2018-2019数学北师大版选修2-1练习：第三章1.2 椭圆的简单性质(二)1-教学文档

1.2 椭圆的简单性质(二)[学习目标] 1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题.知识点一 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.知识点二 直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程知识点三 弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝(1k y 1－1ky 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2(y 1－y 2)2＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得.题型一 直线与椭圆的位置关系例1 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离.解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 ⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313，切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 反思与感悟 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.跟踪训练1 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－83，y ＝13，即P (－83，13).题型二 直线与椭圆的相交弦问题例2 已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程.解 由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8，所以k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.反思与感悟 研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.跟踪训练2 在椭圆x 2＋4y 2＝16中，求通过点M (2,1)且被这一点平分的弦所在的直线方程. 解 方法一 如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x 轴， 则点M (2,1)显然不可能为这条弦的中点. 故可设弦所在的直线方程为y ＝k (x －2)＋1， 代入椭圆方程得x 2＋4[k (x －2)＋1]2＝16， 即得(1＋4k 2)x 2－(16k 2－8k )x ＋16k 2－16k －12＝0， ∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k 2＋4k ＋3)>0， 又x 1＋x 2＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，满足Δ>0. ∴直线方程为x ＋2y －4＝0.方法二 设弦的两个端点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆上，故有x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∵点M (2,1)是PQ 的中点，故x 1≠x 2，两边同除(x 1－x 2)得，(x 1＋x 2)＋4(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝0，即4＋8k ＝0，∴k ＝－12.∴弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.题型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， ∴x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. ∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练3 如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围. 解 ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9， ∴|AP →|＝3.(1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1).∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12，∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得： 9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t . ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0.∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.1.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.m >1B.m >1且m ≠3C.m >3D.m >0且m ≠3答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1⇒(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，∴Δ>0，∴m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.2.已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13B.33C.22D.12 答案 B解析 将方程化为标准形式x 2m 2＋y 2m 3＝1，因为m >0，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2－m 3＝m6，∴e ＝c a＝m 6m 2＝13＝33. 3.椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( ) A.53B.103C.203D.53 答案 A解析 易知△ABF 2的内切圆的半径r ＝12，根据椭圆的性质结合△ABF 2的特点，可得△ABF 2的面积S ＝12lr ＝12×2c ×|y 1－y 2|，其中l 为△ABF 2的周长，且l ＝4a ，代入数据解得|y 1－y 2|＝53.4.椭圆x 2＋4y 2＝36的弦被A (4,2)平分，则此弦所在的直线方程为( ) A.x －2y ＝0 B.x ＋2y －4＝0 C.2x ＋3y －14＝0 D.x ＋2y －8＝0答案 D解析 设以A (4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵A (4,2)为EF 中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，把E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)分别代入椭圆x 2＋4y 2＝36中，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36， ①x 22＋4y 22＝36， ② 则①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴8(x 1－x 2)＋16(y 1－y 2)＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴以A (4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y －2＝－12(x －4)，整理得，x ＋2y －8＝0.5.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________. 答案 0<e <22解析 设M (x ，y )，∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝c 2，点M 的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F 1F 2为圆的直径. 由题意知，椭圆上的点P 总在圆外，所以|OP |>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP |≥b ，∴b >c ，∴a 2>2c 2， ∴(c a )2<12，∴0<e <22.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.。

1.2椭圆的简单性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、极点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b 以及 c， e 的几何意义， a、 b、 c、 e 之间的互相关系 .3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．椭圆的简单几何性质焦点的焦点在 x 轴上焦点在y轴上地点图形标准方程范围极点轴长短轴长＝ ____，长轴长＝ ____焦点焦距对称性对称轴是 ________，对称中心是 ________离心率一、选择题1．椭圆 25x 2＋ 9y2＝ 225的长轴长、短轴长、离心率挨次是()44A． 5,3，5 B ．10,6，533C ． 5,3， 5D ．10,6， 52．焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为 ()2222x＋ y＝ 1B. x＋ y＝ 1A. 361616 36C.x222 2＋y＝ 1D. y ＋ x＝ 1646 4x 2 y 213．若焦点在 x 轴上的椭圆 ＋＝ 1 的离心率为，则 m 等于 ()2m238 2 A. 3B.2C.3D.3x 2 y 2 ABC ＝ 90°，4．如下图， A 、B 、 C 分别为椭圆 2 ＋2＝ 1 (a>b>0) 的极点与焦点，若∠ab则该椭圆的离心率为 ( )－1＋ 52A.2B ．1－ 2C. 2－1D. 225．若直线 mx ＋ ny ＝4 与圆22P(m ， n)的直线与椭圆 x 2＋O ：x ＋ y ＝ 4 没有交点，则过点 9y 2 ＝ 1 的交点个数为 ( )4A ．至多一个B ． 2C ． 1D ． 06．已知 F 1、 F 2 是椭圆的两个焦点．知足 → →的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离 MF 1·MF 2＝ 0 心率的取值范围是 ()1A ． (0,1)B. 0，2C. 2D. 2， 10， 22题 号 12 3456答案二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5，且过点 P(－5,4)，则椭圆的5方程为 ______________ ．x 2 y 2 (a>b>0)的一个焦点和一个极点， 则该椭圆的8．直线 x ＋ 2y －2＝ 0 经过椭圆a＋ b＝ 122离心率等于 _____________________________________________ ．9．若直线 mx ＋ ny ＝ 4 和圆 O ：x 22没有公共点，则过点 (m ，n)的直线与椭圆x 2＋ y ＝ 4＋52y＝ 1 的交点个数为 ________．4三、解答题2 210.如图，已知 P 是椭圆 x 2＋y2＝ 1 (a>b>0) 上且位于第一象限的一点， F 是椭圆的右焦点，a ba 2O 是椭圆中心， B 是椭圆的上极点，H 是直线 x ＝－ c(c 是椭圆的半焦距 )与 x 轴的交点，若 PF ⊥ OF ， HB ∥ OP ，试求椭圆的离心率 e.x 2 y 211．已知 F 1、 F 2 是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1 (a>b>0) 的左、右焦点， A 是椭圆上位于第一象限内的→→＝0，椭圆的离心率等于2的面积为 22，求椭圆的方程．一点，若 AF2·F1 F2，△ AOF22能力提高12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 () 4321A. 5B. 5C.5D. 313．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(－3，10)，且右极点为D(2,0) ．设点 A 的坐标是1，2 .(1)求该椭圆的标准方程；(2)若 P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点 M 的轨迹方程．1．椭圆的范围本质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有侧重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一此中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的地点关系以及一些相关面积的计算问题时，常常能起到化繁为简的作用．3．椭圆的离心率是反应椭圆的扁平程度的一个量，经过解方程或不等式能够求得离心率的值或范围．1． 2椭圆的简单性质知识梳理焦点的焦点在 y 轴上焦点在 x 轴上地点图形标准x2y2y2x2方程a2＋b2＝ 1a2＋b2＝ 1范围－a≤x≤a，－ b≤y≤b－ b≤x≤b，－ a≤y≤a 极点( ±a,0)， (0，±b)( ±b,0)， (0，±a)轴长短轴长＝ 2b，长轴长＝ 2a焦点( ±c,0)(0，±c)焦距2c＝ 2a2－ b2对称性对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率e＝c， 0<e<1 a作业设计22 1． B [ 先将椭圆方程化为标准形式：x ＋ y＝ 1，925此中 b＝ 3， a＝ 5， c＝ 4.]2．A 3.B4．A[ 由 (a＋ c)2＝ a2＋ 2b2＋ c2，∵b2＝ a2－ c2，∴ c2＋ac－ a2＝ 0，∵ e＝c，∴ e2＋ e－ 1＝ 0，∴ e＝－1＋ 52.] a5．B [∵42>2，∴222＋nm＋ n <2.mx2y2x2y2∴点 P(m， n)在椭圆9＋4＝ 1 的内部，∴过点P(m， n)的直线与椭圆9 ＋4＝1 有两个交点． ]→→＝ 0，∴ M 点轨迹方程为x2＋ y2＝c2，此中 F为直径，6．C [∵MF1·MF21F2由题意知椭圆上的点在圆x2＋ y2＝ c2外面，设点 P 为椭圆上随意一点，则|OP|>c 恒建立，由椭圆性质知 |OP| ≥b，此中 b 为椭圆短半轴长，∴ b>c ，∴ c 2<b 2＝ a 2－ c 2，∴ a 2>2c 2，∴ c 2<1，∴ e ＝ c < 2.a 2a 2又∵ 0<e<1，∴ 0<e< 22.]2 27. x ＋ y ＝ 1 45 362 2 分析设椭圆的方程为 x y ＝1 (a>b>0)a 2＋b 2 ，25 16将点 (－5,4)代入得 2 ＋ b 2 ＝ 1，ac ＝ 5 2 c 2a 2－b 21 ，又离心率 e ＝，即 e ＝ 2＝2＝a 5aa522x 2 ＋ y 2解之得 a ＝ 45， b ＝ 36，故椭圆的方程为45 ＝1.362 5 8. 5分析由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线 x ＋2y － 2＝0 与 x 轴、 y 轴的交点分别为c 2 5(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与极点， 所以 b ＝ 1，c ＝ 2，进而 a ＝5，e ＝a ＝ 5.9． 2分析由题意可知，圆心 O 到直线 mx ＋ ny ＝ 4 的距离大于半径，即得m 2＋ n 2<4，所以点 M(m ，n)在圆 O 内，而圆 O 是以原点为圆心， 椭圆的短半轴长为半径的圆， 故点 (m ，n)在椭圆内，所以过点(m ， n)的直线与椭圆必有2 个交点．210．解依题意知 H － a， 0 ， F(c,0) ，B(0 ， b)．c设 P(x P ， y P )，且 x P ＝ c ，代入到椭圆的方程，b 2b 2得 y P ＝ a .∴ P c ， a .∵ HB ∥OP ，∴ k HB ＝ k OP ，即 b － 0a 2＝0＋ c ∴ ab ＝c 2 .cb2 ＝a 2－ c 2 －2－ 1.∴ e ＝＝，∴ e 2 ＝ ea cc∴ e 4＋ e 2－ 1＝ 0.∵ 0<e<1，∴ e ＝2b ac.5－ 1 .2→ →＝ 0，∴ AF 2⊥ F 1F 2，11．解 ∵ AF 2·F 1 F 2由于椭圆的离心率e ＝ c＝ 2，a 2则 b 2＝12a 2 ，设 A(x ，y)(x>0 ， y>0) ，由 AF 2⊥ F 1F 2 知 x ＝ c ，∴ A(c ， y)，代入椭圆方程得c 2 y 2b 2a 2＋b 2＝ 1，∴ y ＝ a ，∵△ AOF 2 的面积为 2 2，1∴ S △AOF 2＝2x ×y ＝ 2 2，1 b2c 22即 c · ＝ 2 2，∵ ＝ ，∴ b ＝ 8，2 a a2∴ a 2＝ 2b 2＝16，22xy故椭圆的方程为＋＝1.16 812．B[由题意知 2b ＝ a ＋ c ，又 b 2＝a 2－ c 2，∴ 4(a 2－ c 2)＝ a 2＋ c 2＋ 2ac.∴ 3a 2－ 2ac － 5c 2＝ 0.∴ 5c 2＋ 2ac － 3a 2＝ 0.∴ 5e 2＋ 2e － 3＝ 0.∴e ＝3或 e ＝－ 1(舍去 )． ] 513．解(1)∵ a ＝ 2， c ＝3，∴ b ＝ a 2－ c 2＝ 1.2∴椭圆的标准方程为x＋ y 2＝ 1.4(2)设 P(x 0， y 0)， M(x ， y)，由中点坐标公式，x ＝x 0＋ 1，x 0＝2x － 1，2得＋1∴＝ 2y － 1 y 02y 0.y ＝2，22(2x －1)21又∵ x 02＋ 2y － 24 ＋ y 0＝ 1，∴42 ＝ 1即为中点 M 的轨迹方程．。

1.2 椭圆的简单性质自主整理椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的简单性质1.对称性椭圆2222by a x +=1是以x 轴,y 轴为对称轴的_____________,且是以原点为对称中心的_____________,这个对称中心称为_____________. 2.范围椭圆上所有的点都位于直线_____________所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足_____________. 3.顶点(1)椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的_____________. (2)椭圆2222b y a x +=1的四个顶点的坐标分别为A 1_____________,A 2_____________,B 1_____________,B 2_____________. (3)线段A 1A 2,B 1B 2分别叫作椭圆的_____________和_____________,|A 1A 2|=_____________,|B 1B 2|=_____________. (4)a 和b 分别叫作椭圆的_____________和_____________. 4.离心率(1)我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的_____________,用e 表示,e=_____________.(2)e 的取值范围是.e 越接近1,椭圆就越_____________,反之,e 越接近0,椭圆接近于_____________.当且仅当a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为_____________,它的方程为_____________. 高手笔记我们根据椭圆的标准方程2222by a x +=1(a ＞b ＞0)来研究椭圆的几何性质.(1)椭圆的范围.由标准方程可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22ax ≤1,22b y ≤1,即x 2≤a 2,y 2≤b 2,所以|x|≤a,|y|≤b.这说明椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形区域里. (2)椭圆的对称性.①判断曲线关于x 轴,y 轴,原点对称的依据.a.若把方程中的x 换成-x,方程不变,则曲线关于y 轴对称;b.若把方程中的y 换成-y,方程不变,则曲线关于x 轴对称;c.若把方程中的x,y 同时换成-x,-y,方程不变,则曲线关于原点对称. ②椭圆关于x 轴,y 轴对称,也关于原点对称.对于椭圆标准方程,把x 换成-x,或把y 换成-y,或把x,y 同时换成-x,-y,方程都不变,所以图形关于y 轴,x 轴和原点都是对称的.这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. (3)椭圆的顶点.①椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)与坐标轴的交点.令x=0,得y=±b;令y=0,得x=±a.这说明A 1(-a,0),A 2(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点,B 1(0,-b),B 2(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点.因为x 轴,y 轴是椭圆的对称轴,所以,椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫作椭圆的顶点.②椭圆的长轴,短轴.线段A 1A 2叫作椭圆的长轴,它的长为2a,a 叫作椭圆的长半轴长. 线段B 1B 2叫作椭圆的短轴,它的长为2b,b 叫作椭圆的短半轴长. (4)椭圆的离心率.椭圆的焦距与长轴长的比,称作椭圆的离心率,记作e=ac a c =22. 因为a ＞c ＞0, 所以0＜e ＜1.e 越接近1,则c 就越接近a,从而b=22c a -越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近0,从而b 越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形这时就变为圆,此时方程即为x 2+y 2=a 2. 名师解惑1.如何解决与特征△PF 1F 2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题?剖析:一般涉及与△PF 1F 2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理),面积公式相结合的方法进行计算与解题. 2.如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 剖析:离心率e=ac与a,b,c 之间的关系:c 2=a 2-b 2,长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化.椭圆的离心率e=a c ,用a,b 表示为e=2)(1ab -,当a b 越小时,椭圆越扁,e 越大;当a b 越大,椭圆趋近圆,e 越小,并且0＜e ＜1.讲练互动【例1】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6),求椭圆的标准方程. 解析:设出方程,将点的坐标代入,求a 2,b 2,用待定系数法求方程.答案:设椭圆的标准方程为2222b y a x +=1或2222by a x +=1(a ＞b ＞0).由已知a=2b,又过点(2,-6),所以1)6(22222=-+b a 或12)6(2222=+-ba . 所以⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==.13,5237,1482222b a b a 或所以所求方程为3714822y x +=1或135222x y +=1. 绿色通道当方程有两种形式时,应分类求解,即设出两种形式的方程,再由其他条件求出参数.椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,它们之间的关系确定题中椭圆的形状. 变式训练1.已知c=8,e=32,求椭圆的标准方程. 答案:因为e=32,所以a c =32.又因为c=8,所以a=12.所以b 2=a 2-c 2=122-82=80.所以所求椭圆的标准方程为118014411801442222=+=+x y y x 或. 【例2】已知椭圆x 2+(m+3)y 2=m(m ＞0)的离心率e=23,求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长,焦点坐标,顶点坐标.解析:解决本题的关键是确定m 的值,应先将椭圆方程化为标准形式,用m 表示a,b,c,再由e=23,求出m 的值. 答案:椭圆方程可化为m y m x 22+=1, 因为m-3+m m =3)2(++m m m ＞0, 所以m ＞3+m m,即a 2=m,b 2=3)2(22++=-m m m b a .由e=23,得32++m m =23,所以m=1.所以椭圆的标准方程为x 2+412y =1.所以a=1,b=21,c=23. 所以椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为F 1(23-,0),F 2(23,0);四个顶点分别为A 1(-1,0),A 2(1,0),B 1(0,21-),B 2(0, 21).绿色通道解决有关椭圆的问题,一般首先应弄清椭圆的类型,而椭圆的类型又决定于焦点的坐标.要掌握好椭圆的几何性质:范围,对称性,顶点,离心率.熟练掌握椭圆的定义,标准方程,几何性质这些基本概念是解决计算问题,证明问题及其他有关问题的基础和关键. 变式训练2.椭圆9x 2+y 2=81的长轴长为___________,短轴长为___________,焦点坐标为___________,顶点坐标为___________,离心率为___________.解析:将9x 2+y 2=81化为标准方程1932222=+y x ,所以椭圆长轴在y 轴上,其中a=9,b=3,c=62.所以长轴长2a=18,短轴长2b=6,焦点坐标为F 1(0,-62)、F 2(0,62),顶点坐标为A 1(-3,0),A 2(3,0),B 1(0,-9),B 2(0,9). 离心率为e=322926==a c . 答案:18 6 (0,-62),(0,62) (-3,0),(3,0),(0,-9),(0,9)322 【例3】椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是两个顶点,如果F 1到直线AB 的距离为7b,则椭圆的离心率e=___________-. 解析:要求e 的值,就是要求出a,c 的值或a 与c 的关系,为此需利用F 1到直线AB 的距离为7b 建立方程,从而求解.答案:如图,过点F 1作F 1P ⊥AB,交AB 于P,|AB|=22b a +,|AF 1|=a-c,|F 1P|=7b,由△AF 1B 面积公式得a 2+b 2·7b=(a-c)·b.又因为b 2=a 2-c 2,所以整理得8c 2-14ac+5a 2=0.所以8(a c )2-14·a c+5=0,即8e 2-14e+5=0. 所以e=21或e=45(舍去).所以e=21绿色通道解决椭圆离心率的问题,要利用题目中条件及椭圆的几何性质,建立关于a,b 的方程进而求出离心率.同时要注意0＜e ＜1,同时题目中还利用了三角形面积的转换与点到直线的距离公式. 变式训练3.设M 为椭圆2222by a x +=1上一点,F 1,F 2为椭圆的焦点,如果∠MF 1F 2=75°,∠MF 2F 1=15°,求椭圆的离心率. 答案:由正弦定理得︒+︒=︒+︒+=︒=︒︒75sin 15sin 275sin 15sin ||||75sin ||15sin ||90sin 22121aMF MF MF MF c ,所以e=3660sin 2115cos 15sin 1=︒=︒+︒=a c .。

1.2 椭圆的简单性质(一)学习目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点思考 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a ，b )，(a ，b )，(－a ，－b )，(a ，－b )． 梳理 椭圆的简单性质知识点二 椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比c a 称为椭圆的离心率，即ca ＝e ，因为a ＞c ，故椭圆离心率e 的取值范围为(0,1)，当e 趋近于1时，椭圆越扁，当e 趋近于0时，椭圆越圆．1．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．(√)类型一 椭圆的简单性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 考点 椭圆的简单性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m ＞0)，因为0＜m 2＜4m 2， 所以1m 2＞14m2，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m，所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思与感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质． 考点 椭圆的简单性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质如下：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝35.类型二 由简单性质求椭圆的标准方程例2 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69)考点 椭圆的简单性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D解析 由题意知，椭圆的焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是___________________________________________________________． 考点 椭圆的简单性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 x 216＋y 24＝1解析 由已知，得焦点在x 轴上，且⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2－b 2＝c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4，a 2＝16， ∴所求椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.反思与感悟 此类问题应由所给的简单性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6， ∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.类型三 求椭圆的离心率例3 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 的齐次关系式得离心率 解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵F 1(－c,0)，∴P (－c ，y p )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2p b 2＝1，∴y 2p ＝b 4a2， ∴|PF 1|＝b 2a ＝|F 1F 2|，即b 2a ＝2c ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2a＝2c ，∴e 2＋2e －1＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝2－1.反思与感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建a ，b ，c 之间的关系式，再结合b 2＝a 2－c 2，从而得到a ，c 之间的关系式，进而确定其离心率．跟踪训练3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36B.13C.12D.33考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 D解析 由题意可设|PF 2|＝m (m ＞0)，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.1．椭圆9x 2＋y 2＝36的短轴长为( ) A ．2B ．4C ．6D ．12 考点 椭圆的简单性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 B解析 原方程可化为x 24＋y 236＝1，所以b 2＝4，b ＝2，从而短轴长为2b ＝4.2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 A解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF 1F 2是正三角形． ∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ， |BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴e ＝c a ＝cos 60°＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的性质求方程 答案 C解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上， 且c ＝1，e ＝c a ＝12，即a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是________________________________________________________________________． 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的性质求方程 答案 x 216＋y 24＝1解析 由已知，得a ＝4，b ＝2，且椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的方程是x 216＋y 24＝1.5．求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 考点 由椭圆方程研究简单性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 将椭圆方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3，故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝10,2b ＝8， 离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．一、选择题1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13B.33C.22D.12考点 由椭圆方程研究简单性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 B解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，∴e ＝33.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的性质求方程 答案 B解析 由已知c ＝5，b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝6，且焦点在y 轴上， ∴椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357B ．14,4，357C ．7,2，57D ．14,4，57考点 由椭圆方程研究简单性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式为x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.4．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特征求方程 答案 A解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2，所以解得a ＝6，b ＝4. 5．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3B.32C.83D.23考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的特征求方程 答案 B解析 ∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝ca＝1－b 2a2＝1－m 2＝12，∴m ＝32.6．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －1考点 由椭圆方程研究简单性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 C解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意，知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.7．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 C解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝3a2－c ，故cos60°＝|F 2M ||PF 2|＝3a 2－c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、填空题8．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案3－1解析 如图，连接BF 2.因为△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点，所以F 2B ⊥BF 1.又因为∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， 所以|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 由椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ，所以ca ＝3－1，所以椭圆的离心率e ＝3－1.9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________． 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特征求方程答案 x 25＋y 24＝1解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线， ∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1.设P ⎝⎛⎭⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.10．已知椭圆C 的上、下顶点分别为B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案22解析 因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22.11．在△ABC 中，tan A ＝13，B ＝π4.若椭圆E 以AB 为长轴，且过点C ，则椭圆E 的离心率是________．考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案63解析 由tan A ＝13，得sin A ＝1010，cos A ＝31010.又B ＝π4，∴sin B ＝22，cos B ＝22，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1010×22＋31010×22＝255. 由正弦定理，得|BC |∶|CA |∶|AB |＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶5∶2 2. 不妨取|BC |＝1，|CA |＝5，|AB |＝2 2.以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点建立直角坐标系(C 在x 轴上方)，D 是C 在AB 上的射影． 可求得|AD |＝322，|OD |＝22，|CD |＝22， ∴点C ⎝⎛⎭⎫22，22.设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2＝2，且12a 2＋12b 2＝1，解得b 2＝23，∴c 2＝a 2－b 2＝2－23＝43，∴e 2＝c 2a 2＝23，又∵0＜e ＜1，∴e ＝63. 三、解答题12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)，其焦距与长轴长的比值是32，求m 的值及椭圆的长轴长、短轴长及顶点坐标．考点 由椭圆方程研究简单性质题点 由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1. 因为m ＞0，所以m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0， 所以m ＞m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3， 所以c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由c a ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， 所以a ＝1，b ＝12，则椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12. 13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围． 考点 由椭圆方程研究简单性质题点 由椭圆的特征求参数解 依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )．因为点B 为线段CF 1的中点，所以B ⎝⎛⎭⎫－c 2，kc 2. 因为点B 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫－c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫kc 22b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2.由|k |≤142，得k 2≤72，即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72， 所以2e 4－17e 2＋8≤0.解得12≤e 2≤8. 因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1， 即e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1. 四、探究与拓展 14．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距，则b ＋c a的取值范围是( ) A ．(1＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2] 考点 由椭圆方程研究简单性质题点 由椭圆的特征求参数答案 D解析 椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边长分别为b ，c ，斜边为a ，由直角三角形的两直角边之和大于斜边得b ＋c ＞a ，∴b ＋c a ＞1，又∵⎝⎛⎭⎫b ＋c a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2(b 2＋c 2)a 2＝2(当且仅当b ＝c 时，取等号)，∴1＜b ＋c a≤2，故选D. 15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 考点 椭圆离心率问题题点 求a ，b ，c 得离心率解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义，得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理，得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，|AB|＝4k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.。

1.2椭圆的简单性质(一)学习目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的范围、对称性和顶点思考在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．梳理椭圆的简单性质知识点二椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比ca称为椭圆的离心率，即ca＝e，因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e趋近于1时，椭圆越扁，当e趋近于0时，椭圆越圆．1．椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c为椭圆的半焦距)．(√)类型一 椭圆的简单性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 考点 椭圆的简单性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m ＞0)，因为0＜m 2＜4m 2， 所以1m 2＞14m2，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m，所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思与感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质． 跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质． 考点 椭圆的简单性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质如下：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝35.类型二 由简单性质求椭圆的标准方程例2 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69)考点 椭圆的简单性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D解析 由题意知，椭圆的焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是___________________________________________________________． 考点 椭圆的简单性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 x 216＋y 24＝1解析 由已知，得焦点在x 轴上，且⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2－b 2＝c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4，a 2＝16， ∴所求椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.反思与感悟 此类问题应由所给的简单性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6， ∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.类型三 求椭圆的离心率例3 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 的齐次关系式得离心率 解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵F 1(－c,0)，∴P (－c ，y p )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2p b 2＝1，∴y 2p ＝b 4a2， ∴|PF 1|＝b 2a ＝|F 1F 2|，即b 2a ＝2c ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2a＝2c ，∴e 2＋2e －1＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝2－1.反思与感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建a ，b ，c 之间的关系式，再结合b 2＝a 2－c 2，从而得到a ，c 之间的关系式，进而确定其离心率．跟踪训练3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36B.13C.12D.33考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 D解析 由题意可设|PF 2|＝m (m ＞0)，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝ca ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.1．椭圆9x 2＋y 2＝36的短轴长为( ) A ．2B ．4C ．6D ．12 考点 椭圆的简单性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 B解析 原方程可化为x 24＋y 236＝1，所以b 2＝4，b ＝2，从而短轴长为2b ＝4.2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64考点 椭圆的离心率问题。

1.2椭圆的简单性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？思考2在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？梳理椭圆的简单性质知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比e ＝____________称为椭圆的离心率.(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越____，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)类型一 由椭圆方程研究其简单性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练1求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.类型二椭圆的性质的简单应用命题角度1依据椭圆的性质求标准方程例2如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程.反思与感悟此类问题应由所给的性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.命题角度2对称性问题例3讨论方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.反思与感悟研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“－y”代替方程中的“y”，用“－x”代替方程中的“x”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性.跟踪训练3曲线x2－2y＋1＝0的对称轴为()A.x轴B.y轴C.直线y ＝xD.无法确定类型三 椭圆的离心率的求解例4 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围.反思与感悟 求e 的取值范围有以下几个步骤 (1)切入点：已知|k |≤142，求e 的取值范围，需建立关于e 的不等式. (2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围.(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围.跟踪训练4 已知点P (m,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为________.1.已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.122.与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B.x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________________________________________________________________________.4.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________.5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________________________________________________________________________.1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.2.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用.3.利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题.4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.提醒：完成作业第三章§1 1.2(一)答案精析问题导学 知识点一思考1 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)， B 1(0，－b )，B 2(0，b ).思考2 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a ，b )，(a ，b )，(－a ，－b )，(a ，－b ).梳理 x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x 2b2＝1(±c,0) (0，±c ) a b b a 2a 2b 知识点二思考 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁. 梳理 (1)ca (2)扁题型探究例1 解 已知方程化成标准方程为 x 216＋y 29＝1， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3). 引申探究解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标(－712，0)和(712，0)， 顶点坐标(±13，0)，(0，±14).跟踪训练1 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18; 短轴长2b ＝6； 焦点坐标(0,62)，(0，－62)； 顶点坐标(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0). 离心率e ＝c a ＝223.例2 解 依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |， 又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形，∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|F A |＝10－5， 即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.跟踪训练2 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时，椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.例3 解 用“－y ”代替方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1中的“y ”，得－x 3y ＋x 2y 2－xy 3＝1，它改变了原方程，因此方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线不关于x 轴对称. 同理，方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线也不关于y 轴对称.而用“－x ”代替原方程中的“x ”，用“－y ”代替原方程中的“y ”，得(－x )3(－y )＋(－x )2(－y )2＋(－x )(－y )3＝1，即x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1，故方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线关于原点对称.跟踪训练3 B例4 解 依题意得F 1(－c,0)， 直线l ：y ＝k (x ＋c )， 则C (0，kc ).因为点B 为CF 1的中点， 所以B (－c 2，kc 2).因为点B 在椭圆上， 所以(－c 2)2a 2＋(kc 2)2b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2.由|k |≤142，得k 2≤72， 即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1.跟踪训练4 35当堂训练 1.B 2.B 3.x 225＋y 216＝1 4.[4－23，4＋23] 5.(0，±69)。

3.1.2 椭圆的简单性质[基础达标]1.直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的线段的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172解析：选C.设截得线段两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 24＋y 22＝1代入消元整理得3x 2＋4x －2＝0，Δ＝42＋4×6>0，x 1＋x 2＝－43∴x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13. 2.已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0解析：选C.把点(3，－1)代入x 225＋y 236＝1得3225＋（－1）236<1，点(3，－1)在椭圆内部，故直线l 与椭圆有两个公共点即交点．3.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6.4.椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离为( )A ．3B ．11 C.10D ．2 2解析：选C.易判断直线x ＋2y －2＝0与椭圆x 216＋y 24＝1相交，令与直线x ＋2y －2＝0平行的直线方程为x ＋2y ＋C ＝0代入x 216＋y 24＝1，化简整理得8y 2＋4Cy ＋C 2－16＝0，Δ＝16C 2－32(C 2－16)＝0，C ＝±4 2.由图(图略)可知C ＝4 2.切线x ＋2y ＋42＝0与直线x ＋2y －2＝0间的距离为42＋25＝10.5.已知椭圆的一个焦点为F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为( )A.53 B ．23 C.22D ．59解析：选A.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (c ，0)，P (x ′，y ′)，PF 中点坐标为M (x 0，y 0)则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－c ，y ′＝2y 0，☆∵OM ⊥PF ，∴M 在圆(x －c2)2＋y 2＝(c2)2①上．又圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2②，由①②可得x 0＝b 2c ，代入②得y 20＝b 2－x 20＝b 2c 2－b 4c 2，把上述x 0，y 20代入☆式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2b 2－c 2c ，y ′2＝4（b 2c 2－b 4）c2，代入椭圆方程整理化简，得 (2b 2－c 2)2＋4a 2(c 2－b 2)＝a 2c 2. 把b 2＝a 2－c 2代入上式化简得 5a 2＝9c 2，∴e 2＝59，e ＝53.6.已知点A ，B 是椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m >0，n >0)上两点，且AO →＝λBO →，则λ＝________．解析：由AO →＝λBO →知点A ，O ，B 共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.答案：－17.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k 的值为________．解析：交点坐标为(b ，kb )，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)得b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，∴k 2＝1－b 2a 2＝c 2a2，∴k ＝±e ＝±22. 答案：±228.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2＝________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2，所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－139．已知椭圆x 216＋y 24＝1，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为P (2，－1)，求直线l 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由A ，B 在椭圆上，有⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝16，①x 22＋4y 22＝16，② 由①－②，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.又由P (2，－1)为AB 的中点，知x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2. 于是有4(x 1－x 2)＋4×(－2)(y 1－y 2)＝0.当x 1＝x 2时，由椭圆的对称性，知AB 的中点在x 轴上，不可能是点P ，故x 1≠x 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝12，即直线l 的斜率为12.又P (2，－1)在直线l 上，故由直线方程的点斜式，可得直线l 的方程为x －2y －4＝0.10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解：法一：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得，a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2·|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23，∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（k 2＋1）（x 1－x 2）2＝2·4b 2－4（a ＋b ）（b －1）（a ＋b ）2. ∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.[能力提升]1.以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1B ．x 29＋y 28＝1C.x 25＋y 24＝1 D ．x 23＋y 22＝1解析：选C.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1x －y ＋3＝0， 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋(10a 2－a 4)＝0， 由Δ≥0，得a ≥5，e ＝c a ＝1a ≤55，此时a ＝5， 故椭圆方程为x 25＋y 24＝1.2.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．解析：设F (c ，0)，则c 2＝a 2－b 2.由题意，得直线A 1B 2的方程为x －a ＋yb ＝1，直线B 1F的方程为x c ＋y －b ＝1.将两个方程联立，解得T (2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c )，则M (ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)．又点M 在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，∴c 2（a －c ）2＋（a ＋c ）24（a －c ）2＝1，整理，得c 2＋10ac －3a 2＝0，即e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5或e ＝－27－5(舍去)．答案：27－53.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k2. 又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103， 化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.4．若F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)设点P 是第一象限内椭圆上的点，且PF 1→·PF 2→＝－54，求点P 的坐标．(2)设过定点M (0，2)的直线l 与椭圆交于不同的点A 、B ，且OA →·OB →>0，(其中O 为原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)易知a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )(x >0，y >0)．则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝－54，又x 24＋y 2＝1， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝74x 24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝32，P (1，32)． (2)显然x ＝0不满足题设条件，可设l 的方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋2⇒(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0，∴x 1x 2＝121＋4k 2，x 1＋x 2＝－16k 1＋4k2，由Δ＝(16k )2－4·12·(1＋4k 2)>0⇒4k 2－3>0，得k 2>34.又OA →·OB →>0，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0，y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝12（1＋k 2）1＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4＝4（4－k 2）1＋4k2>0， ∴－14<k 2<4.综上可得34<k 2<4，∴k 的取值范围是(－2，－32)∪(32，2)．。