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从而级数 an x 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n n 0
( 3) 如果 ,
n 级数 a x x 0, n 必发散. n 0
(否则由定理1知将有点x 0使 | an x | 收敛 )
n
收敛半径 R 0.
n 0
定理证毕.
求下列幂级数的收敛区间: n x ( 2) ( nx )n ; (1) ( 1)n ; n n 1 n 1
(3) 除法
n a x n n b x n n 0 n 0
(收敛域内 bn x n 0)
n 0
cn x . (相除后的收敛区间比原来
n n 0
两级数的收敛区间小得多)
2.和函数的分析运算性质:
(1) 幂级数
n a x n 的和函数s( x ) 在收敛区间 n 0
例如级数
n 2 x 1 x x , n 0
2.收敛点与收敛域:
如果 x 0 I ,数项级数 un ( x0 ) 收敛,
则称 x0 为级数 un ( x ) 的收敛点, 否则称为发散点.
n 1
n 1
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
收敛区间( , ) .
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim 2 n a n n 1 n
1 R , 2
1 1 即 x 收敛, 2 2
x (0,1)收敛,
当x 0时,
n1
所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数:
x 的函数s( x ) , 在收敛域上,函数项级数的和是 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (定义域是?)
函数项级数的部分和 s n ( x ), 余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
柯 西 乘 积
1 a0 b0
a1b0
a2 b0 a3 b0
x a0 b1
x2 x3 a0 b2 a0 b3
a1b3 a2 b3
a1b1 a1b2 a2 b1 a2 b2
a3 b1 a3 b2 a3 b3
1 (1) 当 1, 1 x 1, 1 x
即 x 0或x 2时,
原级数绝对收敛.
1 ( 2) 当 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时,
原级数发散.
(3) 当 | 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时,
当 x R 时,幂级数绝对收敛;
当 x R 时,幂级数发散;
当 x R与x R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
( R, R ), [ R, R ), ( R, R],
规定
[ R, R].
(1) 幂级数只在x 0 处收敛,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x x 0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何说明 收敛区域 发散区域
R
o
R
发散区域
x
推论
如果幂级数
an x n 0
n
不是仅在 x 0 一点收敛, 也
不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定 的正数 R 存在,它具有下列性质:
n 1
1 , 2
级数发散,
1 当x 2时, 级数为 , 级数发散, n1 2
原级数的收敛区间为 ( 2 , 2 ).
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
设 an x n和 bn x n的收敛半径各为 R1和R2 ,
R minR1 , R2
(1) 加减法
n 0
该级数收敛 该级数发散
故收敛区间是( 1,1] .
( 2) ( nx )n ;
lim n an lim n , R o, n n
级数只在 x 0 处收敛,
n 1
xn ( 3) ; n 1 n!
1 a n 1 lim 0, R , lim n n 1 n a n
n 0
x
0
a n n 1 x . a n x dx n 0 n 1
n
(收敛半径不变)
(3) 幂级数 a n x 的和函数s( x ) 在收敛区间
n
( R, R ) 内可导, 并可逐项求导任意次.
n 0
即 s( x ) ( 1 故 s( ) 8. n 2 2 n1
常用已知和函数的幂级数
1 n (1) x ; 1 x n 0 ( 3) ax
当x 1时,
1 级数为 , n1 n ( 1) n 级数为 , n n 1
发散 收敛
故收敛区间为(0,1].
x 2 n 1 例 3 求幂级数 n 的收敛区间. n 1 2 x x3 x5 解 级数为 2 3 缺少偶次幂的项 2 2 2
应用达朗贝尔判别法
( R, R ) 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
(2) 幂级数
n a x n 的和函数s( x ) 在收敛区间 n 0
( R, R ) 内可积,且对x ( R, R ) 可逐项积分.
即 s( x )dx ( a n x )dx
x x n 0 0 n 0
n n n
n
( n 0,1,2,)
n n
x x x n a n x a n x0 n a n x0 M x0 x0 x0
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0
n
an x n 收敛, 即级数 an x n收敛;
n 0 n 0
(2) 假设当x x0时发散,
n 1 na x (a n x ) n .
n
n 0
n 1
(收敛半径不变)
例 4 求级数
n1 ( 1 ) n1
xn 的和函数. n
n
x 显然 s(0) 0, , 解 s( x ) ( 1) n n 1 1 2 s ( x ) 1 x x , ( 1 x 1) 1 x
R 0,
收敛区间 x 0 ;
(2) 幂级数对一切x 都收敛,
R , 收敛区间( , ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理 2 如果幂级数
n a x n 的所有系数an 0 , n 0
1 (1) 则当 0 时, R ; (2) 当 0 时,R ; (3) 当 时,R 0 .
从而级数 an x n绝对收敛.
n 0
n 0 n n 1 n 并且从某个n开始 | an1 x || an x |, | an x | 0
从而级数 an x 发散.
n n 0
当 | x |
1
n 0
时, 级数 | an x n | 发散,
收敛半径 R
1
;
( 2) 如果 0, x 0, n1 a n1 x n 有 0 ( n ), 级数 | a x | 收敛, n n an x n 0
证明 对级数 an x n 应用达朗贝尔判别法
n 0
a n1 设 lim n a n
(或 lim n an )
n
lim
n
a n 1 x an x
n 1 n
a n 1 lim x x, n a n
a n 1 (1) 如果 lim ( 0)存在, n a n 1 由比值审敛法, 当 | x | 时, 级数 | an x n | 收敛,
x 处绝对收敛; 它在满足不等式 x x 0 的一切
如果级数
n a x n 在 x x0 处发散,则它在满足 n 0
不等式 x x 0 的一切x 处发散.
证明 (1)
an x0 收敛, n 0
n
lim an x0 0,
n
n
M , 使得 an x0 M
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设 u1 ( x ), u2 ( x ), , un ( x ), 是定义在I R 上的 函数,则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
n 1
I 上的(函数项)无穷级数. 称为定义在区间
n( n 1) 例 5 求 的和. n 2 n 1
解
考虑级数 n( n 1)x n , 收敛区间(-1,1),
n 1
则 s( x ) n( n 1) x x( x
n
n 1
)
2x x , x( ) 3 1 x (1 x )
n1
2
n1
n 0
an x bn x c n 0 n 0
n n
n 0
