2017-2018学年度第一学期 高三级理科数学11月考试试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}1,1,3A =-，{}21,2B a a =-，且B A ⊆，则实数a 有（ ）个不同取值．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】因为B A ⊆，所以221a a -=-或223a a -=， 解得：1a =或1a =-或3a =， 所以实数a 的不同取值个数为3． 故选B ．考点：1．集合间的关系；2．一元二次方程．2．复数2iiz +=的共轭复数是（ ）．A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】C 【解析】22i (2i)i 2i 112i i i 1z ++-====--， 共轭复数12i z =+． 故选C ．3．在ABC △中，则“π6A >”是“1sin 2A >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】在ABC △中，由1sin 2A >得：π5π66A <<， 因为“π6A >”⇒“1sin 2A >”，“π6A >”⇐“1sin 2A >”， 所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要而不充分条件． 故选B ．考点：1．三角函数的性质；2．充分条件与必要条件．4．下列命题中，错误的是（ ）．A ．平行于同一平面的两个不同平面平行B ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交C ．若两个平面不垂直，则其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直D ．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行 【答案】D【解析】解：由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，所以A 选项是正确的； 由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，所以B 选项是正确的；由直线与平面垂直的性质定理，知如果平面α不垂直平面β， 那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，所以C 选项是正确的；若直线l 不平行平面α，则当l α⊂时，在平面α内存在与l 平行的直线，故D 不正确． 故选D ．5．为得到函数3cos2y x =的图象，只需把函数π3sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点（ ）．A ．向右平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π6个单位长度C ．向左平行移动π3个单位长度D ．向左平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】解：函数π3cos 23sin 22y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，把函数π3sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度，可得函数πππ3sin 23sin 2662y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象．故选D ．6．若1a b >>，01c <<，则（ ）．A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <【答案】C【解析】A 项．使用特殊值法，令3a =，2b =，12c =， 得112232>，故A 项错误；B 项，使用特殊值法，令3a =，2b =，12c =， 得11223223⨯>⨯，故B 项错误；（由于110c -<-<，所以函数1c y x -=在(1,)+∞上单调递减，所以111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<）； C 项，使用特殊值法，令3a =，2b =，12c =， 得2313log 2log 22<，C 项正确； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b ca ， 即只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a， 所以比较ln b b 和ln a a 的大小即可，构造函数()ln (1)f x x x x =>， 则()ln 10f x x '=+>，即()f x 在(1,)+∞上单调递增， 因此()()(1)0f a f b f >>=，所以ln ln 0a a b b >>， 所以11ln ln a a b b<， 又因为01c <<， 所以ln 0c <， 所以ln ln ln ln c ca ab b>， 所以log log b a a c b c <， 故C 项正确；D 项，使用特殊值法，令3a =，2b =，12c =， 得3211log log 22>， 故D 项错误，（要比较log a c 和log b c ，只需要比较ln ln c a 和ln ln cb即可，因为函数()ln (1)f x x x =>在(1,)+∞上单调递增，所以ln ln 0a b >>，即11ln ln a b <，因为01c <<，所以ln 0c <，所以ln ln ln ln c c a b>，即log log a b c c >）．故选C ．7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（ ）．A ．32B ．3C ．2D ．92【答案】A1俯视图侧视图主视图1x【解析】解：该几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积1(12)232S =⨯+⨯=，则该几何体的体积13332V x =⋅⋅=，故32x =．8．如图给出的是计算11112462016++++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）．A ．2019i ≤B ．2018i ≤C ．2017i ≤D ．2016i ≤【答案】D【解析】根据流程图，可知， 第1次循环：2i =，12S =； 第2次循环：4i =，1124S =+； 第3次循环：6i =，111246S =++，第1008次循环：2016i =，11112462016S =++++； 此时，设置条件退出循环，输出S 的值． 故判断框内可填入2016i ≤．9．圆O 的半径为3，一条弦4AB =，P 为圆O 上任意一点，则AB BP ⋅的取值范围为（ ）．A ．[16,0]-B ．[0,16]C ．[20,4]-D ．[4,20]-【答案】C【解析】解：如图所示，连接OA ，OB ．过点O 作OC AB ⊥，垂足为C ， 则122BC AB ==， ∴2cos 3OBA ∠=， ∴()AB BP AB OP OB AB OP AB OB ⋅=⋅-=⋅-⋅，||||cos ,||||cos AB OP AB OP AB OB OBA =⋅-⋅∠， 243cos ,4312cos ,83AB OP AB OP =⨯⨯-⨯⨯=-． ∵cos ,[1,1]AB OP ∈-， ∴12cos ,8[20,4]AB OP-∈-．10．平面上满足约束条件20100x x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≤的点(,)x y 形成的区域为D ，区域D 关于直线2y x =对称的区域为E ，则区域D 和E 中距离最近两点的距离为（ ）．ABCD【答案】A【解析】先根据约束条件画出可行域，如图，作出区域D 关于直线2y x =对称的区域，它们呈蝴蝶形， 由图可知，可行域内点(2,2)A -到A '的距离最小， 最小值为A 到直线2y x =的距离的两倍，∴最小值2=11．设m ，n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）．A．[1B．(),113,⎡-∞++∞⎣C．[2-+D ．(),2222,⎡-∞-++∞⎣【答案】D【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用．1=，两边平方并整理得1m n mn ++=， 显然1n ≠， 故11n m n +=-， 显然1122(1)2111n n m n n n n n n n +-++=+=+=-++---，当10n ->时，利用均值不等式得2(1)2221m n n n +=-++=-≥；当10n -<时，利用均值不等式得22(1)21m n n n ⎡⎤+=-----⎢⎥-⎣⎦≤故m n +的取值范围是(),2222,⎡-∞-++∞⎣．故选D ．12．已知函数21()1()32mx m n x f x x 3+++=+的两个极值点分别为1x ，2x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞．点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[)3,+∞B ．(3,)+∞C ．(]1,3D ．(1,3)【答案】D【解析】解：21()()2f x x mx m n '=+++，依题意知，方程()0f x '=有两个根1x ，2x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，由二次方程根的分布，则有1(0)()02f m n '=+>，1(1)1()02f m m n '=+++<，则0320m n m n +⎧⎨++⎩， 点(,)P m n 表示的平面区域为D ，画出二元一次不等式组：320m n m n +⎧⎨++⎩表示的平面区域， 如图所示：因为直线0m n +=，230m n ++=的交点坐标为(1,1)-，所以要使函数log (4)a y x =+，(1)a >的图象上存在区域D 内的点， 则必须满足1log (14)a <-+， 所以log 31a >，解得3a <． 又因为1a >， 所以13a <<．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．函数22()log (f x x =-+的值域为__________．【答案】3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解：∵20x <-+， ∴0x =时，()f x 最大，3()(0)log 2f x f ===最大值， 因此，本题正确答案是：3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．14．设α为锐角，若π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．【解析】设π6βα=+，α为锐角， ππ2,π663P α⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∵32πsin sin53β=<=，可得β为锐角， 可求4cos 5β=，24sin 22sin cos 25βββ==， 27cos212sin 25ββ=-=， ∴ππππcos 2cos 2cos 212344ααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππcos2cos sin 2sin 44P β=+，=15．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________． 【答案】20π【解析】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，PC =PB =因为PBC △为直角三角形，因此BC =BC =．所以只可能是BC = 此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥， 所以平面ABC 所在小圆的半径即为22ACr ==， 又因为2PA =，所以外接球O的半径R ==，所以球O 的表面积为24π20πS R ==．16．抛物线28y x =的焦点为F ，设11(,)A x y 、22(,)B x y 是抛物线上的两个动点，若124|x x AB ++，则AFB ∠的最大值为__________． 【答案】2π3【解析】解：由抛物线定义得12AF x =+，22BF x =+，所以由124|x x AB ++=，得|AF BF AB +=， 因此，22222113||||||||||||||442cos 2||||2||||AF BF AF BF AF BF AB AFB AF BF AF BF +-⋅+-∠==⋅⋅， 132||||||||1422||||2AF BF AF BF AF BF ⨯⋅-⋅=-⋅≥，所以20π3AFB <∠≤，填2π3．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）四边形ABCD 如图所示，已知2AB BC CD ===，AD =（1cos A C -的值．（2）记ABD △，BCD △的面积分别为1S ，2S ，求2212S S +的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）在ABD △中，DB =，在BCD △中，DB ，cos 1A C -=．（2）根据题意2211212cos S A =-，22244cos S C =-，所以2222121212cos 44cos S S A C +=-+-， 28cos 8cos 12C C =--+， 218cos 142C ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，因为24BD <<，所以8cos (16C -∈-，计算出1cos 1C -<<，所以221214S S +≤， 当1cos 2C =-时，取等号，即2212S S +最大值为14．BC18．（本小题满分12分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．（2）（i ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数为X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）．（ii ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【解析】（1）∵27.287 6.63525201926K =>⨯⨯⨯≈． ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”． （2）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人，X 的可能取值为0，1，2，3，4．416420C (0)C P X ==，33416420C C (1)C P X ⋅==，22416420C C (2)C P X ⋅==，31416420C C (3)C P X ⋅==，44420C (4)C P X ==．（ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ， 由题意可知(20,0.6)YB ，故()12E Y =，() 4.8D Y =．19．（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AAC C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（1）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ． （2）求二面角11A BD C --的余弦值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵1BB ⊥平面ABCD ， ∴1BB AC ⊥，在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，D ABC 1B 1A 1又1BDBB B =，∴AC ⊥平面1BB D ， ∵AC ⊂平面1AB C ， ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ． （2）连接BD ，AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴， 如图建立空间直角坐标系，(0,1,0)B -，(0,1,0)D ，1(0,1,2)B -，A ，11111,222B A BA A ⎫=⇒-⎪⎪⎝⎭，同理11,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 131,22BA ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，(0,2,0)BD =，11,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =， ∴100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =-，设平面DCF 的法向量(,,)m x y z =， 10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 则m =，设二面角11A BD C --为θ，||13cos 19||||m n m n θ⋅==．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点(4,0)B ，2F 为线段1A B 的中点．（1）求椭圆C 的方程．（2）若过点B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，试判断点G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】见解析．【解析】（1）设点1(,0)A a -，2(,0)F c ， 由题意可知：42a c -+=，即42a c =-①， 又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c =②， 联立方程①②可得：2a =，1c =，则2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线0x x =上， 解设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l 40y +-， 此时点85N ⎛ ⎝⎭，则联立直线120A M l y -+=和直线120A N l y +-=可得点G ⎛ ⎝⎭，据此猜想点G 在直线1x =上，下面对猜想给予证明： 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立方程22(4)13y k x x y x=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：2222(34)3264120k x k x k +-+-=，0∆>，由韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+（*），因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--． 联立两直线方程得122122(2)(2)222y y y x x x x x +==-+--（其中x 为G 点的横坐标）， 即证：1212322y y x x -=+-， 即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -⋅-=--+， 即证1212410()160x x x x -++=，将（*）代入上式可得22222224(6412)1032160163203403434k k k k k k k⋅-⨯-+=⇔--++=++， 此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上1x =上．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1af x x x=+-，a ∈R ． （1）若函数()f x 的最小值为0，求a 的值． （2）证明：e (ln 1)sin 0x x x +->． 【答案】见解析． 【解析】（1）()ln 1af x x x=+-的定义域为(0,)+∞， 且221()a x af x x x x-'=-=．若0a ≤，则()0f x '>，于是()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()f x 无最小值，不合题意． 若0a >，则当0x a <<时，()0f x '<； 当x a >时，()0f x '>．故()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增． 于是当x a =时，()f x 取得最小值ln a ． 由已知得ln 0a =，解得1a =， 综上，1a =．（2）①下面先证明当(0,π)x ∈时，e (ln 1)sin 0x x x +->， 设()sin g x x x =-， 则()cos 1g x x '=-，于是当0πx <<时，()0g x '<， 所以()g x 在[)0,π上单调递减， 所以当0πx <<时，()(0)0g x g <=， 所以sin 1xx->-． 由（1）可知1ln 10x x+-≥， 即1ln 1x x--≥，所以当0πx <<时， sin (ln 1)sin 1xx x x-->-≥， 于是0e (ln 1)sin e 1e 10x x x x +->->-=， 即e (ln 1)sin 0x x x +->． ②当[)π,x ∈+∞时，sin 1x -≥， 因为ln 10x ->，所以(ln 1)sin (ln 1)x x x ---≥， 所以e (ln 1)sin e (ln 1)x x x x x +---≥，设()e ln 1x h x x =-+，则π11()e e 0πx h x x '=-->≥，所以()h x 在[)π,+∞上单调递增， 故π()(π)e ln π10h x h =-+>≥，所以e (ln 1)sin e (ln 1)0x x x x x +--->≥， 综上，不等式e (ln 1)sin 0x x x +->恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知圆1C 的参数方程为1cos 2sin x y φφ=+⎧⎨=+⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为cos 20ρθ+=． （1）求1C 的极坐标方程与2C 的直角坐标方程．（2）若直线3C 的极坐标方程为π()4θρ=∈R ，设3C 与1C 的交点为M ，N ，P 为2C 上的一点，且PMN △的面积等于1，求P 点的直角坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）1C 的普通方程为22(1)(2)1x y -+-=，即222440x y x y +--+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=， 2C 的直角坐标方程为2x =-．（2）将π4θ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得1ρ=2ρ=所以||MN =因为PMN △的面积等于1，所以P 点到直线π4θ=即0x y -=设(2,)P y -|2|2y +=，0y =或4-．P 点坐标为(2,0)-或(2,4)--．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-，x ∈R ． （1）解不等式()2|1|f x x -+≥．（2）若对于x ，y ∈R ，有1|1|3x y --≤，1|21|6y +≤，求证：()1f x <．【答案】见解析．【解析】（1）解：不等式化为|1||21|2x x ++-≥． ①当12x ≥时，不等式为32x ≥，解得23x ≥，故23x ≥；②当112x -<≤时，不等式为22x -≥，解得0x ≤，故10x -≤≤； ③当1x <-时，不等式为32x -≥，解得23x -≤，故1x <-，综上，原不等式的解集为{|0x x ≤或23x ⎫⎬⎭≥．（2）215|21||2(1)21|2|1||21|1366x x y y x y y -=--++--+++=<≤≤，所以()1f x <．。
