湖南省郴州市苏仙区八年级数学上册 第8讲 三角形(2)培优湘教版

FDC(例4题图)(第1题图)B C 第7讲 三角形（1）姓名：________一、知识点1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的基本要素：三条边、三个内角、三个顶点. 如图所示的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”.2.三角形的分类：①按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形； ②按边分为：不等边三角形和等腰三角形.3.三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边.4.三角形的内角和性质：三角形的内角和等于180°.5.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角. 三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形外角和性质：三角形的外角和等于360°.二、典型例题【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________. 【变式题组】01．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.02．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长. 【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( )A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC FG 是△EFC 的中线，若S △GFC ＝1cm 2，则S △ABC ＝______________. 【变式题组】 01．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.02．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________. 03．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB 的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.【变式题组】 01．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.02．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________. 03．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________. 【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ． 则∠BOC ＝ ______________. 【变式题组】 01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.02．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝01．A ．5个B ．D ．8个 02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 03．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 04．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________. 09．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________. 10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________.CB A(第2题图)C(第3题图)C12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________. 13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ， ∠DAE ＝13∠BAC ，求∠BAC 的度数 14．在△ABC 中，AB=9，BC=2，并且AC 为奇数，求△ABC 的周长.四、课外作业01．已知x 为整数，那么以3，x ，10为三边可能组成的三角形的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 5个 D. 7个02．在△ABC 中，∠A=3∠B ，∠C 比∠B 大15°，则∠A 的度数为（ ） A. 35° B. 95° C. 85° D. 75°03．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 04．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，则此三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 05．如图，直线AB ∥CD ，∠A=70°，∠C=40°，则∠E 等于（ ） A ．30° B ．40° C ．60° D ．70°06．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ） A ．90° B ．100° C ．130° D ．180°07．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）A ．∠A=∠1+∠2B ．∠A=∠2﹣∠1C ．2∠A=∠1+∠2D ．3∠A=2（∠1+∠2）08．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=（ ）A ．315°B ．270°C ．180°D ．135°09. 已知△ABC 的三边边长分别为a ，b ，c ，化简：+a b c b c a c a b -----+(第13题图)E AC21CBA。

17~18学年·八年级第一次段考数学试卷（培优卷）时量：110分钟满分：班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________注意事项：本段考不采用扫描阅卷，请同学们保持书写整洁！一、单选题（每题3分，计30分）1．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两条直角边对应相等2．下面的语句正确的有（）①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③一锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个3．AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论不一定正确的是（）A．DE=DF B．BD=CDC．AE=AF D．∠ADE=∠ADF第三题第四题第五题4．如图，O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，AC=5，BC=12，OD等于（）A．2 B．3 C．15．如图，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA 交AC于E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD的长（）A．10cm B．5cm C．3cm D．7cm6．直角三角形ABC中两锐角的平分线AD、BE的交点为P，则∠APB的度数为（）A．45°B．120°C．90°D．135°7．直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（）A．150 B．135C．120 D．120或1358．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点D、E分别为BC、AC的中点，则DE=（）A．4 B．5 C．8 D．2.59．如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，若BC=6，则AB等于（）A．2 B．3 C．9 D．1210．如图，AD，BE为△ABC的两条高，∠1=30°，则下列结论不正确的是（）A．AC=2CD B．BC=2CE C．CD=CE D．AF=2EF第八题第九题第十题二、填空题（每题3分，计30分）11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，∠BAC=60°，则BC=_______cm．12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，则△DEB的周长_______．第11题第12题第13题13.如图，在△ACB中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的角平分线交于点D，AC=3，BC=4，AB=5，则点D到AB的距离为1，则△ABC面积= ．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，若AB=24，则CD的长是________．第14题第16题第17题15.若直角三角形中两边的长分别是8cm和5cm，则斜边上的中线长是_____．16.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△BDC=36平方厘米，BC=12cm，则DE的长是_____cm．17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=9cm，BD=6cm，那么点D到直线AB 的距离是____cm．18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB；DE⊥AB于E，若AC=8，则AE=______．第18题第19题第20题19.如图，∠A=90°，AB=AC，BC=30cm，则△ABC的面积为______．20.如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB、∠BOD的平分线，若∠AOC=25°，则∠BOE=______．三、解答题（21题8分，22题8分，23题4分，计20分）21.已知中，，为边上的高，平分，分别交，于点，，求证：．22.如图，在中，是的平分线，，分别为，上的点，且．求证：．23.如图所示，，相交于点，且，，求证：．四、探究创新题（第①题5分，第②题2+8分，第②题5分，计20分）24.CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE______CF；EF______|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件______，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）17~18学年·八年级第一次段考数学试卷（培优卷）·参考答案1.考点：1．3直角三角形全等的判定试题解析：A、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意；B、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；D、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意．故选B．答案：B2.考点：1．3直角三角形全等的判定试题解析：①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可利用SAS定理进行判定，说法正确；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；③一锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等，可利用AAS进行判定，故此说法正确；④一锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等，可利用AAS进行判定，故此说法正确；故选：C．答案：C3.考点：1．4角平分线的性质试题解析：如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，只有AB=AC时，BD=CD．综上所述，结论错误的是BD=CD．故选B．答案：B4.考点：1．4角平分线的性质试题解析：作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，由勾股定理得，AB=13，∵O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，∴OD⊥BC于D，又OE⊥AC，OF⊥AB，∴OD=OE=OF，∴×AC×BC=×AC×OE+BC×OD+AB×OF，解得，OD=2，故选：A．答案：A5.考点：1．4角平分线的性质试题解析：作MF⊥AC于F，∵ME∥BA，∴∠MEF=∠BAC=30°，∴MF=ME=5cm，∵AM是∠BAC的平分线，MD⊥BA，MF⊥AC，∴MD=MF═5cm，故选：B．答案：B6.考点：1．1直角三角形的性质和判定（1）试题解析：在Rt△ABC中，∠BAC+∠ABC=90°，∵AD、BE分别是两锐角的平分线，∴∠PAB+∠PBA=（∠BAC+∠ABC）=×90°=45°，在△APB中，∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=180°﹣45°=135°．故选D．答案：D7.考点：1．1直角三角形的性质和判定（1）试题解析：直角三角形中，两锐角三角形度数和为90°，则两锐角的各一半度数和为45°，根据三角形内角和为180°，可得钝角度数为135°，故选B．答案：B8.考点：1．2直角三角形的性质和判定（2）试题解析：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，又E为AC的中点，∴DE=AC=4，故选：A．答案：A9.考点：1．2直角三角形的性质和判定（2）试题解析：因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A为x，∠B为2x，∠C为3x，可得：x+2x+3x=180°，解得：x=30°，所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∵BC=6，∴AB=2BC=12，故选D答案：D10.考点：1．2直角三角形的性质和判定（2）试题解析：∵AD，BE为△ABC的两条高，∴∠ADC=∠AEF=∠BEC=90°，∵∠1=30°，∴AC=2CD，BC=2CE，AF=2EF，∵AC≠BC，∴CD≠CE，故选C．答案：C11.考点：1．4角平分线的性质试题解析：△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE=3cm，∴DE=DC=3cm，∠BED=90°，∴BD=2DE=6cm，∴BC=BD+CD=6cm+3cm=9cm，故答案为：9．答案：912.考点：1．4角平分线的性质试题解析：∵∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∴BE=AB﹣AE=AB﹣AC=10﹣8=2cm，∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=6+2=8cm．故答案为：8．答案：813.考点：1．4角平分线的性质试题解析：作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DG⊥AC于G，∵∠CAB与∠CBA的角平分线交于点D，点D到AB的距离为1，∴DF=DG=DE=1，∴S△ABC=×AB×1BC×1AC×1=6，故答案为：6．答案：614.考点：1．2直角三角形的性质和判定（2）试题解析：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=3，∴CD=AB=12，故答案为：12．答案：1215.考点：1．2直角三角形的性质和判定（2）试题解析：①8cm的边是斜边时，斜边上的中线长=×8=4cm，②8cm的边是直角边时，根据勾股定理，斜边==cm，斜边上的中线长=×=cm．故答案为：4cm或cm．答案：4cm或cm16.考点：1．4角平分线的性质试题解析：作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∴×BC×DF=36，∴DE=DF=6，答：DE的长为6，故答案为：6答案：617.考点：1．4角平分线的性质试题解析：过D作DE⊥AB于E，∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，∴CD=DE，∵BC=9cm，BD=6cm，∴DE=CD=BC﹣BD=3cm答案：318.考点：1．4角平分线的性质试题解析：∵∠C=90°，AD平分∠CAB；DE⊥AB于E，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC=8．故答案为：8．答案：819.考点：1．2直角三角形的性质和判定（2）试题解析：已知在△ABC中，∠C=90°，AB=AC，BC=30cm，根据勾股定理得：BC2=AB2+AC2，即2AB2=302∴AB2=450，所以△ABC的面积为：AC•AB=AB2=×450=225cm2．答案：225cm220.考点：1．4角平分线的性质试题解析：由题意知：∠AOB=2∠AOC=50°∵∠AOB+∠BOD=180°∴∠BOD=130°∴∠BOE=∠BOD=65°．答案：65°21.考点：1．1直角三角形的性质和判定（1）试题解析：，，，．平分，，，，．答案：见解析22.考点：1．4角平分线的性质试题解析：如图，过点作于点，于点．平分，．，，．，．．在和中，．．答案：见解析23.考点：1．3直角三角形全等的判定试题解析：如图，连接．在和中，（），．答案：见解析24.考点：1．3直角三角形全等的判定试题解析：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|CF﹣CE|=|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF ﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．（2）猜想：EF=BE+AF．证明过程：∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°，∴∠BCE=∠CAF，又∵BC=CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE=CF，EC=FA，∴EF=EC+CF=BE+AF．答案：（1）①BE=CF；EF=|CF﹣CE|=|BE﹣AF|．②∠α+∠BCA=180°．（2）猜想：EF=BE+AF．。