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第二章 波函数 Schrodinger 方程剖析

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第二章 波函数和 Schrodinger 方程

第二章 波函数和 Schrodinger 方程

第二章 波函数和 Schrodinger 方程§1 波函数的统计解释__量子力学的第一条假设:量子状态公设一个微观粒子的状态可以由波函数来描述，波函数的模方为为粒子的概率密度，波函数满足归一化条件。

简言之:波函数完全描述微观粒子状态(一）波函数描写自由粒子的平 面 波 称为 de Broglie 波。

此式称为自由粒子的波函数。

如果粒子处于随时间和位臵变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量，粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：，它通常是一个复函数。

如果用波函数描述粒子状态，则必须解决3个问题？ (1) ψ 是怎样描述粒子的状态？ (2) ψ 如何体现波粒二象性的？ (3) ψ 描写的是什么样的波呢？ （二）波函数的解释波函数对微观粒子的描写统一了粒子性与波动性的关键在于波函数的统计解释：如果微观粒子的波函数是 则某一时刻粒子出现在位臵r 处,体积元dV 中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。

exp ()iA Et ⎡⎤ψ=∙-⎢⎥⎣⎦p r (,)t ψr (,)t ψr()2,,,dW x y z t dV=ψ概率密度/dW dV所以， 与经典物理学中的波动不同，它不是某种实际的物理量振幅在空间的分布，而只是一种几率振幅。

波函数Ψ(x,y,z,t )的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t 在空间某点(x,y,z )附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。

波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。

由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。

玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。

玻恩假定： 描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”，而 则表示概率密度例题1：电子的自由平面波波函数在空间各点发现光子的概率相同 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流干涉花样取决于概率分布，而概率分 布是确定的。

阐述斯勒茨基方程并加以简要评论

阐述斯勒茨基方程并加以简要评论

阐述斯勒茨基方程并加以简要评论斯勒茨基方程（英文名：Schrodinger equation）是量子力学中描述非相对论性粒子运动的基本方程之一。

通过斯勒茨基方程，我们可以计算出粒子在给定势能场中的波函数和能量。

本文将详细阐述斯勒茨基方程的推导过程，并对其进行简要评论。

斯勒茨基方程的推导基于经典波动方程和量子力学的波粒二象性。

首先，我们从经典波动方程开始推导。

根据波动理论，波函数所满足的波动方程可以表述为：（▽² - 1/c² ∂²/∂t²) Ψ = 0其中，▽²是拉普拉斯算符，c是光速，Ψ是波函数。

接下来，我们引入量子力学的波粒二象性，将粒子的质量m和动量p关联起来：p = mv，其中v是粒子的速度。

进一步，我们利用物质波的波长与动量之间的关系（德布罗意关系）将波函数表示为：Ψ = A exp(i(k·r - ωt))，其中A是振幅，k是波矢，r是位置矢量，ω是角频率。

将波函数Ψ代入波动方程中，并根据动量和能量的关系E =(ℏ²k²)/(2m)（其中ℏ是普朗克常量除以2π），我们可以得到经过推导后的斯勒茨基方程：iℏ (∂Ψ/∂t) = (-ℏ²/2m) ▽²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常量，V是势能场。

斯勒茨基方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间和空间的变化。

斯勒茨基方程的物理意义非常重要。

首先，方程中的波函数Ψ代表了描述粒子的概率幅振幅，平方模的积分给出了找到粒子在空间中某一位置的概率分布。

其次，方程右侧第一项表示了波函数与时间导数的关系，即波函数随时间的演化。

而方程右侧第二项是动能的贡献，描述了粒子在势能场中的运动。

最后，方程右侧第三项与势能V有关，它是描述势能场对波函数的影响。

通过求解斯勒茨基方程，我们可以得到波函数的解析表达式，从而进一步计算出粒子的能量和概率分布。

第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件

第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件
第二章 波函数与薛定谔方程
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律

波函数

波函数

写成分量形式
p(r )
i [ p•r]
Ae
px
( x) py ( y) pz
(z)
A e A e A e i [
px
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
(
px
px )
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
e i [
2. 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连
续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的 大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增 加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚 集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一 些量子现象。
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。
(ax) 1 ( x)
作代换：px x，px x0，则
|a|
f ( x) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
(
px

波函数及薛定谔方程详解课件

波函数及薛定谔方程详解课件

03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
CATALOGUE
总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。

schrodinger方程

schrodinger方程

Schrödinger方程简介Schrödinger方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了量子系统的演化和波函数的行为。

由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，因此也被称为薛定谔方程。

Schrödinger方程是一个偏微分方程，用于描述粒子在势场中的运动。

它以波函数（或称为量子态）作为基本变量，并通过该波函数来计算粒子在不同位置和时间的概率分布。

通过解析或数值方法求解Schrödinger方程，我们可以得到粒子在不同状态下的能量、位置以及其他物理性质。

方程形式Schrödinger方程可以根据系统的性质和假设而有所不同。

下面是一般形式的时间依赖Schrödinger方程：其中，•ψ是波函数，表示粒子在空间中的状态；•i是虚数单位；•ℏ是约化普朗克常数；•∂ψ/∂t表示波函数随时间的变化；•H是哈密顿算符，描述了系统的总能量。

这个方程可以看作是对经典力学中的哈密顿-雅可比方程的量子化。

波函数解释波函数ψ是Schrödinger方程的解，它包含了关于粒子位置和动量的所有信息。

根据波函数的模值平方|ψ|^2，我们可以计算出粒子在不同位置上的概率分布。

这意味着波函数并不直接表示粒子的位置，而是给出了可能找到粒子在某个位置上的概率。

由于波函数是复数，我们无法直接观测到它。

但是通过测量物理量（如能量、动量等），我们可以得到与波函数相关的实际结果。

哈密顿算符哈密顿算符H在Schrödinger方程中起着关键作用。

它描述了系统的总能量，并且根据系统性质和假设有不同形式。

例如，在自由粒子情况下，哈密顿算符可以写为动能项和势能项之和：其中，•T表示动能算符；•V表示势能。

通过将哈密顿算符应用于波函数，我们可以得到Schrödinger方程的具体形式，并进一步求解波函数。

解Schrödinger方程求解Schrödinger方程是理解量子力学中物理系统行为的关键。

苏汝铿量子力学讲义第二章波函数和Schroinger方程

➢ 一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征函数性质,以x趋近正无穷大为例
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征谱性质
•
振荡解,连续谱,二度简并,散射态
•
指数衰减解
振荡解
本征谱连续,无简并,非束缚态解
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
• 简并
两端均指数衰减,束缚态解,分立谱,无
➢ 多粒子体系的推广
§2.1 波函数的统计解释
▪ 动量几率分布函数 =>Fourier变换频谱 展开
§2.1 波函数的统计解释
➢
可描写体系状态,
也可描写体系状态
是同一个态,不同自变量
§2.1 波函数的统计解释
➢
代表在
出现单色平面波
态中,
的几率
§2.1 波函数的统计解释
➢ 处在
的粒子,动量无确定值
2 2
2n 1
n 0,1,2,
H
n
2
n
nn
12
n2
nn
1n
2!
2n
3
2
n4
n
1 2
n!
2 n2
n 2
n 2
!
{ n
2
n/2
n 1/ 2
(n为偶数)
n为奇数
En
n
1 2
n 0,1,2,
En1 En
E0
1 2
1 2x2
n x Nne 2 Hn x
§2.3 薛定谔方程
➢ 力学量用算符表示 ➢ 两个惯例
1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变 例:二维极坐标下的薛定谔方程

schr¨odinger 方程式

schr¨odinger 方程式
Schrödinger方程式是量子力学中描述粒子的波函数演化的基本方程。

由奥地利物理学家Erwin Schrödinger于1925年提出。

Schrödinger方程式的一般形式为:
ĤΨ = EΨ
其中Ĥ是哈密顿算符（描述粒子的总能量），Ψ是波函数，E是对应的能量本征值。

Schrödinger方程式描述了波函数Ψ如何随时间和空间坐标的变化而变化。

它是一个偏微分方程，波函数Ψ通过求解该方程可以得到粒子的概率分布以及相应的能量本征值。

Schrödinger方程式是量子力学中的基本方程之一，在解释原子结构、分子特性、粒子在势场中运动等问题上都起着重要的作用。

它为我们理解微观世界提供了一个数学框架，并通过波函数的模的平方来描
述粒子的概率分布。

需要注意的是，Schrödinger方程式是非相对论量子力学的基本方程，适用于描述非相对论性粒子的行为。

而对于高能和高速运动的粒子，相对论量子力学需要借助于其他方程，如狄拉克方程式。

量子力学第2章 波函数与Schrodinger方程-1

两种模糊认识：
1. 波由粒子组成
如水波，声波等 矛盾：不能解释长时间单个电子衍射实验 反例：氢原子
2. 粒子由波组成
粒子的运动速度即波包的群速度
d k k 矛盾： v g dk m
反例：自由粒子
3
波包发散
3
2.1.2．几率波，多粒子系的波函数
电子究竟是什么东西呢？ 是粒子？还是波？
经典概念 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
1. 扫描电子显微镜
17
SEM
17
电子显微镜下的 流行感冒病毒
18
电子显微镜下 的乙肝病毒
18
电子显微镜下的花粉
19
19
电子显微镜下的灯泡钨丝
20
20
电子显微镜下的光盘表面
21
21
电子显微镜下放大50k倍才观察到碳纳米管的真面目 22
22
2. 扫描隧道显微镜
STM
23
23
0 10
30
50
70
90
(nm)
24
硅晶体表面的STM扫描图象
24
神经细胞的STM扫描图象
25
25
操纵单个原子写出的“100”、“中国”
26
26
镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫 描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形 成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。
27
27
1959年费曼的演讲《在底部还有很大的空间》
15 15
波函数的意义
2 r , t r , t r , t :几率密度
z
Ψ dV
t 时刻，在 r 端点处单位体
积中发现一个粒子的几率。

量子力学chapter2-薛定谔方程解析

平面波归一化以后讨论
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
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§2 波函数和薛定谔方程
本章内容
§2.1 波函数的统计解释
§2.1
§2.2 态迭加原理
§2.2
§2.3 薛定谔方程
§2.3
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2.4
§2.5 定态薛定谔方程
§2.5
§2.6 一维无限深势阱
§2.6
§2.7 线性谐振子
§2.7
§2.8 势垒贯穿
§2.8
第二章小结
小结
足
2
(r,t) d 1
（4） 如果Ψ (r , t ) 没有归一化，而函数本身含有不定常数， 可以采用如下方法归一化（实际计算常用方法）
2
| (r ,t) | d 1
从而定出中的不定常数
具有波动性
证明1：单电子衍射
电子一个一个的 入射，经过足够 长的时间，在屏 幕上形成衍射图 样。
证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理 解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳 定性以及能量量子化这样一些量子现象。
错误的根源：
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面， 而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
（2）若 Ψ (r , t ) 没有归一化,∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大
于零的常数），则有
∫∞ |A-1/2 Ψ (r , t )|2 dτ= 1
也就是说，A-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数，
与Ψ (r,t )描写同一几率波，A-1/2 称为归一化因子。
（3）令Φ(r,t)=A-1/2Ψ (r , t ) 则 Φ(r,t)为归一化的波函数，满
-----反映微观粒子运动的一种统计规律性
其中|Ψ (r)|2= Ψ Ψ* =
|Ψ (r)|2 表示粒子出现在 r 点附近几率的大小，
|Ψ (r)|2 ΔxΔyΔz 表示在 r 点处，体积元 ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。
三、波函数的性质
1. 几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
一定位置和速度
经典概念中 波：
1.实在的物理量的空间分布作周期性 的变化
2.干涉、衍射现象，即相干叠加性
（2）Born 波函数的统计解释 几率波
我们再看一下电子的衍射实验
➢ 大量电子一
方 法 一
次入射,立即 在屏幕上形 成衍射图样。
电子一个一个的 方 入射，经过足够 法 长的时间，在屏 二 幕上形成同样的
一、波函数
问题:
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
二、波函数的解释
（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成 如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
结论：这种看法是与实验矛盾的
原因：它不能解释长时间单个电子衍射实 验---单个电子就
所以，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一几率波，
因而波函数有一常数因子不定性。
由于粒子在全空间出现的几率等于1，所以粒子在空间 各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相 对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函 数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变。
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代 表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。
衍射图样。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：
许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一
个电子在许多次相同实验中的计结果。
解释：在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。
波动性观点：亮处—到达该处电子波的强度大 暗处—到达该处电子波的强度小
粒子性观点：亮处—单位时间内到达该处的电子数多 暗处—单位时间内到达该处的电子数少
统计的观点：亮处—电子到达该处的概率大 暗处—电子到达该处的概率小
波函数的统计解释--量子力学的基本原理
描述微观粒子的状态用波函数Ψ (r)表示。波函数在 空间某一点的强度（振幅绝对值的平方|Ψ (r)|2 ） 和在该点找到粒子的几率成比例—几率波
2. 粒子由波组成 电子衍射动画
波包：波包是各种波数（长）平面波的迭加。
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出 干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子的运动速度。
结论：这种看法与实际相矛盾
原因：平面波描写自由粒子，其特点是充满 整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。 如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整 个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛 盾。
证明：实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不 是经典的粒子也不是经典的波 但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也 是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。”
经典概念中 粒子：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性 2.有确定的运动轨道，每一时刻有
（1）在t时刻，r点，dτ= dxdydz体积内，找到由波函数 Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：
dW(r,t) = C|Ψ(r,t)|2 dτ，
其中，C是比例系数。
（2）在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是 ω(r,t)={dW(r,t)/dτ} = C|Ψ(r,t)|2 --几率密度
（3）在体积V内t时刻找到粒子的几率为：
若
∫∞|Ψ(r,t)|2dτ , 则 C 0, 这是没有意
义的。
3.归一化波函数
（1）Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描写状态的相对 几率是相同的---描述同一状态
因为在t时刻，空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是：
2
2
C(r1, t) (r1, t)
C(r2 , t)
(r2 , t)
W(t)=∫V dW =∫Vω(r,t)dτ= C∫V|Ψ(r,t)|2 dτ
2. 平方可积
由于粒子一定出现在空间中（不讨论粒子产生和湮灭 情况），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即：
C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ= 1,
从而得常数 C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是 绝对值平方可积的函数