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2D基本图形生成算法

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基本图形生成算法-直线圆弧

基本图形生成算法-直线圆弧

1 / max( x , y )
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换 直线的扫描转换——数值微分法
绘制直线时，要确定一个方向的增量为单位增量，即确定 画线的基本步进方向，另一个方向的增量由直线的斜率决
定。确定基本步进方向的依据是理想直线的斜率k。
DDA算法是一种增量算法，优点是直观、易于实现；
缺点是要做浮点运算和舍入取整，不利于硬件实现。
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换 直线的扫描转换——数值微分法
斜率<=1时，以x为基本 步进方向，x方向每次步 进增量为1。
斜率>1时，以y为基 本步进方向，y方向 每次步进增量为1。
第二象限 第四象限
走笔 +Y 走笔 -Y Fk+1=Fk-|xA |
走笔 -X 走笔 +X Fk+1=Fk+|yA |
逐点比较法绘制直线.doc
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换
【注】递推公式的作用： 意义：简化计算过程，提高效率。 原则：尽可能以加减法代替乘除法。 方法：用当前点的偏差推算出走笔方向，并计算出下一
Fi 1 xA yi 1 y A xi 1
即第i+1点的偏差判别式为：
xA ( yi 1) y A xi Fi x A
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础：基本图形生成算法——直线及圆弧的扫描转换 直线的扫描转换——逐点比较法
各象限的判别式

第二章 二维图形生成技术---直线和圆弧

第二章 二维图形生成技术---直线和圆弧
圆心在原点、半径R为整数的圆 为例，讨论圆的生成算法。 假设圆的方程为： 2 2 2 X + Y = R
圆弧扫描算法
• X + Y = R 2 2 Y = ±Sqrt(R - X ) 在一定范围内，每给定一 X值，可得一Y值。 当X取整数时，Y须取整。
为能确定B在A点上面或下面，令
Yi+1,r A Yi,r D B C xi Xi+1 ε(x)的几何意义
ε(xi+1)=yi+1-yir-0.5
(2)
若B在A的下面，则有ε(xi+1)<0，反 之，则ε(xi+1)>0。由图可知 yi+1,r=yir+1，若ε(xi+1)≥0 yi+1,r=yir， 若ε(xi+1)≤0 (3)
逐点比较法 数值微分法（DDA） 中点画线法 Bresenham算法。
一逐点比较法
算法： 1、偏差计算 1）一般公式
αβ
A(xA, xA)
M(xM, xM)
• 偏差 d = tg β − tg α = y M − y A
xM
xA
y M x A − y A xM = xM x A
• 偏差的判断公式为
Bresenham画线算法
程序如下： BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,color) int x0,y0,x1,y1,color; { int x,y,dx,dy; float k,e; int e; dx = x1-x0; dy = y1-y0; k = dy/dx; e = -0.5; x=x0; y=y0; e = -dx; for( i=0; i<=dx; i++){ drawpixel(x,y,color); x++; e=e+k; e1=e-0.5; e=e+2*dy; e1= e-dx; if(e1 > 0) e = e - 1; e = e - 2*dx; if(e >=0) y++; } }

计算机地图制图原理与方法基本图形生成算法

计算机地图制图原理与方法基本图形生成算法

该程序如何改进， 提高效率？
while(x<y){
setpixel(x,y);
if(d<0){
d+ = 2*x+3; x++
}
else{
d+ = 2*(x-y) + 5;
x++;y--;
}
}
}
整理课件
28
Bresenham画圆算法
讨论、圆的中点算法与Bresenham算法是否一致？
整理课件
29
椭圆的生成算法
内存 插槽
D/A转换：图形显示
整理课件
2
整理课件
3
基本图形的生成
几何图形Ｇ＝｛Ｐi | Pi 最接近图形的象素 ｝ 基本图形的生成算法任务之一就是找出所有的Ｐi .
点表示为象素（Pixel），对应于显存地址单元 读写某一象素是硬件设备提供的最基本功能 一维图形，由一个象素宽的直线或曲线表示 二维图形由确定区域的象素表示 线图元的扫描转换是基本图形生算法的基础；
整理课件
6
画直线的DDA算法
8
从起点开始朝终点方向
7
画点(x, y)
6
前未 5
四4
舍 五
3
入2
1 起点0
在x轴或y轴上走一个单位
终 点
长（沿x轴还是y轴取决于
直线的倾斜角）
由直线的倾斜程度（斜率 或斜率的倒数）决定另一 坐标的增量，获得下一点 的座标
将x或y四舍五入，得(x, y)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 若(x, y)不是终点则继续
y=y+k;
}
缺点：
}
浮点运算、取整－－》废时，且不利于硬件实现。

二维图形生成原理

二维图形生成原理
对应多边形覆盖每一条扫描线。 (2) 将每条边的信息链入与该边最小 y 坐标（ ymin ）相对 应的桶处。也就是说，若某边的较低端点为 ymin ，则 该边就放在相应的扫描线桶中。
改进的有效（活性）边表算法-数据结构
(3)每条边的数据形成一个结点，内
容包括：该扫描线与该边的初始 以及该边的最大y值ymax。
按扫描顺序，计算每 条扫描线与多边形的 相交区间，再用要求 的颜色显示这些区间
的像素，即完成填充
工作。
区间的端点可以通过
计算扫描线与多边形 边界线的交点获得。
图5-23 x-扫描线算法填充多边形 *算法的核心：须按 x递增顺序 排列交点的x坐标序列
扫描线算法-算法步骤：
(1)确定多边形所占有的最大扫描线数：得到多边形顶 点的最小和最大y值（ymin和ymax）。
有效边求交
• 利用多边形边的连贯性 *，
如图：若y=yi,x=xi,则当
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x
图5-23 x-扫描线算法填充多边形 xi+1 ,y i+1
y=yi+1=yi+1,xi+1=xi+1/k
1 xi,yi 1/k
1
1 1 0 2 2
图5-25 与扫描线相交的多边形顶点的交点数
1 0 2
解决顶点交点计为1时的情形*：
扫描线y+1 扫描线y 扫描线y-1
（a)原图
（b)缩短ymax的边
（c)缩短Leabharlann min的边图5-28 将多边形的某些边缩短以分离那些应 计为1个交点的顶点
改进的有效（活性）边表算法

基本图形生成算法

基本图形生成算法

Si (r 1, q)
(xi1, yi1)
y x dy dx
假设直线从 (x1, y1) 到 (x2 , y2 ) ， 经变换后可表示为从 (0, 0) 到 (dx, dy) 其中 dx x2 x1 ，dy y2 y1 此时直线方程可简化为：
y dy x dx
(3 4)
将每一下标加1，即以i+1 代 i,则得：
di1 2xi dy 2 yidx 2dy dx
从 di1中减去 d i 得到：
di1 di 2dy(xi xi1) 2dx( yi yi1)
因为 xi xi1 1 ，重写上式得：
则令
dt 2m 所以
xinc dx 2m 1
yinc

dy
2m
1
即在x和y两个方向上，步长均小于1。若用硬件来实现对 称DDA法，则应用2套寄存器和加法器，将xinc和yinc分别加 到x和y的小数部分，哪个方向有整数溢出，就驱动该方向 走步。
数值微分法(DDA法)——特点
这种算法只需判断d的正负，其值的大小并不重要。 对于第一象限，因为分母 xM xA永远为正，所以只需 判断分子项的正负即可。我们得到偏差的判断公式 为：
FM yM xA yA xM
递推公式
用上式来计算偏差时，每次都要计算两次乘法，一 次减法，计算工作量还是很大的。如果我们设法用 前一点的偏差来推算走步方向以及走步以后的偏差， 则偏差计算就可以大大简化，也更适于计算机实现。 现在仍以第一象限为例，简述这种递推过程。
1
第五章 基本图形生成算法
图形生成的概念 直线段的扫描转换 圆的扫描转换 多边形的扫描转换与区域填充

计算机基本图形生成算法

计算机基本图形生成算法
给定圆心在原点，半径为整数R的圆，其方程为
x2 y2 R2
构造函数F(x,y)=x2+y2-R2。 对于圆上的点，有F(x,y)=0； 对于圆外的点，F(x,y)>0； 而对于圆内的点，F(x,y)<0。
31
y
Pu
PM
Pd
x
图5.13 中点Bresenham画圆的原理
中点Bresenham画圆
y
yi
k
19
改进的Bresenham算法
kd
k d
kd
k kd
图5.10 改进的Brensemham算法绘制直线的原理
改进的Bresenham算法——原理
xi1 yi1
xi
yi yi
1
1
(d 0.5) (d 0.5)
误差项的计算
d初=0， 每走一步：d=d+k
一旦y方向上走了一步，d=d-1
中点Bresenham画圆
判别式的初始值
d0 F ( x0 1, y0 0.5) F (1, R 0.5) 1 (R 0.5)2 R2 1.25 R
36
改进：用d-0.25代替d 此时有：
d d 2xi 3
d 0.25
d d 2(xi yi ) 5 d 0.25
yi-2
(xi 2)2 ( yi 0.5)2 R2
xi xi+1 xi+2
d2 ( xi 1 1)2 ( yi 0.5)2 R2 图5.14 d≤0的情况
( xi 1)2 2xi 3 ( yi 0.5)2 R2
d1 2xi 3
误差项的递推（d>0）
yi
P
yi-1
构造判别式：

二维图形生成技术

{ putpixel (x，y，pixelcolor) x＝x＋1 if (e＜0) e＝e＋k
else { y＝y＋1； e＝e＋k－1 } }
10
讨论： 斜率不同时：
以上讨论的是 0≤ k ≤ 1 的情况，即 0＜△y＜△x 的情况； 若是 0＜△x＜△y 的情况，则需将 x 和 y 的位置交换。 方向不同时：
xi
Xi+18
设 e (xi+1)＝yi+1－yi′－0.5
(2)
若b在a的下面，则有 e (xi+1)<0
若b在a的上面，则有 e (xi+1)>0
由图中可知：当e (xi+1)≥0时 y′i+1＝yi′＋1

e (xi+1) < 0时 y′i+1＝yi＇
递推：
由(2)、(3)式可得：
e (xi+2)＝yi+2－y′i+1－0.5＝yi+1＋k－y′i+1－0.5
这个方法称之为数字微分分析法，简称DDA。
3
算法描述如下：
int x1，y1，x2，y2； int x； float dx，dy，k，y； dx＝x2 － x1 ； dy＝y2 － y1 ； k＝dy／dx ； x＝x1 ； y＝y1 ； for (x＝x1；x＜＝x2；x＋＋)
{ putpixel (x，(int)y，pixelcolor ) ； y＝y＋k ；
Cx =
a
b
c
d
T x
则： x(t) = T • Cx
且： x'(t) = 3t2 2t 1 0 • Cx
26
Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标P0 、 P1以及两端 点处的切线矢量R0 、 R1来描述曲线的。即：

计算机图形学 第4章 二维图形生成和变换技术

22
设置初始值
x =x 1; y =y 1;
for(i = l; i<=length; i ＋ ＋ ) { Putpixel(round(x), round(y), l); x = x ＋ increx y = y ＋ increy 求下一 } 点坐标 }
终点控制
将x和y取 整后画点
23
三、 Bresenham法
2）递推公式 由公式可以看出，由于每次要计算两次乘法和一次减法， 所以计算工作量大， 为了简化计算，可设法用前一点的偏 差来推算后一点的走步方向以及走步后的偏差，这种方法 称为递推法。递推公式很容易用计算机实现。
13
递推公式可根据下图用偏差函数判断笔进方向的图例得出 设笔当前位置为 M1(X1，Y1)，此时 F1＝Y1XA－ YAX1＜0，应走+Y一步到M2 即X2＝X1，Y2=Y1＋1，＋1表示走一步 M2处的偏差为：F2=Y2XA－YAX2=F1＋XA（ 用X2＝X1，Y2=Y1＋1代入得到） 若F2≥0，应走＋X一步到M3， 则X3=X2＋1，Y3=Y2， M3处的偏差为： F3=Y3XA－YAX3=Y2XA－YAX2－YA=F2－YA
Y
Y
X
X
Z
4
图 4.2 点在二维、三维坐标系统中的表示
二、直线
一条直线是指所有在它上面的点的集合 , 在图形学 中研究的对象是直线段。
已知线段的起点坐标（Xs，Ys）。终点坐标（Xe，Ye ）这两点就确定了这条线段，并用线段xe x xs y ye y ys
3）任意象限偏差计算 对于第二、三、四象限的直线，也可类似推出。当直 线段处于第二、三、四象限时，偏差值的计算及走步 方向下表 直线段位 走步方向 偏差值 走步方向 偏差值FK< 置 FK≥0 0 第一象限 ＋X ＋Y FK＋1= FK＋1= 第二象限 －X +Y FK－YA FK＋XA

计算机图形学基本图形生成算法


y= k· x+b
k=0.571429
b=0.428571
2 X[0]=1 y0 X[1]=2
Y[0]=1 Y[0]=1 Y[1]=kx[1]+b=1.57 Y[1]=y0+k=1.57 Y[2]=y1+k=2.14 Y[2]=kx[2]+b=2.14 Y[3]=y2+k=2.71 Y[3]=kx[3]+b=2.71 Y[4]=y3+k=3.28 Y[4]=kx[4]+b=3.28 Y[5]=y4+k=3.85 Y[5]=kx[5]+b=3.85 Y[6]=y5+k=4.4 Y[6]=kx[6]+b=4.4 Y[7]=5 Y[7]=5
第3章 基本图形生 成算法
1 直线生成算法(DDA、BRES) 2 圆生成算法（Mid） 3 多边形填充算法（扫描线、区域） 4 字符图元算法
2015/4/19
1
图元
• 图元：图形软件包中用了描述各种几何 图形元素的函数称为图形输出原语，简 称图元。 • 描述对象几何要素的输出图元一般称为 几何图元。点的定位和直线段是最简单 的几何图元。 • 在选定坐标系中指定一个图形的几何要 素后，输出图元投影到该输出设备显示 区域对于的二维平面上，并扫描转换到 帧缓存的整数像素位置。
2015/4/19
5

1 直线生成算法(DDA、BRES) 2 圆生成算法（Mid） 3 多边形填充算法（扫描线、区域） 4 字符图元算法
1 直线的DDA算法
2015/4/19
6
OpenGL画点和画线函数 1) 画点函数 glVertex*( ); (*={234}{sifd}[v]) 表示该函数有后缀，指 明空间尺寸、坐标数据类型或向量形式描述。 Ex: glBegin(GL_POINTS); glVertex2i(100,50); glEnd(); glBegin(GL_POINTS); glVertex2i(100,50); glVertex2i(75,90); glVertex2i(300,590); glEnd();

4、二维图形生成li

④ ② ③ ① 5
6

第一种情况，x1-x0>y1-y0>0。DDA的思路是：x方向增加 1，则y方向增加m= (y1-y0) / (x1-x0) ,这里假定x1>x0,否 则交换起、终点。
m
1
DDA直线生成方法（3）



从起点开始，用递推加法确定直线在格网点上的精确位置 xi+1=xi+1；yi+1=yi+m 对y四舍五入取整数，因为像素坐标都是整数。 用函数画选定的像素： SetPixel(xi+1,int( yi+1+0.5 ), color); 这样画出的直线为8-连通线。
DDA直线生成方法（8）

第四种情况要求y0-y1 > x1-x0>0。也可利 用第一种情况解决。
A C’ A’ B’
C
B
DDA直线生成方法（9）



直线段AB（x0,y0）-(x1,y1)属于第四类直线，对 AB先做关于y=0直线的对称变换，再做关于直线 y=x的对称变换得到A’B’（-y0, x0）-(-y1, x1)。 直线段A’B’ 属于第一类直线，可以用第一种情况 的程序求出每一个直线上的像素C’（x,y）。 需要的是像素C，由C’为（x,y）可知像素C为（y, -x）。 第四类直线（x0,y0）-(x1,y1)的绘制方法总结如 下：用第一种方法对直线（-y0, x0）-( -y1, x1)求 出所有中间像素（x,y），绘制像素（y, -x）。

{ {
比较
DDA方法有一次浮点除法，循环体中有浮 点加法、四舍五入函数 中点方法全部是整型数的加减法和乘2运算

练习：写出“生成直线段的中点算法”的初始条件、 递推公式和终止条件，并用该算法标记出下图A(0,0)、 B(9,3)之间的直线段像素。
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面——多边形区域填充 字符 图形反走样
圆弧的扫描转换

圆的八对称性
只考虑第二个八分圆
y

假设圆心在原点 x2+y2=R2 (y,x) (-y,-x)
(-x,y)
(x,y)
R o
(y,x) x
(y,-x) (x,-y)
(-x,-y)
圆弧扫描算法
2 2 2

X
+
Y
2
=
R
2
Y = Sqrt(R - X )
假设
像素间均匀网格，整型坐标系，直线段斜率0<m<1 对m＞1，x、y互换
直线的扫描转换
直线的绘制要求：
1.直线要直 2.直线的端点要准确，即无定向性和断裂情况 3.直线的亮度、色泽要均匀 4.画线的速度要快 5.要求直线具有不同的色泽、亮度、线型等
直线段的扫描转换算法

直线的扫描转换
Bresenham画线算法（1/7）
使用最广泛 与中点画线法的思想类似 由误差项符号决定下一个象素取正右方像素
还是右上方像素
Bresenham画线算法（2/7）
基本思想
过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交 点，然后根据误差项的符号确定该列象素中与此交点最近的象素。
(x,y) y y=-x y=x

选择像素的原则
使其与实际圆弧的距离平方达到最小
y
Pu P M Pd
M的坐标为：M(xi +1,yi-0.5)
当F(xM,yM)<0时，取Pu(xi +1,yi)
当F(xM,yM)=0时，约定取Pu。
当F(xM,yM)>0时，取Pd(xi +1,yi-1)
构造判别式：


中点画线法（1/4）

问题：判断距离理想直线最近的下一个象素点 已知：线段两端点(x0,y0)，(x1,y1) 直线方程：F(x,y)=ax+by+c=0
a=y0-y1 b=x1-x0 如何判断M点在Q点上方还是在Q点下方？
c=x0y1-x1y0
P2
M
Q
P=(xp,yp) P1
中点画线法（2/4）
y方向走一步
当e<0时，最接近P1(xi+1,yi)
y方向不走步
有除法，不宜硬件实现
Bresenham画线算法（5/7）
设
e=e×2x，不影响判断的准确性
e0=2y
- x
P
P2
e’
e
当e≥0时，最接近P2(xi+1,yi+1)
y方向走一步
P1
当e<0时，最接近P1(xi+1,yi)
x
图5-11 中点Bresenham画圆的原理
d F ( xM , yM ) F ( xi 1, yi 0.5) ( xi 1)2 ( yi 0.5)2 R2
当d≤0时，下一点取Pu(xi +1,yi)； 当d>0时，下一点取Pd(xi +1,yi-1)。
误差项的递推
误差计算
初值：d0=
P
P1
y/ x
P2
当d≥0.5时，最接近P2(xi+1,yi+1)
y方向走一步
当d<0.5时，最接近P1(xi+1,yi)
d P
P1
d’
y方向不走步
Bresenham画线算法（4/7）
为方便与0比较，设e=d-0.5，则
e0=y/ x-0.5
当e≥0时，最接近P2(xi+1,yi+1)

直线上方点： F(x,y)＞0 0
直线下M)=F(Xp+1,Yp+0.5) 由d＞0，d＜0可判定下一个象素
P2 M (Xp+1,Yp+0.5)
P
P1

分两种情形考虑再一下个象素的判定：
d = F(M)=F(Xp+1,Yp+0.5) = a(Xp+1)+b(Yp+0.5)+c
x=x0, y=y0;
for (i=0; idx; i++) { drawpixel (x, y, color); // x=x+1 ， e = e+k; x=x+1，e = e+2*dy; if (e0)
基本图形生成算法
点、线、面、字符
线——图元扫描转换
直线段扫描转换 圆（椭圆）弧扫描转换 曲线（第六章）
P2 M P1
d2 = d+a+b
中点画线法（4/4）

d的初始值
d0=F(X0+1,Y0+0.5) =F(X0,Y0)+a+0.5 =a+0.5b 用2d代替d后，d0=2a+b d的增量都是整数
因(X0,Y0)在直线上， 所以F(X0,Y0)=0

优点：
只有整数运算，不含乘除法 可用硬件实现
例：用中点画线法P0（0,0) P1（5,2)
y方向不走步
P2
e P
P1
e’
Bresenham画线算法（6/7）
下一步误差的计算 当e≥0时，y方向走一步
e’=2y/ x - 1 =e + y/ x - 1 e’=e + 2y - 2x
P2
e’
e
当e<0时，y方向不走步
e’=2y/ x=e + y/ x e’=e + 2y
d F ( xM , yM ) F ( xi 1, yi 0.5) ( xi 1)2 ( yi 0.5)2 R2
yi
P
yi-1
d≤0：
d F ( xi 2, yi 0.5) ( xi 2) 2 ( yi 0.5) 2 R 2 ( xi 1) 2 ( yi 0.5) 2 R 2 2 xi 3 d 2 xi 3
图5-1
用一系列的象素点来逼近直线
基本图形生成算法
点、线、面、字符
线——图元扫描转换
直线段扫描转换 圆（椭圆）弧扫描转换 曲线（第六章）
面——多边形区域填充 字符 图形反走样
光栅图形中点的表示
…
地址线性表 1D表示
(x,y)坐 标
显示屏幕 2D表示
像素由其左下角坐标表示
直线段扫描转换

yi=round(yi)=(int)(yi+0.5)
池州学院
数值微分(DDA)法

增量算法
yi+1 = kxi+1+b = k(xi+1)+b = yi+k
(xi,yi)→(xi+1,yi+k)

缺点：
有浮点数取整运算
不利于硬件实现 效率低
仅适用于k ≤1的情形:x每增加1,y最多增加1。当 k 1时，必须把x，y互换。
P
P1
P2
e P
P1
e’
Bresenham画线算法（7/7）

优点
整数运算，速度快 精度高
乘2运算可用移位实现，适于硬件实现
void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int x, y, dx, dy; float // int e; dx = x1-x0, dy = y1- y0; k=dy/dx, e=-0.5; = 2*dy – dx; // e k, e;
M(xM,yM) α β o
9
计算机图形学
① Fi+1 = Fi – yA Fi+1 = Fi +xA
Fi >=0 Fi <0
数值微分(DDA)法
已知线段端点：P0(x0,y0),
P1(x1,y1)
直线方程
y=kx+b {(xi, yi)},
浮点数取整
i=0,….n.
:
用到浮点数的乘法、加法和取整运算
为方便计算，令e＝d-0.5， e的初值为-0.5，增量为k。
当e≥0时，取当前象素（xi，yi）的右上方象素（xi＋1，yi＋1）； 当e<0时，更接近于右方象素（xi＋1，yi）。
Bresenham画线算法（3/7）
最大位移方向每次走一步
k<1时，x为最大位移方向
y方向走步与否
P2
d’
d
取决于误差d值的大小
void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) int x； float dx, dy, y, k；
dx= x1-x0 ；
dy=y1-y0； k=dy/dx； y=y0；
for (x=x0; xx1, x++)
drawpixel (x, int(y+0.5), color)； y=y+k；
例 ： 画 直 线 段 P0(0,0)-P1(5,2)
x 0 1 2 0 0 1 int(y+0.5) 0 0.4+0.5 0.8+0.5
1 0 1
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2)
y+0.5 3
2
3
4 5
1
2 2
1.2+0.5
1.6+0.5 2.0+0.5
2
3
4
5
注：网格点表示象素
{