2019-2020学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高一下学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年广东省深圳市宝安中学高一（下）晚测数学试卷（一）一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）1. 为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 【答案】 C【考点】 分层抽样方法 【解析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理， 故选C ．2. 在△ABC 中，若AB =√13，BC =3，∠C =120∘，则AC =（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 A【考点】余弦定理的应用 【解析】本题考查解三角形． 【解答】解：在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC cos 120∘， 则13=AC 2+9+3AC ，解得AC =1（舍负）． 故选A ．3. 设向量a →=(1, cos θ)与b →=(−1, 2cos θ)垂直，则cos 2θ等于（ ） A.√22B.12C.0D.−1【答案】 C【考点】二倍角的三角函数数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】由两向量的坐标，以及两向量垂直，根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积为0，得出2cos2θ−1的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将2cos2θ−1的值代入即可求出值．【解答】∵a→=(1, cosθ)，b→=(−1, 2cosθ)，且两向量垂直，∴a→⋅b→=0，即−1+2cos2θ＝0，则cos2θ＝2cos2θ−1＝0．4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B=π6，C=π4，则△ABC的面积为（）A.2√3+2B.√3+1C.2√3−2D.√3−1【答案】B【考点】正弦定理三角形的面积公式【解析】由sin B，sin C及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sin A的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】∵b＝2，B=π6，C=π4，∴由正弦定理bsin B =csin C得：c=b sin Csin B=2×√2212=2√2，A=7π12，∴sin A＝sin(π2+π12)＝cosπ12=√2+√64，则S△ABC=12bc sin A=12×2×2√2×√2+√64=√3+1．5. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96, 106]，样本数据分组为[96, 98),[98, 100),[100, 102),[102, 104), (104, 106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A.90B.75C.60D.45【答案】A【考点】频率分布直方图先求出样本中产品净重小于100克的频率，由此利用样本中产品净重小于100克的个数是36，求出样本总数，由此能求出样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数．【解答】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2＝0.3，∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴样本总数n=36=120．0.3∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数为120×0.75＝90．6. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B=a sin A，则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式正弦定理三角形的形状判断【解析】由条件利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A，再由两角和的正弦公式、，由此可得△ABC的形状．诱导公式求得sin A=1，可得A=π2【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B=a sin A，则由正弦定理可得：sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A，即sin(B+C)=sin A sin A，，可得sin A=1，故A=π2故三角形为直角三角形，故选B.7. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A.中位数B.平均数C.方差D.极差【答案】A【考点】众数、中位数、平均数【解析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B+sin A⋅(sin C−cos C)= 0，a=2，c=√2，则C=（）A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】B【考点】正弦定理【解析】本题主要考查三角形内角和定理、两角和的正弦公式、正弦定理等知识. 【解答】解：因为sin B+sin A(sin C−cos C)=0，所以sin(A+C)+sin A⋅sin C−sin A⋅cos C=0，所以sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C−sin A cos C=0，整理得sin C(sin A+cos A)=0，因为sin C≠0，所以sin A+cos A=0，所以tan A=−1，因为A∈(π2,π)，所以A=3π4，由正弦定理得sin C=c⋅sin Aa =√2×√222=12，又0<C<π4，所以C=π6.故选B.9. 设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i＝x i+a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a【答案】A【考点】众数、中位数、平均数极差、方差与标准差【解析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】方法1：∵y i＝x i+a，∴ E(y i )＝E(x i )+E(a)＝1+a ， 方差D(y i )＝D(x i )+E(a)＝4． 方法2：由题意知y i ＝x i +a ， 则y ¯=110(x 1+x 2+...+x 10+10×a)=110(x 1+x 2+...+x 10)=x ¯+a ＝1+a ，方差s 2=110[(x 1+a −(x ¯+a)2+(x 2+a −(x ¯+a)2+...+(x 10+a −(x ¯+a)2]=110[(x 1−x ¯)2+(x 2−x ¯)2+...+(x 10−x ¯)2]＝s 2＝4．10. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m →=(sin A,cos A)，n →=(√3,1)．若m →∥n →，且a cos B +b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为（ ） A.π6,π3B.2π3,π6C.π3,π6D.π3,π3【答案】 C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】由已知求得A ，再由a cos B +b cos A ＝c sin C 结合正弦定理求得C ，则答案可求． 【解答】∵ a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边， m →=(sin A,cos A)，n →=(√3,1)．且m →∥n →； ∴ sin A −√3cos A ＝0，则tan A =√3，则A =π3．由a cos B +b cos A ＝c sin C ，得sin A cos B +sin B cos A ＝sin 2C ， 即sin (A +B)＝sin C ＝sin 2C ， 则sin C ＝1，即C =π2， ∴ B =π2−π3=π6．11. 在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C −sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ） A.(0, π6]B.[π6, π)C.(0, π3]D.[π3, π)【答案】 C【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cos A 的范围，进而求得A 的范围． 【解答】由正弦定理可知a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∵sin2A≤sin2B+sin2C−sin B sin C，∴a2≤b2+c2−bc，∴bc≤b2+c2−a2∴cos A=b2+c2−a22bc ≥12∴A≤π3∵A>0∴A的取值范围是(0, π3]12. 已知函数f(x)=2cos2x−√3sin2x，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A满足f(A)＝−1，若a=√6，则△ABC的面积的最大值为（）A.3√3B.3√32C.√34D.2√3【答案】B【考点】余弦定理【解析】由二倍角公式和两角和的余弦公式，以及基本不等式和余弦定理、三角形的面积公式可得所求最大值．【解答】f(x)=2cos2x−√3sin2x=cos2x−√3sin2x+1=2cos(2x+π3)+1，f(A)=2cos(2A+π3)+1=−1⇒cos(2A+π3)=−1，A为三角形内角，则A=π3，a=√6，可得a2＝b2+c2−2bc cos A＝b2+c2−bc≥2bc−bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，S△ABC=12bc sin A≤12×6×√32=3√32．△ABC的面积的最大值为3√32．13. 如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【答案】A,B,D【考点】进行简单的合情推理【解析】结合图象，分别分析图形中同比及环比数据的特点，结合各选项进行分析即可判断．【解答】A：从同比来看，同比均为正数，即同比都上涨，故A正确；B：从环比来看，2018年3越至2019年3月全国居民消费价格环比图象有升有降，即环比有涨有跌，故B正确；C：从同比来看，2018年9月，10月全居民消费价格同比涨幅最大，故C错误；D：从环比来看，2019年3月全国居民消费价格环比绝对值最大，即价格环比变化最快，故D正确．14. 某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以[160, 180),[180, 200),[200, 220),[220, 240),[240, 260),[260, 280),[280, 300]分组的频率分布直方图如图．则下列说法正确的是（）A.直方图中x＝0.0075B.上图中所有矩形面积之和为1C.月平均用电量的众数和中位数分别为230，224D.在月平均用电量为[220, 240),[240, 260),[260, 280),[280, 300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取5户．【答案】A,B,C,D【考点】频率分布直方图【解析】在A中，由频率分布直方图解得x＝0.0075；在B中，由频率分布直方图的性质得所有矩形面积之和为1；在C中，由频率分布直方图求出月平均用电量的众数为：和中位数分别为230，224；在D中，用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取5户．【解答】由频率分布直方图得：在A中，(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20＝1，解得x＝0.0075．故A正确；在B中，由频率分布直方图的性质得所有矩形面积之和为1，故B正确；在C中，月平均用电量的众数为：和中位数分别为220+2402=230，[160, 220)的频率为：(0.002+0.0095+0.011)×20＝0.45，[220, 240)的频率为0.0125×20＝0.25，∴中位数为：220+0.5−0.450.25×20=224，故C正确；在D中，在月平均用电量为[220, 240),[240, 260),[260, 280),[280, 300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取：11×0.01250.0125+0.0075+0.005+0.0025=5户．故D正确．二.填空题函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．【答案】π2【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】用二倍角公式可得f(x)=−12cos(4x)+12，然后用周期公式求出周期即可．【解答】∵f(x)＝sin2(2x)，∴f(x)=−12cos(4x)+12，∴f(x)的周期T=π2，若满足条件C＝60∘，AB=√3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是________√3<a<2．【答案】C【考点】解三角形【解析】由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sin A，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sin A的范围，进而求出a的取值范围．【解答】由正弦定理得：ABsin C =BCsin A，即√3√32=asin A，变形得：sin A=a2，由题意得：当A∈(60∘, 120∘)时，满足条件的△ABC有两个，所以√32<a2<1，解得：√3<a<2，则a的取值范围是(√3, 2)．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan(π4+A)=2，则sin2Asin2A+cos2A的值为________．【答案】25【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用两角和的正切公式，求出tan A的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】在△ABC中，若tan(π4+A)=2=1+tan A1−tan A，∴tan A=13，则sin2Asin2A+cos2A =2sin A cos A2sin A cos A+cos2A=2tan A2tan A+1=2323+1=25，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6,a=2c,B=2π3，则△ABC的面积为________【答案】18√37【考点】正弦定理【解析】由余弦定理可得关于c的方程，解出c得到a，由面积公式S△ABC=12ac sin B求出面积．【解答】由余弦定理，有b2＝a2+c2−2ac cos B，∵b=6,a=2c,B=2π3，∴36=4c2+c2−4c2(−12)，∴c2=367，∴c=√7，∴a=√7∴S△ABC=12ac sin B=18√37．已知x、y的取值如表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且y =0.95x +a ，则a ＝________．【答案】 2.6【考点】求解线性回归方程 【解析】根据表中的数据可以分别求出变量x ，y 的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a ． 【解答】根据表中数据得：x ¯=2,y ¯=14×(2.2+4.3+4.8+6.7)=92； 又由回归方程知回归方程的斜率为0.95； ∴ a =92−0.95×2=2.6．在△ABC 中，B =120∘，AB =√2，A 的角平分线AD =√3，则AC =________． 【答案】√6【考点】余弦定理的应用 正弦定理 【解析】利用已知条件求出A ，C ，然后利用正弦定理求出AC 即可． 【解答】解：由题意以及正弦定理可知：AB sin ∠ADB=AD sin B，即√2sin ∠ADB=√3√32，∠ADB =45∘，12A =180∘−120∘−45∘，可得A =30∘，则C =30∘， 三角形ABC 是等腰三角形， AC =2√2sin 60∘=√6． 故答案为：√6．设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x −2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 【答案】−2√55【考点】正弦函数的定义域和值域 两角和与差的三角函数 【解析】 f(x)解析式提取√5，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x ＝θ时，函数f(x)取得最大值，得到sin θ−2cos θ=√5，与sin 2θ+cos 2θ＝1联立即可求出cosθ的值．【解答】方法一：f(x)＝sin x−2cos x=√5(√55sin x−2√55cos x)=√5sin(x−α)（其中cosα=√55，sinα=2√55），∵x＝θ时，函数f(x)取得最大值，∴sin(θ−α)＝1，即sinθ−2cosθ=√5，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得(2cosθ+√5)2+cos2θ＝1，解得cosθ=−2√55．方法二：f(x)＝sin x−2cos x=√5sin(x+φ)（其中tanφ＝−2，φ∈(−π2,π2 )），因为当x＝θ时，f(x)取得最大值，所以θ+φ=π2+2kπ(k∈Z)，所以θ=π2+2kπ−φ(k∈Z)，所以cosθ＝cos(π2+2kπ−φ)＝sinφ=−2√55．已知函数f(x)=cos x⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34，x∈R．f(x)在[−π4,π4]上的最大值为________．【答案】14【考点】两角和与差的三角函数【解析】由题意利用三角恒等变换花简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出f(x)在[−π4,π4]上的最大值．【解答】∵函数f(x)=cos x⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34=cos x⋅(12sin x+√32cos x)−√3cos2x+√3 4=14sin2x−√32cos2x+√34=14sin2x−√34cos2x=12sin(2x−π3)，x∈R．x∈[−π4,π4]，2x−π3∈[−5π6, π6]，故当2x−π3=π6时，函数f(x)取得最大值为14，如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC=√7，若cos∠BAD=−√714，sin∠CBA=√216，则BC＝________．【答案】 3【考点】 解三角形 【解析】由题意在△ADC 中应用余弦定理易得cos ∠CAD ，进而由同角三角函数基本关系可得sin ∠CAD 和sin ∠BAD ，再由和差角公式可得sin ∠CAB ，在△ABC 中由正弦定理可得BC ． 【解答】由题意在△ADC 中，AD ＝1，CD ＝2，AC =√7， ∴ 由余弦定理可得cos ∠CAD =2×1×√7=2√77， ∴ sin ∠CAD =√217， 同理由cos ∠BAD =−√714，可得sin ∠BAD =3√2114， ∴ sin ∠CAB ＝sin (∠BAD −∠CAD) ＝sin ∠BAD cos ∠CAD −cos ∠BAD sin ∠CAD =√32在△ABC 中由正弦定理可得BC =√7×√32√216=3已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下三个命题：①满足条件的△ABC 不可能是直角三角形； ②当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15；③当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7． 其中正确命题有________（填写出所有正确命题的序号）． 【答案】 ②③【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①假设是三角形，求出各个边长，最后证明假设是否正确，②通过正弦定理可求出关系，再由余弦定理和已知条件，求出各个边，可求出周长， ③由②各个边，通过面积相等求出内接球半径，再求面积． 【解答】①假设△ABC 是直角三角形，由题意知b =54c ，则b 2=(54c)2=c 2+a 2=c 2+36， 解得a ＝6，b ＝10，c ＝8是直角三角形，①错；②由A ＝2C ，由正弦定asin A =bsin B =csin C ，可得c cos C ＝3，结合b =54c ，由余弦定理c 2＝a2+b2−2ab cos C，解之得c＝4，b＝5，∴△ABC的周长为15，②对；③当A＝2C时，由②知c＝4，b＝5，若O为△ABC的内心，则设△ABC的内接圆半径为r，由c cos C＝3，可得cos C=34，sin C=√74，故12absicC=12(a+b+c)r，∴r=√72，∴S△AOB=12cr=√7，③对．三、解答题（共3小题，满分0分）某校高一（1）班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如图1和图2所示，据此解答如下问题：（1）计算频率分布直方图中[80, 90)间的小长方形的高；（2）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．【答案】分数在[50, 60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知，分数在[50, 60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08=25，所以分数在[80, 90)之间的人数为25−21＝4，则对应的频率为425=0.16．所以[80, 90)间的小长方形的高为0.16÷10＝0.016．全班共25人，根据各分数段人数得各分数段的频率为：所以估计这次测试的平均分为55×0.08+65×0.28+75×0.4+85×0.16+95×0.08＝73.8．【考点】众数、中位数、平均数茎叶图【解析】（1）由直方图在得到分数在[50, 60)的频率，求出全班人数；由茎叶图求出分数在[80, 90)之间的人数，进一步求出概率；（2）分别算出各段的概率，计算平均分．【解答】分数在[50, 60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知， 分数在[50, 60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08=25，所以分数在[80, 90)之间的人数为25−21＝4， 则对应的频率为425=0.16．所以[80, 90)间的小长方形的高为0.16÷10＝0.016． 全班共25人，根据各分数段人数得各分数段的频率为：所以估计这次测试的平均分为55×0.08+65×0.28+75×0.4+85×0.16+95×0.08＝73.8．已知向量m →=(√3sin x4, 1)，n →=(cos x4, cos 2x4)，记f(x)=m →⋅n →．(Ⅰ)若f(x)＝1，求cos (x +π3)的值；(Ⅱ)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a −c)cos B ＝b cos C ，求f(2A)的取值范围． 【答案】（1）向量m →=(√3sin x4, 1)，n →=(cos x4, cos 2x4)，记f(x)=m →⋅n →=√3sin x4cos x4+cos 2x4=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin (x 2+π6)+12，因为f(x)＝1，所以sin (x2+π6)=12， 所以cos (x +π3)＝1−2sin 2(x2+π6)=12，（2）因为(2a −c)cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A −sin C)cos B ＝sin B cos C所以2sin A cos B −sin C cos B ＝sin B cos C所以2sin A cos B ＝sin (B +C)＝sin A ，sin A ≠0， 所以cos B =12，又0<B <π2，所以B =π3，则A +C =2π3，即A =2π3−C ，又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A +π6<2π3，所以√32<sin (A +π6)≤1，又f(2A)＝sin (A +π6)+12，所以f(2A)的取值范围(√3+12,32]． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】(Ⅰ)利用向量的数量积公式求出f(x)的解析式，然后求值；(Ⅱ)由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A 的范围，然后求三角函数值的范围． 【解答】（1）向量m →=(√3sin x4, 1)，n →=(cos x4, cos 2x4)，记f(x)=m →⋅n →=√3sin x4cos x4+cos 2x4=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin (x 2+π6)+12，因为f(x)＝1，所以sin (x2+π6)=12， 所以cos (x +π3)＝1−2sin 2(x2+π6)=12，（2）因为(2a −c)cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A −sin C)cos B ＝sin B cos C所以2sin A cos B −sin C cos B ＝sin B cos C所以2sin A cos B ＝sin (B +C)＝sin A ，sin A ≠0， 所以cos B =12，又0<B <π2，所以B =π3， 则A +C =2π3，即A =2π3−C ，又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A +π6<2π3，所以√32<sin (A +π6)≤1，又f(2A)＝sin (A +π6)+12，所以f(2A)的取值范围(√3+12,32]．如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC 长1260米，经测量，cos A =1213，cos C =35．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 【答案】在△ABC 中，因为cos A =1213，cos C =35，所以sin A =513，sin C =45，从而sin B ＝sin [π−(A +C)]＝sin (A +C)＝sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365， 由正弦定理ABsin C =ACsin B ，得AB =AC⋅sin C sin B=1260×456365=1040m ．所以索道AB 的长为1040m ．假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得：d 2＝(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213=200(37t 2−70t +50)＝200[37(t −3537)2+62537]，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t =3537min 时，甲、乙两游客距离最短．【考点】 正弦定理 余弦定理 【解析】（1）根据正弦定理即可确定出AB 的长；（2）设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，由余弦定理即可得解． 【解答】在△ABC 中，因为cos A =1213，cos C =35，所以sin A =513，sin C =45，从而sin B ＝sin [π−(A +C)]＝sin (A +C)＝sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365， 由正弦定理ABsin C =ACsin B ，得AB =AC⋅sin C sin B=1260×456365=1040m ．所以索道AB 的长为1040m ．假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得：d 2＝(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213=200(37t 2−70t +50)＝200[37(t −3537)2+62537]，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t =3537min 时，甲、乙两游客距离最短．。

宝安中学2012－2013学年第二学期期中考试高一数学（理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为7-20题，共110分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

一．选择题：（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共计40分）1．sin17sin 223sin 73cos 43+=oooo（ ） A ．12 B ． 12- C．2-．22.下列命题中错误．．的是 ( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β3. 已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A247 B 247- C 724 D 724-4．设m ,n 是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面,下列四个命题中正确命题的序号是 （ ） ①若，，n m αα////则n m //； ②若，，m ，αγββα⊥////则γ⊥m ； ③若αα//，n m ⊥,则n m ⊥ ④若，，γβγα⊥⊥则βα//； (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D) ①④5．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为 （）(正视图)6．函数sin 2sin 23y x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（ ） A ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．513,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.如图,ABC S -是正三棱锥且侧棱长为a ，两侧棱SC SA ,的夹角为030，F E ,分别是SC SA ,上的动点，则三角形BEF 的周长的最小值为 （ ）A .a 2B . a 3C .a 5D .a 68．过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB ＝6，BC ＝8， AC ＝10，则球的表面积是 （ ）A ．π100B ．π300C ．π3100 D ．π3400二．填空题：（每小题5分，共计30分） 9．求值cos351sin 20=-10. 如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，45,1ABC AB AD ︒∠===, DC BC ⊥,则这个平面图形的面积为_____________11.设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 132a b c -=-==+o o o oo则,,a b c 的大小关系是(用不等号连接)______________12．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为2，则异面直线BC 1与A 1C 所成的角是SA C BEF A CB DBB 113．已知直二面角βα--l ，点l ，AC A ⊥∈α，C 为垂足，l ，BD B ⊥∈β，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于________14 如果a ，b 是异面直线，P 是不在a ，b 上的任意一点，下列四个结论：①过点P 一定可以作直线L 与a ，b 都相交；②过点P 一定可以作直线L 与a ，b 都垂直；③过点P 一定可以作平面α与a ，b 都平行；④过点P 一定可以作直线L 与a ，b 都平行； 上述结论中正确的是___________六．解答题（6题，共计80分） 15．(本题满分12分) 已知71)43sin(=+πα，54)4cos(=-βπ，且44παπ<<-， 434πβπ<<，求)cos(βα-的值。

深圳市高一第二学期期中测试卷数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(3,)B m 两点，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．1-2．过点A 且倾斜角为120︒的直线方程为（ ）3．下列四个命题中正确的是（ ）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④4．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 ( )A B C D5．如图，平面⊥α平面β，AB B A ,,βα∈∈与两平面βα,所成的角分别为4π和6π，过B A ,分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，若16AB =，则A B ''=（ ）.A 4 .B 6 .C 8 .D 96、已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ⋂,//m α,n β⊥,则 （ ）A ．//m nB ．m n ⊥ C.//m l D ．n l ⊥7．已知向量()1,2a =--，()3,0b =，若()()2//a b ma b +-，则m的值为 （ ） A．2- D ．28．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为 （ ）A ．32B ．64 C．．9、已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a b （ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．210．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++=； （2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=． 则点O 依次为ABC ∆的（ ）（注：重心是三条中线的交点；垂心是三条高的交点；内心是内切圆的圆心；外心是外接圆的圆心） A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心 D ．外心、内心、垂心、重心11．已知O 是正三角形ABC 内部一点，且32=++,则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为 （ ）A ．23 B ．25C ．2D ．512．直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其外接球的体积为（ ）AB ．43πC ．3πD ．4π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 131=的倾斜角等于 ． 14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．15．设a 、b 是单位向量，其夹角为θ．若t +a b 的最小值为12，其中t R ∈．则θ=______． 16．在棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -中，以A为 。

深圳高级中学（集团）2020 学年第二学期期中考试高一数学（理科）本试卷由两部分组成。

第一部分：高一数学第一学期期末前的基础知识和能力考查，共44 分；选择题包含第1题.第7题.第9题.共20分填空题没有，共0 分解答题包含第19题.第 22题，共 24分第二部分：高一数学第一学期期末后的基础知识和能力考查，共106 分选择题包含第2题.第3题.第5题.第6题.第8题，第 10题.第 10 题.第 12 题，共 40 分填空题包含第13题.第 14题. 第 15题，第16 题，共20 分解答题包含第17题.第 18题. 第 20题.第 21题，共 46分全卷共计150 分。

考试时间 120 分钟 .一．选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合A x 2x 1 0,B x x2 1 0，则A BA. x x 1B. x x 1C. x 1 x 1D.x 1x 12 22. 已知, 且 sin 3，则 tan2 53B. 4 3 4A. C. D.34 3 4r r( 2, 4), 则在方向上的投影是3. 若a (1,3), bA. B. C. D.4. 在ABC中，ABC, AB 2, BC 3, 则 sin BAC ＝4A．10B．10C．3 10D．5 10510 55.设，则A. B. C. D.6. 如图，在uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuurABC 中，AN NC ，P是BN上的一点，若AP mAB AC ，则实数 m3 9的值为A.1B.1C.1D.39 37. 已知两点A0, 3,B4,0, 若点P 是圆x 2 y 2 2 y 0 上的动点，则ABP面积的最小值为A． 6 B. 11C．8D. 21 2 28. 若为第一象限角，且，则的值为7 7 1 7A. B. C. D.5 5 3 39. 已知四棱锥P ABCD 的三视图如图，则四棱锥P ABCD 的全面积为A．2 5 B．35C．5D．410. 已知两个单位向量vvv va,b 的夹角为120，k R ，则a kb 的最小值为A. 3B.3C.1D. 34 2 211.同时满足下列三个条件的函数为①在0,R 上的偶函数；③最小正周期为ππ 上是增函数；②为．2A.y tan xB.y cosxC.y cos2xD.y sin2 x12. 将函数 f x1 2sin2 x cos cos 2xsin 的图象向右平移个单位后，所得23函数图象关于原点对称，则 的取值可能为 A.5B. C.D.63 2 6二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 .13. 已知角的终边经过点 P 1,2 ，则sin2cos 2___________.sina sin2ABC 中， BAC 120o, ABuuur uuur14. 在 2, AC 1, DC2BD ， D 是边 BC 上的一点，则 uuur uuur AD BC ＝ __________．15.已知 sinx1，则 sin5x sin 2x___________．646316. 函数 f x sin2x3 的图像为 C ，如下结论中正确的是 __________（写出所有正确结论的编号） .①图象 C 关于直线 x11 对称；12②图象 C 关于点2 ,0 对称；3③ f x 在区间1 , 5内是增函数 .12 12三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .17. （本小题满分 10 分）已知 cos 24 为第三象限角 .，且5（ 1）求 cos的值；2tansinsin（ 2）求 f2的值 .cos18. （本小题满分 12 分）设两个向量 vv，满足 v 2 ， v.a 、bab 1 v v v v v v（ 1）若 a 2b a b 1 ，求 a 、 b 的夹角；v vv v v v t 的取值范围 .（ 2）若 a 、 b 夹角为 60°，向量 2ta 7b 与 a tb 的夹角为钝角，求实数 19. （本小题满分 12 分）如图，已知 PA 矩形 ABCD 所在的平面， M 、N 分别为 AB 、PC 的中点， PDA 450 , AB 2, AD1.（ 1）求证： （ 2）求证：（ 3）求 PCMN //平面PAD ； MN 面PCD ；与面 PAD 所成角大小的正弦值.20. （本小题满分 12 分）函数 f xAsin x （ A 0 ， 0 ，π）的部分图象如图所示．2（ 1）求函数 f x 的解析式；（ 2）若将 f x 的图象向右平移π个单位，再将所得图象的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐6标不变，得到 g x 的图象，求不等式g x 1的解集．21. （本小题满分 12 分）已知函数f x 4sin 2x sin 2 x2.6（ 1）求函数 f x 的单调递减区间；（ 2）求函数 f x 在区间 0,上的最大值，并求出取得最大值时x 的值 .222.（本小题满分 12 分）设 f xx 1x 为奇函数，且实数 a 0。

2020-2021深圳宝安区精华学校高一数学下期中模拟试题(附答案)一、选择题1．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．2732B ．1086+ C ．166+ D ．322166+ 2．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( ) A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒3．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．26B ．36C ．23D ．224．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．65．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①③ 6．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或17．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ） A ．5B ．6C ．35D ．418．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2B ．12或32C ．2或0D ．-2或09．若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,124纟çúçú棼10．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 833二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD V 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，设AK t =，则t 的取值范围是__________．15．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．16．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．17．已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________. 18．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．19．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______20．已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______三、解答题21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．23．如图1，有一边长为2的正方形ABCD ，E 是边AD 的中点，将ABE △沿着直线BE 折起至A BE 'V 位置（如图2），此时恰好A E A C ''⊥，点A '在底面上的射影为O .（1）求证：A E BC '⊥；（2）求直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值.24．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3 21 12x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为22cos()4πρθ=-.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于,A B两点，求线段AB的长度.25．已知点(3,4),(9,0)A B-，,C D分别为线段,OA OB上的动点，且满足AC BD=（1）若4,AC=求直线CD的方程；（2）证明：OCD∆的外接圆恒过定点（异于原点）．26．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D-．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先求出球心O到底面距离的最大值，从而可求顶点D到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值.【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=， 设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+= 所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(1132216644264232+⨯⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．2．A解析：A 【解析】 【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角. 【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒， 若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合， 过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ， 延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=2333=， ∴11613OO =-=∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC 3∴1326236S ABC V -==三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积． 【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．4．B解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误； ②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误； ④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确． 故选B ．6．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．A解析：A 【解析】 【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案. 【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =.故选：A . 【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.8．C解析：C【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可. 【详解】把圆的方程化为标准式为:22(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2). 则圆心到直线0x y a -+=的距离22221(1)d ==+-, 即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =. 所以a 的值为0或2. 故选C. 【点睛】本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.9．D解析：D 【解析】 【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=…与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围. 【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=…，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <„，直线与半圆有两个交点， AD 221k =+，解得512AD k =，4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：D本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.10．B解析：B【解析】【分析】【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.11．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.12．B解析：B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V=⋅=.故选：B. 二、填空题13．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x －5y +1=0 【解析】 【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果. 【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y +-=--+=+. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题.14．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平面则又则因为所以故综上的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件解析：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】当F 位于DC 的中点，点D 与AB 中点重合，1t =． 随F 点到C 点，由CB AB ⊥，CB DK ⊥， 得CB ⊥平面ADB ，则CB BD ⊥．又2CD =，1BC =，则BD =． 因为1AD =，2AB =， 所以AD BD ⊥，故12t =． 综上，t 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.15．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。

一、单选题1．设向量，，则（ ） (3,2)AB →=-(1,2)AC →=-BC →=A ． B ． C ． D ．(1,1)(4,4)-(2,0)(4,4)-【答案】B【分析】根据向量减法的定义及坐标运算即可解得. 【详解】. (1,2)(3,2)(4,4)BC AC AB →→→=-=---=-故选：B.2．已知是虚数单位，，则复数在复平面内对应的点位于（ ） i 2i1iz =+z A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】整理变形求复数的代数形式即可. z 【详解】， ()()()()2i 1i 2i 12i 1i 1i 1i 1i 2z -+====+++-所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. z ()1,1故选：A3．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，（ ） ABC A 30A =︒45B =︒a =b =AB ．2 CD ．【答案】B【分析】用正弦定理即可解得.【详解】∵，，∴由正弦定理可得，则30A =︒45B =︒a =sin sin a b A B =sin sin a B bA ===.2=故选：B.4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin2g x x =A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 12π3πC ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度12π3π【分析】根据三角函数的平移变换法则（左加右减）即可求解.【详解】由于函数，所以要得到函数的图()sin 2sin 2612f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.()sin2g x x =12π故选：A.5．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点ABC A A B C '''是斜边的中点，且，则△ABC 的面积为（ ）O 'B C ''2O A ''=A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据斜二测画法，即直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的一x y 半，根据题中所给的数据以及图形，可知角形为直角三角形，，，ABC 90ABC ∠=︒4BC =，由此即可求出结果.AB =【详解】因为为等腰直角三角形且，所以， A B C '''A 2O A ''=4B C ''=A B ''=由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，，4BC =AB =ABC 90ABC ∠=︒所以三角形ABC 的面积为142ABC S =⨯⨯=A6．已知非零向量与的夹角为120°，，则（）的最小值为（ ） a b ||2a = ||a b λ+R λ∈A ．B ．C D72【答案】D【分析】首先根据平面向量的模的求法得到，因为当且仅当时等2||a b λ+2(||1)3b λ=-+ ||1b λ= 号成立，从而可以求出结果.【详解】2222||||2||a b a a b b λλλ+=+⋅+ 222|2cos120|a a b b λλ=+⋅⋅+242||(||)b b λλ=-+2(||1)3b λ=-+，3…当且仅当时等号成立；||1b λ=∴，当且仅当时等号成立.||a b λ+…||1b λ= 故选：D.7．在中，角，，的对边分别是，，，，，ABC A A B C a b c cos cos 2cos a B b A c C +=1a =4b =，则 c =A ．2BC ．D【答案】B【详解】由正弦定理可得，()cos cos 2cos ,sin 2,2sinA B sinB A sinC C A B sinCcosC sinC sinCcosC +=∴+=∴=由于所以 0sinC ≠，12cosC =由余弦定理可得 222213c a b abcosC =+-=所以c =故选B.8．梯形中，，，，，，点E 在线段上，点ABCD //AB CD 4AB =1DC =AD =45DAB ∠=︒BD F 在线段上，且，，则（ ）AC 12BE BD →→=13CF CA →→=AE DF →→⋅=A ．B ．C ．D ．234323-43-【答案】A【分析】将视为基底，表示出运算即可 ,AD AB →→AE DF →→⋅【详解】，，，14AC AD DC AD AB →→→→→=+=+111334CF CA AD AB →→→→⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭11()22BE BD AD AB →→→→==-，，1122AE AB BE AD AB →→→→→=+=+111111443436DF DC CF AB CF AB AD AB AD AB →→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭.22111111122236612123AE DF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+=-+-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.二、多选题9．若直线不平行于平面，则下列结论不成立的是（ ） a αA ．内所有的直线都与异面 B ．内不存在与平行的直线 αa αa C ．内所有的直线都与相交 D ．直线与平面有公共点αa a α【答案】ABC【分析】直线不平行于平面，可得或与平面相交．据此可判断出结论． a αa α⊂a α【详解】直线不平行于平面，可得或与平面相交． a αa α⊂a α对于A ：直线与平面内的直线相交、平行或为异面直线，故A 错误； a α对于B ：当时，平面内存在与直线平行的直线，故B 错误； a α⊂αa 对于C ：当时，内的直线可能与平行，故C 错误； a α⊂αa 对于D ：直线与平面有公共点，故D 正确． a α故选：ABC ．10．下列四个等式中正确的有（ ）A ．B ． 1sin 62cos32cos 62sin 322︒︒-︒︒=sin 75cos 75︒︒=C ．D1tan 751tan 75+︒=-︒1=【答案】AD【分析】由正弦函数的差角公式可判断选项A ；由正弦的二倍角公式可判断选项B ；由正切的和角公式可判断选项C ；由辅助角公式结合直线的二倍角公式可判断选项D. 【详解】，A 正确； 1sin 62cos32cos 62sin 32sin 302︒︒-︒︒=︒=，B 错误；C 错误；11sin 75cos 75sin15024︒︒=︒=1tan 75tan 45tan 75tan1201tan 751tan 45tan 75+︒︒+︒==︒=-︒-︒︒，D 正确．2sin 40cos 40sin 801cos10sin 80︒︒︒===︒︒故选：AD11．已知向量，将绕坐标原点分别旋转，，到，，OP = OPO 30-︒30︒60︒1OP 2OP 3OP 的位置，则（ ） A ． 12OP OP ⋅=B ．112PP PP =C ．312OP OP OP OP⋅=⋅D．点坐标为 1P 【答案】CD【分析】设，根据三角函数的定义得到，，依题意画出图形，即可得到夹角，xOP θ∠=cos θsin θ根据数量积的定义判断A 、C ，利用余弦定理求出，即可判断B ，再根据两角差的正、余弦公1PP式判断D.【详解】已知向量，将绕坐标原点分别旋转，，到，，OP =OPO 30-︒30︒60︒1OP 2OP的位置，3OP设，则，，，xOP θ∠=cos θ=sin θ=130POP ∠=︒230P OP ∠=︒2330P OP ∠=︒对于A ，，即A 错误； 12121211cos ,1122OP OP OP OP OP OP ⋅==⨯⨯=对于B ，，即B 错误；=121PP = 对于C ，，，即，即选项C 正确； 3111122OP OP ⋅=⨯⨯= 12111122OP OP ⋅=⨯⨯= 312OP OP OP OP ⋅=⋅对于D ，由 1cos(30)sin 2θθθ-︒+1sin(30)cos 2θθθ-︒=-即点坐标为，即选项D 正确． 1P 故选：CD ．12．在中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，若ABC A sin sin sin sin a A b B c C b C -=-4b c +=，则a 的值可以为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】AB【分析】根据正弦定理，结合余弦定理、基本不等式与三角形内角的范围可得，再逐个选24a ≤<项判断即可【详解】由三角形三边关系，得到；由正弦定理得，即4a b c <+=222a b c bc -=-222b c a bc+-=，由余弦定理得，因为，所以，且，，所以2221cos 22b c a A bc +-==()0,πA ∈π3A =4b c +=22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以，当且仅当2222cos a b c bc A =+-()()22221344b c bc b c bc b c =+-=+-≥+=2a ≥2b c ==时，等号成立，故． 24a ≤<故选：AB三、填空题 13．已知（为虚数单位），则__________.()20212i iz -=i z =【答案】12i 55-+【分析】先求得，结合复数的运算法则，即可求解. 202150541i i i ⨯+==【详解】由的计算规律，可得，所以. i n 202150541i i i ⨯+==i 12i 2i 55z ==-+-故答案为：12i 55-+14．已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为__________.【分析】取上、下底面的中心，过点作，再利用条件和正四棱台的性质即可求出1,O O 1A 1A H AO ⊥结果.【详解】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连， 1111ABCD A B C D -1,O O 1O O因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以作11O A OA ==1A ，垂足为，则易知且，1A H AO ⊥H 11//A H O O 11A H O O =在Rt 中，，所以1A HA A 11AH OA O A =-=12A A =1A H ===..15．在中，内角的对边分别为，若，则__________. ABC A ,,A B C ,,a b c 2,7,33A a b π===ABC S =A【分析】利用余弦定理列出方程求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 5c =【详解】因为， 2,7,33A a b π===由余弦定理得，解得，22229491cos 262b c a c A bc c +-+-===-5c =所以. 11sin 3522ABC S bc A ==⨯⨯=A16．已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有()()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>0x x 成立，则的最小值为__________. ()()()002022πf x f x f x ≤≤+ω【答案】14044【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，分析可知是函数的最小值，()f x ()0f x ()f x 是函数的最大值，求出函数最小正周期的最大值，可求得的最小值. ()02022πf x +()f x ()f x ω【详解】因为())111cos2sin2sin2222f x x x x x ωωωω=++=πsin 23x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立， 0x 0x ()()()002022πf x f x f x ≤≤+则是函数的最小值，是函数的最大值， ()0f x ()f x ()02022πf x +()f x 因为，若使得最小，则函数的最小正周期取最大值， 0ω>ω()f x 且函数最小正周期的最大值为， ()f x 22022π4044π⨯=故的最小值为，则的最小值为. 2ω2π14044π2022=ω111220224044⨯=故答案为：. 14044四、解答题17．已知复数是纯虚数． ()()2i z m m m m =-+∈R （1）求实数的值；m （2）若复数满足，，求复数． ωz ω=2ωω+=ω【答案】（1）；（2）或．2m =1ω=+1ω=【分析】（1）由复数为纯虚数，可得，从而可求出的值；z ()200m m m ⎧-=⎨≠⎩m （2）由（1）知，令，由，，列方程可求出的值，从2i z =()i ,a b a b ω=+∈R z ω=2ωω+=,a b 而可求出复数ω【详解】解：（1）由复数为纯虚数，有，得．z ()200m m m ⎧-=⎨≠⎩2m =（2）由（1）知，令． 2i z =()i ,a b a b ω=+∈R 2=又由，得，有． ()()i i 22a b a b a ωω+=++-==1a =b =由上知或． 1ω=+1ω=18．已知向量，.(3,4)a =-(1,2)b = （1）设向量与的夹角为，求； a b θsin θ（2）若向量与向量垂直，求实数m .ma b - a b +【答案】（1；（2）0.【分析】（1）用夹角公式算出余弦值，进而算出正弦值；（2）向量垂直即数量积为0，进而求出m.【详解】（1）cos||||a babθ⋅====⋅∴sinθ===（2）若向量与向量垂直，则，ma b-a b+()()0ma b a b-⋅+=即，22(1)0ma m a b b+-⋅-=，，，2223(4)25a=+-=385a b⋅=-=-222125b=+=∴，解得：.255(1)50m m---=0m=19．某地帆赛举行之前，为确保赛事安全，海事部门举行安保海上安全演习.为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为2千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得，6分钟后该船行驶至B处，此时测得，30ADC∠=︒60ACB∠=︒，，求船的速度是多少千米/分钟.45BCD∠=︒60ADB∠=︒/分钟.【分析】先根据条件求出BD，BC再在△ACD中用正弦定理解出AC，最后在△ACB中，用余弦定理即可解出AB，进而求出速度.【详解】由已知条件可得中，，，Rt BCDA2CD=CD BD=∴，2BD=BC=在中，，，，ACDA45CAD∠=︒30ADC∠=︒2CD=由正弦定理，sin sinAC CDADC CAD=∠∠∴AC=在中，根据余弦定理可得，ACB△2222cosAB AC BC AC BC ACB=+-⋅⋅∠则， AC =BC =60ACB ∠=︒∴AB =∴/分钟v =20．已知函数的部分图象如图所示.()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<(1)求函数的解析式； ()f x (2)求函数的单调区间； ()f x(3)若的取值范围.()f x >x 【答案】(1)()2sin 2π23x f x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭(2)单调递增区间为；单调递减区间为；7πππ,π,1212k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z π5ππ,π,1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (3)ππ,π,6k k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z【分析】（1）根据图象得到最小正周期，进而得到，代入特殊点，求出，求出2π2Tω==23ϕπ=函数解析式；（2）利用整体法求解单调区间；（3）利用三角函数的图象及性质解不等式，得到答案.【详解】（1）由图知函数的最小正周期，所以， ()f x 2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭2π2T ω==又，所以.2sin 063ππf ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3π,3πππk k k ϕϕ+=∈=-Z 因为，所以， 0πϕ<<23ϕπ=所以；()2sin 2π23x f x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭（2）令，解得； π2ππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z 7ππππ,1212k x k k -≤≤-∈Z令，解得； π2π3π2π22π,232k x k k +≤+≤+∈Z π5πππ,1212k x k k -≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为()f x 7πππ,π,1212k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z π5ππ,π,1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）当， ()f x >22sin 23πx ⎛⎫+> ⎪⎝⎭可得，解得， 22222333πππππk x k +<+<+ππ,π6k x k k -<<∈Z 所以的取值范围为. x ππ,π,6k k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 21．已知向量，，，其中A 、B 、C 为的内(cos ,sin )m A B = (cos ,sin )n B A =- cos 2m n C ⋅= ABC A 角，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边.（1）求C ；（2）若，且，求c .2c a b =+cos 18ab C =【答案】（1）；（2）6. π3【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式结合二倍角公式，得到关于一元二次方程，求解cos C 即可；（2）由（1）结合已知得出，再由余弦定理，配方再将代入，得到关于的一元二次ab 2c a b =+c 方程，求解即可得出结论.【详解】（1），cos cos sin sin cos()m n A B A B A B ⋅=-=+ 对于，，ABC A πA B C +=-∴，∴.cos()cos A B C +=-cos m n C ⋅=- 又∵，cos 2m n C ⋅= ∴，22cos 22cos 1cos ,2cos cos 10C C C C C =-=-+-=，或（舍去） 1cos 2C =cos 1C =-又，； 0πC <<π3C ∴=（2）∵，，∴，2c a b =+cos 18ab C =36ab =由余弦定理，22222cos ()3c a b ab C a b ab =+-=+-∴，，224336c c =-⨯236c =∴.6c =22．已知锐角的内角的对边分别为. ABC A ,,A B C ,,a b c tan tan A B =+(1)求；B (2)若，求面积的取值范围.4c =ABC A 【答案】(1) π3(2)(【分析】（1sin cos cos C A B =，求得，即可求解；tan B =（2）由（1）和是锐角三角形，求得，利用三角形面积公式和正弦定理，得到ABC A 62C ππ<<，结合正切函数的性质，即可求解. 2a =【详解】（1=又由， sin sin tan tan cos cos A B A B A B +=+sin cos cos sin sin cos cos cos cos A B A B C A B AB +==， tan tan A B =+sin cos cosC A B =因为，可得，所以，(0,π)C ∈sin 0C >tan B =又因为，所以. ()0,πB ∈π3B =（2）解：因为是锐角三角形，由（1）知且，可得， ABC A π3B =πA B C ++=23+=A C π因为，所以， 20,0232πππC C <<<-<ππ62C <<由三角形面积公式得 1sin 2ABC S ac B ==A 又由正弦定理且， sin sin a c A C=4c =所以， 2π4sin sin 4sin 32sin sin sin C c A A a C C C ⎛⎫- ⎪⎝⎭====因为，所以，ππ62C <<tan C>228<<所以，即面积的取值范围为. ABC S <<△ABC A (。

2019-2020学年高一数学下学期期中试卷（含解析）(12)一.选择题，本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．420°是第几象限角（）A．第一 B．第二 C．第三 D．第四2．sin135°=（）A．1 B．C．D．3．150°=（）A．B．C． D．4． =（）A．1 B．C．D．5．已知sinα＞0，cosα＜0，则α是第（）象限角．A．第一 B．第二 C．第三 D．第四6．sin4α+sin2αcos2α+cos2α=（）A．1 B．cos2αC．2 D．sin2α7．已知tanα=﹣，且α是第二象限角，则cosα的值为（）A．B．C．D．8． =（）A．cosαB．sinαC．tanαD．09．函数y=2sin2x的最小正周期为（）A．4πB．3πC．2πD．π10．要得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=cosx的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度D．向下平移个单位长度二．填空题（每小题5分，请把正确答案写在横线上）11．函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．12．函数的最小正周期为．13．计算= ．14．函数y=sinx，x∈R的单调递增区间为．三、计算题（每小题10分）15．已知tanα=3，则的值．16．已知（1）求sin（2π﹣α）（2）求cos（2π+α）17．一个扇形的所在的圆的半径为5，该扇形的弧长为5（1）求该扇形的面积（2）求该扇形中心角的弧度数．2016-2017学年广东省东莞市北师大石竹附中国际班高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题，本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．420°是第几象限角（）A．第一 B．第二 C．第三 D．第四【考点】G3：象限角、轴线角．【分析】先将420°写成360°的整数倍加上一个0°到360°范围的角，再由此角的终边位置和象限角的定义进行判断．【解答】解：420°=60°+360°则420°角与60°角的终边相同，即是第一象限角，故选：A．2．sin135°=（）A．1 B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：sin135°=sin45°=．故选：C．3．150°=（）A．B．C． D．【考点】G5：弧度与角度的互化．【分析】根据π=180°，化简即可．【解答】解：150°=150×=．故选：D．4． =（）A．1 B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用特殊角的三角函数求解即可．【解答】解： =．故选：B．5．已知sinα＞0，cosα＜0，则α是第（）象限角．A．第一 B．第二 C．第三 D．第四【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的在不同象限的符号，判断即可．【解答】解：∵sinα＞0，∴α可能在：一、二象限．又∵cosα＜0，∴α可能在：二，三象限．综上可得：α在第二象限．故选：B．6．sin4α+sin2αcos2α+cos2α=（）A．1 B．cos2αC．2 D．sin2α【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．【解答】解：sin4α+sin2αcos2α+cos2α=sin2α（cos2α+sin2α）+cos2α=sin2α+cos2α=1．故选：A．7．已知tanα=﹣，且α是第二象限角，则cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值．【解答】解：∵tanα==﹣，sin2α+cos2α=1，且α是第二象限角，∴cosα＜0，sinα＞0，求得cosα=﹣，故选：D．8． =（）A．cosαB．sinαC．tanαD．0【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解： =sinα．故选：B．9．函数y=2sin2x的最小正周期为（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的周期公式求解即可．【解答】解：函数y=2sin2x的最小正周期：T=．故选：D．10．要得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=cosx的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，可得函数y=cos（x+）的图象，故选：A．二．填空题（每小题5分，请把正确答案写在横线上）11．函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤故答案为：12．函数的最小正周期为．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出函数的最小正周期．【解答】解：函数的最小正周期为：T==．故答案为：．13．计算= 2 ．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据特殊三角函数的值计算即可．【解答】解：sin=，cos60°=．tan=1，∴=2．故答案为：2．14．函数y=sinx，x∈R的单调递增区间为[，]．k ∈Z ．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】由正弦函数的图象及性质可得答案．【解答】解：函数y=sinx，x∈R．∵≤x≤是单调递增，∴单调递增区为[，]．k∈Z故答案为：[，]．k∈Z．三、计算题（每小题10分）15．已知tanα=3，则的值．【考点】GK：弦切互化．【分析】把分子分母同时除以cosα，把弦转化成切，进而把tanα的值代入即可求得答案．【解答】解：===故答案为：16．已知（1）求sin（2π﹣α）（2）求cos（2π+α）【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用诱导公式求出sinα．（1）直接利用诱导公式求sin（2π﹣α）的值；（2）由诱导公式及同角三角函数基本关系式求cos（2π+α）．【解答】解：由，得﹣sin，即sinα=．（1）sin（2π﹣α）=﹣sinα=；（2）cos（2π+α）=cosα==．17．一个扇形的所在的圆的半径为5，该扇形的弧长为5（1）求该扇形的面积（2）求该扇形中心角的弧度数．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】（1）根据扇形的面积S扇形=lr计算即可；（2）扇形中心角的弧度数为α=．【解答】解：（1）扇形的所在的圆的半径为r=5，弧长为l=5，则扇形的面积为：S扇形=lr=×5×5=；（2）扇形中心角的弧度数为：α===1．。

2019-2020年高一下学期期中考试数学试题含答案（总分：100分 时间：100分钟）第I 卷（选择题，共40分）一．选择题（本题共40分，每小题4分）1. s in 390的值等于 （ ）A.12B.12-C.2D.2-2. 已知角α的终边经过一点(5,12)M ，则c o s α的值为 （ ）A ．1213B ．1C ．125D ．5133.若α为第三象限角，则点(s in ,ta n )P αα 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 若ta n 3α=，4ta n 3β=，则t an ()αβ-等于 （ ）A.3-B.3C.13- D.135. s in 15c o s 15⋅o o（ ）A.14B.4C.12D.26.函数22co s sin y x x=-的最小正周期是（ ）A.π2B. πC.4πD.2π7. c o s 20c o s 40s in 20s in 40-的值等于（ ）A.14B.2C.12D.48. 已知向量,a b 的夹角为3π，且1,42a b ==，则a b ⋅的值是 （ ）A ． C ．2 D ．1 9．已知(,a x=,(3,1)b =, 且a b⊥, 则x等于( )A ． 9B ．－9C ．－1D ．110．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图，此函数的解析式为 （ ）A.)322sin(2π+=x yB.)32sin(2π+=x y C.)32sin(2π-=x yD.)32sin(2π-=x y第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二．填空题（本题共32分，每小题4分）11. 若s in 3θ=,(,)2θπ∈π，则ta n θ= 。

12. 若ta n 2θ=，则c o s s in s in c o s θθθθ-=+ 。

13. y =s in 2x ,6π把函数的图象向右平移个单位长度再向下平移1个单位长度后所得图象的解析式是 。