第3章 晶格振动与晶体的热学性质

晶格振动与晶体的热学性质的晶格畸变效应晶体是由定序排列的原子或分子构成，其内部结构具有周期性的排列方式。

晶体的热学性质与晶体内原子之间的相互作用密切相关。

晶格振动是晶体内原子或分子在其平衡位置周围做微小振动的一种现象。

晶格振动的性质受到晶体的结构、温度和压强等因素的影响。

晶格畸变是指晶格结构由于外界的作用而发生变化，从而影响晶体的热学性质。

本文将探讨晶格振动与晶格畸变效应对晶体热学性质的影响。

一、晶格振动对晶体热导率的影响晶体的热导率是指晶体传导热量的能力。

热导率与晶格中原子或分子振动的频率和振幅相关。

晶格振动的频率与晶体的晶胞结构有关，例如，对于简单晶格结构，振动频率较高；而对于复杂晶格结构，振动频率较低。

当晶格振动频率较高时，晶体内的能量传递速度加快，热导率提高。

相反，当晶格振动频率较低时，能量传递速度减慢，热导率降低。

晶格畸变会改变晶格振动的频率，从而影响晶体的热传导性能。

例如，在晶格畸变中，晶胞间距的改变会导致振动频率的变化，进而影响热导率。

二、晶格振动对晶体热膨胀性的影响晶体的热膨胀性是指在温度变化时晶体尺寸的变化程度。

晶体的热膨胀性与晶格振动也有密切的联系。

晶格振动引起的原子或分子间的相互作用改变会导致晶体发生畸变，从而产生热膨胀。

当晶体受热而振动频率增加时，晶格结构扩展，晶体膨胀。

相反，当晶体受冷而振动频率减小时，晶格结构收缩，晶体收缩。

晶格畸变可以显著影响晶体的热膨胀行为。

例如，在晶体结构的压力或应力下产生的晶格畸变会导致热膨胀性的改变。

三、晶格振动对晶体热容的影响晶体的热容是指单位质量或单位体积的晶体在吸热(或放热)时温度变化的量。

晶体的热容与晶格振动特性也存在一定的关联。

晶格振动的频率和振幅会影响晶体内部能量的分布和传递，从而影响热容。

当晶格振动频率高且振幅大时，晶体内能量的分布较广，热容较大。

反之，当晶格振动频率低且振幅小时，晶体内能量的分布较为局限，热容较小。

晶格畸变会改变晶格振动的特性，进而对晶体的热容产生影响。

晶格振动与晶体的热学性质关系综述晶格振动是晶体中原子或分子在平衡位置周围的微小振动。

它是晶体内部热学性质的基础，与晶体的热导率、热膨胀系数、比热容等热学性质密切相关。

本文将综述晶格振动与晶体热学性质的关系，并探讨晶格振动在材料科学中的应用。

晶体的热学性质与晶格振动的频率、波矢以及振幅有密切关系。

一般来说，晶格振动频率高、振幅小的晶体热导率会较高，热膨胀系数较小。

这是因为晶格振动频率高意味着晶格中原子或分子之间的相互作用强，能量传递效率高；而振幅小意味着原子或分子振动的范围小，不易导致晶格的漂移，从而减小了热膨胀系数。

晶格振动与晶体的比热容也存在一定的关系。

在低温下，晶格振动对比热容的贡献为Debye模型所描述的三维声子气模型。

而在高温下，由于激发了大量的非谐振动模式，晶格振动对比热容的贡献将显著增加。

除了热学性质，晶格振动还与晶体的光学性质相关。

例如，晶体的红外吸收谱在一定程度上反映了晶格振动的特点。

由于不同模式的晶格振动对应不同的波矢和能量，因此红外光谱可以提供关于晶体结构和振动特性的重要信息。

在材料科学中，晶格振动也被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。

通过调控晶格振动，可以实现材料的热导率和电导率之间的解耦，从而提高材料的热电性能。

例如，通过引入杂质、界面掺杂或纳米结构等手段，可以有效散射晶格振动，降低热导率，进而提高材料的热电效率。

总之，晶格振动与晶体的热学性质密切相关。

研究晶格振动对于深入理解晶体的热学行为、优化材料的热学性能具有重要意义。

随着计算模拟和实验技术的发展，进一步研究晶格振动与热学性质的关系将有助于推动材料科学和能源领域的进展。

这篇文章主要综述了晶格振动与晶体的热学性质的关系，并探讨了晶格振动在材料科学中的应用。

通过调控晶格振动频率、波矢和振幅等参数，可以实现热导率、热膨胀系数和比热容等热学性质的调控。

此外，晶格振动还与晶体的光学性质相关，并被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。

固体物理第三章班级成绩学号Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质姓名(lattice vibration and its heat characteristics)⼀、简要回答下列问题(answer the following questions):1、在晶格常数为a 的⼀维单原⼦晶格中，波长λ=8a 和波长λ=8a/5的格波所对应的原⼦振动状态有⽆不同? 试画图加以说明。

［答］对于⼀维单原⼦链，由q=2π／λ知，λ＝8a 时，q ＝π／4a ，λ＝8a ／5时，q ＝5π／4a ，⼆者的aq 相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原⼦振动状态不同。

如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原⼦的振动状态相同。

2、什么叫简正振动模式？简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是否是⼀回事？［答］在简谐振动下，由N 个原⼦构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独⽴的谐振⼦的振动，每⼀个谐振⼦的振动模式称为简正振动模式。

格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性叠加。

简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是是⼀回事，其数⽬等于晶体中所有原⼦的⾃由度之和，即等于3N 。

3、晶体中声⼦数⽬是否守恒？在极低温下，晶体中的声⼦数与温度T 之间有什么样的关系？［答］频率为ωi 的格波的平均声⼦数为： 11)(/-=Tk i B en ωω即每⼀个格波的声⼦数都与温度有关，因此晶体中的声⼦数⽬不守恒，它随温度的改变⽽改变。

以德拜模型为例。

晶体中的声⼦数⽬为ωωωωd g n N D)()('0=其中令 T k x B ω= 则 123'2/033233-=x TB e dxx C T k V N D θπ在极低温度下，θD ／T →∞，于是 331332332033233)2(23123'T nC T Vk e dx x C T k V N n B x B ∑∞=∞=-=ππ即在温度极低时，晶体中的声⼦数⽬与T 3成正⽐。

第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）（1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q π=a ，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。

固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。

只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。

由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。

对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。

和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。

这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。

若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。

当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。

晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。

ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。

这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。

若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。

23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。