【最新】2018-2019学年度人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-相似三角形判定定理 (可直接打印)

[对应学生用书P32][对应学生用书P32]证明点共圆的方法有以下几种：(1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上；(2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上；(3)如图，只要具备以下条件之一者，A、B、C、D四点共圆：①∠BAC＝∠BDC；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③∠F AD＝∠BCD；④AE·CE＝BE·DE；⑤AF·BF＝CF·DF.[例1]已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．[证明]连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．[例2]已知：如图，四边形ABCD中，∠1＝∠2.求证：A、B、C、D四点共圆．[证明]由A、B、D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙O.(1)如果点C在⊙O的外部(如图)．与圆相交于点E，∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB.而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．(2)如果点C在⊙O的内部(如图)．延长BC与圆相交于点E，连接AE.则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾，∴点C不可能在圆内，∴点C只能在圆上.证明命题的一般步骤：(1)弄清题意，辨明题设和结论； (2)用分析法探明证题思路和方法；(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件； (4)用综合法有条理地写出证明过程； (5)检查证明过程的合理性． 1．利用相似三角形[例3] 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .[证明] (1)由AC 与⊙O ′相切于A ， 得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得 △EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论，得AC ＝AE .2．利用三角形内(外)角平分线的性质[例4] 已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点．(1)求∠ADF 的度数； (2)若AB ＝AC ，求AC ∶BC . [解] (1)∵AC 为圆O 的切线， ∴∠B ＝∠EAC .又∵DC 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACD ＝∠DCB .∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD ， 即∠ADF ＝∠AFD ， 又因为BE 为圆O 的直径， ∴∠DAE ＝90°，∴∠ADF ＝12(180°－∠DAE )＝45°.(2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB ， ∴△ACE ∽△BCA ， ∴AC BC ＝AE AB. 又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝30°.∴在Rt △ABE 中，AC BC ＝AE AB ＝tan ∠B ＝tan 30°＝ 33.3．利用面积关系[例5] Rt △ABC 中，O 是斜边BC 上一点，以O 为圆心的半圆与两直角边相切于M 、N ，如果两直角边分别为a 、b ，半圆的半径为r .求证：1r ＝1a ＋1b.[证明] 连接AO 、OM 、ON . ∵AB 、AC 与半圆相切于M 、N ， ∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC .又设AB ＝a ，AC ＝b ， 半圆的半径为r ， ∴S △ABC ＝12ab .又S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ar ＋12br ＝12r (a ＋b )． ∴ab ＝r (a ＋b )．则1r ＝1a ＋1b .4．利用射影定理[例6] 如图，AB 是⊙O 直径，过A 作切线，过B 作割线交⊙O 于E ，交切线于F ，过B 再作割线交⊙O 于C ，交切线于D .求证：BE ·BF ＝BC ·BD . [证明] 连接AE 、AC . ∵AD 是切线，∴BA ⊥AD .∵AB 是直径， ∴AE ⊥BF ，AC ⊥BD . ∴AB 2＝BE ·BF ， AB 2＝BC ·BD . ∴BE ·BF ＝BC ·BD .5．利用相交弦定理及切割线定理[例7] 如图所示，两圆内切于点T ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，TA 、TB 与小圆分别相交于点E 、F ，FE 的延长线交两圆的公切线TP 于点P .求证：(1) CE＝ CF ； (2)AC ·PF ＝BC ·PT .[证明] (1)设小圆的圆心为点O ， 连接OC .∵AB 切小圆于点C ， ∴OC ⊥AB . ∵∠1＝∠3＝∠2， ∴EF ∥AB ，∴OC ⊥EF ，∴ CE＝ CF . (2)∵EF ∥AB ，∴AE BF ＝AT BT ＝TE TF .∵AB 切小圆于点C ， ∴AC 2＝AE ·AT ，BC 2＝BF ·BT . ∴AC 2BC 2＝AE ·AT BF ·BT ＝TE 2TF 2，AC BC ＝TE TF . ∵PT 是公切线，∴∠PTF ＝90°，∵TF 是⊙O 的直径，∴TE ⊥PF ，△PTF ∽△TEF ， ∴PT PF ＝TE TF ，∴AC BC ＝PTPF，∴AC ·PF ＝BC ·PT .构造出平行关系或作恰当的辅助线是解此类问题的关键，利用成比例或一些特殊的图形形状是常用的构造平行关系的方法．[例8] 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 、AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，EF ∥BC ，AD ＝12 cm ，BC ＝20 cm ，OD OB ＝ADBC.求EF 的长． [解] ∵AD ∥BC ，EF ∥BC ， ∴EF ∥AD . ∵OD OB ＝ADBC，AD ＝12 cm ，BC ＝20 cm ， ∴OD OB ＝1220＝35，∴OB BD ＝58. ∴OE AD ＝OB BD ＝58. ∴OE ＝58×AD ＝58×12＝152 (cm)．同理：OF ＝38×BC ＝38×20＝152(cm)．∴EF ＝OE ＋OF ＝15(cm)．[例9] 已知：在△ABC 中，点D 在BC 边上，过点C 任作一直线与边AB 及AD 分别交于点F ，E .(1)如图(1)，当BD DC ＝12时，求证：AE ED ＝3AF2FB；(2)如图(2)，当BD DC ＝m n 时，猜想：AE ED 与AFFB 之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：过点D 作DG ∥CF 交AB 于G 点， ∴AE ED ＝AFFG. 又BD DC ＝12，∴DC ＝2BD ＝23BC . ∵DG ∥FC ，∴FG BF ＝DC BC ＝23.∴FG ＝23BF ，∴AE ED ＝AF 23BF ＝3AF2BF.(2)当BD DC ＝m n 时，有关等式：AE ED ＝m ＋n n ·AF FB. 证明：过D 作DG ∥CF 交AB 于G 点． ∴AE ED ＝AF FG.又∵BD DC ＝m n ，∴BC DC ＝m ＋n n .∵DG ∥FC ，∴BF FG ＝BC DC ＝m ＋n n .∴FG ＝nm ＋nBF . ∴AE ED ＝AFn m ＋nBF ＝m ＋n n ·AF BF.[对应学生用书P35]一、选择题1.如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC交于点E ，则( )A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2 D ．CE ·EB ＝CD 2解析：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD 2＝AD ·DB .又CD 是圆的切线，故CD 2＝CE ·CB . ∴CE ·CB ＝AD ·DB . 答案：A2.如图，直线PB 、PD 分别交⊙O 于A ，B 和C ，D ，P A ＝4，AB＝2，CD ＝5，那么线段PC 的长是( )A ．3 B.65 C ．10D ．1解析：∵P A ＝4，AB ＝2，∴PB ＝6，设PC ＝x ，∴x ·(x ＋5)＝4×6. ∴x 2＋5x －24＝0.∴x 1＝3，x 2＝－8(舍去)，即PC ＝3. 答案：A3．如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则P A ＝( )A ．4 2B ．3 2 C. 2D ．5 2解析：由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2. 又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作CN ∥AB 交PD 于N ， ∴AM MC ＝AD CN ＝BD CN ＝BP CP ， ∴8PC ＝42，∴PC ＝4. ∵P A 2＝PC ·PB ＝32， ∴P A ＝4 2. 答案：A4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA ，OB ，A ，B 是切点，则∠AOB 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：连接OO ′，O ′A .∵OA 为⊙O ′的切线，∴∠OAO ′＝90°. 又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A .∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12，∴∠AOO ′＝30°.又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°. 答案：B 二、填空题5．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的大小为________．解析：因为EC ＝EB ， 所以∠EBC ＝∠ECB ＝67°，又∠DCF ＝32°，所以∠BCD ＝180°－67°－32°＝81°.所以∠A ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°6．如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝____________.解析：由相交弦定理可知 ED 2＝AE ·EB ＝1×5＝5，又易知△EBD 与△FED 相似，得DF ·DB ＝ED 2＝5. 答案：57.如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析：连接OA . ∵OP 为⊙O 的切线，∴OA ⊥AP .又∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°.∴在Rt △AOP 中，OA ＝1，P A ＝OA ·tan 60°＝ 3. 答案： 38.如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，在劣弧 AB 上任取一点C ，过C 作⊙O 的切线分别交P A 、PB 于D 、E 两点．(1)若P A ＝5，则△PDE 的周长为________； (2)若∠APB ＝50°，则∠DOE ＝________. 解析：(1)由切线长定理知， DC ＝DA ，EC ＝EB ，P A ＝PB ，∴△PDE 周长为PD ＋PE ＋DE ＝PD ＋DC ＋PE ＋CE ＝PD ＋DA ＋PE ＋EB ＝P A ＋PB ＝2P A ＝10.(2)连接OC ，因为DA ，DC 与圆O 相切，所以∠AOD ＝∠COD . 同理，∠COE ＝∠BOE . ∴∠DOE ＝12∠AOB＝12(180°－∠APB ) ＝65°. 答案：10 65°三、解答题9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：(1)∠AED ＝∠AFD ； (2)AB 2＝BE ·BD －AE ·AC . 证明：(1)连接AD .因为AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝90°. 又EF ⊥AB ，∠EF A ＝90°， 则A 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠DEA ＝∠DF A .(2)由(1)知，BD ·BE ＝BA ·BF . 连接BC ，显然△ABC ∽△AEF ， ∴AB AE ＝ACAF，即AB ·AF ＝AE ·AC ， ∴BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB (BF －AF )＝AB 2.10．如图，已知在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，过点P 作半径OA 的垂线分别交⊙O 于C ，D 两点，垂足是点E .求证：PC ·PD ＝AE ·AO .证明：连接OP ，∵P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB ，AP ＝PB . ∵PE ⊥OA ， ∴AP 2＝AE ·AO .∵PD ·PC ＝P A ·PB ＝AP 2， ∴PD ·PC ＝AE ·AO .11.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.[对应学生用书P45](时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，AB与圆O相切于点B，过点A作圆O的割线交圆O于C，D两点，BC⊥AD，AB＝2AC＝2，则圆O的直径等于()A. 3 B．2 3C．3 3 D．4解析：由切割线定理知AB2＝AC·AD，即22＝1·AD，解得AD＝4，所以CD＝AD－AC ＝3，连接BD，因为BC⊥AD，所以BD为圆O的直径，又因为BC2＝AB2－AC2＝3，所以BD＝CD2＋BC2＝32＋3＝2 3.2．在⊙O 的直径CB 的延长线上取一点A ，AP 与⊙O 相切于点P 上∠APB ＝30°，AP ＝3，则CP 等于( )A. 3 B ．23 C.23－1D ．23＋1解析：连接CP ，BP ， 则∠PCB ＝30°，∠CPB ＝90°. 于是∠PBC ＝60°， ∠PBA ＝120°， ∠A ＝30°＝∠PCB ， ∴CP ＝P A ＝ 3. 答案：A3．点P 为⊙O 的弦AB 上一点，且AP ＝9，PB ＝4，连接PO ，作PC ⊥OP 交圆于点C ，则PC 等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9 解析：延长CP 交⊙O 于点D ，则OP 垂直平分弦CD ， 且CP ·PD ＝AP ·PB ＝36 ∴PC 2＝36，PC ＝6. 答案：B4．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°解析：∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°. ∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°，∴∠BIC ＝180°－50°＝130°.5.如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于P 点，∠B ＝30°，∠APD ＝80°，则∠A ＝( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．110°解析：易知∠A ＝∠D ，又∵∠APD ＝∠B ＋∠D ，∠B ＝30°，∠APD ＝80°， ∴∠D ＝∠APD －∠B ＝80°－30°＝50°. ∴∠A ＝50°. 答案：B6．如图所示，PC 切⊙O 于A ，PO 的延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AC ∶CP ＝1∶2，则PO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．1∶4 解析：连接OA ，则OA ⊥PC ， ∴△P AO ∽△PBC ，∴PO PC ＝OA BC ，即PO OA ＝PCBC， 又∵OA ＝OB ，AC ∶CP ＝1∶2， 设AC ＝x ，则CP ＝2x ，∴CA ＝x ＝BC ，∴PO OA ＝2xx ＝2，∴PO ∶OB ＝2∶1.答案：A7．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝6 cm ，则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B ．2 3 cm C ．4 3 cmD ．6 3 cm解析：作BC 边上的中线AD ，则AD ⊥BC ，延长AD 交△ABC 外接圆于E ，连接CE .∵AE ⊥BC ，AE 平分BC ， ∴AE 为△ABC 外接圆的直径， ∴∠ACE ＝90°. 在Rt △ACD 中， ∠CAD ＝12∠BAC ＝60°，CD ＝12BC ＝3 cm ，∴AC ＝CD sin ∠CAD ＝332＝23(cm)．在Rt △ACE 中，AE ＝AC cos ∠CAD＝2312＝43(cm)．即△ABC 外接圆的直径为4 3 cm. 答案：C8.如图所示，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，AM ＝1.5，BM ＝4，则OC 等于( )A ．2 6B ． 6C ．2 3D ．2 2解析：延长CO 交⊙O 于D ，则DM ＝3CM ，CM ·MD ＝MA ·MB ，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝ 2，OC ＝2 2.答案：D9．(天津高考)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ； ②FB 2＝FD ·F A ； ③AE ·CE ＝BE ·DE ； ④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②④解析：因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ， 又AE 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠DAC ， 所以∠FBD ＝∠DBC ，所以BD 平分∠CBF ，结论①正确； 易证△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BD BF ，所以AB ·BF ＝AF ·BD ，结论④正确；由切割线定理，得BF 2＝AF ·DF ，结论②正确；由相交弦定理，得AE ·DE ＝BE ·CE ，结论③错误．选D.答案：D10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，点P 由C 出发以每秒2 cm的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动至A 点)，⊙O 的圆心在BP 上，且⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2 s 时，⊙O 的半径是( )A.127 cm B ．125 cmC.53cm D ．2 cm解析：∵PC ＝2×2＝4 cm ， ∴P 是AC 的中点，∴BC ＝6 cm ，BP ＝213 cm.连接OD ， ∵D 为切点，∴OD ⊥AC ，则OD ∥BC ，即DP OD ＝PC BC ＝46＝23. 设半径OD ＝3k ，DP ＝2k ， ∴OP ＝(3k )2＋(2k )2＝13k ， ∴OB ＝213－13k . ∵AE 、AD 为⊙O 的切线， ∴AE ＝AD ＝AP ＋PD ＝4＋2k ， BE ＝10－(4＋2k )＝6－2k .在Rt △BOE 中，∵OB 2＝BE 2＋OE 2， ∴(213－13k )2＝(6－2k )2＋(3k )2， 解得k ＝47.故半径OD ＝3k ＝127.答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11.如图，在▱ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，则BM ＝________，DN ________.解析：BM AD ＝BE ED ＝12，∴BM ＝12BC ＝12，DN BM ＝DF FB ＝12，∴DN ＝12BM ＝6.答案：12 612．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r －1，解得r ＝32.答案：3213．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP ＝8，PB ＝6，PD ＝4，MC ＝6，则MN 的长为________．解析：由相交弦定理得：CP ·PD ＝AP ·PB ，CP ＝AP ·PBPD ＝12，又由切割线定理得：MN 2＝MC ·MD ＝6×22，所以，MN ＝233.答案：23314．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则AC ⊥BC .∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径， ∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有： CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ， CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CE EO ＝8.答案：8三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图所示，已知边长为12的正三角形ABC ，DE ∥BC ，S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9，求EC 的长．解：如图，过D 作DF ⊥BC ， 过A 作AG ⊥BC ， S △BCD ＝12BC ·DF ，S △BAC ＝12BC ·AG .因为S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9， 所以DF ∶AG ＝4∶9. 因为△BDF ∽△BAG ， 所以BD ∶BA ＝DF ∶AG ＝4∶9. 因为AB ＝12，所以CE ＝BD ＝163.16．(本小题满分12分)如图，AD 是∠BAC 的平分线，⊙O 过点A 且与BC 边相切于点D ，与AB ，AC 分别交于E ，F ，求证：EF ∥BC .证明：如图，连接DF .因为BC 与圆相切， 所以∠CDF ＝∠DAF .因为∠EFD 与∠EAD 同为弧 DE所对的圆周角， 所以∠EFD ＝∠EAD .又因为AD 是∠BAC 的平分线， 故∠EAD ＝∠DAF . 所以∠CDF ＝∠EFD ， 所以EF ∥BC .17．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝2∠A . 求证：AB 2＝BC 2＋AB ·BC . 证明：如图所示．延长BC 到点D ，使CD ＝AB ，连接AD . ∵∠B ＝∠ACB ，∴AB ＝AC . 又∵AB ＝CD ，∴AC ＝CD .∴∠D ＝12∠ACB ＝∠BAC .∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△DBA . ∴AB BD ＝BC AB. ∴AB 2＝BC ·BD ＝BC (BC ＋CD ) ＝BC 2＋BC ·CD ＝BC 2＋AB ·BC .18．(本小题满分14分)(辽宁高考)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ， 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.。

2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23][自主学习]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．[合作探究]1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．[对应学生用书P23][例1]如图所示，⊙O与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析](1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB. ②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知PAPE＝PCPD，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2的直径，∴AD＝AE，∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4[例2]OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝AB2－BD2＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(2)2＝2r－1，解得r＝32.答案：3 2[例3]∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨]本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析](1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP ＝272. ∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452. 由切割线定理得PA 2＝PB ·PC . ∴PA 2＝152×452.∴PA ＝1523.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E 是⊙O 内两弦AB 和CD 的交点，直线EF ∥CB ，交AD 的延长线于点F ，FC 与圆交于点G .求证：(1)△DFE ∽△EFA ； (2)△EFG ∽△CFE . 证明：(1)∵EF ∥CB ， ∴∠DEF ＝∠DCB .∵∠DCB 和∠DAB 都是DB 上的圆周角， ∴∠DAB ＝∠DCB ＝∠DEF . ∵∠DFE ＝∠EFA ，∴△DFE ∽△EFA . (2)由(1)知：△DFE ∽△EFA ，∴EF AF ＝FDFE . 即EF 2＝FA ·FD .由割线定理得FA ·FD ＝FG ·FC . ∴EF 2＝FG ·FC ， 即EF GF ＝FC FE .又∵∠EFG ＝∠CFE ，∴△EFG ∽△CFE .本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意]本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试](1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：选B设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x ＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为()A．10B．2 2C．5D． 6解析：选B设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2 2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC ， 所以AB >BC >AC ，因为CA ，CD 分别切圆O 1于A ，D 两点， CB ，CE 分别切圆O 2于B ，E 两点， 所以AC ＝CD ，BC ＝CE ， 所以AB >CE >CD . 故选A. 二、填空题5．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝3，则BD 的长为 ．解析：由切割线定理得：DB ·DA ＝DC 2，即DB (DB ＋BA )＝DC 2，∴DB 2＋3DB －28＝0，∴DB ＝4.答案：46．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为 ．解析：记圆O 的半径为R .依题意得PA 2＝PB ·PC ，PB ＝PA 2PC ＝2，BC ＝PC －PB ＝2，所以R ＝(12BC )2＋(3)2＝2. 答案：27．如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝ ；CE ＝ .解析：由切割线定理得AB ·AC ＝AD ·AE ，即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5；易知AD AB ＝AC AE ＝34，又∠A ＝∠A ，故△ABD ∽△AEC ，故∠BCE ＝∠BDA ＝90°，BDEC ＝AD AC .在直角三角形ABD 中，BD ＝42－32＝7，∴CE ＝BD ·ACAD ＝7× 63＝27.答案：5 278.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，AE ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案：72三、解答题9．如图，P 为圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 为切点，OP 与AB 相交于点M ，且点C 是AB 上一点．求证：∠OPC ＝∠OCM .证明：连接OB ，由切线长定理，得PA ＝PB ，PM ⊥AB ， PO 平分∠APB .又PB ⊥OB ，在Rt △OPB 中，OB 2＝OP ·OM ， ∵OB ＝OC ，∴OC 2＝OP ·OM ， 即OC OP ＝OMOC，∴△OCP ∽△OMC ，∴∠OPC ＝∠OCM . 10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径．大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F .AD ，BE 相交于点G ，连接BD .(1)求BD 的长．(2)求∠ABE ＋2∠D 的度数． (3)求BGAG 的值．解：(1)连接OC ，因为AB 是小圆的切线，C 是切点，所以OC ⊥AB ， 所以C 是AB 的中点． 因为AD 是大圆的直径， 所以O 是AD 的中点． 所以OC 是△ABD 的中位线． 所以BD ＝2OC ＝10. (2)连接AE .由(1)知C 是AB 的中点． 同理F 是BE 的中点． 即AB ＝2BC ，BE ＝2BF ， 由切线长定理得BC ＝BF . 所以BA ＝BE .所以∠BAE ＝∠E . 因为∠E ＝∠D ，所以∠ABE ＋2∠D ＝∠ABE ＋∠E ＋∠BAE ＝180°. (3)连接BO ，在Rt △OCB 中， 因为OB ＝13，OC ＝5， 所以BC ＝12，AB ＝24. 由(2)知∠OBG ＝∠OBC ＝∠OAC . 因为∠BGO ＝∠AGB ， 所以△BGO ∽△ AGB . 所以BG AG ＝BO AB ＝1324.11.如图，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝90°，BC 平分∠DBE 交DE 于点C ，AC ⊥CB 交BE 于点A ，△ABC 的外接圆的半径为r .(1)若∠E ＝30°，求证：BC ·BD ＝r ·ED .(2)若BD ＝3，DE ＝4，求AE 的长．解：(1)证明：取AB 的中点为O ，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，O 是外接圆的圆心，连接CO ，所以BO ＝CO ，∠BCO ＝∠OBC ，因为BC 是∠DBE 的平分线，所以∠DBC ＝∠CBA ，所以∠OCB ＝∠DBC ，所以OC ∥DB (内错角相等，两直线平行)，所以OC BD ＝CE DE， 把比例式化为乘积式得BD ·CE ＝DE ·OC ，因为OC ＝r ，所以BD ·CE ＝DE ·r .因为∠D ＝90°，∠E ＝30°，所以∠DBE ＝60°，所以∠CBE ＝12∠DBE ＝30°， 所以∠CBE ＝∠E ，所以CE ＝BC ，所以BC ·BD ＝r ·ED .(2)过点C 作CH ⊥OE ，垂足为H .BD ＝3，DE ＝4，根据勾股定理，BE ＝5，OC ＝OA ＝r ，因为OC ∥DB ，所以△OCE ∽△BDE ，所以OC BD ＝OE BE ＝CE DE ，即r 3＝OE 5＝CE 4， 解得OE ＝53r ，CE ＝43r . CH ＝OC ·CE OE ＝45r ， 因为BC 平分∠DBE 交DE 于点C ， 则△BDC ≌△BHC ，所以BH ＝BD ＝3，则HE ＝2.在Rt △CHE 中，根据勾股定理得：CH 2＋EH 2＝CE 2， 即⎝⎛⎭⎫45r 2＋22＝⎝⎛⎭⎫43r 2，解得：r ＝158， 则AE ＝BE －2r ＝5－154＝54.。

§3圆与四边形[对应学生用书P26][自主学习]1．圆内接四边形的性质定理2．四点共圆的判定定理[合作探究]由圆内接四边形的性质定理知，圆的内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形？ 提示：矩形、正方形、等腰梯形[对应学生用书P27][例1] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使得AP ＝BQ .求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．[思路点拨] 本题主要考查四点共圆的判断．解题时，先连接OA ，OC ，OP ，OQ ，PQ .要证O ，A ，P ，Q 四点共圆，只需证∠CAO ＝∠OQP 即可，为此只要证△CPO ≌△AQO 即可．[精解详析] 如图，连接OA ，OC ，OP ，OQ ，PQ .在△OCP 和△OAQ 中，OC ＝OA ， ∴∠OCP ＝∠OAC .由已知CA ＝AB ，AP ＝BQ ， ∴CP ＝AQ .又O 是等腰△ABC 的外心且AB ＝AC ， ∴∠OAC ＝∠OAQ ， ∴∠OCP ＝∠OAQ .∴△OCP ≌△OAQ .∴∠APO ＝∠AQO ，OP ＝OQ . ∴∠OPQ ＝∠OQP . ∴∠CAO ＝12∠BAC＝12(∠APQ ＋∠PQA ) ＝12(∠OPQ ＋∠APO ＋∠OQP －∠AQO ) ＝12×2∠OQP ＝∠OQP . ∴O ，A ，P ，Q 四点共圆．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆．(因为四个顶点与斜边中点距离相等)1．在锐角三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 是垂足． 求证：E ，B ，C ，F 四点共圆．证明：如图，连接EF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴A，E，D，F四点共圆．∴∠1＝∠2.∴∠1＋∠C＝∠2＋∠C＝90°.∴∠BEF＋∠C＝180°.∴B，E，F，C四点共圆.[例2]EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DF A.[思路点拨]本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[精解详析]连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EF A＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DF A.利用圆内接四边形的判定或性质定理，证明线段相等或角相等时，可构造全等或相似三角形，以达到证题的目的．2．(新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E;(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.[例3]E为圆周上一点，CE 交AB延长线于点D，求证：(1)AC＝BC；(2)BC2＝CD·CE.[思路点拨]本题主要考查利用圆内接四边形性质定理及相似三角形知识证明比例式问题．解题时，先利用弦切角定理推证(1)，再由A，B，E，C四点共圆得出∠BED＝∠BAC，后证△BCE∽△DCB.可得结论．[精解详析](1)∵AB∥CF，∴∠FCA＝∠BAC.∵CF是⊙O的切线，∴∠FCA＝∠ABC.∴∠BAC ＝∠ABC .∴AC ＝BC . (2)∠BEC ＝180°－∠BED ，∵A ，B ，E ，C 四点共圆，∴∠BED ＝∠BAC . ∴∠BEC ＝180°－∠BAC . 由(1)得∠BAC ＝∠ABC ，∵∠DBC ＝180°－∠ABC ，∴∠BEC ＝∠DBC . 又∵∠BCE ＝∠DCB ，∴△BCE ∽△DCB . ∴BC DC ＝CECB，即BC 2＝CD ·CE .证明比例式问题常用三角形相似．而寻找角的等量关系，圆内接四边形的性质定理往往起到关键性的作用．注意结合图形进行判断，同时注意等量代换的使用．3．在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D .(1)求证：PC AC ＝PD BD；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：∵∠CPD ＝∠ABC ，∠D ＝∠D ， ∴△DPC ∽△DBA ，∴PC BA ＝PD BD .又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PDBD.(2)∵∠ACD ＝∠APC ，∠CAP ＝∠CAP ， ∴△APC ∽△ACD ，∴AP AC ＝ACAD ，∴AC 2＝AP ·AD ＝9.本课时常考查圆内接四边形的判定定理及性质定理的应用．该定理在角相等、线段相等及比例式的证明中有广泛的应用．属中低档题．[考题印证]如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． [命题立意]本题主要考查圆内接四边形的判定定理的应用以及分析问题、解决问题的能力． [自主尝试] (1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB. 又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB . 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.[对应学生用书P29]一、选择题1．四边形ABCD 的一个内角∠C ＝36°，E 是BA 延长线上一点，若∠DAE ＝36°，则四边形ABCD ( )A ．一定有一个外接圆B ．四个顶点不在同一个圆上C ．一定有内切圆D ．四个顶点是否共圆不能确定解析：选A 因为∠C ＝36°，∠DAE ＝36°，所以∠C 与∠BAD 的一个外角相等，由圆内接四边形判定定理的推论知，该四边形有外接圆，故选A.2．圆内接四边形ABCD 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶5，则∠D 等于( ) A ．60° B ．120° C ．140°D ．150°解析：选B 因为四边形ABCD 为圆内接四边形，所以∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D ＝1∶2∶5∶4，所以∠D ＝180°×46＝120°.3．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，E 为AB 的延长线上一点，∠CBE ＝40°，则∠AOC ＝( )A ．20°B ．40°C ．80°D ．100°解析：选C ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠CBE ＝40°，由圆内接四边形的性质知∠D ＝∠CBE ＝40°，又由圆周角定理知：∠AOC ＝2∠D ＝80°.4.如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD ＝( )A ．120°B ．136°C ．144°D ．150°解析：选C 由圆内接四边形性质知∠A ＝∠DCE ，而∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，且∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∠ECD ＝72°.又由圆周角定理知∠BOD ＝2∠A ＝144°. 二、填空题5．(陕西高考)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝ .解析：∵B ，C ，F ，E 四点在同一个圆上，∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AE AC ＝EF BC，即12＝EF6，∴EF ＝3. 答案：36.如图，已知P A ，PB 是圆O 的切线，A ，B 分别为切点，C 为圆O 上不与A ，B 重合的另一点．若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝ .解析：连接OA ，OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P ，A ，O ，B 四点共圆，故∠APB ＝60°.答案：60°7．如图，AB ＝10，BC ＝8，CD 平分∠ACB ，则AC ＝ ，BD ＝ .解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. 又∵CD 平分∠ACB .即∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD ， ∴BD ＝AB 22＝5 2. 答案：6 5 28．如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝1，∠ACD ＝60°，则四边形ABCD 的面积为 ．解析：过A 作AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F .因为∠ADF ＋∠ABC ＝180°(圆的内接四边形对角之和为180°)，∠ABE ＋∠ABC ＝180°，所以∠ABE ＝∠ADF ，又AB ＝AD ，∠AEB ＝∠AFD ＝90°， 所以△AEB ≌△AFD ，所以S 四边形ABCD ＝S 四边形AECF ，AE ＝AF . 又因为∠E ＝∠AFC ＝90°，AC ＝AC ， 所以Rt △AEC ≌Rt △AFC . 因为∠ACD ＝60°，∠AFC ＝90°，所以∠CAF ＝30°，因为AC ＝1，所以CF ＝12，AF ＝32，所以S 四边形ABCD ＝2S △ACF ＝2×12CF ×AF ＝34. 答案：34三、解答题9．如图，圆内接四边形ABCD ，过C 点作对角线BD 的平行线交AD 的延长线于E 点． 求证：DE ·AB ＝BC ·CD .证明：连接AC ，则∠BAC ＝∠BDC ，因为CE ∥BD ，所以∠DCE ＝∠BDC ， 所以∠DCE ＝∠BAC ， 因为ABCD 是圆内接四边形， 所以∠CDE ＝∠ABC ，所以△CDE ∽△ABC ，所以DE BC ＝CD AB ，即DE ·AB ＝BC ·CD .10.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连接BD ，DC .(1)求证：BD ＝DC ＝DI .(2)若圆O 的半径为10 cm ，∠BAC ＝120°，求△BCD 的面积． 解：(1)证明：因为AI 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠DAC ， 所以BD ＝DC ， 所以BD ＝DC .因为BI 平分∠ABC ，所以∠ABI ＝∠CBI . 因为∠BAD ＝∠DAC ，∠DBC ＝∠DAC ， 所以∠BAD ＝∠DBC .又因为∠DBI ＝∠DBC ＋∠CBI ， ∠DIB ＝∠ABI ＋∠BAD ，所以∠DBI ＝∠DIB ，所以△BDI 为等腰三角形， 所以BD ＝ID ，所以BD ＝DC ＝DI .(2)当∠BAC ＝120°时，△ABC 为钝角三角形，所以圆心O 在△ABC 外． 连接OB ，OD ，OC ，则∠DOC ＝∠BOD ＝2∠BAD ＝120°，所以∠DBC ＝∠DCB ＝60°， 所以△BDC 为正三角形． 所以OB 是∠DBC 的平分线， 延长CO 交BD 于点E ，则OE ⊥BD ， 所以BE ＝12BD .又因为OB ＝10，所以BC ＝BD ＝2OB cos 30°＝2×10×32＝103， 所以CE ＝BC ·sin 60°＝103×32＝15， 所以S △BCD ＝12BD ·CE ＝12×103×15＝75 3.所以△BCD 的面积为75 3.11．(新课标全国卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 解：(1)证明：连接DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得， ∠ABE ＝∠BCE . 而∠ABE ＝∠CBE ， 故∠CBE ＝∠BCE ， BE ＝CE .又DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32.。

_1.3圆幂定理与圆内接四边形1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ， 即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ，所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2， 所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为PA 的中点， 所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ， 所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．。

1．1.1 相似三角形判定定理[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k ，则k 叫做相似比(或相似系数)．2．相似三角形判定定理(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似． (2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[小问题·大思维]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？ 提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．[对应学生用书P1][例1]如图，若O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的靠近O 的三等分点．求证：△DEF ∽△ABC .[思路点拨] 本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．[精解详析] ∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 靠近点O 的三等分点，∴DE ＝13AB ，EF ＝13BC ，FD ＝13CA .∴DE AB ＝EF BC ＝FD CA ＝13. 由三角形相似的判定定理得△DEF ∽△ABC .在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证： (1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP . [例2]如图所示，∠ABC ＝∠△ABC 与△CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，求当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，CDB 相似？[思路点拨] 由于△ABC 与△CDB 相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC 一定与BC 对应，这里要注意分类讨论的运用．[精解详析] ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°，斜边AC 与BC 为对应边，以下分两种情况讨论． ①当AC BC ＝BC BD 时，△ABC ∽△CDB ，即a b ＝bBD .∴BD ＝b2a时，△ABC ∽△CDB .②当AC BC ＝AB BD 时，△ABC ∽△BDC ，即a b ＝a2－b2BD. ∴当BD ＝b a2－b2a时，△ABC ∽△BDC .故当BD ＝b2a 或BD ＝ba2－b2a时，△ABC 与△CDB 相似．(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用． (2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．2．如图，BD 、CE 是△ABC 的高． 求证：△ADE ∽△ABC .证明：∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△AEC ∽△ADB . ∴AD AB ＝AE AC . 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC .[例3] 如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于点P ，交AC 于点E .求证：BP 2＝PE ·PF .[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD 是等腰△ABC 底边上的高，所以PB ＝PC ，从而将所求证的结论转化为PC 2＝PE ·PF .进而可以证明△PCE ∽△PFC 来解决问题．[精解详析] 连接PC ，在△ABC 中， 因为AB ＝AC ，D 为BC 中点， 所以AD 垂直平分BC .所以PB ＝PC ，∠1＝∠2. 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ，所以∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2， 即∠3＝∠4. 因为CF ∥AB ，所以∠3＝∠F ，所以∠4＝∠F . 又因为∠EPC ＝∠CPF ， 所以△PCE ∽△PFC ，所以PC PE ＝PFPC ，所以PC 2＝PE ·PF .因为PC ＝PB ， 所以PB 2＝PE ·PF.(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．(2)要说明线段的乘积式ab ＝cd ，或平方式a 2＝bc ，一般都是证明比例式a c＝d b或b a＝ac，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．3．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，当△ADP 与△QCP 相似时，求BQ 的值．解：由题知∠D ＝∠C ＝90°， ①当△ADP ∽△PCQ 时，AD PC ＝DP CQ，∴112＝12CQ ，∴CQ ＝14，∴BQ ＝1－14＝34.②当△ADP ∽△QCP 时，ADQC ＝DP CP ，∴1QC ＝1212，∴CQ ＝1，∴BQ ＝0.综上可知，当△ADP 与△QCP 相似时，BQ ＝0或34.[对应学生用书P3]一、选择题1．如图，锐角三角形ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴△ODB ，△ABE ，△ADC ，△OCE 都是直角三角形． 又∵∠DBO ＝∠EBA ，∠A ＝∠A ，∠DOB ＝∠EOC ， ∴△ODB ∽△AEB ∽△ADC ，△ODB ∽△OEC . ∴与△ODB 相似的三角形有3个． 答案：C2．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，图形中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：由题意知，△ACD 与△CBD 与△ABC 相似，故x ＝2. 答案：B3．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似． 答案：D4．如图所示，∠AOD ＝90°，OA ＝OB ＝BC ＝CD ，则下列结论正确的是()A ．△DAB ∽△OCAB．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDAD．△OAC∽△ABD解析：设OA＝OB＝BC＝CD＝a，则AB＝2a，BD＝2a.∴ABBD＝22，BCAB＝a2a＝22.∴ABBD＝BCAB，且∠ABC＝∠DBA.∴△BAC∽△BDA.答案：C二、填空题5．如图，已知△ABC，△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，与△DBE相似的三角形的个数为________．解析：在△DBE与△ECH中，∵∠B＝∠C＝60°，∠BDE＋∠BED＝120°，∠BED＋∠CEH＝120°，∴∠BDE＝∠CEH.∴△DBE∽△ECH.同理可证△ADG和△FHG也都和△BED相似．答案：36．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________.解析：先根据已知条件和隐含条件证明△ABC∽△DAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段．答案：47．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.解析：∵∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△ADC ，∴ABAD ＝AEAC .又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6， ∴AE ＝AB·AC AD ＝6×412＝2.答案：28．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________． 解析：∵DE ∥BC ，EF ∥CD ，∴∠FDE ＝∠DBC ，∠DFE ＝∠BDC . ∴△FDE ∽△DBC ∴FD DB ＝DE BC ，即BD ＝32.由AEAC ＝DE BC ＝23，得AE EC ＝2＝AFFD . ∴AF ＝2，AB ＝92.答案：92三、解答题9．如图，已知：D 是△ABC 内的一点，在△ABC 外取一点E ，使∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD .求证：△ABC ∽△DBE . 证明：∵∠CBE ＝∠ABD ， ∠BCE ＝∠BAD ，∴△ABD ∽△CBE ，∠ABC ＝∠DBE . ∴ABBC ＝BD BE ，即AB BD ＝BCBE ，∴△ABC ∽△DBE .10．如图，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点．证明：AF ·AD ＝AG ·BF .证明：因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC .所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA . 所以△ABF ∽△GDA . 从而有AFAG ＝BFAD ，即AF ·AD ＝AG ·BF .11．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α.且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； (2)连接FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．解：(1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM . 以下证明：△AMF ∽△BGM .∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B ， ∴△AMF ∽△BGM .(2)当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC . ∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝22.又∴△AMF ∽△BGM ， ∴AFAM ＝BM BG . ∴BG ＝AM·BM AF ＝22×223＝83. 又AC ＝BC ＝42×sin 45°＝4，∴CG ＝4－83＝43，CF ＝4－3＝1.∴FG ＝CF2＋CG2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.。

1．3.2圆内接四边形的性质与判定[对应学生用书P29][读教材·填要点]1．圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．2．圆内接四边形的判定(1)定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．(2)符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆．[小问题·大思维]1．所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都有外接圆？提示：所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆．2．如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？提示：因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为180°，所以该平行四边形一定是矩形．[对应学生用书P29][例1]如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C 两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．[思路点拨] 本题考查四点共圆的判定及性质的应用问题，解答(1)可利用圆内接四边形的判定定理证明。

解答问题(2)可利用四点共圆的性质求解．[精解详析] (1)证明：连接OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP ，因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC ，于是∠OP A ＋∠OMA ＝180°.由圆心O 在∠P AC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．(2)由(1)得A ，P ，O ，M 四点共圆， 所以∠OAM ＝∠OPM .由(1)得OP ⊥AP ，由圆心O 在∠P AC 的内部， 可知∠OPM ＋∠APM ＝90°， 所以∠OAM ＋∠APM ＝90°.判定四点共圆的方法(1)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．1.如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P ，求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，可得△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ， ∴∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)如图，连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°， 由P ，D ，C ，E 四点共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ，∴AP⊥CP.[例2]如图，两圆⊙O，⊙O2相交于A，B.⊙O1的弦BC交⊙O2于E点，⊙O2的弦1BD交⊙O1于F点．证明：(1)若∠DBA＝∠CBA，则DF＝CE.(2)若DF＝CE，则∠DBA＝∠CBA.[思路点拨]本题考查圆内接四边形的判定及性质．解决本题需要借助三角形全等证明角相等或边长相等．[精解详析](1)连接AE，AF，AC，AD，则∠BDA＝∠AEC，∠ACB＝∠AFD.又∵∠DBA＝∠CBA∴AD＝AE，∴△ACE≌△AFD.故CE＝DF.(2)由(1)∠BDA＝∠AEC，∠ACB＝∠AFD，又∵DF＝CE，∴△ACE≌△AFD，∴AD＝AE，∴∠DBA＝∠CBA.(1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新的途径．(2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意两者的综合运用．(3)构造全等或相似三角形，以达到证明线段相等、角相等或线段成比例等目的．2．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .证明：如图，连接OD ，因为BD ＝DC ， O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C . 因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B . 于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C .[例3] 如图所示，AB 、CD 都是圆的弦，且AB ∥CD ，F 为圆上一点，延长FD 、AB 交于点E .求证：AE ·AC ＝AF ·DE .[思路点拨] 本题考查圆内接四边形的判定及性质以及相似三角形等问题．解答本题可连接BD ，通过证明△EBD ∽△EF A 来解决．[精解详析] 连接BD ，因为AB ∥CD ， 所以BD ＝AC .因为A 、B 、D ，F 四点共圆， 所以∠EBD ＝∠F .因为∠E 为△EBD 和△EF A 的公共角， 所以△EBD ∽△EF A .所以DE AE ＝BD AF ，所以DE AE ＝AC AF.即AE ·AC ＝AF ·DE .证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决，而证明三角形相似，常利用圆内接四边形的性质寻找角之间的关系．3．试证明：在圆内接四边形ABCD 中， AC ·BD ＝AD ·BC ＋AB ·CD .证明：如图，在AC 上取点E ，使∠ADE ＝∠1. 又∠3＝∠4，∴△ADE ∽△BDC .∴AE AD ＝BC BD， ∴AE ·BD ＝AD ·BC .①又∵∠ADE ＝∠1，∴∠ADB ＝∠CDE . 又∵∠5＝∠6，∴△ABD ∽△ECD . ∴AB EC ＝BDCD ，∴BD ·EC ＝AB ·CD .② ①②两式相加：AE ·BD ＋BD ·EC ＝AD ·BC ＋AB ·CD ， 即AC ·BD ＝AD ·BC ＋AB ·CD .[对应学生用书P31]一、选择题1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝( )A ．35°B ．90°C ．125°D ．150°解析：连接BD ，则∠MAB ＝∠ADB ＝35°，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝90°，所以∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.答案：C2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE ＝50°，则∠BOD 等于( )A ．75°B ．90°C ．100°D ．120°解析：∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A ＝50°，∴∠BOD ＝2∠A ＝100°. 答案：C3．若AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高线，交于H ，则图中四点共圆的组数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：其中：B 、D 、H 、F 共圆；C 、D 、H 、E 共圆；A 、E 、H 、F 共圆；A 、F 、D 、C 共圆；B 、C 、E 、F 共圆；A 、B 、E 、D 共圆．答案：D4.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，∠ACB ＝60°，AB ＝a ，则CD 等于( )A.33a B ．62a C.12a D ．13a解析：∵AC 为BD 的垂直平分线， ∴AB ＝AD ＝a ，AC ⊥BD ， ∵∠ACB ＝60°，∴∠ADB ＝60°.∴AB ＝AD ＝BD ，∴∠ACD ＝∠ABD ＝60°. ∴∠CDB ＝30°，∴∠ADC ＝90°，∴CD ＝tan30°·AD ＝33a . 答案：A 二、填空题5．圆内接四边形ABCD 中，∠B ∶∠C ∶∠D ＝1∶2∶3，则∠A ＝________，∠B ＝________，∠C ＝________，∠D ＝________.解析：∵∠B ＋∠D ＝180°，∠B ∶∠D ＝1∶3， ∴∠B ＝45°，∠D ＝135°.又∠B ∶∠C ＝1∶2， ∴∠C ＝90°.又∠A ＋∠C ＝180°， ∴∠A ＝90°.答案：90° 45° 90° 135°6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝130°，则∠BCD ＝________.解析：∵∠BOD ＝130°，∴∠A ＝∠BOD 2＝130°2＝65°.∴∠BCD ＝180°－65°＝115°. 答案：115°7．如图，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，CD 平分∠ACB ，则AC ＝______，BD ＝________.解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.又∵CD 平分∠ACB ， 即∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD .∴BD＝AB22＝5 2.答案：65 28．若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.解析：∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则有对角互补，又两坐标轴互相垂直，∴这两条直线垂直，即(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.答案：±1三、解答题9．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足．求证：E，B，C，F四点共圆．证明：如图，连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴A，E，D，F四点共圆．∴∠1＝∠2.∴∠1＋∠C＝∠2＋∠C＝90°.∴∠BEF＋∠C＝180°.∴B，E，F，C四点共圆．10．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明：B，D，H，E四点共圆；(2)证明：CE平分∠DEF.证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知，B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.11．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝F A·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．解：(1)证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ， ∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB .∴FB FD ＝F AFB ，∴FB 2＝F A ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝2 3 cm. ∴AD ＝2AC ＝4 3 cm.。

人民教育出版社B版高中数学目录(全)高中数学（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算整合提升第二章函数2.1 函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（I）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法整合提升第三章基本初等函数（I）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数-3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）整合提升高中数学（B版）必修二第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系(第1课时)空间中的平行关系(第2课时)1.2.3空间中的垂直关系(第1课时)空间中的垂直关系(第2课时)综合测试阶段性综合评估检测(一)第2章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系综合测试高中数学（B版）必修三一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样显示全部信息第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关单元回眸第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用单元回眸高中数学（B版）必修四第一章基本初等函数(2)1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角单元回眸第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用单元回眸第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积单元回眸高中数学（B版）必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例复习与小结第一章综合测试第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和复习与小结第二章综合测试第三章不等式. 3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.2 简单的线性规划复习与小结第三章综合测试高中数学（B版）选修1－1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离高中数学（B版）选修1－2目录：第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析单元回眸第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明单元回眸第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.2复数的运算单元回眸第四章框图4.1流程图4.2结构图单元回眸高中数学（人教B）选修2-1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质.2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离第3章综合测试题阶段性综合评估检测（二）高中数学人教B选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章整合提升第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法本章整合提升第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章整合提升高中数学人教B选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角单元回眸第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布单元回眸第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析单元回眸高中数学（B版）选修4－1第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1相似三角形1.1.1相似三角形判定定理1.1.2相似三角形的性质1.1.3平行截割定理1.1.4锐角三角函数与射影定理1.2圆周角与弦切角1.2.1圆的切线1.2.2圆周角定理1.2.3弦切角定理1.3圆幂定理与圆内接四边形1.3.1圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定本章小结阅读与欣赏欧几里得附录不可公度线段的发现与逼近法第二章圆柱、圆锥与圆锥曲线2.1平行投影与圆柱面的平面截线2.1.1平行投影的性质2.1.2圆柱面的平面截线2.2用内切球探索圆锥曲线的性质2.2.1球的切线与切平面2.2.2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线2.2.3圆锥面及其内切球2.2.4圆锥曲线的统一定义本章小结阅读与欣赏吉米拉•丹迪林附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.2极坐标系本章小结第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏著名数学家柯西第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式、贝努利不等式本章小结阅读与欣赏完全归纳法和不完全归纳法数学归纳法数学归纳法简史附录部分中英文词汇对照表。

高中数学选修41教案高中数学选修41教案1上个学期，依据需要，学校安排我上高二数学文科，在这一学期里我从各方面严格要求自己，在教学上虚心向老老师请教，结合本校和班级同学的实际状况，针对性的开展教学工作，使工作有计划，有组织，有步骤。

经过了一学期，我对教学工作有了如下感想：一、仔细备课，做到既备同学又备教材与备教法。

上学期我依据教材资料及同学的实际状况设计课程教学，拟定教学方法，并对教学过程中遇到的问题尽可能的预先思索到，仔细写好教案。

每一课都做到“有备而去”，每堂课都在课前做好充分的预备，课后实时对该课作出小结，并仔细整理每一章节的知识要点，帮忙同学进行归纳总结。

二、加强上课技能，提高教学质量。

加强上课技能，提高教学质量是我们每一名新老师不断努力的目标。

由于应对的是文科生，基础普遍比较差，所以我主要是立足于基础，让同学学得简约，学得开心。

留意精讲精练，在课堂上讲得尽量少些，而让同学自己动口动手动脑尽量多些;同时在每一堂课上都充分思索每一个层次的同学学习需求和理解潜力，让各个层次的同学都得到提高。

三、虚心向其他老师学习，在教学上做到有疑必问。

在每个章节的学习上都上心征求其他有阅历老师的看法，学习他们的方法。

同时多听老老师的课，做到边听边学，给自己不断充电，弥补自己在教学上的不足，征求他们的看法，改善教学工作。

四、仔细批改作业、布置作业有针对性，有层次性。

作业是同学对所学知识巩固的过程。

为了做到布置作业有针对性，有层次性，我经常多方面的搜集资料，对各种辅导资料进行筛选，力求每一次练习都能让同学起到的效果。

同时对同学的作业批改实时、仔细，并分析同学的作业状况，将他们在作业过程涌现的问题实时评讲，并针对反映出的状况实时改善自己的教学方法，做到有的放矢。

然而，在确定成果、总结阅历的同时，我清晰地认识到我所获得的教学阅历还是肤浅的，在教学中存在的问题也不容忽视，也有一些困惑有待解决今后我将努力工作，上心向老老师学习以提高自己的教学水平。