初中数学知识点投影与视图：平行投影定义及特点

初中数学什么是平行投影平行投影是指将三维物体的每个点沿着平行于某个方向的直线投射到一个平行于该方向的平面上的过程。

在平行投影中，被投影物体的大小和形状在投影平面上保持不变。

平行投影是数学中一种常见的投影方法，广泛应用于制图、工程设计、计算机图形学等领域。

下面我们将详细介绍平行投影的原理、方法和应用。

平行投影的原理：平行投影的原理基于以下两个关键概念：平行线和投影平面。

1. 平行线：平行投影中，物体的每个点沿着平行于某个方向的直线投射到投影平面上。

这些投射线都是平行的，即它们具有相同的斜率或方向。

2. 投影平面：投影平面是指物体投影到的平行于某个方向的平面。

投影平面可以是水平的、垂直的或倾斜的，具体取决于投影方向和所需的投影效果。

平行投影的方法：根据投影平面的不同，平行投影可以分为正交投影和斜投影两种方法。

1. 正交投影：正交投影是指将三维物体的每个点沿着垂直于投影平面的直线投射到投影平面上。

在正交投影中，投影线与投影平面垂直，被投影物体在投影平面上的大小和形状与实际物体相同。

正交投影通常用于制图和工程设计中。

2. 斜投影：斜投影是指将三维物体的每个点沿着与投影平面不垂直的直线投射到投影平面上。

在斜投影中，投影线与投影平面不垂直，被投影物体在投影平面上的大小和形状与实际物体不同。

斜投影通常用于绘画和计算机图形学中。

平行投影的应用：平行投影在各个领域都有广泛的应用。

1. 制图和工程设计：平行投影常用于制图和工程设计中，如建筑设计、机械制图等。

通过正交投影，可以准确地表示物体的大小、形状和位置关系，方便工程师进行设计和制造。

2. 计算机图形学：平行投影在计算机图形学中有着重要的应用。

通过斜投影算法，可以将三维物体投影到二维平面上，生成逼真的三维图像。

这在电影、游戏和虚拟现实等领域中具有重要意义。

3. 几何学研究：平行投影在几何学研究中也发挥着重要作用。

通过平行投影，可以研究和分析图形的性质、形状以及它们之间的关系。

投影与视图知识点总结投影与视图是工程图学中的重要内容，是工程师进行设计与制造的基础。

下面是投影与视图的知识点总结。

一、投影的定义与种类1. 投影是将三维实体在二维画面上的投影。

2. 投影分为平行投影和透视投影两种。

平行投影是物体在无穷远处时的投影，保持物体形状和大小不变，适用于工程制图中的多视图投影。

透视投影是通过模拟人眼的透视原理，使物体在近处大远处小，用于绘制逼真的效果图。

二、主视图与副视图1. 主视图是从物体六个主要方向观察并绘制的视图。

2. 副视图是从物体其它非主要方向观察并绘制的视图。

3. 任何物体至少需要主视图和一个副视图来完整表示。

三、视图的投影规律1. 视图的投影规律是指根据物体的几何特性，确定其视图的位置、大小及间隔等规律。

2. 正投影规律：物体的投影与视图同侧，上投下，前投后，左投右。

3. 在主视图、俯视图和立体图中，物体的主要特征线分别为前、上、左三个面上的轮廓线。

四、视图的基本要求1. 视图的大小适中，方便观察和绘制。

2. 视图之间的间距要均匀，以突出主要的特征和轮廓线。

3. 视图应尽量减少折角，直线尽量不折断。

五、视图的选择原则1. 选择平易近人的主视图。

2. 主视图要选主要面直接对称的视图。

3. 选择于构造、加工、检验方便的视图。

4. 尽量选择存在完整轮廓线的视图。

六、常见视图1. 正投主视图：从正前方观察物体并绘制的视图。

2. 俯视图：从物体的上方直接向下观察并绘制的视图。

3. 阜视图：从物体的左前方斜向观察并绘制的视图。

4. 左视图：从物体的左侧观察并绘制的视图。

5. 右视图：从物体的右侧观察并绘制的视图。

七、主视图与副视图的绘制方法1. 主视图绘制方法：a. 确定主视图的位置，主视图应水平或竖直地绘制在图纸上。

b. 根据主视图的投影规律，绘制主视图的轮廓线。

c. 绘制主视图上的特征线、尺寸和字体。

2. 副视图绘制方法：a. 根据几何原理，确定副视图的位置和大小。

初中数学立体图形的投影有哪些种类立体图形的投影有多种类型，下面将详细介绍常见的立体图形投影种类及其特点。

1. 平行投影：平行投影是将立体图形在平行投影平面上投影的一种方法。

在平行投影中，投影线与投影平面平行，保持了立体图形的形状和大小不变。

平行投影常见的类型有水平投影和垂直投影。

-水平投影：将立体图形在水平投影平面上的投影表示。

水平投影平面与水平面平行，可用于绘制建筑平面图、地图等。

-垂直投影：将立体图形在垂直投影平面上的投影表示。

垂直投影平面与竖直面平行，常用于绘制柱体、棱柱等图形的投影。

2. 透视投影：透视投影是将立体图形在透视投影平面上投影的一种方法。

在透视投影中，投影线汇聚到一个点，即透视中心。

透视投影能够呈现出逼真的立体感。

-单点透视投影：将立体图形在单点透视投影平面上的投影表示。

透视投影平面与图形所在平面垂直，透视中心位于水平方向上的中心位置。

单点透视投影常用于绘画、建筑设计等领域。

-双点透视投影：将立体图形在双点透视投影平面上的投影表示。

透视投影平面与图形所在平面垂直，透视中心位于水平方向上的两个点。

双点透视投影常用于绘制建筑物、室内设计等。

3. 立体视图：立体视图是将立体图形在三个相互垂直的投影平面上的投影表示。

立体视图包括前视图、俯视图和侧视图。

-前视图：将立体图形在正面投影平面上的投影表示。

前视图能够清晰地显示出立体图形的形状和尺寸。

-俯视图：将立体图形在上方投影平面上的投影表示。

俯视图能够展示出立体图形的平面形状和布局。

-侧视图：将立体图形在侧面投影平面上的投影表示。

侧视图能够展示出立体图形的高度和厚度。

立体图形的投影种类多样，每种投影方法都有其特点和应用领域。

通过选择合适的投影方法和投影平面，可以准确地表示立体图形在二维投影平面上的形状和尺寸。

投影与视图；一．投影：1.光源点光源：像手电筒、路灯、台灯都可以看成一个点光源。

平行光源：太阳光可以看成是一个平行光源2.概念定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

（1）平行投影：由平行光线（太阳的光线是平行光线）形成的投影。

（2）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。

（3）两者区别与联系：区别光线物体与投影面平行联系时的投影平行投影平行的投射线全等都是物体在光线的照射下，在某中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换)个平面内形成的影子。

(即都是投影)3.投影知识点：测量同一时刻物体的高度和影长时：①若两物体的高度之比等于影长之比时，则这两个物体的影子是平行投影。

②若两物体的高度之比不等于影长之比时，则这两个物体的影子是中心投影4.投影的性质：①将两个等高物体垂直于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较短，反之则越长。

②将两个等高物体平行于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较长，反之则越短。

5．易错题整理：1）直线的平行投影一定是直线（×）原因：2）矩形的投影一定是矩形（×）原因：3）一个圆在平面上的投影一定是圆。

（×）原因：二．视图：1.概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。

2.分类：视图有：主视图、左视图、俯视图3.正方体的主要视图及展开：正方体的展开图有11种：1）1-4-1型：6种 2）2-3-1型：3种3）2-2-2型：1种 4） 3-3 型：1种4.看视图确定物体有多少正方体组成：在俯视图中画圈标注法，取较小数值的和。

九年级数学投影知识点总结投影是数学中的一个重要概念，它在几何学、代数学等领域有广泛的应用。

在九年级数学学习中，投影是一个重要的知识点。

本文将对九年级数学中的投影相关知识进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

一、投影的概念投影是指一个物体在垂直于某个平面上的阴影或者影子。

在几何学中，投影常常被用来描述一个物体在不同维度、不同方向上的视觉效果。

二、平行平面的投影当一个物体平行于投影面时，其投影与物体在平面上的形状和大小相等，且形状保持不变。

这是因为平行投影不改变物体的形状，只改变其大小。

三、垂直投影垂直投影是指物体在垂直于投影面的方向上的投影。

对于一个立体物体，其在垂直投影中的形状和大小可能与实际物体有所不同。

在垂直投影中，物体的各个部分可能相互重叠，导致投影形状的变化。

四、平面图形在不同视图中的投影在九年级数学中，学生需要了解并应用关于平面图形在不同视图中的投影。

通过投影的概念，可以将三维空间中的图形投影到二维平面上。

这样，我们可以更方便地观察和研究图形的性质。

五、平行投影与透视投影的比较平行投影和透视投影是两种常见的投影方法。

平行投影是指从无穷远处以平行的方向投射光线，将物体投影到平面上。

透视投影是指从一个点出发，将物体投影到平面上。

平行投影保持物体的形状和大小，而透视投影会产生空间感和立体感。

六、投影的应用投影在日常生活和科学研究中有广泛的应用。

在建筑设计中，投影可以帮助设计师预测建筑物在不同时间和位置的阴影。

在地图制作中，投影可以帮助我们将地球表面的曲面投影到平面上，使得地图更易于理解和使用。

七、投影的数学表示对于一个三维空间内的点，我们可以使用向量来表示其投影点的坐标。

通过向量的运算，我们可以计算出点在某个平面上的投影点坐标。

八、综合问题解析在九年级数学中，投影也常常出现在综合问题中。

通过理解和掌握投影的相关知识，同学们可以更好地解决各种数学问题，特别是几何问题。

九、小结投影是九年级数学中的一个重要知识点，它在几何学和代数学中有广泛的应用。

第二十九章投影与视图投影第1课时平行投影与中心投影教学目标【知识与技能】1.经历实践探索，了解投影、平行投影和中心投影的概念；2.了解平行投影和中心投影的区别.【过程与方法】经历观察、思考的过程，感受生活中的投影广泛存在着，从中体会平行投影与中心投影的联系和区别.【情感态度】使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学应用意识.【教学重点】掌握投影的含义，体会中心投影与平行投影的联系和区别.【教学难点】中心投影与平行投影的联系与区别.教学过程一、情境导入，初步认识物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子.请观察下面三幅图片，感受日常生活中的一些投影现象，并引入教材练习以加深理解.二、思考探究，获取新知一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.有时光线是一组互相平行的射线，如太阳光或探照灯光的一束光中的光线.由平行光线形成的投影是平行投影，例如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影.由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，如物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.如图所示的是三角尺在灯光（点光源）下的投影.由此可以看出点光源下物体的投影是物体的放大图形，这两个图形是位似图形.【思考】如何判断一个物体的投影是平行投影还是中心投影呢？【教学说明】学生间相互交流，进一步体验平行投影和中心投影的关系.【归纳结论】如果投影与物体的对应点连线互相平行，则此时的投影是平行投影，如果对应点的连线交于一点，则此时的投影为中心投影.三、典例精析，掌握新知(2) 当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？（3）在(2)的情况下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为和1m，那么你能求出甲木杆的高度吗?例2 请举出生活中的投影现象，说说它们是平行投影还是中心投影？【教学说明】本环节的两个问题都可让学生自主探究或相互交流.教师巡视指导，听取学生的观点,加深对知识的理解.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获？你还有什么疑问？【教学说明】师生共同回顾本节知识，在相互交流中巩固新知.当堂测评2. 下面属于中心投影的是 ( )A. 太阳光下的树影B. 皮影戏C. 月光下房屋的影子D. 海上日出3. 晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是( )A. 先变短后变长B. 先变长后变短C. 逐渐变短D. 逐渐变长4. 小玲和小芳两人身高相同，两人站在灯光下的不同位置，已知小玲的影子比小芳的影子长，则可以判定小芳离灯光较______.（填“远”或“近”） .5.小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察广场的旗杆随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻广场的旗杆在地面上的影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为-----综合应用：如图，路灯（P点）距地面8米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点沿OA所在的直线行走14米到B点时，影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？教学反思本课时通过引入具体情境，让学生感受平行投影与中心投影的特征，进而探讨中心投影与平行投影的区别与联系，这进一步发展了学生的抽象概括能力.。

投影与视图一、中心投影1.定义：从一个点发出的光线形成的投影称为中心投影。

2.性质：（1）图形中的两个三角形相似；（2）物体上的点，影子上的对应点及光源在一条直线上。

3.特点：（1）等高物体垂直地面放置：①离点光源越近，影子越短；②离点光源越远，影子越长。

（2）等长物体平行地面放置：①离点光源越近，影子越长；②离点光源越远，影子越短4.作图方法：（1）物体上的点和影子上的对应点的连线交于同一点，这点即为光源；（2）过光源和物体的顶端作一条直线与投影面的交点与物体底端的线段就是影长。

二、平行投影1.定义：平行光线形成的投影称为平行投影。

当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影2.一天中影子移动方向：正西到正北到正东三、视图1.三视图包括：主视图、左视图、俯视图。

注：在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线；用尺子准确量出长度画图.2.三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。

注意：在画物体的三视图时，对看得见的轮廓线用实线画出，而对看不见的轮廓线要用虚线画出。

在三种视图中，主视图反映的是物体的长和高、俯视图反映的是物体的长和宽、左视图反映的是物体的宽和高.因此，在画三视图时，对应部分的长要相等。

一．中心投影定义1.中心投影的光线是( )A.平行的B.聚成一点的C.不平行的D.向四面八方发散的2.如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（）A.越长B.越短C.一样长D.随时间变化而变化3.下列投影中，是中心投影的是（）4.同一灯光下两个物体的影子可以是（）A．同一方向B．不同方向C．相反方向D．以上都有可能5.下列结论正确的有( )①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的；②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的；③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关；④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关．A．个B．个C．个D．个6.某舞台的上方共挂有a，b，c，d四个照明灯，当只有一个照明灯亮时，一棵道具树和小玲在照明灯光下的影子如图所示，则亮的照明灯是（）A．a灯B．b灯C．c灯D．d灯7.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）A. 越来越小 B ．越来越大 C ．大小不变 D ．不能确定二．中心投影相关求长度1. 身高相同的甲、乙两人分别距同一路灯2米、3米，路灯亮时，甲的影子比乙的影子________（填“长”或“短”）2. 如图，小芸用灯泡O 照射一个矩形相框ABCD ，在墙上形成影子''''D C B A ．现测得 OA=20cm ，cm OA 50' ，相框ABCD 的面积为 80cm 2，则影子''''D C B A 的面积为_______．3. 小明在晚上由路灯A 走向路灯B ，当他走到P 处时，发现身后影子顶部正好触到路灯A 底部，当他再向前步行12米到达Q 时，发现影子的顶点正好接触到路灯B 的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6m ，且AP=BQ=x 米.(1) 求两个路灯之间的距离；(2) 小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由．4. 如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．三．中心投影相关作图1.路灯下站着小赵、小芳、小刚三人，小芳和小刚的影长如图，确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．2.学习投影之后，小刚、小雯利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，如图，在同一时间，身高为1.6m的小刚（AB）的影子BC长3m，而小雯（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．(1) 请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G．(2) 求路灯灯泡的垂直高度GH．(3) 如果小刚沿线段BH向小雯（点H）走去，当小明走到BH中点'B处时，求其影子''CB的长．3.如图，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他在某一灯光下的影子为DA，继续按此速度行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子落在其身后的线段DF上，测得此时影长MF为1.2米；然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H,他在同一灯光下的影子恰好是HB，图中线段CD,EF,GH表示小明的身高.（1）请在图中画出小明的影子MF；（2）若A,B两地相距12米，则小明原来的速度为.四．灯光下影子变化情况1.如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（）.A. 逐渐变短B. 逐渐变长C. 先变短后变长D. 先变长后变短2.小红和小花在路灯下的影子一样长，则她们的身高关系是（）A．小红比小花高B．小红比小花矮C．小红和小花一样高D．不确定3.小强的身高和小明的身高一样，那么在同一路灯下（）A．小明的影子比小强的影子长B．小明的影子比小强的影子短C．小明的影子和小强的影子一样长D．无法判断谁的影子长4.如图所示，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B处直走到点A处时，小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是（）A．B． C．D．5.我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B ，他与路灯C 的距离y 随他与点A 之间的距离x 的变化而变化．下列函数中y 与x 之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（ ）A. y=x B ．y=x+3 C ．x y 3 D ．y=(x-3)2+3 6.如图，路灯（P 点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O 点）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？五．平行投影定义及性质1.下列光线所形成是平行投影的是（ ）A ．太阳光线B ．台灯的光线C ．手电筒的光线D ．路灯的光线2.如图的Rt △ABC 绕直角边旋转一周，所得几何体的正投影是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．圆3.（五育月考）在一个晴朗的上午，乐乐拿着一块长方形木板在地面上形成的投影中不可能的是（ ）4.太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（ ）A ．与窗户全等的矩形B ．平行四边形C ．比窗户略小的矩形D ．比窗户略大的矩形5.圆形的物体在太阳光的投影下是（ ）A ．圆形B ．椭圆形C ．线段D ．以上都有可能6.如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（）A.B．C．D．7.把一个正六棱柱如右图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（）六．阳光下影子变化情况1.在阳光照射下的升旗广场的旗杆从上午九点到十一点的影子长的变化规律为（）A．逐渐变长B．逐渐变短C．影子长度不变D．影子长短变化无规律2.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（）A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③3.小华在上午8时，上午9时，上午10时，上午12时四次到室外的阳光下观察向日葵影子的变化情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（）A．上午8时B．上午9时C．上午10时D．上午12时4.(12月志达月考）6．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是（）A.①②③④B.④①③②C.④②③①D.④③②①5.如图：公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD．数学老师杨柳上午上学时发现高1米的木棒的影子为2米，此时路灯B在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处．（1）在图中画出杨老师的位置，并画出光线，标明（太阳光、灯光）．（2）杨老师身高为1.5米，他离里程碑E恰5米，求路灯高．6.如图（1）中间是一盏路灯，周围有一圈栏杆，图（2）（3）表示的是这些栏杆的影子，但没有画完，请你把图（2）（3）补充完整.七．与平行投影有关作图与计算1.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，请你计算DE的长．2. 某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上，（1）你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；（2）若AB=6米，CB=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长．3.（17-18期末）花园的护栏由木杆组成，小明以其中三根等高的木杆为观测对象，研究它们影子的规律。