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高一下学期期末复习练习等比数列[重点]等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式。
1．定义：数列{a n }若满足nn a a 1+=q(q q ,0≠为常数)称为等比数列。
q 为公比。
2．通项公式：a n =a 1q n-1(a 1≠0、q ≠0)。
3.前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧--=--q q a a q q a na n n 11)1(111 （q 1≠）4.性质：（1）a n =a m q n-m 。
（2）若 m+n=s+t ，则a m a n =a s a t ,特别地，若m+n=2p ，则a m a n =a 2p ，（3）记A=a 1+a 2+…+a n ,B=a n+1+a n+2+…a 2n ,C=a 2n+1+a 2n+2…+a 3n ,则A 、B 、C 成等比数列。
5．方程思想：等比数列中的五个元素a 1、q 、n 、a n 、S n 中，最基本的元素是a 1和q ，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。
函数思想：等比数列的通项和前n 次和都可以认为是关于n 的函数。
[难点]等比数列前n 项和公式的推导，化归思想的应用。
例题选讲1.（湖北）若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =（ ） A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－42．（辽宁）(9) 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ） (A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n-3．已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中n=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； （3） 记b n =211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132-n T =1.一、选择题1．在公比q ≠1的等比数列{a n }中，若a m =p,则a m+n 的值为 （ ）（A ）pq n+1 （B ）pq n-1 （C ）pq n （D ）pqm+n-12.若数列{a n }是等比数列，公比为q ，则下列命题中是真命题的是 （ ）（A ）若q>1,则a n+1>a n （B ）若0<q<1,则a n+1<a n（C ）若q=1,则s n+1=S n （D ）若-1<q<0,则n n a a <+1 3．在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a 0≠),a 19+a 20=b,则a 99+a 100的值为（ ）（A ）89a b （B ）（a b ）9 （C ）910ab （D ）（a b）104．在2与6之间插入n 个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（ ） （A ）n 3 （B ）n31 （C ）13+n （D ）23+n5．若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x 的值为 （ ）（A ）-4 （B ）-1 （C ）1或4 （D ）-1或-46．已知数列{a n }是公比q 1≠的等比数列，给出下列六个数列：（1）{ka n }(k 0≠) (2){a 2n-1} (3){a n+1-a n } (4){a n a n+1} (5){na n } (6){a n 3},其中仍能构成等比数列的个数为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）3 （ ）7．已知数列{a n }的前n 项和为S n =b ×2n +a(a ≠0,b ≠0),若数列{a n }是等比数例，则a 、b 应满足的条件为 （ ）（A ）a-b=0 （B ）a-b ≠0 （C ）a+b=0 （D ）a+b ≠08．一个等比数列共有3n 项，其前n 项之积为A ，次n 项之积为B ，末n 项之积为C ，则一定有（A ）A+B=C （B ）A+C=2B （C ）AB=C （D ）AC=B 2 （ ）9．在等比数列{a n }中，S n =k-(21)n，则实数k 的值为 （ ） （A ）1/2 （B ）1 （C ）3/4 （D ）210．设{a n }为等比数列，S n =a 1+…a n ,则在数列{S n } 中 （ ）（A ）任何一项均不为零 （B ）必有一项为零（C ）至多有一项为零 （D ）或有一项为零，或有无穷多项为零 11．在由正数组成的等比数列{n a }中，若a 4a 5a 6=3,log 3a 1+log 3a 2+log 3a 8+log 3a 9的值为（A ）34 （B ）43 （C ） 2 （D ）334（ ）12．在正项等比数列{a n }中，a 21+a 22+……a 2n =314-n ,则a 1+a 2+…a n 的值为（ ）（A ）2n （B ）2n -1 （C ）2n +1 （D ）2n+1-213.数列{a n }是正数组成的等比数列，公比q=2,a 1a 2a 3……a 20=a 50,，则a 2a 4a 6……a 20的值为 （A ）230 （B ）283 （C ）2170 （D ）2102-2 （ ）14．在数列{a n }中，a 1=2,a n+1=2a n +2,则a 100的值为 （ ）（A ）2100-2 （B ）2101-2 （C ）2101 （D ）21515．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是 （ ）（A ）不增不减 （B ）约增1.4% （C ）约减9.2% （D ）约减7.8% 二、填空题1．在等比数列{a n }中，a 1-a 5=-215,S 4=-5,则a 4= 。
高考数学一轮复习 等比数列及前n 项和达标练习新人教A 版必修5等比数列及前n 项和1、选择题：n 24（1）等比数列{a }中，已知 a =9，公比q=3，则a =( ) A 、27 B 、81 C 、243 D 、19211112-±（2的等比中项是( )A 、B 、C 、D 、2、填空题： （1）S _____=n 1234569等比数列{a }中，a +a +a =40，a +a +a =20，则（2）n 264正项等比数列{a }中，S =7，S =91， 则S =________3、解答题： n 2314(1)等比数列{a }中，a =10，a =20，求a 和an 486103548(2)等比数列{a }中，a a =4，a a +a a =41，且各项为正数，求a +aqn 1n 3n-2n (3)等比数列{a }中，a +a =36，a a =128，S =60，求项数n 及公比n n n n n (4)已知数列{a }的通项公式为a =3-2， 求 Sn 123123n n n-1n n n n n（5)等差数列{a }中，a +a +a =12，a a a =48，公差d<0 <1> 求数列{a }的通项公式a ；<2> 当数列{b }通项b =a 3(n=1,2,3,)时，求数列{b }的前n 项和T22n n n n n n n a a ∈≥∀∈*14n+2n+1n 22222212342n-12n 12n n *(6)已知数列{}中，a =8，a =2，且a -2a +a =0 (n N ) <1>求数列{}的通项公式； <2>若T =a -a +a -a ++a -a ，求使T 16的n 的值；1<3>若b =，S =b +b ++b ，试问:是否有最大的整数m ，n(12-a )m使n N ，有S >恒成立?若有，求m 值，；32若无，请说明理由。
【考纲要求】1．探索并掌握一些基本的数列求前n 项和的方法；2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。
【基础知识】一、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解决。
二、方法总结1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。
2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。
3、单利问题：设本金为p ，期利率为r ，则n 期后本利和)1(nr p S n +=；复利问题：设本金为p ，期利率为r ，则n 期后本利和n n r p S )1(+=。
【例题精讲】例1 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010===）解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利：63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092≈-=+++++++ （万元）， 银行贷款本息：29.16%)51(1010≈+（万元），故甲方案纯利：34.2629.1663.42=-（万元）， ②乙方案获利：5.02910110)5.091()5.021()5.01(1⨯⨯+⨯=⨯+++⨯++++ 50.32=（万元）；银行本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++⨯ 21.1305.0105.105.110≈-⨯=（万元） 故乙方案纯利：29.1921.1350.32=-（万元）；综上可知，甲方案更好。
等比数列的性质解析：∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴a 1＋a 2＝5. ∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，∴b 22＝1×4＝4. 又b 2>0，∴b 2＝2.∴原式＝52.答案：5213．某市2011年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底．(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于 4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：(1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知，{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n n －12×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，得n 2＋9n －190≥0， 令f (n )＝n 2＋9n －190，当f (n )＝0时，n 1＝－19，n 2＝10，由二次函数的图象得n ≤－19或n ≥10时，f (n )≥0， 而n 是正整数．∴n ≥10.故到2020年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{b n }， 由题意可知，{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1，由题意可知a n >0.85b n ， 即250＋(n －1)×50>400×1.08n －1×0.85，满足不等式的最小正整数n ＝6.故到2016年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 14．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3.(1)求d ，q 的值；(2)是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由a 2＝b 2，a 8＝b 3，。
复习 等差等比数列一、基础知识：1．等差数列：（1）定义：1n n a a d +-=（d 为常数）（2）通项公式：1(1)n a a n d =+-（3）前n 项和公式：1()2n n n a a S +=；1(1)2n n n S na d -=+． （4）性质：①若,,,m n p q N *∈且m n p q +=+，则必有m n p q a a a a +=+．即角标和相等，则项的和也相等．②()n m a a n m d -=-③连续“等距离”新数列，仍为等差数列。
（5）等价命题：等差数列{}n a ⇔*112(2,)n n n a a a n n N +-=+∈…⇔n a an b =+⇔2(0)n S An Bn A =+≠2．等比数列：（1）定义：1n na q a +=（q 为不为零的常数） （2）通项公式：11n n a a q -=（3）前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．（4）性质： ①若,,,m n p q N *∈且m n p q +=+，则必有m n p q a a a a ⋅=⋅．即角标和相等，则项的积也相等．②n m n m a a q -=③连续“等距离”新数列，仍为等比数列。
（5）等价命题：等比数列{}n a ⇔2*11(2,)n n n a a a n n N -+=⋅∈…⇔11n n a a q -=。
二、典型例题：例1．两个{}n a P A ⋅⋅⋅⋅,11,8,5和{}⋅⋅⋅,11,7,3n b 都有100项，问它们有多少相同的项．解法一：在{}n a 中,∴=-==,358,51d a 通项公式为23+=n a n 在{}n b 中,∴=-='=,437,31d b 通项公式为14-=m b m 若m n b a =即,1423-=+m n ()1,,143+∴∈+=∴n N m n m 必是4的倍数，即k n 41=+又,1001≤≤n 25,,41252110142max =∴∈≤≤⇒≤≤∴k N k k k 即有25个相同项. 解法二：d d a '=⨯+=,,3023995100 的最小公倍数为12,()12111302⨯-+≥∴n 2525.25=∴≤⇒n n 即有25 个相同项． 例2．针对练习173题 例3．针对练习174题 例4．针对练习175题 例5．针对练习177题 例6．针对练习17 8题例7．针对练习1710题。
必修Ⅴ－05 等比数列及前n 项和1、几个重要的概念：（1）等比数列:_______________________________________________________ （2）等比中项:_______________________________________________________ 2、等比数列的通项与前n 项和的公式：递推关系 __________________________________ 通项公式 __________________________________ 前n 项和的公式 __________________________________ 等比中项的公式 __________________________________ 3、等比数列的判断方法：（1）定义法_____________________________________________________ （2）中项法_____________________________________________________ （3）通项公式法_________________________________________________ （4）前n 项和的公式法___________________________________________ 4、等比数列的基本性质：（1）若 m +n=p+q ，则 ________________ 。
反之，不成立。
（2）_____________nma =a _____________n-m n+m a a = （3）}_____________n {a 中下标成等差数列的对应项成 （4）_____________ n 2n n 3n 2n 当q -1时 ，S ，S -S ，S -S ，成5、数列常用的求和方法：（1）公式求和法：__________________________________________________ （2）倒序相加法：__________________________________________________ （3）错位相减法：__________________________________________________ （4）分组求和法：__________________________________________________ （5）裂项相消法：__________________________________________________38473810121112642512124366128126-(){}(){}-(){} n n n n n n n a a a q a a a a a a a a a a a a S n q===+=+===例 在等比数列中，，，求它的公比和通项公式 等比数列中，，，且公比为整数，求 等比数列中，，，，求项数及公比例2 （1）S n 12346等比数列{a }中，a +a =20，a +a =40，求（2）n n n n 1已知数列{a }的通项公式为a =n+， 求 S 2（3）n 51015在等比数列{a }中，S =27，S =30， 求 S。
课时作业(二十八)A [第28讲 等比数列][时间：35分钟 分值：80分]基础热身 1．[2011·深圳一模] 设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12 C.(－1)n ＋12 D.(－1)n －12 2．[2011·泉州质检] 等比数列{a n }中，a 2＝3，a 7·a 10＝36，则a 15＝( ) A ．12 B ．－12 C ．6 D ．－63．[2011·沈阳二模] 设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72 4．[2011·广东卷] 已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.能力提升 5．[2011·厦门质检] 已知等比数列{a n }中，a 3＝2，其前n 项的积T n ＝a 1a 2…a n ，则T 5等于( )A ．8B ．10C ．16D ．32 6．[2011·开封二模] 设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 5，a 13成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n7．甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )A ．甲的产值小于乙的产值B ．甲的产值等于乙的产值C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定 8．[2011·合肥三模] 已知各项均为实数的数列{a n }为等比数列，且满足a 1＋a 2＝12，a 2a 4＝1，则a 1＝( )A ．9或116 B.19或16 C.19或116D ．9或16 9．[2011·皖北协作区联考] 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝________.10．[2011·北京卷] 在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.11．[2011·莱芜模拟] 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，a 3＝14，则1a 1＋1a2＋…＋1a 5＝________.12．(13分)[2011·济南二模] 设数列{a n }是一等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .难点突破13．(12分)[2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .课时作业(二十八)A【基础热身】1．D [解析] 由已知，数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，其前n 项和为S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12，故选D . 2．A [解析] 由等比数列的性质，有a 2·a 15＝a 7·a 10＝36，则a 15＝36a 2＝12，故选A .3．A [解析] 在等比数列{a n }中，S 4＝a 1(1－24)1－2＝15a 1，a 3＝a 1·22＝4a 1，则S 4a 3＝154，故选A .4．2 [解析] 因为{a n }为等比数列，所以a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，即2q 2－2q ＝4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或q ＝2， 又{a n }是递增等比数列，所以q ＝2. 【能力提升】5．D [解析] 由a 3＝2，得T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝25＝32，故选D . 6．A [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 5＝a 1＋4d ，a 13＝a 1＋12d ， 由a 1，a 5，a 13成等比数列，得a 25＝a 1a 13， 即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋12d)， 化简，得4d 2－a 1d ＝0， ∵a 1＝2，d ≠0，∴d ＝12，S n ＝2n ＋n (n －1)2×12＝n 24＋7n 4，故选A . 7．C [解析] 设甲各个月份的产值为数列{a n }，乙各个月份的产值为数列{b n }，则数列{a n }为等差数列、数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，故a 6＝a 1＋a 112≥a 1a 11＝b 1b 11＝b 26＝b 6.由于等差数列{a n }的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6.8．D [解析] 由已知得a 23＝1，所以a 3＝1或a 3＝－1，设公比为q ，则有a 3q 2＋a 3q ＝12，当a 3＝1时，解得q ＝13或q ＝－14，此时a 1＝9或16； 当a 3＝－1时，－1q 2＋－1q ＝12无解，故选D .9．5 [解析] 由已知条件8a 2－a 5＝0，得8a 1q ＝a 1q 4，即q 3＝8，即q ＝2.又S 2＝a 1(1－q 2)1－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q，则S 4S 2＝1＋q 2＝5.10．－2 2n －1－12 [解析] 由a 4＝a 1q 3＝12q 3＝－4，可得q ＝－2；因此，数列{|a n |}是首项为12，公比为2的等比数列，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.11．31 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，得 a 1(1＋q ＋…＋q 4)＝3116，由a 3＝14，得a 1q 2＝14，则a 21q 4＝116， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q ＋…＋1q 4＝a 1(1＋q ＋…＋q 4)a 21q 4＝31. 12．[解答] (1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2. 又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2， ∴b 2＝4，∴a 2＝－2，a 5＝4.∵{a n }为一等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2， 即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)①，S n ＝23(b n －1)②，①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n ，∴数列{b n }是一等比数列，公比q ＝－2，b 1＝－2， 即b n ＝(－2)n .∴S n ＝23[(－2)n －1]．【难点突破】13．[思路] 本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，综合运算求解能力和创新思维能力．[解答] (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)．∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ∈N *.(2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k1＋tan (k ＋1)·tan k ，得tan(k ＋1)·tan k ＝tan (k ＋1)－tan ktan1－1. 所以S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝3n ＋2tan(k ＋1)·tan k＝∑k ＝3n ＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan (k ＋1)－tan k tan1－1＝tan (n ＋3)－tan3tan1－n .。
5.3等比数列【考纲要求】1、理解等差数列、等比数列的概念.2、掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.3、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 【基础知识】1、等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的商都等于同一个常数(0)q q ≠，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数q 就叫做这个数列的公差。
即1(2,,0)nn a q n n N q a *-=≥∈≠ 2、等比中项若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做,a b 的等比中项。
两个实数,a b 的等比中项有两个，就是这两个数的算数平均数 3、等比数列的性质①等比数列的通项公式： 111(0)n n m n m a a q a q a q --==≠②其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩③等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项。
④ 等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即232,,n nn n n S S S S S --成等比数列。
4、等比数列性质的判断和证明 方法一：定义法，1(2,)nn a q n n N a *-=≥∈⇔数列{}n a 是等比数列方法二：中项法， 211(2,)n n n a a a n n N *-+=≥∈⇔数列{}n a 是等比数列5、等比数列有5个基本量，1,,,,n n a d n a S ，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。
注意要弄准它们的值。
6、三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+，三个数成等比数列，一般设为,,aa aq q四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++，四个数成等比数列一般设为33,,,a a aq aq q q【例题精讲】例1 等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．解： (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329，由条件知：a 1，a 6是方程x 2－11x ＋329＝0的两根，解得x ＝13或x ＝323.又0＜q ＜1，∴a 1＝323，a 6＝13，∴q 5＝a 6a 1＝132，q ＝12，从而a n ＝a 6·q n －6＝13·⎝⎛⎭⎫12n －6.(2)令323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝21，得⎝⎛⎭⎫12n ＝164， ∴n ＝6.例2 等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=- （2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++3451212341222222n n n n n T +++=+++++相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-5.3等比数列强化训练【基础精练】1.等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1＞a n ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.已知数列{a n }是首项为a 1的等比数列，则能保证4a 1，a 5，－2a 3成等差数列的公比q 的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.33.已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝ ( )A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)24.等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.105.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项6.已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)， 第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于 ( )A.－12n －2B.12n －2C.－12n －1D. 12n －17.等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为8.等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ .9.在所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为 .10.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数. (1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值.11.已知数列{a n }中，a 1＝－1，且(n ＋1)a n ，(n ＋2)a n ＋1，n 成等差数列.(1)设b n ＝(n ＋1)a n －n ＋2，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式.12.在数列{a n }中，a 1＝a ，且a n ＋1＝2S n －2n －n 2(n ∈N *)(1)若a 1，a 2，a 3－5成等比数列，求a 的值； (2)求通项公式a n .【拓展提高】1.已知等比数列{a n}的首项为a1＝13，公比q满足q＞0且q≠1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列．(1)求数列{a n}的通项；(2)令b n＝log31a n，求1b1b2＋1b2b3＋…＋1b n b n＋1的值．2.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且3a n＋1＋2S n＝3(n为正整数)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S＝a1＋a2＋…＋a n＋…，若对任意正整数n，kS≤S n恒成立，求实数k的最大值．【基础精练参考答案】1.D【解析】当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.2.C【解析】∵4a1，a5，－2a3成等差数列，∴2a5＝4a1＋(－2a3).设数列{a n}的公比为q，则a5＝a1q4，a3＝a1q2，∴2a1q4＝4a1－2a1q2.∵a1≠0，∴q4＋q2－2＝0，∴q2＝1或q2＝－2(舍去)，∴q＝1或q＝－1.3.C 【解析】由题知a n ＝2n ，log 2a 2n －1＝2n －1， log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.4.C 【解析】由于a n ＝317×(－12)n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0,0＜a 11＜1，又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9值最大，此时n ＝9.5.B 【解析】设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4.所以两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，a n1qn (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n＝642，即2n ＝642.所以n ＝12. 6.C 【解析】∵n ＜m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1.7. a n ＝24－n【解析】由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得 a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18，∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10，∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n .8.152【解析】∵{a n }是等比数列，∴a n ＋2＋a n ＋1＝6a n 可化为 a 1q n ＋1＋a 1q n ＝6a 1q n －1，∴q 2＋q －6＝0. ∵q ＞0，∴q ＝2.a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝12.∴S 4＝14(1)1a q q --＝12(1－24)1－2＝152.9.1【解析】如图：∴a ＝12，2b ＝14＋38，∴b ＝516，又3·c ＝(34)2，∴c ＝316，∴a ＋b ＋c ＝12＋516＋316＝1.10.【解析】(1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1， a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2).a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *. (2)由a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，得 (4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 将上式化简，得2km (k －1)＝0，因为m ∈N *，所以m ≠0，故k ＝0，或k ＝1.11.【解析】(1)证明：由已知得(n ＋2)a n ＋1＝12(n ＋1)a n ＋n2，∵b 1＝2a 1－1＋2＝－1， ∴b n ＋1b n ＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)＋2(n ＋1)a n －n ＋2＝12(n ＋1)a n ＋n2－(n ＋1)＋2(n ＋1)a n －n ＋2＝12(n ＋1)a n －n 2＋1(n ＋1)a n －n ＋2＝12. ∴数列{b n }是等比数列.(2)由(1)得b n ＝－ (12)n －1，即(n ＋1)a n －n ＋2＝－(12)n －1.∴a n ＝－1n ＋1(12)n －1＋n －2n ＋1. 12.【解析】(1)a 1＝a ，a 2＝2S 1－21－12＝2a －3， a 3－5＝2(a 1＋a 2)－22－22－5＝6a －19， ∵a 1，a 2，a 3－5成等比数列，∴(2a －3)2＝a (6a －19)，解得a ＝－1或a ＝92.(2)∵a n ＋1＝2S n －2n －n 2(n ∈N *)，①∴a n ＝2S n －1－2n －1－(n －1)2(n ≥2，n ∈N *)，② ∴当n ≥2时，①－②得 a n ＋1－a n ＝2a n －2n －1－2n ＋1，即a n ＋1＝3a n －2n －1－2n ＋1.设a n ＋1＋p 2n ＋1＋q (n ＋1)＝3(a n ＋p 2n ＋qn )， 由－4p ＋6p ＝－1，得p ＝－12，由3qn －q (n ＋1)＝－2n ＋1，得q ＝－1.故n ≥2时，数列{a n －2n －1－n }是以3为公比的等比数列∴21(1).(27)32()n n n an a a n --=⎧=⎨-+⎩≥2【拓展提高参考答案】1.【解析】 (1)∵2×5a 3＝a 1＋9a 5， ∴10a 1q 2＝a 1＋9a 1q 4， ∴9q 4－10q 2＋1＝0， ∵q ＞0且q ≠1，∴q ＝13，∴a n ＝a 1q n －1＝3－n .(2)∵b n ＝log 31a n＝log 33n ＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.2.【解析】 (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3②由①－②，得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0， ∴a n ＋1a n＝13(n ≥2)．又∵a1＝1,3a2＋2a1＝3，解得a2＝1 3.。
