圆锥曲线复习巩固练习

圆锥曲线复习题1．已知抛物线C ：y 2＝4x ，点F 是C 的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．（1）求向量OA →与OB →的数量积；（2）设FB →=λAF →，若λ∈[9，16]，求l 在y 轴上截距的取值范围．【分析】（1设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的值；（2）设A ，B 的坐标，由设FB →=λAF →的关系求出A ，B 的关系，代入两根之和及两根之积中可得参数m 的表达式，再由λ的取值范围求出m 的范围，进而求出直线l 在y 轴的截距的取值范围．【解答】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意可得性质的斜率不为0， 由抛物线的方程可得焦点F （1，0），设直线l 的方程为x ＝my +1，{x =my +1y 2=4x，整理可得：y 2﹣4my ﹣4＝0， 所以可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，所以OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2=y 12y 2216+y 1y 2=1616−4＝﹣3， 所以向量OA →与OB →的数量积为﹣3；（2）由（1）可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，因为FB →=λAF →，所以y 2＝﹣λy 1，代入可得{(1−λ)2y 12=16m 2−λy 12=−4m 2，所以可得4m 2=(1−λ)2λ=λ+1λ−2， 因为f （λ）＝λ+1λ−2在[9，16]为增函数，所以4m 2∈[649，22516]，解得m ∈[−158，−43]∪[43，158]， 所以l 在y 轴上截距−1m 的取值范围为[−34，−815]∪[815，34]． 【点评】本题考查直线与抛物线的综合及由向量的关系求点的坐标的关系，再由函数的单调性求出参数的范围，属于中档题．2．如图，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点M （2，m ）到焦点F 的距离为3，直线l 与抛物线交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且y 1＞0，y 2＜0，OA →•OB →=12（O 为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线l 过定点．【分析】（1）由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离和椭圆可得p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之积，进而求出数量积OA →⋅OB →的表达式，再由题意可得参数的值，证明可得直线恒过定点．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为：x =−p 2，再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，所以由题意可得2+p 2=3，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）证明：设直线l 的方程为x ＝my +t ，t ＞0，联立{x =my +t y 2=4x，整理可得：y 2﹣4my ﹣4t ＝0， 可得：y 1y 2＝﹣4t ，x 1x 2=y 12y 2216=t 2， OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2＝t 2﹣4t ＝12，t ＞0，解得t ＝6，所以直线l 的方程为：x ＝my +6，所以直线恒过定点（6，0）．【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的求法，属于中档题．3．在直角坐标系xOy 中，曲线E ：y ＝x 2+mx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为（0，1）．（1）若点B 在点A 的右边，曲线上存在一点D ，使得CD →=CA →+2CB →，求曲线E 的表达式；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【分析】（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1，x 2满足x 2+mx ﹣2＝0，由韦达定理可得，x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝﹣2，再由CD →=CA →+2CB →，点C 的坐标为（0，1），可得D 点的坐标，将D 点的坐标代入曲线E 上，即可求解．（2）根据已知条件，分别求解BC ，AB 的中垂线方程，联立求得圆心坐标，即可求解半径r ，再结合垂径定理和勾股定理，即可求证．【解答】解：（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1，x 2满足x 2+mx ﹣2＝0，由韦达定理可得，x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝﹣2，∵CD →=CA →+2CB →，点C 的坐标为（0，1），∴D （x 1+2x 2，﹣2），∵点D 在曲线E 上，∴(x 1+2x 2)2+m(x 1+2x 2)−2=−2，∴x 1+2x 2＝﹣m 或x 1+2x 2＝0，当x 1+2x 2＝0时，与①联立可得，m ＝1，当x 1+2x 2＝﹣m 时，与①联立，m 不存在，综上所述，y ＝x 2+x ﹣2．（2）证明：∴BC 的中点坐标为（x 22，12）， ∴BC 的中垂线方程为y −12=x 2(x −x 22)，由（1）可得，x 1+x 2＝﹣m ，故AB 的中垂线方程为x =−m 2，联立{x =−m 2y −12=x 2(x −x 22)，可得{x =−m 2y =−12， ∴过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(−m 2，−12)，半径r =√m 2+92， 故圆在y 轴上截得的弦长为2√r 2−(m 2)2=3，∴即过点A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．4．设椭圆C ：x 29+y 25=1长轴的左，右顶点分别为A ，B ． （1）若P 、Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2（k 1k 2≠0），求|k 1|+|k 2|的最小值；（2）已知过点D （0，﹣3）的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，直线AM ，AN 分别交y 轴于点S 、T ，记DS →=λDO →，DT →=μDO （O 为坐标原点），当直线1的倾斜角θ为锐角时，求λ+μ的取值范围．【分析】（1）设点P （x 0，y 0），由椭圆的对称性可知点Q （x 0，﹣y 0），不妨令y 0＞0，利用两点间斜率公式以及点P 在椭圆上，得到|k 1|+|k 2|=103y 0，由y 0的取值范围求解即可； （2）设点M ，N 的坐标，设直线l 的方程，与椭圆的方程联立，通过△＞0求出k 的范围，表示出直线AM 和AN 的方程，求出点S 和点T 的坐标，利用向量的坐标表示，求出λ+μ，结合韦达定理进行化简，由k 的范围即可得到答案．【解答】解：（1）设点P （x 0，y 0），由椭圆的对称性可知点Q （x 0，﹣y 0）， 不妨令y 0＞0，由题意可知A （﹣3，0），B （3，0），所以k 1=y 0x 0+3，k 2=−y 0x 0−3， 由题意可知，﹣3＜x 0＜3，所以|k 1|+|k 2|=y 03+x 0+y 03−x 0=6y09−x 02， 由点P 在椭圆上，则x 029+y 025=1， 则9−x 02=9y 025，所以|k 1|+|k 2|=103y 0，因为0＜y 0≤√5，所以|k 1|+|k 2|=103y 0≥2√53， 当且仅当y 0=√5时等号成立，即|k 1|+|k 2|的最小值为2√53； （2）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设直线l 的方程为y ＝kx ﹣3（k ＞0），联立方程组{y =kx −3x 29+y 25=1，可得（5+9k 2）x 2﹣54kx +36＝0， 从而△＝（54k ）2﹣4×36×（5+9k 2）＞0，又k ＞0，解得k ＞23，所以x 1+x 2=54k9k 2+5，x 1x 2=369k 2+5， 又直线AM 的方程是y =y 1x 1+3(x +3)， 令x ＝0，解得y =3y 1x 1+3，所以点S 为（0，3y 1x 1+3）； 直线AN 的方程是y =3y 2x 2+3(x +3)，同理点T 为(0，3y 2x 2+3)， 所以DS →=(0，3y 1x 1+3+3)，DT →=(0，3y 2x 2+3)，DO →=(0，3)， 因为记DS →=λDO →，DT →=μDO ，所以3y 1x 1+3+3=3λ，3y 2x 2+3+3=3μ，所以λ+μ=y 1x 1+3+y 2x 2+3+2 =kx 1−3x 1+3+kx 2−3x 2+3+2 =2k 1k 2+3(k−1)(x 1+x 2)−18x 1x 2+3(x 1+x 2)+9+2 =2k⋅369k 2+5+3(k−1)⋅54k 9k 2+5−18369k 2+5+3×54k 9k 2+5+9+2 =−109×k+1(k+1)2+2 =−109×1k+1+2，因为k ＞23，所以λ+μ∈(43，2)，综上所述，所以λ+μ的范围是(43，2)．【点评】本题考查了椭圆标准方程的的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。

复习题3.圆锥曲线【A 基础巩固】1.椭圆221521x y +=的焦距为（）.A.2B.4C.8D.162.到点（-3,0）与点（3,0）的距离之和为10的点的轨迹方程为（）A.2212516x y += B.221259x y += C.2211625x y += D.221925x y +=3.焦点在y 轴上，实轴长为8，虚轴长为2的双曲线的标准方程为（）A.22116y x −= B.221644y x −= C.22116x y −= D.221644x y −= 4.顶点为原点、焦点为F （-1,0）的抛物线的标准方程是（） A.24y x =−B.24y x =C.24x y =D.24x y =−5.双曲线221916y x −=的离心率为().A.35B.53C.54D.456.经过点(0,P 与点Q 的椭圆的标准方程为().A.22125x y += B.22152x y += C.221425x y += D.221254x y += 7.设方程221925x y k k+=−−表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围为()A.(9,25)B.(5,25)C.(−∞,9)D.(25,+∞)8.椭圆221168x y +=与椭圆221(8)168x y k k k+=<−−的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9.椭圆2216425x y +=的离心率为____________,短轴长为____________,长轴长为____________.10.双曲线221918x y −=的实轴长为_________,虚轴长为_________，渐近线方程为____________.11.抛物线212x y =−的准线方程为____________.12.对称轴为x 轴，且过点(-3,2)的抛物线的标准方程为____________.13.已知椭圆的焦点为点12(0,5),(0,5)F F −,且椭圆上一点M 与两个焦点所构成的三角形的周长为32,求椭圆的标准方程.14.已知双曲线的焦点在x 轴上，焦距为10,实轴长与虚轴长的和为14,求双曲线的标准方程.15.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，点(4,)P m −为抛物线上的点，且点P 到焦点 的距离为6,求抛物线的标准方程.【B 能力提升】1.求以椭圆2211625x y +=的一个焦点为圆心且过椭圆在x 轴上的一个顶点的圆的方程.2.求以椭圆2212516x y +=的左焦点为焦点的抛物线的标准方程.3.求与双曲线2244x y −=有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线方程.4.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线的方程为4.3y x =若该双曲线经过点15,34P,求它的标准方程.5.已知两点A（-4,0）和B（4，0）,求分别与点AB连线的斜率之积为-2的点的轨迹方程.【C学以致用】1.为响应国家加快建设体育强国的号召，某中职学校全面加强学生体育工作，开展了一系列球类运动比赛.在一次排球比赛中，某学生站在点N处击球,击出的球的运动轨迹是一段抛物线.已知击球点M和球的落地点P的水平距离6MN=m.当PN=m,击球点M到地面的距离2球与人的水平距离NE=2m时，球达到最高点O,如图3-37所示.试建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线的标准方程。

圆锥曲线典型例题强化训练一、选择题1、若点P 到直线y = -l 的距离比它到点（0,3）的距离小2,则点P 的轨迹方程为（ ）A2、若mx- + y--2x-4y = 0的圆心到直线x-y + n = 0的距离为手，则a 的值为1,3B. —或一2 23、设F1. Fz 为曲线G ： U 的焦点，P 是曲线 5 —-y-=l *jCi 的一个交点,6 2 34、经过抛物线y^=2x 的焦点且平行于直线3戈•-2y + 5 = 0的直线/的方程是（ A.6x-4y — 3 = 0 B. 3兀一 2y -3 = 05、若抛物线r =2/zv 的焦点与椭圆—+ = 1的右焦点重合，则"的值为（6 26、如图，过抛物线y- =2px （p>Q ｝的焦点F 的宜线I 交抛物线于点A 、B,交苴准线于点 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为（8、已知双曲线务-詈=13>0）的中心在原点，右焦点与抛物线y- = 16x 的焦点重合,A. X" = 12yy" = \2x C. = 4yA-・2或2C ・2或0D ・・2或0则△PF1F2的面积为（ ）C （A ） i(B)l (C)迈 (D)2 迈C. 2x + 3y — 2 = 0D, 2x + 3y-l = QA- -2 B. 2 C ・-4 D ・4C, BA. C ・ .3V' =-%2 .9 y" = —X 丿2B ・ y" =3x D. y" =9x?77、唸-宁"的顶点为焦点，长半轴长为山椭圆方程为A. 乂+ 二= 64 52B.匕+2216 1216 4 D.M 4 16 0则该双曲线的离心率等于( D二、解答题21.已知椭圆F+厶＞ =1(0＜方＜1)的左焦点为F,左右顶点分别为A,C 上顶点为B,过FbC h-三点作0P ，英中圆心P 的坐标为行⑴若椭圆的离心率一斗，求。

圆锥曲线专题：调和点列-极点极线一、问题综述(一)概念明晰(系列概念)：1.调和点列：如图，在直线l上有两基点A,B，则在l上存在两点C,D到A,B两点的距离比值为定值，即AC BC =ADBD=λ，则称顺序点列A,C,B,D四点构成调和点列(易得调和关系2AB=1AC+1AD)。

同理，也可以C,D为基点，则顺序点列A,C,B,D四点仍构成调和点列。

所以称A,B和C,D称为调和共轭。

2.调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调和线束。

若另一直线截调和线束，则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列。

3.阿波罗尼斯圆：如图，A,B为平面中两定点，则满足APBP=λ(λ≠1)的点P的轨迹为圆O，A,B互为反演点。

由调和点列定义可知，圆O与直线AB交点C,D满足A,C,B,D四点构成调和点列。

4.极点极线：如图，A,B互为阿圆O反演点，则过B作直线l垂直AB，则称A为l的极点，l为A的极线.2024高考数学专项复习5.极点极线推广(二次曲线的极点极线)：(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.(二)重要性质性质1：调和点列的几种表示形式如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有AC BC =AD BD =λ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD性质2：调和点列与极点极线如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,D,N,P成调和点列(可由阿圆推广)性质3：极点极线配极原则若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A．一般称A、D互为共轭点．推广：如图，过极点P作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,HG，则MG,HN的交点必在极线上，反之也成立。