图，设x ＋y ＝9，显然只有在直线x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点处满足要求，解得此时x ＝4，y ＝5，即点(4,5)在直线x －my ＋1＝0上，代入得m ＝1.【答案】 15．(基本不等式)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．【解析】 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9， 当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．【答案】 9错误(1)(2013·黄冈模拟)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ (2)(2013·四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．【思路点拨】 (1)根据不等式的性质与函数的单调性判断． (2)先求f (x )＜5的解集，再求f (x ＋2)＜5的解集．【自主解答】 (1)①由a ＞b ＞1得1a ＜1b ，而c ＜0，故c a ＞cb，因此①正确；②对于幂函数y ＝x c ，(c ＜0)在(0，＋∞)上是减函数，而a ＞b ＞1，故a c ＜b c ，因此②正确；③由a ＞b ＞1，c ＜0知，a －c ＞b －c ＞1，∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，即log b (a －c )＞log a (b －c )，故③正确． (2)设x <0，则－x >0. ∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图象可知由f (x )<5，得－5<x <5. ∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3.∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}． 【答案】 (1)D (2){x |－7<x <3}1．比较两数(代数式)大小的“两种”思路 (1)利用不等式的性质、基本不等式比较大小； (2)利用函数的单调性比较大小，必要时需构造函数． 2．几类不等式的解题指导思路(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、 对数不等式的基本思路是利用相关知识转化为整式不等式(组)求解．(3)解含“f ”的不等式，首先要确定f (x )的单调性，然后根据单调性转化为不等式求解． 变式训练1 (2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15 ，则a ＝ ( )A.52B.72C.154D.152【解析】 由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)得(x ＋2a )(x －4a )<0(a >0)， 即－2a <x <4a ，故原不等式的解集为(－2a,4a )．由x 2－x 1＝15得4a －(－2a )＝15，即6a ＝15，所以a ＝52.故选A.【答案】 A【命题要点】 ①利用基本不等式求最值；②构造基本不等式满足的条件求最值.(1)(2013·山东高考)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3(2)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1.则2x ＋y 的最大值是________．【思路点拨】 (1)把z 用x ，y 表示，先求xyz 的最值，并求得此时x 、y 的关系，从而可得z 与y 的关系，再把所求用y 表示，最后求最值．(2)根据4x 2＋y 2＝(2x ＋y )2－4xy,2xy ≤⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22求解．【自主解答】 (1)∵z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ＞0，y ＞0，z ＞0)， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1. 当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1，∴当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1. (2)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＋1.∴(2x ＋y )2≤85.∴(2x ＋y )max ＝2105.【答案】 (1)B (2)21051．一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数或含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值．2．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件．3．在使用基本不等式时，一般要把求最值的函数或代数式化为ax ＋bx的形式，常用的方法是变量分离和配凑法．变式训练2 (1)(2013·宜昌模拟)设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在x ∈(1，＋∞)恒成立，则a 的最小值为( )A ．16B ．9C ．4D ．2 (2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6 【解析】 (1)x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2a ＋1，当且仅当x ＝1＋a 时，等号成立．由2a ＋1＝5得a ＝4.(2)∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy ， 得3x ＋1y＝5. ∴5(3x ＋4y )＝(3x ＋4y )(3x ＋1y )＝13＋12y x ＋3xy≥13＋236xyxy＝25. 因此3x ＋4y ≥5，当且仅当x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝1，y ＝12时，3x ＋4y 有最小值5.【答案】 (1)C (2)C【命题要点】 ①求目标函数的最值；②已知目标函数的最值求参数的值.(1)(2013·四川高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16(2)(2013·浙江高考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝______.【思路点拨】 (1)画出不等式组表示的平面区域，找出目标函数y ＝x 5＋z5的最优解，进而求得a ，b 的值．(2)画出可行域，分类讨论确定出最优解，代入最大值即可求出k 的值． 【自主解答】 (1)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，x －2y ≥－4，x ≥0，y ≥0，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z ＝5y －x ，得y ＝x 5＋z5.由图知目标函数y ＝x 5＋z5，过点A (8,0)时，z min ＝5y －x ＝5×0－8＝－8，即b ＝－8.目标函数y ＝x 5＋z5过点B (4,4)时，z max ＝5y －x ＝5×4－4＝16，即a ＝16.∴a －b ＝16－(－8)＝24，故选C. (2)作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k ＜12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k ＜0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.【答案】 (1)C (2)21．线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围．2．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．变式训练3 (1)(2013·潍坊模拟)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2](2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2【解析】 (1)作出可行域，如图所示．∵A (－1,1)，M (x ，y ) ∴OA →·OM →＝－x ＋y .记z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0.易知，过点(1,1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2.∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]．(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12，故选B.【答案】 (1)C (2)B从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域，求线性目标函数的最值、线性规划的实际应用问题等是高考的热点，题型多样，难度中等偏下．主要考查求目标函数的最值、求约束条件或参变量的取值范围，突出体现数形结合、分类讨论的思想方法．运用几何直观求解线性规划问题设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解．当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.【答案】 C 【阅卷心语】易错提示 (1)对m 没有分类讨论意识，无法作出不等式组表示的平面区域． (2)对特称命题的意义理解不清，难以借助几何直观从平面区域的边界点A (－m ，m )与直线y ＝12x －1的关系找到解题突破口．防范措施 (1)当字母参数的值影响到平面区域的形状、位置时，应分类讨论． (2)树立数形结合的意识，把平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，转化为点A (－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，从而求得m 的范围．1．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2【解析】 在同一坐标系内，作函数y ＝2x 的图象，不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域(如图所示)．∵y ＝2x 与直线x ＋y －3＝0相交于点A (1,2)，∴由图知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x，y)满足约束条件，因此实数m的最大值为1.【答案】 B2．已知x>0，y>0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．【解析】∵xy＝x＋2y≥22xy，∴(xy)2－22xy≥0，∴xy≥22或xy≤0(舍去)，∴xy≥8.由题意知m－2≤8，即m≤10，∴m的最大值为10.【答案】10第11 页共11 页。

第九讲 等差数列、等比数列数列等差数列通项公式定义前n 项和公式性质等比数列通项公式定义前n 项和公式性质1．(等比数列的前n 项和)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝________.【解析】 设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则： 由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2 2n ＋1－22．(等差数列的性质)在等差数列{a n }中，若a 2，a 2 014为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 1＋a 1 008＋a 2 015＝________.【解析】 由题意知a 2＋a 2 014＝10，所以a 1 008＝5. 所以a 1＋a 1 008＋a 2 015＝3a 1 008＝3×5＝15. 【答案】 153．(等比数列的性质)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.【解析】 在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25；a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(22)2＝8.【答案】 84．(等差数列的通项公式)若数列{a n }满足1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，且a 1＝3，则a n ＝________ .【解析】 由1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n＝2，∴数列{1a n }是首项为13，公差为2的等差数列．∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53， ∴a n ＝36n －5.【答案】36n －55．(等差数列前n 项和)已知正数组成的等差数列{a n }，其前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是__________．【解析】 ∵S 20＝20(a 1＋a 20)2＝100，∴a 1＋a 20＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝(a 1＋a 202)2＝25，当且仅当a 7＝a 14时取“＝”． 【答案】 25(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2013·湖北高考)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. ①求数列{a n }的通项公式．②是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．【思路点拨】 (1)先求a m ，a m ＋1，再根据a m ，a m ＋1，S m 列方程组求m .(2)①先求得a 1和公比q ，再求通项公式；②根据数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然构成等比数列可求得数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前m 项和，进而作出判断． 【自主解答】 (1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C(2)①设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.②若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝⎛⎭⎫13n －1，故数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m 1a n＝35·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1.若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋).故∑n ＝1m 1a n <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．1．本例(2)中，通项公式含(－1)n －1，故需分n 为奇数与偶数两种情况讨论．2．涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．3．在使用等比数列前n 项和公式时，若公比q 不能确定是否为1，应分q ＝1和q ≠1两种情况讨论．变式训练1 (2013·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .【解】 (1)因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ， 则9m ＋8<9n <92m ＋8， 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1，故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×(1－81m )1－81－(1－9m )1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.【命题要点】 ①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值.(1)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66(2)(2013·三门峡模拟)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3【思路点拨】 (1)先求a 4和a 6，然后再根据a 1＋a 9＝a 4＋a 6求S 9.(2)先求a 7，再利用a 29＝a 11·a 7求解．【自主解答】 (1)由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝99.(2)由a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243得a 7＝3， 所以a 29a 11＝a 11·a 7a 11＝a 7＝3.【答案】 (1)C (2)D1．本例(2)用a 29＝a 11a 7求解，过程简单，当然也可以把a 9、a 11用a 7、公比q 表示出来，求解．2．等差、等比数列的性质n 123345＝18，则a 2a 3a 4＝( ) A ．512 B ．64 C ．1 D.1512【解析】 因为a 1a 2a 3＝a 32＝8，a 3a 4a 5＝a 34＝18. 由题意知数列{a 3n }也是等比数列，且各项为正．故a 2a 3a 4＝a 33＝1.【答案】 C【命题要点】 ①判定或证明一个数列是等差数列；②判定或证明一个数列是等比数列.(2013·北京高考)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，证明：d 1，d 2，…，d n－1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．【思路点拨】 (1)根据d i 的定义求解．(2)需根据题意求出d n 的通项公式后利用定义证明． (3)利用等差数列的定义证明．【自主解答】 (1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q (i ＝1,2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差． 对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0， 所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}， 所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列． 因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －2)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1， 所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．1．等差数列的判断方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 2．等比数列的判定方法：(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均为非零的常数，n ∈N *)．3．要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法．变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝12，3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{b n －a n }为等比数列，并求出数列{b n }的通项公式． 【解】 (1)由a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)， 可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)．∴数列{a n }是首项为a 1＝14，公差为d ＝a 2－a 1＝12的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12n －14(n ∈N *)，即a n ＝12n －14(n ∈N *)．(2)由3b n －b n －1＝n ，得b n ＝13b n －1＋13n (n ≥2，n ∈N *)，∴b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14＝13b n －1－16n ＋14＝13(b n －1－12n ＋34) ＝13[b n －1－12(n －1)＋14] ＝13(b n －1－a n －1)． 又b 1－a 1＝14≠0，∴b n －a n ≠0(n ∈N *)，得b n －a n b n －1－a n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)，即数列{b n －a n }是首项为b 1－a 1＝14，公比为13的等比数列．于是，b n －a n ＝14·(13)n －1，即b n ＝2n －14＋14·(13)n －1＝14[(13)n －1＋2n －1](n ∈N *).等差、等比数列的通项公式a n 与前n 项和S n 是高考必考内容，其中把非等差、等比数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题，体现了转化与化归的数学思想，是高考命题的生长点．可转化为等差、等比数列的求和问题(12分)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【规范解答】 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.4分(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.8分所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；10分当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.12分【阅卷心语】易错提示 (1)在确定a 1，a 2，a 3的值时，不会分类讨论导致无法求解．(2)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，不会把S n 拆分成几个可求和的数列的和的形式，从而无法求解．(3)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，对n 没分偶数和奇数两种情况求解导致答案错误． 防范措施 (1)当a 1的值不确定时，应对a 1的所有可能取值逐一进行讨论．(2)当通项公式a n 是多项和的形式时，常把前n 项和S n 拆分成几个等差(比)数列和的形式求解．(3)数列问题中若遇到(－1)n 则需考虑n 的奇偶性对所求数值的影响．必要时应分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论．1．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( ) A ．42 B ．±42 C ．4 D ．±4 【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎨⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝－36，S 13＝13a 1＋13×122d ＝－104，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－2.∴a 5＝a 1＋4d ＝－4，a 7＝a 1＋6d ＝－8， ∴a 5a 7＝32，故a 5与a 7的等比中项为±4 2. 【答案】 B2．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n， 0≤a n＜12，2a n－1， 12≤a n＜1，若a 1＝35，则数列的第2 013项为( )A.15B.25C.35D.45【解析】 由题意知a 2＝2a 1－1＝2×35－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝2×45－1＝35，a 6＝2a 5－1＝2×35－1＝15，…从而数列{a n }的各项周期性出现，周期为4，故a 2 013＝a 1＝35.【答案】 C第11 页共11 页。

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不等式选讲考点不等式选讲1。

（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x)=｜x+1|+|x﹣1｜．（10分) （1）当a=1时,求不等式f（x）≥g（x）的解集；(2）若不等式f(x）≥g（x）的解集包含［﹣1，1］，求a的取值范围．1.（1)解：当a=1时，f(x)=﹣x2+x+4，是开口向下,对称轴为x= 的二次函数，g（x）=|x+1｜+|x﹣1|= ,当x∈(1，+∞）时,令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增,f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈［﹣1，1］时，g（x）=2，f(x)≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞,﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1)=f（﹣1）=2．综上所述,f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；(2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1］恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1］恒成立,则只需,解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1］．2。

（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0,b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5)≥4；（Ⅱ)a+b≤2．2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：(a+b)（a5+b5）≥( + ）2=(a3+b3)2≥4，当且仅当= ,即a=b=1时取等号,(Ⅱ）∵a3+b3=2,∴（a+b)（a2﹣ab+b2）=2,∴（a+b）[（a+b)2﹣3ab］=2，∴(a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（)2 ,∴（a+b）3﹣2≤ ,∴（a+b)3≤2，∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立．3.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（x)=｜x+1|﹣|x﹣2｜．（Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集;（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．3。

配方法突破配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ； a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab ＝(a ＋b 2)2＋（32b ）2； a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c)2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2－2(ab －bc －ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）2；x 2＋12x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x)2＋2 ；…… 等等。

例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

A. 23 B. 14 C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z ，则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩,而欲求对角线长x y z 222++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩。

第一讲 集合与常用逻辑用语集合元素与集合的关系集合的概念集合的表示方法集合与集合的关系包含关系子集真子集相等集合的运算交集补集并集常用逻辑用语四种命题及其相互关系逻辑联结词充分、必要条件全称量词与存在量词1．(集合的运算)设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)【解析】 由x 2－2x －3≤0，得－1≤x ≤3. ∴B ＝[－1,3]，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 因此A ∩(∁R B )＝(3,4)． 【答案】 B2．(四种命题)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．【解析】 互换条件与结论，并进行否定． 逆否命题为：若tan α≠1，则α≠π4.【答案】 若tan α≠1，则α≠π43．(充要条件)已知p ：x 2>9，q ：x 2－56x ＋16>0，则p 是q 的__________条件．【解析】 ∵x 2>9⇒x >3或x <－3，x 2－56x ＋16>0⇒x <13或x >12.∴p ⇒q ，而q p ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】 充分不必要4．(逻辑联结词)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则命题p ∨(綈q )是________命题(填“真”、“假”)【解析】 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，p 假．又x ＝π2不是函数y ＝cos x 的图象的对称轴，q 假，从而綈q 为真，故p ∨(綈q )是真命题．【答案】 真5．(命题的否定)已知命题p：∃n∈N*,2n＞1 000，则綈p为________．【解析】由于特称命题的否定是全称命题，因而綈p为∀n∈N*,2n≤1 000.【答案】∀n∈N*,2n≤1 000(1)(2013·山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)(2013·宝鸡模拟)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|<2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为() A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]【思路点拨】 1.弄清集合B中元素的构成，用列举法把集合B中的元素一一列举出来．2．求函数y＝|cos2x－sin2x|的值域得集合M，解不等式|x－1i|＜2，得集合N.【自主解答】(1)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0；y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(2)∵y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x |，则M ＝[0,1]． 又|x －1i |<2，得x 2＋1<2，∴－1<x <1，则N ＝(－1,1)， 因此 M ∩N ＝[0,1)． 【答案】 (1)C (2)C1．解答第(1)题一定要注意集合元素的互异性．2．进行集合运算，判定集合间关系，一定要重视数形结合思想方法的应用：(1)若给定集合涉及不等式的解集，要借助数轴；(2)若涉及抽象集合，要充分利用Venn 图；(3)若给定集合是点集，要注意借助函数图象．变式训练1 (1)(2013·济南模拟) 已知集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x |log 2x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．(－1,3)B ．(0,4)C ．(0,3)D ．(－1,4)(2)(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)【解析】 (1)由|x －1|＜2得－1＜x ＜3，∴A ＝(－1,3)． 由log 2x ＜2得0＜x ＜4，∴B ＝(0,4) ∴A ∩B ＝(0,3)．(2)因为S ＝{x |x ＞－2}，所以∁R S ＝{x |x ≤－2}．而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．【答案】 (1)C (2)C错误!(1)(2013·武汉模拟)设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是( ) A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件(2)(2013·安徽高考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【思路点拨】(1)利用线面、面面平行与垂直的判定、性质定理逐一判定p⇒q与q⇒p 是否成立．(2)利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断．【自主解答】(1)对于选项A，当m⊂α时，n∥αm∥n，且m∥n n∥α.故A 错；对于选项B，当m⊂α时，m⊥β⇒α⊥β，但α⊥βm⊥β.故B正确；对于选项C，当n⊥α时，n⊥β⇒α∥β，且α∥β⇒n⊥β.故C正确；对于选项D，当m⊂α时，n⊥α⇒m⊥n，但m⊥n n⊥α.故D正确．(2)当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＜0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示：当a＞0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．【答案】(1)A(2)C1．判定充要条件应注意：(1)首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后再判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；(2)要善于举反例．2．判定p⇔q常用的方法：(1)定义；(2)等价的逆否命题的判定；(3)运用集合的包含关系．变式训练2 若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】 若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方整理，得ab ＝0，且a ≥0，b ≥0，∴a ，b 互补．若a ，b 互补，则a ≥0，b ≥0，且ab ＝0， 即a ＝0，b ≥0或b ＝0，a ≥0， 此时都有φ(a ，b )＝0，∴φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件． 【答案】 C(1)(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q(2)(2013·济宁模拟)已知命题“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【思路点拨】 (1)根据逻辑联结词“或”“且”“非”的含义判断． (2)命题的否定是真命题，由此可求a 的取值范围．【自主解答】 (1)依题意得綈p ：“甲没有降落在指定范围”，綈q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．(2)由题意知命题“∃x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是真命题．从而Δ＝(a －1)2－4≥0，∴a ≥3或a ≤－1. 【答案】 (1)A (2)(－∞，－1]∪[3，＋∞)1．命题真假的判断主要有以下几种方法：(1)涉及一个命题p 的真假，可根据命题特征进行判断．(2)关于四种命题真假的判断，可根据互为逆否命题的两个命题同真同假判断． (3)形如p ∧q ，p ∨q ，綈p 命题真假用真值表判断．(4)判断一个全称命题和特称命题的真假，要注意举特例方法的应用．2．利用命题的真假求参数的取值范围的方法： (1)对命题进行合理转化，求出命题为真时参数的范围． (2)根据真值表确定命题的真假，从而确定相应参数的范围．变式训练3 (2013·四川高考)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B【解析】 命题p 是全称命题： ∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 是特称命题：∃x ∈A,2x ∉B .故选D.【答案】 D全称命题和特称命题是新课标新增内容，其命题的否定和真假判断，体现了数学的两种思维方式，是高考重点考查的内容，2013年，山东、辽宁、安徽等省份对此作了考查，预测2014年高考，根据命题的真假求参数的取值范围，是命题的一个方向，应引起高度重视．用等价转化的方法求参数的取值范围(12分)已知函数f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.求m 的取值范围．【规范解答】 由g (x )＝2x －2<0，得x <1， 在条件①中，∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， 当x ≥1时，必有f (x )<0恒成立，则m <0.3分 因此⎩⎪⎨⎪⎧2m <0，－(m ＋3)<1.解之得－4<m <0(*).5分在条件②中，∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0. ∵g (x )＝2x －2<0恒成立，因此，问题转化为∃x ∈(－∞，－4)时，f (x )>0， ∴f (x )＝0的最小实根小于－4.8分(i)当－1<m <0时，有－m －3<2m ，∴－m－3<－4，m>1与m<0矛盾，舍去．(ii)当m<－1时，有2m<－m－3，∴应有2m<－4，∴m<－2.(iii)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，不满足条件②，所以由(i)、(ii)、(iii)知，满足条件②，应有m<－2(**).11分根据(*)、(**)知－4<m<－2.故实数m的取值范围为(－4，－2). 12分【阅卷心语】易错提示(1)全称命题，特称命题理解不清，难以把条件转化为判定f(x)与0大小关系．(2)数形结合与化归能力差．不能判定m<0，将条件①化为f(x)＝0的较大根小于1，条件②中的较小根小于－4.防范措施(1)全称命题强调的是“任意性”，从而可把问题转化为恒成立问题解决；特称命题强调的是“存在性”，从而可把问题转化为方程f(x)＝0在(－∞，－4)上有一个实根．(2)结合二次函数的图象，形象直观进行不等式与方程之间相互转化；对于f(x)＝0的最小实根小于－4，一定要根据m的取值范围，确定2m与－m－3的大小．1．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得：x2＋x＋1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题【解析】对于选项A，命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；对于选项B，x＝－1⇒x2－5x－6＝0但x2－5x－6＝0x＝－1，故B错；对于选项C，命题的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，故C错；对于选项D，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，从而其逆否命题也是真命题，故D正确．【答案】 D2．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.【解析】由A∩B＝{2}知，log2(a＋3)＝2，∴a＝1，b＝2.从而A＝{2,5}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{1,2,5}．【答案】{1,2,5}。

2014年金太阳高考押题精粹(数学理课标版)（30道选择题+20道非选择题）【参考答案及点评】二．选择题（30道）1. 【答案】B2. 【答案】A【点评】:集合问题是高考必考内容之一，题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述法、图示法三种，高考中与集合的子，交，并，补相结合，侧重考查简单的不等式的有关知识。

3. 【答案】C4. 【答案】A【点评】:3、4题考查的是复数有关知识。

复数主要内容有：复数的四则运算、复数的模、共轭复数、复平面、复数概念等，理科一般都只考简单的复数乘除法运算，且比较常规化。

5. 【答案】C 6. 【答案】B【点评】:上面5、6题是简易逻辑的内容，简易逻辑内容有：命题的或、且、非；四种命题；充分、必要条件；全称命题和特称命题。

作为高考内容的重要组成部分，也是各省高考常见题型，特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。

单独考查简易逻辑相关的概念不多见，按照近几年高考真题的特点来讲，结合其他知识点一同考查是总趋势，如5题。

一般和不等式相结合的也时有出现，如6题。

7. 【答案】B 8. 【答案】B【点评】:7,8题考查的内容是程序框图。

程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，如题7；一种是根据题意补全程序框图，如题8.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟。

9. 【答案】D【解析】根据sin(π+α）=αsin -可知“若函数的图像)3x sin()(πω+=x f 向右平移3π个单位后与原函数的图像关于x轴对称”则至少变为）ππω-+=3sin()(x x g ，于是.3333x 的最小正值是则ωππωππω-+→+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 10. 【答案】A 11. 【答案】A【解析】.6,0232cos ,3sin 3sin sin sin 222222A C C ab c b a C ab c b a B a C c B b A a ，选故，又所以即ππ=<<=-+==-+=-+ 【点评】:三角函数内容在新课标全国高考试卷中，一般考察三角函数图象的平移，函数单调性，依据函数图象确定相关系数等问题，另外三角函数在解三角形中的应用也不容忽视。

高考考前复习：2014年高考数学押题复习技巧_答题技巧高考考前复习：2014年高考数学押题复习技巧【摘要】查字典数学网为大家带来高考考前复习：2014年高考数学押题复习技巧，希望大家喜欢下文!函数与导数押题范围：函数主要考查函数与方程、函数与数列、函数与不等式的相互渗透和交叉。

抽象函数问题、函数与向量结合、函数与概率统计结合。

导数主要考查导数的定义、导数的几何意义、导数的物理意义、求导的公式和求导的法则、函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性。

这些部分都以简单、中等题出现。

难题部分将导数与不等式、函数、解析几何等知识有机地结合在一起，设计综合试题。

有了这些我们整理出来的内容做指引，那么我们很容易将题归类，容易根据自己的优缺点重点去押题，去突破。

再说技巧，过于特殊的技巧，针对性过于特殊的技巧或技巧就不要考虑了，奉劝诸位，一天一道题、一天一个思想只能害了你。

只有一天一类题、思想归类才是做题的根本。

如我们玖久教育提倡从题目信息角度出发式的做题方法、思维方式，就属于放在哪里都能用上的。

我们提倡同学们这阶段复习的方法和技巧仍旧是基础知识点的理解，而不是简单的记背。

对概念形成应用上的认识。

知道公式定理怎么来、怎么去才是做题的根本。

在解答选择题方面上，虽然讲究的技巧是不择手段，但从根源上说是利用题目的一切信息，尤其是选项比较。

在解答题方面上，常规方法为主，大家常用的有数形结合、判别式、数学归纳法、构造同分母等等。

这些虽然细致，但是用惯了就成。

整体的解题思维希望大家统一为题目让干什么，我们做什么，完全跟着题目走，尽量少用知识点去套用。

当然，一眼看出可以套用的，不用就傻了。

这段时间，我们简单阐述一下数学的考点以及押题的方向，给同学们做个参考。

函数与导数押题方向见上文，通用备考方法和技巧：数形结合、取值范围、极值点概率与统计(偏重文科押题方向，简单、中等题，难题不出)：涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法。