2018年西城二模数学理科

北京市西城区2018年初三二模试卷数 学 2018. 6下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是A ．3B ．13-C ．3-D ．132．2018年，我国国内生产总值（GDP ）为58 786亿美元，超过日本，成为世界第二大经济体．58 786用科学记数法表示为 A ．45.878610⨯ B ．55.878610⨯ C ．358.78610⨯ D ．50.5878610⨯ 3．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，若圆心距O 1O 2=2 cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．外切 C ．相交 D ．内切 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是 A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形 5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是A ．平均数B ．众数C ．中位数 D．方差6．小明的爷爷每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面的四个函数图象中，能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的是7．下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4y =和直线1x =所围成的 区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为A B ．25+ C ． D ．4 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式 m 3 – 4m = . 10．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 11．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为P ．若两圆的半径分别为2和1，则弦长AB =；若用阴影部分围成一个圆锥（OA 与OB 重合），则该圆锥的底面半径长为 . 12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；11222011A B A B A B +++ 的值为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2273181---⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ．14．已知：如图，直线AB 同侧两点C ，D 满足CAD DBC ∠=∠， AC =BD ，BC 与AD 相交于点E ．求证：AE =BE ．15．已知：关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解.16．已知 122=+xy x ，215xy y +=，求代数式()22()x y y x y +-+的值．17．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数my x=()0≠m 的图象交于(3,1)A -，(2,)B n 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．18．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是根据本次植树活动的有关数据制作的统计图的一部分．请根据统计图所提供的有关信息，完成下列问题：（1）参加植树的学生共有 人； （2）请将该条形统计图补充完整；（3）参加植树的学生平均每人植树 棵．（保留整数）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求 出该方案所需费用．20．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ．（1）求tan ABD ∠的值； （2）求AF 的长．21．已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点， AD 交BC 于点E ，连结AB . （1）求证：2AB AE AD =⋅； （2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F ， 若AE =2，ED =4，求EF 的长．22．如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ， E 为AC 的中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B ，C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2）在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3）在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角形．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为x 1，x 2，则12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 解决下列问题：已知：a ，b ，c 均为非零实数，且a ＞b ＞c ，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，其中一根为2．（1）填空：42a b c ++ 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程20ax bx c ++=的另一个实数根（用含a ，c 的代数式表示）； （3）若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0，问：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．24．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF 和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ． （1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标；（2）若抛物线212y x m k =-++的顶点恰好为D 点，且DE=及此时cos ∠ODE 的值；（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1；当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积（用含m 的代数式表示）．北京市西城区2018年初三二模试卷数学答案及评分标准 2018.6二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=112- ……………………………………………………………4分 =32． ……………………………………………………………………5分 14．证明： 如图1． 在△ACE 和△BDE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分∴ △ACE ≌△BDE ． ……………………………………………………………4分 ∴ AE =BE ．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，∴ 16420k ∆=-⨯>． ………………………………………………………1分解得2k <． ……………………………………………………………………2分（2）∵2k<，∴ 符合条件的最大整数1k =，此时方程为2420x x ++=． ……………3分∴ 142a b c ===，，． ∴ 22444128b ac -=-⨯⨯=．………………………………………………4分代入求根公式x =，得2x ==-±．…………5分 ∴ 1222x x =-+=-16．解：原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -．………………………………………2分 ∵ 122=+xy x ①，152=+y xy ②，∴ ①-②，得223x y -=-． ………………………………………………………4分 ∴ 原式=3-． ………………………………………………………………………5分17．解：（1）∵ 反比例数my x=()0≠m 的图象经过(3,1)A -，(2,)B n 两点，（如图2） ∴ 313m =-⨯=-，322m n ==-．∴ 反比例函数解析式为3y x=-．………………………1分 点B 的坐标为3(2)2B -，．……………………………2分∵ 一次函数y kx b =+()0≠k 的图象经过(3,1)A -，3(2)2B -，两点，∴ 31,32.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得 1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 一次函数的解析式为1122y x =--．……………………………………3分（2）设一次函数1122y x =--的图象与x 轴的交点为C ，则点C 的坐标为(1,0)C -．∴ =AOB ACO COB S S S ∆∆∆+113=11+1222⨯⨯⨯⨯5=4． …………………………5分18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分（2）………………………………………………………………………………3分 （3）3．………………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x -辆． ()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分 （2）依题意得x -20< x .解得x >10．……………………………………………………………………3分 ∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数，∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分 答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元． 20．解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3） ∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ， ∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形.∵4CD =，∴ MN =CD = 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，∴ ∠DAB =∠CBA ，DM=CN ．∴ △ADM ≌△BCN ．又∵10AB =，∴ AM =BN =()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB =BN +MN =7．……………………………………………………………2分∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD =90︒，AD =5，AM =3，∴4DM =．∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==．……………………………………………………3分 （2）∵ EF AB ⊥，∴ ∠F =90︒．∵∠DMN =90︒，∴ ∠F =∠DMN .∴ DM ∥EF ．∴ △BDM ∽△BEF ．∵ DE BD =，∴ 12BM BD BF BE ==． ∴ BF =2BM =14． ……………………………………………………………4分∴ AF =BF -AB =14-10=4． …………………………………………………5分21．（1）证明：如图4．∵ 点A 是劣弧BC 的中点，∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………1分又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，∴ △ABE ∽△ADB ．………………………2分 ∴ AB AD AE AB=． ∴ 2AB AE AD =⋅．………………………………………………………3分（2）解：∵ AE =2，ED =4，∴()22612AB AE AD AE AE ED =⋅=+=⨯=．∴AB =．………………………………………………………4分∵ BD 为⊙O 的直径，∴ ∠A =90︒．又∵ DF 是⊙O 的切线，∴ DF ⊥BD.∴ ∠BDF =90︒．在Rt △ABD 中，tan AB ADB AD ∠===， ∴ ∠ADB =30︒．∴ ∠ABC =∠ADB =30︒.∴∠DEF=∠AEB=60︒，903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴ ∠F =18060DEF EDF ︒-∠-∠=︒．∴ △DEF 是等边三角形．∴ EF = DE 5分22．解：（1）……………………………………………………1分（2）……………………………………………………3分（3）……………………………………………………5分23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分（2）2c a．……………………………………………………………………………4分 （3）答：当x =5m +时，代数式2y ax bx c =++的值是正数．理由如下：设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (,0)2c a ，B (2,0) 两点． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且2c a＜0＜2，即点A 在点B 左侧．………………………5分 设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +．∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数．∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5）∴ A M B x x x <<，即22c m a <<．∴5572c m a +<+<，即572N c x a+<<． 以下判断52c a +与B x 的大小关系： ∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0，∴ 66(42)(5)(5)202222B c c a c a a b a b x a a a a a +-+-+-=+-===>． ∴B x ac >+52． ∴ 52N B c x x a>+>．…………………………………………………………6分 ∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴B N y y >，即0y >.∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分24．解：（1）52，265．………………………………………………………………………2分 （2）只有点P 在DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且PD=PE ．（如图6）……………3分 ∵ BF=t ，PF=2t ，DF ＝8，∴ 82PD DF PF t =-=-．在Rt △PEF 中，2222436PE PF EF t =+=+=2PD ．即()2228364t t -=+．解得 78t =．…………………………………4分 ∴ t 为78时△PDE 为等腰三角形． （3）设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时，点P 与点G 重合，此时点P 一定在DE 边上，DP= DG ． 由已知可得93tan 124AC B BC ===，63tan 84EF D DF ===． ∴.D B ∠=∠∴.90︒=∠=∠BFH DGH∴ 3tan 4FH BF B t =⋅=，384D H D F F H t =-=-， .5325354438cos +-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=t t D DH DG ∵ 2DP DF t +=，∴ 28DP t =-．由DP=DG 得3322855t t -=-+． 解得 7213t =． …………………………………………………………………5分 检验：724613<<，此时点P 在DE 边上.∴ t 的值为7213时，点P 与点G 重合． （4）当0＜t ≤4时，点P 在DF 边上运动（如图6），t a n 2PF PBF BF∠==． …………………………………………………………………………………6分 当4< t ≤6时，点P 在DE 边上运动（如图7），作PS ⊥BC 于S ，则tan PS PBF BS ∠=． 可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-．此时()5725821854cos cos +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE PS ， ()5545621853sin sin +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE ES ． 524511554566-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=-+=t t t ES EF BF BS ． ∴ 728tan 1124PS t PBF BS t -∠==-．………………………………………………7分 综上所述， 2 (04),tan 728 (46).1124t PBF t t t <≤⎧⎪∠=-⎨<≤⎪-⎩ （以上时间单位均为s ，线段长度单位均为cm ）25．解：（1）B，………………………………………………………1分 C．………………………………………………………3分（2）当AB =4k ，(0,)A m 时，OA =m ，与（1）同理可得B点的坐标为,2)B k m +， C点的坐标为,2)C k ．如图8，过点B 作y 轴的垂线，垂足为F ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为G ，两条垂线的交点为H ，作DM ⊥FH 于点M ，EN ⊥OG 于点N ．由三角形中位线的性质可得点D的坐标为,)D k m +，点E的坐标为)E k ．由勾股定理得DE ． ∵DE= ∴ m=4． ……………………………4分∵ D恰为抛物线212y x m k =-++的顶点， 它的顶点横坐标为， ∴=．解得k=1．此时抛物线的解析式2143y x x =-+． …………………………………5分 此时D ，E两点的坐标分别为D，E ． ∴OD =OE =∴ OD=OE=DE ．∴ 此时△ODE 为等边三角形，cos ∠ODE= cos60°=12．……………………6分 （3）E 1，E 3点的坐标分别为1E ，E3． 设直线13E E 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．则1,3.a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得.2a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 直线13E E的解析式为2m y =-． ……………………………………7分 可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角为60°.∵ 直线13D D ，13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°， ∴ 13D D ∥13E E ．∵ D 1，D 3两点的坐标分别为11)D m +，33)D m +， 由勾股定理得13D D =4，13E E =4．∴ 1313D D E E =．∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形．设直线13E E 与y 轴的交点为P ，作AQ ⊥13E E 于Q ．（如图9）可得点P 的坐标为.23,2,0m AP m P =⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴.43360sin sin m AP OPQ AP AQ =︒⋅=∠⋅= ∴1331134D D E E S D D AQ =⨯==四边形．…………………………8分。

西城区高三模拟测试理科综合2018.5本试卷共17页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．下图是食物促进胃上皮细胞分泌胃酸的过程。

胃酸除了具有辅助消化功能之外，还能导致胃灼热。

下列说法错误的是A．食物和组织胺作为信号促进胃上皮细胞分泌胃酸B．H+/K+-ATP酶将H+泵到内环境中会增加胃液酸性C．胃酸分泌时上皮细胞朝向胃腔的膜面积有所增大D．组织胺抑制物和H+/K+-ATP酶抑制物均可减轻胃灼热2．DNA损伤时，核蛋白多聚腺苷二磷酸-核糖聚合酶（PARP）在核内积累，可引起细胞凋亡，过程如下图所示。

下列说法错误的是A．产物ADP-核糖的组成元素是C、H、O、N、PB．在核糖体上合成的PARP通过核孔进入细胞核C．细胞质NAD+浓度下降，只影响有氧呼吸过程D．DNA损伤后，细胞能量供应减少导致自身死亡3．脱落酸（ABA）和赤霉素（GA）在种子萌发中起重要作用。

用35S-甲硫氨酸“饲喂”不同激素处理的大麦种子，提取蛋白质进行电泳，结果如右图。

下列说法错误的是A．在图中所示的蛋白质中，α-淀粉酶分子最大B．35S-甲硫氨酸是合成淀粉酶等蛋白质的原料C．ABA能拮抗GA诱导的α-淀粉酶合成D．GA通过抑制某些蛋白质合成抑制萌发4．栎树是某森林中主要的生产者，舞毒蛾啃食栎树。

栎树盛果期时丰富的果实会把白尾鹿吸引到森林中，鹿身上的扁虱会跳到森林地面产卵。

大量的栎树果实也吸引着白足鼠，扁虱卵孵化出的幼虫吸食白足鼠血和人血，同时会将白足鼠体内的螺旋菌传播给人类，使人类患上莱姆病。

下列相关分析错误的是A．扁虱与鼠、鹿、人之间的寄生关系导致螺旋菌传播到人B．舞毒蛾数量增加使栎树减产，人类患莱姆病的风险增加C．栎树盛果期时，该区域人类患上莱姆病的风险明显提高D．生物多样性是维持生态系统结构和功能稳态的必要条件5．利用竞争酶联免疫检测技术，检测抗虫棉中Bt抗虫蛋白表达量，原理如下图所示。

2018年北京市西城区高考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知全集U={1, 2, 3}，集合A={1, 3}，那么集合∁U A等于（）A.{1}B.{2}C.{3}D.{1, 2}2. 点(1, −1)到直线x+y−1=0的距离是（）A.1 2B.√22C.√2D.√323. 函数f(x)=log a(1−x)的定义域是（）A.(−1, 0)B.(0, 1)C.(−1, 1)D.(−∞, 1)4. 已知向量a→=(−1, 2)与向量b→=(2, x)平行，那么x等于（）A.−1B.−2C.−3D.−45. 已知点A(3, 4)是角α终边上的一点，那么cosα等于（）A.3 4B.43C.35D.456. 已知圆x2+y2=1与圆(x−3)2+y2=4，那么两圆的位置关系（）A.内切B.相交C.外切D.外离7. 在平面直角坐标系xOy中，函数y=2sin(x−π6)的图象（）A.关于直线x=π6对称B.关于点(π6,0)对称C.关于直线x=−π6对称D.关于点(−π6,0)对称8. 给出下列四个函数：①y=−2x−1；②y=x2；③y=lnx；④y=x3．其中在定义域内是奇函数且单调递增函数的序号是（）A.①B.②C.③D.④9. 在△ABC中，∠C=60∘，AC=2，BC=3，那么AB等于（）A.√5B.√6C.√7D.2√210. 已知某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的体积是（）A.13B.1C.32D.92 11. 如果幂函数f(x)=x α的图象经过点(3,19)，则α=( )A.−2B.2C.−12D.1212. log 223+log 26等于（ ）A.1B.2C.5D.6 13. 在△ABC 中，已知a =3√2，cosC =13，S △ABC =4√3，则b =( )A.√3B.2√3C.4√3D.3√214. 函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 零点的个数为（ ） A.0B.1C.2D.315. 已知sinα=45，且α∈(π2,π)，那么cos2α等于（ ）A.−725B.725C.925D.−92516. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果m // α，n ⊂α，那么m // n ；②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α // β；③如果α⊥β，m ⊥α，那么m // β；④如果α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ，那么n ⊥β．其中正确的命题是（ ）A.①B.②C.③D.④17. 如图，在△ABC 中，B =45∘，D 是BC 边上一点，AD =√7，AC =3，DC =2，则AB 的长为（ ）A.√22B.3√62C.3√32D.3√2218. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张19. 盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是（）A.1 5B.25C.35D.4520. 已知向量a→=(0, 2)，b→=(1, 0)，那么向量a→−2b→与b→的夹角为（）A.135∘B.120∘C.60∘D.45∘21. 某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t（以下简称购票用时，单位：min）．下面是这次抽样的频率分布表和频率分布直方图，则旅客购票用时的平均数可能落在哪一个小组（）A.第二组B.第三组C.第四组D.第五组22. 已知点A(−2, 0)，B(2, 0)，如果直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，那么实数m等于（）A.±4B.±5C.±8D.±1023. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45∘，沿A向北偏东30∘方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30∘，则水柱的高度是（）A.50mB.100mC.120mD.150m24. 如图，在圆O中，已知弦AC=4，那么AO→∗AC→的值为（）A.8B.6C.4D.225. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从元上调至元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A.5000∼6000元B.6000∼8000元C.8000∼9000元D.9000∼16000元二、解答题（共分）已知函数f(x)=√3sin2x+cos2x,x∈R．)=________．(Ⅰ)f(π4brack的最大值和最小值．(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及在x∈[0,π2如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面，AB=AC，D是BC的中点．(Ⅰ)求证：BC⊥平面A1AD；(Ⅱ)若∠BAC=90∘，BC=A1D=4，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆经过点A(−1, 0)．(Ⅰ)⊙O的方程________；(Ⅱ)设M是直线3x+y−4=0上的一个动点，ME，MF是⊙O的两条切线，切点为E，F．(ⅰ)如果∠EMF=60∘，求点M的横坐标；(ⅱ)求四边形MEOF面积的最小值．已知函数f(x)的定义域是{x|x>0}，并且满足：当x>1时，f(x)>2；∀x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)−f(x1)−f(x2)+2（1）求f(1)（2）求证函数f(x)在(1, +∞)上单调递增．（3）当f(2)=5时，求不等式f(x)<17的解集．参考答案与试题解析2018年北京市西城区高考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】补集及其运算【解析】利用补集定义直接求解．【解答】∵全集U={1, 2, 3}，集合A={1, 3}，∴集合∁U A={2}．2.【答案】B【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式直接求解．【解答】点(1, −1)到直线x+y−1=0的距离：d=√2=√22．3.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】由对数式的真数大于0求解得答案．【解答】由1−x>0，得x<1．∴函数f(x)=log a(1−x)的定义域是(−∞, 1)．4.【答案】D【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量的共线定理列出方程求x的值．【解答】向量a→=(−1, 2)与向量b→=(2, x)平行，则−1⋅x−2×2=0，解得x=−4．5.【答案】C【考点】三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】∵点A(3, 4)是角α终边上的一点，∴x=3，y=4，r=|OA|=5，那么cosα=xr =35，6.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系．【解答】圆x2+y2=1的圆心为M(0, 0)，半径为r1=1；圆(x−3)2+y2=4的圆心为N(3, 0)，半径为r2=2；|MN|=3，且r1+r2=3，∴两圆的位置关系是相外切．7.【答案】B【考点】正弦函数的奇偶性【解析】直接利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】利用排除法和代入法求解，当x=π6时，y=2sin(π6−π6)=0，8.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】四种基本初等函数，分别是一次函数，二次函数，对数函数，三次函数（幂函数），需要对每种函数的函数性质进行分析即可．【解答】①一次函数y=kx+b的单调性由k决定，k>0时，函数递增，k<0时，函数递减，故y=−2x−1是减函数，且其不是奇函数．不合题意．②二次函数的单调性由开口方向和对称轴决定，函数y=x2在(−∞, 0)单调递减，在(0, +∞)是单调递增，且其不是奇函数，不合题意．③对数函数是非奇非偶函数，不符合题意．④幂函数y=x3，在R是单调递增，且f(−x)=−f(x)，为奇函数，符合题意．9.【答案】C【考点】余弦定理【解析】由已知及余弦定理即可求值得解．【解答】∵∠C=60∘，AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB=√AC2+BC2−2AB∗AC∗cosC=√4+9−2×2×3×12=√7．10.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由三棱锥的三视图得该三棱锥是三棱锥P−ABC其中PO⊥平面ABCD，O在AC上，AO=2，CO=BO=1，PO=3，由此能求出该三棱锥的体积．【解答】由三棱锥的三视图得该三棱锥是如图所示的三棱锥P−ABC，其中PO⊥平面ABCD，O在AC上，AO=2，CO=BO=1，PO=3，∴该三棱锥的体积：V P−ABC=1×S△ABC×PO=13×12×AC×BO×PO=13×12×3×1×3=32．11.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】把点的坐标代入幂函数f(x)的解析式，解方程求出α的值．【解答】幂函数f(x)=xα的图象经过点(3,19)，则3α=19，解得α=−2．12.【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】利用对数运算性质即可得出．【解答】原式=log 2(23×6)=log 222=2．13.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】∵ cosC =13，∴ sinC =√1−cos 2C =2√23， 又∵ 由已知可得S △ABC =4√3=12absinC =12×3√2×b ×2√23， ∴ 解得b =2√3．14.【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】画出分段函数的图象，数形结合得答案．【解答】作出函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 的图象如图，由图可知，函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 零点的个数为2． 15.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】∵ sinα=45，且α∈(π2,π)，∵ cos2α=1−2sin 2α=1−2×(45)2=−725．16.【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】①如果m // α，n ⊂α，m 与n 平行或异面，故①错误；②如果m ⊥α，m ⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得α // β，故②正确； ③如果α⊥β，m ⊥α，那么m // β或m ⊂β，故③错误；④如果α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ，那么n 与β相交，平行或n ⊂β，故④错误． 17.【答案】B【考点】解三角形【解析】先根据余弦定理求出∠C 度数，最后根据正弦定理可得答案【解答】在△ADC 中，AD =√7，AC =3，DC =2，由余弦定理得cosC =AC 2+DC 2−AD 22×AC×DC =9+4−72×3×2=12， ∴ ∠C =60∘，在△ABC 中，AC =3，∠B =45∘，∠C =60∘，由正弦定理得 AC sinB =AB sinC ，∴ AB =ACsinC sinB =3×√32√22=3√62， 18.【答案】B【考点】分布和频率分布表 【解析】观察两个表中前五位的行业，建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，建筑行业人才是供不应求，观察物流行业是物流行业是供大于求，得到结论． 【解答】∵ 用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况， ∴ 建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280， 建筑行业人才是供不应求，∵ 物流行业应聘人数是74570，而招聘人数不在前五位，要小于70436， ∴ 物流行业是供大于求，∴ 就业形势是建筑行业好于物流行业， 19.【答案】 B【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：从5个球中随机取出一个小球共有5种取法， 其中号码为偶数的为：2，4，共两种 由古典概型的概率公式可得： 其号码为偶数的概率是25. 故选B . 20.【答案】 A【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用向量的坐标运算转化求解向量的夹角即可． 【解答】向量a →=(0, 2)，b →=(1, 0)， 向量a →−2b →=(−2, 2)， 向量a →−2b →与b →的夹角为θ， cosθ=(a →−2b →)∗b→|a →−2b →||b →|=2√2×1=−√22． 可得θ=135∘． 21.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为0.5，从而求得旅客购票用时的平均数，由此得到旅客购票用时的平均数落第四小组．【解答】由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为：1−0.1−0.1−0.3=0.5，由频率分布表和频率分布直方图得旅客购票用时的平均数为：7.5×0.10+12.5×0.10+17.5×0.50+22.5×0.3=17.5，∴旅客购票用时的平均数落第四小组．22.【答案】D【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2=4相切．【解答】直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2=4相切．∴=2，解得m=±10．√32+(−4)223.【答案】A【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．∠ACO=30∘，∠ADO=45∘．∠ODC=60∘．设OA=ℎ．在Rt△OAD，可得OD=ℎ．同理可得：OC=√3ℎ．在△OCD中，利用余弦定理即可得出．【解答】如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．∠ACO=30∘，∠ADO=45∘．∠ODC=60∘．设OA=ℎ．在Rt△OAD，则OD=ℎ．同理可得：OC=√3ℎ．在△OCD中，OC2=OD2+CD2−20D⋅CD⋅cos60∘．∴(√3ℎ)2=ℎ2+1002−2×ℎ×100×1，2化为：ℎ2+50ℎ−5000=0，解得ℎ=50．因此水柱的高度是50m．24.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由已知结合向量在向量上投影的概念求解．【解答】∵O为三角形ABC的外接圆的圆心，∴AO→在AC→上的投影为12|AC→|，又AC=4，∴AO→∗AC→=|AO→|∗|AC→|cos∠OAC=12|AC→|2=12×16=8．25.【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．【解答】解：设该人当月工资、薪金所得为x元，由题意得：1500×3%+3000×10%+(x−8000)×20%−(x−7000)×3%=332，整理，得：0.17x=1377，解得x=8100.故选C.二、解答题（共分）【答案】√3【考点】两角和与差的三角函数三角函数的周期性及其求法三角函数的最值【解析】(Ⅰ)直接利用函数的关系式求出函数的值．(Ⅱ)首先通过三角函数关系式的恒等变换，求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】(Ⅰ)f(x)=√3sin2x+cos2x,x∈R，所以f(π4)=√3．(Ⅱ)因为f(x)=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2(sin2xcosπ6+cos2xsinπ6)=2sin(2x+π6)．所以函数f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π．由x∈[0,π2brack，可得2x+π6∈[π6,7π6brack，所以−12≤sin(2x+π6)≤1．所以−1≤2sin(2x+π6)≤2，所以当2x+π6=7π6，即x=π2时，函数f(x)的最小值为−1；当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f(x)的最大值为2．【答案】证明：(Ⅰ)因为D是BC的中点，AB=AC，所以BC⊥AD．因为A1A⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC，又因为AA1∩AD=D，所以BC⊥平面A1AD．(Ⅱ)因为∠BAC=90∘，BC=A1D=4，D是BC的中点，所以AD=12BC=2，AB=AC=2√2．因为A1A⊥底面ABC，所以AA1=√A1D2−AD2=√42−22=2√3．所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积：V=S△ABC∗AA1=12×2√2×2√2×2√3.=8√3．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)推导出BC⊥AD，A1A⊥BC，由此能证明BC⊥平面A1AD．(Ⅱ)推导出AD=12BC=2，AB=AC=2√2．由A1A⊥底面ABC，得AA1=√A1D2−AD2=√42−22=2√3，由此能求出三棱柱ABC−A1B1C1的体积．【解答】证明：(Ⅰ)因为 D 是BC 的中点，AB =AC ， 所以 BC ⊥AD ．因为 A 1A ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以 A 1A ⊥BC ，又因为 AA 1∩AD =D ， 所以 BC ⊥平面A 1AD ．(Ⅱ)因为∠BAC =90∘，BC =A 1D =4，D 是BC 的中点， 所以 AD =12BC =2，AB =AC =2√2． 因为 A 1A ⊥底面ABC ，所以 AA 1=√A 1D 2−AD 2=√42−22=2√3． 所以三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积：V =S △ABC ∗AA 1=12×2√2×2√2×2√3.=8√3．【答案】 x 2+y 2=1 【考点】圆的切线方程 【解析】(Ⅰ)由|OA|=1，直接得到圆O 的方程为x 2+y 2=1．(Ⅱ)(ⅰ)连接OM ，由题意可知△OEM 为直角三角形．可得|OM|=2|OE|=2．由M 是3x +y −4=0直线上的动点，设点M 的坐标为(t, −3t +4)．结合|OM|=2，解得t ．则点M 的横坐标可求．(ⅱ)|OM|的最小值即为原点O 到直线3x +y −4=0的距离d =√32+1=√10，由△OEM为直角三角形，可得|ME|2=|OM|2−12≥35．即|ME|最小值是√155．代入面积公式可得四边形MEOF 面积的最小值． 【解答】（1）∵ |OA|=1，∴ 圆O 的方程为x 2+y 2=1， 故答案为：x 2+y 2=1． (2)(ⅰ)如图，连接OM ，由题意可知△OEM 为直角三角形． ∵ ∠EMF =60∘，∴ ∠OME =30∘． ∴ |OM|=2|OE|=2．∵ M 是3x +y −4=0直线上的动点， ∴ 设点M 的坐标为(t, −3t +4)．∴ |OM|=√(t −0)2+[(−3t +4)−0]2=2，解得t =6−√65，或t =6+√65．∴ 点M 的横坐标为6−√65或6+√65．(ⅱ)∵ 原点O 到直线3x +y −4=0的距离d =√32+1=√10，∴ |OM|的最小值是√10．∵ △OEM 为直角三角形，∴ |ME|2=|OM|2−12≥35． ∴ |ME|最小值是√155．∵ S 四边形MEOF =2S △MEO =2×12×1×|ME|=|ME|， 四边形MEOF 面积的最小值是√155．【答案】∀x 1，x 2∈(0, +∞)，都有f(x 1x 2)=f(x 1)f(x 2)−f(x 1)−f(x 2)+2， 则令x 1=x 2=1，则f(1)=f 2(1)−2f(1)+2，解得f(1)=1或2，若f(1)=1，则令x 1=1，x 2=x ，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2，即有f(x)=1．这与当x >1时，f(x)>2矛盾，故f(x)=1舍去，若f(1)=2，令x 1=1，x 2=x ，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2恒成立， 故有f(1)=2；证明：令1<x 1<x 2，则x 2x 1>1，由于当x >1时，f(x)>2，则有f(x2x 1)>2，则f(x 2)=f(x 1⋅x 2x 1)=f(x 1)⋅f(x 2x 1)−f(x 1)−f(x 2x 1)+2=f(x 2x 1)(f(x 1)−1)−f(x 1)+2 >2f(x 1)−2−f(x 1)+2=f(x 1)， 则函数f(x)在(1, +∞)上单调递增；令x 1=x 2=2，则f(4)=f 2(2)−2f(2)+2=25−10+2=17， 则不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，由f(1)=2，则f(x ∗1x )=f(x)f(1x )−f(x)−f(1x )+2=2， 即有f(1x )=f(x)f(x)−1，令0<x<1，则1x >1，f(1x)>2，解得1<f(x)<2，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，则有f(x)<f(4)得到0<x<4．即解集为(0, 4)．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）令x1=x2=1，则f(1)=1或2，检验得到f(1)不成立，f(1)=2；（2）令1<x1<x2，则x2x1>1，由于当x>1时，f(x)>2，则有f(x2x1)>2，则f(x2)=f(x1⋅x2x1)再由条件即可得到得证；（3）令x1=x2=2，则f(4)=17，不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，即可解出不等式．【解答】∀x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)−f(x1)−f(x2)+2，则令x1=x2=1，则f(1)=f2(1)−2f(1)+2，解得f(1)=1或2，若f(1)=1，则令x1=1，x2=x，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2，即有f(x)=1．这与当x>1时，f(x)>2矛盾，故f(x)=1舍去，若f(1)=2，令x1=1，x2=x，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2恒成立，故有f(1)=2；证明：令1<x1<x2，则x2x1>1，由于当x>1时，f(x)>2，则有f(x2x1)>2，则f(x2)=f(x1⋅x2x1)=f(x1)⋅f(x2x1)−f(x1)−f(x2x1)+2=f(x2x1)(f(x1)−1)−f(x1)+2>2f(x1)−2−f(x1)+2=f(x1)，则函数f(x)在(1, +∞)上单调递增；令x1=x2=2，则f(4)=f2(2)−2f(2)+2=25−10+2=17，则不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，由f(1)=2，则f(x∗1x )=f(x)f(1x)−f(x)−f(1x)+2=2，即有f(1x )=f(x)f(x)−1，令0<x<1，则1x >1，f(1x)>2，解得1<f(x)<2，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，则有f(x)<f(4)得到0<x<4．即解集为(0, 4)．。

西城区高三模拟测试理科综合2018.5本试卷共17页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．下图是食物促进胃上皮细胞分泌胃酸的过程。

胃酸除了具有辅助消化功能之外，还能导致胃灼热。

下列说法错误．．的是A．食物和组织胺作为信号促进胃上皮细胞分泌胃酸B．H+/K+-ATP酶将H+泵到内环境中会增加胃液酸性C．胃酸分泌时上皮细胞朝向胃腔的膜面积有所增大D．组织胺抑制物和H+/K+-ATP酶抑制物均可减轻胃灼热北京市西城区2018年5月高三理科综合第1页（共35页）2．DNA损伤时，核蛋白多聚腺苷二磷酸-核糖聚合酶（PARP）在核内积累，可引起细胞凋亡，过程如下图所示。

下列说法错误．．的是A．产物ADP-核糖的组成元素是C、H、O、N、PB．在核糖体上合成的PARP通过核孔进入细胞核C．细胞质NAD+浓度下降，只影响有氧呼吸过程D．DNA损伤后，细胞能量供应减少导致自身死亡北京市西城区2018年5月高三理科综合3．脱落酸（ABA）和赤霉素（GA）在种子萌发中起重要作用。

用35S-甲硫氨酸“饲喂”不同激素处理的大麦种子，提取蛋白质进行电泳，结果如右图。

下列说法错误．．的是A．在图中所示的蛋白质中，α-淀粉酶分子最大B．35S-甲硫氨酸是合成淀粉酶等蛋白质的原料C．ABA能拮抗GA诱导的α-淀粉酶合成D．GA通过抑制某些蛋白质合成抑制萌发4．栎树是某森林中主要的生产者，舞毒蛾啃食栎树。

栎树盛果期时丰富的果实会把白尾鹿吸引到森林中，鹿身上的扁虱会跳到森林地面产卵。

大量的栎树果实也吸引着白足鼠，扁虱卵孵化出的幼虫吸食白足鼠血和人血，同时会将白足鼠体内的螺旋菌传播给人类，使人类患上莱姆病。

下列相关分析错误．．的是A．扁虱与鼠、鹿、人之间的寄生关系导致螺旋菌传播到人B．舞毒蛾数量增加使栎树减产，人类患莱姆病的风险增加C．栎树盛果期时，该区域人类患上莱姆病的风险明显提高D．生物多样性是维持生态系统结构和功能稳态的必要条件5．利用竞争酶联免疫检测技术，检测抗虫棉中Bt抗虫蛋白表达量，原理如下图所示。

数学试卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集1-≤x <3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．22456x x x +=B ．326x x x ⋅=C ． 236()x x =D ．33()xy xy = 4.下列实数中，在2和3之间的是A ． πB ．π2-C ．D ．5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒，∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上.若DE ∥CF ， 则∠BDF 等于A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．15︒ 6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距 离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF . 观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水 平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CFAB CB=C ．CE CFCA FB = D ．CE CF EA CB=7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C ．在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差D ．在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好 8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶， 车速分别为20 m/s 和v (m/s)，起初甲车在乙 车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶．设x (s)后两车相距y (m)，y 与x 的函数关系如图2所示．有以下 结论：①图1中a 的值为500； ②乙车的速度为35 m/s ；③图1中线段EF 应表示为5005x +；④图2中函数图象与x 轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是A ．①④B．②③ C．①②④ D ．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x 的取值范围是 ．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．11. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的 “最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现 若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买 3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B 款魔方的单 价为y 元，依题意可列方程组为 .抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，(3,0)A -，(4,0)B ，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为D '），相应地，点C 的对应点C '的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：06cos60(π2)2︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ． （1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．22.阅读下列材料： 材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x<）的图象经过点(4,)A n-，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8. （1）求m，n的值；（2）若直线y kx b =+（k ≠0）经过点C ，且与x 轴，y 轴的交点分别为点E ，F ，当2CF CE =时，求点F 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G . （1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a =.按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：① ；② ； ③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”QL 的取值范围是.0≤L Q D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.38． 11. 4π3. 12.26170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线23(2)1y x =+-先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+. 15. 54． 16. (7,4)．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解： 06cos60(π2)2︒--161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分313=-+-2=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：1322x x x+=--. 解：去分母，得13(2)x x -=-．……………………………………………………… 1分去括号，得136x x -=-． ……………………………………………………… 2分 移项，得 361x x -=-．合并同类项，得 25x =．………………………………………………………… 3分系数化为1，得52x =．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为52x =．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ 1A ∠=∠． ∵ 66A ∠=︒，∴ 166∠=︒．………………………………………………2分 ∵ 90ABC ∠=︒，∴ 2124ABC ∠=∠-∠=︒． …………………………… 3分∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ 3C ∠=∠．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分20.解： 2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+- ………………………………………………………………… 3分 13x =-．……………………………………………………………………………… 4分 当5x =-时，原式18=-．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，图1 图2∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， 可得 1ACD ∠=∠．∵ 1tan 2ACD ∠=， ∴ 1tan 1tan 2ACD ∠=∠=． ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =2，1tan 12∠=， ∴ 4tan 1ACBC ==∠． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为(4,)A n -，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为(4,)C n -．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为(4,0)B -，(4,0)D ． ∵ △ABD 的面积为8，11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-， ∴ 48n -=．解得 2n =-． …………………………………………………………… 2分∵ 函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -， ∴ 48m n =-=．…………………………………………………………… 3分 （2）由（1）得点C 的坐标为(4,2)C ．① 如图4，当0k <时，设直线y kx b =+与x 轴， y 轴的交点分别为点1E ，1F ． 由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥1OF ．图3∴ △1E CD ∽△1E 1F O ． ∴1111E CDC OF E F =． ∵ 112CF CE =， ∴113DC OF =． ∴ 136OF DC ==．∴ 点1F 的坐标为1(0,6)F ．②如图5，当0k >时，设直线y kx b =+与x 轴，y 轴的交点分别为 点2E ，2F ． 同理可得CD ∥2OF ，2222E CDC OF E F =． ∵ 222CF CE =，∴ 2E 为线段2CF 的中点，222E C E F =． ∴ 22OF DC ==．∴ 点2F 的坐标为2(0,2)F -．…………6分综上所述，点F 的坐标为1(0,6)F ，2(0,2)F -．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形． ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ 11302DCA ∠=∠=︒．∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ 180120DCF D ∠=︒-∠=︒． ∴ 190OCF DCF ∠=∠-∠=︒． ∴ FG ⊥OC ．图4图6图5∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a=⋅︒=． ∴52FH CH CF a=+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分 ④111)n a -．……………… 4分 （2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）2x =.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线2x =，抛物线M 与x 轴的 交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为(1,0)A ，(3,0)B .……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将(1,0)A 的坐标代入抛物线的函数表达式，得410a a a -+-=. 解得 12a =-. ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分（3）54k >. …………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ． ∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得， ∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802BQE QBE ∠=︒-∠1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②CE AC +=．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，图9图8∴ ∠ACQ=12ACB∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH =．即CE AC +=． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，AC CE -．.............................. 7分 28.解：（1）①3-． (1)分② 0≤QL……………………………………………………………… 2分（2）设直线+3y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ，(0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤QLy ．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大图10图11 图12值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴1AE11OE OA AE =-= ∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y 相切时， 相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到 最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y与直线+3y x =的交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF=⋅∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．图13…………………………………………5分（3）画图见图15．图15。

2018北京高三二模数学理分类汇编--概率与统计二、解答题1、（2018西城二模）（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）．2、（2018海淀二模）（本小题13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论）3、（2018东城二模）（本小题13分）某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：从这15天中，随机选取一天，随机变量X 表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数.（Ⅰ）请把X 的分布列补充完整；（Ⅱ）令m 为X 的数学期望，若()0.5,P n Xn m m -＃+>求正整数n 的最小值；（Ⅲ）由图判断，从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？（结论不要求证明）4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量,对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分,最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和,根据考核评分结果,绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下:请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（Ⅰ）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个,求其安全得分大于90分的概率; （Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个,记安全得分不大于90分的景点个数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ,安全平均得分为2x ,写出1x 与2x 的大小关系.（只写出结果）5、（2018丰台二模）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）； （Ⅱ）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率；年龄（岁）70605040302010（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．（16）（本小题共13分）6、（2018昌平二模）（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如下图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率.（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区.（只需写出结论）7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．8、（2018房山二模）（本小题13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆0222=-+x y x 的圆心到直线x y 3=的距离是（ ）A ．21 B ．23 C ．33 D ．3 2．函数xy -=11的图象是（ ）A B C D 3．极坐标方程12cos 2=θρ表示的曲线是 （ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 4．等差数列}{n a 中，已知n a a a a n 则,33,4,31521==+=为 （ ）A ．48B ．49C ．50D ．515．圆锥侧面展开图扇形圆心角的弧度数为θ，则圆锥母线与底面所成角的余弦值是（ ）A ．θπB ．πθ C ．θπ2 D ．πθ2 6．使不等式x x -<1log 2成立的x 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．)1,21(C ．),1(+∞D ．]21,0(7．将3种农作物都种植在如图的4块试验田里，每块种值一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的 种植方法共有 （ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种8．关于函数)(22)(R x x f x x ∈-=-，有下列三个结论：①)(x f 的值域为R ； ②)(x f 是R 上的增函数 ③对任意0)()(,=+-∈x f x f R x 有成立. 其中全部正确的结论是 （ ）A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.9．设集合}3,2,1,0,1,2,3{---=A ，映射B A f →:把集合A 中的元素k 映射到B 中的元素 |k|，则在映射f 下，－2的象是 ；若集合B 中每个元素都有原象，则集合B 中的 元素个数是 个. 10．将参数方程θθθ(sin cos 1⎩⎨⎧=+=y x 为参数）转化为直角坐标方程是 ；该曲线上的点与定点A （－1，－1）距离的最小值是 . 11．设i z i C z 2)1(,=-∈且，则z= ；|z|= . 12．直线0=+y x 的倾斜角是 ；它与直线x tgy )125(π=的夹角是 . 13．已知m 、n 表示直线，α表示平面. 给出下列两个命题：①n m n m ⊥⊥则,//,αα； ②αα//,,n n m m 则⊥⊥.其中错误的一个命题是 （填命题序号）；因为当 时，该结论不成立. 14．设函数)(),1(log 2log )(22x f x x x f 则+-=的定义域是 ；)(x f 的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分） 设10≠>a a 且，解关于x 的不等式：x x a a log 19log 5->+. 16．（本题满分14分）已知函数.,22sin 2sin 4)(2R x x x x f ∈-+=（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合； （2）求证：函数)(x f 的图象关于直线8π-=x 对称.17．（本题满分14分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=BC=2， BB 1=3. 连接BC 1，过B 1作B 1E ⊥BC 1交CC 1于点E. （1）求证：AC 1⊥平面B 1D 1E ； （2）求三棱锥C 1—B 1D 1E 的体积；（3）求二面角E —B 1D 1—C 1的平面角大小. 18．（本题满分14分）已知函数]1,32[,33)(∈+-=x x x f（1）求)(x f 的反函数)(x g y =（2）在数列)(,),(),(,1,}{123121-====n n n a g a a g a a g a a a 中， 求证：数列}43{-n a 是等比数列，并求n n a ∞→lim 的值；（3）解关于n 的不等式：97≥n a 19．（本题满分12分）某企业2000年底共有员工2000人，当年的生产总值为1.6亿元. 该企业规划从2001年起的10年内每年的总产值比上一年增加1000万元；同时为扩大企业规模，该企业平均每年将录用),50(N m m m ∈>位新员工；经测算这10年内平均每年退休的员工为50 人. 设从2001年起的第x 年（2001年为第1年）该企业的人均产值为y 万元. （1）写出y 与x 之间的函数关系式)(x f y =，并注明定义域；（2）要使该企业的人均产值在10年内每年都有增长，则每年录用新员工至多为多少人？ 20．（本题满分14分）椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，M 为椭圆C 1上任意一点，且||||21MF MF ⋅的最小值为243a . （1）求椭圆C 1的离心率；（2）设双曲线C 2以椭圆C 1的焦点为顶点，顶点为焦点；在第一象限内任取双曲线C 2上一点P ，试问是否存在常数)0(>λλ，使得A PF PAF 11∠=∠λ恒成立？证明你 的结论.北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2.A3.B4.C5.D6.A7.C8.A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 其中每小题第一个空2分，第二个空3分.9．2；4 10．15;1)1(22-=+-y x 11．2;1i +- 12．3;43ππ 13．②；α⊂n 14．2};0|{->x x 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其它解法，请仿此给分. 15．（本题满分12分）解：原不等式同解于⎩⎨⎧≥+<-⎩⎨⎧->+≥-09log 50log 1)log 1(9log 50log 12x x x x x a a a a a 或…………4分 1log 1log 1log 11log 8log 11log ->⇔>≤<-⇔>⎩⎨⎧<<-≤⇔x x x x x x a a a a a a 或或…8分所以当1>a 时，原不等式的解集为}1|{a x x >；………………10分 当10<<a 时，原不等式的解集为}.10|{ax x <<……………12分16．（本题满分14分）（1）解：x x x x x x x f 2cos 22sin 2)sin 21(22sin 222sin 2sin 2)(22-=--=-+= =)42sin(22π-x ………………………………………………5分所以)(x f 的最小正周期是π……………………………………………………6分∈x R ，所以当∈+=+=-k k x k x (83,2242πππππ即Z ）时，)(x f 的最大值为22.即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+=k k x x ,83|{ππZ }……………………8分 （2）证明：欲证函数)(x f 的图象关于直线8π-=x 对称，只要证明对于任意R x ∈，有)8()8(x f x f +-=--ππ成立即可.).8()8(.2cos 22)22sin(22]4)8(2sin[22)8(;2cos 22)22sin(22]4)8(2sin[22)8(x f x f x x x x f x x x x f +-=--∴-=+-=-+-=+--=--=---=--ππππππππππ从而函数)(x f 的图象关于直线8π-=x 对称.……………………14分[注：如果学生用min ))((22)8(x f f =-=-π；或求出所有的对称轴方程，然后验证8π-=x 是其中一条，则（2）中扣去2分]18．（本题满分14分）（I ）证明：连接A 1C 1交B 1D 1于点O∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是长方体，∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1是AC 1在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，∵AB=BC ，∴A 1C 1⊥B 1D 1根据三垂线定理得：AC 1⊥B 1D 1…………3分 ∵AB ⊥平面BCC 1B 1，且BC 1⊥B 1E ， ∴AC 1⊥B 1E ，∵B 1D 1 B 1E=B 1，∴AC 1⊥平面B 1D 1E …………………………………………………………5分（II ）解：在RtBB 1C 1中，tg ∠BC 1B 1=,23111=C B B B 在Rt △EC 1B 1中，C 1E=B 1C 1·tg ∠C 1B 1E=B 1C 1·ctg ∠BC 1B 1=34322=⋅……8分 98)21(3131111111111111111=⨯⨯⨯=⋅==∴∆--D C E C C B D C S V V E C B E C B D E D B c …10分（III ）解：连接OE ，∵△B 1C 1E ≌△D 1C 1E ， B 1E=D 1E.∵O 是B 1D 1中点， ∴B 1D 1⊥DE∴∠C 1OE 是二面角E —B 1D 1—C 1的平面角………………………………12分 在Rt △OC 1E 中，∵,322111==∠OC E C OE C tg 所以，二面角E —B 1D 1—C 1的平面角为.322arctg …………………………14分 18．（本题满分14分）（1）解：因为函数]1,32[,33)(∈+-=x x x f 的值域是[0，1]所以)(x f 的反函数为]1,0[,31)(∈-=x xx g ……………………3分 （2）解：依题意得,1)31()(11+-==--n n n a a g a所以),43)(31(41)31(4311--=+-=---n n n a a a即3143431-=---n n a a ),2(N n n ∈≥ 根据等比数列的定义得：数列}43{-n a 是公比为31-的等比数列…………7分所以)()31(41)31)(43(43111N n a a n n n ∈-=--=--- 所以)()31(41431N n a n n ∈-+=-……………………9分 所以43])31(4143[lim lim 1=-+=-∞→∞→n n n n a ……………………11分（3）解：271)31(97])31(1[4397-≤-⇔≥--⇔≥n n n a .显然当n 是偶数时，此不等式不成立； 当n 是奇数时，3271)31(271)31(271)31(≤⇔≥⇔-≤-⇔-≤-n n n n. 所以原不等式的解为n=1或n=3.…………………………14分19．（本题满分12分）（1）解：从2001年起的第x 年（2001年为第1年）该企业的总产值是16000+1000x （万元），此时该企业的员工数为x m )50(2000-+（人），……………………2分所以),101(,)50(2000100016000N x x xm xy ∈≤≤-++=.…………………………5分（2）解：依题意，该函数的定义域上的增函数， 任取121,101x x x ≤<≤、2x N ∈，221121)50(2000100016000)50(2000100016000)()(x m x x m x x f x f -++--++=- ])50(2000[])50(2000[)]50(16000102[)(21621x m x m m x x -+⋅-+--⨯⋅-=…………………………8分 令,50,101,0)()(2121>≤<≤<-m x x x f x f.175:,0)50(16000102,0)50(2000,0)50(2000,062121<>--⨯∴>->-+<-∴m m x m x m x x 解得∴∈,N m 该企业每年录用新员工至多为174人……………………12分20．（本题满分14分）（1）解：作出椭圆的左准线l ，作MN ⊥l 交l 于点N. 设),(y x M ，椭圆的离心率是e ，椭圆的半焦距是c.根据椭圆的定义得：e MN MF =||||1所以ex a ca x e MN e MF +=+==)(||||21 同理可得：.||2ex a MF -=所以].,[,))((||||22221a a x x e a ex a ex a MF MF -∈-=-+=⋅其中 由||MF 1|·||MF 2|的最小值为243a 得： 222243a a e a =-，解得21=e …………………………4分[注：若学生没有证明|MF 1|=ex a MF ex a -=+||,2而直接使用此结论，则（Ⅰ）中扣去1分] （Ⅱ）解：依题意得双曲线C 2的离心率为2，设C 2的方程是.132222=-cy c x假设存在适合题意的常数)0(>λλ，①先来考查特殊情形下的λ值：PA ⊥x 轴时，将x =2c 代入双曲线方程，解得|y|=3c ， 因为|AF 1|=3c ，所以△PAF 1是等腰直角三角形，∠PAF 1=90°，∠PF 1A=45°，此时λ=2……………………7分 ②以下证明当PA 与x 轴不垂直时，∠PAF 1=2∠PF 1A 恒成立.设),(11y x P ，由于点P 在第一象限内，所以直线PF 1斜率存在，cx y k PF +=111； 因为PA 与x 轴不垂直，所以直线PA 斜率也存在，cx y k PA 211-=..)()(2)(12)(1222121112211111y c x y c x k k A PF tg A PF tg A PF tg PF PF -++=-=∠-∠=∠因为,13221221=-cy c x 所以))((3)(31122121c x c x c x y -+=-=，将其代入上式并化简得：.2)(3)(22111111cx y c x c x y A PF tg --=--+=∠因为∠PAF 1+∠PA x =180°，所以.2111cx y k PAF tg PA --=-=∠即tg2∠PF 1A=tg ∠PAF 1.………………12分因为∠),32,2()2,0(1πππ⋃∈PAF ∠),3,4()4,0(1πππ⋃∈A PF 所以∠PAF 1、2∠PF 1A ),32,2()2,0(πππ⋃∈所以∠PAF 1=2∠PF 1A 恒成立. 综合①、②得：存在常数2=λ，使得对位于双曲线C 2在第一象限内的任意一点p ，∠PAF 1=2∠PF 1A 恒成立.……………………14分 [注：②中如果学生认为∠PAF 1、2∠PF 1A ),,2()2,0(πππ⋃∈本题不扣分]。

2018年北京市西城区中考数学二模试卷2018年北京市西城区中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2.00分）如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段CD的长度2．（2.00分）将某不等式组的解集﹣1≤x＜3表示在数轴上，下列表示正确的是（）A．B．C．D．3．（2.00分）下列运算中，正确的是（）A．x2+5x2=6x4B．x3?x2=x6C．（x2）3=x6D．（xy）3=xy3 4．（2.00分）下列实数中，在2和3之间的是（）A．πB．π﹣2 C．D．5．（2.00分）一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（）A．35°B．30°C．25°D．15°6．（2.00分）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．7．（2.00分）在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：由此所得的以下推断不正确的是（）A．这组样本数据的平均数超过130B．这组样本数据的中位数是147C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好8．（2.00分）如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和v （m/s），起初甲车在乙车前a（m）处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x（s）后两车相距y（m），y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：①图1中a的值为500；②乙车的速度为35m/s；③图1中线段EF应表示为500+5x；④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2.00分）如果有意义，那么x的取值范围是．10．（2.00分）不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．11．（2.00分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于．12．（2.00分）某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方．社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同．求每款魔方的单价．设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，依题意可列方程组为．13．（2.00分）如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于．14．（2.00分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=3（x+2）2﹣1平移后得到抛物线y=3x2+2．请你写出一种平移方法．答：．15．（2.00分）如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，弦BD∥OC．若∠C=36°，则∠DOC=°16．（2.00分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣3，0），B（4，0），边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y 轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为．三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22、23题每小题5分，第24题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．（5.00分）计算：6cos60°﹣+（π﹣2）0﹣|﹣2|．18．（5.00分）解方程：+=3．19．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A=66°，∠ABC=90°，BC=AD，求∠C的度数．20．（5.00分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣5．21．（5.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，BE=CD，连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）若AC=2，tan∠ACD=，求DE的长．22．（6.00分）阅读下列材料：材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票．与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务．实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验．材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013﹣2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表．他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观．国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战．参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的．但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样．”尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式．根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由．23．（6.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣4，n），AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8．（1）求m，n的值；（2）若直线y=kx+b（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当CF=2CE时，求点F的坐标．24．（5.00分）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．（1）求证：FG与⊙O相切；（2）连接EF，求tan∠EFC的值．25．（6.00分）阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD中，边AB=a1．按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小．请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：①；②；③；④；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）．26．（6.00分）抛物线M：y=ax2﹣4ax+a﹣1（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），抛物线的顶点为D．（1）抛物线M的对称轴是直线；（2）当AB=2时，求抛物线M的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l：y=kx+b（k≠0）经过抛物线的顶点D，直线y=n 与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1，x2，直线y=n与直线l 的交点的横坐标记为x3（x3＞0），若当﹣2≤n≤﹣1时，总有x1﹣x3＞x3﹣x2＞0，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围．27．（7.00分）如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）．（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系．28．（7.00分）对于平面直角坐标系xOy中的点Q（x，y）（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的比称为点Q的“理想值”，记作L Q．如Q（﹣1，2）的“理想值”L Q==﹣2．（1）①若点Q（1，a）在直线y=x﹣4上，则点Q的“理想值”L Q等于；②如图，，⊙C的半径为1．若点Q在⊙C上，则点Q的“理想值”L Q 的取值范围是．（2）点D在直线y=﹣x+3上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有0≤L Q≤，求点D的横坐标x D的取值范围；（3）M（2，m）（m＞0），Q是以r为半径的⊙M上任意一点，当0≤L Q≤2时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）。

2018年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合A={x|0<x<1}，B={x|x2−2x<0}，则下列结论中正确的是（）A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.A⊆BD.B⊆A2. 已知复数z满足(1−i)⋅z=1，则z=()A.1 2+i2B.12−i2C.−12+i2D.−12−i23. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0, 1)上单调递减的是（）A.y=1xB.y=x2C.y=2|x|D.y=cosx4. 某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是（）A.12B.4√10C.12√2D.8√55. 向量a→，b→，c→在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa→+b→与c→共线，则实数λ= ( )A.−2B.−1C.1D.26. 已知点A(0, 0)，B(2, 0)．若椭圆W:x22+y2m=1上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则椭圆W的离心率是（）A.1 2B.√22C.√63D.√327. 函数f(x)=2+a ．则“a ≥0”是“∃x 0∈[−1, 1]，使f(x 0)≥0”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 在直角坐标系xOy 中，对于点(x, y)，定义变换σ：将点(x, y)变换为点(a, b)，使得{x =tana y =tanb 其中a,b ∈(−π2,π2)．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数y 1＝2x(x >0)，y 2=x 2(x >0)，y 3=e x (x >0)，y 4＝lnx(x >1)在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ ）A.②，③，①，④B.③，②，④，①C.②，③，④，①D.③，②，①，④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．已知圆C 的参数方程为{x =2+cosθy =sinθ （θ为参数），则圆C 的面积为________；圆心C到直线l:3x −4y =0的距离为________．(x 2+1x )4的展开式中x 2的系数是________．在△ABC 中，a =3，b =2，∠A =π3，则cos2B =________．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1=1，S 2>S 3，则数列{a n }的通项公式可以是________．设不等式组{x ≥1x +y ≥32x +y ≤5 表示的平面区域为D ．若直线ax −y =0上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是________．地铁某换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=(1+tanx)⋅sin2x．(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)若α∈(0, π)，且f(α)=2，求α的值．如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB // CD // EF，AB⊥AD．CD=DA=AF=FE=2，AB=4．(Ⅰ)求证：DF // 平面BCE；(Ⅱ)求二面角C−BF−A的余弦值；(Ⅲ)线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如图统计图：(Ⅰ)求样本中患病者的人数和图中a，b的值；(Ⅱ)在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；(III)某研究机构提出，可以选取常数X0=n+0.5(n∈N∗)，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X0，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的X0的值及相应的概率（只需写出结论）．已知直线l:y=kx+1与抛物线C:y2=4x相切于点P．(Ⅰ)求直线l的方程及点P的坐标；(Ⅱ)设Q在抛物线C上，A为PQ的中点．过A作y轴的垂线，分别交抛物线C和直线l于M，N．记△PMN的面积为S1，△QAM的面积为S2，证明：S1=S2．−ax，曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点(2, −1)．已知函数f(x)=lnxx(Ⅰ)求实数a的值；,b]上的最大值和最小值．(Ⅱ)设b>1，求f(x)在区间[1b数列A n:a1，a2，…，a n(n≥2)的各项均为整数，满足：a i≥−1(i=1, 2,…,n)，且a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+...+a n−1⋅2+a n=0，其中a1≠0．(Ⅰ)若n=3，写出所有满足条件的数列A3；(Ⅱ)求a1的值；(Ⅲ)证明：a1+a2+...+a n>0．参考答案与试题解析2018年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】先分别求出集合A和B，由此能求出结果．【解答】∵集合A={x|0<x<1}，B={x|x2−2x<0}={x|0<x<2}，∴A⊆B．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】由(1−i)⋅z=1，知z=11−i，再由复数的代数形式的运算法则，能够求出结果．【解答】∵(1−i)⋅z=1，∴z=11−i=1+i=1+i 2=12+12i．3.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】可判断y=1x为奇函数，从而得出A错误，y=x2和y=2|x|在(0, 1)上都单调递增，从而得出B，C都错误，从而选D．【解答】A.y=1x是奇函数，∴该选项错误；B．y=x2在(0, 1)上单调递增，∴该选项错误；C．y=2|x|在(0, 1)上单调递增，∴该选项错误；D．y=cosx为偶函数，在(0, 1)上单调递减，∴该选项正确．4.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由正四棱锥的正视图和俯视图可知，正四棱锥的底面对角线长为2√2，正四棱锥的高为3，由此可求正四棱锥的侧面积．【解答】由正四棱锥的正视图和俯视图可知，正四棱锥的底面对角线长为2√2，正四棱锥的高为3∴正四棱锥的底面正方形边长为2∵正四棱锥的高为3∴正四棱锥的斜高为√9+1=√10∴正四棱锥的表面积是四个侧面积，即4×12×2×√10=4√10，5.【答案】D【考点】平行向量的性质【解析】根据图形便可看出2a→+b→=c→，这样即可得出λ的值．【解答】解：根据图形可看出2a→+b→=c→，满足2a→+b→与c→共线.∴λ=2.故选D.6.【答案】C【考点】椭圆的定义【解析】过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C点的坐标代入椭圆方程即可求得m．然后求解椭圆的离心率．【解答】过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C坐标为(1, √3)，C点的坐标代入椭圆方程得12+3m=1，解得m =6，所以椭圆的离心率为：√6=√63． 7.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可． 【解答】若∃x 0∈[−1, 1]，使f(x 0)≥0， 则1+a ≥0，解得：a ≥−1，故“a ≥0”是“∃x 0∈[−1, 1]，使f(x 0)≥0”的充分不必要条件， 8.【答案】 A【考点】函数与方程的综合运用 【解析】用x ，y 表示出a ，b ，根据反正切函数的单调性得出各自图象的a ，b 的范围及大小关系，从而得出答案． 【解答】由{x =tana y =tanb 可得{a =arctanx b =arctany ，对于y 3＝e x (x >0)，显然y 3>1，∴ b ＝arctany 3>π4，∴ y 3对应的图象为①； 对于y 4＝lnx(x >1)，a ＝arctanx >arctan1=π4，∴ y 4对应的图象为④； 对于y 1和y 2，当0<x <2时，2x >x 2，∴ arctan2x >arctanx 2， 即当0<a <arctan2时，∴ arctany 1>arctany 2， ∴ y 1对应的图象为②，y 2对应的图象为③．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 【答案】 π,65【考点】 圆的参数方程 【解析】化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心坐标与半径，则圆的面积可求；再由点到直线的距离公式求圆心C 到直线l:3x −4y =0的距离． 【解答】由圆C {x =2+cosθy =sinθ ，可得(x −2)2+y 2=1， ∴ 圆C 的圆心坐标为(2, 0)，半径为1， 则圆C 的面积为π×12=π；圆心C(2, 0)到直线l:3x −4y =0的距离为d =22=65．6【考点】二项式定理的应用 【解析】写出二项展开式的通项，由x 得指数为2求得r 值，则答案可求． 【解答】由T r+1=C 4r ∗(x 2)4−r ∗(1x )r =C 4r ∗x 8−3r ． 由8−3r =2，得r =(2)∴ (x 2+1x )4的展开式中x 2的系数是C 42=6．【答案】13【考点】二倍角的三角函数 正弦定理 【解析】由已知结合正弦定理求得sinB ，再由二倍角公式求解． 【解答】在△ABC 中，由a =3，b =2，∠A =π3， 得3sin π3=2sinB ，即sinB =√33．∴ cos2B =1−2sin 2B =1−2×(√33)2=13．【答案】−n +2（答案不唯一） 【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 【解析】由已知列式求出公差d 的范围，不妨取d =−1，可得数列{a n }的一个通项公式． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=1，S 2>S 3，得2+d >3+3d ，即2d <−1，d <−12． 不妨取d =−1，可得a n =1−(n −1)=−n +(2) 【答案】[12, 3] 【考点】 简单线性规划 【解析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax −y =0上存在区域D 上的点时的a 的范围．由不等式组{x ≥1x +y ≥32x +y ≤5 作出可行域如图，∵ 直线ax −y =0过定点O(0, 0)，要使直线ax −y =0上存在区域D 上的点， 则直线ax −y =0的斜率a ∈[k OB , k OA ]， 联立{x =12x +y =5 ，得A(1, 3)， 联立{x +y =32x +y =5 ，得B(2, 1)， ∴ kOA =31=3，kOB =12． ∴ a ∈[12, 3]，【答案】 D【考点】进行简单的合情推理 【解析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果【解答】同时开放A 、E 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s ， 同时开放D 、E 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s ， 得到D 疏散乘客比A 快；同时开放A 、E 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s ， 同时开放A 、B 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s ， 得到A 疏散乘客比E 快；同时开放A 、B 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s ， 同时开放B 、C 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s ， 得到A 疏散乘客比C 快；同时开放B 、C 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s ， 同时开放C 、D 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s ， 得到D 疏散乘客比B 快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】（本小题满分1（1）因为函数y =tanx 的定义域是{x ∈R|x ≠kπ+π2,k ∈Z}， 所以f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠kπ+π2,k ∈Z}．…………… （2）f(x)=(1+tanx)⋅sin2x =(1+sinx cosx )⋅sin2x …………… =sin2x +2sin 2x ……………=sin2x−cos2x+1……………=√2sin(2x−π4)+1．……………由f(α)=2，得sin(2α−π4)=√22．……………因为0<α<π，所以−π4<2α−π4<7π4，……………所以2α−π4=π4，或2α−π4=3π4．……………解得α=π4，或α=π2（舍去）．……………【考点】正弦函数的定义域和值域三角函数中的恒等变换应用【解析】(Ⅰ)利用正切函数的定义域直接求f(x)的定义域；(Ⅱ)通过切化弦，以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后通过方程以及三角函数求值求解即可．【解答】（本小题满分1（1）因为函数y=tanx的定义域是{x∈R|x≠kπ+π2,k∈Z}，所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ+π2,k∈Z}．……………（2）f(x)=(1+tanx)⋅sin2x=(1+sinxcosx)⋅sin2x……………=sin2x+2sin2x……………=sin2x−cos2x+1……………=√2sin(2x−π4)+1．……………由f(α)=2，得sin(2α−π4)=√22．……………因为0<α<π，所以−π4<2α−π4<7π4，……………所以2α−π4=π4，或2α−π4=3π4．……………解得α=π4，或α=π2（舍去）．……………【答案】（本小题满分1（1）因为CD // EF，且CD=EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF // CE．…因为DF平面BCE，…所以DF // 平面BCE．…（2）在平面ABEF内，过A作Az⊥AB．因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，又 Az ⊂平面ABEF ，Az ⊥AB ， 所以 Az ⊥平面ABCD ，所以 AD ⊥AB ，AD ⊥Az ，Az ⊥AB ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ．……………由题意得，A(0, 0, 0)，B(0, 4, 0)，C(2, 2, 0)，E(0,3,√3)，F(0,1,√3)． 所以BC →=(2, −2, 0)，BF →=(0, −3, √3)．设平面BCF 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅BC →=0n →⋅BF →=0即{2x −2y =0−3y +√3z =0 令y =1，则x =1，z =√3，所以n →=(1,1,√3)．……………平面ABF 的一个法向量为v →=(1,0,0)，…………… 则cos <n →,v →>=n →⋅v→|n →||v →|=√55． 所以 二面角C −BF −A 的余弦值√55．……………(Ⅲ)线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下：……………解法一：设平面ACE 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，则{m →⋅AC →=0m →⋅AE →=0即{2x 1+2y 1=03y 1+√3z 1=0 令y 1=1，则x 1=−1，z 1=−√3，所以m →=(−1,1,−√3)．……………因为m →⋅n →≠0，所以 平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ．……………解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下：……… 假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ， 设CG →=λCE →，其中λ∈[0, 1]．设G(x 2, y 2, z 2)，则有(x 2−2,y 2−2,z 2)=(−2λ,λ,√3λ)，所以x 2=2−2λ，y 2=2+λ，z 2=√3λ，从而G(2−2λ,2+λ,√3λ)， 所以AG →=(2−2λ,2+λ,√3λ)．…………… 因为AG ⊥平面BCF ，所以AG // n →． 所以有2−2λ1=2+λ1=√3λ√3， 因为上述方程组无解，所以假设不成立．所以线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ．……………【考点】直线与平面平行直线与平面垂直 【解析】(Ⅰ)证明DF // CE ．然后证明DF // 平面BCE ．(Ⅱ)建立空间直角坐标系A −xyz ．求出平面BCF 的法向量，平面ABF 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．(Ⅲ)线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，解法一：求出平面ACE 的法向量通过m →⋅n →≠0，说明平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ．解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，设CG →=λCE →，其中λ∈[0, 1]．设G(x 2, y 2, z 2)，则有(x 2−2,y 2−2,z 2)=(−2λ,λ,√3λ)，通过AG ⊥平面BCF ，AG // n →．推出2−2λ1=2+λ1=√3λ√3，方程组无解，所以假设不成立．线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． 【解答】（本小题满分1（1）因为CD // EF ，且CD =EF ， 所以 四边形CDFE 为平行四边形， 所以DF // CE ．… 因为DF 平面BCE ，… 所以DF // 平面BCE ．…（2）在平面ABEF 内，过A 作Az ⊥AB ．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 又 Az ⊂平面ABEF ，Az ⊥AB ， 所以 Az ⊥平面ABCD ，所以 AD ⊥AB ，AD ⊥Az ，Az ⊥AB ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ．……………由题意得，A(0, 0, 0)，B(0, 4, 0)，C(2, 2, 0)，E(0,3,√3)，F(0,1,√3)． 所以BC →=(2, −2, 0)，BF →=(0, −3, √3)．设平面BCF 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅BC →=0n →⋅BF →=0即{2x −2y =0−3y +√3z =0 令y =1，则x =1，z =√3，所以n →=(1,1,√3)．……………平面ABF 的一个法向量为v →=(1,0,0)，…………… 则cos <n →,v →>=n →⋅v→|n →||v →|=√55． 所以 二面角C −BF −A 的余弦值√55．……………(Ⅲ)线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下：……………解法一：设平面ACE 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，则{m →⋅AC →=0m →⋅AE →=0即{2x 1+2y 1=03y 1+√3z 1=0 令y 1=1，则x 1=−1，z 1=−√3，所以m →=(−1,1,−√3)．……………因为m →⋅n →≠0，所以 平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，解法二：线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：………假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设CG→=λCE→，其中λ∈[0, 1]．设G(x2, y2, z2)，则有(x2−2,y2−2,z2)=(−2λ,λ,√3λ)，所以x2=2−2λ，y2=2+λ，z2=√3λ，从而G(2−2λ,2+λ,√3λ)，所以AG→=(2−2λ,2+λ,√3λ)．……………因为AG⊥平面BCF，所以AG // n→．所以有2−2λ1=2+λ1=√3λ3，因为上述方程组无解，所以假设不成立．所以线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．……………【答案】（本小题满分1(Ⅰ)根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为100×3.48.5=40人．a=1−0.10−0.35−0.25−0.15−0.10=0.05，b=1−0.10−0.20−0.30=0.(40)(Ⅱ)指标检测数据为4的样本中，有患病者40×0.20=8人，未患病者60×0.15=9人．设事件A为“从中随机选择2人，其中有患病者”．则P(A)=C92C172=934，所以P(A)=1−P(A)=2534．(Ⅲ)使得判断错误的概率最小的X0=4.(5)当X0=4.5时，判断错误的概率为21100．【考点】分层抽样方法频率分布直方图古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为40人，由此能求出a，b．(Ⅱ)指标检测数据为4的样本中，有患病者8人，未患病者9人，设事件A为“从中随机选择2人，其中有患病者”．由此利用对立事件概率计算公式能求出这2人中有患病者的概(Ⅲ)使得判断错误的概率最小的X 0=4.5，当X 0=4.5时，判断错误的概率为21100． 【解答】（本小题满分1(Ⅰ)根据分层抽样原则，容量为100的样本中， 患病者的人数为100×3.48.5=40人．a =1−0.10−0.35−0.25−0.15−0.10=0.05，b =1−0.10−0.20−0.30=0.(40) (Ⅱ)指标检测数据为4的样本中，有患病者40×0.20=8人，未患病者60×0.15=9人． 设事件A 为“从中随机选择2人，其中有患病者”． 则P(A)=C 92C 172=934，所以P(A)=1−P(A)=2534．(Ⅲ)使得判断错误的概率最小的X 0=4.(5) 当X 0=4.5时，判断错误的概率为21100．【答案】(Ⅰ)由{y =kx +1y 2=4x 得k 2x 2+(2k −4)x +1=(0)①依题意，有k ≠0，且△=(2k −4)2−4k 2=(0) 解得k =(1)所以直线l 的方程为y =x +(1) 将k =1代入①，解得x =1， 所以点P 的坐标为(1, 2)．(Ⅱ)设Q(m, n)，则n 2=4m ，所以A(m+12,n+22)．依题意，将直线y =n+22分别代入抛物线C 与直线l ， 得M((n+2)216,n+22)，N(n 2,n+22)．因为|MN|=|(n+2)216−n2|=|n 2−4n+416|=|4m−4n+416|=|m−n+14|，|AM|=|m+12−(n+2)216|=|(8m+8)−(n 2+4n+4)16|=|(8m+8)−(4m+4n+4)16|=|m−n+14|，所以|AM|=|MN|．又A 为PQ 中点，所以P ，Q 两点到直线AN 的距离相等， 所以 S 1=S 2． 【考点】 抛物线的求解直线与抛物线的位置关系 【解析】（I ）联立方程组，令△=0得出k ，从而得出直线l 的方程和P 点坐标；(II)设Q(m, n)，求出A ，M ，N 的坐标，从而可得|AM|=|MN|，于是S 1=S 2．(Ⅰ)由{y =kx +1y 2=4x 得k 2x 2+(2k −4)x +1=(0)①依题意，有k ≠0，且△=(2k −4)2−4k 2=(0) 解得k =(1)所以直线l 的方程为y =x +(1) 将k =1代入①，解得x =1， 所以点P 的坐标为(1, 2)．(Ⅱ)设Q(m, n)，则n 2=4m ，所以A(m+12,n+22)．依题意，将直线y =n+22分别代入抛物线C 与直线l ， 得M((n+2)216,n+22)，N(n 2,n+22)．因为|MN|=|(n+2)216−n2|=|n 2−4n+416|=|4m−4n+416|=|m−n+14|，|AM|=|m+12−(n+2)216|=|(8m+8)−(n 2+4n+4)16|=|(8m+8)−(4m+4n+4)16|=|m−n+14|，所以|AM|=|MN|．又A 为PQ 中点，所以P ，Q 两点到直线AN 的距离相等， 所以 S 1=S 2． 【答案】（本小题满分1（1）f(x)的导函数为f ′(x)=1−lnx−ax 2x 2，……………所以f ′(1)=1−a ． 依题意，有f(1)−(−1)1−2=1−a ，即 −a+11−2=1−a ，…………… 解得a =(1)…………… （2）由(Ⅰ)得f ′(x)=1−x 2−lnxx 2．当0<x <1时，1−x 2>0，−lnx >0，所以f ′(x)>0，故f(x)单调递增； 当x >1时，1−x 2<0，−lnx <0，所以f ′(x)<0，故f(x)单调递减． 所以f(x)在区间(0, 1)上单调递增，在区间(1, +∞)上单调递减．…………… 因为0<1b <1<b ，所以f(x)最大值为f(1)=−(1)…………… 设ℎ(b)=f(b)−f(1b )=(b +1b )lnb −b +1b ，其中b >(1)…………… 则ℎ(b)=(1−1b 2)lnb >0，故ℎ(b)在区间(1, +∞)上单调递增．…………… 所以ℎ(b)>ℎ(1)=0，即f(b)>f(1b )，…………… 故f(x)最小值为f(1b )=−blnb −1b ．……………利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，求出切线的斜率，列出方程求实数a的值；(Ⅱ)利用函数的导数，通过x与0以及1的底薪比较，判断函数的单调性，求解函数的极值以及端点的函数值，求解函数最值即可．【解答】（本小题满分1（1）f(x)的导函数为f′(x)=1−lnx−ax2x2，……………所以f′(1)=1−a．依题意，有f(1)−(−1)1−2=1−a，即−a+11−2=1−a，……………解得a=(1)……………（2）由(Ⅰ)得f′(x)=1−x2−lnxx2．当0<x<1时，1−x2>0，−lnx>0，所以f′(x)>0，故f(x)单调递增；当x>1时，1−x2<0，−lnx<0，所以f′(x)<0，故f(x)单调递减．所以f(x)在区间(0, 1)上单调递增，在区间(1, +∞)上单调递减．……………因为0<1b<1<b，所以f(x)最大值为f(1)=−(1)……………设ℎ(b)=f(b)−f(1b )=(b+1b)lnb−b+1b，其中b>(1)……………则ℎ(b)=(1−1b2)lnb>0，故ℎ(b)在区间(1, +∞)上单调递增．……………所以ℎ(b)>ℎ(1)=0，即f(b)>f(1b)，……………故f(x)最小值为f(1b )=−blnb−1b．……………【答案】（本小题满分1（1）满足条件的数列A3为：−1，−1，6；−1，0，4；−1，1，2；−1，2，（0）……………（2）a1=−(1)……………否则，假设a1≠−1，因为a1≠0，所以a1≥(1)又a2，a3，…，a n≥−1，因此有a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+⋯+a n−1⋅2+a n≥2n−1+(−1)⋅2n−2+ (−1)⋅2n−3+...+(−1)⋅2+(−1)=2n−1−2n−2−2n−3−...−2−1=1，这与a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+⋯+a n−1⋅2+a n=0矛盾！所以a1=−(1)……………(Ⅲ)先证明如下结论：∀k∈{1, 2, ..., n−1}，必有a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k≤0．否则，令a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k>0，注意左式是2n−k的整数倍，因此a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k≥2n−k．a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+⋯+a n−1⋅2+a n≥2n−k+(−1)⋅2n−k−1+(−1)⋅2n−k−2+...+(−1)⋅2+(−1)=2n−k−2n−k−1−2n−k−2−...−2−1=1，这与a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+⋯+a n−1⋅2+a n=0矛盾！所以a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k≤0．……………因此有：，a1⋅2+a2≤0，a1⋅4+a2⋅2+a3≤0，…a1⋅2k−1+a2⋅2k−2+⋯+a k−1⋅2+a k≤0，…a1⋅2n−2+a2⋅2n−3+⋯+a n−2⋅2+a n−1≤0．将上述n−1个不等式相加得a1⋅(2n−1−1)+a2⋅(2n−2−1)+⋯+a n−1⋅(2−1)<0，①又a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+⋯+a n−1⋅2+a n=0，②两式相减即得a1+a2+...+a n>(0)……………【考点】数列与不等式的综合数列的应用数列的求和【解析】(Ⅰ)若n=3，利用已知条件直接写出所有满足条件的数列A3；(Ⅱ)a1=1，利用反证法证明即可；(Ⅲ)先证明如下结论：∀k∈{1, 2, ..., n−1}，必有a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k≤0．否则，令a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k>0，注意左式是2n−k的整数倍，因此a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k≥2n−k．利用基本不等式推出矛盾结论，a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k≤0然后利用累加法证明即可．【解答】（本小题满分1（1）满足条件的数列A3为：−1，−1，6；−1，0，4；−1，1，2；−1，2，（0）……………（2）a1=−(1)……………否则，假设a1≠−1，因为a1≠0，所以a1≥(1)又a2，a3，…，a n≥−1，因此有a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+⋯+a n−1⋅2+a n≥2n−1+(−1)⋅2n−2+(−1)⋅2n−3+...+(−1)⋅2+(−1)=2n−1−2n−2−2n−3−...−2−1=1，这与a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+⋯+a n−1⋅2+a n=0矛盾！所以a1=−(1)……………(Ⅲ)先证明如下结论：∀k∈{1, 2, ..., n−1}，必有a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k≤0．否则，令a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k>0，注意左式是2n−k的整数倍，因此a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k≥2n−k．所以有：a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+⋯+a n−1⋅2+a n≥2n−k+(−1)⋅2n−k−1+(−1)⋅2n−k−2+...+(−1)⋅2+(−1)=2n−k−2n−k−1−2n−k−2−...−2−1=1，这与a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+⋯+a n−1⋅2+a n=0矛盾！所以a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+⋯+a k⋅2n−k≤0．……………因此有：，a1⋅2+a2≤0，a1⋅4+a2⋅2+a3≤0，…a1⋅2k−1+a2⋅2k−2+⋯+a k−1⋅2+a k≤0，a1⋅2n−2+a2⋅2n−3+⋯+a n−2⋅2+a n−1≤0．将上述n−1个不等式相加得a1⋅(2n−1−1)+a2⋅(2n−2−1)+⋯+a n−1⋅(2−1)<0，①又a1⋅2n−1+a2⋅2n−2+a3⋅2n−3+⋯+a n−1⋅2+a n=0，②两式相减即得a1+a2+...+a n>(0)……………。