拓展材料：如何进行多项式除以多项式的运算

多项式除多项式除法长除法介绍多项式除法是数学中的一个重要概念，它用于将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。

多项式除法长除法是一种常用的计算方法，用于解决多项式除法问题。

本文将详细介绍多项式除法长除法的步骤和原理，以及如何应用它来解决实际问题。

多项式除法的定义多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。

在多项式除法中，被除数是一个多项式，除数是另一个多项式。

多项式是由若干项组成的代数表达式，每一项包含一个系数和一个指数。

多项式除法长除法的步骤多项式除法长除法是一种逐步计算的方法，通过逐步减少被除数的次数，最终得到商和余数。

下面是多项式除法长除法的步骤：1.将被除数和除数按照指数的降序排列。

2.将被除数的最高次项与除数的最高次项进行除法运算，得到商的最高次项。

3.将得到的商的最高次项与除数相乘，得到一个新的多项式。

4.将新的多项式与被除数进行减法运算，得到一个新的被除数。

5.重复步骤2至步骤4，直到新的被除数的次数小于除数的次数。

6.此时，新的被除数即为余数，所有得到的商的系数按照降序排列，即为最终的商。

多项式除法长除法的原理多项式除法长除法的原理基于整数除法的原理。

在整数除法中，我们将被除数除以除数，得到商和余数。

同样，在多项式除法长除法中，我们将被除数除以除数，得到多项式的商和余数。

多项式除法长除法的步骤是逐步减少被除数的次数，每一步都相当于一次整数除法运算。

通过多次整数除法运算，我们可以得到多项式的商和余数。

多项式除法长除法的应用多项式除法长除法在数学和工程领域有广泛的应用。

下面是一些常见的应用场景：1.多项式求导：通过多项式除法长除法，我们可以求得多项式的导数。

将多项式除以x的幂，得到导数的多项式。

2.多项式插值：通过多项式除法长除法，我们可以将已知点的坐标插值为一个多项式。

将已知点的坐标作为被除数，插值多项式的系数作为除数，进行多项式除法长除法运算，得到插值多项式的系数。

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1 ）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式= 除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算(x29 x20)( x4)规范解法∴ ( x 29x20)(x4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20 ，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用 5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x4 相乘，得5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，(x 29x20)( x4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220x3) (2x2x5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x3) ( 2x2x 5)3x33x26x1余9x 2 ．注①遇到被除式或除式中缺项，用0 补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x47x220x3) ( 2x2x5)3x 3 3x 26x 1 余9x 2 ．8．什么是综合除法？由前面的问题 4 我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为 1 时，情况比较特殊．如：计算 ( 2x 33x 4) ( x 3) ．因为除法只对系数进行，和 x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（ 2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21 和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是 1，所以余式的首项系数6、 21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（ 2）就简化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数 3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为 1．例 1 用综合除法求 x43x 3 3x 2 3x 12除以 x 1的商式和余式．规范解法∴商式x 3 2x 2 x2 ，余式＝ 10．例 2 用综合除法证明 2x 515x 3 10x 2 9 能被 x 3 整除．规范证法这里 x3 x ( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补 0．）因余数是 0，所以2x 5 15x 3 10 x 2 9 能被 x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成1 以后才能用综合除法．．例 3 求 2x 3x 7 除以 2x 1的商式和余数．规范解法把 2x1除以 2，化为 x1，用综合除法．23但是，商式2x 2x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴商式x 2 1 x 3 ，余数73．24 4为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用 2x3x 7 除以 x 1 ，得商式 2x2x3 ，余数为 73，即224∴2x3x 3x 1 2x2x3732242x 1 x21 x 3 73．2 44即 2x3x 3 除以 2x1的商式 x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

如何进行多项式除以多项式的运算多项式除法是数学中的一种计算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，并得到商式和余式。

本文将介绍多项式除法的基本概念、步骤和示例，并探讨在实际问题中如何应用多项式除法。

1.多项式的基本概念：多项式是由数与变量的乘积相加而成的表达式。

它通常写成形如f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0的形式。

其中，a_n到a_0是多项式的系数，x是多项式的未知数，而n是多项式的次数。

多项式可以表示为单项式的和，而单项式是只有一个项的多项式。

2.多项式除法的步骤：多项式除法的基本步骤可以归纳为以下四个部分。

（1）确定除式和被除式：首先，要确定需要进行除法运算的多项式中的除式和被除式。

被除式是需要被除以的多项式，而除式是用来除以被除式的多项式。

（2）确定商的项数：接下来，需要确定商式的项数。

商式的项数应该比被除式的项数少一个，因为除法运算的结果通常包含一个余式。

（3）进行除法运算：按照一般的除法步骤，从左到右依次进行多项式的除法运算。

首先，将被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。

然后，将商式的第一项乘以除式，并将结果减去被除式的第一项。

这个结果成为一个新的被除式，然后继续用这个新的被除式进行下一步的除法运算。

重复这个过程，直到无法再进行除法运算为止。

（4）确定余式：当无法再进行除法运算时，最后得到的结果即为余式。

余式是多项式除法的结果，它是除不尽的部分。

3.多项式除法的示例：为了更好地理解多项式除法，我们来看一个具体的例子。

假设有以下的多项式需要进行除法运算：被除式：f(x)=2x^3-4x^2+3x+9除式：g(x)=x-1我们按照多项式除法的步骤，进行以下计算。

（1）确定除式和被除式：被除式：f(x)=2x^3-4x^2+3x+9除式：g(x)=x-1（2）确定商的项数：被除式有三项，所以商式应有两项。

（3）进行除法运算：a)将被除式的第一项除以除式的第一项：(2x^3)/(x)=2x^2b)将商式的第一项乘以除式，并减去被除式的第一项：(2x^2)(x-1)=2x^3-2x^22x^3-2x^2-(2x^3-4x^2)=2x^3-2x^2-2x^3+4x^2=2x^2+4x^2=6x^2c)得到新的被除式：6x^2+3x+9d)重复上述步骤，直到无法再进行除法运算：(6x^2)/(x)=6x(6x)(x-1)=6x^2-6x6x^2-6x-(6x^2+3x)=6x^2-6x-6x^2-3x=-9x最后得到的余式为-9x。

如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．。

多项式除以多项式方法多项式除以多项式是高中数学中的一个重要概念和计算方法。

在代数学中，多项式是由一个或多个变量以及它们的系数和指数的和组成的表达式。

多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，并得到商和余数的过程。

我们来回顾一下多项式的基本概念。

一个多项式可以写成如下形式：f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0为常数，x为变量，n为非负整数。

多项式的次数是指最高次项的指数，记作deg(f)。

如果一个多项式的系数都为0，那么它是一个零多项式。

多项式除法的目的是将一个多项式f(x)除以另一个多项式g(x)，并得到商q(x)和余数r(x)。

可以表示为f(x) = g(x)·q(x) + r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。

商q(x)和余数r(x)可以通过多项式除法算法来求解。

多项式除法的算法可以通过长除法的思想来理解。

首先，我们将被除式f(x)和除式g(x)按照次数从高到低排列，并对齐各项的同类项。

然后，从最高次项开始，将f(x)的最高次项除以g(x)的最高次项，得到一个部分商。

将这个部分商乘以g(x)，得到一个中间结果，并将其与f(x)相减，得到一个新的多项式。

重复这个过程，直到新的多项式的次数小于g(x)的次数为止。

通过多项式除法，我们可以得到商和余数。

商表示被除式能够被除式整除的次数，而余数表示除法的余项。

多项式除法可以用来求解多项式的根和因式分解，是代数学中的重要工具。

除了长除法的方法，还有其他的方法可以进行多项式的除法运算。

比如，可以使用多项式的因式分解来进行除法运算。

如果被除式和除式都可以进行因式分解，那么我们可以将它们进行因式分解后进行简化，然后进行除法运算。

这种方法在一些特殊情况下可以更加高效。

在实际应用中，多项式除法在代数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

多项式除以多项式 Revised by Petrel at 2021多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法． 但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。

如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式的运算是一种基本的数学运算，其步骤与一般的除法类似，只不过这里的除数和被除数都是多项式。

具体步骤如下：首先，我们需要理解多项式。

多项式是包含多个项的数学表达式，每个项都由一个系数和一个变量的幂组成。

例如， 3x2+2x−5 是一个多项式，其中 3x2、2x 和−5 是它的项。

在多项式除以多项式的运算中，我们首先要确定一个除数多项式和一个被除数多项式。

例如，我们选择 3x2+2x−5 作为被除数，选择 x2−3x+2 作为除数。

接下来，进行以下步骤：1.确定可以相除的项：只有当被除数的每一项都能被除数的每一项整除时，才能进行多项式除以多项式的运算。

在这个例子中，被除数的每一项都能被除数的每一项整除。

2.计算商的系数：这是被除数每一项与除数每一相应项的系数相除的结果。

例如，(3x2)÷(x2)=3，因为 3 是 3x2 的系数， x2 是 x2 的系数。

类似地，(2x)÷(x)=2 和(5)÷(1)=5。

将这些结果相加，得到 3+2+5=10，因此，商是 10。

3.计算余数：将商乘以除数，得到结果后减去被除数，得到余数。

在这个例子中，余数是 (10(x2−3x+2))−(3x2+2x−5)=4x−13。

最后，商和余数共同构成了多项式除以多项式的结果。

在这个例子中，结果是10+(4x−13)=4x−3。

需要注意的是，多项式除以多项式的运算和普通除法有一个主要区别：在多项式除法中，余数可以是任何形式的多项式，而不一定是常数。

而在普通的除法中，余数一般是常数。

另外，要注意在进行多项式除以多项式的运算时，我们要把每一个步骤都看作一个整体，然后对它们进行整理和简化。

在上述例子中，步骤是先计算商的系数，再计算余数，最后得到结果。

这些步骤并不是独立的，而是相互关联的。

在进行每一步时，我们都要考虑到下一步的需要和上一步的结果。

例如，在计算商的系数时，我们不仅要得到正确的结果，还要考虑到这个结果会对余数的计算产生影响。

多项式除以多项式法则
多项式除以多项式一般用竖式进行演算，先把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，然后进行除法演算得出结果。

多项式除以多项式
一般用竖式进行演算：
1.把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐。

2.用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项。

3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来。

4.把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止,被除式=除式×商式+余式。

若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除。

多项式的因式分解
有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用有理根定理得到的。

如果一个次多项式的一个根已知，那么可以使用多项式长除法因式分解为的形式，其中是一个次的多项式。

简单来说，就是长除法的商，而又知是的一个根、余式必定为零。

相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知和这两个，那么可以先从中除掉线性因子得到，再从中除掉，以此类推。

或者可以一次性地除掉二次因子。

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．8．什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．规范解法∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．规范解法把 2x1除以2，化为x1，用综合除法．2但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴ 商式x21x3，余数73．244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用 2x 3x 7 除以 x1 ，得商式 2x2 x3 ，余数为 7 3 ，即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3．2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

多项式除以多项式的计算方法
1. 嘿，多项式除以多项式，其实就像分苹果一样简单啦！比如说，
(x²+3x+2)÷(x+1)，把“苹果”(x²+3x+2)按照(x+1)这个方式去分呀。

2. 哇哦，你看，在多项式除以多项式中，我们要找到合适的方法，就像给汽车找对钥匙一样关键呢！像(2x²+5x-3)÷(x+3)，咱得一步步来呀。

3. 嘿呀，多项式除以多项式可有趣啦！就好像拼图，要把合适的部分拼到一起，比如(3x²+4x+1)÷(x+2)，得细心地拼哦。

4. 哎呀，你想想，多项式除以多项式其实没那么难呀，这就好比走路一样自然，像(x³-2x-3)÷(x-3)，一步步稳稳地走。

5. 哇，这多项式除以多项式呀，其实就像搭积木一样，要一层一层稳稳地搭，就说(4x³+6x²-2x)÷(2x+1)吧。

6. 嘿，搞懂多项式除以多项式，就像是开锁一样，找到对的方法就开啦！像(5x³-7x²+2x-1)÷(x-1)呢。

7. 哇塞，多项式除以多项式，可真是个有意思的事儿呀，好比玩游戏要闯关，比如(6x⁴-3x³+x²-2x+1)÷(2x-1)。

8. 嘿，多项式除以多项式不难吧？真的就和做一道道有趣的数学题一样呀！就像(3x³-2x²+x)÷(x-1)。

我的观点结论：多项式除以多项式，只要掌握方法，多练习，一点都不可怕，还很有趣呢！。

多项式除以多项式教案(总3页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除多项式除以单项式教学目标1.使学生掌握多项式除以单项式的法则，并能熟练的进行多项式除以单项式的计算。

2.渗透转化思想。

3.培养学生的抽象，概括能力以及运算能力。

教学重点与难点1.重点：多项式除以单项式的运算法则2.难点：正确熟练的运用法则进行运算。

教学过程设计一，从学生原有的认知结构中提出问题1.计算并回答问题（1）4 (2) (-（3）以上计算式省么运算？能否叙述这种运算的法则.2.计算并回答问题（1）3x(-x+1) （2） -24a(-a+2)（3）以上计算式省么运算？能否叙述这种运算的法则.二，讲授新课1.引导学生提出问题对照整式乘法的学习的顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容（多项式除以单项式）2. 引导学生得出多项式除以单项式的法则引例：（am + bm + cm ）我们曾经把多项式乘以单项式的运算转化为单项式乘以单项式的运算来进行，那么多项式除以单项式是否也能进行类似的转化呢根据“除以一个数等于乘以这个数的倒数”得(a + b + c)=(a +b + c)=a +b +=（a这就是多项式除以单项式的运算法则，你能用文字语言叙述吗？多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。

三，应用举例：变式练习例1.计算（1）解2==4 1(2).解 .=36=-6y第（1）题有师生共同回答，共同板演，并提醒学生注意商式中1不可漏掉，第（2）小题由学生板演，教师强调指出：当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除式各项的系数相反。

课堂练习1.计算（1）（4 (2) （28)例（2）化简÷2x解÷2x=（4=（4÷2x= 2x - 4先有学生讨论解题方法，然后指定一名学生板演，根据学生的板演教师提醒学生注意：（1）例（2）为一道综合题，运算要按照顺序进行。

多项式除以多项式的运算法则多项式除以多项式的运算法则，听起来是不是有点儿复杂？别担心，今天咱们就来轻松聊聊这个话题。

想象一下，你在厨房里做饭，准备把不同的食材混合在一起，结果出来的菜就像一个多项式。

如果你把这些食材的数量和种类看作是多项式，那就可以理解为我们在做一个“多项式大杂烩”。

得先明白什么是多项式。

简单来说，多项式就是一些数字和字母的组合，比如 (2x^2 + 3x + 5)。

就像你在逛超市的时候，看到各种各样的食材，组合起来的方式多得很。

好啦，接下来就进入正题了，如何将一个多项式除以另一个多项式呢？这就像是在切蛋糕，想把大蛋糕分成若干小块。

先看看你要分的蛋糕有多大，得清楚它的“体积”。

就拿 (6x^3 + 11x^2 + 3) 这个多项式来说吧，先把它的头脑风暴进行到底。

想要除的多项式，比如说 (3x + 1)，得好好琢磨琢磨它的性质。

这里就有个技巧，先把较大的项进行“比大小”，这就像我们在选食材的时候，挑最显眼的那一个。

开始除的时候，先把头一个项“对比”一下。

比如说 (6x^3) 除以 (3x)，结果是 (2x^2)。

哇，别急，这就像是你找到了一块大蛋糕，觉得这块是最好的。

然后把这个结果乘以(3x + 1)，得到了 (6x^3 + 2x^2)。

记得哦，别把这些东西抹掉，还是得写在一边。

然后，把刚刚得到的结果从原来的多项式里减去，像是从蛋糕里切下一块，剩下的就是新鲜的部分。

此时就得再看看剩下的部分了。

就像是你在做拼图，慢慢地填补空缺。

剩下的(11x^2 2x^2 = 9x^2)，然后再降一个级别，继续进行除法。

咱们再把 (9x^2) 除以 (3x)，结果是 (3x)。

这一步也很关键，像是调整你的食谱，确保每样都有恰到好处的味道。

把这个 (3x) 再乘以 (3x + 1)，得到 (9x^2 + 3x)。

同样地，别忘了要减去哦，像是从盘子里把多余的食材挑出来。

继续这样下去，剩下的部分就越来越少，最后如果有常数项了，就像是最后一口美味的蛋糕。

多项式除多项式除法长除法
多项式除法是一种数学运算，用于将一个多项式除以另一个多项式。

长除法是一种常用的方法来执行多项式除法。

下面是一个多项式除法的长除法的步骤示例：
1. 确定被除多项式和除数多项式的次数，并按照次数从高到低排列。

2. 比较被除多项式的最高次项与除数多项式的最高次项。

如果被除多项式的最高次项的次数小于除数多项式的最高次项的次数，则无法进行除法操作，该多项式除法结束。

3. 在被除多项式中找到一个项，使得它与除数多项式的最高次项相乘后，可以得到一个新的多项式，它的最高次项与被除多项式的最高次项的次数相同或比它低一次。

4. 用这个新的多项式去乘除数多项式，并将所得到的结果写在除法运算符下面。

5. 将所得到的结果与被除多项式进行减法运算，并将得到的差写在下一行下面。

6. 重复步骤3到步骤5，直到被除多项式的次数比除数多项式的次数低为止。

7. 当被除多项式的次数比除数多项式的次数低时，所得到的最后一行即为商，最后一个差即为余数。

长除法的步骤需要重复进行，直到被除多项式的次数比除数多项式的次数低。

这个过程可以帮助我们找到商和余数。

多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。