数学人教A版选修2-2章末测试：第三章数系的扩充与复数的引入A Word版含解析

（数学选修2-2）第三章 数系的扩充与复数的引入[基础训练A 组]一、选择题1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．13()i i --的虚部为( )A ．8iB ．8i -C ．8D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -=B ．z z =C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅L L 则12,z z 的关系是( ) A ．12z z = B ．12z z =-C ．121z z =+D ．无法确定5． 2020(1)(1)i i +--的值是( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个二、填空题1. 如果(,,0)z a bi a b R a =+∈≠且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z -=--⋅中是虚数的有 _______个，是实数的有 个，相等的有 组.2. 如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在 象限.3. 若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = .4. 设222log (33)log (3)(),z m m i m m R =--+-∈g若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是 .5. 已知3(2),z i =-则z z -g = .6. 若1z i=-,那么100501z z ++的值是 . 7. 计算232000232000i i i i ++++=L .三、解答题1．设复数z 满足1z =,且(34)i z +g 是纯虚数,求z -. 2．已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22(1)(34)2i i z++的值. （数学选修2-2）第三章 数系的扩充与复数的引入[综合训练B 组]一、选择题1．若121212,,z z C z z z z --∈+是( ).A ．纯虚数B ．实数C ．虚数D ．不能确定2．若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}{2m m X ∈=( ). A ．R + B ．R - C ．R R +-U D ．{}0R +U3212i i-+++的值是( ). A ．0 B ．1 C ．i D ．2i4．若复数z 满足)1z z i -+=,则2z z +的值等于( )A ．1B ．0C ．1-D ．122-+5．已知3()z -=-g,那么复数z 在平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于( )A ．1 B．7．若12ω=-+,则等于421ωω++=( ) A ．1 B ．0 C．3+ D．1-+8．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数;(2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i i i i ++++++=其中正确命题的序号是( )A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)二、填空题1．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。

章末复习 学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ←―――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←―――――→一一对应平面向量OZ →.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ )3．方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )类型一 复数的概念例1 已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值： (1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是0.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3.由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.由a 2－4≠0，解得a ≠±2.(1)由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0，得a ＝－5或a ＝3，∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数．(2)由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0，得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2，∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数．(3)由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，得a ＝3，∴当a ＝3时，z ＝0.引申探究例1中条件不变，若z 为纯虚数，是否存在这样的实数a ，若存在，求出a ，若不存在，请说明理由．解 由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15≠0，且a 2－4≠0，得a 无解，∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．跟踪训练1 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时：(1)z ∈R ；(2)z 为虚数． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)＝0，x －3>0， 解得x ＝4，所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0，解得x >3＋212且x ≠4. 所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数． 类型二 复数的四则运算例2 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 考点 复数四则运算的综合运用题点 复数的混合运算解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 009＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 009＋0＝0. (2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ，∴z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．跟踪训练2 (1)已知z 1＋i ＝2＋i ，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 B解析 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. (2)已知z 是复数，z －3i 为实数，z －5i 2－i为纯虚数(i 为虚数单位)． ①求复数z ；②求z 1－i的模． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 ①设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴由z －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，可得b ＝3.又∵a －2i 2－i＝2a ＋2＋(a －4)i 5为纯虚数， ∴a ＝－1，即z ＝－1＋3i.②z 1－i ＝－1＋3i 1－i ＝(－1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＝－2＋i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1－i ＝|－2＋i|＝(－2)2＋12＝ 5. 类型三 数形结合思想的应用例3 已知复平面内点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值． 考点 分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用题点 数形结合思想的应用解 (1)由题意得z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋(cos 2θ－1)i ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知，点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)．由点P 在直线y ＝12x 上，得－2sin 2θ＝－12， ∴sin 2θ＝14，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此sin θ＝12，∴θ＝π6或θ＝5π6. 反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．跟踪训练3 在复平面内，设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z＋z 2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 A解析 ∵2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2 ＝21＋i ＋2i ＝(1－i)＋2i ＝1＋i ， ∴复数2z＋z 2对应点的坐标为(1,1)，故在第一象限．1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B.2 C. 3D ．2考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 B解析 由已知得x ＋x i ＝1＋y i ，根据两复数相等的条件可得x ＝y ＝1，所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.2．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 4i z z －1＝4i 12＋22－1＝i. 3．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2考点 乘除法的运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 2，a －22且在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2.4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若 z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以z ·z i ＋2＝2z ，即2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，根据复数相等的充要条件得2＝2a ，a 2＋b 2＝2b ，解得a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.5．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i，则z ＝________. 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解答案 3＋4i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝a －b i ，∵|z |－z ＝101－2i，∴|z |－z ＝2＋4i ， 则a 2＋b 2－a ＋b i ＝2＋4i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，∴z ＝3＋4i.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.一、选择题1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD.2i∈S 考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质答案 B 2．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n i m －n i等于( ) A ．－1B ．1C ．－iD ．i 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，得m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i. 3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a 等于( ) A. 3B ．2 C. 2D ．1 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 ∵a ＋i i＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2， 解得a ＝3或a ＝－3(舍)．4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，i 为虚数单位，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为( )A ．－43B.43 C ．－34D.34考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 D解析 因为z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i ]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34. 经检验，m ＝34能使2－m ＝3m －1>0， 所以m ＝34满足题意． 5．已知复数z ＝4＋b i 1－i(b ∈R )的实部为－1，i 为虚数单位，则复数z －b 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 C解析 z ＝4＋b i 1－i ＝(4＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(4－b )＋(4＋b )i 2＝4－b 2＋4＋b 2i ， 又复数z ＝4＋b i 1－i(b ∈R )的实部为－1， 则4－b 2＝－1，即b ＝6.∴z ＝－1＋5i ， 则z ＝－1－5i.复数z －b ＝－1－5i －6＝－7－5i ，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.6．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴的下方D．z一定为实数考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案C解析∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与z对应的点关于实轴对称，∴C正确．7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为() A．2＋i B．2－iC．5＋i D．5－i考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案D解析由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝52－i＝2＋i，∴z＝5＋i，∴z＝5－i.二、填空题8．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数z所对应的向量互相垂直，则a＝________.考点共轭复数的定义与应用题点与共轭复数有关的综合应用答案±1解析z＝a－i，因为复数z与它的共轭复数z所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a ＝±1.9．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案1解析因为(1＋i)z＝2，所以z＝21＋i＝1－i，所以其实部为1.10．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i(i 为虚数单位)所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 (3,4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4. 11．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 －2－i 解析 由题图可知，z 1＝－1＋2i ，由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题12．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋z 21－2i . 考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋z 21－2i ＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 13．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.考点 复数四则运算的综合运用题点 与混合运算有关的未知数求解解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 －25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ， 由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋9a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －9b a 2＋b 2i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0， 又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.①又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.② 由①②，得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i .。

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2) 建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中：①若∈R，则(＋1)i是纯虚数；②若，∈R且>，则＋>＋；③若(－1)＋(＋3＋2)i是纯虚数，则实数＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.④2.若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()A．1＋3i B．3＋3iC．3－i D．33．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）A．－1 B.1C.i-D.i4.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－15.设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D．126.复数i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()A．25B．－25C．15D．－157.若＝(＋m＋1)＋(＋m－4)i，m∈R，＝3－2i，则m＝1是＝的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8.复数z＝1＋i，z－为z的共轭复数，则z z－－z－1＝()A．－2i B．－iC．i D．2i9.已知复数z满足(1＋i)z＝1＋a i(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z对应的点不可能位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10. 设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|＜2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若复数12iz=-（i为虚数单位），则z z z⋅+= .12.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，OCu u u r＝λOAu u u r＋μOBuuu r(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．13.使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ .14.如果i(,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有_______个，是实数的有 个，相等的有 组 三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分） 证明：i i zz+-＝1．16．（6分）若∈R ，试确定是什么实数时，等式32－－1＝(10－－22)i 成立．17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．18．（10分）设是虚数，zz 1+=ω是实数，且－1<ω<2.(1)求||的值及的实部的取值范围；(2)设z zM +-=11，求证：为纯虚数；（3）求2M -ω的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程（i 为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14. 15.三、解答题16.17.18.19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2) 答案一、选择题1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋＝1＋i ＋＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.3.A 解析:由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.5.A 解析: 法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析：i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为25. 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝＝，设在复平面内z 对应的点的坐标为(，)，则＝，＝.法一：易知－＝1，即复数z 对应的点在直线－＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要 >1，若在第二象限，需要<0，且>0，即 <－1且 >1，无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限．10.C 解析：∵ ＝|cos 2－sin 2|＝|cos 2|，且∈R ，∴ ∈[0,1],∴ ＝[0,1]． 在中，∈R 且|－1i|<2，∴ |＋i|<2，∴2＋1<2，解得－1<<1，∴＝(－1,1)．∴ ∩＝[0,1)． 二、填空题11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ⋅+=++-=z z z 6-2i.12 1 解析：由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB uuu r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵2－(2－3m)i ＜( 2－4＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩解得10,=0=3,=3=1,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩或或，∴ 3.当＝3时，原不等式成立． 14.4,5,3 解析：2,,,z z z z-=四个为虚数；22,,,,z z z z z z--⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等.三、解答题15.解法一：设z ＝a ＋b i(a , b ∈R )，则i i z z +-=i ii i a b a b +---=(1)i (1)i a b a b +--+-2222(1)(1)a b a b +-+-解法二：∵ i z +=i +z=-i+z ，∴i i z z +- =-i i z z+-=-(i -)i z z -=1.16.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52，代入①，得a ＝11或a ＝－715. 17. 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ， 由条件知121222z z z z -==，所以以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线， 所以122z z +=．18.（1）解：设＝＋i （，）,.因为ω是实数，0≠b ,所以，即|z |＝1.因为ω＝2，－1<ω<2， 所以.所以的实部的取值范围（－1,21）. （2）证明：zzM +-=11＝.1 ) 1 (2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 22 2 2 + -= + + - - - = - + + + - + - - = + + - - a b ib a b i b a b i a b i a b i a b i a b i a b i a 121< < - a 12 2= + b a) ( ) ( 1 2 2 2 2 iba bb b a a a b i a b i a + - + + + = + ++ = ω 0, ≠ ∈ b R（这里利用了（1）中122=+b a ） 因为 ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数. （3）解：2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]11)1[(21212-+++=++-=a a a a . 因为∈（－1,21），所以＋1>0，所以2M -ω≥2×2－3＝1.当＋1＝11+a ，即＝0时上式取等号， 所以2M -ω的最小值是1. 19.证明：原方程化简为,设z ＝x ＋y i(x 、y )，代入上述方程得根据上式可得整理得051282=+-x x .方程无实数解.原方程在复数范围内无解.,∴ < - = ∆ 0 16R ∈。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i<5iB ．a ＝0⇔|a |＝0C ．若|a |＝|b |，则a ＝±bD ．a 2≥0【解析】 A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i ≠－12＋32i或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1<0.【答案】 B 2．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A.12i B ．－12i C.12D ．－12【解析】 i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.【答案】 C3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1【解析】 由21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 2＝1－i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝ 2.故选C. 【答案】 C4.z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i【解析】 法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i ，∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2，∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i. 【答案】 D 5．复数i1－i的共轭复数为( ) 【导学号：62952118】A ．－12＋12i B.12＋12i C.12－12iD ．－12－12i【解析】 ∵i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i ，∴其共轭复数为－12－12i.故选D. 【答案】 D6．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2； p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ； p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 4【解析】 ∵z ＝2－1＋i＝－1－i ， ∴|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2， ∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题为p 2，p 4. 【答案】 C7．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数是( )A ．－2＋3iB ．－3－2iC ．2－3iD ．3－2i【解析】设D (x ，y )，由平行四边形对角线互相平分得⎩⎪⎨⎪⎧2＋(－2)2＝3＋x 2，3＋(－3)2＝2＋y2，∴⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，∴D (－3，－2)，∴对应复数为－3－2i. 【答案】 B8．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )【导学号：62952119】A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2【解析】 要使复数不是纯虚数，则有⎩⎨⎧a 2－a －2≠0，|a －1|－1≠0，∴解得a ≠－1. 【答案】 C9．若a ，b ∈R ，则复数(a 2－6a ＋10)＋(－b 2＋4b －5)i 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 复数对应点的坐标为(a 2－6a ＋10，－b 2＋4b －5)， 又∵a 2－6a ＋10＝(a －3)2＋1>0， －b 2＋4b －5＝－(b －2)2－1<0. 所以复数对应的点在第四象限．故选D. 【答案】 D10．如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)D ．(－3， 3)【解析】 因为|z －2|＝|3＋a i －2|＝|1＋a i|＝1＋a 2<2，所以a 2＋1<4，所以a 2<3，即－3<a < 3.【答案】 D11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1【解析】 因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3.【答案】 B12．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎨⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎨⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误． 选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知i 是虚数单位，计算1－i(1＋i )2＝________. 【解析】1－i (1＋i )2＝1－i 1＋2i ＋i 2＝1－i 2i ＝－i (1－i )－2i 2＝－i －12＝－12－12i. 【答案】 －12－12i14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝__________. 【解析】a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3. 又a 为正实数，所以a ＝ 3.【答案】 315．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________．【解析】 a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8. 【答案】 816．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|≤2可得x 2＋(y －1)2≤2，即x 2＋(y －1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以z 在复平面内所对应的图形的面积为2π.【答案】 2π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算： (1)(2＋2i)2(4＋5i)； (2)2＋2i (1－i )2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2016.【解】 (1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i) ＝4i(4＋5i)＝－20＋16i. (2)2＋2i (1－i )2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2016＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 008＝－1＋i ＋(－i)1 008 ＝－1＋i ＋1 ＝i.18．(本小题满分12分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，①(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，②有实数解，求实数a ，b 的值． 【解】 由①得⎩⎨⎧2x －1＝y ，y －3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4，将x ，y 代入②得(5＋4a )－(6＋b )i ＝9－8i ， 所以⎩⎨⎧5＋4a ＝9，－(6＋b )＝－8，所以a ＝1，b ＝2.19．(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】 (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.20．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积.【导学号：62952120】【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.21．(本小题满分12分)已知复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝2－i ，z 4＝－5在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，D .(1)求证：A ，B ，C ，D 四点共圆； (2)已知AB→＝2 AP →，求点P 对应的复数．【解】 (1)∵|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5， 即|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，∴A ，B ，C ，D 四点都在圆x 2＋y 2＝5上，即A ，B ，C ，D 四点共圆． (2)∵A (0，5)，B (2，－3)， ∴AB→＝(2，－3－5)． 设P (x ，y )，则AP→＝(x ，y －5)，若AB→＝2 AP →，那么(2，－3－5)＝(2x,2y －25)， ∴⎩⎨⎧2＝2x ，－3－5＝2y －25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝5－32，∴点P 对应的复数为22＋5－32i.22．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ →1，OZ →2分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R .若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ →1·OZ →2的值．【解】 由题意，得z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ， 则z 1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋z 2可以与任意实数比较大小， 所以z 1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又因为a ＋5≠0，所以a ＝3，所以z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i. 所以OZ →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，OZ →2＝(－1,1)． 所以OZ →1·OZ →2＝38×(－1)＋1×1＝58.。

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时过关·能力提升基础巩固1(6-2i)-(3i+1)等于()A.3-3iB.5-5iC.7+iD.5+5i解析(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i.故选B.答案B2若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析∵z+i-3=3-i,∴z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-i-i)=6-2i,故选D.答案D3在复平面内,已知点A对应的复数为2+3i,向量对应的复数为-1+2i,则向量对应的复数为()A.1+5iB.3+iC.-3-iD.1+i解析因为,所以对应的复数为(2+3i)-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.故选B.答案B4若z1=2+i,z2=3+a i(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析z1+z2=2+i+3+a i=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a=0.∴a=-1.答案D5若在复平面内的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数-4+6i,则对应的复数是()A.2+14iB.1+7iC.2-14iD.-1-7i解析设对应的复数分别为z1与z2,则有得2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案D6已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的第象限.答案一7已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i(m∈R).若z1-z2=0,则m=.解析∵z1-z2=(m2-3m+m2i)-[4+(5m+6)i]=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i=0,∴∴m=-1.答案-18已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R).若z1-z2=4,则a+b=.解析z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+(a-b-1)i=4,由复数相等的条件,知解得故a+b=3.答案39若|z-1|=1,试说明复数z对应点的轨迹.分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|=1表示复数z对应的点到点(1,0)的距离为1, 所以复数z对应的点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以1为半径的圆.能力提升1已知复数z1=i,复数z2=cos 60°+isin 60°,则z1+z2等于()A.1B.-1C.iD.i答案A2已知z1=3-4i,z2=-5+2i,z1,z2对应的点分别为P1,P2,则对应的复数为() A.-8+6i B.8-6iC.8+6iD.-2-2i解析由复数减法的几何意义知:对应的复数为z1-z2=3-4i-(-5+2i)=(3+5)+(-4-2)i=8-6i,故选B.答案B3已知A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析因为|z1+z2|=|z1-z2|,所以由复数加减运算的几何意义知,以OA,OB为邻边的平行四边形是矩形,故△AOB是直角三角形.答案B★4已知z∈C,|z-2|=1,则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是()A.+1和-1B.3和1C.5D.和3解析由|z-2|=1知z对应的点在以(2,0)为圆心,半径为1的圆上,而|z+2+5i|=|z-(-2-5i)|表示z对应的点到点(-2,-5)的距离.而圆心(2,0)与(-2,-5)间的距离为,故最大值为+1,最小值为-1.答案A★5已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|=.解析在平面直角坐标系内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量,则向量对应z1+z2,对应z1-z2.由题意知||=1,||=1,||=,可得∠OZ1Z=120°,所以∠Z2OZ1=60°,即△Z2OZ1是等边三角形.所以在△Z2OZ1中,||=1,即|z1-z2|=1.答案16已知集合A={z1||z1+1|≤1,z1∈C},B={z2|z2=z1+i+m,z1∈A,m∈R}.(1)当A∩B=⌀时,求实数m的取值范围;(2)是否存在实数m,使得A∩B=A?解因为|z1+1|≤1,所以z1所对应的点构成的集合A是以(-1,0)为圆心,以1为半径的圆面(圆周及其内部).又z2=z1+i+m,所以z1=z2-i-m.所以|z2-i-m+1|≤1,即|z2-[(m-1)+i]|≤1.所以z2所对应的点的集合B是以点(m-1,1)为圆心,1为半径的圆面(圆周及其内部).(1)若A∩B=⌀,说明上述两圆外离,其圆心距d=>2,解得m的取值范围是{m|m∈R,且m>或m<-}.(2)若A∩B=A,因为两圆半径相等,所以两圆重合,但由圆心的坐标(-1,0)及(m-1,1)可知它们不可能重合,所以不存在实数m,使A∩B=A.★7在复平面内,复数z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,设复数z2对应的点在以原点为圆心,半径为1的圆周上移动,求复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积.解设ω=z1+z2,则z2=ω-z1,所以|z2|=|ω-z1|.因为|z2|=1,所以|ω-z1|=1.此式说明对于给定的z1,ω对应的点在以z1对应的点为圆心,1为半径的圆上运动.又z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,所以ω对应点的移动范围的面积为S=2×2+π×12=4+π,即复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积是4+π.★8已知复数z1=1-2i和z2=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求:(1)A,B两点间的距离;(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式.解(1)|AB|=|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|=.(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A,B两点的距离相等,设点Z对应的复数为z,由复数模的几何意义,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|.设z=x+y i(x,y∈R),代入上式,知|(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|,即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2.整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x+5y-10=0.所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为3x+5y-10=0.。

选修第三章选择题．(·郑州高二检测)设复数＝＋(、∈)，若＝－成立，则点(，)在( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限[答案][解析]∵＝－，∴＝(－)(＋)＝＋，∴＝，＝，∴点(，)在第一象限．．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，＝＋，则＝( )．－．．－＋．－－[答案][解析]本题考查复数的乘法，复数的几何意义．∵＝＋，与关于虚轴对称，∴＝－＋，∴＝－－＝－，故选.．定义运算＝－，则符合条件－))＝＋的复数为( )．－．＋．＋．－[答案][解析]由定义得＝＋＝(＋)＝＋，∴＝＝－.故应选.．已知为虚数单位，为复数，下面叙述正确的是( )．－为纯虚数．任何数的偶数次幂均为非负数．＋的共轭复数为－．＋的虚部为[答案][解析]当为实数时错；由＝－知错；由共轭复数的定义知＋的共轭复数为－，错，故选. ．(·全国卷Ⅲ理，)若＝＋，则＝( )．．－．．－[答案][解析]＝＝.．(·长安一中质检)设＝＋(是数单位)，则＋＋＋＋＋＝( )．．．．－[答案][解析]＝－＋，＝－，＝－－，＝－，＝，∴原式＝(＋)＋(－＋)＋(－)＋(－－)＋(－)＋＝－＝(－)＝.二、填空题．已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为＋，－＋，－－，那么第四个顶点对应的复数是[答案]－[解析]不妨设正方形的三个顶点，，对应的复数分别为＋，－＋，－－，则()，(－)，(－，－)，易知·＝，设(，)，则∥，因此应满足＝，即(－，－)＝(－－，－－)即(\\(－－－＝－，,－－＝－，))解得(\\(＝，＝－.))则(，－)，对应的复数为－，故答案为－.．设复数、在复平面内的对应点分别为、，点与关于轴对称，若(－)＝－，则＝[答案][解析]∵(－)＝－，∴＝＝＝＋，∵与关于轴对称，∴与互为共轭复数，∴＝＝－，∴＝.．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为[答案][解析]∵＝＝为纯虚数，∴(\\(－＝，＋≠，))∴＝.三、解答题．设存在复数同时满足下列条件：()复数在复平面内对应点位于第二象限；()·＋＝＋(∈)．试求的取值范围．[解析]设＝＋(，∈)，由()得＜，＞，。

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3)z z －－z －1i ＋a i(其中i 是虚数单sin 2x |，x ∈R }，N ＝x ∈R }，则M ∩N 为4分，共16为虚数单位），则1－i ，z 3＝3－4i ，它A ，B ，C ，OC u u u r ＝λOA u u u rμ的值是________．(m 2－4m ＋3)i ＋10成14.如果i(,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有_______个，是实数的有 个，相等的有 组三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分） 证明：i i zz+-＝1． 16．（6分）若x ∈R ，试确定a 是什么实数时，等式3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 成立．17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==，且12z z -=，求证：12z z +=．18．（10分）设z 是虚数，zz 1+=ω是实数，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设z zM +-=11，求证：M 为纯虚数；（3）求2M -ω的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程|z |2+(1−i )z −(1+i )z =5−5i 2+i（i 为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2)答题纸得分： 一、选择题二、填空题11． 12． 13. 14. 15. 三、解答题 16. 17. 18. 19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2)答案一、选择题1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋z 2＝1＋i ＋(1＋i)2＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.3.A 解析:由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.5.A 解析: 法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2. 法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析：i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为25. 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. 9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝(1+ai )(1−i)2＝1+a+(a−1)i2，设在复平面内z 对应的点的坐标为(x ，y )，则x ＝1+a 2，y ＝a−12.法一：易知x －y ＝1，即复数z 对应的点在直线x －y ＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要a >1，若在第二象限，需要1+a 2<0，且a−12>0，即a <－1且a >1，无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限．10.C 解析：∵ y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos 2x |，且x ∈R ，∴ y ∈[0,1],∴ M ＝[0,1]．在N 中，x ∈R 且|x －1i|<2，∴ |x ＋i|<2，∴x 2＋1<2，解得－1<x <1，∴ N ＝(－1,1)．∴ M ∩N ＝[0,1)． 二、填空题11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ⋅+=++-=z z z 6-2i.12 1 解析：由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB uuu r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题. 13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵ m 2－(m 2－3m)i ＜(m 2－4 m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩解得=0=3,=3=1,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩或或，∴ m =3. 当m ＝3时，原不等式成立．14.4,5,3 解析：2,,,z z z z -=四个为虚数；22,,,,z z z z z z --⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等. 三、解答题15.解法一：设z ＝a ＋bi(a, b ∈R )，则i i z z +-=i ii i a b a b +---=(1)i (1)i a b a b +--+-解法二：∵ i z +=i +z=-i+z ，∴i i z z +- =-i i z z+-=-(i -)i z z -=1. 16.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52，代入①，得a ＝11或a ＝－715. 17. 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知1212z z -==，所以以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以12z z +=．18.（1）解：设z ＝a ＋b i （a ，b ）,.因为ω是实数，0≠b ,所以，即|z |＝1.因为ω＝2 a ，－1<ω<2， 所以.所以z 的实部的取值范围（－1,21）. （2）证明：zzM +-=11＝.（这里利用了（1）中122=+b a ） 因为a ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数. （3）解：2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]11)1[(21212-+++=++-=a a a a . 因为a ∈（－1,21），所以a ＋1>0，1 ) 1 (2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 22 2 2 + -= + + - - - = - + + + - + - - = + + - - a b ib a b i b a b i a b i a b i a b i a b i a b i a 12 1< < - a 1 2 2= + b a) ( ) ( 1 2 2 2 2 i ba bb b a a a b i a b i a + - + + + = + ++ = ω 0 , ≠ ∈ b R所以2M -ω≥2×2－3＝1.当a ＋1＝11+a ，即a ＝0时上式取等号， 所以2M -ω的最小值是1.19.证明：原方程化简为|z |2+(1−i )z −(1+i )z =1−3i , 设z ＝x ＋y i(x 、y )，代入上述方程得x 2+y 2−2xi −2yi =1−3i. 根据上式可得{x 2+y 2=1，2x +2y =3，整理得051282=+-x x .方程无实数解.∴ 原方程在复数范围内无解.,∴ < - = ∆ 0 16R ∈。

章末复习1．复数的概念：(1)虚数单位i ；(2)复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数．2．复数集Error!复数a ＋b i(a ，b ∈R )3．复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：＝＝＋i(z 2≠0)；z 1z 2(a 1a 2＋b 1b 2)＋(a 2b 1－a 1b 2)ia 2＋b 2a 1a 2＋b 1b 2a 2＋b 2a 2b 1－a 1b 2a 2＋b 2(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－±i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.12324．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则＝a －b i ，z ＋为实数，z －为纯虚数(b ≠0)．z z z (2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝，a 2＋b 2且z ·＝|z |2＝a 2＋b 2.z 5．复数的几何形式(1)用点Z (a ，b )表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，用向量表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，Z 称OZ → 为z 在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)．(2)任何一个复数z ＝a ＋b i 一一对应着复平面内一个点Z (a ，b )，也一一对应着一个从原点出发的向量.OZ → 6．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量、不共线，则复数z 1＋z 2是以、为两邻边的平行OZ 1→ OZ 2→ OZ 1→ OZ 2→四边形的对角线所对应的复数．OZ → (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量、的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．OZ 1→ OZ 2→题型一　分类讨论思想的应用　当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x ＋y i 没有说明x ，y ∈R 时，也要分情况讨论．例1　已知复数z ＝＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别a 2－7a ＋6a 2－1为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解　(1)当z 为实数时，则有Error!∴Error!，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有Error!，∴Error!，∴a ≠±1且a ≠6，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有Error!∴Error!∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．跟踪演练1　当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i.(1)为实数；　(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0.解　(1)z ∈R ⇔a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，Error!即Error!故a ＝0.(3)z 对应的点在第一象限，则Error!∴Error!∴a ＜0，或a ＞2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依题设(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0，∴a＝2.题型二　数形结合思想的应用　数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．例2　已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解　设z＝x＋y i，x，y∈R，如图．∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，∴k OA＝k BC，|z C|＝|z B－z A|，即Error!解得Error!或Error!.∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.跟踪演练2　已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解　(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2.2(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上2的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.题型三　转化与化归思想的应用　在求复数时，常设复数z＝x＋y i(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．例3　已知z 是复数，z ＋2i ，均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的z2－i 取值范围．解　设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2.又＝＝(x －2i)(2＋i)z2－i x －2i 2－i 15＝(2x ＋2)＋(x －4)i 为实数，1515∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限．∴Error!，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．跟踪演练3　已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .解　设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i.又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴Error!∴Error!，或Error!或Error!或Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!题型四　类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i 2＝－1.在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z )；(2)(1±i)2＝±2i ；(3)设ω＝－±i ，则ω3＝1，ω2＝，1＋ω＋ω2＝0，＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(ω∈N *)1232ω1ω等；(4)3＝－1；(12±32i )(5)作复数除法运算时，有如下技巧：＝＝＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．a ＋b i b －a i (a ＋b i )i (b －a i )i (a ＋b i )ia ＋b i 例4　计算：(1)(1－i)(1＋i)；(－12＋32i )(2)＋ 2 014.－23＋i1＋23i (21－i )解　(1)法一　(1－i)(1＋i)(－12＋32i )＝(1＋i)(－12＋32i ＋12i －32i2)＝(1＋i)(3－12＋3＋12i )＝＋i ＋i ＋i 23－123＋123－123＋12＝－1＋i.3法二　原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i )＝(1－i 2)＝2＝－1＋i.(－12＋32i )(－12＋32i )3(2)＋ 2 014＝＋ 1 007＝－＝i －＝i －i ＝0.－23＋i 1＋23i (21－i )(－23＋i )i (1＋23i )i (2－2i )(－23＋i )i i －231i1 0071－i 跟踪演练4　计算：＋－.(2＋i )(1－i )21－2i (1－i )－(1＋i )2i51－i2 0151－i 解　＋－(2＋i )(1－i )21－2i (1－i )－(1＋i )2i51－i2 0151－i ＝＋－(2＋i )·(－2i )1－2i(1－i )－2i i 1＋i 1－i ＝＋－2－4i1－2i 1－3ii (1＋i )22＝2－(i ＋3)－i ＝－1－2i.　高考对本章考查的重点1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a ＋b i(a ，b ∈R )的结构形式．3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．。