(公开课)多项式除以多项式

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1 ）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式= 除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算(x29 x20)( x4)规范解法∴ ( x 29x20)(x4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20 ，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用 5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x4 相乘，得5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，(x 29x20)( x4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220x3) (2x2x5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x3) ( 2x2x 5)3x33x26x1余9x 2 ．注①遇到被除式或除式中缺项，用0 补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x47x220x3) ( 2x2x5)3x 3 3x 26x 1 余9x 2 ．8．什么是综合除法？由前面的问题 4 我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为 1 时，情况比较特殊．如：计算 ( 2x 33x 4) ( x 3) ．因为除法只对系数进行，和 x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（ 2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21 和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是 1，所以余式的首项系数6、 21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（ 2）就简化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数 3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为 1．例 1 用综合除法求 x43x 3 3x 2 3x 12除以 x 1的商式和余式．规范解法∴商式x 3 2x 2 x2 ，余式＝ 10．例 2 用综合除法证明 2x 515x 3 10x 2 9 能被 x 3 整除．规范证法这里 x3 x ( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补 0．）因余数是 0，所以2x 5 15x 3 10 x 2 9 能被 x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成1 以后才能用综合除法．．例 3 求 2x 3x 7 除以 2x 1的商式和余数．规范解法把 2x1除以 2，化为 x1，用综合除法．23但是，商式2x 2x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴商式x 2 1 x 3 ，余数73．24 4为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用 2x3x 7 除以 x 1 ，得商式 2x2x3 ，余数为 73，即224∴2x3x 3x 1 2x2x3732242x 1 x21 x 3 73．2 44即 2x3x 3 除以 2x1的商式 x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

多项式除以多项式公式摘要：一、多项式除以多项式的基本概念二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式2.长除法步骤3.化简结果三、实例演示四、注意事项五、总结与拓展正文：多项式除以多项式是代数学中的一个重要内容，它在数学、物理、化学等科学领域具有广泛的应用。

本文将介绍多项式除以多项式的基本概念、步骤和方法，并通过实例进行演示。

最后，我们将总结注意事项，并探讨如何进一步拓展这一领域。

一、多项式除以多项式的基本概念多项式除以多项式，指的是将一个多项式（称为被除式）分解为两个或多个多项式（称为除式）的乘积。

这一过程可以用来求解方程、简化表达式或分析函数性质等。

二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式在进行多项式除以多项式之前，首先要确定除式。

通常情况下，除式为一个一次或多次多项式。

接下来，将被除式和除式写成标准形式，即按照降幂排列，并去掉两边的同类项。

2.长除法步骤利用长除法，将除式逐步除入被除式。

具体步骤如下：（1）用除式去除被除式的第一项，得到商的第一项；（2）将商的第一项乘以除式，得到一个新的多项式；（3）用新的多项式减去被除式，得到余数；（4）将余数替换被除式，重复步骤（1）至（3），直到余数为零或达到预设精度。

3.化简结果当余数为零时，多项式除法过程结束。

此时，商的多项式即为所求结果。

需要注意的是，商的多项式可能含有分式和有理式，需要进一步化简。

三、实例演示以二次多项式除以一次多项式为例：被除式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1除式：g(x) = x + 1（1）写出准备式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1g(x) = x + 1（2）长除法步骤：第一次除法：3x^2 ÷ x = 3x余数：2x - 1第二次除法：2x ÷ 1 = 2x余数：-1第三次除法：-1 ÷ 1 = -1余数：0（3）化简结果：商的多项式为3x - 2，即为所求结果。

四、注意事项1.确定除式：在进行多项式除法时，首先要正确选择除式。

多项式除以多项式方法多项式除以多项式是高中数学中的一个重要概念和计算方法。

在代数学中，多项式是由一个或多个变量以及它们的系数和指数的和组成的表达式。

多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，并得到商和余数的过程。

我们来回顾一下多项式的基本概念。

一个多项式可以写成如下形式：f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0为常数，x为变量，n为非负整数。

多项式的次数是指最高次项的指数，记作deg(f)。

如果一个多项式的系数都为0，那么它是一个零多项式。

多项式除法的目的是将一个多项式f(x)除以另一个多项式g(x)，并得到商q(x)和余数r(x)。

可以表示为f(x) = g(x)·q(x) + r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。

商q(x)和余数r(x)可以通过多项式除法算法来求解。

多项式除法的算法可以通过长除法的思想来理解。

首先，我们将被除式f(x)和除式g(x)按照次数从高到低排列，并对齐各项的同类项。

然后，从最高次项开始，将f(x)的最高次项除以g(x)的最高次项，得到一个部分商。

将这个部分商乘以g(x)，得到一个中间结果，并将其与f(x)相减，得到一个新的多项式。

重复这个过程，直到新的多项式的次数小于g(x)的次数为止。

通过多项式除法，我们可以得到商和余数。

商表示被除式能够被除式整除的次数，而余数表示除法的余项。

多项式除法可以用来求解多项式的根和因式分解，是代数学中的重要工具。

除了长除法的方法，还有其他的方法可以进行多项式的除法运算。

比如，可以使用多项式的因式分解来进行除法运算。

如果被除式和除式都可以进行因式分解，那么我们可以将它们进行因式分解后进行简化，然后进行除法运算。

这种方法在一些特殊情况下可以更加高效。

在实际应用中，多项式除法在代数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

多项式除以多项式公式摘要：一、多项式除以多项式的基本原理二、多项式除以多项式的具体步骤1.提取公因式2.利用长除法进行除法运算3.整理结果三、实例演示四、注意事项五、总结正文：多项式除以多项式是数学中常见的运算，它在代数、几何等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍多项式除以多项式的基本原理、具体步骤以及注意事项，帮助读者更好地理解和掌握这一运算方法。

一、多项式除以多项式的基本原理多项式除以多项式，实际上就是将一个多项式分解为另一个多项式与一个常数的乘积。

在这个过程中，我们需要找到一个合适的方法，将一个多项式的每一项都与另一个多项式的对应项相除，从而得到商和余数。

二、多项式除以多项式的具体步骤1.提取公因式：首先，我们需要找到两个多项式中的公因式，将其提取出来。

这有助于简化后续的计算过程。

2.利用长除法进行除法运算：将第一个多项式的每一项除以第二个多项式的每一项，得到商和余数。

将商再作为新的多项式，与第二个多项式进行除法运算，直到无法继续除为止。

3.整理结果：将得到的商多项式中的各项按照次数从高到低排列，并将余数加到最低次数的项上，得到最终的结果。

三、实例演示为了更好地理解多项式除以多项式的过程，我们以一个简单的实例进行演示：假设我们有一个多项式：f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 1，另一个多项式为：g(x) = x^2 - 2x + 1。

首先，提取公因式：我们可以发现，f(x)中的各项都可以被x^2 - 2x + 1整除。

然后，进行长除法运算：f(x) = (x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x - 1)我们可以得到：2x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = (x^2 - 2x + 1) * 2x + 3x - 12x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 2x^3 - 4x^2 + 2x + 3x - 12x^3 - 4x^2 + 5x - 1 = 0接下来，我们继续进行除法运算，直到无法继续除为止。

２０２３年５月下半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀核心素养下的深度学习教学多项式除以多项式(长除法) 拓展课教学实录◉上海市西外外国语学校初中部㊀陈㊀玲㊀㊀摘要:多项式除以多项式(长除法)是教材安排在 整式 的运算以及因式分解后面的拓展内容．较为复杂的多项式用长除法可以轻松分解因式,同时与高年级学习解高次方程㊁余数定理等有十分紧密的联系,其原理可以类比小学竖式除法,易懂易操作．利用类比的方法进行长除法教学,可以使学生对 数 到 式 的认知更全面,能较好地培养抽象能力和推理能力,也体现了深度学习和大单元教学思想．关键词:长除法;因式分解;高次方程;余数定理１教学目标及重难点本节课的教学目标:(１)理解并掌握长除法的操作步骤与过程,能用长除法因式分解及解高次方程．(２)经历从数的除法类比到多项式除法的过程,初步认识类比在数学中的作用．(３)感悟类比是认识新事物的主要方法,能将类比的方法延伸到日常生活与学习中．教学重点:长除法的操作步骤与过程(具体计算过程仍然是单项式除以单项式㊁单项式乘多项式㊁整式的减法等)．类比小学竖式除法,体会长除法的思想．教学难点:在确定除式时要从常数项的因数开始考虑并试商．２教学实录２．１小组游戏,引入课题小组游戏:教师事先做好四套七巧板,如图１,七巧板的边缘上均有问题或者答案,任意打乱后分给学生,学生需将对应问题和答案进行边与边的拼接,最后组合成图,用时最短的小组获胜．图１㊀㊀㊀图２学生最后的成品之一如图２所示．所选的题为 整式 内容要求的基本题:(１)因式分解:x２－１０x y＋２５y２－３x＋１５y．答案为(x－５y－３) (x－５y)．(２)计算:(２４x４y２＋１２x３y３－１８x２y４)ː６x２y２．答案为４x２＋２x y－３y２．(３)因式分解:x２－２x－４y２－４y．答案为(x＋２y)(x－２y－２)．(４)因式分解:x２＋６x y－１６y２．答案为(x－２y) (x＋８y)．(５)计算:２a b(３a２b－２a b２)．答案为６a３b２－４a２b３．(６)计算:(２x)５ː(８x３)．答案为４x２．(７)计算:(３x２－２x＋１)－(－x２＋x－３)．答案为４x２－３x＋４．设计意图:暖场,缓解学生的紧张感,同时复习所学内容．有小组完成得特别快．师:你们小组是怎么做到如此快就拼好了,是计算出来的吗?生１:我们没有计算,靠观察,可以通过项数㊁常数项以及与因式分解结果形式的不同比对．比如,最后一题的中两个多项式的常数分别是１与－３,求两个多项式的差,结果是４,我们就找结果中常数项为４的式子;题干中是关于a,b的式子,就找含a,b的式子;再比如多项式除以单项式的这道题,我们看到多项式是三项并且都含有y,那么就找结果是三项也含有y的式子．师:以上问题都涉及哪些知识点?生２:有多项式的加减法㊁乘法,因式分解,单项式除以单项式,多项式除以单项式．师:请问上述运算是不是还少一种?生３:没有多项式除以多项式!师:好!那我们今天就学习多项式除以多项式．２．２重温小学竖式除法,类比多项式除法先引导学生运用竖式除法写出 ５５０８ː１７ 的算３４Copyright©博看网. All Rights Reserved.教学导航２０２３年５月下半月㊀㊀㊀式,如图３．图３待所有学生计算完成后,教师再提出问题:为什么要首先上 ３ ?竖式第四行的第一个数字 ４ 怎么得来余数０说明了什么?生４:３乘１７等于５１;５５减去５１等于４;余数０说明了是整除．师:这样的除法是否能应用于多项式的除法呢?例１㊀计算:(x ３－５x ２＋８x －４)ː(x －２)．例１的求解分三步,如图４所示．(x ３－５x ２＋８x －４)ː(x －２)＝x ２－３x ＋２图４设计意图:模仿竖式进行计算．在每一步过程中体会上 商 ,每一步作差时体会同类项的加减,在书写上注意列队整齐且每一列的次数相同．这样由 数 到 式 的过渡,被除数可称为被除式,除数称为除式,商称为商式,余数称为余式．小试牛刀１．０计算:(x ３－８x ２＋５x ＋１４)ː(x ＋１)．学生练习,同时邀请一名学生上台演算．教师在下面查看每一位学生的演算过程．学生出现作差问题,例如上一行是－８x ２下一行是x ２,应该是－８x ２－x ２＝－９x ２,部分学生结果是－７x ２．这种错误的主要原因是作差不够熟练,我们可以在每一步乘积的结果前面加竖线和一个减号,作为提醒．师:如果现在要求将x ３－８x ２＋５x ＋１４因式分解怎么办设计意图:引导学生将所学知识用于因式分解,培养学生逻辑思维能力．生５:根据 被除数＝除数ˑ商 就可以将其写成因式分解的形式!原式＝(x ＋１)(x ２－９x ＋１４),还能继续分解,原式＝(x ＋１)(x －７)(x －２)．师:非常棒!原来长除法还能进一步帮助我们分解因式．例２㊀求(５x ４＋３x ３＋２x －４)ː(x ２＋１)的商式和余式．设计意图:利用例２这种缺项的多项式除法,让学生明白 缺项补齐 降幂排列 的重要性,排列整齐后非常便于作差,类似于小学各数位的数量级,不能错乱．另外,这道题有余式,能让学生体会不是所有的多项式都能被整除,以及什么情况(当余式的次数低于除数的次数时)下,运算终止．小试牛刀２．０用长除法计算:(x ３－８)ː(x －２)．学生练习时,同时邀请一名学生上台演算,教师在下面查看每一位学生的演算过程．个别学生知道了要补齐缺项,却没有按照降幂排列．正常应该写成x ３＋０x ２＋０x －８,有学生写成x ３－８＋０x ２＋０x ,其中一位竟然能写正确,他在上商x ２与除式x －２相乘时,自己对整齐了位置,如x ３－０－２x ２,但是这样会增加计算的难度．自我反思:对于上述问题,如果能让学生先试错,然后由学生自己讨论总结步骤会更佳．教师先给了步骤,学生仍然会出错．例３㊀各显神通,请用不同方法因式分解:x ３＋６x ２＋１１x ＋６．方法一:裂项分组分解;方法二:长除法．设计意图:裂项分解对拆分数字有一定要求,因此学生一直很难掌握．希望学生通过例３能多尝试不同拆分方式,以提高自身对数字的敏感度．如果多数学生都掌握了这类题型,长除法就是非常友好的．本题的难点在于没有给出除式,所以有 试商 的过程,好在目前这个阶段用x －１,x ＋１等大多都能整除．这也是因式定理的初步运用,旨在让学生知道怎么用并感受因式定理的神奇．下面展示学生的几种解法．生６:分裂成x ３＋６x ２＋５x ＋６x ＋６,前三项用十字相乘法,进而找公因式．原式＝x ３＋６x ２＋５x ＋６x ＋６＝x (x ２＋６x ＋５)＋６(x ＋１)＝x (x ＋１)(x ＋５)＋６(x ＋１)＝(x ＋１)[x (x ＋５)＋６]＝(x ＋１)(x ２＋５x ＋６)＝(x ＋１)(x ＋２)(x ＋３)．生７:分裂成x ３＋x ２＋５x ２＋１１x ＋６,后三项用十字相乘法,进而找公因式．方法与同学４类似．４４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀图５生８:如图５,用长除法,除以x ＋１,整除．再把商进行分解．教师肯定了３位学生的做法,鼓励大家一题多解．同时,重点强调并再次总结长除法的便捷,以及如何寻找可能整除的除式．小试牛刀３．０解方程:(１)x ２－３x ＋２＝０;(２)x ３＋４x ２＋x －６＝０．设计意图:前面已经讲到长除法可以用来因式分解,该第(１)小题是一目了然的十字相乘法的运用,利用这个简单的题感悟解方程的一种思路降次!通过因式分解实现降次!师:虽然我们还没有学过解一元二次方程,但是大家通过因式分解轻松解出了二次方程．那么如果是三次方程呢,是否也能通过因式分解求出根呢?请同学们尝试解答第(２)小题．生９:想到构造完全平方式,先裂项分解将方程化为x ３＋４x ２＋４x －３x －６＝０,找出公因式x ＋２．最终得出(x －１)(x ＋２)(x ＋３)＝０,求出三个根．图６生１０:将方程左边多项式除以x －１,能被整除,如图６．长除法用起来十分顺利,而且商仍可再分解．最终由(x －１)(x ＋２)(x ＋３)＝０,解得x １＝１,x ２＝－２,x ３＝－３．师:以上两位同学的思路和方法都值得大家学习,希望大家都可以找到自己擅长的方法．生１１:长除法更容易想到,容易掌控．师:恭喜大家掌握了解高次方程的思想(降次)以及方法(通过长除法因式分解)!２．３课后练习以下两题建议用两种方法求解:(１)因式分解:x ３－３x ２－１３x ＋１５．(２)在有理数范围内是否存在m 和n ,使x ３＋m x ２＋n x ＋３３可以被x ２＋１０x ＋１１整除若存在,求出m 和n 的值;若不存在,请说明理由．设计意图:两种方法并行,第(２)小题不仅可以用长除法,还可以想到 ３３ 的因数,题中已经有了１１,那另一个一定是３,同时体会到降幂的逻辑顺序．后期可以介绍待定系数法．２．４课堂小结本节课通过类比小学竖式除法,引出多项式除以多项式,感受降幂排列及缺项时的添补,在运算过程中,作差时一定要看清楚各项的系数．运用长除法得到的商式和余式,将 数 提到 式 的高度．通过长除法,解决较为复杂的因式分解问题,让学生获得新的解题方法,并体会长除法思想,初步感受因式定理．３教后感多项式除以多项式 是七年级上册第九章 整式 的拓展内容． 整式 要求学生掌握整式的加减㊁整式的乘法㊁因式分解㊁单项式除以单项式㊁多项式除以单项式,唯独多项式除以多项式出现在拓展部分．笔者以为如果学生能掌握长除法,对其处理较难的因式分解问题有一定帮助,同时也能为学生后期学习解高次方程㊁高次不等式㊁求分式函数的值域等高中知识打下扎实基础．长除法的思想源于小学竖式除法,学生容易模仿,能在模仿类比的过程中体会 数 到 式 的迁移．基于这些想法,笔者于２０２２年１１月２９日开设了一节多项式除以多项式(长除法) 的公开课．在授课过程中,根据学生的知识㊁能力水平,在类比时引入长除法,同时不舍弃裂项分解,突出重点,逐步迁移到高次方程,取得了较好的教学效果,指向深度学习,为学生日后学习余数定理埋下种子．从这个意义上讲,本课是在核心素养意义下的深度学习．在教学过程中,七巧板游戏环节设计成以往知识的复习,在暖场的同时引出本节课内容,激发学生学习新知的兴趣．由于担心时间紧,没有投屏．如果投屏,能让完成最快的小组成员分享其 锦囊妙计 (思考过程),效果会更好．遗憾的是,少了学生试错㊁讨论㊁总结的过程．在例２及小试牛刀２．０的环节可以放手让学生试错讨论总结,缺项时的计算步骤应该由学生先做,然后关注他们出现了什么困难,组织学生讨论,相互帮助,最后总结出缺项式的步骤．本节课中小组的功能没有调动起来．长除法是高中㊁大学的余数定理教学中的一个环节,该过程的讲解应该再耐心一点,可以通过二次方程的根来阐述该定理,让学生感受其真实性,再通过类比延伸到三次方程,达到这节课的完美闭环．由于在长除法的运用过程中,大量除法㊁乘法㊁减法的运算揉在一起,学生稍不注意就出错,因此在平时的训练中应加强综合运算,提高学生的运算能力和推理能力．Z５４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．8．什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．规范解法∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．规范解法把 2x1除以2，化为x1，用综合除法．2但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴ 商式x21x3，余数73．244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用 2x 3x 7 除以 x1 ，得商式 2x2 x3 ，余数为 7 3 ，即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3．2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

多项式除以多项式公式摘要：1.多项式除以多项式的基本概念2.多项式除以多项式的运算方法3.多项式除以多项式的应用实例4.多项式除以多项式的注意事项正文：一、多项式除以多项式的基本概念多项式除以多项式是指将一个多项式表达式除以另一个多项式表达式。

这里的多项式是指由若干个单项式通过加减运算组合而成的代数式，如f(x)=ax^2+bx+c。

多项式除法是代数学中的一种基本运算，它在解决实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。

二、多项式除以多项式的运算方法多项式除以多项式的运算方法分为以下几个步骤：1.将被除式和除式按照相同的变量和次数进行排列。

2.确定除式的首项，将除式中各项的系数依次除以首项的系数，得到新的除式。

3.将新除式乘以被除式，得到一个新的多项式。

4.将新多项式与被除式相减，得到一个新的差式。

5.重复步骤2 至4，直至差式为零或者达到所需的精度。

6.将除法过程中得到的商式进行合并和简化，得到最终的商式。

三、多项式除以多项式的应用实例假设我们要计算多项式f(x)=ax^2+bx+c 除以多项式g(x)=dx+e 的商式，其中a、b、c、d、e 都是常数，我们可以按照以下步骤进行计算：1.将f(x) 和g(x) 按照相同的变量和次数进行排列，即f(x)=ax^2+bx+c 和g(x)=dx+e。

2.确定g(x) 的首项d，将g(x) 中各项的系数依次除以d，得到新的除式dg(x)/d=x+e/d。

3.将新除式乘以被除式f(x)，得到一个新的多项式h(x)=(ax^2+bx+c)(x+e/d)。

4.将新多项式h(x) 与被除式f(x) 相减，得到一个新的差式f(x)-h(x)=(adx^2+(bd-ae)x+(cd-ce))/d。

5.重复步骤2 至4，直至差式为零或者达到所需的精度。

6.将商式(ax^2+(b-ad)x+(c-ce)/d) 合并和简化，得到最终的商式。

四、多项式除以多项式的注意事项1.在进行多项式除法运算时，要注意变量和次数的对齐，以免出现错误的结果。

课程名称：高等代数授课对象：大学本科生授课学时：2学时教学目标：1. 理解多项式除以多项式的基本概念和运算规则。

2. 掌握多项式除以多项式的长除法步骤。

3. 能够熟练运用多项式除法解决实际问题。

4. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

教学内容：1. 多项式除以多项式的基本概念2. 多项式除法的长除法步骤3. 多项式除法的应用教学过程：一、导入新课1. 复习上节课的内容，引导学生回顾多项式的概念和运算。

2. 提出问题：如何将一个多项式除以另一个多项式？二、讲解新课1. 多项式除以多项式的基本概念- 解释多项式除法的定义，即找出一个多项式Q和余数R，使得被除式A可以表示为A = B Q + R，其中B为除式，Q为商，R为余数。

- 强调商和余数的次数分别不超过除式的次数。

2. 多项式除法的长除法步骤- 引导学生观察两个多项式，找出除式中最高次项的系数。

- 将被除式中最高次项的系数乘以除式的最高次项，得到乘积。

- 将乘积与除式相除，得到商的最高次项。

- 将商的最高次项乘以除式，得到乘积。

- 将乘积从被除式中减去，得到新的被除式。

- 重复以上步骤，直到被除式的次数小于除式的次数。

3. 多项式除法的应用- 举例说明多项式除法在实际问题中的应用，如求解多项式的根、化简多项式等。

- 引导学生思考如何运用多项式除法解决实际问题。

三、课堂练习1. 给出几个多项式除以多项式的实例，让学生进行计算，巩固所学知识。

2. 引导学生思考如何运用多项式除法解决实际问题。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调多项式除法的基本概念、长除法步骤和应用。

2. 布置课后作业，要求学生完成多项式除法的练习题。

教学评价：1. 课堂练习的完成情况，考察学生对多项式除法知识的掌握程度。

2. 课后作业的完成情况，考察学生对多项式除法的实际应用能力。

3. 学生在课堂上的表现，如提问、回答问题等，考察学生的参与度和学习积极性。