一次函数的定义和图像

北辰教育学科老师辅导讲义学员姓名：金宇洋年级：初二辅导科目：数学学科教师：陆军授课日期 3.22 授课时段12：50-14：50授课主题一次函数的概念，图像与性质教学内容知识梳理：第一节知识点1：一次函数的概念：一般地，函数解析式为)0(≠+=k b k b kx y 都为常数，且、叫做一次函数。

当0=b 时，一次函数b kx y +=就成为)0(≠=k k kx y 为常数，叫做正比例函数，常数k 叫做比例系数。

常值函数：函数y=c(c 为常数)定义域：即为x 的取值范围，通常情况下定义域为R 。

(注意在应用题中，通常因为实际情况定义域有范围）第二节知识点2：一次函数的图像：定义域为R ，为一条直线。

定义域不为R ，可能是射线或者线段。

截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距。

为解析式中的b 。

（截距可以为负，距离只能为正）两条一次函数图像的位置关系：设分别为y 1=k 1+b 1,y 2=k 2+b 2当1.k1=k2,b1=b2,两直线重合2.k1=k2,b1≠b2，两直线平行3.k1≠k2,b1=b2两直线交与y 轴同一点4.k1≠k2,b1≠b2两直线相交5.k1+k2=0,b1+b2=0，两直线关于x 轴对称6.k1+k2=0,b1+b2=2b 1=2b 2=2b 2两直线关于y 对称一次函数的平移：原一次函数为y=kx+b,平移后的函数解析式为，：左加右减（针对x)，上加下减（针对b)如何理解，可以通过一个点的平移。

或者新函数与旧函数x 的关系来理解。

一次函数图像与一元一次不等式的关系：一次函数y=kx+b 的值大于或小于0时，就能得到一元一次不等式。

不等式的解集对应的便是函数图像位于x 轴上方或者下方时x 的范围（有时解不等式可以通过函数图像数形结合）*拓展知识点：关于一次函数解析式的几种设法斜率概念：用来评价直线倾斜程度的一个量，大小为一次函数中的k ，求值公式，已知（x1,y1),(x2,y2)在直线上，则直线斜率k=1212x x y y --,图像上为直线与x 轴所成角的tan 值 已知斜率k 和截距b ：斜截式，设直线为y=kx+b已知斜率k 和一点坐标(y o ,x 0)：点斜式，设直线为y-y 0=k(x-x 0)已知两点坐标（y1,x1)(y2,x2):两点式，设直线为121211x x y y x x y y --=--已知x 轴上截距为a,y 轴截距为b.：截距式，设直线为1=+by a x 必要时根据题目条件灵活设解析式，一般设斜截式。

一次函数的概念，图像和性质一次函数的概念 一般地，解析式形如y=kx+b(k,b 是常数，且0≠k )的函数叫做一次函数。

一次函数的定义域是一切实数。

当b=0时，y=kx （0≠k ）是正比例函数。

一般地，我们把函数y=c （c 为常数）叫做常值函数。

Y=-1,π=y ,2)(=x f 都是常值函数。

二、一次函数的图像1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （-kb ，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A（2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B（3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C（4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距.（截距有正负）（2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-kb ，0）. 4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).三、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线 l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k 1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k2.四、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)，点，(0) ，点． 2.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。

一次函数的定义及特点一次函数是数学中较为基础和简单的函数类型之一，也被称为线性函数。

本文将详细介绍一次函数的定义及其特点。

一、一次函数的定义一次函数可以用以下一般形式来表示：y = ax + b。

其中，a和b是常数，并且a≠0。

在这个函数中，x是自变量，y是因变量。

一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。

二、一次函数的特点1. 斜率确定直线的倾斜程度：在一次函数中，斜率a决定了直线的倾斜程度。

当a为正数时，直线向右上方倾斜；当a为负数时，直线向右下方倾斜；当a为0时，直线为水平线。

2. 截距决定与y轴的交点：在一次函数中，截距b决定了直线与y轴的交点。

当b为正数时，直线与y轴正向交于点(0, b)；当b为负数时，直线与y轴负向交于点(0, b)；当b为0时，直线与y轴交于原点(0, 0)。

3. 直线图像：一次函数的图像是一条直线，其特点是在平面上无限延伸。

通过两个不同的点可以确定一条直线，而通过两个不同的点可以确定一次函数。

对于一次函数y = ax + b，可以通过计算两个已知点的坐标，来绘制出函数的图像。

4. 函数值与自变量的关系：在一次函数中，y的值是x的线性函数，即y与x成正比例关系。

随着x的增加，y的值也会按照一定比例增加或减少。

5. 只有一个x的一次函数是一对一的：在一次函数中，如果每个y值对应唯一一个x值，则该函数是一对一的。

这意味着函数图像上的任意两点不会重合。

6. 平行直线：如果两个一次函数的斜率相等且截距不同，它们的图像将是平行的。

这是因为斜率相同的直线具有相同的倾斜程度，而截距不同决定了直线与y轴的位置。

7. 直线的交点：两个一次函数的图像可能会交于一点，这个点为它们的交点。

通过解一次方程组可以求得这两个直线的交点。

通过以上特点，我们可以更好地理解一次函数的定义及其图像特征。

一次函数的简单结构和易于理解的特点使其在数学中有着广泛的应用。

无论是在数学建模、实际问题的分析，还是在经济学和物理学等领域，一次函数都起到了重要的作用。

一次函数的图像和性质教案一次函数是一种形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数，a 称为斜率，b称为截距。

教案：一、概念：一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数，并且a≠0。

二、图像：1. 当a>0时，一次函数的图像是一条斜率为正的直线，向右上方倾斜。

2. 当a<0时，一次函数的图像是一条斜率为负的直线，向右下方倾斜。

3. 当a=0时，一次函数的图像是一条水平直线。

三、性质：1. 斜率：斜率a表示函数图像上每向右移动一个单位，y的变化量。

当a>0时，y随x的增加而增加，当a<0时，y随x的增加而减少。

2. 截距：截距b表示函数图像与y轴的交点，也就是当x=0时的函数值。

3. 变化率：一次函数的变化率恒定，即斜率a固定，表示函数图像上每向右移动一个单位，y的变化量始终相同。

4. 直线性：一次函数的图像是一条直线，没有曲线部分。

四、例题练习：1. 已知一次函数的斜率为2，截距为3，求该一次函数方程。

解：根据斜率-截距的形式，可得到方程为y=2x+3。

2. 已知一次函数的图像过点(3,5)，斜率为-1，求该一次函数方程。

解：由于斜率为-1，方程形式为y=-x+b。

将点(3,5)代入可得5=-3+b，解方程得b=8，所以方程为y=-x+8。

五、课堂练习：1. 根据一次函数图像判断斜率的正负。

给出以下函数图像的斜率的正负并说明理由：(a) (b) (c) (d)2. 根据一次函数的斜率和截距，求出函数的方程：(a) 斜率为3，截距为4的一次函数；(b) 斜率为-2，经过点(3,5)的一次函数。

六、拓展思考：一次函数的图像与其斜率和截距有哪些关系？如何根据一次函数的方程确定其图像的性质？。