【最新】2018-2019学年度高中数学北师大版数学必修四：第一章8第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像的画法

学习目标 1.理解任意角的三角函数的看法.2.掌握三角函数引诱公式.3.能画出 y＝ sin x，y＝cos x， y＝ tan x 的图像 .4.理解三角函数y＝ sin x， y＝cos x，y＝ tan x 的性质 .5.认识函数y＝Asin(ωx＋φ)的实质意义，掌握函数y＝ Asin( ωx＋φ)图像的变换．1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：(1)y 叫作α的 ________，记作 ________，即 ________；(2)x 叫作α的 ________，记作 ________，即 ________；(3)yx叫作α的 ________，记作 ________，即 ____________________ ．2．引诱公式π六组引诱公式能够一致概括为“k·2±α(k∈Z )〞的引诱公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当 k 为奇数时，函数名改变，尔后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限〞．3．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y＝sin x y＝ cos x y＝ tan x图像π{ x|x∈R且 x≠ kπ＋，定义域R R2k∈Z }值域对称性奇偶性周期性单调性最值对称轴： x＝ kπ＋π2(k∈Z )；对称中心：(kπ， 0)(k∈Z )最小正周期：________π在－＋2π2kπ，2＋ 2kπ(k∈Z)上是增加的；在π3π2＋2kπ，2＋2kπ](k∈Z )上是减少的在 x＝________( k∈Z )时，y max＝ 1；在 x＝－π2＋ 2kπ(k∈Z)时， y min＝－ 1对称轴： x＝ kπ(k∈Z) ；对称中心：πkπ＋2， 0( k∈Z )最小正周期：________在 [ －π＋ 2kπ，2kπ](k∈Z)上是增加的；在 [2kπ，π＋ 2kπ](k∈Z ) 上是减少的在 x＝ 2kπ(k∈Z )时， y max＝ 1；在 x＝π＋ 2kπ(k∈Z) 时， y min＝－ 1对称中心：kπ2， 0 (k∈Z)，无对称轴最小正周期：____ππ在开区间 ( kπ－2，kπ＋2)(k∈Z )上是增加的无最值种类一三角函数的看法例 1角θ的极点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．假设P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，那么 y＝ ________.反思与感悟(1)角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：① 先利用直线与单位圆订交，求出交点坐标，尔后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点 P(x，y)， P 到原点的距离为y x r( r＞0) ．那么 sin α＝，cos α＝. αr r的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要依照问题的实质情况对参数进行分类谈论．追踪训练1角α的终边上有一点P(24k,7k)， k≠0，求 sin α， cos α， tan α的值．种类二三角函数的图像与性质例2将函数 y＝ f(x)的图像向左平移 1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π倍，3尔后向上平移 1 个单位长度，获取函数y＝ 3sin x 的图像．(1)求 f( x)的最小正周期和递加区间；(2)假设函数 y＝ g(x)与 y＝ f(x)的图像关于直线 x＝ 2 对称，求当 x∈[0,1] 时，函数 y＝ g( x)的最小值和最大值．反思与感悟研究y＝ Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决．追踪训练2函数πf(x)＝ 3sin 2x＋ 6 的局部图像以以下图．(1)写出 f(x) 的最小正周期及图中 x0，y0的值；ππ(2)求 f( x)在区间－2，－12上的最大值和最小值．种类三三角函数的最值和值域命题角度1可化为y＝Asinωx＋φ＋k型π例 3求函数y＝－2sin(x＋6)＋3，x∈ [0，π]的最大值和最小值．反思与感悟利用 y＝ Asin(ωx＋φ)＋ k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．追踪训练 3函数ππy＝ asin(2x＋ )＋ b 在 x∈ [0， ] 上的值域为 [－5,1] ，求 a，b 的值．62命题角度 2可化为 sin x 或 cos x 的二次函数型π2例 4 |x|≤，求函数f(x)＝ cos x＋sin x 的最小值．4反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否那么极易出错．追踪训练 4函数 f(x)＝－ sin2x－asin x＋b＋ 1 的最大值为0，最小值为－ 4，假设实数a>0，求 a，b 的值．命题角度3分式型函数利用有界性求值域例 5 求函数 y＝2cos x＋1的值域．2cos x－ 1反思与感悟在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特色——有界性，利用三角函数的有界性能够求解三角函数的值域问题．追踪训练 5求函数 y＝3sin x＋1的最大值和最小值．sin x＋ 2种类四数形结合思想在三角函数中的应用例 6方程πm在 [0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围．sin(x＋ )＝32反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的向来，关于与方程解有关的问题以及在研究y ＝ Asin( ωx＋φ)(A＞ 0，ω＞ 0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想．追踪训练 6π π设函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数， A＞ 0，ω＞0)．假设 f(x)在区间 [，]62π2ππ上拥有单调性，且 f()＝f(3)＝－ f( )，那么 f( x)的最小正周期为 ________．263，那么 a 的值为 ()1．假设一个 α角的终边上有一点 P(－ 4，a) ，且 sin α·cos α＝ 4 A ． 4 3B ． ±4 34 3C ．－ 4 3或－ 3 D. 3 sin π－ αcos 2π－ α 31π 2． f(α)＝ cos － π－αtan α ，那么 f(－3)的值为 ()1 1 1 1 A.2 B ．－3 C ．－ 2 D. 33．函数 y ＝ |sin x|＋ sin|x|的值域为 ( )A ． [－ 2,2]B ． [ － 1,1]C ． [0,2]D ． [0,1]4．函数 f(x)＝ 2sin(ωx＋φ) ω＞0，－ π π＜ φ＜的局部图像以以下图， 那么 ω，φ的值分别是 ()2 2ππ π πA ．2，－ 3B ． 2，－ 6C ． 4，－ 6D ． 4，3217对所有 x ∈ R 恒成立，求实数 a 的取值范5．函数 f(x)＝－ sin x ＋ sin x ＋ a ，假设 1≤ f( x)≤4围．三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性获取函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获取函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．答案精析知识梳理y1． (1)正弦 sin α sin α＝ y (2)余弦 cos α cos α＝ x(3)正切 tan α tan α＝ x (x ≠ 0)π3． [－ 1,1][ －1,1] R 奇函数 偶函数 奇函数 2π 2π π ＋ 2k π2题型研究例1 －8追踪训练 1 解 当 k>0 时，令 x ＝24k ， y ＝ 7k ，那么有 r ＝ 24k 2＋ 7k 2＝25k ，∴ sin α＝ y r ＝ 257，cos α＝x r ＝ 2425， tan α＝ y x ＝ 247.当 k<0 时，令 x ＝24k ， y ＝7k ，那么有 r ＝－ 25k ，∴ sin α＝ y ＝－ 7 ， cos α＝ x ＝－24，tan α＝y ＝ 7.rx25r25 24例 2 解 (1) 函数 y ＝ 3 sin x 的图像向下平移 1 个单位长度得y ＝ 3sin x － 1，再将获取的图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍，获取 y ＝ π1 个单位 3sin x － 1 的图像， 尔后向右平移π 3长度，获取y ＝π πT ＝ 2π 3sin( x － 3 )－ 1 的图像， ∴ 函数 y ＝ f(x) 的最小正周期为＝ 6.3 π3π π π π 1≤ x ≤6k ＋ 5， k ∈ Z ，由 2k π－ ≤ x － ≤2k π＋ ， k ∈ Z ，得 6k －2 33222∴ 函数 y ＝ f(x)的递加区间是 [6 k －1， 6k ＋5] ， k ∈ Z .2 2(2)∵ 函数 y ＝g( x)与 y ＝ f(x)的图像关于直线 x ＝ 2 对称，∴ 当 x ∈ [0,1] 时， y ＝ g(x)的最值即为 x ∈ [3,4] 时， y ＝ f( x)的最值．π π 2π∵ 当 x ∈ [3,4] 时， x － ∈ [， π]，333π π 3 ]，∴ sin( x －3 )∈[0，23∴ f(x) ∈[ －1， 12]．∴ 当 x ∈ [0,1] 时， y ＝ g(x)的最小值是－ 1，最大值为 12.7π追踪训练 2 解 (1) f(x)的最小正周期为π，x 0＝， y 0＝ 3.6(2)因为 x ∈ π ππ－5π π π － ，－ ，因此 2x ＋ ∈， 0 ，于是，当 2x ＋ ＝ 0，即 x ＝－时， f(x)2 1266612π π π获取最大值 0；当 2x ＋ 6＝－ 2，即 x ＝－ 3时， f(x)获取最小值－ 3.例 3 解 ∵ x ∈ [0， π]，π π 7π∴ x ＋ ∈[ ，666 ]，π∴ －1≤ sin(x ＋)≤ 1.26π π当 sin(x ＋ )＝ 1，即 x ＝ 时， y 获取最小值 1.63π 1 获取最大值 4.当 sin(x ＋ )＝－，即 x ＝ π时， y62∴ 函数 y ＝－ 2sin(x ＋π， π]的最大值为 4，最小值为 1.)＋ 3， x ∈[06追踪训练 3解π∵ x ∈ [0，] ，2 π ππ．∴ 2x ＋ ∈ [6 ， 7π]，sin(2x ＋ )∈ [－ 1， 1]6662a ＋b ＝ 1，∴ 当 a ＞ 0 时， － a ＋ b ＝－ 5，2a ＝ 4，解得b ＝－ 3；当 a ＜0 时，－a2＋ b ＝ 1，a ＋b ＝－ 5，a ＝－ 4， 解得b ＝－ 1.∴ a ，b 的取值分别是 4，－ 3 或－ 4，－ 1.例 4解y ＝ f(x)＝ cos 2 x ＋ sin x ＝－ sin 2 x ＋sin x ＋ 1.π 令 t ＝ sin x ， ∵ |x|≤ ，422∴ － 2 ≤ sin x ≤ 2.21 25 2 2那么 y ＝－ t ＋ t ＋ 1＝－ (t － ) ＋ (－≤ t ≤2)，2 42∴ 当 t ＝－π)2＋ 5＝1－ 2.2，即 x ＝－ 时， f(x)有最小值，且最小值为－ (－ 2－122 42 24追踪训练 4 解 令 t ＝ sin x ，那么g(t) ＝－ t 2－ at ＋ b ＋ 12＝－ t ＋ a 2＋ a＋ b ＋ 1，2 4且 t ∈ [－ 1,1] ．依照对称轴 t 0＝－ a2与区间 [ －1,1] 的地址关系进行分类谈论．a① 当－ ≤ － 1，即 a ≥ 2 时， y max ＝ g － 1 ＝ a ＋ b ＝ 0，y min ＝g 1 ＝－ a ＋ b ＝－ 4，a ＝ 2， 解得b ＝－ 2.a② 当－ 1< － 2<0 ，即 0<a<2 时，y max ＝g －a2＝ a＋b ＋ 1＝ 0，2 4y min ＝ g 1 ＝－ a ＋b ＝－ 4，a ＝ 2， a ＝－ 6， (舍 )，解得(舍 )或b ＝－ 2b ＝－ 10综上所述， a ＝ 2， b ＝－ 2.2例 5解 方法一 原函数变形为 y ＝ 1＋，2cos x －1∵ |cos x|≤ 1，∴ － 3≤ 2cos x － 1≤ 1 且 2cos x － 1≠0，2∴≥ 2 或 2cos x － 122cos x － 1≤ －2，3那么函数的值域为{ y|y ≥ 3 或 y ≤13} ．方法二原函数变形为 cos x ＝y ＋ 1，2 y － 1∵ |cos x|≤ 1，∴ | y ＋ 1 |≤1 且| y ＋ 1 |≠ 1，2 y － 1 2 y － 1 21∴ 函数的值域为 { y|y ≥ 3 或 y ≤ 3} ．追踪训练 5 解y ＝ 3sin x ＋ 1sin x ＋ 2＝ 3 sin x ＋ 2 ＋ 1－ 6＝ 3－5sin x ＋ 2sin x ＋ 2.∵ － 1≤ sin x ≤1， ∴ 当 sin x ＝1 时，54y max ＝ 3－ ＝ ，当 sin x ＝－ 1 时，y min ＝ 3－5 ＝－ 2，－1＋ 2 ∴ 函数 y ＝ 3sin x ＋ 1的最大值为 4，最小值为－ 2.sin x ＋ 23例 6 解ππ m， π]上有两函数 y ＝ sin(x ＋)， x ∈ [0，π]的图像以以下图，方程sin(x ＋ )＝ 在 [03 3 2个解等价于函数π[0，π]上有两个不同样y 1＝ sin(x ＋ )， y 2＝ m在同一平面直角坐标系中的图像在3 23 m 的交点，因此2 ≤2＜1，即 3≤ m ＜ 2.追踪训练 6π当堂训练1．5． 解 令 t ＝ sin x ，那么 t ∈ [ － 1,1]，2＝－ (t － 1)2＋ a ＋ 1.2 4当 t ＝ 1 时， f(t)max ＝ a ＋ 1，2 4即 f(x)max ＝ a ＋ 1；4当 t ＝－ 1 时， f(t)min ＝ a － 2，即 f(x)min ＝a － 2.1故函数 f(x)的值域为 [a － 2， a ＋ ]．a ＋ 1≤17，因此4 4解得 3≤a ≤ 4.a － 2≥ 1，故实数 a 的取值范围为 [3,4] ．只要我们坚持了，就没有战胜不了的困难。

(北师大版)数学必修4全套教案§1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。

过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。

情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。

难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。

三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。

在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。

并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。

教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。

众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。

再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。

所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。

(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。

请你举出生活中存在周期现象的例子。

（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

章末复习课网络构建核心归纳1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一 任意角的三角函数的定义有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．【例1】已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ，tan θ的值．解(1)当m＝0时，θ＝2kπ±π2，k∈Z；当θ＝2kπ＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2kπ－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.(3)当θ在第一、二象限时，sin θ＝1－m2，tan θ＝1－m2 m.(4)当θ在第三、四象限时，sin θ＝－1－m2，tan θ＝－1－m2 m.【训练1】已知角θ的终边经过点P(－3，m) (m≠0)且sin θ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．解由题意，得r＝3＋m2，所以sin θ＝m3＋m2＝24m.因为m≠0，所以m＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153； 当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.要点二 诱导公式的应用(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”． (2)对于π2±α记忆为“函数名改变，符号看象限”． 注意：①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化． ②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号． ③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若 f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________． 解析 (1)1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0，故原式＝sin θ－cos θ.(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案 (1)A (2)1【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解 (1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α ＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54. 要点三 三角函数的图像及变换1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π，2π.2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．。

7.3正切函数的诱导公式内容要求1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式π2±α，π±α数的诱导公式(难点)．知识点1正切函数的诱导公式函数角y ＝tan x 记忆口诀k π＋αtan α函数名不变，符号看象限2π＋αtan α－α－tan απ－α－tan απ＋αtan απ2＋α－cot α函数名改变，符号看象限π2－αcot α【预习评价】1．下列诱导公式中错误的是()A．tan(π－α)＝－tan αB．cos π2＋α＝sin αC．sin(π＋α)＝－sin αD．cos(π－α)＝－cos α答案B2．tan 3π2＋α)A．－cot αB．cot αC．tan αD．－tan α答案A题型一三角函数间关系的应用【例1】已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，y )，且tan α＝－43.(1)求sin α＋cos α的值；(2)求sinπ－α＋2cosπ＋αsin 3π2－α－cos 3π2＋α的值．解(1)因为tan α＝y 3＝－43，所以y ＝－4，则r ＝5.∴sin α＝－45，cos α＝35，则sin α＋cos α＝－15.(2)原式＝sin α－2cos α－cos α－sin α＝tan α－2－1－tan α＝－43－2－1＋43＝－10313＝－10.规律方法三角函数之间关系的应用利用三个三角函数之间的关系：tan α＝sin αcos α进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．【训练1】已知α为第二象限角，且tan α－1tan α＝154，求sin π2＋α－sinπ＋αsin π2－α－sinπ－α的值．解由tan α－1tan α＝154，得4tan 2α－15tan α－4＝0，得tan α＝－14或tan α＝4.又α为第二象限的角，所以tan α＝－14.故sin π2＋α－sinπ＋αsin π2－α－sinπ－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝35.题型二利用诱导公式求值【例2】求以下各式的值：(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；(2)tan 225°＋tan 750°tan －30°－tan －45°.解(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan180°＋45°＋tan 2×360°＋30°－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.规律方法(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．【训练2】(1)tan 476π＋tan －316π)A．－33B．0C.233D．－233(2)若f (x )＝tan x ，则f (600°)的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析(1)tan 476π＋tan－31π6＝tan7π＋56π＋tan －5π－π6＝tan 5π6－tanπ6＝－33－33＝－233，故选D.(2)f (600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝ 3.答案(1)D(2)C方向1化简【例3－1】(1)化简：tan 540°－αtan α－270°tan α＋180°tan α－180°tan 810°＋αtan －α－360°；(2)若a ＝cos α＋πsin 23π＋αtan 4π＋αtanπ＋αcos 3－α－π，求a 2＋a ＋1的值．解(1)tan 540°－αtan α－270°tan α＋180°tan α－180°tan 810°＋αtan －α－360°＝tan －αtan α－90°tan αtan αtan 90°＋αtan－α＝－tan α－cot αtan αtan α－cot α－tan α＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1(2)a ＝cos α＋πsin 23π＋αtan4π＋αtanπ＋αcos 3－α－π＝－cos αsin 2αtan α·tan α－cos 3α＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α·－cos 3α＝－cos 3αsin 2αsin 2α－cos 3α＝1，∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.方向2证明【例3－2】tan2π－αcos 3π2－αcos 6π－αsin α＋3π2cos α＋3π2＝－tan α.证明左边＝tan －α·－sin α·cos －αsin 2π－π2－α·cos 2π－π2－α＝－sin α·－sin αsin －π2－αcos －π2－α＝sin 2α－sin π2－αcos π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝sin α－cos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．方向3化简并求值【例3－3】已知α是第三象限角，且f (α)＝sin －α－πcos 5π－αtan 2π－αcos π2－α－α－π.(1)化简f (α);(2)若tan(π－α)＝－2，求f (α)的值;(3)若α＝－120°，求f (α)的值．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解(1)f (α)＝sin －α－πcos 5π－αtan 2π－αcos π2－α－α－π＝sin α－cos α－tan αsin α－tan α＝－cos α.(2)因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α，所以(2cos α)2＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15.因为α是第三象限角，所以cos α＝－55，所以f (α)＝55.(3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－12，所以f (α)＝－cos α＝12.规律方法1.三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．2．三角恒等式的证明策略在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．课堂达标1．tan 300°＋sin 450°的值为()A．1＋3B．1－3C．－1－3D．－1＋3解析tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3.答案B2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是()A．α为锐角B．α为不等于π2的任意角C．α为任意角D．α≠k π＋π2(k ∈Z )解析由正切函数的定义可知α≠k π＋π2(k ∈Z )．答案D3．已知tan π4＋α＝32，则tan 3π4－α解析3π4－α＝tan π－π4＋α＝tan －π4＋α＝－tan π4＋α＝－32.答案－324．tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π5的值为________．解析原式＝tan π5＋tan 2π5＋tanπ－2π5＋tan π－π5＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π5＝0.答案5．已知角α的终边经过点P (4，－3)，(1)求sin α，cos α，tan α的值;(2)求sin π2－αsinπ＋α·tanπ－αcos α＋π的值．解(1)因为r ＝42＋－32＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.(2)sin π2－αsinπ＋α·tanπ－αcos α＋π＝cos α－sin α·－tan α－cos α＝－tan αsin α＝－－34－35＝－54.课堂小结(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k ·π2±α中，如果k 为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k ·π2±α所在的象限．(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．特别提醒应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.基础过关1．tan 31π3的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析tan 31π3＝tan10π＋π3＝tan π3＝ 3.答案C2．已知角α终边上有一点P (5n,4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是()A．－45B．－35C．±35D．±45解析∵角α终边上有一点P (5n,4n )，∴tan α＝45，tan(180°－α)＝－tan α＝－45.答案A3．已知tan(－80°)＝k ，那么tan 100°的值是()A．－kB．kC.k1－k2D.－k 1－k2解析tan(－80°)＝－tan 80°＝k ，则tan 80°＝－k .tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k .答案B4．函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋2，且f (－3)＝5，则f (3)等于________．解析∵f (－3)＝a sin(－6)＋b tan(－3)＋2＝5，∴－a sin 6－b tan 3＝3，即a sin 6＋b tan 3＝－3.∴f (3)＝a sin 6＋b tan 3＋2＝－3＋2＝－1.答案－15．已知tan 2π3－α＝33，则tan 4π3＋α解析4π3＋α＝tan 2π－2π3－α＝－tan 2π3－α＝－33.答案－336．求下列各式的值：(1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1200°)tan 19π6－cos 585°tan－37π4解(1)原式＝sin π4cos2π＋7π6tan 5π＋π4＝22cos 7π6tan π4＝22cosπ＋π6＝22－cosπ6＝－22×32＝－64.(2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan 3π＋π6－cos(360°＋225°)－tan37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4＝－sin 60°－22＝－3＋22.7．已知角α的终边与单位圆交于点32，－12试求sin 2π－αtanπ＋αtan π2＋αtan －αtan π2－α－αtan3π－α的值．解原式＝－sin α·tan α·－cot α·－tan αcot α·－cos α·－tan α＝－sin α·tan αcos α＝－tan 2α.∵角α的终边与单位圆交于点32，－12，∴tan α＝－33.∴原式＝－13.能力提升8．已知tan(π－α)＝－12，则cos π2＋α＋cos α2cos α－sin α的值是()A.15 B.13C.35D．1解析由tan(π－α)＝－12得tan α＝12.∴cos π2＋α＋cos α2cos α－sin α＝－sin α＋cos α2cos α－sin α＝－tan α＋12－tan α＝13.答案B9．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为()A．1B．－1C．2D．－2解析原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)＝cot(63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]＝－1.答案B10．已知tan(π－x )＝13，则tan(x －3π)＝________.解析由tan(π－x )＝13，知tan x ＝－13，故tan(x －3π)＝－tan(3π－x )＝－tan(π－x )＝tan x ＝－13.答案－1311．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.解析由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.答案－212．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin－α－32πcos 32π－αcos π2－αsin π2＋α·tan 2(π－α)的值．解方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin －α－32πcos 32π－αcos π2－αsin π2＋α·tan 2(π－α)＝sin π2－α·cos π2＋αsin α·cos α·tan 2α＝cos α·－sin αsin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.13．(选做题)设tan α＋8π7a ，求sin 15π7＋α＋3cos α－13π7sin 20π7－α－cos α＋22π7的值．解原式＝sin π＋α＋8π7＋3cos －3π＋α＋8π7sin 4π－α＋8π7－cos 2π＋α＋8π7＝－sin α＋8π7－3cos α＋8π7－sin α＋8π7－cos α＋8π7＝tan α＋8π7＋3tan α＋8π7＋1＝a ＋3a ＋1.。