概率论与数理统计作业题详解

;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。

7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。

12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。

概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。

8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。

但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。

⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

概率论练习题与解析十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。

2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。

现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。

已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。

解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。

由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853*********)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。

若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。

解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A Y 的概率)(B A P Y = 。

7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y 5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。

现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。

用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。

概率论与数理统计练习题集及答案1. 某人射击三次，以A 表示事件“第，次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为()(C) A^ Ay 4 + A 4+4 A> A ( D ) 4 A A2. 掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等丁 8的概率为() (A) —(B) —(C) —(D)—363636363.设随机事件A^B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则( (A ) P(A) = 1-P(B) ( B ) P(AB) = P(A)P(B} (D) P(AB) = 1“7" x> 0 ni,i zt 则 EX=(0 x<0(A)斤(X)= ----- , —s < X < +s1 + x"/^(%) =-O0 < X < +cc(A) J 4| + A T +(B) 4 4 + 4 A+ 4 4(C ) P(A + B) = 14.随机变量X 的概率密度为/(%) =(B) 1 (C) 2(A)-25.下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是(D)4(B) F2(X ) = <I + X0 X > 0耳(x) = —+——arctanx , - oo < x < +oo42兀6.己知随机变星X的概率密度为办(JV),令Y = —2X ,则y的概率密度/心）为（（A ） 2办（-2y ） （D ）7 .已知二维随机向量（X,F ）的分布及边缘分布如表（D ） i3&设随机变量X~S1、5],随机变量Y~N （2,4）,且X 与y 相互独立， 贝 ij£(2xy -y)=(EXY=EX EY,则下列结论不正确的是（1.某人射击三次，以4表示事件“第，次击中目标”，则事件“三次（B ）办（-却＞且X 与Y 相互独立，贝显=（ (A) 3(B) 6(C) 10(D) 129.设X 与y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正，若（A ） X 与Y 相互独立 （B ） X 与y 不相关 (C) cov(x,r)= o(D) D(X + r)= DX + Dy答案：1. B2. A 6. D7. D8.C9. A中恰好击中目标一次”的正确表示为（C ）(c) 44 + 4 A 4 + 4 人 42.将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为（A ）(D)-4!3.设随机事件A •与S 互不相容，且P （A ）＞0,P （B ）＞0,则（D ） (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) P (AIB) = ^^(D) P(AIB) = O/心）为（D ）（A ） 3A （-3y ） （B ） A （-|）（07 .己知二维随机向暈（x,y ）的分石弋边缘分布如表(A) J 4| + A T +(B ) 4 Ay + 4 & + A 4(A) P(A\B) = P(A) 4.随机变量X 的概率密度为/（x ）=： X e(O,rt)，则£；X= ( A )(A)扌(B) 1(C)£(D)35.随机变量X 的分布函数F （x ）= A-(l + Q严2°,则A= ( B )x<0(A) 0 (B) 1(D) 36.己知随机变量X 的概率密度为厶W ， 则y 的概率密度(A) -(B) -(C)-(D)-8483&设随机变量XV 相互独立，且X~饭16,0.5), y 服从参数为9的泊 松分布，则 D(X-2y + l)= ( C )9•设(XM)为二维随机向量，则X 与y 不相关的充分必要条件是(D ) (A) X 与 y 相互独立 (B) E(X + Y) = EX + EY (C) DXY = DX DY (D) EXY = EX • EY一、填空题:L 设是两个随机事件，P(A) = 0.5, P (A + B) = 0.8, (1)若A 与B 互不相容，则P(B) = __________ ； (2)若4与B 相互独立，则P(B)= _______ .2.—袋中装有20个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中各 取一球(不放回).已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍 是黑球的概率为 _____ .3. 设离散型随机变量X 的概率分布为P{X=k}=3a , R = l,2,…，则常数d= _________ .4. 设随机变量X 的分布函数为,x<Q,0<x<2,且X 与y 相互独立，贝|^= ( B )(A) -14(B) 13 (C) 40 (D) 41F(x) = iax,x>2 0,P {1<X<3} =5. 设随机变量X 的概率分布为则 £(3X2+3) =46. 如果随机变量X 服从[a,b] h 的均匀分布，且£(X) = 3, D(X) = -,贝ia= ____ , b= _____ .7. 设随机变量X, Y 相互独立，且都服从参数为0.6的0-1分布，则P[X=Y} =8•设X, y 是两个随机变量，E(X) = 2, £(%") = 20,答案:1. 0.3, 0.6 4.5 /2.- 36. 1. 57. 0.52& 212.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率依次为，，，则密码能译出的概率为 _____ .则常数d = E(y)=3,F(y-) = 34> Pxr = 0.5 ,则D(X-Y)=5.1.设A^B 是两个随机事件, P(B)= _________ .P(A) = 0・3 , P (AB) = P(A B) > 则3.设随机变量X 的概率分布为P{X=k ］ = -^,k=l, 2,3,4,5,则卩{|<7}=sin X, 0<x<— 贝g21 兀 1 , X > —25•设随机变量X 服从［1,3］上的均匀分布，则丄的数学期望X7. 设X, Y 是两个随机变量,互独立，则X + Y~ _______ •8. ________________ 设随机变量X'X 相互独立，且都服从［0,2］上的均匀分布，则 D （3X,-X,）= .9.设随机变星X 和y 的相关系数为0.5 , E(X)= E{Y) = Q ,E(X-)=E(Y-) = 2,则£(X+Y)2 = _____________ .4•设随机变量X 的分布函数为F{x ）= < 6•设随机变量^2相互独立,则P{X^=X,} =1 2X ， ■11133 ppJ 2 23亍X ~N （O ,32）, 丫~川（1，牢），X 与y 相其概率分布分别为27. Na 5-) 二、有三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个口球，第二个箱子中 有3个黑球3个口球，第三个箱子中有3个黑球5个口球.现随机地 选取一个箱子，再从这个箱子中任取1个球.（1）求取到的是口球的 概率；（2）若已知取出的球是口球，求它属于第二个箱子的概率•解：设事件A 表示该球取自第，个箱子（/ = 1,23）.事件B 表示取 到口球.3 111 3 1 5 11P(B)=zm)p(^-A)=-x-.-x-.-x-=_三. 某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故障的概率都是0.2.在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获取 利润2万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润1万元; 若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损0.5万元.求该厂一 天可获取的平均利润.答案:1. 0.72.4. 0.55.9. 6P(B)设随机变量X 表示该厂一天所获的利润（万元），则X 可能取2JT.5,且P{X=2} = 0・y =0.512,P{X=1} = C ；X O ・2X O ・82 =0.384,P{X=-0・5} = l-0・512-0・384 = 0・104・所以 £(X) = 2x0512 + 1x0384+(-0.5)x0,104 = 1.356 (万元)四、设随机向星（X,Y ）的密度函数为八3）= ｛罗°笃丁 3 ⑴求 P｛X<y ｝；（2）求XM 的边缘密度，并判断X 与y 的独立性.解:P[X < y) = jj f (X,y)dxdy = J= {^2x(1 — x")dx = 0.5 ；x<y由氏（兀）齐0） = /（兀』）知随机变量x,y 相互独立・匸4兀)込=2x, I 0 ,J ；4xydx=2y, 0 ,0<x<l其它0<y<l其它y=2x + i 的密度函数解法一：y 的分布函数为F,(y) = P{r<y} = P{2X + l<>} = P{X<^) = F,(^：两边对y 求导，得解法二：因为y = 2x + l 是OMxMl 上单调连续函数，所以注：x*（y ） = ¥为y = 2x + l 的反函数。

概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）习题一1. 设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算式表示下列事件：（1）A 发生而B与 C 都不发生；（2）A，B，C 至少有一个事件发生；（3）A，B，C 至少有两个事件发生；（4）A，B，C 恰好有两个事件发生；（5）A，B至少有一个发生而 C 不发生；（6）A，B，C 都不发生.解：（1）A BC或 A B C或 A （B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A）.（5）（A∪B）C.（6） A B C 或ABC.2. 对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）（A+B）（A+B ）（ A + B）（ A + B ）= ；（2）AB+A B +A B+A B AB= AB；(3)A-(B+C)= (A-B)-C. 证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.1，求：（1）A发生但B不发生的概率；（2）A，B 都不发生的概率；（3）至少有一个事件不发生的概率.解（1）P（A B ）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；（2） P（AB）=P（ A B）=1-P（A∪B）=1-0.7=0.3；（3） P（A∪B）=P（AB ）=1-P（AB）=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。

购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。

求下列事件的概率。

（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28, （2）0.83, （3）0.725.10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

解：8/156. 任意将10 本书放在书架上。

其中有两套书，一套 3 本，另一套4 本。

2022年4月高等教育自学考试（概率论与数理统计）〔经管类〕答案解析一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕1.甲，乙两人向同一目标射击，A表示“甲命中目标〞，B表示“乙命中目标〞，C表示“命中目标〞，则C=〔〕A.AB.BC.ABD.A∪B（答案）D（解析）“命中目标〞=“甲命中目标〞或“乙命中目标〞或“甲、乙同时命中目标〞，所以可表示为“A∪B〞，应选择D.（提示）注意事件运算的实际意义及性质：〔1〕事件的和：称事件“A，B至少有一个发生〞为事件A与B的和事件，也称为A 与B的并A∪B或A+B.性质：①,；②假设，则A∪B=B.〔2〕事件的积：称事件“A，B同时发生〞为事件A与B的积事件，也称为A与B的交，记做F=A∩B或F=AB.性质：①，；② 假设，则AB=A.〔3〕事件的差：称事件“A发生而事件B不发生〞为事件A与B的差事件，记做A－B.性质：①；②假设，则；③.〔4〕事件运算的性质〔i〕交换律：A∪B=B∪A, AB=BA；〔ii〕结合律：〔A∪B〕∪C=A∪〔B∪C〕, 〔AB〕C=A〔BC〕；〔iii〕分配律：〔A∪B〕∩C=〔A∩C〕∪〔B∩C〕〔A∩B〕∪C=〔A∪C〕∩〔B∪C〕.〔iv〕摩根律〔对偶律〕,2.设A，B是随机事件，，P〔AB〕=0.2，则P〔A－B〕=〔〕A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4（答案）A（解析），，应选择A.（提示）见1题（提示）〔3〕.3.设随机变量X的分布函数为F〔X〕则〔〕A.F〔b－0〕－F〔a－0〕B.F〔b－0〕－F〔a〕C.F〔b〕－F〔a－0〕D.F〔b〕－F〔a〕（答案）D（解析）依据分布函数的定义及分布函数的性质，选择D.详见（提示）.（提示）1.分布函数定义：设X为随机变量，称函数，为的分布函数.2.分布函数的性质：①0≤F〔x〕≤1；②对任意x1，x2〔x1< x2〕，都有；③F〔x〕是单调非减函数；④，；⑤F〔x〕右连续；⑥设x为f〔x〕的连续点，则f′〔x〕存在，且F′〔x〕=f〔x〕.3.已知X的分布函数F〔x〕，可以求出以下三个常用事件的概率：①；②，其中a<b；③.4.设二维随机变量〔X，Y〕的分布律为0 1 20 1 0 0.1 0.2 0.4 0.3 0则〔〕A.0B.0.1C.0.2D.0.3（答案）D（解析）因为事件，所以，= 0 + 0.1 + 0.2 = 0.3应选择D（提示）1.此题考察二维离散型随机变量的边缘分布律的求法；2.要清楚此题的三个事件的概率为什么相加：因为三事件是互不相容事件，而互不相容事件的概率为各事件概率之和.5.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为，则〔〕A.0.25B.0.5C.0.75D.1（答案）A（解析）积分地域D：0＜X≤0.5，0＜Y≤1，所以应选择A.（提示）1.二维连续型随机变量的概率密度f〔x，y〕性质：①f〔x，y〕≥0；②；③假设f〔x，y〕在〔x，y〕处连续，则有，因而在f〔x，y〕的连续点〔x，y〕处，可由分布函数F〔x，y〕求出概率密度f〔x，y〕；④〔X，Y〕在平面地域D内取值的概率为.2.二重积分的计算：此题的二重积分的被积函数为常数，依据二重积分的几何意义可用简单方法计算：积分值=被积函数0.5×积分地域面积0.5.6.设随机变量X的分布律为X﹣2 0 2P 0.4 0.3 0.3则E〔X〕=〔〕A.﹣0.8B.﹣0.2C.0D.0.4（答案）B（解析）E〔X〕=〔﹣2〕×0.4+0×0.3+2×0.3＝﹣0.2应选择B.（提示）1.离散型一维随机变量数学期望的定义：设随机变量的分布律为，1，2，….假设级数绝对收敛，则定义的数学期望为.2.数学期望的性质：①E〔c〕=c，c为常数；②E〔aX〕=aE〔x〕，a为常数；③E〔X+b〕=E〔X+b〕=E〔X〕+b，b为常数；④E〔aX+b〕=aE〔X〕+b，a，b为常数.7.设随机变量X的分布函数为，则E〔X〕=〔〕A. B. C. D.（答案）C（解析）依据连续型一维随机变量分布函数与概率密度的关系得，所以，=，应选择C.（提示）1.连续型一维随机变量概率密度的性质①;②;③;④；⑤设x为的连续点，则存在，且.2.一维连续型随机变量数学期望的定义：设连续型随机变量X的密度函数为，如果广义积分绝对收敛，则随机变量的数学期望为.8.设总体X服从区间,]上的均匀分布〔〕，x1，x2，…，x n为来自X的样本，为样本均值，则A. B. C. D.（答案）C（解析），，而均匀分布的期望为，应选择C.（提示）1.常用的六种分布〔1〕常用离散型随机变量的分布〔三种〕：X0 1概率q pA.两点分布①分布列②数学期望：E〔X〕=P③方差：D〔X〕=pq.B.二项分布：X～B〔n，p〕①分布列：，k=0，1，2，…，n；②数学期望： E〔X〕=nP③方差： D〔X〕=npq.C.泊松分布：X～①分布列：，0，1，2，…②数学期望：③方差：＝〔2〕常用连续型随机变量的分布〔三种〕：A.均匀分布：X～①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E〔X〕＝,④方差：D〔X〕＝.Ｂ.指数分布：X～①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E〔X〕＝,④方差：D〔X〕＝.Ｃ.正态分布〔A〕正态分布：X～①密度函数：，－∞＋∞②分布函数：③数学期望：＝,④方差：＝，⑤标准化代换：假设X～，，则～.〔B〕标准正态分布：X～①密度函数：，－∞＋∞②分布函数：，－∞＋∞③数学期望：E〔X〕＝0,④方差：D〔X〕＝1.2.注意：“样本〞指“简单随机样本〞，具有性质：“独立〞、“同分布〞.9.设x1，x2，x3，x4为来自总体X的样本，且，记，，，，则的无偏估量是〔〕A. B. C. D.（答案）A（解析）易知，，应选择A.（提示）点估量的评价标准：〔1〕相合性〔一致性〕：设为未知参数，是的一个估量量，是样本容量，假设对于任意，有，则称为的相合〔一致性〕估量.〔2〕无偏性：设是的一个估量，假设对任意，有则称为的无偏估量量；否则称为有偏估量.〔3〕有效性设，是未知参数的两个无偏估量量，假设对任意有样本方差，则称为比有效的估量量.假设的一切无偏估量量中，的方差最小，则称为的有效估量量.10.设总体～，参数未知，已知.来自总体的一个样本的容量为，其样本均值为，样本方差为，，则的置信度为的置信区间是〔〕A.，B.，C.，D.（答案）A（解析）查表得答案.（提示）关于“课本p162，表7-1：正态总体参数的区间估量表〞记忆的建议：①表格共5行，前3行是“单正态总体〞，后2行是“双正态总体〞；②对均值的估量，分“方差已知〞和“方差未知〞两种情况，对方差的估量“均值未知〞；③统计量顺序：, t, x2, t, F.二、填空题〔本大题共15小题，每题2分，共30分〕11.设A，B是随机事件，P 〔A〕=0.4，P 〔B〕=0.2，P 〔A∪B〕=0.5，则P 〔AB〕= _____.（答案）0.1（解析）由加法公式P 〔A∪B〕= P 〔A〕+ P 〔B〕－P 〔AB〕，则P 〔AB〕= P 〔A〕+ P 〔B〕－P 〔A∪B〕=0.1故填写0.1.12.从0，1，2，3，4五个数字中不放回地取3次数，每次任取一个，则第三次取到0的概率为________.（答案）（解析）设第三次取到0的概率为，则故填写.（提示）古典概型：〔1〕特点：①样本空间是有限的；②根本领件发生是等可能的；〔2〕计算公式.13.设随机事件A与B相互独立，且，则________.（答案）0.8（解析）因为随机事件A与B相互独立，所以P 〔AB〕=P 〔A〕P 〔B〕再由条件概率公式有=所以，故填写0.8.（提示）二随机事件的关系〔1〕包含关系：如果事件A发生必定导致事件B发生，则事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有，且；〔2〕相等关系：假设且，则事件A与B相等，记做A=B，且P 〔A〕=P 〔B〕；〔3〕互不相容关系：假设事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为＝，且P 〔AB〕=0；〔4〕对立事件：称事件“A不发生〞为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足且.显然：①；②，.〔5〕二事件的相互独立性：假设, 则称事件A, B相互独立；性质1：四对事件A与B，与B，A与，与其一相互独立，则其余三对也相互独立；性质2：假设A, B相互独立，且P 〔A〕＞0, 则.14.设随机变量服从参数为1的泊松分布，则________.（答案）（解析）参数为泊松分布的分布律为，0，1，2，3，…因为，所以，0，1，2，3，…，所以=，故填写.15.设随机变量X的概率密度为，用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则________.（答案）（解析）因为，则～，所以，故填写.（提示）注意审题，X判定概率分布的类型.16.设二维随机变量〔X，Y〕服从圆域D： x2+ y2≤1上的均匀分布，为其概率密度，则=_________.（答案）（解析）因为二维随机变量〔X，Y〕服从圆域D：上的均匀分布，则，所以故填写.（提示）课本介绍了两种重要的二维连续型随机变量的分布：〔1〕均匀分布：设D为平面上的有界地域，其面积为S且S>0，如果二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为，则称〔X，Y〕服从地域D上的均匀分布，记为〔X，Y〕～.〔2〕正态分布：假设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为〔，〕，其中，，，，都是常数，且，，，则称〔X，Y〕服从二维正态分布，记为〔X，Y〕～.17.设C为常数，则C的方差D 〔C〕=_________.（答案）0（解析）依据方差的性质，常数的方差为0.（提示）1.方差的性质①D 〔c〕=0，c为常数；②D 〔aX〕=a2D 〔X〕，a为常数；③D 〔X+b〕=D 〔X〕，b为常数；④D 〔aX+b〕= a2D 〔X〕，a，b为常数.2.方差的计算公式：D 〔X〕=E 〔X2〕－E2〔X〕.18.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E 〔e-2x〕= ________.（答案）（解析）因为随机变量X服从参数1的指数分布，则，则故填写.（提示）连续型随机变量函数的数学期望：设X为连续性随机变量，其概率密度为，又随机变量，则当收敛时，有19.设随机变量X～B 〔100，0.5〕，则由切比雪夫不等式估量概率________.（答案）（解析）由已知得，，所以.（提示）切比雪夫不等式：随机变量具有有限期望和，则对任意给定的，总有或.故填写.20.设总体X～N 〔0，4〕，且x1，x2，x3为来自总体X的样本，假设～，则常数C=________.（答案）1（解析）依据x2定义得C=1，故填写1.（提示）1.应用于“小样本〞的三种分布：①x2－分布：设随机变量X1，X2，…，X n相互独立，且均服从标准正态分布，则服从自由度为n的x2－分布，记为x2～x2〔n〕.②F－分布：设X，Y相互独立，分别服从自由度为m和n的x2分布，则服从自由度为m与n的F－分布，记为F～F〔m，n〕，其中称m为分子自由度，n为分母自由度.③t－分布：设X～N 〔0，1〕，Y～x2〔n〕，且X，Y相互独立，则服从自由度为n的t－分布，记为t～t 〔n〕.2.对于“大样本〞，课本p134,定理6-1：设x1，x2，…，x n为来自总体X的样本，为样本均值，〔1〕假设总体分布为，则的X分布为；〔2〕假设总体X的分布未知或非正态分布，但，，则的渐近分布为.21.设x1，x2，…，x n为来自总体X的样本，且，为样本均值，则________.（答案）（解析）课本P153，例7-14给出结论：，而，所以，故填写.（说明）此题是依据例7-14改编.因为的证明过程比拟复杂，在2022年课本改版时将证明过程删掉，即本次串讲所用课本〔也是学员朋友们使用的课本〕中没有这个结论的证明过程，只给出了结果.感兴趣的学员可查阅旧版课本（高等数学〔二〕第二分册概率统计）P164,例5.8.22.设总体x服从参数为的泊松分布，为未知参数，为样本均值，则的矩估量________.（答案）（解析）由矩估量方法，依据：在参数为的泊松分布中，，且的无偏估量为样本均值，所以填写.（提示）点估量的两种方法〔1〕矩法〔数字特征法〕估量：A.根本思想：①用样本矩作为总体矩的估量值；②用样本矩的函数作为总体矩的函数的估量值.B.估量方法：同A.〔2〕极大似然估量法A.根本思想：把一次试验所出现的结果视为全部可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估量值.B.定义：设总体的概率函数为，，其中为未知参数或未知参数向量，为可能取值的空间，x1，x2，…，x n是来自该总体的一个样本，函数称为样本的似然函数；假设某统计量满足，则称为的极大似然估量.C.估量方法①利用偏导数求极大值i〕对似然函数求对数ii〕对求偏导数并令其等于零，得似然方程或方程组iii〕解方程或方程组得即为的极大似然估量.②对于似然方程〔组〕无解时，利用定义：见教材p150例7－10；〔3〕间接估量：①理论依据：假设是的极大似然估量，则即为的极大似然估量；②方法：用矩法或极大似然估量方法得到的估量，从而求出的估量值.23.设总体X服从参数为的指数分布，x1，x2，…，x n为来自该总体的样本.在对进行极大似然估量时，记…，x n〕为似然函数，则当x1，x2，…，x n都大于0时，…，x n=________.（答案）（解析）已知总体服从参数为的指数分布，所以，从而…，=，故填写.24.设x1，x2，…，x n为来自总体的样本，为样本方差.检验假设：，：，选取检验统计量，则H0成立时，x2～________.（答案）（解析）课本p176，8.3.1.25.在一元线性回归模型中，其中～，1，2，…，n，且，，…，相互独立.令，则________.（答案）（解析）由一元线性回归模型中，其中～，1，2，…，，且，，…，相互独立，得一元线性回归方程，所以，，则～由20题（提示）〔3〕得，故填写.（说明）课本p186，关于此题内容的局部讲述的不够清楚，请朋友们注意.三、计算题〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕26.甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取球，甲先从中任取一个球，不放回，而后乙再从盒中任取两个球，求〔1〕甲取到黑球的概率；〔2〕乙取到的都是黑球的概率.（分析）此题考察“古典概型〞的概率.（解析）〔1〕设甲取到黑球的概率为p，则.〔2〕设乙取到的都是黑球的概率为p，则.27.某种零件直径X～〔单位：mm〕，未知.现用一种新工艺生产此种零件，随机取出16个零件、测其直径，算得样本均值，样本标准差s=0.8，问用新工艺生产的零件平均直径与以往有无显著差异？〔〕〔附：〕（分析）此题考察假设检验的操作过程，属于“单正态总体，方差未知，对均值的检验〞类型.（解析）设欲检验假设H0：，H1：，选择检验统计量，依据显著水平=0.05及n=16，查t分布表，得临界值t0.025〔15〕=2.1315，从而得到拒绝域，依据已知数据得统计量的观察值因为，拒绝，可以认为用新工艺生产的零件平均直径与以往有显著差异.（提示）1.假设检验的根本步骤：〔1〕提出统计假设：依据理论或经验对所要检验的量作出原假设〔零假设〕H0和备择假设H1，要求只有其一为真.如对总体均值检验，原假设为H0：，备择假设为以下三种情况之一：：，其中i〕为双侧检验，ii〕，iii〕为单侧检验.〔2〕选择适当的检验统计量，满足：① 必须与假设检验中待检验的“量〞有关；② 在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知.〔3〕求拒绝域：按问题的要求，依据给定显著水平查表确定对应于的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W.〔4〕求统计量的样本值观察值并决策：依据样本值计算统计量的值，假设该值落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0.2.关于课本p181，表8-4的记忆的建议：与区间估量对比分类记忆.四、综合题〔本大题共2小题，每题12分，共24分〕28.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为〔1〕求〔X，Y〕关于X，Y的边缘概率密度；〔2〕记Z=2X+1，求Z的概率密度.（分析）此题考察二维连续型随机变量及随机变量函数的概率密度.（解析）〔1〕由已知条件及边缘密度的定义得=，〔〕所以；同理可得.〔2〕使用“直接变换法〞求Z=2X+1的概率密度.记随机变量X、Z的分布函数为Fx〔x〕、Fz〔Z〕，则，由分布函数Fz〔Z〕与概率密度的关系有由〔1〕知，所以=.（提示）求随机变量函数的概率密度的“直接变换法〞根本步骤：问题：已知随机变量X的概率密度为，求Y=g〔X〕的概率密度解题步骤：1.；2..29.设随机变量X与Y相互独立，X～N〔0,3〕，Y～N〔1,4〕.记Z=2X+Y，求〔1〕E〔Z〕，D〔Z〕；〔2〕E〔XZ〕；〔3〕P XZ.（分析）此题考察随机变量的数字特征.（解析）〔1〕因为X～N〔0,3〕，Y～N〔1，4〕，Z=2X+Y，所以E〔Z〕=E〔2X+Y〕=2E〔X〕+E〔Y〕=1D〔Z〕=D〔2X+Y〕=4D〔X〕+D〔Y〕=16〔2〕而随机变量与相互独立，所以 E〔XZ〕=6.〔3〕因为，所以.五、应用题〔10分〕30.某次考试成绩X服从正态分布〔单位：分〕，〔1〕求此次考试的及格率和优秀率；〔2〕考试分数至少高于多少分能排名前50%？〔附：〕（分析）此题考察正态分布的概率问题.（解析）已知X～N〔75，152〕，设Z～N〔0，1〕，为其分布函数，〔1〕==即本次考试的及格率为84.13%，优秀率为15.87%.〔2〕设考试分数至少为x分可排名前50%，即，则=，所以，即，x=75，因此，考试分数至少75分可排名前50%.。

概率论与数理统计作业及解答第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹•设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示• 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC;或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ).(和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB)2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝.C 6 (C 2 )6 32C 8C 4(C 2)4 800.2238, P(B) 8 皆 0.5594,P(A) 8/143★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品•现从中任取3件•求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99⑴冷0.724.⑵虫产0.2526. C 50 1960C 503925. 从1〜9九个数字中•任取3个排成一个三位数•求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率•4(1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-,9⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5,9或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5.9 96. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝.1 12 C m C M m C mm(2M - m -1)M (M -1)6 —C 16143P(C)二 C 8CJC 2)300.2098.143C 16C 2 iC 2⑴ P(A)=# 詁;(2) P(B )X =C 10 12C 107. 袋中有红、黄、白色球各一个 每次从袋中任取一球.记下颜色后放回 共取球三次 求下列事件的概率：A=｛全红｝ B =｛颜色全同｝ C =｛颜色全不同｝ D =｛颜色不全同｝ E =｛无 黄色球｝ F =｛无红色且无黄色球｝ G =｛全红或全黄｝.1 11A 3!2 8P (A)=3^2?P (B )=3P (A )=9, P(C^#=?=9, P(DH ^P(BH?28 1 1 2P(E)亏方P(F)亏审 P(G r 2P(A)盲☆某班n 个男生m 个女生（m^n 1）随机排成一列•计算任意两女生均不相邻的概率☆ •在[0 ■ 1]线段上任取两点将线段截成三段•计算三段可组成三角形的概率14第二次作业1.设 A B 为随机事件 P(A)=0.92 ■ P(B)=0.93 P(B|Z)=0.85 求 ⑴ P(A|B) (2) P (AU B) ■ (1) 0.85 =P(B| A) =P(A B )P (AB ),P (A B )=0.85 0.08=0.068,P(A) 1-0.92P(AB)二 P(A) -P(AB)二 P(A) - P(B) P(AB) = 0.92 -0.93 0.068 = 0.058,P(A| B): = P(AB) = 0.。

第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标;（3）10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度。

解 所求的样本空间如下(1)S= ｛2，3，4，5，6，7，8,9,10，11,12｝ （2）S= ｛（x ， y ）｜ x 2+y 2<1} （3）S= ｛3，4，5,6，7，8，9，10} （4）S= {v ｜v>0｝2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件: （1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A 、B 、C 都发生； （4)A 、B 、C 都不发生; (5）A 、B 、C 不都发生； （6)A 、B 、C 至少有一个发生； （7）A 、B 、C 不多于一个发生； （8)A 、B 、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABCABC ABC ABC ABCAB CAB BC AC ABBC CA3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生,事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员,则 （1）事件AB 表示什么？(2)在什么条件下ABC =C 成立？（3)在什么条件下关系式C B ⊂是正确的? (4）在什么条件下A B =成立? 解 所求的事件表示如下(1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员。

（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立。

（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ⊂是正确的。

(4)当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立。

4．设P (A ）＝0.7,P （A －B )＝0。