北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学(理科)试题

北京市通州区2019-2020学年高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96【答案】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 2．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+ 在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C. 【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题. 3．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+ B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C . 【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r ，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r ，设EF 和1BB 成角为θ，则1122cos222EF BB EF BB θ⋅-===⨯⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.5．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1，0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==； 第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==； 第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==； 不满足判断条件，输出计算结果3y =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．31试题分析：由于在等比数列{}n a 中，由2664a a =可得：352664a a a a ==， 又因为3520a a +=，所以有：35,a a 是方程220640x x -+=的二实根，又0n a >，1q >，所以35a a <， 故解得：354,16a a ==，从而公比5132,1a q a a ===； 那么55213121S -==-，故选D ．考点：等比数列．8． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =．本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．9．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论. 【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确； 使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 10．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】命题p 为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题p 的否定为2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R ，故选C ． 11．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ． B ．C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.故选：. 【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合M 中元素，可得非空子集个数． 【详解】由题意{(1,1),(1,2),(2,1)}M =，共3个元素，其子集个数为328=，非空子集有7个．故选：C ． 【点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有n 个元素的集合其子集个数为2n ，非空子集有21n -个． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市通州区高三年级2019年4月第一次模拟考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合M ={-2，-1，0，1，2}，N ={x |x 2-x -2＜0}，则M ∩N =（ ）A. {−2,−1 }B. {−1,0 }C. {0,1 }D. {1,2 } 2. 已知c ＜0，则下列不等式中成立的是（ ）A. c >2c B. c >(12)c C. 2c >(12)c D. 2c <(12)c 3. 在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是（ ）A. (π2,1)B. (1,π2)C. (0,1)D. (1,0)4. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中N ≡n （bmodm ）表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如11≡2（bmod 3）表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的N 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 105. 设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，已知点M(14，a)，N(12，b)，P （1，c ），Q （4，d ）都在抛物线上，则M ，N ，P ，Q 四点中与焦点F 距离最小的点是（ ） A. M B. N C. P D. Q 6. “m ＞0”是“方程x 2m -y 2m+2=1表示双曲线”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A. 23B. 43C. 83D. √38.由正整数组成的数对按规律排列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…．若数对（m，n）满足（m2-1）（n2-3）=2019，其中m，n∈N*，则数对（m，n）排在（）A. 第351位B. 第353位C. 第378位D. 第380位二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数2−ii（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第______象限．10.在△ABC中，cosA=35，a=4√2，b=5，则c=______．11.若实数x，y满足{x−y+1≥0x+y≥0x≤0，则z=2x+y的最大值是______．12.能说明“若函数f（x）满足f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内不存在零点”为假命题的一个函数是______．13.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有______个（用数字作答）．14.在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若函数y=f（x）满足：∀x∈[a-1，a+1]，都有y∈[b-1，b+1]，就称这个函数是点A的“限定函数”．以下函数：①y=12x，②y=2x2+1，③y=sin x，④y=ln（x+2），其中是原点O的“限定函数”的序号是______．已知点A（a，b）在函数y=2x的图象上，若函数y=2x是点A的“限定函数”，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=2sin（π-x）cos x+2cos2x-1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[−π4，π4]时f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．第2页，共17页16.某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．17.如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，DE⊥AB于E．将△AED沿DE翻折到△A'ED，使A′E⊥BE，如图2．（Ⅰ）求证：平面A′ED⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；的值．（Ⅲ）设F为线段A′D上一点，若EF∥平面A′BC，求DFFA′第4页，共17页18. 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1（-1，0），F 2（1，0），长轴长为2√3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点（0，1）的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线y =13对称．19. 已知函数f （x ）=ekxx2（k ∈R ）．（Ⅰ）当k =0时，求曲线y =f （x ）在点（-1，f （-1））处的切线方程； （Ⅱ）当k ≠0时，（ⅰ）求f （x ）的单调区间；（ⅱ）若f （x ）在区间（0，1）内单调递减，求k 的取值范围．20. 定义集合M 与集合N 之差是由所有属于M 且不属于N 的元素组成的集合，记作M -N ={x |x ∈M 且x ∉N }．已知集合S ={1，2，3，…，100}．（Ⅰ）若集合T ={x |x =2n ，n ∈N *}，写出集合S -（S -T ）的所有元素；（Ⅱ）从集合S 选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值D 和最小值d 分别是多少？公差为D 和d 的等差数列各有多少个？（Ⅲ）设集合A ⊆S ，且集合A 中含有10个元素，证明：集合S -A 中必有10个元素组成等差数列．答案和解析1.【答案】C【解析】解：N={x|-1＜x＜2}；∴M∩N={0，1}．故选：C．可求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：c＜0，∴（）c＞1，0＜2c＜1，∴（）c＞2c，故选：D．根据指数函数的图象和性质即可判断．本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：圆ρ=2sinθ化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y，配方为x2+（y-1）2=1，因此圆心直角坐标为（0，1），可得圆心的极坐标为．故选：B．把极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心的直角坐标，再化为极坐标即可．本题考查了极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：第一次，N=7，7除以3的余数是1，不满足条件．，N=8，8除以3的余数是2满足条件．，第6页，共17页8除以5的余数是3满足条件．输出N=8，故选：B．根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．5.【答案】A【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1；则点到焦点F的距离为|MF|=-（-1）=，点到焦点F的距离为|NF|=-（-1）=，点P（1，c）到焦点F的距离为|PF|=1-（-1）=2，点Q（4，d）到焦点F的距离为|QF|=4-（-1）=5；所以点M与焦点F的距离最小．故选：A．根据抛物线的定义，分别求出点M，N，P，Q到焦点F的距离即可．本题考查了抛物线的定义与应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：由“方程-=1表示双曲线”得：m（m+2）＞0，即m＞0或m＜-2，又“m＞0”是“m＞0或m＜-2”的充分不必要条件，即“m＞0”是“方程-=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A．由双曲线的性质得：“方程-=1表示双曲线”得：m（m+2）＞0，即m＞0或m＜-2，由充分必要条件得：“m＞0”是“m＞0或m＜-2”的充分不必要条件，即“m＞0”是“方程-=1表示双曲线”的充分不必要条件，得解本题考查了双曲线的性质及充分必要条件，属中档题7.【答案】C【解析】解：该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥，红色线四棱锥A-BCDE为三视图还原后的几何体，CBA和ACD是两个全等的直角三角形：AC=CD=BC=2，几何体的体积为：=，故选：C．由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方形为底面的四棱锥，然后求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.【答案】B【解析】解2019=3×673（673为质数），故，或者，（m，n∈N*），得，m+n=28，在所有数对中，两数之和不超过27的有1+2+3+……+26==351个，在两数之和为28的数对中．（2，26）为第二个（第一个是（1，27））故数对（2，26）排在第351+2=353位．故选：B．先求出m，n的数值，再根据数对的特点推数对（m，n）排在多少位．本题考查了简单的合情推理，等差数列的求和，属于中档题．9.【答案】三【解析】解：==-（2i+1）=-1-2i，对应点的坐标为（-1，-2），位于第三象限，故答案为：三第8页，共17页结合复数的几何意义以及复数的运算法则进行化简即可．本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．10.【答案】7【解析】解：由，，b=5，代入a2=b2+c2-2bccosA，得32=25+c2-2×5×c×，即：c2-6c-7=0，解得c=7．（c=-1 舍去）．故答案为：7．由已知结合余弦定理即可计算得解c的值．本题考查解三角形，考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．11.【答案】1【解析】解：实数x，y满足的可行域如图：目标函数z=2x+y，目标函数经过可行域的A时取得最小值，点A（0，1），z A=1，故答案为：1．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．12.【答案】f（x）=（x-1）2【解析】解：可举函数f（x）=（x-1）2，可得f（0）=1，f（2）=1，即有f（0）f（1）＞0，但f（x）在（0，2）内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数f（x）满足f（0）f（2）＞0，则f（x）在区间（0，2）上不存在零点”为假命题．故答案为：f（x）=（x-1）2．可考虑函数f（x）=（x-1）2，计算f（0）f（1）＞0，但在（0，2）内存在零点1．本题考查命题的真假判断，考查函数的零点问题，考查判断能力和推理能力，属于基础题．13.【答案】48【解析】解：根据题意，组成四位数的百位数字为5，分2步进行分析：①，组成四位数的千位数字不能为0，则千位数字有4种选法，②，在剩下的4个数字中选出2个，安排在十位、个位，有A42=12种选法，则符合条件的四位数有12×4=48个；故答案为：48．根据题意，分2步进行分析：①，组成四位数的千位数字不能为0，则千位数字有4种选法，②，在剩下的4个数字中选出2个，安排在十位、个位，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理了的应用，属于基础题．14.【答案】①③（-∞，0]【解析】解：要判断是否是原点O的“限定函数”，只要判断：∀x∈[-1，1]，都有y∈[-1，1]．对于①y=，由x∈[-1，1]可得y∈[-，]⊆[-1，1]，则①是原点O的“限定函数”；对于②y=2x2+1，由x∈[-1，1]可得y∈[1，3]⊈[-1，1]，则②不是原点O的“限定函数”；对于③y=sinx，由x∈[-1，1]可得y∈[-sin1，sin1]⊆[-1，1]，则③是原点O的“限定函数”；对于④y=ln（x+2），由x∈[-1，1]可得y∈[0，ln3]⊈[-1，1]，则④是原点O的“限定函数”．第10页，共17页点A（a，b）在函数y=2x的图象上，若函数y=2x是点A的“限定函数”，可得b=2a，由x∈[a-1，a+1]，y∈[b-1，b+1]，即y∈[2a-1，2a+1]，即[2a-1，2a+1]⊆[2a-1，2a+1]，可得2a-1≤2a-1＜2a+1≤2a+1，可得a≤1且a≤0，即a≤0．a的范围是（-∞，0]．故答案为：①③；（-∞，0]．分别运用一次函数、二次函数和正弦函数、对数函数的单调性，结合集合的包含关系可判断是否是原点的限定函数；由指数函数的单调性，结合集合的包含关系，解不等式可得a的范围．本题考查函数的新定义的理解和运用，考查常见函数的单调性和运用，考查集合的包含关系，以及推理能力，属于基础题．15.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（π-x）cos x+2cos2x-1，=2sin x cosx+cos2x=sin2x+cos2x，=√2(√22sin2x+√22cos2x)，=√2sin(2x+π4)，所以最小正周期T=2π2=π；（Ⅱ）因为x∈[−π4，π4]，所以2x∈[−π2，π2]，2x+π4∈[−π4，3π4]．所以当2x+π4=−π4，即x=−π4时，sin(2x+π4)有最小值−√22．所以f（x）有最小值-1．因为当x∈[−π4，π4]时f（x）≥m恒成立，所以m≤-1，即m的取值范围是（-∞，-1]．【解析】第12页，共17页（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】解：（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A …（1分）从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以P(A)=37；…（3分）（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，…（4分）P （X =0）=C 32C 73=17，（X =1）=13C 41CC 72=47，（X =2）=C 42C 72=27（7分）…（8分）E(X)=0×17+1×47+2×27=87；…（10分）（Ⅲ）3月3日…（13分）由直方图知，微信记步数落在[20，25]，[15，20），[10，15），[5，10），[0，5）（单位：千步）区间内的人数依次为200×0.15=30，200×0.25=50，200×0.3=60，200×0.2=40，200×0.1=20据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求． 【解析】（1）分别根据微信记步数信息计算出甲乙步数都不低于10000的概率，再用分布原理处理．（2）X 服从超几何分布，确定X 的取值为0，1，2，代入超几何分布概率公式即可．（3）由直方图知，微信记步数落在各区间的频率，再根据甲和乙的名次情况分析即可．本题考查了频率分布直方图，折线图等识图能力，考查了古典概率模型的概率计算，超几何分布等的计算，还考查了推理能力．属于中档题． 17.【答案】（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥AE ，DE ⊥EB ．所以A ′E ⊥DE ． ………………（1分）因为A ′E ⊥BE ，DE ∩BE =E ，DE ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ， 所以A ′E ⊥平面BCDE ． ………………（3分） 因为A ′E ⊂平面A ′ED ，所以平面A ′ED ⊥平面BCDE ． ………………（4分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A ′E ⊥DE ，A ′E ⊥BE ，DE ⊥BE ，如图建立空间直角坐标系E -xyz ，则 ………………（5分）E （0，0，0），B （2，0，0），D(0，2√3，0)，C(4，2√3，0) A ，（0，0，2），所以A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，−2)，BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，2√3，0)．………………（6分）设平面A ′BC 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 由{n ⃗ ⋅BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，………………（ 7分）得{−2x +2z =0，2x +2√3y =0，所以{x =z ，x =−√3y ．令y =-1，则x =√3，z =√3． 所以n ⃗ =(√3，−1，√3)． ………………（ 8分） 所以|n ⃗ |=√(√3)2+(−1)2+(√3)2=√7， 又|A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2√3，所以cos ＜A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√32√7=−√217．………………（ 9分） 所以直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值为√217．………………（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，DA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2√3，2)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，0)， 设DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m DA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2√3m ，2m)，则 ………………（11分）EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3−2√3m ，2m)． ………………（12分）因为EF ∥平面A ′BC ，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即0×√3+(2√3−2√3m)×(−1)+2m ×√3=0． ………………（13分）所以m =12，即DF ⃗⃗⃗⃗⃗=12DA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．第14页，共17页所以DFFA′=1．………………（14分） 【解析】（Ⅰ）证明DE ⊥AE ，DE ⊥EB ．A′E ⊥DE ．结合A′E ⊥BE ，证明A′E ⊥平面BCDE ．然后证明平面A′ED ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）建立空间直角坐标系E-xyz ，求出平面A′BC 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线A′E 与平面A′BC 所成角的正弦值． （Ⅲ）设，通过EF ∥平面A′BC ，所以，求出m ，然后推出结果即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，空间距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，得a =√3，c =1，所以e =c a =√3=√33，又a 2=b 2+c 2，所以b =√2所以椭圆C 的标准方程为x 23+y 22=1，离心率e =√33，证明：（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x m ，y m ），①当直线l 与x 轴垂直时，点A ，B 的坐标分别为(0，−√2)，(0，√2)．因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0−x m ，−√2−y m )，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0−x m ，√2−y m )，MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0−x m ，0−y m )， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3x m ，−3y m )=0． 所以x m =0，y m =0，即点M 与原点重合，②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =kx +1， 由{x 23+y 22=1，y =kx +1，得（3k 2+2）x 2+6kx -3=0，△=36k 2+12（3k 2+2）=72k 2+24＞0． 所以x 1+x 2=-6k3k 2+2， 则y 1+y 2=43k 2+2＞0，因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-x M ，y 1-y M ），MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 2-x M ，y 2-y M ），MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-x m ，-y m ）， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2+0−3x m ，y 1+y 2+0−3y m )=0． 所以x 1+x 2=3x m ，y 1+y 2=3y m ．x m =−2k3k 2+2，y m =433k 2+2＞0，消去k 得2x m 2+3y m 2−2y m =0(y m ＞0)．综上，点M 构成的曲线L 的方程为2x 2+3y 2-2y =0对于曲线L 的任意一点M （x ，y ），它关于直线y =13的对称点为M′(x ，23−y)．把M′(x，23−y)的坐标代入曲线L的方程的左端：2x2+3(23−y)2−2(23−y)=2x2+4 3−4y+3y2−43+2y=2x2+3y2−2y=0．所以点M'也在曲线L上．所以由点M构成的曲线L关于直线y=13对称【解析】（Ⅰ）由已知，得a=，c=1，所以，由a2=b2+c2，所以b=，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x m，y m），分两种情况，借助韦达定理和向量的运算，即可求出点M构成的曲线L的方程为2x2+3y2-2y=0，即可证明本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点的轨迹方程，考查计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）当k=0时，f(x)=1x2=x−2，f′(x)=−2x−3=−2x3…（1分）所以f'（-1）=2，f（-1）=1…（2分）所以曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程为y-f（-1）=f'（-1）[（x-（-1））]，…（3分）即2x-y+3=0；…（4分）（Ⅱ）k≠0时，（ⅰ）函数f（x）=e kxx2，定义域为{x|x≠0}，…（5分）所以f'（x）=ke kx⋅x2−e kx⋅2xx4=e kx(kx2−2x)x4…（7分）令f′（x）=0，得x=2k…（8分）①当k＞0时，在（-∞，0）和（2k ，+∞），f'′（x）＞0；在（0，2k），f′（x）＜0．所以f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2k ，+∞），单调递减区间为（0，2k）；…（9分）②当k＜0时，在（2k ，0），f′（x）＞0；在（-∞，2k）和（0，+∞），f′（x）＜0．所以f（x）的单调递增区间为（2k ，0），单调递减区间为(−∞，2k)和（0，+∞）；…（10分）（ⅱ）由f（x）在区间（0，1）内单调递减，①当k＞0时，（0，1）⊆（0，2k ），有2k≥1，所以0＜k≤2；…（11分）②当k＜0时，f（x）在（0，+∞），递减，符合题意…（12分）综上k的取值范围是（-∞，0）∪（0，2]…（13分）【解析】（Ⅰ）先利用导数求出切线的斜率，再借助点斜式求出切线方程；（Ⅱ）在（i）中，先求出导数，然后对k讨论确定f′（x）的符号，从而求出单调区间；（ii）在（i）的基础上从集合角度建立不等式求解．本题考查导数的几何意义、用导数研究函数的单调性问题，属于中档题目．20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，集合S={1，2，3，…，100}，T={x|x=2n，n∈N*}={2，4，8，……}；则S-（S-T）={2，4，8，16，32，64}；则集合S-（S-T）的所有元素是：2，4，8，16，32，64；（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即D=11．这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100；当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即d=1．这样的数列首项可以是1，2，3，…，91中的任何一个，因此共有91个公差为1的等差数列；S表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．假设存在含有10个元素的集合A，使得S-A中不含10个元素组成的等差数列．显然每连续10个元素中必有集合A中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合A中的唯一一个元素．记表中第i行第j列的数为（i，j）．若第i（1≤i≤9）行中集合A的唯一元素为（i，j），则第i+1行中（i+1，1），（i+1，2），…（i+1，j）中必有集合A中元素．若第i（1≤i≤9）行的第一个数在集合A中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第一列中集合A的唯一元素只可能在第十行．同理，若第i（1≤i≤8）行的第二个数在集合A中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第二列中集合A的唯一元素只可能在第九行．依此类推，得A={10，19，28，37，46，55，64，73，82，91}．此时，另一条对角线上的十个元素{1，12，23，34，45，56，67，78，89，100}构成等差数列，与假设矛盾．综上，原命题成立．【解析】（Ⅰ）根据题意，分析集合T的元素，结合M-N的含义分析可得答案；第16页，共17页（Ⅱ）根据题意，由等差数列的性质分析公差的最大、最小值，据此分析等差数列的数目，相加即可得答案；（Ⅲ）根据题意，将集合S中元素列表，据此分析集合集合S-A中的元素，由反证法分析可得结论．本题考查数列与集合的综合应用，涉及集合的表示方法以及合情推理的应用，关键是掌握集合以及集合中元素的性质，属于基础题．。

通州区高三年级第一次模拟考试数学（理科）试卷2019年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2,1,0,1,2M =--, {}220N x x x =--<,则M ∩N ＝ A ．{-2，-1 } B ．{-1，0 } C ．{0，1 } D ．{1，2 }2. 已知0c <，则下列不等式中成立的是A ．2cc > B ．12cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭ C ．122cc⎛⎫> ⎪⎝⎭ D ．122c c ⎛⎫< ⎪⎝⎭3.在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心的极坐标是A ．12⎛⎫⎪⎝⎭，π B . 12π⎛⎫⎪⎝⎭， C. ()01， D. ()10，4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中)(mod m n N ≡表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如)3(mod 211≡表示11除以3后的余数是2.执行该程序框图，则输出的N 等于A ．7B . 8 C. 9 D. 10 5.设抛物线24=y x 的焦点为F ，已知点14M ,a ⎛⎫⎪⎝⎭，12N ,b ⎛⎫⎪⎝⎭，()1P ,c ，()4Q ,d 都考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．在抛物线上，则M ，N ，P ，Q 四点中与焦点F 距离最小的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q6.“0m >”是“方程1222=+-m y m x 表示双曲线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A.32 B. 34 C .38 D. 3168.由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…．若数对(),m n 满足()()22132019m n --=，其中,m n N *∈，则数对(),m n 排在A ．第351位B ．第353位C ．第378位D ．第380位第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数2ii- (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 象限． 10.在ABC ∆中，3cos 5A =，42a =5b =，则c = ． 11．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2z x y =+的最大值是 ．12. 能说明“若函数)(x f 满足0)2()0(>⋅f f ，则)(x f 在)2,0(内不存在零点”为假命题的一个函数是 ．13. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有 个(用数字作答)．14.在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(b a A ，若函数()y f x =满足：[]1,1x a a ∀∈-+，都有[]1,1y b b ∈-+，就称这个函数是点A 的“限定函数”． 以下函数：①x y 21=，②122+=x y ，③x y sin =，④()ln 2y x =+，其中是原点O 的“限定函数”的序号是 ．已知点),(b a A 在函数2xy =的图象上，若函数2xy =是点A 的“限定函数”，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()()22sin cos 2cos 1f x x x x =π-+-．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围． 16．（本小题13分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：职工甲 职工乙（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率； （Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）右图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）． 17．（本小题14分） 如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED '∆，使A E BE '⊥，如图2． （Ⅰ）求证：平面A ′ED ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）设F 为线段A ′D 上一点，若EF //平面A ′BC ，求DF FA '的值．18．（本小题14分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，长轴长为23． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()01，的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． 19．（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程； （Ⅱ）当0k ≠时，（ⅰ）求()f x 的单调区间；（ⅱ）若()f x 在区间()01，内单调递减，求k 的取值范围．20．（本小题13分）定义集合M 与集合N 之差是由所有属于M 且不属于N 的元素组成的集合，记作()()2R kxe f x k x=∈DCBEA 'ED C BA图1 图2{|}M N x x M x N -=∈∉且．已知集合{}1,2,3,,100S =．（Ⅰ）若集合{|2,*}nT x x n N ==∈，写出集合()S S T --的所有元素； （Ⅱ）从集合S 选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值D 和最小值d 分别是多少？公差为D 和d 的等差数列各有多少个？（Ⅲ）设集合A S ⊆，且集合A 中含有10个元素，证明：集合S A -中必有10个元素组成等差数列．。

通州区高三年级第一次模拟考试数学（理科）试卷2019年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2,1,0,1,2M =--, {}220N x x x =--<,则M ∩N ＝ A ．{-2，-1 } B ．{-1，0 } C ．{0，1 } D ．{1，2 }2. 已知0c <，则下列不等式中成立的是A ．2c c >B ．12cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭ C ．122cc⎛⎫> ⎪⎝⎭ D ．122c c ⎛⎫< ⎪⎝⎭3.在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心的极坐标是A ．12⎛⎫⎪⎝⎭，π B . 12π⎛⎫⎪⎝⎭， C. ()01， D. ()10，4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中)(mod m n N ≡表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如)3(mod 211≡表示11除以3后的余数是2.执行该程序框图，则输出的N 等于A ．7B . 8 C. 9 D. 10 5.设抛物线24=y x 的焦点为F ，已知点14M ,a ⎛⎫⎪⎝⎭，12N ,b ⎛⎫⎪⎝⎭，()1P ,c ，()4Q ,d 都在抛物线上，则M ，N ，P ，Q 四点中与焦点F 距离最小的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．6.“0m >”是“方程1222=+-m y m x 表示双曲线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A.32 B. 34 C .38 D. 3168.由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…．若数对(),m n 满足()()22132019m n --=，其中,m n N *∈，则数对(),m n 排在A ．第351位B ．第353位C ．第378位D ．第380位第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数2ii- (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 象限． 10.在ABC ∆中，3cos 5A =，42a =5b =，则c = ． 11．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2z x y =+的最大值是 ．12. 能说明“若函数)(x f 满足0)2()0(>⋅f f ，则)(x f 在)2,0(内不存在零点”为假命题的一个函数是 ．13. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有 个(用数字作答)．14.在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(b a A ，若函数()y f x =满足：[]1,1x a a ∀∈-+，都有[]1,1y b b ∈-+，就称这个函数是点A 的“限定函数”． 以下函数：①x y 21=，②122+=x y ，③x y sin =，④()ln 2y x =+，其中是原点O 的“限定函数”的序号是 ．已知点),(b a A 在函数2xy =的图象上，若函数2xy =是点A 的“限定函数”，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()()22sin cos 2cos 1f x x x x =π-+-． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围． 16．（本小题13分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：职工甲 职工乙（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率； （Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）右图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．17．（本小题14分）如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED '∆，使A E BE '⊥，如图2．（Ⅰ）求证：平面A ′ED ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）设F 为线段A ′D 上一点，若EF //平面A ′BC ，求DFFA '的值． 18．（本小题14分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -，()21,0F，长轴长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()01，的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． 19．（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程； （Ⅱ）当0k ≠时，（ⅰ）求()f x 的单调区间；（ⅱ）若()f x 在区间()01，内单调递减，求k 的取值范围．20．（本小题13分）定义集合M 与集合N 之差是由所有属于M 且不属于N 的元素组成的集合，记作{|}M N x x M x N -=∈∉且．已知集合{}1,2,3,,100S =．（Ⅰ）若集合{|2,*}nT x x n N ==∈，写出集合()S S T --的所有元素；（Ⅱ）从集合S 选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值D 和最小()()2R kxe f x k x=∈值d 分别是多少？公差为D 和d 的等差数列各有多少个？（Ⅲ）设集合A S ⊆，且集合A 中含有10个元素，证明：集合S A -中必有10个元素组成等差数列．通州区高三年级第一次模拟考试 数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共40分）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．三 10．7 11．112．()()21f x x =-(答案不唯一) 13．48 14． ① ③ , (]0-∞，三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．解：（Ⅰ）()()22sincos 2cos 1f xx x x =π-+-2sin cos cos2x x x =+sin 2cos2x x =+ ………………3分 sin 2cos 222x x ⎫=+⎪⎪⎭………………4分2019.424x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………………5分所以最小正周期22T π==π； ………………6分（Ⅱ）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦． ………………7分所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最小值2-． (10)分所以()f x 有最小值1-． ………………11分因为当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x m ≥恒成立， 所以1m ≤-，即m 的取值范围是(]1-∞-，． …………13分16．解：（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A ． ..........1分从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以()37P A =； ..........3分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2， ..........4分()0P X ==，()1P X ==，()2P X ==． (7)分X 的分布列为..........8分()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=；..........10分（Ⅲ）3月3日． ..........13分 由直方图知，微信记步数落在[20,25]，[15,20)，[10,15)，[5,10)，[0,5)（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人．由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000---20000之间，根据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日. 所以只有3月3日符合要求． 17．（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥AE ，DE ⊥EB ．所以A ′E ⊥DE ． ………………1分因为A ′E ⊥BE ,DE ∩BE =E ， DE ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ，所以A ′E ⊥平面BCDE ． ………………3分因为A ′E ⊂平面A ′ED ，所以平面A ′ED ⊥平面BCDE ． ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A ′E ⊥DE ，A ′E ⊥BE ，DE ⊥BE ， 如图建立空间直角坐标系E-xyz ，则 ………………5分34316()()22132019m n --=c =2z x y =+)(x f 0)2()0(>⋅f f 200.1200=⨯E (0,0,0)，B (2,0,0)，D(0,2√3,0)，C(4,2√3,0) A ,(0,0,2) ，所以A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−2)， BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,0). ………………6分 设平面A ′BC 的法向量n =(x,y,z )，由 {n ∙BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ………………7分得 {−2x +2z =0，2x +2√3y =0， 所以{x =z ， x =−√3y ．令y =−1，则x =√3，z =√3．所以n =(√3,−1,√3)． ………………8分所以|n |=√(√3)2+(−1)2+(√3)2=√7， 又 |A ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，A ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n =−2√3， 所以2321cos ,727A E A E A E '⋅-'<>===-'⋅n n n． (9)分所以直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值为217. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，DA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3,2)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0)，设DF⃗⃗⃗⃗⃗ =mDA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3m,2m)，则 ………………11分EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3−2√3m,2m)． ………………12分因为EF //平面A ′BC ，所以EF⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n =0， 即0×√3+(2√3−2√3m)×(−1)+2m ×√3=0． ………………13分所以m =12，即DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以1DFFA ='. ………………14分 18．解：（Ⅰ）由已知，得，所以3c e a ===． ..........3分又，所以． (4)分所以椭圆C 的标准方程为，离心率3e =． ..........5分（Ⅱ）设．①当直线l 与x 轴垂直时，点A ,B 的坐标分别为(0，，(0． 因为()0,m mMA x y =- ，()0mmMB x y =-，()0,0m m MO x y =--，所以(3,3)m m MA MB MO x y ++=--=0．所以0m x =，0m y =，即点M 与原点重合． ..........6分②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+． .......... ..........7分由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，， 得()2232630k x kx ++-=， .......... ..........8分a =1c =222a b c =+b =22132x y +=()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以，1224032y y k +=>+． .......... ..........9分因为，，，所以1212(03,03)0m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=． 所以12123,3m m x x x y y y +=+=．2232m k x k -=+，243032m y k =>+． .......... . (11)分消去k 得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=． .......... ..........12分对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭．把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． ......... ......... ......14分11(,)m m MA x x y y =--22(,)m m MB x x y y =--(0,0)m m MO x y =--19．解: （Ⅰ）当0k =时，()221f x x x -==，()3322f x x x-'=-=-. ..........1分所以()12f '-=， ()11f -=. .........2分所以曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ()()()()111y f f x ⎡⎤'--=---⎣⎦， (3)分即230x y -+=； (4)分（Ⅱ）0k ≠时，（ⅰ）()f x =，定义域为，..........................5分 所以()f x '==． .......... ........ ..............7分令()0f x '=，得2x k=． .......... ........ ..........8分①当0k >时，在()0-∞，和，()0f x '>；在，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为()0-∞，和，单调递减区间为；.........9分2xe kx{}0|≠x x 422x xe x ke kx kx ⋅-⋅42)2x x kx e kx -⋅（),2(+∞k )2,0(k),2(+∞k )2,0(k②当0k <时，在，()0f x '>；在和，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为2k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和()0+∞，；....10分（ⅱ）由()f x 在区间()01，内单调递减， ①当0k >时，()01，，有，所以； ..........11分②当0k <时, ()f x 在递减，符合题意． ..........12分综上k的取值范围是()(]002,,-∞． ..........13分20. 解：（Ⅰ）:248163264，，，，，； (2)分（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即11D =．这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100； ............................4分当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即1d =．这样的数列首项可以是12391，，，，中的任何一个，因此共有91个公差为1的等差数列．......... ......... .......6分S表中各行或各列的十个数分别构成等差数列． 假设存在含有10个元素的集合A ，使得S -A 中不含10个元素组成的等差数列．显然每连续10个元素中必有集合A 中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合A 中的唯一一个元素．）（0,2k ），（k2-∞），（∞+0）（0,2k ⊆)2,0(k 12≥k20≤<k ），（∞+0记表中第i行第j列的数为(),i j．若第i(1≤i≤9)行中集合A的唯一元素为(i,j)，则第i+1行中(i+1,1),(i+1,2),┈(i+1,j)中必有集合A中元素．若第i(1≤i≤9)行的第一个数在集合A中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第一列中集合A的唯一元素只可能在第十行．同理，若第i(1≤i≤8)行的第二个数在集合A中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第二列中集合A的唯一元素只可能在第九行．依此类推，得A={10，19，28，37，46，55，64，73，82，91}．此时，另一条对角线上的十个元素{1，12，23，34，45，56，67，78，89，100}构成等差数列，与假设矛盾．综上，原命题成立． (13)分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。