北京市西城区2018-2019年中考数学二模试卷(含答案)

北京市西城区2018年初三二模试卷数 学 2018. 6下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是A ．3B ．13-C ．3-D ．132．2018年，我国国内生产总值（GDP ）为58 786亿美元，超过日本，成为世界第二大经济体．58 786用科学记数法表示为 A ．45.878610⨯ B ．55.878610⨯ C ．358.78610⨯ D ．50.5878610⨯ 3．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，若圆心距O 1O 2=2 cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．外切 C ．相交 D ．内切 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是 A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形 5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是A ．平均数B ．众数C ．中位数 D．方差6．小明的爷爷每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面的四个函数图象中，能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的是7．下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4y =和直线1x =所围成的 区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为A B ．25+ C ． D ．4 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式 m 3 – 4m = . 10．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 11．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为P ．若两圆的半径分别为2和1，则弦长AB =；若用阴影部分围成一个圆锥（OA 与OB 重合），则该圆锥的底面半径长为 . 12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；11222011A B A B A B +++ 的值为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2273181---⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ．14．已知：如图，直线AB 同侧两点C ，D 满足CAD DBC ∠=∠， AC =BD ，BC 与AD 相交于点E ．求证：AE =BE ．15．已知：关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解.16．已知 122=+xy x ，215xy y +=，求代数式()22()x y y x y +-+的值．17．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数my x=()0≠m 的图象交于(3,1)A -，(2,)B n 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．18．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是根据本次植树活动的有关数据制作的统计图的一部分．请根据统计图所提供的有关信息，完成下列问题：（1）参加植树的学生共有 人； （2）请将该条形统计图补充完整；（3）参加植树的学生平均每人植树 棵．（保留整数）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求 出该方案所需费用．20．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ．（1）求tan ABD ∠的值； （2）求AF 的长．21．已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点， AD 交BC 于点E ，连结AB . （1）求证：2AB AE AD =⋅； （2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F ， 若AE =2，ED =4，求EF 的长．22．如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ， E 为AC 的中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B ，C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2）在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3）在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角形．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为x 1，x 2，则12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 解决下列问题：已知：a ，b ，c 均为非零实数，且a ＞b ＞c ，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，其中一根为2．（1）填空：42a b c ++ 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程20ax bx c ++=的另一个实数根（用含a ，c 的代数式表示）； （3）若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0，问：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．24．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF 和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ． （1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标；（2）若抛物线212y x m k =-++的顶点恰好为D 点，且DE=及此时cos ∠ODE 的值；（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1；当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积（用含m 的代数式表示）．北京市西城区2018年初三二模试卷数学答案及评分标准 2018.6二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=112- ……………………………………………………………4分 =32． ……………………………………………………………………5分 14．证明： 如图1． 在△ACE 和△BDE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分∴ △ACE ≌△BDE ． ……………………………………………………………4分 ∴ AE =BE ．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，∴ 16420k ∆=-⨯>． ………………………………………………………1分解得2k <． ……………………………………………………………………2分（2）∵2k<，∴ 符合条件的最大整数1k =，此时方程为2420x x ++=． ……………3分∴ 142a b c ===，，． ∴ 22444128b ac -=-⨯⨯=．………………………………………………4分代入求根公式x =，得2x ==-±．…………5分 ∴ 1222x x =-+=-16．解：原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -．………………………………………2分 ∵ 122=+xy x ①，152=+y xy ②，∴ ①-②，得223x y -=-． ………………………………………………………4分 ∴ 原式=3-． ………………………………………………………………………5分17．解：（1）∵ 反比例数my x=()0≠m 的图象经过(3,1)A -，(2,)B n 两点，（如图2） ∴ 313m =-⨯=-，322m n ==-．∴ 反比例函数解析式为3y x=-．………………………1分 点B 的坐标为3(2)2B -，．……………………………2分∵ 一次函数y kx b =+()0≠k 的图象经过(3,1)A -，3(2)2B -，两点，∴ 31,32.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得 1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 一次函数的解析式为1122y x =--．……………………………………3分（2）设一次函数1122y x =--的图象与x 轴的交点为C ，则点C 的坐标为(1,0)C -．∴ =AOB ACO COB S S S ∆∆∆+113=11+1222⨯⨯⨯⨯5=4． …………………………5分18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分（2）………………………………………………………………………………3分 （3）3．………………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x -辆． ()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分 （2）依题意得x -20< x .解得x >10．……………………………………………………………………3分 ∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数，∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分 答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元． 20．解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3） ∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ， ∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形.∵4CD =，∴ MN =CD = 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，∴ ∠DAB =∠CBA ，DM=CN ．∴ △ADM ≌△BCN ．又∵10AB =，∴ AM =BN =()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB =BN +MN =7．……………………………………………………………2分∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD =90︒，AD =5，AM =3，∴4DM =．∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==．……………………………………………………3分 （2）∵ EF AB ⊥，∴ ∠F =90︒．∵∠DMN =90︒，∴ ∠F =∠DMN .∴ DM ∥EF ．∴ △BDM ∽△BEF ．∵ DE BD =，∴ 12BM BD BF BE ==． ∴ BF =2BM =14． ……………………………………………………………4分∴ AF =BF -AB =14-10=4． …………………………………………………5分21．（1）证明：如图4．∵ 点A 是劣弧BC 的中点，∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………1分又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，∴ △ABE ∽△ADB ．………………………2分 ∴ AB AD AE AB=． ∴ 2AB AE AD =⋅．………………………………………………………3分（2）解：∵ AE =2，ED =4，∴()22612AB AE AD AE AE ED =⋅=+=⨯=．∴AB =．………………………………………………………4分∵ BD 为⊙O 的直径，∴ ∠A =90︒．又∵ DF 是⊙O 的切线，∴ DF ⊥BD.∴ ∠BDF =90︒．在Rt △ABD 中，tan AB ADB AD ∠===， ∴ ∠ADB =30︒．∴ ∠ABC =∠ADB =30︒.∴∠DEF=∠AEB=60︒，903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴ ∠F =18060DEF EDF ︒-∠-∠=︒．∴ △DEF 是等边三角形．∴ EF = DE 5分22．解：（1）……………………………………………………1分（2）……………………………………………………3分（3）……………………………………………………5分23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分（2）2c a．……………………………………………………………………………4分 （3）答：当x =5m +时，代数式2y ax bx c =++的值是正数．理由如下：设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (,0)2c a ，B (2,0) 两点． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且2c a＜0＜2，即点A 在点B 左侧．………………………5分 设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +．∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数．∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5）∴ A M B x x x <<，即22c m a <<．∴5572c m a +<+<，即572N c x a+<<． 以下判断52c a +与B x 的大小关系： ∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0，∴ 66(42)(5)(5)202222B c c a c a a b a b x a a a a a +-+-+-=+-===>． ∴B x ac >+52． ∴ 52N B c x x a>+>．…………………………………………………………6分 ∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴B N y y >，即0y >.∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分24．解：（1）52，265．………………………………………………………………………2分 （2）只有点P 在DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且PD=PE ．（如图6）……………3分 ∵ BF=t ，PF=2t ，DF ＝8，∴ 82PD DF PF t =-=-．在Rt △PEF 中，2222436PE PF EF t =+=+=2PD ．即()2228364t t -=+．解得 78t =．…………………………………4分 ∴ t 为78时△PDE 为等腰三角形． （3）设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时，点P 与点G 重合，此时点P 一定在DE 边上，DP= DG ． 由已知可得93tan 124AC B BC ===，63tan 84EF D DF ===． ∴.D B ∠=∠∴.90︒=∠=∠BFH DGH∴ 3tan 4FH BF B t =⋅=，384D H D F F H t =-=-， .5325354438cos +-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=t t D DH DG ∵ 2DP DF t +=，∴ 28DP t =-．由DP=DG 得3322855t t -=-+． 解得 7213t =． …………………………………………………………………5分 检验：724613<<，此时点P 在DE 边上.∴ t 的值为7213时，点P 与点G 重合． （4）当0＜t ≤4时，点P 在DF 边上运动（如图6），t a n 2PF PBF BF∠==． …………………………………………………………………………………6分 当4< t ≤6时，点P 在DE 边上运动（如图7），作PS ⊥BC 于S ，则tan PS PBF BS ∠=． 可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-．此时()5725821854cos cos +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE PS ， ()5545621853sin sin +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE ES ． 524511554566-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=-+=t t t ES EF BF BS ． ∴ 728tan 1124PS t PBF BS t -∠==-．………………………………………………7分 综上所述， 2 (04),tan 728 (46).1124t PBF t t t <≤⎧⎪∠=-⎨<≤⎪-⎩ （以上时间单位均为s ，线段长度单位均为cm ）25．解：（1）B，………………………………………………………1分 C．………………………………………………………3分（2）当AB =4k ，(0,)A m 时，OA =m ，与（1）同理可得B点的坐标为,2)B k m +， C点的坐标为,2)C k ．如图8，过点B 作y 轴的垂线，垂足为F ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为G ，两条垂线的交点为H ，作DM ⊥FH 于点M ，EN ⊥OG 于点N ．由三角形中位线的性质可得点D的坐标为,)D k m +，点E的坐标为)E k ．由勾股定理得DE ． ∵DE= ∴ m=4． ……………………………4分∵ D恰为抛物线212y x m k =-++的顶点， 它的顶点横坐标为， ∴=．解得k=1．此时抛物线的解析式2143y x x =-+． …………………………………5分 此时D ，E两点的坐标分别为D，E ． ∴OD =OE =∴ OD=OE=DE ．∴ 此时△ODE 为等边三角形，cos ∠ODE= cos60°=12．……………………6分 （3）E 1，E 3点的坐标分别为1E ，E3． 设直线13E E 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．则1,3.a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得.2a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 直线13E E的解析式为2m y =-． ……………………………………7分 可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角为60°.∵ 直线13D D ，13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°， ∴ 13D D ∥13E E ．∵ D 1，D 3两点的坐标分别为11)D m +，33)D m +， 由勾股定理得13D D =4，13E E =4．∴ 1313D D E E =．∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形．设直线13E E 与y 轴的交点为P ，作AQ ⊥13E E 于Q ．（如图9）可得点P 的坐标为.23,2,0m AP m P =⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴.43360sin sin m AP OPQ AP AQ =︒⋅=∠⋅= ∴1331134D D E E S D D AQ =⨯==四边形．…………………………8分。

∙∙５. 考试结束ꎬ将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回ꎮ４. 在答题卡上ꎬ选择题、作图题用 ２Ｂ 铅笔作答ꎬ其他试题用黑色字迹签字笔作答ꎮ３. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上ꎬ在试卷上作答无效ꎮ ２. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号ꎮ １. 本试卷共 ８ 页ꎬ共三道大题ꎬ２８ 道小题ꎬ满分 １００ 分ꎬ考试时间 １２０ 分钟ꎮ考生须知北京市西城区 ２０１８ 年九年级模拟测试数学试卷２０１８.５一、 选择题( 本题共 １６ 分ꎬ每小题 ２ 分)第 １－８ 题均有四个选项ꎬ符合题意的选项只有一个.１. 如图所示ꎬａ ∥ ｂꎬ直线 ａ 与直线 ｂ 之间的距离是 Ａ. 线段 ＰＡ 的长度 Ｂ. 线段 ＰＢ 的长度 Ｃ. 线段 ＰＣ 的长度Ｄ. 线段 ＣＤ 的长度２. 将某不等式组的解集 － １ ≤ ｘ < ３ 表示在数轴上ꎬ下列表示正确的是３. 下列运算中ꎬ正确的是 Ａ. ｘ２ ＋ ５ｘ２ ＝ ６ｘ４Ｂ. ｘ３ ｘ２ ＝ ｘ６Ｃ. ( ｘ２ )３＝ ｘ６ Ｄ. ( ｘｙ)３＝ ｘｙ３ ４. 下列实数中ꎬ在 ２ 和 ３ 之间的是 Ａ. πＢ. π － ２Ｃ. ３２５Ｄ. ３２８５. 一副直角三角板如图放置ꎬ其中 ∠Ｃ ＝ ∠ＤＦＥ ＝ ９０°ꎬ∠Ａ ＝ ４５°ꎬ ∠Ｅ ＝ ６０°ꎬ点 Ｆ 在 ＣＢ 的延长线上.若 ＤＥ ∥ ＣＦꎬ则 ∠ＢＤＦ 等于 Ａ. ３５°Ｂ. ３０°６. Ｃ中. 国２５古° 代在利用“ 计里画方” ( 比例缩放和直Ｄ角. １５°坐标网格体系) 的方法制作地图时ꎬ会利用测杆、水准仪和照板来测量距离. 在如图所示的测量距离 ＡＢ 的示意图中ꎬ记照板“ 内芯” 的高度为 ＥＦ. 观测者的眼睛( 图中用点 Ｃ 表示) 与 ＢＦ 在同一水平线上ꎬ则下列结论中ꎬ正确的是 Ａ.ＥＦ ＝ ＣＦＢ. ＥＦ ＝ＣＦＡＢＦＢＡＢＣＢＣ. ＣＥ＝ＣＦＤ. ＣＥ＝ＣＦＣＡＦＢＥＡＣＢ∙∙∙７. 在一次男子马拉松长跑比赛中ꎬ随机抽取了１０名选手ꎬ记录他们的成绩(所用的时间)如下:选手１２３４５６７８９１０时间( ｍｉｎ) １２９１３６１４０１４５１４６１４８１５４１５８１６５１７５由此所得的以下推断不正确的是Ａ. 这组样本数据的平均数超过１３０Ｂ. 这组样本数据的中位数是１４７Ｃ.在这次比赛中ꎬ估计成绩为１３０ｍｉｎ的选手的成绩会比平均成绩差Ｄ.在这次比赛中ꎬ估计成绩为１４２ｍｉｎ的选手ꎬ会比一半以上的选手成绩要好８. 如图１所示ꎬ甲、乙两车沿直路同向行驶ꎬ车速分别为２０ｍ/ｓ和ｖ( ｍ/ｓ) ꎬ起初甲车在乙车前ａ( ｍ) 处ꎬ两车同时出发ꎬ当乙车追上甲车时ꎬ两车都停止行驶.设ｘ( ｓ)后两车相距ｙ( ｍ) ꎬｙ与ｘ的函数关系如图２所示.有以下结论:①图１中ａ的值为５００ꎻ②乙车的速度为３５ｍ/ ｓꎻ③图１中线段ＥＦ应表示为５００＋５ｘꎻ④图２中函数图象与ｘ轴交点的横坐标为１００.其中所有的正确结论是Ａ. ①④Ｂ. ②③Ｃ. ①②④Ｄ. ①③④二、填空题( 本题共１６分ꎬ每小题２分)９.如果２－ｘ有意义ꎬ那么ｘ的取值范围是.１０.不透明袋子中装有５个红色球和３个蓝色球ꎬ这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球ꎬ摸出蓝色球的概率为.１１.如图ꎬ等边三角形ＡＢＣ内接于☉Ｏꎬ若☉Ｏ的半径为２ꎬ则图中阴影部分的面积等于.１２.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛ꎬ准备购买ＡꎬＢ两款魔方.社长发现若购买２个Ａ款魔方和６个Ｂ款魔方共需１７０元ꎬ购买３个Ａ款魔方和购买８个Ｂ款魔方所需费用相同.求每款魔方的单价.设Ａ款魔方的单价为ｘ元ꎬＢ款魔方的单价为ｙ元ꎬ依题意可列方程组为.１３. 如图ꎬ在矩形ＡＢＣＤ 中ꎬ顺次连接矩形四边的中点得到四边形ＥＦＧＨ. 若ＡＢ ＝ ８ꎬＡＤ ＝ ６ꎬ则四边形 ＥＦＧＨ的周长等于.１４. 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ将抛物线 ｙ ＝ ３( ｘ ＋ ２) ２－ １ 平移后得到抛物线ｙ ＝ ３ｘ２ ＋ ２.请你写出一种平移方法. 答:.１５. 如图ꎬＡＢ 为 ☉Ｏ 的直径ꎬＡＣ 与 ☉Ｏ 相切于点 Ａꎬ弦 ＢＤ ∥ ＯＣ.若 ∠Ｃ ＝３６°ꎬ则 ∠ＤＯＣ ＝°.１６. 我们知道:四边形具有不稳定性.如图ꎬ在平面直角坐标系ｘＯｙ 中ꎬ矩形 ＡＢＣＤ 的边 ＡＢ 在 ｘ 轴上ꎬＡ( － ３ꎬ０) ꎬＢ(４ꎬ０) ꎬ边 ＡＤ 长为 ５. 现固定边 ＡＢꎬ“ 推” 矩形使点 Ｄ 落在 ｙ 轴的正半轴上( 落点记为 Ｄ′) ꎬ相应地ꎬ点 Ｃ 的对应点 Ｃ′ 的坐标为.三、 解答题( 本题共 ６８ 分ꎬ第 １７ ~ ２１ 题每小题 ５ 分ꎬ第 ２２、２３ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２４ 题 ５ 分ꎬ第２５、２６ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２７、２８ 题每小题 ７ 分) １７. 计算: ６ｃｏｓ６０° － ２７ ＋ ( π － ２)０ － １８. 解方程: ｘ ＋ １＝ ３. － ２ .ｘ － ２２ － ｘ１９. 如图ꎬ在四边形 ＡＢＣＤ 中ꎬＥ 为 ＡＢ 的中点ꎬＤＥ ⊥ ＡＢ 于点 Ｅꎬ∠Ａ ＝ ６６°ꎬ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬＢＣ ＝ ＡＤꎬ求 ∠Ｃ 的度数.２０. 先化简ꎬ再求值:⎛１ － ５ ⎫ ÷ ｘ２－ ６ｘ ＋ ９ꎬ其中 ｘ ＝ － ５.ｘ ＋ ２÷ｘ ＋ ２２１. 如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬＣＤ ⊥ ＡＢ 于点 ＤꎬＢＥ ⊥ ＡＢ 于点⎭ ⎝ ３ＢꎬＢＥ＝ＣＤꎬ连接ＣＥꎬＤＥ.(１) 求证:四边形ＣＤＢＥ为矩形ꎻ(２) 若ＡＣ＝２ꎬｔａｎ∠ＡＣＤ＝１ꎬ求ＤＥ的长.２２２.阅读下列材料:材料一:早在２０１１年９月２５日ꎬ北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票ꎬ２０１１年全年网络售票仅占１.６８％.２０１２年至２０１４年ꎬ全年网络售票占比都在２％左右.２０１５年全年网络售票占１７３３％ꎬ２０１６年全年网络售票占比增长至４１.１４％.２０１７年８月实现网络售票占比７７％.２０１７年１０月２日ꎬ首次实现全部网上售票.与此同时ꎬ网络购票也采用了“人性化”的服务方式ꎬ为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后ꎬ在北京故宫博物院的精细化管理下ꎬ观众可以更自主地安排自己的行程计划ꎬ获得更美好的文化空间和参观体验.材料二:以下是某同学根据网上搜集的数据制作的２０１３－２０１７年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.年度２０１３２０１４２０１５２０１６２０１７参观人数( 人次)７４５００００７６３００００７２９００００７５５００００８０６００００年增长率( ％) ３８.７２.４－４.５３.６６.８他还注意到了如下的一则新闻:２０１８年３月８日ꎬ中国国家博物馆官方微博发文ꎬ宣布取消纸质门票ꎬ观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆ꎬ同时馆方工作人员担心的是:“虽然有故宫免(纸质) 票的经验在前ꎬ但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票ꎬ他遵守预约的程度是不一样的. 但(国博) 免费就有可能约了不来ꎬ挤占资源ꎬ所以难度其实不一样.”尽管如此ꎬ国博仍将积极采取技术和服务升级ꎬ希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题:(１) 补全以下两个统计图ꎻ(２) 请你预估２０１８年中国国家博物馆的参观人数ꎬ并说明你的预估理由.２３.如图ꎬ在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ函数ｙ＝ｍ( ｘ<０) 的图象经过点Ａ( －４ꎬｎ) ꎬＡＢ⊥ｘ轴于点ｘＢꎬ点Ｃ与点Ａ关于原点Ｏ对称ꎬＣＤ⊥ｘ轴于点Ｄꎬ△ＡＢＤ的面积为８.(１) 求ｍꎬｎ的值ꎻ(２) 若直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ( ｋ≠０) 经过点Ｃꎬ且与ｘ轴ꎬｙ轴的交点分别为点ＥꎬＦꎬ当ＣＦ＝２ＣＥ时ꎬ求点Ｆ的坐标.２４.如图ꎬＡＢ是☉Ｏ的直径ꎬＣ是圆上一点ꎬ弦ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅꎬ且ＤＣ＝ＡＤ.过点Ａ作☉Ｏ的切线ꎬ过点Ｃ作ＤＡ的平行线ꎬ两直线交于点ＦꎬＦＣ的延长线交ＡＢ的延长线于点Ｇ.(１) 求证:ＦＧ与☉Ｏ相切ꎻ(２) 连接ＥＦꎬ求ｔａｎ∠ＥＦＣ的值.２５. 阅读下面材料:已知:如图ꎬ在正方形 ＡＢＣＤ 中ꎬ边 ＡＢ ＝ ａ１ .按照以下操作步骤ꎬ可以从该正方形开始ꎬ构造一系列的正方形ꎬ它们之间的边满足一定的关系ꎬ并且一个比一个小.操作步骤作法由操作步骤推断( 仅选取部分结论)第一步在第一个正方形ＡＢＣＤ 的对角线ＡＣ 上截取 ＡＥ ＝ ａ１ꎬ再作 ＥＦ ⊥ ＡＣ 于点 Ｅꎬ ＥＦ 与边 ＢＣ 交于点 Ｆꎬ记 ＣＥ ＝ ａ２ꎻ( ⅰ) △ＥＡＦ ≌ △ＢＡＦ( 判定依据是 ①) ꎻ ( ⅱ) △ＣＥＦ 是等腰直角三角形ꎻ ( ⅲ) 用含 ａ１ 的式子表示 ａ２ 为 ②ꎻ第二步以 ＣＥ 为边构造第二个正方形 ＣＥＦＧꎻ第三步在第二个正方形的对角线 ＣＦ 上截取ＦＨ ＝ ａ２ ꎬ再作ＩＨ ⊥ ＣＦ 于点ＨꎬＩＨ 与边 ＣＥ 交于点 Ｉꎬ记 ＣＨ ＝ ａ３ ꎻ( ⅳ) 用只含 ａ１ 的式子表示 ａ３ 为 ③ꎻ第四步以 ＣＨ 为边构造第三个正方形 ＣＨＩＪꎻ这个过程可以不断进行下去.若第 ｎ 个正方形的边长为 ａｎ ꎬ用只含 ａ１ 的式子表示 ａｎ 为 ④.请解决以下问题: (１) 完成表格中的填空:① ꎻ② ꎻ ③ꎻ④ꎻ根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形 ＣＨＩＪ( 不要求尺规作图) .(２)２６.抛物线Ｍ:ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋ａ－１ ( ａ≠０) 与ｘ轴交于ＡꎬＢ两点( 点Ａ在点Ｂ左侧) ꎬ抛物线的顶点为Ｄ.(１) 抛物线Ｍ的对称轴是直线ꎻ(２) 当ＡＢ＝２时ꎬ求抛物线Ｍ的函数表达式ꎻ(３) 在(２) 的条件下ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｂ( ｋ≠０) 经过抛物线的顶点Ｄꎬ直线ｙ＝ｎ与抛物线Ｍ有两个公共点ꎬ它们的横坐标分别记为ｘ１ꎬｘ２ꎬ直线ｙ＝ｎ与直线ｌ的交点的横坐标记为ｘ３( ｘ３>０) ꎬ若当－２≤ｎ≤－１时ꎬ总有ｘ１－ｘ３>ｘ３－ｘ２>０ꎬ请结合函数的图象ꎬ直接写出ｋ的取值范围.２７.如图１ꎬ在等边三角形ＡＢＣ中ꎬＣＤ为中线ꎬ点Ｑ在线段ＣＤ上运动ꎬ将线段ＱＡ绕点Ｑ顺时针旋转ꎬ使得点Ａ的对应点Ｅ落在射线ＢＣ上ꎬ连接ＢＱꎬ设∠ＤＡＱ＝α(０°<α<６０°且α≠３０°) .(１) 当０°<α<３０°时ꎬ①在图１中依题意画出图形ꎬ并求∠ＢＱＥ( 用含α 的式子表示) ꎻ②探究线段ＣＥꎬＡＣꎬＣＱ之间的数量关系ꎬ并加以证明ꎻ当３０°<α<６０°时ꎬ直接写出线段ＣＥꎬＡＣꎬＣＱ之间的数量关系.图１备用图(２)ｘ３２８.对于平面直角坐标系ｘＯｙ中的点Ｑ( ｘꎬｙ) (ｘ≠０) ꎬ将它的纵坐标ｙ与横坐标ｘ的比ｙ称为点Ｑ的“理想值”ꎬ记作ＬＱ.如Ｑ( －１ꎬ２) 的“理想值”ＬＱ＝－２１＝－２.(１) ①若点Ｑ(１ꎬａ) 在直线ｙ＝ｘ－４上ꎬ则点Ｑ的“理想值”ＬＱ等于ꎻ②如图ꎬＣ( ３ꎬ１) ꎬ☉Ｃ的半径为１.若点Ｑ在☉Ｃ上ꎬ则点Ｑ的“理想值”ＬＱ的取值范围是.(２) 点Ｄ在直线ｙ＝－３ｘ＋３上ꎬ☉Ｄ的半径为１ꎬ点Ｑ在☉Ｄ上运动时都有０≤ＬＱ≤３ꎬ求点Ｄ的横坐标ｘＤ的取值范围ꎻ(３) Ｍ(２ꎬｍ)(ｍ > ０)ꎬＱ是以ｒ为半径的☉Ｍ上任意一点ꎬ当０≤ＬＱ≤２２时ꎬ画出满足条件的最大圆ꎬ并直接写出相应的半径ｒ的值.(要求画图位置准确ꎬ但不必尺规作图)１５. ２北京市西城区 ２０１８ 年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准２０１８.５一二２ｘ ６ｙ １７０ ꎬ ９. ｘ ≤ ２. １０. ３ . １１. ４π. １２. ３ｘ ＝ ８ｙ. １３. ２０.１４. 答案不唯一ꎬ例８如ꎬ将抛物线３ｙ ＝ ３( ｘ ＋ ２) ２－ １ 先向右平移 ２ 个单位长度ꎬ再向上平移 ３ 个单位长度得到抛物线 ｙ ＝ ３ｘ２ ＋ ２. ５４.１６. (７ꎬ４) .三、 解答题( 本题共 ６８ 分ꎬ第 １７ ~ ２１ 题每小题 ５ 分ꎬ第 ２２、２３ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２４ 题 ５ 分ꎬ第２５、２６ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２７、２８ 题每小题 ７ 分)１７. 解: ６ｃｏｓ６０° － ２７ ＋ ( π － ２) ０ － ３ － ２＝ ６ ×１－ ３ ３ ＋ １ － (２ － ３ ) ４ 分 ＝ ３ － ３ ３ ＋ １ － ２ ＋ ３ ＝ ２ － ２ｘ３ . ５ 分１８. 解方程:ｘ － ２ ＋ ２ １－ ｘ＝ ３. 解:去分母ꎬ得 ｘ － １ ＝ ３( ｘ － ２) . １ 分去括号ꎬ得 ｘ － １ ＝ ３ｘ － ６. ２ 分移项ꎬ得 ３ｘ － ｘ ＝ ６＝－ １. 合并同类项ꎬ得 ２ｘ ５５. ３ 分系数化为 １ꎬ得 ｘ ＝ ２. ４ 分经检验ꎬ原方程的解为 ｘ ＝ ５. ５ 分１９. 解:如图 １ꎬ连接 ＢＤ. ２∵ Ｅ 为 ＡＢ 的中点ꎬＤＥ ⊥ ＡＢ 于点 Ｅꎬ∴ ＡＤ ＝ ＢＤ. １ 分 ∴ ∠１ ＝ ∠Ａ. ∵ ∠Ａ ＝ ６６°ꎬ ∴ ∠１ ＝ ６６°. ２ 分 ∵ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬ∴ ∠２ ＝ ∠ＡＢＣ － ∠１ ＝ ２４°. ∵ ＡＤ ＝ ＢＣ ꎬ ３ 分∴ ＢＤ ＝ ＢＣ. ４ 分 ∴ ∠Ｃ ＝ ∠３. ° － ∠２题号 １２３４５６７８答案Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ１８０∴∠Ｃ＝２＝７８°.５分: ２０⎛－ ５ ⎫ ÷ｘ２ － ６ｘ ＋ ９. 解⎝ｘ ＋ ２÷ｘ ＋ ２ ＝ ｘ － ３ ×ｘ ＋ ２ ３ 分 ｘ ＋ ２ ＝ ｘ －１ ３.( ｘ － ３) ２４ 分当 ｘ ＝ － ５ 时ꎬ原式 ＝ － １. ５ 分２１. (１) 证明:如图 ２. ８∵ ＣＤ ⊥ ＡＢ 于点 ＤꎬＢＥ ⊥ ＡＢ 于点 Ｂꎬ∴ ∠ＣＤＡ ＝ ∠ＤＢＥ ＝ ９０°. ∴ ＣＤ ∥ ＢＥ. １ 分(２) 又 ∵ ＢＥ ＝ ＣＤ ꎬ∴ 四边形 ＣＤＢＥ 为平行四边形. ２ 分 又 ∵ ∠ＤＢＥ ＝ ９０°ꎬ图 ２∴ 四边形 ＣＤＢＥ 为矩形. ３ 分解:∵ 四边形 ＣＤＢＥ 为矩形ꎬ∴ ＤＥ ＝ ＢＣ. ＝ ４ 分 ∵ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＡＣＢ可得 ∠ＡＣＤ ＝ ∠１.∵ ｔａｎ∠ＡＣＤ ＝ １ꎬ９０°ꎬＣＤ ⊥ ＡＢꎬ２ ＝ＡＣＤ ＝ １ .∴ ｔａｎ∠１ｔａｎ∠２１∵ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬＡＣ ＝ ２ꎬｔａｎ∠１ ＝ ２ꎬ∴ ＢＣ ＝ ＡＣ＝ ４. ∴ ＤＥ ＝ ｔＢａＣｎ∠＝１ . ５ 分２２. 解:(１) 补全统计图如４图 ３.２３.⎭ １(２) 答案不唯一 预估理由合理 支撑预估数据即可.分图 ３４ 分解:(１) 如图 ４.ꎬꎬ６∵ 点 Ａ 的坐标为 Ａ( － ４ꎬｎ)ꎬ点 Ｃ 与点 Ａ 关于原点 Ｏ 对称ꎬｘＯＦ２ ２４ １ ２ ∴ 点 Ｃ 的坐标为 Ｃ(４ꎬ － ｎ) .∵ ＡＢ ⊥ ｘ 轴于点 ＢꎬＣＤ ⊥ ｘ 轴于点 Ｄꎬ ∴ ＢꎬＤ 两点的坐标分别为 Ｂ( － ４ꎬ０) ꎬＤ(４ꎬ０) .∵ △ＡＢＤ 的面积为 ８ꎬＳ△＝ １ ＡＢ × ＢＤ ＝ １× ( － ｎ) × ８ ＝ － ４ｎ ꎬ∴－ ４ｎ ＝ ８. ２２解得 ｎ ＝ － ２. ２ 分∵ 函数 ｙ ＝ ｍ( ｘ < ０) 的图象经过点 Ａ( － ４ꎬｎ) ꎬ(２) ∴ ｍ ＝ － ４ｎ ＝ ８. ３ 分 由(１) 得点 Ｃ 的坐标为 Ｃ(４ꎬ２) .① 如图 ４ꎬ当 ｋ < ０ 时ꎬ设直线 ｙ ｙ 轴的交点分别为点 Ｅ１ ꎬＦ１ .ｋｘ ＋ ｂ 与 ｘ 轴 ꎬ由 ＣＤ ⊥ ｘ 轴于点 Ｄ 可得 ＣＤ ∥ ＯＦ１ . ∴ △Ｅ１ ＣＤ ∽ △Ｅ１ Ｆ１ Ｏ. ＤＣ ＯＦ１ ＝ Ｅ１ Ｃ. Ｅ１ Ｆ１ ∵ ＣＦ１ ＝ ２ＣＥ１ ꎬ∴ ＤＣ ＝ １ . 图 ４ＯＦ１ ∴ ＯＦ１ ∴３３ＤＣ ＝ ６.点 Ｆ１ 的坐标为 Ｆ１(０ꎬ６) . ② 如图 ５ꎬ当 ｋ > ０ 时ꎬ设直线 ｙ 的交点分别为点 Ｅ２ ꎬＦ２ .＝ ｋｘ ＋ ｂ 与 ｘ 轴 ꎬｙ 轴同理可得 ＣＤ ∥ ＯＦ２ ꎬ ＤＣ ＝ Ｅ２ Ｃ .Ｅ２Ｆ２ ∵ ＣＦ２ ＝ ２ＣＥ２ ꎬ ∴ Ｅ２ 为线段 ＣＦ２ 的中点 ꎬＥ２ Ｃ ＝ Ｅ２ Ｆ２ . ∴ ＯＦ２ ＝ ＤＣ ＝ ２.∴ 点 Ｆ２ 的坐标为 Ｆ２(０ꎬ － ２) . ６ 分综上所述ꎬ点 Ｆ 的坐标为 Ｆ (０ꎬ６) ꎬＦ (０ꎬ － ２) . 图 ５. (１) 证明:如图 ６ꎬ连接 ＯＣꎬＡＣ.∵ ＡＢ 是 ☉Ｏ 的直径ꎬ弦 ＣＤ ⊥ ＡＢ 于点 Ｅꎬ ∴ ＣＥ ＝ ＤＥ ꎬ ＡＤ ＝ ＡＣ. ∵ ＤＣ ＝ ＡＤ ꎬ ∴ ＤＣ ＝ ＡＤ ＝ ＡＣ.ＡＢＤ ＝ ∴＝∴△ＡＣＤ为等边三角形.∴∠Ｄ＝∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ＝６０°.∴∠１＝１∠ＤＣＡ＝３０°.图６２２(２)∵ＦＧ∥ＤＡꎬ∴∠ＤＣＦ＋∠Ｄ＝１８０°.∴∠ＤＣＦ＝１８０°－∠Ｄ＝１２０°.∴∠ＯＣＦ＝∠ＤＣＦ－∠１＝９０°.∴ＦＧ⊥ＯＣ.∴ＦＧ与☉Ｏ相切. ３分解: 如图６ꎬ作ＥＨ⊥ＦＧ于点Ｈ.设ＣＥ＝ａꎬ则ＤＥ＝ａꎬＡＤ＝２ａ.∵ＡＦ与☉Ｏ相切ꎬ∴ＡＦ⊥ＡＧ.又∵ＤＣ⊥ＡＧꎬ可得ＡＦ∥ＤＣ. 又∵ＦＧ∥ＤＡꎬ∴四边形ＡＦＣＤ为平行四边形.∵ＤＣ＝ＡＤꎬＡＤ＝２ａꎬ∴四边形ＡＦＣＤ为菱形.∴ＡＦ＝ＦＣ＝ＡＤ＝２ａꎬ∠ＡＦＣ＝∠Ｄ＝６０°.由(１) 得∠ＤＣＧ＝６０°ꎬＥＨ＝ＣＥｓｉｎ６０°＝３ａꎬＣＨ＝ＣＥｃｏｓ６０°＝１ａ.２２∴ＦＨ＝ＣＨ＋ＣＦ＝５ａ.∵在Ｒｔ△ＥＦＨ中ꎬ∠ＥＨＦ＝９０°ꎬ３ａ∴ｔａｎ∠ＥＦＣ＝ＥＨ＝＝３. ５２５.解:(１) ①２ＦＨ５ａ５２分. １分斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等②( ２－１) ａ１.２分③( ２－１) ２ａ１.３分④( ２－１) ｎ－１ａ１.４分(２) 所画正方形ＣＨＩＪ见图７.６分图７４２６.解:如图８.(１) ｘ＝２.１分(２) ∵抛物线ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋ａ－１的对称轴为直线ｘ＝２ꎬ抛物线Ｍ与ｘ轴的交点为点ＡꎬＢ(点Ａ在点Ｂ左侧)ꎬＡＢ＝２ꎬ∴ＡꎬＢ两点的坐标分别为Ａ(１ꎬ０) ꎬＢ(３ꎬ０) . ２分∵点Ａ在抛物线Ｍ上ꎬ∴将Ａ(１ꎬ０) 的坐标代入抛物线的函数表达式ꎬ得ａ－４ａ＋ａ－１＝０.解得ａ＝－１. ３分２∴ｙ＝－１ｘ２＋２ｘ－３.４抛物线Ｍ的函数表达式为２２分(３) ｋ> ５. ６分图８２７.解:(１) 当０°<α<３０°时ꎬ①画出的图形如图９所示. １分∵△ＡＢＣ为等边三角形ꎬ∴∠ＡＢＣ＝６０°.∵ＣＤ为等边△ＡＢＣ的中线ꎬＱ为线段ＣＤ上的点ꎬ由等边三角形的对称性得ＱＡ＝ＱＢ.∵∠ＤＡＱ＝α ꎬ∴∠ＡＢＱ＝∠ＤＡＱ＝αꎬ∠ＱＢＥ＝６０°－α.∵线段ＱＥ为线段ＱＡ绕点Ｑ顺时针旋转所得ꎬ∴ＱＥ＝ＱＡ. 图９∴ＱＢ＝ＱＥ.可得∠ＢＱＥ＝１８０°－２∠ＱＢＥ＝１８０°－２(６０°－α) ＝６０°＋２α.２分②ＣＥ＋ＡＣ＝３ＣＱ. ３分证法一:如图１０ꎬ延长ＣＡ到点Ｆꎬ使得ＡＦ＝ＣＥꎬ连接ＱＦꎬ作ＱＨ⊥ＡＣ于点Ｈ.∵∠ＢＱＥ＝６０°＋２αꎬ点Ｅ在ＢＣ上ꎬ∴∠ＱＥＣ＝∠ＢＱＥ＋∠ＱＢＥ＝(６０°＋２α) ＋( ６０°－α) ＝１２０°＋α.２２３. 解:(１) ①３.１分∵点Ｆ在ＣＡ的延长线上ꎬ∠ＤＡＱ＝αꎬ∴∠ＱＡＦ＝∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＱ＝１２０°＋α.∴∠ＱＡＦ＝∠ＱＥＣ.又∵ＡＦ＝ＣＥꎬＱＡ＝ＱＥꎬ∴△ＱＡＦ≌△ＱＥＣ.∴ＱＦ＝ＱＣ.∵ＱＨ⊥ＡＣ于点Ｈꎬ∴ＦＨ＝ＣＨꎬＣＦ＝２ＣＨ.∵在等边三角形ＡＢＣ中ꎬＣＤ为中线ꎬ点Ｑ在ＣＤ上ꎬ图１０∴∠ＡＣＱ＝１∠ＡＣＢ＝３０°ꎬ即△ＱＣＦ为底角为３０°的等腰三角形.∴ＣＨ＝ＣＱｃｏｓ∠ＨＣＱ＝ＣＱｃｏｓ３０°＝３ＣＱ.∴ＣＥ＋ＡＣ＝ＡＦ＋ＡＣ＝ＣＦ＝２ＣＨ＝３ＣＱ.即ＣＥ＋ＡＣ＝３ＣＱ. ６分思路二: 如图１１ꎬ延长ＣＢ到点Ｇꎬ使得ＢＧ＝ＣＥꎬ连接ＱＧꎬ可得△ＱＢＧ≌△ＱＥＣꎬ△ＱＣＧ为底角为３０°的等腰三角形ꎬ与证法一同理可得ＣＥ＋ＡＣ＝ＢＧ＋ＢＣ＝ＣＧ＝３ＣＱ.图１１图１２２８(２)－如图１２ꎬ当３０°<α<６０°时ꎬＡＣ－ＣＥ＝３ＣＱ.７分②０≤ＬＱ≤３.２分(２) 设直线ｙ＝－３ｘ＋３与ｘ轴ꎬｙ轴的交点分别为点Ａꎬ点Ｂꎬ可得Ａ(３３ꎬ０) ꎬＢ(０ꎬ３) .∴ＯＡ＝３３ꎬＯＢ＝３ꎬ∠ＯＡＢ＝３０°.由０≤ＬＱ≤３ꎬ作直线ｙ＝３ｘ.①如图１３ꎬ当☉Ｄ与ｘ轴相切时ꎬ相应的圆心Ｄ１满足题意ꎬ其横坐标取到最大值. 作Ｄ１Ｅ１⊥ｘ轴于点Ｅ１ꎬ可得Ｄ１Ｅ１∥ＯＢꎬＤ１Ｅ１＝ＡＥ１.ＢＯＡＯ３２４４∵ ☉Ｄ 的半径为 １ꎬ ∴ Ｄ１ Ｅ１ ＝ １.∴ ＡＥ１ ＝ ３ ꎬＯＥ１ ＝ ＯＡ － ＡＥ１ ＝ ２ ３ . ∴ ｘＤ１ ＝ ２ ３ .② 如图１４ꎬ当☉Ｄ 与直线ｙ ＝ ３ ｘ 相切时ꎬ相应的圆心 Ｄ２ 满足题意ꎬ其横坐标取到最小值. 作 Ｄ２ Ｅ２ ⊥ ｘ 轴于点 Ｅ２ ꎬ则 Ｄ２ Ｅ２ ⊥ ＯＡ.设直线 ｙ ＝ ３ ｘ 与直线 ｙ ＝ － ３ｘ ＋ ３ 的图 １３交点为 Ｆ.可得 ∠ＡＯＦ ＝ ６０°ꎬＯＦ ⊥ ＡＢ. 则 ＡＦ ＝ ＯＡｃｏｓ∠ＯＡＦ ＝ ３ ３ ×３＝ ９ .∵ ☉Ｄ 的半径为 １ꎬ ∴ Ｄ２ Ｆ ＝ １.∴ ＡＤ２ ＝ ＡＦ － Ｄ２ Ｆ ＝２２７ . ２∴ ＡＥ２ ＝ ＡＤ２ ｃｏｓ∠ＯＡＦ ＝ ７×３ ２ ＝ ７ ３ ꎬＯＥ２ ＝ ＯＡ － ＡＥ２ ５ ３ ＝ ５ ３ .图 １４∴ ｘＤ２ ＝４ 由 ①② 可得ꎬｘＤ 的取值范围是５ ３≤ ｘＤ ≤ ２ ３ .(３) ５ 分 画图见图 １５.２ . ７ 分图 １５。

数学试卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集1-≤x <3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．22456x x x +=B ．326x x x ⋅=C ． 236()x x =D ．33()xy xy = 4.下列实数中，在2和3之间的是A ． πB ．π2-C ．D ．5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒，∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上.若DE ∥CF ， 则∠BDF 等于A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．15︒ 6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距 离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF . 观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水 平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CFAB CB=C ．CE CFCA FB = D ．CE CF EA CB=7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C ．在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差D ．在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好 8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶， 车速分别为20 m/s 和v (m/s)，起初甲车在乙 车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶．设x (s)后两车相距y (m)，y 与x 的函数关系如图2所示．有以下 结论：①图1中a 的值为500； ②乙车的速度为35 m/s ；③图1中线段EF 应表示为5005x +；④图2中函数图象与x 轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是A ．①④B．②③ C．①②④ D ．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x 的取值范围是 ．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．11. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的 “最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现 若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买 3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B 款魔方的单 价为y 元，依题意可列方程组为 .抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，(3,0)A -，(4,0)B ，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为D '），相应地，点C 的对应点C '的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：06cos60(π2)2︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ． （1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．22.阅读下列材料： 材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x<）的图象经过点(4,)A n-，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8. （1）求m，n的值；（2）若直线y kx b =+（k ≠0）经过点C ，且与x 轴，y 轴的交点分别为点E ，F ，当2CF CE =时，求点F 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G . （1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a =.按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：① ；② ； ③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”QL 的取值范围是.0≤L Q D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.38． 11. 4π3. 12.26170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线23(2)1y x =+-先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+. 15. 54． 16. (7,4)．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解： 06cos60(π2)2︒--161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分313=-+-2=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：1322x x x+=--. 解：去分母，得13(2)x x -=-．……………………………………………………… 1分去括号，得136x x -=-． ……………………………………………………… 2分 移项，得 361x x -=-．合并同类项，得 25x =．………………………………………………………… 3分系数化为1，得52x =．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为52x =．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ 1A ∠=∠． ∵ 66A ∠=︒，∴ 166∠=︒．………………………………………………2分 ∵ 90ABC ∠=︒，∴ 2124ABC ∠=∠-∠=︒． …………………………… 3分∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ 3C ∠=∠．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分20.解： 2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+- ………………………………………………………………… 3分 13x =-．……………………………………………………………………………… 4分 当5x =-时，原式18=-．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，图1 图2∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， 可得 1ACD ∠=∠．∵ 1tan 2ACD ∠=， ∴ 1tan 1tan 2ACD ∠=∠=． ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =2，1tan 12∠=， ∴ 4tan 1ACBC ==∠． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为(4,)A n -，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为(4,)C n -．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为(4,0)B -，(4,0)D ． ∵ △ABD 的面积为8，11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-， ∴ 48n -=．解得 2n =-． …………………………………………………………… 2分∵ 函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -， ∴ 48m n =-=．…………………………………………………………… 3分 （2）由（1）得点C 的坐标为(4,2)C ．① 如图4，当0k <时，设直线y kx b =+与x 轴， y 轴的交点分别为点1E ，1F ． 由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥1OF ．图3∴ △1E CD ∽△1E 1F O ． ∴1111E CDC OF E F =． ∵ 112CF CE =， ∴113DC OF =． ∴ 136OF DC ==．∴ 点1F 的坐标为1(0,6)F ．②如图5，当0k >时，设直线y kx b =+与x 轴，y 轴的交点分别为 点2E ，2F ． 同理可得CD ∥2OF ，2222E CDC OF E F =． ∵ 222CF CE =，∴ 2E 为线段2CF 的中点，222E C E F =． ∴ 22OF DC ==．∴ 点2F 的坐标为2(0,2)F -．…………6分综上所述，点F 的坐标为1(0,6)F ，2(0,2)F -．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形． ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ 11302DCA ∠=∠=︒．∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ 180120DCF D ∠=︒-∠=︒． ∴ 190OCF DCF ∠=∠-∠=︒． ∴ FG ⊥OC ．图4图6图5∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a=⋅︒=． ∴52FH CH CF a=+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分 ④111)n a -．……………… 4分 （2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）2x =.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线2x =，抛物线M 与x 轴的 交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为(1,0)A ，(3,0)B .……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将(1,0)A 的坐标代入抛物线的函数表达式，得410a a a -+-=. 解得 12a =-. ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分（3）54k >. …………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ． ∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得， ∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802BQE QBE ∠=︒-∠1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②CE AC +=．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，图9图8∴ ∠ACQ=12ACB∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH =．即CE AC +=． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，AC CE -．.............................. 7分 28.解：（1）①3-． (1)分② 0≤QL……………………………………………………………… 2分（2）设直线+3y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ，(0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤QLy ．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大图10图11 图12值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴1AE11OE OA AE =-= ∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y 相切时， 相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到 最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y与直线+3y x =的交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF=⋅∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．图13…………………………………………5分（3）画图见图15．图15。

北京市西城区2018年九年级模拟测试数 学 试 卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度 C ．线段PC 的长度 D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集≤x 3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．B ．C ．D ．4.下列实数中，在2和3之间的是A ．B ．C ．D ．5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒， ∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上. 若DE ∥CF ，则∠BDF 等于A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．15︒ 6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐 标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距 离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF . 观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水 平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CFAB CB=C ．CE CFCA FB = D ．CE CF EA CB=1-<22456x x x +=326x x x ⋅=236()x x =33()xy xy =π π2-7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C ．在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差D ．在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s 和v (m/s)，起初甲车在乙 车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶．设x (s)后两车相距y (m)，y 与x 的函数关系如图2所示．有以下 结论：①图1中a 的值为500； ②乙车的速度为35 m/s ； ③图1中线段EF 应表示为5005x +；④图2中函数图象与x 轴交点的横坐标为100． 其中所有的正确结论是A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 有意义，那么x 的取值范围是 ．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．11. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的 “最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现 若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买 3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每 款魔方的单价.设A款魔方的单价为x 元，B款魔方的单价为y 元，依题意可列方程组为 .13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C 的对应点的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：06cos60(π2)2︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ． （1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．(3,0)A -(4,0)B D 'C'22.阅读下列材料：材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.”尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x<）的图象经过点(4,)A n-，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8.（1）求m，n的值；（2）若直线y kx b=+（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当2CF CE=时，求点F的坐标．24．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G.（1）求证：FG与⊙O相切；（2）连接EF，求tan EFC∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a .按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：① ；② ； ③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.3x 30x >2-1-28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”QL 的取值范围是 .（2）点D 在直线+3y =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.． 11. .12.13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+. 15. 54． 16. ．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17.解：161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分313=-+-2=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：. 解：去分母，得．……………………………………………………… 1分去括号，得．……………………………………………………… 2分 移项，得．合并同类项，得 ．………………………………………………………… 3分系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， ……………… ………… 1分∴ ． ∵ ，∴ ．………………………… ……2分 ∵ ，384π326170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩23(2)1y x =+-(7,4)06cos60(π2)2︒-1322x x x+=--13(2)x x -=-136x x -=-361x x -=-25x =52x =52x =1A ∠=∠66A ∠=︒166∠=︒90ABC ∠=︒∴ ． …………………………… 3分 ∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ ．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分20.解： ………………………………………………………………… 3分 ．……………………………………………………………………………… 4分 当时，原式．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，，CD ⊥AB ， 可得 ．∵ ， ∴ ． ∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.2124ABC ∠=∠-∠=︒3C ∠=∠2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+-13x =-5x =-18=-90ACB ∠=︒1ACD ∠=∠1tan 2ACD ∠=1tan 1tan 2ACD ∠=∠=90ACB ∠=︒1tan 12∠=4tan 1ACBC ==∠图2………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为，点C 与点A 关于原点O 对称，∴ 点C 的坐标为．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为，．∵ △ABD 的面积为8，， ∴ ．解得 ． …………………………………………………………… 2分 ∵ 函数（）的图象经过点， ∴ ． …………… 3分（2）由（1）得点C 的坐标为． ① 如图4，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥．∴ △CD ∽△O ．∴ ． ∵ ，∴．∴ ． ∴ 点的坐标为．②如图5，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为(4,)A n -(4,)C n -(4,0)B -(4,0)D 11()8422ABD S AB BD n n =⨯=⨯-⨯=- 48n -=2n =-m y x=0x <(4,)A n -48m n =-=(4,2)C 0k <y kx b =+1E 1F 1OF 1E 1E 1F 1111E C DC OF E F =112CF CE =113DC OF =136OF DC ==1F 1(0,6)F 0k >y kx b =+图4点，．同理可得CD ∥，． ∵ ，∴ 为线段的中点，．∴ 22OF DC ==．∴ 点的坐标为．…………6分综上所述，点F 的坐标为，．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形．∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ ． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ ．∴ ．∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ．∵ AF 与⊙O 相切，∴ AF ⊥AG ．又∵ DC ⊥AG ，可得AF ∥DC ．又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形．∵ DC =AD ，AD=2a ，∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a =⋅︒=． ∴52FH CH CF a =+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分2E 2F 2OF 2222E C DC OF E F =222CF CE =2E 2CF 222E C E F =2F 2(0,2)F -1(0,6)F 2(0,2)F -11302DCA ∠=∠=︒180120DCF D ∠=︒-∠=︒190OCF DCF ∠=∠-∠=︒图6图525．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分④111)n a -．……………… 4分（2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）.…………………………… 1分 （2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的 交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得.解得 . ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分 （3）54k >. …………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ．∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．2x =2x =(1,0)A (3,0)B (1,0)A 410a a a -+-=12a =-∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②．……………………………………………………… 3分证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上，∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α，∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α．∴ ∠QAF=∠QEC ．又∵ AF =CE ，QA=QE ，∴ △QAF ≌△QEC ．∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ，∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH =．即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=．1802BQE QBE ∠=︒-∠CE AC +=CE AC +=图10（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤Q L ……………………………………………………………… 2分（2）设直线+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得A ，(0,3)B ．∴OA =，3OB =，30OAB ∠=︒．由0≤Q L ，作直线y ．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1，∴ 111D E=．∴ 1AE11OE OA AE =-=∴ 1D x =②如图14，当⊙D 与直线y 相切时，相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．AC CE -=3-图11 图12作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的 交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==． ∵ ⊙D 的半径为1，∴ 21D F =．∴ 2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF =⋅∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．………………………………………… 5分（3）画图见图15．7分。

北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集≤x 3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．B ．C ．D ．4.下列实数中，在2和3之间的是A ．B ．C ．D ．5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒，∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上.若DE ∥CF ， 则∠BDF 等于A ．35︒B ．30︒ C ．25︒D ．15︒ 6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、 水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距 离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF . 观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水 平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CFAB CB=C ．CE CFCA FB = D ．CE CF EA CB=1-<22456x x x +=326x x x ⋅=236()x x =33()xy xy =π π2-7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C ．在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差D ．在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好 8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s 和v (m/s)，起初甲车在乙 车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶．设x (s)后两车相距y (m)，y 与x 的函数关系如图2所示．有以下 结论：①图1中a 的值为500； ②乙车的速度为35 m/s ；③图1中线段EF 应表示为5005x +；④图2中函数图象与x 轴交点的横坐标为100． 其中所有的正确结论是A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 有意义，那么x 的取值范围是 ．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．11. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的 “最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现 若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买 3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每 款魔方的单价.设A 款魔方的单价为x 元，B 款魔方的单 价为y 元，依题意可列方程组为 .13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ． 14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边），相应地，点AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为C 的对应点的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：06cos6027(π2)32︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ． （1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．22.阅读下列材料： 材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012(3,0)A -(4,0)B D 'C'年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验. 材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题： （1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -，AB ⊥x 轴于点B ，点C 与点A 关于原点O 对称， CD ⊥x 轴于点D ，△ABD 的面积为8.（1）求m ，n 的值；（2）若直线y kx b =+（k ≠0）经过点C ，且与x 轴，y 轴的交点分别为点E ，F ，当2CF CE =时，求点F 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G . （1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a =.按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：① ；② ； ③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________；（2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.3x 30x >2-1-27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线B C 上，连接B Q ，设∠D A Q =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 . （2）点D在直线+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有 0≤L QD 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q≤画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）图1 备用图北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5一、二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.． 11. . 12.13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+.15. 54． 16. ．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17.解：161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分313=-+-2=- ……………………………………………………………………………5分18．解方程：. 解：去分母，得．……………………………………………………… 1分去括号，得． ……………………………………………………… 2分 移项，得 ．合并同类项，得 ．………………………………………………………… 3分384π326170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩23(2)1y x =+-(7,4)06cos60(π2)2︒-1322x x x+=--13(2)x x -=-136x x -=-361x x -=-25x =系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ ． ∵ ，∴ ．………………………………………………2分 ∵ ，∴ ． …………………………… 3分∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ ．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分20.解： ………………………………………………………………… 3分 ．……………………………………………………………………………… 4分 当时，原式．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，，CD ⊥AB ， 可得 ．∵ ， 52x =52x =1A ∠=∠66A ∠=︒166∠=︒90ABC ∠=︒2124ABC ∠=∠-∠=︒3C ∠=∠2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+-13x =-5x =-18=-90ACB ∠=︒1ACD ∠=∠1tan 2ACD ∠=图1 图2∴ ． ∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为，． ∵ △ABD 的面积为8，， ∴ ．解得 ． …………………………………………………………… 2分∵ 函数（）的图象经过点， ∴ ．…………………………………………………………… 3分 （2）由（1）得点C 的坐标为．① 如图4，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，． 由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥． ∴ △CD ∽△O ． ∴． 1tan 1tan 2ACD ∠=∠=90ACB ∠=︒1tan 12∠=4tan 1ACBC ==∠(4,)A n -(4,)C n -(4,0)B -(4,0)D 11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-48n -=2n =-my x=0x <(4,)A n -48m n =-=(4,2)C 0k <y kx b =+1E 1F 1OF 1E 1E 1F 1111E CDC OF E F =图3∵ ， ∴． ∴ ．∴ 点的坐标为．②如图5，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为 点，． 同理可得CD ∥，． ∵ ，∴ 为线段的中点，． ∴ 22OF DC ==．∴ 点的坐标为．…………6分综上所述，点F 的坐标为，．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形． ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ ． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒．∴ ． ∴ ． ∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ．112CF CE =113DC OF =136OF DC ==1F 1(0,6)F 0k >y kx b =+2E 2F 2OF 2222E CDC OF E F =222CF CE =2E 2CF 222E C E F =2F 2(0,2)F -1(0,6)F 2(0,2)F -11302DCA ∠=∠=︒180120DCF D ∠=︒-∠=︒190OCF DCF ∠=∠-∠=︒图4图6图5又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a =⋅︒=．∴52FH CH CF a=+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴ 2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②1(21)a -．………………… 2分③2121)a ．…………………3分 ④11(21)n a -．……………… 4分 （2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的 交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得. 解得 . ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分 （3）54k >. …………………… 6分2x =2x =(1,0)A (3,0)B (1,0)A 410a a a -+-=12a =-27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ． ∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得， ∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分 ②．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC 于点H ． ∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ． ∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．1802BQE QBE ∠=︒-∠CE AC +=图10图9图8∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH =．即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+==．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤QL2分（2）设直线3+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得A ， (0,3)B ．∴ OA =，3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤QL ，作直线y =．圆心1D 满足题①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴1AE =11OE OA AE =-=．CE AC +=AC CE -=3-3图1图13∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y =相切时，相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到 最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF=⋅∠73732==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．………………………………………… 5分 （3）画图见图15．．…………………………………………… 7分图15。

．
12. 已知 是 的函数，其函数图象经过点
满足上述条件的函数表达式：
．
，并且当
时， 随 的增大而减小，请写出一个
13. 如图，点 、 、 、 都在
的度数为
．
上， 是
的中点，
．若
，则
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2020/5/8
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2019年北京⻄城区初三二模数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分）
1. 如图所示，用量⻆器度量
与
的度数．下列说法中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 改革开放四十年来，北京市⺠的收入随着经济水平的发展而显著提高．从储蓄数据来看， 年
北京市⺠的人⺠币储蓄存款余额约为
元，大致为 年的 倍．将
用科学记数法表示应为（ ）．
A.
B.
C.
D.
3. 下列图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
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（ 2 ） 完成下面的证明．
证明：连接 ， ，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形（
）（填推理的依据）．
∴
（
）（填推理的依据）．
∴点 为所求作的边 的中点．
20. 已知关于 的一元二次方程
．
（ 1 ） 求证：此方程总有两个实数根．
（ 2 ） 若此方程有一个根大于 且小于 ， 为整数，求 的值．

2019年北京市西城区中考数学二模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 2017年5月15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京雁栖湖国际会议中心举行.据报道，2016年中国与沿线国家贸易总额约为953590000000美元，占中国对外贸易总额的比重达25.7%，将953590000000用科学计数法表示应为(A)9.5359×1011 (B) 95.359×1010(C) 0.95359×1012 (D) 9.5×10112.下列木棍的长度中，最接近9厘米的是(A)10厘米(B)9.9厘米(C) 9.6厘米(D) 8.6厘米3．在数轴上，实数a，b下列结论中，正确的是(A) 1a<(B) 1a(C) 1b<(D) 0ab>4．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是(A) 15(B)25(C)35(D)455.如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是(A)60°(B)65°(C)55°(D)50° [www.~z*zstep.c@#om^]6.某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是(A)（1﹣10%）（1+15%）x万元(B)（1﹣10%+15%）x万元(C)（x﹣10%）（x+15%）万元(D)（1+10%﹣15%）x万元[中国教#育出^@版网*&]7．如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是(A)(B) (C) (D)8．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD则∠BCD 的度数为 (A) 32° (B) 58° (C)64° (D) 116° 9．在平面直角坐标系中，将点A （-1，2）向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 关于x 轴的对称点C 的坐标是(A) （-4，-2） (B) （2，2） (C)（-2，2） (D)（2，-2）10．如图1，已知点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，AB=2.39，BC=3.57．动点M 从点A 出发，沿A →B →C →D →A 匀速运动，到点A 停止.设点M 运动的路程为x ，点M 到四边形EFGH 的某一个顶点的距离为y ，如果表示 y 关于x 的函数关系的图象如图2所示，那么四边形EFGH 的这个顶点是(A)点E(B) 点F (C) 点G (D)点H二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab 2﹣2ab+a= ．12．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y 轴的交点坐标为（0，1）．此二次函数的解析式可以是 ．13．若关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．14．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．15．北京市2012﹣2016年常住人口增量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为 万人次，你的预估理由是 ． 图216．下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程．已知：如图1，线段AB．求作：以AB为直径的⊙O．作法：如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；（2）作直线CD交AB于点O；（3）以O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O即为所求作的．请回答：该作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1．18．（5分）解不等式＞﹣1，并写出它的正整数解．19．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中2x2+4x﹣1=0．20．（5分）如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，求∠BAD 的度数．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx+b （k ≠0）与双曲线y=相交于点A （m ，3），B （﹣6，n ），与x 轴交于点C ．（1）求直线y=kx+b （k ≠0）的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且S △ACP =S △BOC ，求点P 的坐标（直接写出结果）．22．（5分）列方程或方程组解应用题：在某场CBA 比赛中，某位运动员的技术统计如表所示：注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．23．（5分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF=CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=2，求平行四边形ABCD的周长．24．（5分）阅读下列材料：“共享单车”是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态．共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择．自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行．Quest Mobile监测的M型与O型单车从2016年10月﹣﹣2017年1月的月度用户使用情况如表所示：根据以上材料解答下列问题：（1）仔细阅读上表，将O型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据；（2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论．25．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=4：1，写出求DE长的思路．26．（5分）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形﹣﹣燕尾四边形的性质．定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）．（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）；定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究．下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．27．（7分）二次函数y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n=7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．28．（7分）在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB 的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；…请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE．（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是．（直接给出结论无须证明）29．（8分）设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B （﹣，﹣1），C（，﹣1）．（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是；（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°．①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图2，点Q为直线y=﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．2019年北京市西城区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣2ab+a= a（b﹣1）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：ab2﹣2ab+a，=a（b2﹣2b+1），=a（b﹣1）2．【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．12．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为（0，1）．此二次函数的解析式可以是y=x2+1 ．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】二次函数的解析式是y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据开口向上得出a为正数，根据与y轴的交点坐标为（0，1）得出c=1，写出一个符合的二次函数即可．【解答】解：答案不唯一，如：y=x2+1，故答案为：y=x2+1．【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键．13．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1 ．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，解得k＜1．故答案为k＜1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．14．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2=6，∴这个多边形是六边形．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．15．北京市2012﹣2016年常住人口增量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为0～2.4 万人次，你的预估理由是北京每年人口平均增长的人数呈减小的趋势．【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．【分析】根据北京市2012﹣2016年常住人口增量条形统计图，判断北京每年人口平均增长的人数的变化趋势，据此得出结论．【解答】解：根据北京市2012﹣2016年常住人口增量条形统计图，可得北京每年人口平均增长的人数呈减小的趋势，故2017年北京市常住人口增量约为0～2.4万人次，故答案为：0～2.4，北京每年人口平均增长的人数呈减小的趋势．（答案不唯一）【点评】本题主要考查了用样本估计总体以及条形统计图的应用，解题时注意：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．16．下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程．已知：如图1，线段AB．求作：以AB为直径的⊙O．作法：如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；（2）作直线CD交AB于点O；（3）以O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O即为所求作的．请回答：该作图的依据是垂直平分线的判定和圆的定义．【考点】N3：作图—复杂作图；M5：圆周角定理．【分析】利用基本作图可判定CD垂直平分AB，即点O为AB的中点，然后可作出以已知线段AB为直径的圆．【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，即点O为AB的中点，所以⊙O即为所求作．故答案为垂直平分线的判定和圆的定义．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1的值是多少即可．【解答】解：﹣2sin60°+（﹣π）0﹣（）﹣1==【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．解不等式＞﹣1，并写出它的正整数解．【考点】C7：一元一次不等式的整数解；C6：解一元一次不等式．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，合并同类项得：﹣x＞﹣5，系数化为1得：x＜5．故不等式的正整数解有1，2，3，4这4个．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．19．先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中2x2+4x﹣1=0．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•﹣=﹣=，∵2x2+4x﹣1=0．∴x2+2x=x（x+2）=，则原式=8．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，求∠BAD的度数．【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出∠C=∠DAC，再由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据∠BAD=∠BAC﹣∠CAD即可得出结论．【解答】解：∵由题意可得：MN是AC的垂直平分线．∴AD=DC．∴∠C=∠DAC．∵∠C=30°，∴∠DAC=30°．∵∠B=55°，∴∠BAC=95°．∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=相交于点A（m，3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．（1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP =S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP =S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y=上，∴m=2，n=﹣1，∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）．将（2，3），B（﹣6，﹣1）带入y=kx+b，得：，解得．∴直线的解析式为y=x+2．（2）当y=x+2=0时，x=﹣4，∴点C（﹣4，0）．设点P的坐标为（x，0），∵S△ACP =S△BOC，A（2，3），B（﹣6，﹣1），∴×3|x﹣（﹣4）|=××|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|=2，解得：x1=﹣6，x2=﹣2．∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及S△ACP =S△BOC，找出|x+4|=2．22．列方程或方程组解应用题：在某场CBA比赛中，某位运动员的技术统计如表所示：注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】设本场比赛中该运动员投中两分球x个，三分球y个，根据投中次数结合总分，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设本场比赛中该运动员投中两分球x个，三分球y个，根据题意得：，解得：．答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．23．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF=CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=2，求平行四边形ABCD的周长．【考点】L5：平行四边形的性质；KM：等边三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，求出∠FAD=∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD=∠FAB，求出∠AFB=∠FAB，即可得出答案；（2）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF=BF=AB，∠ABE=60°，在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE=，解直角三角形求出EF=2，BF=4，AB=BF=4，BC=AD=2，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∴∠FAD=∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD=∠FAB．∴∠AFB=∠FAB．∴AB=BF，∴BF=CD；（2）解：∵由（1）知：AB=BF，又∵∠BFA=60°，∴△ABF为等边三角形，∴AF=BF=AB，∠ABE=60°，∵BE⊥AF，∴点E是AF的中点．∵在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE=，∴EF=2，BF=4，∴AB=BF=4，∵四边形BACD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°=∠F，∴CE=EF，∴△ECF是等边三角形，∴CE=EF=CF=2，∴BC=4﹣2=2，∴平行四边形ABCD的周长为2+2+4+4=12．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24．阅读下列材料：“共享单车”是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态．共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择．自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行．Quest Mobile监测的M型与O型单车从2016年10月﹣﹣2017年1月的月度用户使用情况如表所示：根据以上材料解答下列问题：（1）仔细阅读上表，将O型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据；（2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论．【考点】VD：折线统计图．【分析】（1）利用横坐标表示时间，纵坐标表示人数即可作出折线图；（2）根据表中的一个方面说明自己的观点，答案不唯一．【解答】解：（1）；（2）两种单车的独占率都不断降低．（答案不唯一）．【点评】本题考查的是折线统计图的运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=4：1，写出求DE长的思路．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M6：圆内接四边形的性质；ME：切线的判定与性质．【分析】（1）连接OD，直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；（2）首先证明证明△ABC是等腰直角三角形；其次其次AC的长；再证明ACD∽△AEC，得到AC2=AD•AE；最后由相似三角形的性质即可求出DE的长．【解答】解：（1）证明：连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF．∴∠FDC=∠FCD．∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°．∴DF是⊙O的切线；（2）①由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；②由AB=a，求出AC的长度为；③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到AC2=AD•AE；④设DE为x，由AD：DE=4：1，求出DE=a．解：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AB=a，∴AC=a，∵∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，∴△ACD∽△AEC，∴AC：AE=AD：AC，∴AC2=AD•AE，设DE为x，∵AD：DE=4：1，∴AD=4x，∴（a）2=20x2，解得x=a．即DE=a．【点评】此题主要考查了圆的切线的判定以及性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判断和性质、勾股定理等知识，结合圆的性质和已知条件证明△ACD∽△AEC是解题关键．26．在课外活动中，我们要研究一种凹四边形﹣﹣燕尾四边形的性质．定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）．（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）②；定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究．下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据凹四边形的定义直接判断；（2）判断出△ABC≌△ADC即可得出结论；（3）先构造出直角三角形，再求出BE，进而求出AE，即可得出三角形ABC的面积即可．【解答】解：（1）由凹四边形的定义得出，图②是凹四边形．故答案是②；（2）①一组对角相等；②它是一个轴对称图形；①已知：如图1，在凹四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求证：∠B=∠D．证明：连接AC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D．②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直线是燕尾四边形的对称轴；（3）如图2，连接AC，过点B作BE⊥AC交AC的延长线于E；由（2）知，燕尾四边形ABCD是轴对称图形，∴∠BCE=∠BCD=60°，∴∠CBE=30°，在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE=BC=2，BE=CE=2，在Rt△ABE中，AB=6，BE=2，根据勾股定理得，AE==2，∴S△ABC =S△ABE﹣S△CBE=BE•AE﹣BE•CE=BE（AE﹣CE）=×2×（2﹣2）=6﹣2∴燕尾四边形ABCD的面积为2S△ABC=．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，解本题的关键是构造出直角三角形．27．二次函数y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．（1）求该二次函数的对称轴方程；（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n=7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．【分析】（1）将抛物线解析式配方成顶点式即可得；（2）①画出函数的大致图象，由图象知直线l经过顶点式时，直线l与抛物线只有一个交点，据此可得；②画出翻折后函数图象，由直线l与新的图象恰好有三个公共点可得﹣2m+3=﹣7，解之可得；（3）由开口向上及函数值都不小于1可得，解之即可．【解答】解：（1）∵y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5=（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，∴对称轴方程为x=1．（2）①如图，由题意知直线l的解析式为y=n，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴n=﹣2m+3．②依题可知：当﹣2m+3=﹣7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点．∴m=5．（3）抛物线y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的顶点坐标是（1，﹣2m+3）．依题可得解得∴m的取值范围是﹣2＜m≤1．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点及解不等式组得能力，根据题意画出函数的图象，结合函数图象得出对应方程或不等式组是解题的关键．28．在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB 的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为30°；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；…请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE．（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是k （BE+BD）=AC ．（直接给出结论无须证明）【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，由线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，得到AB⊥DE，于是得到结论；（2）思路1：如图2（a），连接AE，思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F，思路3：如图2（c），延长CB至G，使BG=CD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（3）如图3，连接AE，根据已知条件得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，于是得到∠EAB=∠DAC，根据全等三角形的性质得到CD=BE；根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，D为线段BC中点，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，∵线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，∴AB⊥DE，∴∠BDE=30°；故答案为：30°；（2）思路1：如图2（a），连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAD=60°，∴∠EAB=∠CAD，在△AEB△与ADC中，，∴△AEB≌△ADC，∴CD=BE；思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=60°，∵DF∥AB，∴∠DFC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DAF=∠EDB，。

北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5一、 选择题（本题共16分，每小题2分）二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.38． 11. 4π3. 12.26170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线23(2)1y x =+-先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+. 15. 54． 16. (7,4)．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解： 06cos60(π2)2︒-161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分312=--2=- ……………………………………………………………………………5分18．解方程：1322x x x+=--. 解：去分母，得13(2)x x -=-．……………………………………………………… 1分去括号，得136x x -=-． ……………………………………………………… 2分 移项，得 361x x -=-．合并同类项，得 25x =．………………………………………………………… 3分系数化为1，得52x =．…………………………………………………………… 4分经检验，原方程的解为52x =．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ 1A ∠=∠． ∵ 66A ∠=︒，∴ 166∠=︒．………………………………………………2分 ∵ 90ABC ∠=︒，∴ 2124ABC ∠=∠-∠=︒． …………………………… 3分 ∵ AD=BC ，图1∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ 3C ∠=∠． ∴ 1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分 20.解： 2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+- ………………………………………………………………… 3分 13x =-．……………………………………………………………………………… 4分 当5x =-时，原式18=-．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， 可得 1ACD ∠=∠．∵ 1tan 2ACD ∠=， ∴ 1tan 1tan 2ACD ∠=∠=． ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =2，1tan 12∠=， ∴ 4tan 1ACBC ==∠． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为(4,)A n -，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为(4,)C n -．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为(4,0)B -，(4,0)D ． ∵ △ABD 的面积为8，11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-， ∴ 48n -=．解得 2n =-． …………………………………………………………… 2分∵ 函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -， ∴ 48m n =-=．…………………………………………………………… 3分 （2）由（1）得点C 的坐标为(4,2)C ．① 如图4，当0k <时，设直线y kx b =+与x 轴， y 轴的交点分别为点1E ，1F ． 由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥1OF ． ∴ △1E CD ∽△1E 1F O ． ∴1111E CDC OF E F =． ∵ 112CF CE =， ∴113DC OF =． ∴ 136OF DC ==．∴ 点1F 的坐标为1(0,6)F ．图4图3②如图5，当0k >时，设直线y kx b =+与x 轴，y 轴的交点分别为 点2E ，2F ． 同理可得CD ∥2OF ，2222E CDC OF E F =． ∵ 222CF CE =，∴ 2E 为线段2CF 的中点，222E C E F =． ∴ 22OF DC ==．∴ 点2F 的坐标为2(0,2)F -．…………6分综上所述，点F 的坐标为1(0,6)F ，2(0,2)F -．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形．∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ 11302DCA ∠=∠=︒． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ 180120DCF D ∠=︒-∠=︒． ∴ 190OCF DCF ∠=∠-∠=︒． ∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．图6 图5由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a =⋅︒=．∴ 52FH CH CF a =+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠=== …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分 ④111)n a -．……………… 4分（2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）2x =.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线 241y ax ax a =-+-的对称轴为直线2x =，抛物线M 与x 轴的交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为(1,0)A ，(3,0)B .……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将(1,0)A 的坐标代入抛物线的函数表达式，得410a a a -+-=.解得 12a =-. ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分（3）54k >. ………………………………………………………………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ． ∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802BQE QBE ∠=︒-∠1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②CE AC +=．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=． ∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH ==．即CE AC +=． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+==．图10图9（2）如图12，当30°＜α＜60°时，AC CE -=．………………………… 7分 28.解：（1）①3-． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤Q L……………………………………………………………… 2分 （2）设直线+3y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ， (0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤Q L，作直线y =． ①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ， 可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴1AE =11OE OA AE =-=． ∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y =相切时， 相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到 最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的 图11 图12 图13交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 22AF OA OAF =⋅∠==． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =． ∴ 2272AD AF D F =-=． ∴ 22cos AE AD OAF =⋅∠72==，22OE OA AE =-=∴2D x ． 由①②可得，D x≤D x≤ ………………………………………… 5分（3）画图见图15．．…………………………………………… 7分。

北京市西城区九年级模拟测试数学试卷2019.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项．．只有一个.1．如图所示，用量角器度量∠AOB 和∠AOC 的度数.下列说法中，正确的是A ．∠AOB =110°B ．∠AOB =∠AOCC ．∠AOB +∠AOC =90°D ．∠AOB +∠AOC =180°2．改革开放四十年来，北京市民的收入随着经济水平的发展而显著提高.从储蓄数据来看，2017年北京市民的人民币储蓄存款余额约为2980000000000元，大致为1978年的3200倍.将2980000000000用科学记数法表示应为A ．130.29810⨯B ．122.9810⨯C ．1129.810⨯D ．102.9810⨯3．下列图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.4．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a 可能是5．某个几何体的三视图如右图所示，该几何体是A. B. C. D.6．5G 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶.据预测，2020年到2030年中国5G 直接经济产出和间接经济产出的情况如下图所示.根据上图提供的信息，下列推断不合理的是A ．2030年5G 间接经济产出比5G 直接经济产出多4.2万亿元B ．2020年到2030年，5G 直接经济产出和5G 间接经济产出都是逐年增长C ．2030年5G 直接经济产出约为2020年5G 直接经济产出的13倍D ．2022年到2023年与2023年到2024年5G 间接经济产出的增长率相同7．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题.例如：如果a ＞2，那么a 2＞4.下列命题中，具有以上特征的命题是A ．两直线平行，同位角相等B ．如果1a =，那么1a =C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x y ＞，那么mx my＞8.平面直角坐标系x O y 中，点P （a ，b ）经过某种变换后得到的对应点为P '12a +1,12b -1æèçöø÷.已知A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A ',B ',C '.若△ABC 的面积为S 1，△A 'B 'C '的面积为S 2，则用等式表示S 1与S 2的关系为A ．1212S S =B ．1214S S =C ．122S S =D ．124S S =二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若代数式2x +5在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是.10.若正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数是.11.有大小两种货车，1辆大货车与3辆小货车额定载重量的总和为23吨，2辆大货车与5辆小货车额定载重量的总和为41吨.1辆大货车、1辆小货车的额定载重量分别为多少吨？设1辆大货车的额定载重量为x 吨，1辆小货车的额定载重量为y 吨，依题意，可以列方程组为.12.已知y 是x 的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x >0时，y 随x 的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数表达式：.13.如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，C 是的中点，AB=CD .若∠ODC =50°，则∠ABC 的度数为°.（第13题图）（第14题图）14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (，B -1,0()，菱形ABCD 的顶点C 在x 轴的正半轴上，其对角线BD 的长为.15.某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元.柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下：根据以上数据，估计柑橘损坏的概率为（结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为元.16.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （a ，b ，c ，d 都为正整数），即b a <x <d c，则b +d a +c 是x 的更精确的不足近似值或过剩近似值.已知π=3.14159···，且3110<p <165，则第一次使用“调日法”后得到π的近似分数是4715，它是π的更为精确的不足近似值，即4715<p <165.那么第三次使用“调日法”后得到π的近似分数是.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：-(-5)-2cos45°+-+14æèçöø÷-1.18.解方程：xx+1=1+1x.19.下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程.已知：平行四边形ABCD.求作：点M，使点M为边AD的中点.作法：如图，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//CD．∵AE=，∴四边形EACD是平行四边形（）（填推理的依据）．∴AM=MD（）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AD的中点．20.已知关于x的一元二次方程x2-k+5()x+3k+6=0.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于-2且小于0，k为整数，求k的值.21.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，AD⊥CD.点E在对角线CA的延长线上，连接BD ，BE ．（1）求证：AC =BD ；（2）若BC =2，BE =，tan ÐABE =23，求EC 的长.22.在平面直角坐标系x O y 中,直线l ：y =a x ＋b 与双曲线y =k x 交于点A 1,m ()和B -2,-1()．点A 关于x 轴的对称点为点C ．（1）①求k 的值和点C 的坐标；②求直线l 的表达式；（2）过点B 作y 轴的垂线与直线AC 交于点D ，经过点C 的直线与直线BD 交于点E ．若30°£ÐCED £45°,直接写出点E 的横坐标t 的取值范围．23.如图，AB 是⊙O 的直径，CA 与⊙O 相切于点A ，且CA =BA ．连接OC ，过点A作AD ⊥OC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接DB ．（1）求证：△ACE ≌△BAD ；（2）连接CB 交⊙O 于点M ，交AD 于点N ．若AD =4，求MN 的长．24.某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y （单位：微克）与服药后的时间t （单位：小时）之间近似满足某种函数关系，下表是y 与t 的几组对应值，其部分图象如图所示．t 012346810…y 024 2.83210.50.25…（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；（2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约_______小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克．25.某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.实心球成绩的频数分布表如下：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b.实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.07.07.07.17.17.17.27.27.37.3c.一分钟仰卧起坐成绩如下图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为__________；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为__________；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下：其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．26.在平面直角坐标系xOy 中.已知抛物线y =ax 2+b x +a -2的对称轴是直线x =1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A 0,-4()，B 2,-3()，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.27.如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF =AE ，连接DE ，DF ，EF .FH 平分∠EFB 交BD 于点H .（1）求证：DE ⊥DF ；（2）求证：DH =DF ：（3）过点H 作HM ⊥EF 于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.女生代码ABC D E F G H 实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5一分钟仰卧起坐*4247*4752*4928.对于平面内的∠M A N 及其内部的一点P ，设点P 到直线A M ，A N 的距离分别为d 1，d 2，称12d d 和21d d 这两个数中较大的一个为点P 关于∠MAN 的“偏率”.在平面直角坐标系xOy 中，（1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点.①若点P 的坐标为（1，5），则点P 关于∠MON 的“偏率”为____________；②若第一象限内点Q （a ，b ）关于∠MON 的“偏率”为1，则a ，b 满足的关系为____________；（2）已知点A （4，0），B （2，），连接OB ，AB ，点C 是线段AB 上一动点（点C 不与点A ，B 重合）.若点C 关于∠AOB 的“偏率”为2，求点C 的坐标；（3）点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点T 的坐标为（t ，4），T 是以点T 为圆心，半径为1的圆.若T 上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF，直接写出t 的取值范围.。

北京市西城区九年级模拟测试数学试卷2019.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项．．只有一个. 1．如图所示，用量角器度量∠AOB 和∠AOC 的度数. 下列说法中，正确的是A ．∠AOB =110° B ．∠AOB =∠AOC C ．∠AOB +∠AOC =90°D ．∠AOB +∠AOC =180°2．改革开放四十年来，北京市民的收入随着经济水平的发展而显著提高. 从储蓄数据来看，2017年北京市民的人民币储蓄存款余额约为2 980 000 000 000元，大致为1978年的3200倍. 将2 980 000 000 000用科学记数法表示应为A ．130.29810⨯B ．122.9810⨯C ．1129.810⨯D ．102.9810⨯3．下列图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是A.B.C.D.4．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a 可能是A ．3 B ．23 C ．22D ．105．某个几何体的三视图如右图所示，该几何体是A. B. C. D.6．5G 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶. 据预测，2020年到2030O A B C年中国5G 直接经济产出和间接经济产出的情况如下图所示.根据上图提供的信息，下列推断不合理的是A ．2030年5G 间接经济产出比5G 直接经济产出多4.2万亿元B ．2020年到2030年，5G 直接经济产出和5G 间接经济产出都是逐年增长C ．2030年5G 直接经济产出约为2020年5G 直接经济产出的13倍D ．2022年到2023年与2023年到2024年5G 间接经济产出的增长率相同7．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题. 例如：如果a ＞2，那么a 2＞4. 下列命题中，具有以上特征的命题是 A ．两直线平行，同位角相等 B ．如果1a =，那么1a =C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x y ＞，那么mx my ＞8.平面直角坐标系x O y 中，点P （a ，b ）经过某种变换后得到的对应点为11'1,122P a b +-（）. 已知A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A ',B ',C '. 若△ABC 的面积为S 1，△A 'B 'C '的面积为S 2，则用等式表示S 1与S 2的关系为 A ．1212S S =B ．1214S S =C ．122S S =D ．124S S =二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式2x +5在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 . 10. 若正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数是 .11. 有大小两种货车，1辆大货车与3辆小货车额定载重量的总和为23吨，2辆大货车与5辆小货车额定载重量的总和为41吨. 1辆大货车、1辆小货车的额定载重量分 别为多少吨？设1辆大货车的额定载重量为x 吨，1辆小货车的额定载重量为y 吨， 依题意，可以列方程组为 . 12. 已知y 是x 的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x >0时，y 随x 的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数表达式： .13. 如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，C 是»BD 的中点，AB=CD . 若∠ODC =50°，则∠ABC 的度数为°.ABOD （第13题图）14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A)3,0(，B（-1，0），菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为.15. 某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元. 柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下：柑橘总重量n/千克50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘重量m/千克5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 柑橘损坏的频率mn0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103根据以上数据，估计柑橘损坏的概率为（结果保留小数点后一位）橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为元.16. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc（a，b，c，d都为正整数），即ba<x<dc，则b+da+c是x的更精确的不足近似值或过剩近似值. 已知π=3.14159···，且3110<p<165，则第一次使用“调日法”后得到π的近似分数是4715，它是π的更为精确的不足近似值，即4715<p<165. 那么第三次使用“调日法”后得到π的近似分数是.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：-(-5)-2cos45°+-+14æèçöø÷-1.18. 解方程：xx+1=1+1x.19.下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程.已知：平行四边形ABCD.求作：点M，使点M为边AD的中点.作法：如图，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//CD．∵AE= ，∴四边形EACD是平行四边形（）（填推理的依据）．∴AM=MD（）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AD的中点．20. 已知关于x的一元二次方程x2-k+5()x+3k+6=0.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于-2且小于0，k为整数，求k的值.21. 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，AD⊥CD. 点E在对角线CA的延长线上，连接BD，BE．（1）求证：AC=BD；（2）若BC=2，BE=13，tanÐABE=23，求EC的长.22.在平面直角坐标系x O y中,直线l：y=a x＋b与双曲线y=kx交于点A1,m()和B-2,-1()．点A关于x轴的对称点为点C．（1）①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E．若30°£ÐCED£45°,直接写出点E的横坐标t的取值范围．23. 如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA=BA．连接OC，过点A作AD⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）连接CB交⊙O于点M，交AD于点N．若AD=4，求MN的长．24.某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，下表是t0 1 2 3 4 6 8 10 …y0 2 4 2.83 2 1 0.5 0.25 …（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；（2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约_______小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克．25.某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.0 7.0≤x＜7.4 7.4≤x＜7.8 7.8≤x＜8.2 8.2≤x＜8.6 频数 2 m10 6 2 1b . 实心球成绩在7.0≤x ＜7.4这一组的是：7.0 7.0 7.0 7.1 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3c . 一分钟仰卧起坐成绩如下图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1） ①表中m 的值为__________；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为__________； （2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下：其中有名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这名女生中恰好有人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．26. 在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线y =ax 2+bx +a -2的对称轴是直线x =1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标； （2）已知点A 0,-4()，B 2,-3()，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤6，结合函女生代码 A B C D E F G H 实心球 8.1 7.7 7.5 7.5 7.3 7.2 7.0 6.5 一分钟仰卧起坐*4247*4752*49数图象，直接写出满足条件的m，n的值.27. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE，DF，EF. FH平分∠EFB交BD于点H.（1）求证：DE⊥DF；（2）求证：DH=DF：（3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.28. 对于平面内的∠M A N 及其内部的一点P ，设点P 到直线A M ，A N 的距离分别为 d 1，d 2，称12d d 和21d d 这两个数中较大的一个为点P 关于∠MAN 的“偏率” .在平面直角坐标系xOy 中，（1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点.①若点P 的坐标为（1，5），则点P 关于∠MON 的“偏率”为____________；②若第一象限内点Q（a，b）关于∠MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为____________；（2）已知点A（4，0），B（2，，连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）. 若点C关于∠AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），⊙T是以点T为圆心，半径为1的圆. 若⊙T上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF的“偏率”都大于t的取值范围.。

北京市西城区九年级模拟测试数学试卷2019.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项．．只有一个. 1．如图所示，用量角器度量∠AOB 和∠AOC 的度数. 下列说法中，正确的是A ．∠AOB =110° B ．∠AOB =∠AOC C ．∠AOB +∠AOC =90°D ．∠AOB +∠AOC =180°2．改革开放四十年来，北京市民的收入随着经济水平的发展而显著提高. 从储蓄数据来看，2017年北京市民的人民币储蓄存款余额约为2 980 000 000 000元，大致为1978年的3200倍. 将2 980 000 000 000用科学记数法表示应为A ．130.29810⨯B ．122.9810⨯C ．1129.810⨯D ．102.9810⨯3．下列图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是A.B.C.D.4．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a 可能是A．B． C．D．5．某个几何体的三视图如右图所示，该几何体是A. B. C. D.6．5G 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶. 据预测，2020年到2030年中国5G 直接经济产出和间接经济产出的情况如下图所示.根据上图提供的信息，下列推断不合理的是A ．2030年5G 间接经济产出比5G 直接经济产出多4.2万亿元B ．2020年到2030年，5G 直接经济产出和5G 间接经济产出都是逐年增长C ．2030年5G 直接经济产出约为2020年5G 直接经济产出的13倍D ．2022年到2023年与2023年到2024年5G 间接经济产出的增长率相同7．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题. 例如：如果a ＞2，那么a 2＞4. 下列命题中，具有以上特征的命题是 A ．两直线平行，同位角相等 B ．如果1a =，那么1a =C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x y ＞，那么mx my ＞8.平面直角坐标系x O y 中，点P （a ，b ）经过某种变换后得到的对应点为P '12a +1,12b -1æèçöø÷. 已知A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A ',B ',C '. 若△ABC 的面积为S 1，△A 'B 'C '的面积为S 2，则用等式表示S 1与S 2的关系为A ．1212S S =B ．1214S S =C ．122S S =D ．124S S =二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式2x +5在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 . 10. 若正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数是 .11. 有大小两种货车，1辆大货车与3辆小货车额定载重量的总和为23吨，2辆大货车与5辆小货车额定载重量的总和为41吨. 1辆大货车、1辆小货车的额定载重量分 别为多少吨？设1辆大货车的额定载重量为x 吨，1辆小货车的额定载重量为y 吨， 依题意，可以列方程组为 .12. 已知y 是x 的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x >0时，y 随x 的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数表达式： . 13. 如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，C 是的中点，AB=CD . 若∠ODC =50°，则∠ABC 的度数为 °.（第13题图） （第14题图）14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(，B-1,0()，菱形ABCD 的顶点C 在x 轴的正半轴上，其对角线BD 的长为 .15. 某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元. 柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下：根据以上数据，估计柑橘损坏的概率为 （结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为元.16. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （a ，b ，c ，d 都为正整数），即ba <x <d c，则b +d a +c 是x 的更精确的不足近似值或过剩近似值. 已知π=3.14159···，且3110<p <165，则第一次使用“调日法”后得到π的近似分数是4715，它是π的更为精确的不足近似值，即4715<p <165. 那么第三次使用“调日法”后得到π的近似分数是.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.ABOD17. 计算：.18. 解方程：.19. 下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程. 已知：平行四边形ABCD .求作：点M ，使点M 为边AD 的中点. 作法：如图，①作射线BA ；②以点A 为圆心，CD 长为半径画弧，交BA 的延长线于点E ； ③连接EC 交AD 于点M ． 所以点M 就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：连接AC ，ED ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AE //CD ．∵AE = ，∴四边形EACD 是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∴AM =MD （ ）（填推理的依据）． ∴点M 为所求作的边AD 的中点．20. 已知关于x 的一元二次方程.（1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于-2且小于0，k 为整数，求k 的值.21. 如图，在四边形ABCD 中，AB =DC ，AD =BC ，AD ⊥CD . 点E 在对角线CA 的延长-(-5)-2cos45°+-+14æèçöø÷-1x x +1=1+1xx2-k +5()x +3k +6=0线上，连接BD ，BE ．（1）求证：AC =BD ；（2）若BC =2，BE=，求EC 的长.22. 在平面直角坐标系x O y 中,直线l ：y =a x ＋b 与双曲线交于点A 1,m ()和B -2,-1()．点A 关于x 轴的对称点为点C ．（1）①求k 的值和点C 的坐标；②求直线l 的表达式；（2）过点B 作y 轴的垂线与直线AC 交于点D ，经过点C 的直线与直线BD 交于点E ．若30°£ÐCED £45°,直接写出点E 的横坐标t 的取值范围．23. 如图，AB 是⊙O 的直径，CA 与⊙O 相切于点A ，且CA =BA ．连接OC ，过点A 作AD ⊥OC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接DB ． （1）求证：△ACE ≌△BAD ；（2）连接CB 交⊙O 于点M ，交AD 于点N ．若AD =4，求MN 的长．24. 某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后 2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y （单位：微克）与服药后的时间t （单位： 小时）之间近似满足某种函数关系，下表是y 与t 的几组对应值，其部分图象如图tan ÐABE=23y =k x（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；（2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约_______小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克．25.某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.实心球成绩在≤＜这一组的是：7.0 7.0 7.0 7.1 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3c. 一分钟仰卧起坐成绩如下图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为__________；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为__________；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下：其中有名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这名女生中恰好有人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．26. 在平面直角坐标系xOy 中.已知抛物线y =ax 2+bx +a -2的对称轴是直线x =1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标； （2）已知点A 0,-4()，B 2,-3()，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.27. 如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF =AE ，连接DE ，DF ，EF . FH平分∠EFB 交BD 于点H . （1）求证：DE ⊥DF ； （2）求证：DH =DF ：（3）过点H 作HM ⊥EF 于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.EE28. 对于平面内的∠M A N 及其内部的一点P ，设点P 到直线A M ，A N 的距离分别为 d 1，d 2，称12d d 和21d d 这两个数中较大的一个为点P 关于∠MAN 的“偏率” .在平面直角坐标系xOy 中，（1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点.①若点P 的坐标为（1，5），则点P 关于∠MON 的“偏率”为____________； ②若第一象限内点Q （a ，b ）关于∠MON 的“偏率”为1，则a ，b 满足的关 系为____________；（2）已知点A （4，0），B （2，OB ，AB ，点C 是线段AB 上一动点（点C 不与点A ，B 重合）. 若点C 关于∠AOB 的“偏率”为2，求点C 的坐标；（3）点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点T 的坐标为（t ，4）， ⊙T 是以点T 为圆心，半径为1的圆. 若⊙T 上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF的“偏率”都大于，直接写出t 的取值范围.EE北京市西城区2019年九年级模拟测试数学试卷答案及评分参考 2019.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）28题，每小题7分）17．解：原式=5242-⨯+ ………………………………………………………4分=9+ …………………………………………………………………5分18．解：两边同乘(1)x x +，得2(1)1x x x x =+++． ……………………………………2分 整理得 21x =-．解得 12x =-． ……………………………………………………………………4分 经检验，12x =-是原方程的解． 5分19．解：（1）补全的图形如图所示； （2）CD ，平行四边形的对角线互相平分． 20．（1）证明：依题意，得2[(5)]4(36)k k ∆=-+-+ ……………………………………1分221k k =-+ 2(1)k =-．∵2(1)0k -≥，∴此方程总有两个实数根． ………………………………………………2分（2）解：解方程得 x =∴方程的两个根为12x k=+，23x=．……………………………………4分由题意可知，220k-<+<，即42k-<<-．∵k为整数，∴3k=-．……………………………………………………………………5分21．（1）证明：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．…………………………………………1分∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°．∴四边形ABCD是矩形．∴AC=BD．…………………………………………………………………2分（2）解：过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，如图，则∠EFB=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∴∠ABC=∠EFB．∴EF∥AB．∴∠ABE=∠FEB． (3)∴tan∠FEB=tan∠ABE=23．∴FBEF =23．设FB=2x（x >0），则EF=3x．∵222BE EF FB=+，BE∴222(3)(2)x x=+，解得x=1．∴FB=2，EF=3．………………………………………………………………4分∵BC=2，∴FC=FB+BC=4．∴5EC==．……………………………………………………5分22．解：（1）①∵点B（2-，1-）在双曲线kyx=上，∴2k=．……………………………………………………………………1分∵点A（1，m）在双曲线2yx=上，∴2m=．∵点A关于x轴的对称点为点C，∴点C的坐标为（1，2-）．………………………………………………2分②∵直线l：y ax b=+经过点A（1，2）和B（2-，1-），∴2,12.a b a b =+⎧⎨-=-+⎩ 解得1,1.a b =⎧⎨=⎩∴直线l 的表达式为1y x =+． ……………………………………………3分（2）10t ≤或21t ≤≤ ………………………………………………5分23．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°． ……………………………………………………………1分∵AD ⊥OC 于点E ，∴∠AEC =90°．∴∠AEC =∠ADB ．∵CA 与⊙O 相切于点A ，∴CA ⊥BA ． …………………………………………………………………2分 ∴∠CAB =90°．即∠CAE +∠DAB =90°．∵∠CAE +∠ACE =90°，∴∠DAB =∠ACE ．∵CA =BA ，∴△ACE ≌△BAD ． 3分（2）解：连接AM ，如图．∵AD ⊥OC 于点E ，AD =4，∴AE =ED =12AD =2．∵△ACE ≌△BAD ，∴BD =AE =2，CE =AD =4．在Rt △ABD 中，AB == ………………………………4分在Rt △ABC 中，BC ==．∵∠CEN =∠BDN =90°，∠CNE =∠BND ，∴△CEN ∽△BDN ．∴2CN CE BN BD==．∴13BN BC ==………………………………………………………5分 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AMB =90°，即AM ⊥CB ．∵CA =BA ，∠CAB =90°，∴BM =12∴MN BM BN =-． …………………………………………………6分24．解：本题答案不唯一，如：（1）图象如图所示；………………………2分（2）①1.41，7.75； …………………………………………………………………5分②4.25． ………………………………………………………………………6分25．解：（1）①9； ……………………………………………………………………………1分②45； …………………………………………………………………………2分（2）①131506530⨯=（人）． ………………………………………………………4分 答：估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数约为65人．②同意，理由答案不唯一，如：如果女生E 的仰卧起坐成绩未达到优秀，那么只有A ，D ，F 有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4人两项测试成绩都达到优秀矛盾，因此女生E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．………………………………………………………………………………6分26．解：（1）∵12b a-=， ∴2b a =-． ……………………………………………………………………1分∴抛物线为222y ax ax a =-+-．当1x =时，222y a a a =-+-=-，∴抛物线的顶点为（1，2-）． ………………………………………………2分（2）若0a >，抛物线与线段AB 没有公共点；若0a <，当抛物线经过点B （2，3-）时，它与线段AB 恰有一个公共点，此时3442a a a -=-+-，解得1a =-．∵抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图象可知，10a -<<或0a >． ………………………………4分（3）2,5m n =-⎧⎨=⎩ 或 25.m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩…………………………………………………6分 27．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD ，∠EAD =∠BCD =∠ADC =90°．∴∠EAD =∠FCD =90°．∵CF =AE ，∴△AED ≌△CFD ． ………………………………………………………1分∴∠ADE =∠CDF ．∴∠EDF =∠EDC +∠CDF =∠EDC +∠ADE =∠ADC =90°．∴DE ⊥DF ． …………………………………………………………………2分（2）证明：∵△AED ≌△CFD ，∴DE =DF ．∵∠EDF =90°，∴∠DEF =∠DFE =45°． ∵∠ABC =90°，BD 平分∠ABC ，∴∠DBF =45°．∵FH 平分∠EFB ，∴∠EFH =∠BFH ．∵∠DHF =∠DBF +∠BFH =45°+∠BFH ，∠DFH =∠DFE +∠EFH =45°+∠EFH ，∴∠DHF =∠DFH ．∴DH =DF ． …………………………………………………………………4分（3）22EF AB HM =-． ………………………………………………………………5分证明：过点H 作HN ⊥BC 于点N ，如图．∵正方形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90∴BD ==．∵FH 平分∠EFB ，HM ⊥EF ，HN ⊥BC ，∴HM =HN ．∵∠HBN =45°，∠HNB =90°，∴BH =2sin 45HN ==．∴DH =BD －BH ．∵EF =2cos45DF =， ∴22EF AB HM =-． ……………………………………………………7分28．解：（1）①5； ……………………………………………………………………………1分②a =b ； …………………………………………………………………………2分（2）∵点A （4，0），B （2，∴OA =4，OB 4=，AB 4=．∴OA =OB =AB ．∴△OAB 是等边三角形．∴∠OAB =∠OBA =60°．过点C 作CD ⊥OA 于点D ，CH ⊥OB 于点H ，如图，则∠CDA =∠CHB =90°．∴△ACD ∽△BCH ．∴CD CA CH CB=． ∵点C 关于∠AOB 的“偏率”为2， ∴2CD CH =或2CH CD =．当2CD CH =时，则2CA CB=． ∴2833CA AB ==． ∴4cos603DA CA =⋅=，43sin 60CD CA =⋅=． ∴83OD OA DA =-=．∴点C 的坐标为（83同理可求，当2CH CD =时，点C 的坐标为（103）．∴点C 的坐标为（83103， …………………………5分（3）1t <<2t >+7分。

2018-2019学年度第二学期第二次模拟测试数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分），在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。

1. 31-的倒数是（ ） A ．31- B ．3 C ．－3 D ．－0.32．如图1，所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ． （图1）3．生活中，有时也用“千千万”来形容数量多，“千千万”就是100亿，“千千万”用科学记数法可表示为（ ）A ．0.1×1011B ．10×109C ．1×1010D ．1×1011 4．下列各式运算正确的是（ ）A ．235a a a +=B ．235a a a ⋅=C ．236()ab ab =D ．1025a a a ÷=5．如图2，已知直线 ∥ ，一块含30º角的直角三角板如图放置， ∠1＝25º，则∠2＝（ ）A ．30ºB ．35ºC ．40ºD ．45º6．一元二次方程x 2﹣4x+2=0的根的情况是（ ） （图2） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根7．如图3，AB 是⊙O 的直径，∠AOC =130°，则∠D 的度数是（ ） A ．15° B ．25° C ．35° D ．65°8．下列所述图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．直角三角形B ．正三角形C ．平行四边形D ．正五边形9．东莞市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是（ ）A ．150， 150B ．150， 152.5C ．150， 155D ．155， 15010．如图4，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点M 从点B 出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达点A 停止运动，另一动点N 同时从点B 出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向点A 运动，到达点A 停止运动，设点M 运动时间为x （s ）， △AMN 的面积为y （cm 2），则y 关于x 的函数图象是（ ）（图4）A ．B ．C.D ．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分），请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。

2019年北京市西城区中考数学二模试卷考生须知1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间为120分钟 .2.试题所有答案必须书写在答题卡上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求保存好.一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）如图所示，用量角器度量∠AOB和∠AOC的度数．下列说法中，正确的是（）A．∠AOB＝110°B．∠AOB＝∠AOCC．∠AOB+∠AOC＝90°D．∠AOB+∠AOC＝180°2．（2分）改革开放四十年来，北京市民的收入随着经济水平的发展而显著提高．从储蓄数据来看，2017年北京市民的人民币储蓄存款余额约为2 980 000 000 000元，大致为1978年的3200倍．将2 980 000 000 000用科学记数法表示应为（）A．0.298×1013B．2.98×1012C．29.8×1011D．2.98×10103．（2分）如图所示的图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a可能是（）A．B．2C．2D．5．（2分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．B．C．D．6．（2分）5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据图提供的信息，下列推断不合理的是（）A．2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多4.2万亿元B．2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长C．2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出的13倍D．2022年到2023年与2023年到2024年5G间接经济产出的增长率相同7．（2分）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my8．（2分）平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（a+1，b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC 的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（）A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝2S2D．S1＝4S2二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是．11．（2分）有大小两种货车，1辆大货车与3辆小货车额定载重量的总和为23吨，2辆大货车与5辆小货车额定载重量的总和为41吨.1辆大货车、1辆小货车的额定载重量分别为多少吨？设1辆大货车的额定载重量为x吨，1辆小货车的额定载重量为y吨，依题意，可以列方程组为．12．（2分）已知y是x的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足上述条件的函数表达式：．13．（2分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为°．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，），B（﹣1，0），菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为．15．（2分）某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表所示：柑橘总重量50 100 150 200 250 300 350 400 450 500n/千克5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54损坏柑橘重量m/千克0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103柑橘损坏的频率根据表中数据，估计柑橘损坏的概率为（结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为元．16．（2分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d都为正整数），即＜x＜，则是x的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知π＝3.14159…，且＜π＜，则第一次使用“调日法”后得到π的近似分数是，它是π的更为精确的不足近似值，即＜π＜．那么第三次使用“调日法”后得到π的近似分数是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：﹣（﹣5）﹣2cos45°+|﹣3|+（）﹣1．18．（5分）解方程：＝1+．19．（5分）如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边AD的中点．作法：如图，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD．∵AE＝，∴四边形EACD是平行四边形（）（填推理的依据）．∴AM＝MD（）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AD的中点．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于﹣2且小于0，k为整数，求k的值．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，AD⊥CD．点E在对角线CA的延长线上，连接BD，BE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BC＝2，BE＝，tan∠ABE＝，求EC的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax+b与双曲线y＝交于点A（1，m）和B（﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E．若30°≤∠CED ≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA＝BA．连接OC，过点A作AD⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）连接CB交⊙O于点M，交AD于点N．若AD＝4，求MN的长．24．（6分）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示．t0 1 2 3 4 6 8 10 …y0 2 4 2.83 2 1 0.5 0.25 …（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；（2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为微克．25．（6分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.0 7.0≤x＜7.4 7.4≤x＜7.8 7.8≤x＜8.2 8.2≤x＜8.6 频数 2 m10 6 2 1b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3 c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：A B C D E F G H女生代码实心球8.1 7.7 7.5 7.5 7.3 7.2 7.0 6.5* 42 47 * 47 52 * 49一分钟仰卧起坐其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE，DF，EF．FH平分∠EFB交BD于点H．（1）求证：DE⊥DF；（2）求证：DH＝DF：（3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面内的∠MAN及其内部的一点P，设点P到直线AM，AN的距离分别为d1，d2，称和这两个数中较大的一个为点P关于∠MAN的“偏率”．在平面直角坐标系xOy中，（1）点M，N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点．①若点P的坐标为（1，5），则点P关于∠MON的“偏率”为；②若第一象限内点Q（a，b）关于∠MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为；（2）已知点A（4，0），B（2，2），连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）．若点C关于∠AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），⊙T是以点T 为圆心，半径为1的圆．若⊙T上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF的“偏率”都大于，直接写出t的取值范围．2019年北京市西城区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）如图所示，用量角器度量∠AOB和∠AOC的度数．下列说法中，正确的是（）A．∠AOB＝110°B．∠AOB＝∠AOCC．∠AOB+∠AOC＝90°D．∠AOB+∠AOC＝180°【分析】根据题意可知∠AOB＝70°，∠AOC＝110°，据此计算即可．【解答】解：∵∠AOB＝70°，∠AOC＝110°，∴∠AOB+∠AOC＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．2．（2分）改革开放四十年来，北京市民的收入随着经济水平的发展而显著提高．从储蓄数据来看，2017年北京市民的人民币储蓄存款余额约为2 980 000 000 000元，大致为1978年的3200倍．将2 980 000 000 000用科学记数法表示应为（）A．0.298×1013B．2.98×1012C．29.8×1011D．2.98×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：2 980 000 000 000用科学记数法表示为2.98×1012，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2分）如图所示的图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a可能是（）A．B．2C．2D．【分析】根据二次根式的定义可知1.7＜＜2，1.4＜＜1.5，3＜＜4解答即可．【解答】解：∵1.7＜＜2，∴＞3，故选项A、B均不符合题意；∵1.4＜＜1.5，∴2＜＜3，故本选项符合题意；∵＞3，故故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了无理数的估算，熟知二次根式的性质的解答本题的关键．5．（2分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．故选：A．【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．6．（2分）5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据图提供的信息，下列推断不合理的是（）A．2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多4.2万亿元B．2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长C．2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出的13倍D．2022年到2023年与2023年到2024年5G间接经济产出的增长率相同【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．【解答】解：根据折线统计图，可知A.2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多10.6﹣6.4＝4.2（万亿元），故此项正确；B.2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长，故此项正确；C.2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出6.4万亿元÷0.5万亿元≈13倍，故此项正确；D.2022年到2023年间接经济产出的增长率：（5﹣4）÷4＝25%，2023年到2024年5G间接经济产出的增长率（6﹣5）÷5＝20%，故此项推断不合理．故选：D．【点评】本题考查了折线统计图，熟练读懂折线统计图是解题思的关键．7．（2分）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．【解答】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．8．（2分）平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（a+1，b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC 的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（）A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝2S2D．S1＝4S2【分析】先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【解答】解：由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（a+1，b﹣1）知，此变换是以点（2，﹣2）为中心、1：2的位似变换，则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为1：4，∴S1＝4S2，故选：D．【点评】本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≠﹣5 ．【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由分式有意义的条件可知：x≠﹣5，故答案是：x≠﹣5．【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．10．（2分）若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是12 ．【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角等于150°，∴它的外角是：180°﹣150°＝30°，∴它的边数是：360°÷30°＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．11．（2分）有大小两种货车，1辆大货车与3辆小货车额定载重量的总和为23吨，2辆大货车与5辆小货车额定载重量的总和为41吨.1辆大货车、1辆小货车的额定载重量分别为多少吨？设1辆大货车的额定载重量为x吨，1辆小货车的额定载重量为y吨，依题意，可以列方程组为．【分析】根据1辆大货车与3辆小货车额定载重量的总和为23吨，2辆大货车与5辆小货车额定载重量的总和为41吨，可以列出相应的方程组，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．12．（2分）已知y是x的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足上述条件的函数表达式：y＝﹣x+3 ．【分析】答案不唯一，根据已知写出一个即可．【解答】解：答案不唯一，如：y＝﹣x+3，故答案为：y＝﹣x+3．【点评】本题考查了函数的性质，能熟记反比例函数、一次函数的性质是解此题的关键．13．（2分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为100 °．【分析】先根据AB＝CD．C是的中点，得到＝＝，再由圆周角定理得到∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣50°×2）＝40°，最后根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵C是的中点，AB＝CD．∴＝＝，∵∠ODC＝50°，∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为：100．【点评】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，），B（﹣1，0），菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为2．【分析】由已知得出DE＝OA＝，OB＝1，由菱形的性质得出∠DBE＝30°，连接BD，作DE⊥BC于E，则∠DEB＝90°，DE＝OA＝，由直角三角形的性质得出BD＝2DE＝2即可．【解答】解：∵点A（0，），B（﹣1，0），∴OA＝，OB＝1，∴AB＝＝2，∴OB＝AB，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DBE ＝∠OBA＝30°，连接BD，作DE⊥BC于E，如图所示：则∠DEB＝90°，DE＝OA ＝，∵∠DEB＝90°，∴BD＝2DE＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出∠OBA＝60°是解题的关键．15．（2分）某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表所示：50 100 150 200 250 300 350 400 450 500柑橘总重量n/千克损坏柑橘重5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54量m/千克0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103柑橘损坏的频率根据表中数据，估计柑橘损坏的概率为0.1 （结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为10 元．【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘损坏率大约是0.1；根据概率，计算出完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克，设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价＝进价+利润”列方程解答．【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数为0.1；根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克．设每千克柑橘的销售价为x元，则应有9000x＝9×10000，解得x＝10．所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为10元，故答案为：0.1，10．【点评】考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．16．（2分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d都为正整数），即＜x＜，则是x的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知π＝3.14159…，且＜π＜，则第一次使用“调日法”后得到π的近似分数是，它是π的更为精确的不足近似值，即＜π＜．那么第三次使用“调日法”后得到π的近似分数是．【分析】根据阅读材料进行四次“调日法”即可得到近似分数；【解答】解：令＜π＜，则第一次用“调日法”后得＝3.2＞π是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第二次用“调日法”后得＜π是π的更为精确的不足近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得＞π是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第四次用“调日法”后得＝是π的更为精确的过剩近似值，即第四次用“调日法”后得π的近似分数为；故答案为；【点评】本题考查近似数和有效数字；能将阅读材料与已学知识将结合是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：﹣（﹣5）﹣2cos45°+|﹣3|+（）﹣1．【分析】本题涉及绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝5﹣2×+3+4，＝5﹣+3+4，＝9+2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（5分）解方程：＝1+．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2＝x2+x+x+1，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19．（5分）如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边AD的中点．作法：如图，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD．∵AE＝CD，∴四边形EACD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴AM＝MD（平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AD的中点．【分析】（1）根据要求作出点M即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）点M如图所示．（2）连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD．∵AE＝CD，∴四边形EACD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴AM＝MD（平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AD的中点．故答案为：CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确应用全等三角形性质解决问题．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于﹣2且小于0，k为整数，求k的值．【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的整数值．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（k﹣5）2]﹣4（3k+6）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x＝，∴x1＝k+2，x2＝3．由题意可知﹣2＜k+2＜0，即﹣4＜k＜﹣2．∵k为整数．∴k＝﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，AD⊥CD．点E在对角线CA的延长线上，连接BD，BE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BC＝2，BE＝，tan∠ABE＝，求EC的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质得出即可；（2）过E作EF⊥BC，交CB的延长线于F，设FB＝2x，EF＝3x，根据勾股定理求出x，求出EF和CF，根据勾股定理求出EC即可．【解答】（1）证明：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD；（2）解：过E作EF⊥BC，交CB的延长线于F，则∠F＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠F＝∠ABC，∴AB∥EF，∴∠ABE＝∠FEB，∵tan∠ABE＝，∴tan∠FEB＝＝，设FB＝2x，EF＝3x，∵BE＝，由勾股定理得：（2x）2+（3x）2＝（）2，解得：x＝1（负数舍去），即BF＝2，EF＝3，∵BC＝2，∴FC＝2+2＝4，在Rt△EFC中，由勾股定理得：EC＝＝＝5．【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定，解直角三角形等知识点，能求出四边形ABCD是矩形是解此题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax+b与双曲线y＝交于点A（1，m）和B（﹣2，。

北京市西城区2018 年九年级模拟测试数学试卷2018.51.本试卷共8 页，共三道大题，28 道小题，满分100 分，考试时间120 分钟。

考 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和学号。

生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题（本题共16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个 .1. 如图所示， a∥ b，直线 a 与直线 b 之间的距离是A ．线段 PA 的长度B ．线段 PB 的长度C．线段 PC 的长度D．线段 CD 的长度2.将某不等式组的解集 1 ≤x<3表示在数轴上，下列表示正确的是3.下列运算中，正确的是A ．x25x26x4B．x3x2x6C．( x2 )3x 6D．( xy)3xy34. 下列实数中，在 2 和 3 之间的是A ．πB ．π2C． 3 25 D ． 3 285. 一副直角三角板如图放置，其中∠ C =∠ DFE = 90 ，∠ A=45 ，∠ E = 60 ，点 F 在 CB 的延长线上 .若 DE ∥ CF，则∠ BDF 等于A ．35B． 30C． 25D． 156.中国古代在利用“计里画方” （比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离 AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF .观测者的眼睛（图中用点 C 表示）与 BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是A ．EFCF B ．EFCF AB FB AB CBC．CECF D ．CECF CA FB EA CB7.在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10 名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：选手12345678910时间 ( min )129136140145146148154158165175由此所得的以下推断不正确的是．．．A ．这组样本数据的平均数超过130B．这组样本数据的中位数是147C．在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差D ．在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好8．如图 1 所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和 v(m/s) ，起初甲车在乙车前 a (m) 处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y (m)，y与x 的函数关系如图 2 所示．有以下结论：①图 1 中 a 的值为 500；②乙车的速度为 35 m/s；③图 1中线段 EF 应表示为5005x ；④图 2中函数图象与x 轴交点的横坐标为 100．其中所有的正确结论是A ．①④B ．②③C．①②④ D ．①③④二、填空题（本题共16 分，每小题 2 分）9.如果 2 x 有意义，那么x 的取值范围是．10. 不透明袋子中装有 5 个红色球和 3 个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．11.如图，等边三角形 ABC 内接于⊙O，若⊙ O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积等于．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A， B 两款魔方 .社长发现若购买 2 个 A 款魔方和 6 个B 款魔方共需170 元，购买 3 个 A 款魔方和购买8 个 B 款魔方所需费A 款B 款用相同 . 求每款魔方的单价.设 A 款魔方的单价为x 元， B 款魔方的单价为 y 元，依题意可列方程组为.13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若 AB= 8，AD= 6，则四边形EFGH 的周长等于．14. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y 3( x 2) 2 1 平移后得到抛物线y 3 x2 2 . 请你写出一种平移方法 . 答：.15.如图， AB 为⊙ O 的直径， AC 与⊙ O 相切于点 A，弦 BD∥ OC.若 C 36 ，则∠DOC=．16.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形ABCD 的边 AB 在 x 轴上，A( 3,0)，B(4,0)，边 AD 长为 5. 现固定边 AB，“推”矩形使点 D 落在 y 轴的正半轴上（落点记为 D ），相应地，点 C 的对应点C的坐标为.三、解答题（本题共68 分，第 17~21 题每小题 5 分，第 22、 23 题每小题 6 分，第 24 题 5 分，第 25、 26题每小题 6 分，第27、 28题每小题7 分）17．计算：6cos6027( π 2) 0 3 2 ．x118．解方程： 3 .x 2 2 x19.如图，在四边形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， DE ⊥AB 于点 E，A 66 ，ABC 90 ，BC= AD，求∠C的度数．20.先化简，再求值：15x26x 9，其中 x 5 ．x2x221.如图，在Rt△ ABC 中，ACB 90 ，CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，BE=C D，连接CE，DE．（ 1）求证：四边形CDB E 为矩形；（ 2）若 AC=2 ，tan ACD 1，求DE的长．222.阅读下列材料：材料一：早在 2011 年 9 月 25 日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011 年全年网络售票仅占1.68%.2012 年至 2014 年，全年网络售票占比都在2%左右 .2015 年全年网络售票占17.33%， 2016 年全年网络售票占比增长至41.14%.2017 年 8 月实现网络售票占比77%.2017 年 10 月 2 日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017 年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.年度20132014201520162017参观人数（人次）7 450 000 7 630 000 7 290 000 7 550 000 8 060 000年增长率（ %）38.7 2.4-4.5 3.6 6.8他还注意到了如下的一则新闻：2018 年 3 月 8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样 . ”尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（ 1）补全以下两个统计图；（ 2）请你预估2018 年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y m（x 0）的图象经过点A( 4, n)，AB⊥x轴于点B，点xC 与点 A 关于原点 O 对称，CD ⊥ x 轴于点 D，△ ABD 的面积为8.（ 1）求 m，n 的值；（ 2）若直线y kx b （k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F ，当CF2CE 时，求点 F 的坐标．24．如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是圆上一点，弦CD⊥ AB 于点 E，且 DC=AD ．过点 A 作⊙ O 的切线，过点C 作 DA 的平行线，两直线交于点 F ， FC 的延长线交 AB 的延长线于点 G.（1）求证： FG 与⊙ O 相切；（2）连接 EF ，求tan EFC的值 .25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边AB a1.按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小 .请解决以下问题：（ 1）完成表格中的填空：①；②；③；④；（ 2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线 M ： y ax 2 4 ax a 1 (a≠0)与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），抛物线的顶点为 D .（1）抛物线 M 的对称轴是直线 ____________；（2）当 AB=2 时，求抛物线 M 的函数表达式；（ 3）在（ 2）的条件下，直线l：y kx b (k≠0)经过抛物线的顶点D，直线y n 与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1， x2，直线 y n 与直线l的交点的横坐标记为 x3（ x30 ），若当 2 ≤n≤时，总有x x3x x20 ，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围 .11327. 如图 1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点 Q 在线段 CD 上运动，将线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转，，使得点 A 的对应点 E 落在射线BC 上连接 BQ，设∠ DAQ=α（ 0°＜α＜ 60°且α≠ 30°）.（ 1）当 0°＜α＜ 30°时，①在图 1 中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE， AC， CQ 之间的数量关系，并加以证明；（ 2）当 30°＜α＜ 60°时，直接写出线段CE， AC， CQ 之间的数量关系.图 1备用图28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点Q( x, y )（ x≠0），将它的纵坐标y 与横坐标 x 的比y称为点 Q 的“理x想值”，记作 L Q.如 Q(1,2) 的“理想值” L Q 22 . 1（ 1）①若点Q(1,a)在直线y x 4 上，则点Q的“理想值”L Q等于_________；②如图， C( 3,1) ，⊙C的半径为 1. 若点 Q 在⊙ C 上，则点Q 的“理想值”L Q的取值范围是.3 x+3 上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有0≤L Q≤3，求点D （ 2）点 D 在直线y3的横坐标 x D的取值范围；（ 3）M (2, m)（ m＞ 0）， Q 是以 r 为半径的⊙ M 上任意一点，当0≤ L Q≤2 2时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值 .（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018 年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准2018.5一、选择题（本题共16 分，每小题 2 分）题号12345678答案A B C C D B C A 二、填空题（本题共16 分，每小题 2 分）9. x≤ 2．3．4π12.2x6y 170,10.11..3x13. 20.838y.14.答案不唯一，例如，将抛物线y3( x2)2 1 先向右平移2个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到抛物线y3x2 2 .15. 54．16.(7,4) ．三、解答题（本题共68 分，第 17~21 题每小题 5 分，第 22、 23 题每小题 6 分，第 24 题 5 分，第 25、 26题每小题 6 分，第27、 28 题每小题7 分）17.解：6cos6027( π 2)03261331(23)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分333123223．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分x118．解方程： 3 .x 2 2 x解：去分母，得 x 13(x2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分去括号，得 x 1 3x 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分移项，得 3x x 6 1 ．合并同类项，得2x 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分系数化为 1，得x 5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2经检验，原方程的解为x 5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分219.解：如图 1，连接 BD.∵ E 为 AB 的中点， DE ⊥AB 于点 E，∴ AD= BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴ 1 A．∵ A 66 ，∴ 1 66 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵ABC 90 ，∴2ABC 1 24 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分图 1∵AD=BC ，∴ BD=BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴C3 ．1802C==78∴2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分5x26x920.解：1x 2x2x3x2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分x2( x3)21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分x3当 x 5 时，原式1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分821.（ 1）证明：如图 2.∵CD⊥ AB 于点 D， BE⊥ AB 于点 B，∴CDA DBE90 ．∴ CD∥ BE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分又∵ BE=C D，∴四边形 CDBE 为平行四边形．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分图 2又∵DBE90 ，∴四边形 CDBE 为矩形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（ 2）解：∵四边形 CDB E 为矩形，∴ D E=BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∵在 Rt△ ABC 中，ACB90 ，CD⊥AB，可得ACD 1 ．∵ tan ACD 1 ，2∴ tan 1 tan ACD 1 ．2∵在 Rt△ ABC 中，ACB90 ，AC=2， tan 1 1 ，2∴ BC AC 4 ．tan1∴ D E=BC= 4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分22.解：（ 1）补全统计图如图 3.图3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分23.解：（ 1）如图 4.∵点 A 的坐标为A( 4, n)，点 C 与点 A 关于原点 O 对称，∴点 C 的坐标为C(4, n)．∵AB⊥ x 轴于点 B，CD ⊥ x 轴于点 D ，∴ B， D 两点的坐标分别为B( 4,0) ， D (4,0) ．∵ △ ABD 的面积为8，SV ABD1AB BD1( n) 8 4n ，22∴4n 8 ．解得 n 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵函数 ym（ x 0）的图象经过点 A( 4, n) ，x∴ m4n8 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）由（ 1）得点 C 的坐标为C(4,2)．①如图 4，当k0 时，设直线y kx b 与x轴，y 轴的交点分别为点 E 1 ， F 1 ．由 CD ⊥ x 轴于点 D 可得 CD ∥ OF 1 ．∴ △ E 1 CD ∽△ E 1 F 1 O ．∴ DC E 1C． OF 1 E 1F 1∵ CF 1 2CE 1 ，图 4∴ DC1 ． OF 1 3∴ OF 1 3DC 6 ．∴ 点 F 1 的坐标为 F 1 (0,6) ．②如图 5，当 k0 时，设直线 y kx b 与 x 轴 ，y 轴的交点分别为点 E 2 ， F 2 ．同理可得 CD ∥ OF 2， DCE 2 C ．OF 2E 2F 2∵ CF 22CE 2 ，∴E 2 为线段 CF 2 的中点 ， E 2 C E 2 F 2 ．∴OF 2DC 2．∴ 点 F 2 的坐标为 F 2 (0, 2) ．⋯⋯⋯⋯ 6 分5综上所述，点 F 的坐标为F1(0,6)，F2(0, 2)．图24.（ 1）证明：如图 6，连接 OC， AC.∵AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB 于点 E，∴CE=DE ， AD=AC .∵DC=AD ，∴DC=AD= AC .∴△ ACD 为等边三角形．∴∠ D = ∠ DCA= ∠DAC =60 ．∴1．1DCA 302∵FG∥DA，图 6∴DCF D 180 ．∴DCF180D120 ．∴OCF DCF190 ．∴FG⊥ OC．∴ FG 与⊙ O 相切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）解：如图 6，作 EH⊥ FG 于点 H．设CE= a ，则 DE= a ， AD= 2a．∵ AF 与⊙ O 相切，∴AF ⊥ AG．又∵ DC ⊥ AG，可得 AF ∥ DC．又∵ FG ∥ DA，∴四边形 AFCD 为平行四边形．∵ DC =AD ， AD= 2a，∴四边形 AFCD 为菱形．∴AF=FC=AD= 2 a，∠ AFC = ∠ D = 60 ．EH CE sin60 3 a CH CE cos60 1 a 由（ 1）得∠ DCG = 60 ，2， 2 ．FH CH CF 5 a∴ 2 ．∵在 Rt△ EFH 中，∠ EHF = 90 ，EH 3 a3tan EFC2FH55a5 分∴2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25．解：（ 1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分②(21)a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分③(21)2a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分④ ( 2 1)n 1 a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）所画正方形 CHIJ 见图 7.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分26.解：如图 8.图 7（ 1）x 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分（ 2）∵ 抛物线y ax24ax a 1的对称轴为直线x 2 ，抛物线M与x轴的交点为点 A，B（点 A 在点 B 左侧）， AB=2 ，∴ A， B 两点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵点 A 在抛物线 M 上，∴将 A(1,0) 的坐标代入抛物线的函数表达式，得a4a a 1 0 .解得 a1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分2y 1 x2 2 x3∴抛物线 M 的函数表达式为2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分5k（ 3） 4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分图 827.解：（ 1）当 0°＜α＜ 30°时，①画出的图形如图9 所示．⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵△ ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC= 60°．∵CD 为等边三角形的中线，Q 为线段 CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ．∵∠DAQ =α，∴ ∠ABQ = ∠DAQ=α，∠ QBE =60°- α．图 9∵线段 QE 为线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转所得，∴QE = QA ．∴ QB=QE ．可得BQE 180 2 QBE 1802(60)602．⋯⋯⋯ 2 分② CE AC3CQ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分证法一：如图10，延长 CA 到点 F，使得 AF=CE ，连接 QF，作 QH⊥ AC 于点 H ．∵∠BQE=60 ° +2α，点 E 在 BC 上，∴∠QEC=∠BQE+ ∠QBE =(60 °α+2)+( 60 -°α)=120 °+α．∵点 F 在 CA 的延长线上，∠ DAQ =α，∴∠QAF =∠ BAF+∠ DAQ= 120°+α．∴∠QAF= ∠QEC．又∵AF =CE ， QA=QE ，∴△QAF ≌△ QEC ．∴QF=QC ．∵QH⊥ AC 于点 H，∴ FH=CH ， CF= 2CH．∵在等边三角形 ABC 中， CD 为中线，点Q 在 CD 上，1ACB∴ ∠ACQ= 2=30 °，图 10即△ QCF 为底角为30°的等腰三角形．CH CQ cos HCQ CQ cos30 3 CQ∴2．∴CE AC AF AC CF 2CH3CQ．即 CE AC3CQ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分思路二：如图11，延长 CB 到点 G，使得 BG=CE ，连接 QG，可得△ QBG≌△ QEC，△ QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得 CE AC BG BC CG3CQ ．图 11图12（ 2）如图 12，当 30°＜α＜ 60°时， AC CE3CQ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分28. 解：（ 1）①3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分② 0≤LQ≤ 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分y3x+33,0) ，（ 2）设直线3与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得A(3B(0,3) ．∴ OA 3 3 ， OB 3 ，OAB30 ．由 0≤LQ≤ 3 ，作直线y3x ．①如图 13，当⊙ D 与 x 轴相切时，相应的圆心D1满足题意，其横坐标取到最大值．作D1E1x轴于点E1，D1 E1AE1可得D1E1 ∥OB，BO AO ．∵ ⊙D 的半径为 1，∴D1E11．图 13∴ AE1 3 ，OE1OA AE1 2 3 ．∴xD1 2 3．②如图 14，当⊙ D 与直线y3x相切时，相应的圆心D2满足题意，其横坐标取到最小值．作D2E2x轴于点E2，则D2E2⊥OA．y3设直线y3xx+3与直线3的交点为 F ．可得AOF60，OF⊥AB．图 14AF OA cos OAF393 32 ．则2∵⊙ D 的半径为 1，∴D2F1．AD2AF D2 F72 ．∴7373∴ AE2 AD 2 cos OAF 224，OE253 OA AE2．453xD24 ．∴53由①②可得，xD 的取值范围是 4 ≤xD≤2 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 3）画图见图15．图 152 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分。