专题07 三角形及四边形的计算与证明(解析版)

专题07 立体几何综合问题【题型解读】▶▶题型一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算(1)空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解．(2)利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2019·河南郑州高三联考)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD . (1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABD 中，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD ，由余弦定理，得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，所以△ABD 为直角三角形且∠ADB ＝90°，故BD ⊥AD .因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BD .又AD ∩DE ＝D ，所以BD ⊥平面ADE .因为BD ⊂平面BDEF ，所以平面BDEF ⊥平面ADE .(2)由(1)可得，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD ， 又由ED ＝BD ，设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3.因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊥AD ，所以可以点D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，C (－1，3，0)，E (0,0，3)，F (0，3，3)．所以AE →＝(－1,0，3)，AC →＝(－2，3，0)．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A E →＝0，n ·A C →＝0，即⎩⎨⎧ －x ＋3z ＝0，－2x ＋3y ＝0，令z ＝1，得n ＝(3，2,1)为平面AEC 的一个法向量．因为A F →＝(－1，3，3)， 所以cos 〈n ，A F →〉＝n ·A F →|n |·|A F →|＝4214， 所以直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214. 【素养解读】本例问题(1)证明两平面垂直，考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)计算线面所成的角时，考查了直观想象和数学运算的核心素养．【突破训练1】 (2018·北京卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为AA 1，AC ，A 1C 1，BB 1的中点，AB ＝BC ＝ 5 ，AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)求二面角B －CD －C 1的余弦值；(3)证明：直线FG 与平面BCD 相交．【答案】见解析【解析】(1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为CC 1⊥平面ABC ，所以四边形A 1ACC 1为矩形．又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，所以AC ⊥EF .因为AB ＝BC .所以AC ⊥BE ，所以AC ⊥平面BEF .(2)由(1)知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1.又CC 1⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC .因为BE ⊂平面ABC ，所以EF ⊥BE .如图建立空间直角坐称系Exyz .由题意得B (0,2,0)，C (－1,0,0)，D (1,0,1)，F (0,0,2)，G (0,2,1)．所以CD →＝(2,0,1)，C B →＝(1,2,0)，设平面BCD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C D →＝0，n ·C B →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋c ＝0，a ＋2b ＝0.令a ＝2，则b ＝－1，c ＝－4，所以平面BCD 的法向量n ＝(2，－1，－4)，又因为平面CDC 1的法向量为E B →＝(0,2,0)，所以cos 〈n ，E B →〉＝n ·E B→|n ||EB →|＝－2121. 由图可得二面角B －CD －C 1为钝二面角，所以二面角B －CD －C 1的余弦值为－2121. (3)证明：平面BCD 的法向量为n ＝(2，－1，－4)，因为G (0,2,1)，F (0，0,2)，所以G F →＝(0，－2,1)，所以n ·G F →＝－2，所以n 与G F →不垂直，所以GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，所以GF 与平面BCD 相交． ▶▶题型二 平面图形折叠成空间几何体的问题1．先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．2．(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．(3)解决翻折问题的答题步骤第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；第三步：利用判定定理或性质定理进行证明．【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|B F →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，故PE ⊥PF .可得PH ＝32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，0，D P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，32，H P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪H P →·D P →|H P →|·|DP →|＝ 34 3＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 【素养解读】本例在证明或计算过程中都要考虑图形翻折前后的变化，因此综合考查了逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模的核心素养．【突破训练2】 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC .所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2. 如图，以O 为原点，OB →，OC →，OA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0， 得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22， CD →＝BE →＝(－2，0,0)．设平面A 1BC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1,1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0,1,1)， 从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值为63. ▶▶题型三 线、面位置关系中的探索性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，解决这类问题的基本思路类似于反证法，即“在假设存在的前提下通过推理论证，如果能找到符合要求的点(或其他的问题)，就肯定这个结论，如果在推理论证中出现矛盾，就说明假设不成立，从而否定这个结论”．【例3】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝2 2 ，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ； (2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .(2)如图，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，A P →＝(0,2,23)，取平面PAC 的一个法向量O B →＝(2,0,0)．设M (a,2－a,0)(0<a ≤2)，则A M →＝(a,4－a,0)．设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由A P →·n ＝0，A M →·n ＝0得⎩⎨⎧ 2y ＋23z ＝0，ax ＋(4－a)y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )， 所以cos 〈O B →，n 〉＝23(a －4)23(a －4)2＋3a 2＋a2.由已知得|cos 〈O B →，n 〉|＝32. 所以23|a －4|23(a －4)2＋3a 2＋a2＝32.解得a ＝－4(舍去)，a ＝43. 所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43.又P C →＝(0,2，－23)， 所以cos 〈P C →，n 〉＝34.所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34. 【素养解读】本例问题(1)中证明线面垂直直接考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)中要探求点M 的位置，要求较高，它既考查了直观想象的核心素养，又考查了数学建模的核心素养．【突破训练3】 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面ABB 1A 1，且AA 1＝AB ＝2. (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6，请问在线段A 1C 上是否存在点E ，使得二面角A －BE －C 的大小为2π3，请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)证明：连接AB 1交A 1B 于点D ，因为AA 1＝AB ，所以AD ⊥A 1B ，又平面A 1BC ⊥侧面ABB 1A 1，平面A 1BC ⊂平面ABB 1A 1＝A 1B ，所以AD ⊥平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BC ，又AA 1∩AD ＝A ，所以BC ⊥侧面ABB 1A 1，所以BC ⊥AB . (2)由(1)得AD ⊥平面A 1BC ，所以∠ACD 是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，即∠ACD ＝π6，又AD ＝2，所以AC ＝22，假设存在适合条件的点E ，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，设A 1E →＝λA 1C →(0≤λ≤1)，则B (2，2，0)，B 1(2，2，2)，由A 1(0,0,2)，C (0,22，0)，得E (0,22λ，2－2λ)，设平面EAB 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AB →＝0，得⎩⎨⎧ 22λy ＋(2－2λ)z ＝0，2x ＋2y ＝0， 所以可取m ＝(1－λ，λ－1，2λ)， 由(1)知AB 1⊥平面A 1BC ，所以平面CEB 的一个法向量n ＝(1,1，2)， 所以12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2π3＝cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2λ22(λ－1)2＋2λ2，解得λ＝12，故点E 为线段A 1C 中点时，二面角A －BE －C 的大小为2π3.。

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题07 三角形中的组合图形问题【典例1】【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试】如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，BD CD =ABD △的面积. 【思路引导】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到2BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.解：（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=， 所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=， 所以1cos 2B =-，又0B π<<，所以23B π=， 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =ABC V 中，由正弦定理sin sin c bC B=， 所以sin sin c B C b=22sin π=7=； （2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD CCD CBD=∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠，因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=，而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD =，所以222)1)+=，所以12t =，所以BD =， 因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=， 所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠V 11222=⨯=. 【典例2】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】 在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【思路引导】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长； 解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC =2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ==【典例3】【河北省唐山市2019届高三上学期期末考试】如图，在梯形ABCD 中，90A D ∠=∠=o ，M 为AD 上一点，22AM MD ==，60BMC =o ∠.（1）若60AMB ∠=o ，求BC ；（2）设DCM θ∠=，若4MB MC =，求tan θ. 【思路引导】(1)先由题中条件求出MC MB ，，再由余弦定理即可求解；(2)先由DCM θ∠=，表示出ABM ∠，进而可用θ表示出MC ，MB ，再由4MB MC =，即可求解. 解：（1）由60BMC ∠=o ，60AMB ∠=o ，得60CMD ∠=o . 在Rt ABM V 中，24MB AM ==； 在Rt CDM V 中，22MC MD ==．在MBC V 中，由余弦定理得，2222cos 12BC BM MC BM MC BMC =+-⋅⋅∠=，BC =（2）因为DCM θ∠=，所以60ABM θ∠=-o ，060θ<<o o ． 在Rt MCD V 中，1sin MC θ=； 在Rt MAB V 中，()2sin 60MB θ=-o ，由4MB MC =得，()260sin sin oθθ-=，θsin θsin θ-=，即2sin θθ=，整理可得tan θ=【典例4】【广东省2019届高三上学期期末联考】如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.(1)求ACB ∠的大小；（2）若∠=∠ACB ABC ，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值.【思路引导】(1)由正弦定理将()sin cos a c B B =+化为()sin sin sin cos A C B B =+，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；(2)先由余弦定理求出BC 的长，将平面四边形ABDC 的面积转化为两三角形ABC ∆与BCD ∆面积之和，即可求解.解：（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a c A C=， 所以()sin sin sin cos A C B B =+在ABC ∆中，()sin sin A B C =+所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+ 所以sin cos sin sin B C C B =因为在ABC ∆中，sin 0B ≠ 所以cos sin C C =因为C 是ABC ∆的内角所以4C π=.（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =- 因为ABC ∆是等腰直角三角形， 所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===- 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅= 所以平面四边形ABDC 的面积S =ABC S ∆+BCD S ∆5cos sin 4D D =-+ 544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时平面四边形ABDC 的面积有最大值54+ 【典例5】【2020届重庆市高三11月调研测试卷】如图，半圆O 的直径2AB =，点C ，P 均在半圆周上运动，点P 位于C ，B 两点之间，且6CAP π∠=.（1）当12PAB π∠=时，求APC △的面积.（2）求四边形ABPC 的面积的最大值. 【思路引导】（1）根据已知条件求出,AC AP ，再利用面积公式即可；（2）将四边形拆成三个三角形，将面积转化为三角函数求再求最值.解：（1）由题知4CAB π∠=，cos AC AB CAB ∴=∠=cos2cos 2cos cos 2sin sin 123434342AP AB πππππππ⎛⎫==-=+=⎪⎝⎭，1sin 26APC S AC AP π∴=⋅⋅=V ； （2）由题知6CAP π∠=，根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可得3COP π∠=，设半径1r =，AOC θ∠=，则23POB πθ∠=-， 212sin sin sin 233ABPC AOC POB POC S S S S r ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦V V V ，11sin sin 22224264πθθθθ⎛⎛⎫=+++=++≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭当3AOC πθ∠==时等号成立.【典例6】【2019届河北省衡水中学高三上学期三调考】如图所示，正三角形ABC 的边长为2，,,D E F 分别在三边,AB BC 和CA 上，D 为AB 的中点，()90,090EDF BDE θθ∠=︒∠=︒<<︒．（Ⅰ）当tan 2DEF ∠=θ的大小； （Ⅱ）求DEF ∆的面积S 的最小值及使得S 取最小值时θ的值．【思路引导】第一问，在EDF ∆中，tan DF DEF DE ∠==DBE ∆中，利用正弦定理，用θ表示DE ，在ADF ∆中，利用正弦定理，用θ表示DF ，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出tan θ，利用特殊角的三角函数值求角θ；第二问，将第一问得到的DF 和DE 代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S 的最小值．解：在BDE V 中，由正弦定理得000sin 60sin(120)2sin(60)BD DE θθ==-+，在ADF V 中，由正弦定理得0sin 60sin(30)AD DF θ==+tan DEF ∠=，得00sin(60)sin(30)θθ+=+tan θ=，所以60θ=︒． （2）1·2S DE DF =＝0038sin(60)sin(30)θθ=++==．当45θ=︒时，S 62-=．【典例7】【陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学】某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道（不考虑宽度），BE为赛道内的一条服务通道，23BCD CDE BAEπ∠=∠=∠=，DE=4km，BC CD==.（1）求服务通道BE的长度；（2）当4AEBπ∠=时，赛道BA的长度？【思路引导】（1）连接BD，在BCD∆中，由余弦定理可得3BD=，由等腰三角形的性质结合23BCD CDEπ∠=∠=可得2BDEπ∠=，再由勾股定理可得结果；（2）在BAE∆中，23BAEπ∠=，5BE=，4AEBπ∠=，直接利用正弦定理定理可得结果.解：（1）连接BD，在BCD∆中，由余弦定理得：2222BD BC CD BC=+-cos9CD BCD⋅∠=，3BD∴=.BC CD=Q，6CBD CDBπ∴∠=∠=，又23CDEπ∠=，2BDEπ∴∠=，在Rt BDE∆中，5BE==.（2）在BAE∆中，23BAEπ∠=，5BE=.4AEBπ∠=由正弦定理得2sin sin34BE ABππ=，=得3BA=，当4AEBπ∠=时，赛道BA的长度为3.1.【2020年陕西省高三教学质量检测卷（一)】如图，在ABC ∆中，sin BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，7AD =，8AC =，D 在BC 边上，连接AD .（1）求角B 的大小； （2）求ACD ∆的面积.【思路引导】（1）由ABD ADC BAD ∠=∠-∠及两角差的正弦公式，结合正余弦值求得ABD ∠的正弦值，即可得角B 的大小；（2）先在ACD ∆中，由余弦定理求出CD 的长度，再利用三角形的面积公式即可求解. 解：（1）在ABC ∆中，1cos 7ADC ∠=， 所以0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2BAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭∵sin 14BAD ∠=，1cos 7ADC ∠=，∴13cos 14BAD ∠==，sin 7ADC ∠==∴sin sin()ABD ADC BAD ∠=∠-∠ sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠⨯∠-∠⨯∠1317147142=⨯-⨯=. 因为0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3B π=.（2）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯∠，∴216449277CD CD =+-⨯⨯⨯，解得5CD =，∴1sin 2ACD S AD CD ADC ∆=⨯⨯⨯∠1752=⨯⨯⨯=2.【天一大联考皖豫联盟2019-2020学年高中毕业班第二次考试】 如图所示，在平面四边形ABCD 中，4tan 3BCD ∠=-.（1）若ACB ACD ∠=∠，22AB BC ==，求AC 的长； （2）若45CBD ︒∠=，2BC =，求BCD V 的面积. 【思路引导】（1）由tan BCD ∠，可求出cos BCD ∠，结合ACB ACD ∠=∠，可求得cos ACB ∠，在ABC V 中，由余弦定理可求出AC 的长；（2）先求得sin cos BCD BCD ∠∠，，则()sin sin 45CDB BCD ︒∠=∠+，然后利用正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可求出CD ，进而可求出BCD V 的面积.解：（1）4tan 3BCD ∠=-,则BCD ∠是钝角，cos 0BCD ∠<，可求得3cos 5BCD ∠=-. 因为ACB ACD ∠=∠，所以23cos 2cos 15BCD ACB ∠=-=∠-.因为cos 0ACB ∠>，所以cos ACB ∠=.在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠，即2305AC AC --=.解得AC =AC =（舍去）.所以AC =（2）由（1）可知，4sin 5BCD ∠==. 在BCD V 中，因为45CBD ∠=︒，所以()()sin sin 18045sin 45cos )CDB BCD BCD BCD BCD ∠=︒-∠-︒=∠+︒=∠+∠=由正弦定理得sin sin BC CDCDB CBD =∠∠，所以sin 10sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠. 故BCD V 的面积14210825S =⨯⨯⨯=.3.【2020届江西省南昌市第十中学高三上学期期末】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足3sin 2sin 3sin 3sin a A a C b B c C -=-.（1）求cos B 的值.（2）如图，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，若2AC =，求DBC △面积的最大值. 【思路引导】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解. （2）由（1）以及余弦定理、基本不等式可得22224233a c ac ac ac =+-≥-，由1S S 3BDC ABC ∆∆=即可求解.解：（1）3sin 2sin 3sin 3sin a A a C b B c C ∴-=-， 由正弦定理，可得2223233a ac b c -=-，则2221cos 23a cb B ac +-== （2）由（1）知1cos 3B =, 可得：22224233a c ac ac ac =+-≥-4,3ac = 3ac ∴≤，（当且仅当a c =时取等号）， 由2AD DC =，可得：1S S 3BDC ABC ∆∆=1111sin 33232ac B =⨯⨯≤⨯=，DBC ∴△的面积最大值为3. 4.【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2020届高三上学期三校联考】如图，在四边形ABCD 中，AD BD ⊥,AC 平分BAD ∠,BC =3BD =BCD ∆的面积为S =，ABC ∠为锐角.（Ⅰ）求CD ； （Ⅱ）求ABC ∠ .试题分析: (I)在BCD ∆中,由三角形的面积公式可求得CBD ∠,再利用余弦定理求出CD ；（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理求出sin BDC ∠和cos BDC ∠,根据题意AC 平分BAD ∠，CAD BAC ∠=∠,在ACD ∆和ABC ∆中分别写出正弦定理,得出比例关系,求出ABC ∠.解:(I)在ABC ∆中，31sin 22S BD BC BCD ==⋅⋅∠.因为3BC BD ==+1sin 2CBD ∠=. 因为ABC ∠为锐角，所以30CBD ∠=︒.在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠((22323=+-⋅+9= 所以CD 的长为3.(II)在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠3sin30=︒，解得sin BDC ∠= BC BD <Q ,BDC ∴∠也为锐角.cos 3BDC ∴∠=. 在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CDADC CAD=∠∠ 即3cos sin AC BDC CAD=∠∠①在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC BCABC BAC=∠∠即sin AC ABC =∠② Q AC 平分BAD ∠，∴CAD BAC ∠=∠由①②得sincos ABC BDC ∠=∠sin 2ABC ∠= 因为ABC ∠为锐角，所以45ABC ∠=︒ .5.【2020届山东省潍坊市高三上学期期末考试】在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，a =. (1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积【思路引导】（1）结合正弦定理，条件选择①3sin 4cos a C c A =，则34sinAsinC sinCcosA =，再利用公式22sin cos 1A A +=求sin A ；若选择条件②，由正弦定理和诱导公式可得22AsinBcos=，再根据二倍角公式求得2A sin=，再根据sin 2sin cos 22A A A =求解.（2）解法1:设BM MC m ==，在BMC △中由余弦定理，解得m =再由（1）4sin 5A =，解得AB 边长，最后求得到ABC ∆的面积；解法2：由MB MC =可知，3225sin C sin A cosA π⎛⎫⎭=⎪⎝=-=，，再根据正弦定理和面积公式ABC S ∆=4545sin cos sin 244C C C ==. 解：解:若选择条件①，则答案为:(1)在ABC V 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =， 因为sin 0C ≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==， 所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=5sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知45cos BMC cos BMA sinA ∠=-∠=-=-在BMC △中由余弦定理得:22418225m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，解得m =所以2113352252BMC S m sin BMC =∠=⨯⨯=V 在Rt ABM V 中，4,52sinA BM ABM π==∠=所以AB =158ABM S =V ，所以31527288ABC S =+=V 解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠， 因为,2ABM π∠=所以2,222A C C A ππ∠+∠=∠=-∠，所以22sin C sin A cosA π⎛⎫⎪⎝⎭=-= 因为A 为锐角，所以325sin C cosA ==又sin sin sin 4b c a B C A ===所以sin ,4b B =,4c C =所以11445sin sin sin sin 2244542ABC S bc A B C C C π⎛⎫==⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭V 454527sin cos sin 2448C C C ===若选择条件②，则答案为:(1)因为22B C bsin +=，所以22Absin π-=，由正弦定理得22AsinBcos =，因为0sinB ≠，所以2,2A cos =222A A Acos cos =，因为02Acos≠，所以2A sin =，则2A cos=，所以4sin 2sin cos 225A A A ==. (2)同选择①6.【2020届广东省韶关市高三上学期期末调研】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,AD AB BC CD DB ====，设DAB θ∠=.（1）若23πθ=，求sin ADB ∠的值； （2）用θ表示四边形ABCD 的面积()S θ，并求()S θ的最大值. 【思路引导】（1）由余弦定理得BD ，再由正弦定理求得结论；（2）同（1）由余弦定理表示出BD ，求出两个三角形ABD ∆和BCD ∆的面积，可得()S θ，再由三角函数的公式变为一个角的一个三角函数形式，然后可得最大值．解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理知2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅∠ 由已知21,2,3AD AB DAB π==∠=，代入上式得：211421272BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即BD =又由正弦定理得：sin sin AB BDADB DAB=∠∠即：22sin sin 3ADB π=∠，解得：sin 7ADB ∠=（2）在ABC ∆中，由余弦定理知214212cos 54cos BD θθ=+-⨯⨯⨯=-故())112sin 54cos sin 2S θθθθθ=⨯⨯⨯-=-+2sin )34πθθπ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭所以2333πππθ-<-<故max S 526S π⎛⎫==⎪⎝⎭． 7.【湖北省宜昌市2019-2020学年高三期末数学】已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且2222cos cos b c a ac C c A +-=+.（1）求A ；（2）在ABC ∆中，BC =D 为边AC 的中点，E 为AB 边上一点，且DE AC ⊥，DE =，求ABC ∆的面积. 【思路引导】（1）由余弦定理得2cos cos cos b A a C c A =+，再由正弦定理得2sin cos sin()B A A C ⋅=+，进而得1cos 2A =，即可求解（2）在Rt AED ∆中，求得AD =，AC =ABC ∆中由正弦定理得4B π=，结合三角形的面积公式，即可求解.解：（1）由余弦定理有22cos cos cos bc A ac C c A =+， 化简得2cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin sin()B A A C C A A C ⋅=⋅+=+ ∵A B C π++=，∴2sin cos sin B A B ⋅=，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又由0A π<<，∴3A π=. （2）在AEC ∆中，D 为边AC 的中点，且DE AC ⊥， 在Rt AED ∆中，2DE =，3A π=，所以2AD =，AC =ABC ∆中由正弦定理得sin sin AC BC B A =，得sin B ，4B π=，512C π=，所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=8.【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】 （1）当()k k z απ≠∈时，求证：1cos tan2sin ααα-=；（2）如图，圆内接四边形ABCD 的四个内角分别为A 、B 、C 、D .若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =.求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.【思路引导】（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）ABCD 为圆的内接四边形可知sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由（1）结论原式可化为22sin sin A B+，连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理即可求解. 解：（1）证明21cos 22sin 1cos 22sin sin 22sin cos 222ααααααα-⋅-==⋅⋅tan 2α=.（2）因为ABCD 为圆的内接四边形，所以sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由此可知：tantan tan tan 2222A B C D+++1cos 1cos 1cos 1cos sin sin sin sin A B C DA B C D ----=+++22sin sin A B=+连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理可得： 22536cos 256y A +-=⨯⨯，2916cos 234y C +-=⨯⨯，2369cos 263x B +-=⨯⨯，22516cos 254x D +-=⨯⨯，解得281919x =，22477y =，那么3cos 7A =，1cos 19B =，sin A =sin B =所以原式3=. 9.【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】如图所示，锐角ABC ∆中，AC =D 在线段BC 上，且CD =，ACD ∆的面积为，延长BA 至E ，使得EC BC ⊥.（Ⅰ）求AD 的值； （Ⅱ）若2sin 3BEC ∠=，求AE 的值. 【思路引导】（Ⅰ）在ACD ∆中，由面积公式得sin 5ACD ∠=，进而得1cos 5ACD ∠=，再由余弦定理求解即可；（Ⅱ）由EC BC ⊥，得()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒-∠=∠=，在AEC ∆中，再由正弦定理求解即可 解：（Ⅰ）在ACD ∆中，1sin 2ACD S AC CD ACD ∆=⋅∠1sin 2ACD =⨯∠=所以sin 5ACD ∠=. 因为090ACD ︒<∠<︒，所以1cos 5ACD ∠==. 由余弦定理得2222cos 56AD CD CA CD CA ACD =+-⋅⋅⋅∠=，得AD =（Ⅱ）因为EC BC ⊥，所以()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒-∠=∠=. 在AEC ∆中，由正弦定理得sin sin AE ACACE AEC=∠∠，即1253AE =，所以AE =. 10.【北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AB =3CD =，sin 14DBC ∠=，3C π∠=.（1）求sin BDC ∠的值； （2）求BD ，AD 的值. 【思路引导】（1）由同角三角函数基本关系得13cos 14DBC ∠=，利用两角和的正弦及内角和定理展开求解即可 （2）利用正弦定理得7BD =，再利用余弦定理求解 解：（1）∵sin DBC ∠=，22sin cos 1,02DBC DBC DBC π∠+∠=<∠<，∴13cos 14DBC ∠=在△BDC 中，,3=C DBC C BDC ππ∠∠+∠+∠=，∴sin sin()BDC DBC C ∠=∠+∠sin cos cos sin DBC C DBC C =∠⋅+∠⋅113214=+=（2）在△BDC 中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C =∠= 解得7BD =，∵2ABD DBC π∠+∠=，sin 14DBC ∠=，∴cos ABD∠14=， 在△ABD中，AB =2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅∠2272749=+-⋅= 解得7AD = 11.【2020届福建省龙岩市高三上学期期末教学质量检查】如图，在平面四边形ABCD 中，2BC =，4CD =，且AB BD DA ==.（1）若6CDB π∠=，求tan ABC ∠的值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【思路引导】（1）根据条件由正弦定理，求出sin 1CBD ∠=，从而求出2CBD π∠=，即可求出结果；（2）设,0BCD θθπ∠=<<，根据余弦定理求出2BD ，将,BCD ABC ∆∆的面积和表示为θ的函数，由辅助角公式化简面积表达式，再结合正弦函数的最值，即可求解.解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠， ∴4sin6sin 12CBD π⨯∠==，∵0CBD π<∠<，∴2CBD π∠=，∴()tan tan tan 32ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+ ⎪⎝⎭5tan tan 66ππ==-=. （2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅2224224cos θ=+-⨯⨯2016cos θ=-.∴21sin 2ABCD BC CD S BD θ=⋅+四边形4sin θθ=-+8sin 3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当56πθ=时，四边形ABCD 面积的最大值8+. 12.【2020届广东省东莞市高三期末调研测试】如图，在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且2cos 2a C c b -=．（1）求角A 的大小；（2）若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC V 的面积． 【思路引导】（1）利用正弦定理化边为角可得2sin cos sin 2sin A C C B -=,则()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,进而求得角A 即可；（2）由（1）可得6C π=,则AC AB =,设AD x =,则2AB x =,在ABD △中,根据余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅,可得x =进而求得ABC V 的面积即可解：（1）因为2cos 2a C c b -=,根据正弦定理,得2sin cos sin 2sin A C C B -=,即()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,所以2sin cos sin 2sin cos 2sin cos A C C A C C A -=+,整理得sin 2sin cos C C A -=,因为sin 0C ≠,所以1cos 2A =-, 又因为()0,A π∈,则23A π= （2）由（1）知23A π=,又因为6ABC π∠=,所以6C π=,所以AC AB =, 因为D 是AC 中点, 设AD x =,则2AB x =, 在ABD △中,根据余弦定理,得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅, 即()22227222cos 3x x x x π=+-⋅⋅⋅即2749x =,解得x =故ABC V 的面积2112sin 4sin 223S AB AC A x π=⋅⋅=⋅⋅=。

1专题07 等边三角形的判定与性质知识对接考点一、等边三角形的判定与性质 1、性质： (1)三边相等.(2)三个内角相等,每一个内角都等于60°. (3)是轴对称图形,有三条对称轴. (4)面积:S=43a 2(a 为等边三角形的边长). 2、判定：(1)三边相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.专项训练一、单选题1．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，其中四边形OBCD 为平行四边形，连接AB ，AC ，则⊙A 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】A 【分析】连接OC ，先证明⊙OBC 是等边三角形，得到⊙BOC ＝60°，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】 解：连接OC ．⊙四边形OBCD为平行四边形，⊙OD＝BC，⊙OB＝OC＝OD，⊙OB＝OC＝BC，⊙⊙OBC是等边三角形，⊙⊙BOC＝60°，⊙BOC＝30°，⊙⊙BAC＝12故选A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．（2021·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学九年级二模）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O 上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（）A．36°B．30°C．25°D．22.5°【答案】B【分析】连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，⊙ABE=⊙CBG=α，先证明⊙OAB和⊙OBG 都是等边三角形，得到⊙OBA=⊙OBG=60°，再由⊙ABO+⊙OBG=⊙ABC+⊙CBG=120°，求解即可．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，⊙ABE=⊙CBG=α⊙正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，⊙OA=OB=OG=BG=AB，⊙⊙OAB和⊙OBG都是等边三角形，3⊙⊙OBA =⊙OBG =60°，⊙⊙ABO +⊙OBG =⊙ABC +⊙CBG =120°，⊙ABC =90°（正方形的性质）， ⊙⊙CBG =30°， ⊙α=30°， 故选B ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．（2021·西安市铁一中学）如图，在矩形ABCD 中，DAB ∠的平分线交BD 于点F ，CD 于点E ，15EAC ∠=︒，AB =EF 的长为（ ）A．2 BC．2 D1【答案】B 【分析】过点F 作FG AD ⊥于点G ，根据矩形性质证明OAD ∆是等边三角形，利用tan60=︒GF DG ，求出GF 的长，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，过点F 作FG AD ⊥于点G ，在矩形ABCD 中，EA 是DAB ∠的平分线， ⊙45DAE EAB AED ∠=∠=∠=︒， ⊙AD DE =，AG GF =， ⊙15EAC ∠=︒，⊙60=︒∠DAC ，⊙OAD ∆是等边三角形， ⊙60ADB ∠=︒， ⊙AB = ⊙2AD =，4BD =， ⊙2AD DE ==， ⊙AE =⊙60GDF ∠=︒，2=-=-DG AD AG GF ， ⊙tan60=︒GF DG ，⊙()2=-GF GF解得3=GF⊙==AF⊙(=-=EF AE AF ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·海南三亚·九年级一模）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC ==ABC 绕点C 逆时针转60︒，得到MNC ，则BM 的长是（ ）A ．1B ．1C D ．2+【答案】B 【分析】连接AM ，BM 交AC 于D ，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AC =＝2，再根据旋转的性质得CM ＝CA ＝2，⊙ACM ＝60°，则可判断⊙ACM 为等边三角形，直接证BM 垂直平分AC ，然后利用等腰直角三角形和等边三角形的性质计算出BD 和MD ，从而得到BM 的长． 【详解】5解：连接AM ，BM 交AC 于D ，如图，⊙⊙ABC ＝90°，AB ＝BC = ⊙AC ===2，⊙⊙ABC 绕点C 逆时针转60°，得到⊙MNC ， ⊙CM ＝CA ＝2，⊙ACM ＝60°， ⊙⊙ACM 为等边三角形， ⊙MA ＝MC ， 而BA ＝BC ， ⊙BM 垂直平分AC ， ⊙BD 12=AC ＝1，MD ==2 ⊙BM ＝1 故选：B ． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质． 5．（2021·河北九年级）如图，直线AB 、CD 交于点O ，若AB 、CD 是等边MNP △的两条对称轴，且点P 在直线CD 上（不与点O 重合），则点M 、N 中必有一个在（ ）A ．AOD ∠的内部B ．BOD ∠的内部PC ．BOC ∠的内部D ．直线AB 上【答案】D 【分析】根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可． 【详解】 解：如图，⊙⊙PMN是等边三角形，⊙⊙PMN的对称轴经过三角形的顶点，⊙直线CD，AB是⊙PMN的对称轴，又⊙直线CD经过点P，⊙直线AB一定经过点M或N，故选：D．【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2021·四川绵阳·）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（）A．2B．3C D【答案】D【分析】如图所示，等边三角形ABC，BC边上的高AD即为所求．【详解】解：如图所示等边三角形ABC，AD是BC边上的高，由题意可知AD的长即为所求，AB=2，⊙B=60°，⊙sinAD AB B==故选D．7【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．（2021·四川雅安·）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若四边形OBCD 为菱形，A ∠为（ ）．A ．45°B ．60°C ．72°D ．36°【答案】B 【分析】根据菱形性质，得OB OD BC CD ===；连接OC ，根据圆的对称性，得OB OC OD ==；根据等边三角形的性质，得BOD ∠，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案． 【详解】⊙四边形OBCD 为菱形 ⊙OB OD BC CD === 连接OC⊙四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形 ⊙OB OC OD ==⊙OBC ，OCD 为等边三角形 ⊙60BOC COD ∠=∠=︒⊙120BOD BOC COD ∠=∠+∠=︒⊙1602A BOD ︒∠=∠=故选：B ． 【点睛】本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解．8．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，=AC 6BD =，点P 是AC 上一动点，点E 是AB 的中点，则PD PE +的最小值为（ ）A ．B ．C ．3D ．【答案】A 【分析】连接DE ，先根据两点之间线段最短可得当点,,D P E 共线时，PD PE +取得最小值DE ，再根据菱形的性质、勾股定理可得6AB =，然后根据等边三角形的判定与性质求出DE 的长即可得． 【详解】解：如图，连接DE ，由两点之间线段最短得：当点,,D P E 共线时，PD PE +取最小值，最小值为DE ，四边形ABCD 是菱形，=AC 6BD =， 11,3,22AB AD OB BD OA AC AC BD ∴=====⊥，6AB ∴=， 6AB AD BD ∴===，ABD ∴是等边三角形，9点E 是AB 的中点， 13,2AE AB DE AB ∴==⊥，DE ∴即PD PE +的最小值为 故选：A ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．9．（2021·天津）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A ．ABC ADC ∠=∠B ．CB CD =C ．DE DC BC +=D ．AB CD ∥【答案】D 【分析】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，即可求出60ADC ∠=︒，由于60ABC ∠<︒，则可判断ABC ADC ∠≠∠，即A 选项错误；由旋转可知CB CE =，由于CE CD >，即推出CB CD >，即B 选项错误；由三角形三边关系可知DE DC CE +>，即可推出DE DC CB +>，即C 选项错误；由旋转可知DC AC =，再由60ADC ∠=︒，即可证明ADC 为等边三角形，即推出60ACD ∠=︒．即可求出180ACD BAC ∠+∠=︒，即证明//AB CD ，即D 选项正确；【详解】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒， ⊙点A ，D ，E 在同一条直线上， ⊙18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒， ⊙60ABC ∠<︒，⊙ABC ADC ∠≠∠，故A 选项错误，不符合题意； 由旋转可知CB CE =，⊙120EDC ∠=︒为钝角， ⊙CE CD >，⊙CB CD >，故B 选项错误，不符合题意； ⊙DE DC CE +>，⊙DE DC CB +>，故C 选项错误，不符合题意； 由旋转可知DC AC =， ⊙60ADC ∠=︒， ⊙ADC 为等边三角形， ⊙60ACD ∠=︒． ⊙180ACD BAC ∠+∠=︒，⊙//AB CD ，故D 选项正确，符合题意； 故选D ． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．10．（2021·安徽）如图，在ABC 中，AB ＝BC ＝3，⊙ABC ＝30°，点P 为ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，求P A +PB +PC 的最小值（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】将⊙ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到⊙BFE ，连接PF ，E C ．易证P A +PB +PC =PC +PF +EF ，因为PC +PF +EF ≥EC ，推出当P ，F 在直线EC 上时，P A +PB +PC 的值最小，求出EC 的长即可解决问题． 【详解】解：将⊙ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到⊙BFE ，连接PF ，E C ．11由旋转的性质可知：⊙PBF 是等边三角形， ⊙PB =PF ， ⊙P A =EF ，⊙P A +PB +PC =PC +PF +EF ， ⊙PC +PF +EF ≥EC ，⊙当P ，F 在直线EC 上时，P A +PB +PC 的值最小， 由旋转可知：BC =BE =BA =3，⊙CBE =⊙ABC +⊙ABE =90°， ⊙EB ⊙BC ， ⊙ECBC=⊙P A +PB +PC的最小值为 故选A ． 【点睛】本题旋转变换，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 二、填空题11．（2021·杭州市十三中教育集团（总校））如图，点D 是等边⊙ABC 边BC 上一点，将等边⊙ABC 折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF （点E 在边AB 上）． （1）当点D 为BC 的中点时，AE ：EB ＝________； （2）当点D 为BC 的三等分点时，AE ：EB ＝________．【答案】1：1 7：5或7：8 【分析】（1）连接AD ，然后根据折叠的性质和等边三角形的性质求解即可；（2）分当DC ：BD ＝1：2时，当DC ：BD ＝2：1时两种情况，利用相似三角形进行求解即可. 【详解】解：（1）如图，连接AD ，⊙D 为BC 的中点，⊙ABC 为等边三角形，折叠， ⊙AD ⊙BC ，⊙DAB ＝⊙DAC ＝1=2BAC ∠30°，⊙B ＝60°，⊙⊙EDB ＝90°﹣30°＝60°＝⊙B ， ⊙⊙BED 为等边三角形，⊙AE ＝ED ＝BE ，即AE ：EB ＝1：1， 故答案为：1：1；（2）当DC ：BD ＝1：2时， 设CD ＝k ，BD ＝2k ， ⊙AB ＝AC ＝3k ， ⊙⊙ABC 为等边三角形， ⊙⊙EDF ＝⊙A ＝60°，⊙⊙EDB +⊙FDC ＝⊙BED +⊙EDB ＝120°， ⊙⊙BED ＝⊙FDC ， ⊙⊙B ＝⊙C ＝60°， ⊙⊙BED ⊙⊙CDF ， ⊙=BE BED DC CDF 的周长的周长， ⊙54BE kk k， ⊙BE ＝54k ，⊙AE ＝74k ， ⊙AE ：BE ＝7：5，13当DC ：BD ＝2：1时， 设CD ＝2k ，BD ＝k ， 同上一种情况得：=BE BED DC CDF 的周长的周长， ⊙425BE kk k⊙BE ＝85k ， ⊙AE ＝75k， ⊙AE ：BE ＝7：8， 故答案为：7：5或7：8．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.12．（2021·陕西西安·交大附中分校）如图，在边长为6cm 的正六边形中，点P 在边AB 上，连接PD 、PE ．则PDE 的面积为______cm 2．【答案】【分析】首先求得正六边形的边心距，从而求得⊙PDE 边DE 上的高，利用三角形的面积公式求得答案即可．【详解】解：如图所示，连接OD 、OE ，此正六边形中DE＝6，则⊙DOE＝60°；⊙OD＝OE，⊙⊙ODE是等边三角形，⊙OG⊙DE，⊙⊙DOG＝30°，⊙OG＝OD•cos30°＝cm），⊙⊙PDE边DE上的高为2OG＝cm），cm2），⊙S⊙PDE＝12故答案为【点睛】此题考查了正六边形的性质，三角形面积的求法，解题的关键是根据题意作出辅助线．13．（2021·江苏九年级二模）若线段DE是等边⊙ABC的中位线，且DE＝2，则⊙ABC的周长为____．【答案】12．【分析】根据三角形中位线定理求出BC，根据等边三角形的概念计算即可．【详解】解：如图，⊙DE是⊙ABC的中位线，⊙BC＝2DE＝4，⊙⊙ABC为等边三角形，15⊙AB ＝AC ＝BC ＝4， ⊙⊙ABC 的周长为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的概念，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．（2021·山东滨州·）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，2AB =．若点P 是ABC 内一点，则PA PB PC ++的最小值为____________．【分析】根据题意，首先以点A 为旋转中心，顺时针旋转⊙APB 到⊙AP ′B ′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到P A +PB +PC =PP ′+P ′B ′+PC ，再根据两点之间线段最短，可以得到P A +PB +PC 的最小值就是CB ′的值，然后根据勾股定理可以求得CB ′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A 为旋转中心，顺时针旋转⊙APB 到⊙AP ′B ′，旋转角是60°，连接BB ′、PP ′，CB '，如图所示，则⊙P AP ′=60°，AP =AP ′，PB =P ′B ′， ⊙⊙APP ′是等边三角形， ⊙AP =PP ′，⊙P A +PB +PC =PP ′+P ′B ′+PC ，⊙PP ′+P ′B ′+PC ≥CB ′，⊙PP ′+P ′B ′+PC 的最小值就是CB ′的值， 即P A +PB +PC 的最小值就是CB ′的值， ⊙⊙BAC =30°，⊙BAB ′=60°，AB =AB '=2，⊙⊙CAB ′=90°，AB ′=2，AC =AB •cos ⊙BAC =2×cos 30°=2= ⊙CB=【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出P A +PB +PC 的最小值就是CB ′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．15．（2021·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边ABC ∆中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE CF =，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为___________．【答案】 【分析】首先证明120APB ∠=︒，推出点P 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的弧．连接CO 交⊙O 于P'，当点P 运动到P'时，CP 取到最小值． 【详解】如图所示，⊙边长为6的等边ABC ∆，17⊙6AC AB ==，60ACB CAB ∠=∠=︒ 又⊙AE CF = ⊙()ACF BAE SAS ≅ ⊙CAP PBA ∠=∠⊙60EPA PBA PAB CAP PAB CAB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ⊙120APB ∠=︒⊙点P 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的弧 此时120AOB ∠=︒连接CO 交⊙O 于P'，当点P 运动到P'时，CP 取到最小值 ⊙CA CB =，CO CO =，OA OB = ⊙()ACO BCO SSS ≅⊙30ACO BCO ∠=∠=︒，60AOC BOC ∠=∠=︒ ⊙90CAO CBO ∠=∠=︒ 又⊙6AC =⊙'tan 306OP OA AB ==⋅︒==cos30AB OC =⋅==︒⊙''CP OC OP =-==即min CP =故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强． 三、解答题16．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，点E 是AC 的中点，且AC AD =（1）尺规作图：作CAD ∠的平分线AF ，交CD 于点F ，连结EF 、BF （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若45BAD ∠=︒，且2CAD BAC ∠=∠，证明：BEF 为等边三角形．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出CAD ∠的平分线AF 即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到12BE AC =并求出30BEC BAC ABE ∠=∠+∠=︒，再根据等腰三角形三线合一性质得出CF DF =，从而得到EF 为中位线，进而可证BE EF =，60BEF ∠=︒，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．【详解】解：（1）如图，AF 平分CAD ∠，（2）⊙45BAD ∠=︒，且2CAD BAC ∠=∠， ⊙30CAD ∠=︒，15BAC ∠=︒， ⊙AE EC =，90ABC ∠=︒， ⊙12BE AE AC ==， ⊙15ABE BAC ∠=∠=︒， ⊙30BEC BAC ABE ∠=∠+∠=︒， 又⊙AF 平分CAD ∠，AC AD =， ⊙CF DF =， 又⊙AE EC =， ⊙1122EF AD AC ==，//EF AD ，19⊙30CEF CAD ∠=∠=︒， ⊙60BEF BEC CEF ∠=∠+∠=︒ 又⊙12BE EF AC ==⊙BEF 为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理． 17．（2021·南山实验教育集团南海中学九年级三模）如图，BC 是O 的直径，点A 是O 上一点，点D 是BC 延长线上一点，AB AD =，AE 是O 的弦，30AEC ∠=．（1）求证：直线AD 是O 的切线； （2）若3CD =，求O 的半径；（3）若AE BC ⊥于点F ，点P 为ABE 上一点，连接AP ，CP ，EP ，请找出AP ，CP ，EP 之间的关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）EP AP +=，理由见解析 【分析】（1）先求出⊙BAD ＝120°，再求出⊙OAB ，进而得出⊙OAD ＝90°，即可得出结论； （2）先判断出⊙AOC 是等边三角形，得出AC ＝OC ，再判断出AC ＝CD ，即可得出结论； （3）先判断出⊙CAP ＝⊙CEM ，进而得出⊙ACP ⊙⊙ECM （SAS ），进而得出CM ＝CP ，⊙APC ＝⊙M ＝30°，再判断出MN =，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接AC OA ，，30AEC ∠=︒， 30ABC AEC ∴∠∠︒==，AB AD =，30D ABC ∴∠∠︒==，120BAD ∴∠=︒，OA OB =，，30OAB ABC ∴∠=∠=︒，90OAD BAD OAB ∴∠∠∠︒=-=，点A 在O 上， ⊙直线AD 是的切线； （2）解：如图1，连接AC ，由（1）知，30D ∠=︒，90OAD ∠=︒，9060AOC D ∴∠︒∠︒=-=，∴AOC △是等边三角形，OC AC ∴=，60OAC ∠=︒，30CAD OAD OAC D ∴∠∠-∠︒∠=＝=， 3AC CD ∴==，3OC ∴=，即O 的半径为3；（3）EP AP +=， 理由：如图， 30AEC ︒∠=， 30APC AEC ︒∴∠=∠=，连接AC ，延长PE 至M ，使EM AP =，连接CM ，AE BC ⊥，BC 为O 的直径，AC EC ∴=，四边形APEC 是O 的内接四边形，CAP CEM ∴∠=∠，∴()ACP ECM SAS ≅，21CM CP ∴=，30APC M ︒∠=∠=，过点C 作CN PM ⊥于N ，2PM MN ∴=，在Rt CNM △中，MNcos CMM =，MN cos30CM ∴︒=MN ∴=，2PM MN ∴===，PM PE EM PE AP =+=+，PE AP ∴+=，即EP AP +=． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．18．（2021·广州市八一实验学校九年级）如图，在⊙P AB 中，点C 、D 在AB 上，PC ＝PD ＝CD ，⊙A ＝⊙BPD ，求证：⊙APC ⊙⊙BPD ．【答案】见解析 【分析】根据PC ＝PD ＝CD ，可得出PCD 为等边三角形，即可得出PCD PDC ∠=∠,进而得出ACP PDB ∠=∠,再根据相似三角形的判定推出即可．【详解】证明：⊙PC ＝PD ＝CD ， ⊙PCD 为等边三角形， ⊙⊙PCD ＝⊙PDC 60=︒， ⊙120ACP PDC ∠=∠=︒, ⊙⊙A ＝⊙BPD ， ⊙⊙APC ⊙⊙PBD ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．19．（2021·黄石市有色中学九年级）如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）若2DG =，求AC 的长； （2）求证：AB AE AF =+． 【答案】（1）4；（2）见解析 【分析】（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出⊙BAD =⊙DAC =12×120°=60°，再由AD =AB ，可得⊙ABD 是等边三角形，由等边三角形的性质得出DG =AG =12AD =2，，即可求解； （2）由⊙ABD 是等边三角形，得出BD =AD ，⊙ABD =⊙ADB =60°，证出⊙BDE =⊙ADF ，由ASA 证明⊙BDE ⊙⊙ADF ，得出AF =BE ，即可求解． 【详解】解：（1）证明：⊙AB =AC ，AD BC ⊥， ⊙⊙BAD =⊙DAC =12⊙BAC ， ⊙⊙BAC =120°，⊙⊙BAD =⊙DAC =12×120°=60°，⊙AD =AB ，⊙⊙ABD 是等边三角形， ⊙AD =AB =BD ， ⊙AD BC ⊥， ⊙DG =AG =12AD =2， ⊙AD =AB =AC =4， 即AC =4；（2）⊙⊙ABD 是等边三角形， ⊙⊙ABD =⊙ADB =60°，BD =AD ， ⊙AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，⊙⊙BAD=⊙DAC=12×120°=60°，⊙⊙ABD=⊙DAC，⊙⊙EDF=60°，⊙⊙ADB-⊙ADE=⊙EDF-⊙ADE，即⊙BDE=⊙ADF，⊙⊙BDE⊙⊙ADF（ASA），⊙BE=AF，⊙AB=AE+BE，⊙AB=AE+AF．【点睛】本题主要考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．20．（2021·合肥市五十中学东校九年级三模）如图1，已知等腰直角ΔABC，⊙ACB＝90°，在直角边BC上取一点D，使⊙DAC＝15°，以AD为一边作等边ΔADE，且AB与DE相交．（1）求证：AB垂直平分DE；（2）连接BE，判断EB与AC的位置关系，并说明理由；（3）如图2，若F为线段AE上一点，且FC＝AC，求EFAF的值．【答案】（1）见解析；（2）互相平行；见解析；（3）1【分析】（1）根据⊙DAC＝15°及等腰直角三角形的性质，可得⊙DAB=30°，根据等边三角形的性质可得⊙EAB=30°，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由（1）的结论易得BD=BE，⊙EBA=⊙CBA=45°，即BE⊙BC，从而可得BE与AC的位置关系；（3）延长CF，与BE的延长线交于点G．易得CF=BF；其次由（2）的结论易得⊙G=30°，从而CG=2BC=2FC，即CF=GF，然后可证明⊙CAF⊙⊙GEF，从而得AF=EF，即可得结果．【详解】（1）⊙⊙ABC是等腰直角三角形，⊙ACB=90°⊙AC=BC，⊙CAB=⊙CBA=45°⊙⊙DAC=15°⊙⊙DAB=⊙CAB-⊙DAC=30°23⊙⊙ADE 是等边三角形 ⊙⊙DAE =60°⊙⊙EAB =⊙DAE -⊙DAB =30° ⊙⊙DAB =⊙EAB ⊙⊙ADE 是等边三角形 ⊙AB 垂直平分DE （2）互相平行 理由如下： ⊙AB 垂直平分DE ⊙BD =BE⊙⊙EBA =⊙CBA =45° ⊙⊙EBC =⊙EBA +⊙CBA =90° 即⊙EBC +⊙ACB =180° ⊙BE ⊙AC（3）延长CF ，与BE 的延长线交于点G ，如图所示⊙⊙F AC =⊙DAE +⊙DAC =75°，FC =AC ⊙⊙CF A =⊙F AC =75° ⊙⊙FCA =180°－2×75°=30° ⊙AC =BC ，AC =FC ⊙BC =FC由（2）知：BE ⊙AC ⊙⊙G =⊙FCA =30° ⊙⊙EBC =90° ⊙CG =2BC =2FC ⊙CF =GF在⊙CAF 和⊙GEF 中 FCA G CF GFCFA GFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩⊙⊙CAF ⊙⊙GEF (ASA ) ⊙AF =EF ⊙1EFAF=25【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，第（3）问的关键是作辅助线，构造三角形全等．21．（2021·广西柳州市·）如图，已知ABC 中，AC BC =，以BC 为直径的O 交AB 于E ，过点E 作EG AC ⊥于G ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若30F ∠=︒，求证：24FG FC FB =⋅； （3）当6BC =，4EF =时，求AG 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）245【分析】（1）连接EC ，OE ，由BC 为O 的直径，可得90BEC ∠=︒，由AC BC =，可得E 为AB 中点，由O 为BC 中点，利用中位线性质可得OE∥AC ，由EG AC ⊥，可得OE EG ⊥即可； （2）由OE OC =，可得OEC OCE ∠=∠，由EF 为圆的切线，可得90FEC OEC ∠+∠=︒，由90BEC ∠=︒，可得90B BCE ∠+∠=︒，可证FEC FBE △∽△，可得2FE FC FB =⋅，当30F ∠=︒时，可求60FOE ∠=︒，可证OEC △为等边三角形，可得30FEC F ∠=︒=∠，可证2FE FG =即可；（3）由（2）得2FE FC FB =⋅，可得()246FC FC =⋅+，解得2FC =或FC =-8舍去，可证FCG FOE △∽△，可得253CG=，可求65CG =即可． 【详解】解：（1）证明：连接EC ，OE ， ⊙BC 为O 的直径， ⊙90BEC ∠=︒， ⊙CE AB ⊥， 又⊙AC BC =， ⊙E 为AB 中点， 又⊙O 为BC 中点， ⊙OE∥AC ，又⊙EG AC ⊥， ⊙OE EG ⊥， 又OE 为O 的半径， ⊙FE 是O 的切线．（2）⊙OE OC =， ⊙OEC OCE ∠=∠， ⊙EF 为圆的切线， ⊙90FEC OEC ∠+∠=︒， ⊙90BEC ∠=︒ ⊙90B BCE ∠+∠=︒， ⊙FEC B ∠=∠， 又⊙F F ∠=∠， ⊙FEC FBE △∽△， ⊙FE FCFB FE=， ⊙2FE FC FB =⋅，当30F ∠=︒时，60FOE ∠=︒， 又OE OC =，⊙OEC △为等边三角形， ⊙60OEC ∠=︒， ⊙30FEC F ∠=︒=∠， ⊙CE CF =， 又CG FE ⊥， ⊙2FE FG =， ⊙()22FG FC FB =⋅， 即24FG FC FB =⋅．（3）由（2）得2FE FC FB =⋅， 又6BC =，4FE =，FB=BC +FC =6+FC ，27⊙()246FC FC =⋅+，因式分解得（FC +8）（FC -2）=0， 解得2FC =或FC =-8舍去， ⊙6BC =， ⊙132OE OC BC ===，6AC BC ==， ⊙235FO FC CO =+=+=， ⊙CG∥OE ，⊙⊙GCF =⊙EOF ，⊙FGC =⊙FEO ， ⊙FCG FOE △∽△， ⊙FC CG FO OE =，即253CG=， ⊙65CG =， ⊙624655AG AC CG =-=-=． 【点睛】本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质，掌握圆的切线判断，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质是解题关键． 22．（2021·江苏九年级）如图，⊙ABC 为等边三角形，AB ＝6，将边AB 绕点A 顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD ，连接CD ，CD 与AB 交于点G ，⊙BAD 的平分线交CD 于点E ，F 为CD 上一点，且DF ＝2CF ． （1）当⊙EAB ＝30°时，求⊙AEC 的度数；（2）当线段BF 的长取最小值时，求线段AG 的长； （3）请直接写出⊙ADE 的周长的最大值．【答案】（1）60°；（2）AG ＝12；（3）6＋【分析】（1）用角平分线的性质和旋转性质即可；（2）作FM ⊙AD ，连接BM ，FM ＝2，点F 的运动轨迹是以M 为圆心、2为半径的圆，当B、F 、M 共线时，BF 取最小值； 由⊙ADG ⊙⊙BFG 可求AG ；（3）连接BE ，设BAE α∠=，AE 平分BAD ∠，可得,DAE ED EB α==∠，得到A E B C 、、、四点共圆，作ABC 的外接圆O ，CAB △是等边三角形，可将CAB △绕点C 顺时针旋转60︒得到CAN △，得E 、A 、N 三点共线，求出AE DE +的最大值，即可求出ADE 的周长. 【详解】（1）⊙AD 由AB 旋转得到AD =AB ⊙AE 平分BAD ∠ ⊙30DAE EAB ∠=∠=︒ ⊙120DAC ∠=︒ ⊙30D ∠=︒⊙=AEC D DAE ∠+∠∠ ⊙⊙AEC ＝60°； （2）如图，⊙CA =AB =6 ⊙2163CM CD ==，⊙13CM CA =，13FM AD =， 又DF 2CF = ⊙13CF CD = ⊙13CF CM CD CA == 又MCF ACD =∠∠ ⊙MCF ACD ∽∠∠ ⊙12,3MF AD CFM D ====∠∠ ⊙FM ＝2，⊙点F 的运动轨迹是以M 为圆心、2为半径的圆， ⊙当B 、F 、M 共线时，BF 取最小值 即min 2BM BM MF BM =-=- ⊙2,6,60CM BC ACB ===︒∠⊙BM =29⊙min 22BM BM MF BM -=-== ⊙CFM D =∠∠ ⊙FH ⊙AD又BF 取最小值点F 在BM 上， ⊙BFAD⊙⊙ADG ⊙⊙BFG ⊙AD AGBF BG=，6AGAG=-，⊙12AG ＝；⊙当BF取最小值时，12AG ＝ （3）如图，连接BE ，设BAE α∠= ⊙AE 平分BAD ∠ ⊙,DAE ED EB α==∠ ⊙602DAC α=︒+∠ 又60ABC ∠=︒ ⊙A E B C 、、、四点共圆作ABC 的外接圆O ，则点F 在O 上， 180CBE CAE +=︒∠∠又CAB △是等边三角形，⊙可将CBF 绕点C 顺时针旋转60︒得到CAN △ 由旋转的性质得：,,60CN CE AN EB ECN ===︒∠,CAN CBE =∠∠ ⊙180CAN CAE +=︒∠∠ ⊙E 、A 、N 三点共线 ⊙ECN 为等边三角形，⊙,AE ED AE EB AE AN EN CE +=+=+== ⊙6AB =⊙ABC 的外接圆O 的半径R ==R⊙CE 的最大值为2R =即AE DE +的最大值为⊙ADE 的周长是AD AE DE ++⊙ADE 的周长是6+ 【点睛】本题考查了三角形相似的性质和判定,等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建辅助圆来确定线段的最值问题.23．（2021·甘肃庆阳·九年级二模）如图，等边三角形ABC 的外部有一点P ，且30BPA ∠=︒，将AP 绕点B 逆时针旋转60°得到CQ ，连接BQ ．（1）求证：ABP CBQ ≌△△．（2）若4AP =，3BP =，求P ，C 两点之间的距离． 【答案】（1）见解析（2）5 【分析】（1）由旋转的性质可知，对应边相等，旋转角相等，用“边角边”证明三角形全等即可 （2）连接,PQ PC ，根据已知条件构造直角三角形，用勾股定理求得P C ，的距离 【详解】（1）由旋转的性质可知，,,60AB CB PB QB PBQ ABC ==∠=∠=︒PBA PBQ QBA ABC QBA QBC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠ABP CBQ ∴≌（SAS ）（2）连接,PQ PC,60PB BQ PBQ=∠=︒PBQ∴为等边三角形60PQB∴∠=︒,3PQ BQ==ABP CBQ≌△△∴30BPA BQC∠=∠=︒,4QC AP==603090PQB PQB BQC∴∠=∠+∠=︒+︒=︒222PC PQ QC∴=+5PC∴==【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键．31。

【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

中考专练之四边形的计算与证明——四边形与三角函数三角形及四边形的计算与证明是每年必考内容，经常与尺规作图、圆、函数等结合考查，偶尔单独考查．主要考查内容为：(1)求角度、线段长度、图形周长及面积、锐角三角函数值；(2)证明线段垂直、相等，三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形；(3)判断图形形状，线段或角之间的数量关系．1. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．（1）求证：∠CED=∠DAG；（2）若BE=1，AG=4，求sin AEB∠的值．【答案】（1）见解析（2）15 4【解析】：（1）证明：∵矩形ABCD，∴AD∥BC.∴∠CED =∠ADE.又∵点G是DF的中点，∴AG=DG.∴∠DAG =∠ADE.∴∠CED =∠DAG.(2) ∵∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG，∴∠AED=∠AGE.∴AE=AG.∵AG=4，∴AE=4.在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=15.∴15 sin4ABAEBAE∠==.2. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan ∠BDC=63．(1) 求BD 的长； (2) 求AD 的长． 【答案】 （1）10 （2） 2【解析】 (1)在Rt △BCD 中，∠BCD=90°，BC=2，tan ∠BDC= 63， ∴263CD . ∴CD= 6.∴由勾股定理得BD=BC 2+CD 2=10 .3. 已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，∠ABC ＝∠ACD ＝90°,AB ＝BC ＝26,tan ∠CDE ＝32. 求对角线BD 的长和△ABD 的面积.【答案】 （1）313（2）45 【解析】过点B 作BF AC ⊥于F∵90ABC ACD ∠=∠=︒, 62AB BC ==， ∴ 6BF AF CF ===90BFC ACD ∠=∠=︒∴BF ∥CD∴ FBE CDE ∠=∠ ∴ 2tan tan 3FBE CDE ∠=∠= 即23EF BF = ∴ 4EF = ∴2,3EC CD == ∴ 222264213BE BF EF =+=+= 22222313DE EC CD =+=+=∴313BD BE DE =+= (2) 114522ABD ABE ADE S S S AE BF AE CD ∆∆∆=+=⋅+⋅=4. 已知：如图，正方形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，联结CE. 求cos ∠ACE 和tan ∠ACE 的值.【答案】3101013【解析】过点E 作AC EF ⊥于点F ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC D BAD ,90︒=∠=∠平分BAD ∠， DC AD =．∴︒=∠45CAD ，AD AC 2=． ∵E 是AD 中点， ∴AD DE AE 21==．设x DE AE ==，则x DC AD 2==，x AC 22=，x CE 5=．在Rt △AEF 中，x CAD AE EF 22sin =∠⋅=，x EF AF 22==．∴x x x AF AC CF 2232222=-=-=．∴101035223cos ===∠xxCECF ACE ， 3122322tan ===∠xx CFEF ACE ．5. 如图，菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，（1）求证：四边形OCED 是矩形;（2）若AD =5，BD =8，计算sin DCE ∠的值.【答案】 （1）见解析 （2）35【解析】（1） ∵DE ∥AC ，CE ∥BD ∴四边形OCED 是平行四边形 ∵四边形ABCD 是菱形∴ AC BD ⊥A BCDEF90DOC ∠=∴四边形OCED 是矩形 （2）∵四边形ABCD 是菱形，BD =8 ∴12OD BD ==4，OC=OA ，AD=CD ∵AD =5，由勾股定理得OC =3 ∵四边形OCED 是矩形 ∴DE=OC=3，在Rt △DEC 中，sin DCE ∠=35DE DC = 6. 已知：BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C =60°，AB =1，BC =33+，CD =23.（1）求tan ∠ABD 的值； （2）求AD 的长.【答案】 （1）1（213 【解析】(1) 作DE BC ⊥于点E . ∵在Rt △CDE 中，∠C =60°，CD =3， ∴3, 3.CE DE == ∵BC =33+，∴333 3.BE BC CE =-== ∴ 3.DE BE ==∴在Rt △BDE 中，∠EDB = ∠EBD =45º. ∵AB ⊥BC ，∠ABC =90º， ∴∠ABD =∠ABC -∠EBD =45º. ∴ tan ∠ABD =1. (2) 作AF BD ⊥于点F .在Rt △ABF 中，∠ABF =45º, AB =1，2.2BF AF ∴==∵在Rt △BDE 中，3DE BE ==， ∴3.2BD =∴3.252222DF BD BF =-=-= ∴在Rt △AFD 中，22.13AD DF AF =+=7. 如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点、F 为AC 的中点，过点C 作CE //AB 交DF 的延长线于点E ，连结AE ．（1）求证：四边形ADCE 为平行四边形．（2）若EF =22，︒=∠︒=∠4530AED FCD ，，求DC 的长． 【答案】 （1）见解析 （2）2+32【解析】（1）证明：∵CE //AB ，∴∠DAF =∠ECF ． ∵F 为AC 的中点，∴AF =CF ． 在△DAF 和△ECF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，CFE AFD CF AF ECF DAF ∴ △DAF ≌△ECF ． ∴ AD =CE ． ∵CE //AB ，H ABCEFD∴ 四边形ADCE 为平行四边形． （2）作FH ⊥DC 于点H ． ∵ 四边形ADCE 为平行四边形．∴ AE //DC ，DF = EF =22， ∴∠FDC =∠AED =45°． 在Rt △DFH 中，∠DHF=90°，DF =22，∠FDC=45°， ∴ sin ∠FDC=22=DFFH ，得FH =2，tan ∠FDC=1=HDHF ，得DH =2．在Rt △CFH 中，∠FHC=90°，FH =2，∠FCD=30°，∴ FC =4． 由勾股定理，得HC =32． ∴ DC=DH+HC=2+32．8. 如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值． 【答案】 （1）见解析 （27210【解析】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ．∴∠DAF=∠F ．∠F =45°， ∴∠DAE=45°． AF 是∠BAD 的平分线，45EAB DAE ∴∠=∠=．FBED90DAB ∴∠=．又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形．（2）解：过点B 作BH AE ⊥于点H ，如图． 四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠DCB =∠D =90°． AB =14，DE =8，∴ CE=6．在Rt △ADE 中，∠DAE=45°， ∴∠DEA =∠DAE=45°． ∴ AD=DE =8． ∴ BC =8．在Rt △BCE 中，由勾股定理得 2210BE BC CE =+=．在Rt △AHB 中，∠HAB=45°，∴sin 4572BH AB =⋅= ．在Rt △BHE 中，∠BHE=90°，∴sin ∠AEB=7210BH BE =． 9.如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC 的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE .（1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值． 【答案】 （1）见解析 （2）45【解析】（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥，H FBAED∴四边形DBCE 是平行四边形. ∴CE BD =.又∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD AD =. ∴CE DA =. 又∵CE DA ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形.∵90BCA ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线， ∴AD CD =.∴四边形ADCE 是菱形. （2）解：作CF AB ⊥于点F .由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =. 在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得5AB x =. ∵1122AB CF AC BC ⋅=⋅, ∴255AC BC CF x AB ⋅==. ∵1522CD AB x ==, ∴4sin 5CF CDB CD ∠==. 10. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作一条直线分别交DA 、BC 的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF ．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；（2）若AB =4，CF =1，∠ABC =60°，求sin DEO ∠的值． 【答案】 （1）见解析 （2）217（2）菱形ABCD ,60ABC ∠=∴BD AC ⊥4AB BC AD DC ==== 30ADO CDO ∠=∠=ADC 为等边三角形∴122AO AD ==, ∴23OD =作OM AD ⊥于M ∴122AO AD ==3OM =∴221AM OA OM =-= ∴2EM = ∴7OE =在Rt EOM ∆中，217sin DEO ∠=11. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC 的平行线交DC 的延长线于点E .E ODC（1）求证：BD=BE ；（2）若BE =10，CE =6，连接OE ，求tan ∠OED 的值. 、【答案】 （1）见解析 （2）49【解析】(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ AC ＝BD ，AB ∥CD.∵ BE ∥AC ，∴ 四边形ABEC 为平行四边形.∴ BE ＝AC ＝BD.∴BD=BE(2) 解：过点O 作OF ⊥CD 于点F .∵ 四边形为矩形，∴ 90BCD ∠=︒.∵ 10BE BD ==，∴ 6CD CE ==. 同理，可得132CF DF CD ===. ∴9EF =.在Rt △BCE 中，由勾股定理可得8BC =.∵ OB=OD ，∴ OF 为△BCD 的中位线.∴ 142OF BC ==. ∴在Rt △OEF 中，4tan 9OF OED EF ∠==. 12.如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，过E 做EF ⊥AD 于F ，连接BF 交AE 于P ，连接O APD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．【答案】（1）见解析（2）2 5【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠FAB =∠ABE =90°，AF∥BE．又∵EF⊥AD，∴∠FAB =∠ABE =∠AFE=90°．∴四边形ABEF是矩形又∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠FAE=∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．∴四边形ABEF是正方形．（2）解：如图，过点P作PH⊥AD于H．∵四边形ABEF是正方形，∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°．∴AB∥PH．又∵AB=4，∴AH=PH=2．又∵AD=7，∴DH=AD－AH=7－2=5．在Rt△PHD中，∠PHD=90°．∴tan∠ADP=25PHHD．HPFE CDAB。

三角形四边形的有关计算证明一、考点，热点分析：(1) 了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系•了解四边形的不稳定性；(2) 掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件(一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形)• 了解中心对称图形及其基本性质；(3) 掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；⑷了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论5•进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。

6. 了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。

7. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。

8. 在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形(会写已知、求作和作法，不要求证明)。

二、知识点归纳：般多边形的内角和(n—2) • 180。

，外角和为360°平面图形的密铺般的多边形点证：此题是让学生动手拼接，把/ 1移至/ 2,已知a // b ，根据两直线平行，？同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于 180。

”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的 方法也很多，注意对学生的引导.探索三角形全等的条件例 2 .如图所示，/ E=Z F=90°,Z B=Z C, AE=AF 给出 下列结论：①/ 仁/ 2;② BE=CF ③厶 ACN^A ABM ④ CD=DN 其中正确的结论是 ________________ .解析：由/ E=Z F ,Z B=Z C, AE=AF可判定△ AEB^A AFC 从而得/ EAB 玄FAC.•••/仁/ 2,又可证出厶 AEM2A AFN依此类推得①、②、③点评：注意已知条件与隐含条件相结合.全等三角形的应用例3. （20XX 年重庆市）如图所示， A 、D F 、B 在同一直线 上，AD=BFAE=BC 且 AE// BC.求证：（〔）△ AEF ^A BCD （2） EF// CD【解析】（1）因为AE// BC,所以/ A=Z B.又因AD=BF 所以AF=AD+DF=BF+FD=B 取因 AE=BC 所以△ AEF ^A BCD（2）因为△ AEF ^A BCD 所以/ EFA=Z CDB 所以 EF // CD.【点评】根据平行寻求全线于点F ,求证：S ^ ABF =S -【解析】•••四边形 ABCD 为平行四边形,• AD// BC.•/ E 是DC 的中点，• DE=CE• △ AED^A FEC 三角形的高，中线,角平分线 三角形 k 三角形全等的表示及特征 三角形的全等:探索三角形全等的条件 [ 匸角形全等的应用 三、【例题经典】 三角形内角和定理的证明 例1 •如图所示，把图（1）中的/ 1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什 么结论？请你证明你所得到的结论.三角形的基本要素及基本性质 •三角形的概念及表示 ’三边的关系，三内角的关AAED =S△FEC -二S^ ABF =S 四边形ABCE+S^ CEF =S 四边形ABCE+S° AED =S I ABCD会根据条件选择适当方法判定平行四边形例5. （20XX年山东省）如图，在.—D中，对角线AC BD相交于点0, E、F?是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A. 0E=0F B . DE=BF C . Z ADE=Z CBF D . Z ABE=/ CDF【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑, 但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”.能利用平行四边形的性质进行计算例6. （20XX年西宁市）如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点0,A A0B?勺周长为15, AB=6,那么对角线AC+BD= _________【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出A0+B0=9 ?再求得 AC+BD=18四、【考点精练】（一）、基础训练1 .如图 1 所示，若△ 0AD^A 0BC 且/ 0=65,Z C=20°,则/ 0AD= _________________2.如图2,在厶ABC 中，/ C=90°, AD 平分/ CAB BC=8cm BD=5cm 那么 D?点到直线 AB的距离是 _________ cm.3.如图3, AD AF 分别是△ ABC 的高和角平分线，已知/ B=36°, / C=?76?°,则/ DAF= ___________度.4.（ 20XX 年烟CD?交于点 0, ?且A0?平分/ BAC那么图中全等三角形共有 ____________ 对.6. ________________________________________ （ 20XX 年河南省）如图 6,在厶ABC 中，AC=BC=2 / ACB=90 , D 是BC 边的中点，E?是 AB 边上一动点，贝U EC+ED 勺最小值是 . 7. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）A . 1cm, 2cm, 4cmB . 8cm, 6cm, 4cm C. 12cm, 5cm, 6cm D . 2cm, 3cm, 6cm& （ 20XX 年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形” 为公共边的“共边三角形”有（ ）A . 2对B . 3对C . 4对D . 6对,?则图中以BC9. （20XX年德阳市）已知△ ABC的三边长分别为20cm, 50cm, 60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与厶ABC相似.？要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边.那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）(7) (8)A . 10, 25B . 10, 36 或12, 36C . 12, 36D . 10, 25 或12, 3610. （20XX年黄冈市）如图所示，已知△ ABC中，AB=AC / BAC=90，直角/ EPF的顶点P 是BC中点，两边PE PF分别交AB AC于点E、F,给出以下四个结论：① AE=CF②厶1EPF是等腰直角三角形；③ S四边形AEPF=—0ABC :④EF=AP当/ EPF在厶ABC内绕顶点P2旋转时（点E?不与A B重合），上述结论中始终正确的有（）A .①④B .①②C .①②③D .①②③④12. ___________________________________________________________________________ 如图2, E、F是LI ABCD寸角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：_________________________ 使四边形AECF是平行四边形.13. _________________________ （20XX年长沙市）如图3,四边形ABCD中, AB//CD要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）.14. （20XX年扬州市）ABCD勺对角线交于点O,下列结论错误的是（）A . ABCD是中心对称图形B . △ AOB^A CODC . △ AOD^A BOCD . △ AOB与△ BOC的面积相等15. （20XX年天津市）如图4，在口ABCD中, EF/ AB, GH// AD EF与GH交于点O,则该图中的平行四边形的个数共有（）A . 7 个B . 8 个C . 9 个D . 11 个16 . （20XX年广东省）如图5所示，在ABCD中，对角线AC BD交于点O,下列式子中一定成立的是（）A. ACL BD B . OA=OC C . AC=BD D . AO=OD(4) (5)17. （20XX年淄博市）如图6,在厶MBN中, BM=6点A, C, D分别在MB NB MN上，?四边形ABCE为平行四边形，/ NDC=/ MDA贝M I ABCD的周长是（）A. 24 B . 18 C . 16 D . 1218. （20XX年怀化市）如图7, AB=AC AD L BC, AD=BC若用剪刀沿AD剪开，？则最多能拼出不同形状的四边形个数是（）26. （20XX 年德阳市）如图，已知点 的中点，？求证：？ / DAN=/ BCM27. （20XX 年临安市）已知：如图， E 、F 是平行四边形 ABCD 的 对角线AC?h 的两点，AE=CF求证：（〔）△ ADF^A CBE （2） EB// DF.B . 3个C . 4个D . 5个 A . 2个 19.如图8, ABCD 中，点E 、F 分别是 AD AB 的中点, 值为（？ A. 1 : EF 交AC 于点G,那么AG GC 的 3 C 3 (9) ■ 匕旦 ⑺ (20XX 年南通市) ) .6m B . 20. （ A （二八能力提升 21.已知：如图，点 （8） 如图 9, ABCD 的周长是 12cm C . 4cm D 28cm, △ ABC 的周长是 22cm,则AC 的长为 8cm C D 在线段AB 上，PC=PD 请你添加一个 条件，？使图中存在全等三角 形，并给予证明.所添条件为 ___________ •你得到的一对全等三角形是厶 ____________ ◎△ ______ . 22.已知：如图，△ ABC 是等边三角形，过 AB 边上的点 D 作DG/ BC,交AC 于点G, ?在GD 的延长线上取点 E ,使DE=DB 连结AE 、CD. （1） 求证：△ AGE^A DAC （2） 过点E 作EF // DC 交BC 于点F ,请你连结 AF ,并判断△ AEF 是怎样 的三角形，试证明你的结论. 23. （20XX 年大连市）如图， AB// CD AB=CD 点 B 、E 、F 、D 在一条直线上, / A=Z C, 求证：AE=CF （说明：证明过程中要写出每步的证明依据） 24. （20XX 年内江市）如图，在△ ABD 和△ ACE 中，有下列四个等式: ①AB=AC ②AD=AE ③/ 仁/ 2 ④ BD=CE 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（ 要求写出已知，求证及证明过程） 25.如图，在L_l ABCD 中, E 、F 是对角线 AC 上的两点，AE=CF 求证: BE=DF M N 分别是.ABCD 的边AB DC D128. 如图，DB// AC,且DB= AC, E是AC的中点，求证：BC=DE2(三)、应用与探究29. (20XX年浙江省)如图，△ ABC与△ ABD中, AD与BC 相交于0点，/ 1= / 2, ?请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD并给出证明.你添加的条件是：_______________ .B 30. (20XX年江阴市)已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB BC上.(1)若AB=10, AB与CD间距离为8, AE=EB BF=FC 求厶DEF的面积.(2)若厶ADE △ BEF △ CDF的面积分别为5、3、4，求△ DEF的面积.答案：考点精练I. 95° 2 . 3 3 . 20° 4 . 60° 5 . 4 对6 . 、.57. B 8 . B 9 . D 10 . CII. 答案不唯一，比如：/ A=Z B,A PAC^A PBD12 . (1)证略(2)连接AF, ?则厶AEF是等边三角形.证略13 . •/ AB// CD AB=CD Z A=Z C,•••△ABE^A CDF(ASA) ?, ?••• AE=CF(全等三角形对应边相等)14. ①②③为题设④为结论，证略15. / C=Z D,证略.例题经典例2. B考点精练I . 900 2 .答案不唯一，女口BE=DF等3 .答案不唯一，女口AB=CD等4. D 5 . C 6 . C 7 . D 8 . D 9 . B 10 . DII .证厶ABE^A CDF( SAS,即可得到BE=?DF12 .证厶BCM2A DAN( SAS,即可得/ DAN/ BCM13 . (1)根据(？SAS ?证厶ADFT^A CBE(2)连接BF、DE DB, ?根据对角线互相平分的四边形是平行四边形. 证四边形BEDF是平行四边形即可14 .证四边形BCED是平行四边形即可15 . ( 1 ) S^ DEF =30 (2) S^ DEF =68。

专题07 全等三角形【真题测试】 一、选择题1．（长宁2019期末18）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（ ） A. 含60︒角的两个直角三角形； B.腰对应相等的两个等腰三角形； C.边长均为5厘米的两个等边三角形； D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形. 【答案】C ；【解析】含60度角的两个直角三角形的对应边不一定相等，因此不一定全等，A 错误；腰对应相等的两个等腰三角形的顶角不一定相等，故B 错误；边长为5厘米的两个等边三角形全等，因此C 正确；一个钝角对应相等的两个等腰三角形的对应边不一定相等，因此D 错误；故此题选C.2．（长宁2018期末18）在ABC ∆中，已知点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ，依据下列各个选项中所列举的条件，不能说明AB=AC 的是（ ） A. BE=CD ，EBC DCB ∠=∠； B. AD=AE ，BE=CD ； C. OD=OE ，ABE ACD ∠=∠； D. BE=CD ，BD ＝CE ．O D C BA E【答案】B ；【解析】 A 、因为EBC DCB ∠=∠，所以OB=OC ，又BE=CD ，故OD=OE ，可证DOB EOC ∆∆≌，得ABE ACD ∠=∠，可得ABC ACB ∠=∠，即得AB=AC ；B 、已知两边及一边的对角对应相等，不一定能得出ABE ACD ∆∆≌，故不一定能得AB=AC ；C 、由OD=OE ，ABE ACD ∠=∠及DOB EOC ∠=∠得DOB EOC ∆∆≌，所以OB=OC ，所以OBC OCB ∠=∠，因此ABC ACB ∠=∠，所以AB=AC ； D 、由BE=CD ，BD ＝CE 胶BC=CB 得出DBC ECB ∆∆≌，所以ABC ACB ∠=∠即AB=AC ；故此题选B.二、填空题3．（普陀2018期末14）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、DB 交于点E ，AB=CD ，AC=DB ，图中全等的三角形共有 对．DC BAE【答案】3;【解析】解：∵AB=CD ，AC=DB ，BC=BC ，∴△ABC ≌△DBC ，∴∠BAC=∠BDC ，∵∠AEB=∠DEC ，AB=DC ，∴△ABE ≌△DEC ，∴BE=CE ，AE=DE ，∵AB=DC ， BD=AC ，AD=AD ，∴△ABD ≌△ADC ，∴图中全等的三角形共有3对，故答案为：34.（松江2018期末16）如图，已知ABC ∆与DEF ∆全等，且724563A B E ∠=︒∠=︒∠=︒、、、BC=10、EF=10，那么D ∠= 度.1045°72°C BA【答案】72；【解析】因为7245A B ∠=︒∠=︒、，所以180724563C ∠=︒-︒-︒=︒，又63E ∠=︒，故E C ∠=∠，又BC=EF=10，依题得ABC DFE ∆∆≌，故72D A ∠=∠=︒.5.（浦东四署2019期末16）如图，ABC DCB ∆∆≌，A 、B 的对应顶点分别为点D 、C ，如果AB=6cm ，BC=12cm ，AC=10cm ，DO=3cm ，那么OC 的长是 cm.OD CBA【答案】7；【解析】因为ABC DCB ∆∆≌，所以AC=BD ，ACB DBC ∠=∠，所以OB=BC ，所以AO=DO=3cm ，所以OC=AC-AO=10-3=7cm. 三、解答题6．（闵行2018期末24）如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，且FD ＝ED ，BF ＝CD ，∠FDE ＝∠B ，那么∠B 和∠C 的大小关系如何？为什么？ 解：因为∠FDC ＝∠B +∠DFB ，即∠FDE +∠EDC ＝∠B +∠DFB ． 又因为∠FDE ＝∠B （已知）， 所以∠＝∠ ． 在△DFB 和△EDC 中，所以△DFB ≌△EDC ． 因此∠B ＝∠C ．DFBA E【答案与解析】解：因为∠FDC ＝∠B +∠DFB （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 即∠FDE +∠EDC ＝∠B +∠DFB ．又因为∠FDE ＝∠B （已知），所以∠DFB ＝∠EDC ． 在△DFB 和△EDC 中，()(FB ED DFB EDC BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知)，所以△DFB ≌△EDC （SAS ）．因此∠B ＝∠C ．7.（黄浦2018期末26）如图，在ABC V 中，点D 在AC 边上，AE//BC ，联接ED 并延长交BC 于点F. 若AD=CD ，请说明ED=FD 的理由.DFCB AE【答案与解析】解：如图所示，Q AE//BC ，1,2C E ∴∠=∠∠=∠，在AED CFD ∆∆和中，12C E AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AED CFD ∴∆∆≌（AAS ），ED FD ∴=.21DF CBA E8.（宝山2018期末27）如图，已知点D、E、F分别在AB、BC、CA上，DEF∆是等边三角形，且123∠=∠=∠，ABC∆是等边三角形吗？试说明理由.【答案与解析】解：ABC∆是等边三角形.因为DEF∆是等边三角形，可知60DEF∠=︒（等边三角形每个内角是60︒），因为31DEC DEF B∠=∠+∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），又13∠=∠，所以60B DEF∠=∠=︒（等式性质），同理可证：60,60A C∠=︒∠=︒，所以A B C∠=∠=∠，所以ABC∆是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）.9.（松江2018期末27）如图，在ABC∆中，已知AB=AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，且BD=CE，BF=CD. （1）说明BDF CED∆∆≌的理由；（2）说明FDE=B∠∠的理由.DFCBAE【答案与解析】（1）因为在ABC∆中，已知AB=AC，所以B C∠=∠，在BDF CED∆∆与中，BF CDB CBD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以BDF CED∆∆≌（SAS）；（2）因为BDF CED∆∆≌，所以BFD CDE∠=∠，又FDC B BFD∠=∠+∠，所以FDE CDE B BFD∠+∠=∠+∠，所以FDE B∠=∠.10.（浦东2018期末25）如图，在ABC∆中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，FDE=B∠∠，那么B C∠∠与的大小关系如何？为什么？【答案与解析】因为FDC B BFD ∠=∠+∠即FDE CDE B BFD ∠+∠=∠+∠，又因为FDE=B ∠∠，所以CDE BFD ∠=∠，在BFD CDE ∆∆与中，BF CD BFD CDE FD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以BFD CDE ∆∆≌（SAS ），所以B=C ∠∠.11．（普陀2018期末25）如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且BD=CE ，∠DEF=∠B ，问：DE 和EF 是否相等？并说明理由．【答案与解析】解：∵∠B=∠C ，∵∠DEF=∠B ，∵∠DEC=∠B +∠BDE （三角形的外角定理）， ∴∠BDE=∠FEC ，在△BDE 与△CEF 中，∵，∴△BDE ≌△CEF （ASA ），得DE=EF ．12．（普陀2018期末26）如图，∠1=∠2，AD=AE ，∠B=∠ACE ，且B 、C 、D 三点在一条直线上． （1）试说明△ABD 与△ACE 全等的理由．（2）如果∠B=60°，试说明线段AC 、CE 、CD 之间的数量关系，并说明理由．【答案与解析】解：（1）理由：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 与△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （AAS ）；（2）由（1）△ABD ≌△ACE 可得：BD=CE ，AB=AC ，∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∴BD=CE=BC +CD=AC +CD ，即CE=AC +CD ．13.（杨浦2018期末25）如图，已知90,B C AE ED ∠=∠=︒⊥，AB=EC ，点F 是AD 的中点，说明EF AD ⊥的理由.解：AE ED ⊥Q （已知），90AED ∴∠=︒（垂直的意义）， 又90B ∠=︒Q （已知），B AED ∴∠=∠（等量代换）.AEC B BAE ∠=∠+∠Q（）即AED DEC B BAE ∠+∠=∠+∠Q ，DEC BAE ∴∠=∠（等式性质）在ABE ECD ∆∆与中，B CAB EC DEC BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ABE ECD ∴∆∆≌（ ）AE ED ∴=（ ）Q （已知）EF AD ∴⊥（ ）【答案与解析】解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）；ASA ；全等三角形对应边相等；点F 是AD 的中点；等腰三角形的三线合一.14.（松江2018期末26）阅读并补充完成下列解题过程：如图：用尺规作线段中点的方法，作出了线段AB 的中点C ，请说明这种方法正确的理由. 解：联结AE 、BE 、AF 、BF.在AEF BEF ∆∆与中，(______________)(________EF EF AE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩画弧时所取的半径相等）（画弧时所取的半径相等），所以AEF BEF ∆∆≌（ ）. 所以AEF=BEF ∠∠（ ）.又因为AE=BE ，所以AC=BC （ ）.即点C 是线段AB 的中点.【答案与解析】公共边； AF=BF ；SSS ；全等三角形对应角相等； 等腰三角形的三线合一. 15．（闵行2018期末26）已知∠AOB ＝120°，OC 平分∠AOB ，点P 是射线OC 上一点． （1）如图1，过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，说明PD 与PE 相等的理由；（2）如图2，如果点F 、G 分别在射线OA 、OB 上，且∠FPG ＝60°，那么线段PF 与PG 相等吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，联结FG ，△PFG 是什么形状的三角形，请说明理由．【答案与解析】解：（1）∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC ＝∠BOC ，∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°，在△POD 和△POE 中，90PDO PEO POD POE OP OP ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△POD ≌△POE ，∴PD ＝PE ；（2）相等，理由：如图2，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，∴∠PMO ＝∠PNO ＝90°， 同（1）的方法得，PM ＝PN ，在四边形PMON 中，∠MPN ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵∠FPG ＝60°，∴∠FPG ＝∠MPN ，∴∠MPF ＝∠NPG ，在△PMF 和△PNG 中，90FPM NPG PM PN PMF PNG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△PMF ≌△PNG ，∴PF ＝PG ；（3）△PFG 是等边三角形，理由：如图2，连接FG ，由（2）知，PF ＝PG ，∵∠FPG ＝60°， ∴△PFG 是等边三角形．16.（杨浦2019期末30）在ABC ∆中，90,60C BAC ∠=︒∠=︒，ABC ∆绕点C 顺时针旋转，旋转角为(0180)αα︒<<︒，点A 、B 的对应点分别是点D 、E.（1）如图1，当点D 恰好落在边AB 上时，试判断DE 与AC 的位置关系，并说明理由.（2）如图2，当点B 、D 、E 三点恰好在一直线上时，旋转角α=︒，此时直线CE 与AB 的位置关系是 .（3）在（2）的条件下，联结AE ，设BDC ∆的面积为1S ，AEC ∆的面积为2S ，则12S S 与的数量关系是 .（4）如图3，当点B 、D 、E 三点不在一直线上时，（3）中的12S S 与的数量关系仍然成立吗？试说明理由.【答案与解析】解：（1）DE//AC. 理由：ABC ∆Q 旋转后与DCE ∆全等，,A CDE AC DC ∴∠=∠=，60,BAC AC DC ∠=︒=Q ，DAC ∴∆是等边三角形. 60DCA ∴∠=︒. 又60CDE BAC ∠=∠=︒Q ，60DCA CDE ∴∠=∠=︒，DE AC ∴∥.（2）如图4所示：延长EC 交AB 于点F. 由旋转的性质可知：CB=CE ，30CBE E ∴∠=∠=︒.120BCE ∴∠=︒，即旋转角120α=︒，30,30ABC CBE ∠=︒∠=︒Q ，60FBE ∴∠=︒，306090E FBE ∴∠+∠=︒+︒=︒，90BFE EC AB ∴∠=︒∴⊥. 故旋转角120α=︒，EC AB ⊥（3）如图5所示，延长EC 交AB 于点F ，过点D 作DG BC ⊥于G . Q 由（2）可知CE AB ⊥，120BCE ∠=︒，9030CFA BCD ∴∠=︒∠=︒，6030FAC FCA ∠=︒∴∠=︒Q ，30FCA DCG ∴∠=∠=︒. 由旋转的性质可知：AC=CD ，在FCA GCD ∆∆和中，90FCA DCG CFA DGC AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，FCA GCD ∆∴∆≌，AF GD ∴=，又因BC=CE ， 1122EC AF CB DG ∴=g g 即12S S =. （4）12S S =仍然成立；理由：如图6所示：过D 作DH BC ⊥于H ，过A 作AG EC ⊥交EC 的延长线于G.,DH BC AG EC ⊥⊥Q ，90AGC DHC ∴∠=∠=︒，ABC ∆Q 旋转后与DCE ∆全等，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC=DC ，BC=CE. 180,ACE BCD ∠+∠=︒Q180,GCA ECA ∠+∠=︒Q ACG DCH ∴∠=∠.在AGC DHC ∆∆和中，AGC DHCACG DCHAC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AGC DHC ∴∆∆≌，AG DH ∴=，1122EC AF CB DG ∴=g g ，即12S S =.。

第二部分 专题突破
专题五 与三角形、四边形有关的计算与证明
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专题解读：与三角形和四边形有关的计算和证明是每年必考内容，经 常与尺规作图、图形的简单变换、函数等结合考查．主要考查内容为：(1) 求角度、线段长度、图形周长或面积、锐角三角函数值等；(2)证明线段平 行、垂直、相等、三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形等；(3) 判断线段和角之间的数量关系．常用到三角形内角和定理、三角形全等的 判定和性质、三角形相似的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行 四边形的判定和性质、特殊四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知 识．
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如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，且∠ADE＝∠EAD.
(1)求证：DE∥AB；
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证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD. 又∵∠ADE＝∠EAD， ∴∠BAD＝∠ADE. ∴DE∥AB.
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(2)若 AC＝12，AB＝16，求菱形 ADCF 的面积． 解：设 AF 到 CD 的距离为 h，则 S 菱形 ADCF＝CD·h. ∵CD＝BD＝12BC， ∴S 菱形 ADCF＝12BC·h. 又∵BC·h＝2S△ABC， ∴S 菱形 ADCF＝S△ABC. ∵S△ABC＝12AB·AC＝12×12×16＝96. ∴S 菱形 ADCF＝96.
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(2)若 DE＝6，BC＝16，求△FCD 的面积． 解：如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H. ∵BC＝16，点 D 是 BC 的中点，∴CD＝BD＝8. ∵AD＝AC，AH⊥DC，∴DH＝CH＝4.∴BH＝12. ∵ED∥AH，∴ADHE＝BBHD，∴A6H＝182.∴AH＝9. ∵△ABC∽△FCD，∴SS△△FACBDC＝CBDC2.∴S△FCD＝14S△ABC＝18.

专题07 利用角的平分线构造全等三角形参考答案与解析【例1】（2018秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．【答案】略【典例分析】【直击考点】【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．【变式1】（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【答案】略【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．【变式2】（2019秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【答案】（1）略（2）BE＝1，AE＝4．【解答】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【例2】（2019秋•奉化区期末）如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．【答案】（1）∠AEB＝90°（2）ED＝CE【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．【变式1】（2020秋•渑池县期末）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为；（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．【答案】（1）AB＝AC+CD（2）略【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，在△CAD和△EAD中，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴CD＝DE，AC＝AE，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴DE＝EB，∴DC＝BE，∴AE+BE＝AC+DC＝AB；故答案为：AB＝AC+CD．（2）成立．证明：如图2，在AB上截取AE＝AC，连接DE．∵在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD＝ED，∠C＝∠AED，又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴2∠B＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝CD，AE＝AC，∴AB＝AC+CD．【例3】（2019秋•广州期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点D．（1）求证：点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；（2）连接AD，若∠BDC＝40°，求∠DAC的度数．【答案】（1）略（2）∠DAC＝50°【解答】（1）证明：如图，过点D作三边AB、BC、CA所在直线的垂线，垂足分别是Q、M、N．则垂线段DQ、DM、DN，即为D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离．∵D是∠ABC的平分线BD上的一点，∴DM＝DQ．∵D是∠ACM的平分线CD上的一点，∴DM＝DN．∴DQ＝DM＝DN．∴D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．（2）解：连接AD，∵∠DCG是△BCD的外角，∴∠DCG＝∠DBC+∠BDC，∵∠ACG△ABC的外角∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC，∴2∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝40°，∴∠BAC＝80°，∠EAC＝100°，由（1）可得DQ＝DN，∴AD平分∠EAC，∴∠DAC＝EAC＝50°．【变式3】（2020秋•贵港期中）如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：∠BDC＝；（2）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论．【答案】（1）略（2）△ABD是等腰三角形【解答】（1）证明：∵BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，∵∠ACE＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠BDC+∠DBC，∴2∠DCE＝2∠BDC+2∠DBC，∴∠BAC＝2∠BDC，即∠BDC＝∠BAC；（2）△ABD是等腰三角形，证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，过D作DQ⊥AB于Q，DR⊥BC于R，DW⊥AC于W，∵BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，∴DQ＝DR，DW＝DR，∴DQ＝DW，∵DQ⊥AB，DW⊥AC，∴∠GAC＝2∠GAD＝2∠CAD，∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∴∠GAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，即△ABD是等腰三角形．【跟踪训练】1．（2020秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【答案】略【解答】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠F AD＝∠C，∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠F AD＝180°．2．（2018秋•镇原县期中）如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．【答案】（1）略（2）略（3）略【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE，∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC．3．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】（1）略（2）略【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．4．（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．【答案】（1）略（2）△ABE的面积＝．【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠F AE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠F AE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．5．（2013•长汀县校级模拟）观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）略（2）略（3）略【解答】解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DE＝DC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝DC，则AB＝BE+AE＝CD+AC；（2）AB＝CD+AC，理由为：在AB上截取AG＝AC，如图2所示，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BE＝DG＝DC，则AB＝BG+AG＝CD+AC；（3）AB＝CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG＝AC，如图3所示，∵AD为∠F AC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B，又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，则AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．。

7．(2020·荆州)如图，在矩形ABCD中，AB＝20， 点E是BC边上的一点．将△ABE沿着AE折叠， 点B刚好落在CD边上点G处．点F在DG上， 将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处， 此时S△GFH∶S△AFH＝2∶3. (1)求证：△EGC∽△GFH； (2)求AD的长； (3)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF. 又∵DE＝BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)； (2)解：当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形． 理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，∴AC⊥EF. ∵DE＝BF，OB＝OD，∴OE＝OF.又∵OA＝OC， ∴四边形AFCE是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．
4．(2020·云南)如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点， 点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为点E， 点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为点F. (1)若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形； (2)若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF， ∵H 为对角线 AC 的中点，∴EH＝FH＝12 AC.∵∠CAE＝30°，
5．(2020·内江节选)如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个 动点(不与 A，C 重合)，连接 BP.将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BQ， 连接 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边 AD 交于点 F. (1)连接 CQ，求证：CQ＝AP；

专题07三角形中的中位线与中垂线模型【模型1】三角形中位线如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 的中点，根据三角形中位线的性质，可得BC DE BC DE 21,//=且,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得ABC ADE S S ∆∆=41。

【模型2】梯形中位线如图，已知CD AB //，E、F 分别为梯形两腰AD、BC 的中点，根据梯形中位线的性质，可得)(21,////CD AB EF EF CD AB +=且,【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法如图，在ABC ∆中，已知点D 为AB 的中点，通常情况下，过点D 作BC DE //，可知DE 为ABC ∆的中位线。

【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法如图，在ABC ∆中，已知点D 为AB 的中点，通常情况下，过点D 作BC DE //，可知BC 为ADE ∆的中位线。

【模型3】中垂线模型如图，已知直线l 是AB 的垂直平分线，点A 是直线l 上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC。

【例1】已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，AG 平分,BAC CG AG ∠⊥于G ，连结DG ，若6,4AB AC ==，求DG 的长．【答案】1DG =【分析】延长CG 交AB 于点E.根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG ，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=12BE=12（AB-AC ），从而得出DG 的长．【解析】解：延长CG 交AB 于点E ．AG 平分BAC ∠，CG AG ⊥于G ，CG EG ∴=，4AE AC ==，2BE AB AC ∴=-=，∵CG EG =，D 为BC 的中点，112DG BE ∴==．故答案为1DG =.【例2】如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，点E 、F 分别为边BC 、DC 的中点，连接EF ，求证：EF ．【答案】见解析【分析】连接AC 、BD ，交于点O ，根据三角形的中位线定理知EF BO =，在菱形ABCD中，60ABC ∠=︒，易知60BCO ∠=︒，解直角三角形OBC 知2BC ,从而得证．【解析】证明：如图，连接AC 、BD ，交于点O ，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，12EF BD BO ∴==，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AC BD ∴⊥，30CBD ∠=︒，60BCO ∴∠=︒，sin 60222BO BC BC BE ∴=⋅︒==⋅=，EF ∴=．【例3】已知：如图，在△ABC 中，D 在边AB 上．（1）若∠ACD =∠ABC ，求证：AC 2=AD·AB ；（2）若E 为CD 中点，∠ACD =∠ABE ，AB =3，AC=2，求BD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】(1)利用两组角分别相等，可证相似，然后对应边成比例，变形即可求解；(2)过C 作CF ∥EB 交AB 的延长线于F ，转化成(1)中的相似关系，列比例式，代入AB 和AC 的值即可求解．【解析】(1)在ABC 和ACD △中，ACD ABC ∠=∠，∠A=∠A ，∴ABC ∽ACD △，∴AD AC AC AB=，∴2AC AD AB =⋅；(2)过C 作CF ∥BE 交AB 的延长线于F ，由于E 为CD 中点，∴BF=BD ，∠F=∠ABE ，∵ACD ABE ∠=∠，∴ACD F ∠=∠，∠A=∠A ，∴AFC △∽ACD △，∴AC AF AD AC=，∴2AC AD AF =⋅，∵2AC =，3AB =，则3AD BD =-，3AF AB BF BD =+=+，∴22(3)(3)BD BD =-+，解得：一、单选题1．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是BC 边的中点，1OE =，则AB 的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证明点O 为AC 的中点，而点E 是BC 边的中点，可证OE 为△ABC 的中位线，利用中位线定理解题即可．【解析】解：由平行四边形的性质可知AO =OC ，而E 为BC 的中点，即BE =EC ，∴OE 为△ABC 的中位线，OE =12AB ，由OE =1，得AB =2．故选B ．2．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE =2cm ，则AB 的长为（）A ．4cmB ．8cmC ．2cmD ．6cm【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，得到OA =OC ，结合EC =EB ，得到OE 是△ABC 的中位线，根据中位线定理，得到AB =2OE 计算选择即可．【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA =OC ，因为EC =EB ，所以OE 是△ABC 的中位线，所以AB =2OE ，因为OE =2，所以AB =4(cm)．故选A ．3．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，若DE =4，则BC 等于（）A ．2B ．4C ．8D ．10【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解析】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，DE =4，∴BC =2DE =2×4=8，故选：C ．4．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，AE 平分BAD ∠交BC 于点.E 点F ，G 分别是AD ，AE 的中点，则FG 的长为（）A ．32B 10C ．4D ．5【答案】B 【分析】由AE 平分∠BAD 得∠BAE =∠DAE ，根据矩形ABCD 可得△ABE 是等腰直角三角形，所以BE =AB =6，从而可求EC =2，连接DE ，由勾股定理得DE 的长，再根据三角形中位线定理可求FG 的长．【解析】解：连接DE ，如图所示：四边形ABCD 是矩形，90BAD B C ∴∠=∠=∠=︒，6AB CD ==，8AD BC ==，AD ∥BC ，DAE AEB ∴∠=∠，AE ∵平分BAD ∠，45DAE BAE ∴∠=∠=︒，BAE AEB ∴∠=∠，6AB BE ∴==，2EC BC BE ∴=-=，222226210DE CE CD ∴=++=，点F 、G 分别为AD 、AE 的中点，FG ∴是ADE 的中位线，1102FG DE ∴==；故选：B ．二、填空题5．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 延长线上的一点，AD ＝24，点E 是BC 上一点，BE ＝10，连接DE ，M 、N 分别是AB 、DE 的中点，则MN ＝____．【答案】13【分析】连接BD ，取BD 的中点F ，连接MF 、NF ，由中位线定理可得NF 、MF 的长度，再根据勾股定理求出MN 的长度即可．【解析】连接BD ，取BD 的中点F ，连接MF 、NF ，如图所示∵M 、N 、F 分别是AB 、DE 、BD 的中点∴NF 、MF 分别是△BDE 、△ABD 的中位线∴11//,//,5,1222NF BE MF AD NF BE MF AD ====∵90ACB ∠=︒∴AD BC⊥∵//MF AD∴MF BC⊥∵//NF BE∴NF MF⊥在Rt MNF △中，由勾股定理得13MN ===故答案为：13．6．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC 的度数为________．【答案】135°【分析】连接BD ，根据三角形中位线定理得到EF ∥BD ，BD ＝2EF ＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC ＝90°，计算即可．【解析】解：连接BD ，∵E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，EF ＝2，∴EF ∥BD ，BD ＝2EF ＝4，∴∠ADB ＝∠AFE ＝45°，又∵BC ＝5，CD ＝3，∴BD 2+CD 2＝25，BC 2＝25，∴BD 2+CD 2＝BC 2，∴∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ADB +∠BDC ＝135°，故答案为：135°．7．梯形ABCD 中，AB CD ，点E ，F ，G 分别是BD ，AC ，DC 的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG 的周长是______________．【答案】92【分析】连接AE ，并延长交CD 于K ，利用“AAS”证得△AEB ≌△KED ，得到DK=AB ，可知EF ，EG 、FG 分别为△AKC 、△BDC 和△ACD 的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG ，可求得答案．【解析】连接AE ，并延长交CD 于K ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE=∠DKE ，∠ABD=∠EDK ，∵点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点．∴BE=DE ，在△AEB 和△KED 中，BAE DKE ABD EDK BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△KED （AAS ），∴DK=AB ，AE=EK ，EF 为△ACK 的中位线，∴EF=12CK=12(DC-DK)=12(DC-AB)，∵EG 为△BCD 的中位线，∴EG=12BC ，又FG 为△ACD 的中位线，∴FG=12AD ，∴EG+GF=12(AD+BC)，∵两腰和是6，即AD+BC=6，两底差是3，即DC-AB=3，∴EG+GF=3，FE=32，∴△EFG 的周长是3+32=92．故答案为：92．8．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，点F 分别是边BC ，边CD 上的动点，且BE ＝CF ，AE 与BF 相交于点P ．若点M 为边BC 的中点，点N 为边CD 上任意一点，则MN +PN 的最小值等于_____．101-【分析】作M 关于CD 的对称点Q ，取AB 的中点H ，连接PQ 与CD 交于点N'，连接PH ，HQ ，当H 、P 、N'、Q 四点共线时，MN+NP ＝PQ 的值最小，根据勾股定理HQ ，再证明△ABE ≌△BCF ，进而得△APB 为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH ，进而求得PQ ．【解析】解：作M 关于CD 的对称点Q ，取AB 的中点H ，连接PQ 与CD 交于点N '，连接PH ，HQ ，则MN '＝QN '，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴∠AEB ＝∠BFC ，∵AB ∥CD ，∴∠ABP ＝∠BFC ＝∠AEB ，∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠BAE +∠ABP ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴PH ＝112AB =，∵M 点是BC 的中点，∴BM ＝MC ＝CQ ＝112BC =，∵PH+PQ≥HQ，∴当H、P、Q三点共线时，PH+PQ＝HQ==的值最小，∴PQ1，此时，若N与N'重合时，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ1-的值最小，1-．9．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP BC的长为_______．【答案】4【分析】过点E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=12AD=12BC，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC，因此可证明△BFP≌△MEP（AAS），则EP=FP=12FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．【解析】过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，∵AB=OB，BE平分∠ABO，∴△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，∴EM是△AOD的中位线，又∵ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x，∵EF⊥BC，∠CAD=45°，AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC为等腰直角三角形，∴EF=FC，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x，∵EM∥BF，∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，则△BFP≌△MEP（ASA），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ，∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．10．如图，梯形ABCD 中，90D ∠=︒，AB CD ，将线段CB 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在CD 延长线上的点E 处．联结AE 、BE ，设BE 与边AD 交于点F ，如果4AB =，且12AEF ABF S S =△△，那么梯形ABCD 的中位线等于______．【答案】8【分析】由根据三角形的面积公式，由12AEF ABF S S =△△得12DE AB =，进而求得DE =2，从而求得底边EC 的长，于是可求得CD 的长，进而求得梯形ABCD 的中位线．【解析】解：过点B 作BM ⊥CE 于点M，如下图，∵AB CD ，90D ∠=︒，∴∠ADC =180°-∠A =180°-90°=90°，∵12AEF ABF S S =△△，∴122121AEF ABF DE AF DE AB AF AB S S === △△，∵4AB =，∴DE =2，∵BM ⊥CE ，∴∠BMD =90°，∴四边形ABMD 是矩形，∴DM =AB =4，∴EM =2+4=6，∵将线段CB 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在CD 延长线上的点E 处，∴BE =BC ，∵BM ⊥CE ，∴EC =2EM =12，∴CD =12-2=10，∴梯形ABCD 的中位线为：()14+10=72⨯，故答案为：8．11．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点．下列结论正确的是__________．（填序号）①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③EA 平分GEF ∠；④FB 平分EFG Ð；⑤四边形BEFG 是菱形．【答案】①②③【分析】由中点的性质可得出EF CD ，且12EF CD BG ==，结合平行即可证得②结论成立，由2BD AD =2BC =得出BO BC =，即而得出BE AC ⊥，由中线的性质可知//GP BE ，且12GP BE =，2AO EO =，通过证APG EPG ≌D D 得出AG EG EF ==得出①成立，再证GPE FPE D @D 得出④成立，此题得解．【解析】解：令GF 和AC 的交点为点P，如图E 、F 分别是OC 、OD 的中点，EF CD ∴ ，且12EF CD =，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，且AB CD =，AB EF∴FEG BGE \Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），点G 为AB 的中点，1122BG AB CD FE \===，在EFG ∆和GBE ∆中，BG FE FEG BGE GE EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EFG GBE SAS \D @D ，即②成立，EGF GEB\Ð=Ð，FE BG =，GF BE ∥\（内错角相等，两直线平行），2BD BC = ，点O 为平行四边形对角线交点，12BO BD BC \==，E 为OC 中点，BE OC ∴⊥，∴∠BEA =90︒，∵GF BE ∥，∴∠APG =∠BEA =90︒，GP AC \^，∵G 为AB 中点，∴1122GE AB CD EF ===，即①正确；∵GE =EF ，GP AC ⊥，∴EA 平分GEF ∠即③正确；另外，无法判断FB 平分EFG Ð和四边形BEFG 是菱形成立，故④⑤错误；综上所述，正确的有①②③，故答案为：①②③．12．如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF =2，CF =6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，BF =DF ，则△ADE 的面积为_____．【答案】【分析】根据折叠的性质、平行线的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的判定和性质和30°直角三角形的性质求解即可．【解析】解：∵纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ．∴AD =DF ，AE =EF ．∵DE ∥BC ，∴DE 为 ABC 的中位线．∴DE =12BC =12(BF +CF )=12×(2+6)=4．∵BF =DF ，∴ BDF 为等边三角形．∴∠B =60°．在Rt AFB 中，∠BAF =30°，BF =2，∴AF∴四边形ADFE 的面积=12×DE ×AF =12∴ ADE 的面积=12故答案为：三、解答题13．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，FE 的延长线分别AD 、BC 的延长线交于点H 、G ，求证：AHF BGF ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】连接BD ，取BD 的中点，连接EP ，FP ，根据三角形中位线定理即可得到PF=12AD ，PF ∥AD ，EP=12BC ，EP ∥BC ，进而得出∠AHF=∠BGF ．【解析】解：如图所示，连接BD ，取BD 的中点，连接EP ，FP ，∵E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，∴EP 是△BCD 的中位线，PF 是△ABD 的中位线，∴PF=12AD ，PF ∥AD ，EP=12BC ，EP ∥BC ，∴∠H=∠PFE ，∠BGF=∠FEP ，又∵AD=BC ，∴PE=PF ，∴∠PEF=∠PFE ，∴∠AHF=∠BGF ．14．如图所示，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BA 到D ，使12AD AB =，点E 是AC 的中点，求证：2BC DE =.【答案】见解析【分析】可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=12 AB，又由AD=12AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AF=12BC．所以DE=2BC.【解析】证明：取BC的中点F，连EF，AF，∵点E、F分别为边BC，AC的中点，即EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF=12 AB，即EF∥AD，∵AD=12 AB，∴EF=AD，∴四边形AEFD是平行四边形；∴AF=DE.∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，∴AF=12 BC，∵四边形AFED是平行四边形，∴BC=2DE.15．如图，已知菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DE=4cm，∠A=45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm）【答案】菱形ABCD 的面积是22.7cm²，梯形DEBC 的中位线长是3.7cm ．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =DC =AB ，∵DE ⊥AB ，∴∠AED =90°，∵∠A =45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴AE =DE =4，由勾股定理得，224442AD +=∴AB =42，∴菱形ABCD 的面积为DE ×AB =4×422，∵BE =42-4，CD =AD =42∴梯形DEBC 的中位线长（42-4+42÷2=42．答：菱形ABCD 的面积是22.7cm²，梯形DEBC 的中位线长是3.7cm ．16．如图，已知在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，OE 是△ABC 的中位线，连接AE 并延长，与DC 的延长线相交于点F ，且AF =AD ，连接BF .证明四边形ABFC 为矩形【答案】证明见解析【分析】先通过平行四边形及中位线的性质证明△ABE ≌△FCE ，从而得到四边形ABFC 为平行四边形，再结合等腰三角形的三线合一证明∠ACF =90°即可得到答案．【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD ∥，AB =CD∴∠ABE ＝∠FCE ．∵OE 是△ABC 的中位线∴BE =CE在△ABE 和△FCE 中，ABE FCE BE CE BEA CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△FCE (ASA )∴AB =CF∴四边形ABFC 为平行四边形∴CF =CD又∵AF =AD∴∠ACF =90°∴四边形ABFC 为矩形17．已知：如图，在等边ABC ∆中，060ADE ∠=，且DE 交ABC ∆外角平分线CE 于点E.（1）当点D 为BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系；（2）当点D 不是BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系.【答案】（1）AD DE =，见解析.（2）AD DE =，见解析.【分析】（1）AD=DE ．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF 是等边三角形，再证明△AFD ≌△DCE 即可得到结论；（2）AD=DE ．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF 是等边三角形，再证明△AFD ≌△DCE 即可得到结论；【解析】（1）结论：AD=DE ，理由如下：如图:过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．又∵DF ∥AC ，∴∠BDF=∠ACB=60°，∴△BDF 是等边三角形，∴DF=BD ，∠BFD=60°，∵BD=CD ，∴DF=CD∴∠AFD=120°．∵EC 是外角的平分线，∴∠ACE=60°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD ，∵∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ADF=∠EDC=30°，在△AFD 与△EDC 中，AFD DCE DF CD ADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AFD ≌△DCE （ASA ），∴AD=DE ；（2）结论：AD=DE ；理由如下：如图2，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，又∵DF ∥AC ，∴∠BDF=∠ACB=60°，∴△BDF 是等边三角形，∴BF=BD ，∠BFD=60°，∴AF=CD ，∠AFD=120°，∵EC 是外角的平分线，∴∠ACE=60°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD ，∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD ，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC ，∴∠FAD=∠EDC ，在△AFD 和△DCE 中，DAF EDC AF CD AFD DCE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AFD ≌△DCE （ASA ），∴AD=DE.18．ABC 中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将ABC 绕点A 顺时针旋转n°得到AEF ，E 与B 是对应点，如图1．（1）延长BC 、EF ，交于点K ，求证：∠BKE=n°；（2）当m=150，n=60时，求四边形CEFA 的面积；（3）如图3．当n=150时，取BE 的中点P 和CF 的中点Q ，直接写出2PQ的值．【答案】（1）见解析；（2）12+（3）8-【分析】（1）根据旋转的性质可得AEF B ∠=∠，利用三角形的外角性质可得BKE KPA AEF ∠=∠-∠，从而得到BKE BAE n ∠=∠=︒；（2）连CF ，作FH AC ⊥于H ，根据条件得到ACF ∆是等边三角形，则90EFC ∠=︒，从而根据CEF ACF CEFA S S S ∆∆=+四边形计算即可；（3）取CE 中点G ，连接PG ，QG ，构造△GPQ 为等腰三角形，并结合中位线定理以及旋转的性质求解∠PGQ=30°，再作CN ⊥FA 于N 点，结合旋转的性质求解出sin15︒=最后在△GPQ 中运用“三线合一”的性质求解出PQ 的长度得出结论．【解析】（1）设CK 、AE 交于点P ，AEF ∆ 是ABC ∆旋转所得，AEF ABC ∴∆≅∆，AEF B ∠∠∴=，BKE KPA AEF ∠=∠-∠ ，BAE KPA B ∠=∠-∠，BKE BAE n ∴∠=∠=︒；（2）连CF ，作FH AC ⊥于H ，AEF ABC ∆≅∆ ，4EF BC ∴==，6AF AC ==，150AFE ACB ∠=∠=︒，ACF ∴∆是等边三角形，60AFC ∴∠=︒，1506090EFC AFE AFC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，11641222CEF S CF EF ∆∴=⋅=⨯⨯=，132AH AC == ，FH ===11622ACF S AC FH ∆∴=⋅=⨯⨯=12CEF ACF CEFA S S S ∆∆∴=+=+四边形（3）如图，取CE 中点G ，连接PG ，QG ，则PG ，QG 为△BCE 和△FCE 的中位线，∴122PG BC ==，122QG EF ==，△GPQ 为等腰三角形，根据中位线定理可得：∠BCE=∠PGE ，∠CEF=∠CGQ ，∴∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=∠BCE+∠CEF-180°，又∵∠BCE+∠CEF=∠BCE+∠CEA+∠AEF=∠BCE+∠CEA+∠ABC ，∴在四边形ABCE 中，∠BCE+∠CEA+∠ABC=360°-∠BAE=360°-150°=210°，∴∠BCE+∠CEF=210°，∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=210°-180°=30°，作CN ⊥FA 于N 点，根据旋转可知，∠CAF=150°，AC=AF=6，∠AFC=15°，∴∠CAN=30°，在Rt △CAN 中，AC=6，∠CAN=30°，∴CN=3，AN =∴NF=AN+AF=6+由勾股定理得：FC ==∴4CN sin CFN CF ∠==，即：sin15︒=此时，作GM ⊥PQ ，则根据“三线合一”知GM 平分∠PGQ ，∠MGQ=15°，PM=QM ，∴15242MQ GQ sin =︒=⨯= ，∴2PQ MQ ==∴228PQ ==-19．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是线段AB 延长线上一动点，连结CE ．（1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F．①求证：CF=CE；②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长；（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示．（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．AF；（3）1【答案】（1（2）BM=2【分析】（1）①根据正方形的性质以及余角的性质即可证明△DCF≌△BCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论；②根据全等三角形的性质可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出结论；（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG．在Rt△AFG中由勾股定理即可得出结论．（3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR，由三角形中位线定理可得BQ=1PR．在Rt△CBR中，由勾股定理即可得出CR的长，再由三角形三边关系定理即可2得出结论．【解析】（1）解：①证明：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DCB=∠CBE=90°．∵CF⊥CE，∠FCE=90°，∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE（ASA），∴CE=CF．②∵△DCF≌△BCE，∴DF=BE=m，∴AF=4-m，AE=4+m，由四边形ABCD是正方形得∠A=90°，∴EF（2）解：在直线AB上取一点G，使BG=BE．∵M为EF的中点，∴FG=2BM，由（1）知，DF=BE，又AD=AB，∴AF=AG．∵∠A=90°，∴FG AF，∴2BM，∴BM AF．（3）解：在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR．∵Q为AP的中点，∴BQ=12 PR．∵CP=2，CR2244+42PR≥CR-CP=22，∴BQ的最小值为221．。

专题07 动点产生的直角三角形教学重难点1.理解直角三角形的性质；2.能用直角三角形的性质解决相关问题；3.培养学生分类讨论的思想，并体验动态思维过程；4.培养学生分析问题、解决问题的能力。

【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先让学生回顾直角三角形的性质，为后面习题讲解铺垫基础；2再根据第2个图引导学生总结直角三角形题型。

时间5分钟左右完成。

直角三角形性质回顾：动点产生的直角三角形题型分类总结：【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。

1．（2019秋•淅川县期末）如图，已知抛物线与x 轴交于(1,0)A -、(3,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C 、B 不重合），过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD 、CD ．设点D 的横坐标为m ，BCD ∆的面积为S ．求S 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围，并求出S 的最大值；（3）已知M 为抛物线对称轴上一动点，若MBC ∆是以BC 为直角边的直角三角形，请直接写出点M 的坐标．【整体分析】（1）抛物线解析式为2(1)(3)(23)y a x x a x x =+-=-++，即可求解；（2）22213393327(3)()(03)2222228S OB DE m m m m m m ==-+=-+=--+<<g ，即可求解；（3）分MC 是斜边、MB 是斜边两种情况，分别求解即可． 【满分解答】解：（1）抛物线解析式为2(1)(3)(23)y a x x a x x =+-=-++， 即33a =，解得：1a =，抛物线解析式为223y x x =-++；（2）设直线BC 的函数解析式为y kx b =+， Q 直线BC 过点(3,0)B ，(0,3)C ，∴033k bb =+⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，3y x ∴=-+，设2(,23)D m m m -++，(,3)E m m -+，22(23)(3)3DE m m m m m ∴=-++--+=-+，∴22213393327(3)()(03)2222228S OB DE m m m m m m ==-+=-+=--+<<g ， Q 302-<，∴当32m =时，S 有最大值，最大值278S =；（3）设点(1,)M m ，则224MB m =+，221(3)MC m =+-，218BC =； ①当MC 是斜边时，221(3)418m m +-=++； 解得：2m =-； ②当MB 是斜边时， 同理可得：4m =，故点M 的坐标为：(1,2)-，(1,4)．2．（2019秋•徐州期末）如图，矩形OABC 中，O 为原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点B 的坐标为(4,3)，抛物线238y x bx c =-++与y 轴交于点A ，与直线AB 交于点D ，与x 轴交于C ，E 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，与此同时，点Q 从点A 出发，在线段AC 上以每秒53个单位长度的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP 、DQ 、PQ ，设运动时间为t （秒)． ①当t 为何值时，DPQ ∆的面积最小？②是否存在某一时刻t ，使DPQ ∆为直角三角形？ 若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【整体分析】（1）点(0,3)A ，点(4,0)C ，将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式并解得：12b =，4c =，即可求解； （2）①DPQ ∆的面积()ABC ADQ PQC BPD S S S S ∆∆∆∆=-++，即可求解；②分DQ 、PQ 、DP 为斜边三种情况，分别求解即可．【满分解答】解：（1）点(0,3)A ，点(4,0)C ，将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式2334408c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得：34b =，3c =，故抛物线的表达式为：233384y x x =-++；（2）23133(4)(2)828y x x x x =-++=--+，故点(2,0)E -；抛物线的对称轴为：1x =，则点(2,3)D ， 由题意得：点4(3Q t ，3)t -，点(4,)P t ，①DPQ ∆的面积211542()34[22(3)(5)]222353ABC ADQ PQC BPD t S S S S t t t t t ∆∆∆∆=-++=⨯⨯-⨯+-+-⨯⨯=-．Q203>，故DPQ ∆的面积有最小值，此时，32t =；②点(2,3)D，点4(3Q t，3)t-，点(4,)P t，（Ⅰ）当PQ是斜边时，如图1，过点Q作QM AB⊥于点M，则MQ t=，423MD t=-，422BD=-=，3PB t=-，则tan tanMQD BDP∠=∠，即42332ttt--=，解得：t；（Ⅱ）当PD为斜边时，过点Q作y轴的平行线交AB于点N，交过点P于x轴的平行线于点M，则423ND t=-，QN t=，443MP t=-，332QM t t t=--=-，同理可得：42323443tttt--=-，解得：32t=或2417；（Ⅲ）当QD为斜边时，同理可得：故176t=；综上，t=或32或2417或176．动点产生的直角三角形问题的解题方法和策略： 1.寻找题目中的已知量；2.观察能否利用“特殊点”、“交点”求解；3.如不能，则利用勾股定理解答；4.注意：分类讨论，部分题目利用好锐角三角比1.（2019•松江区一模）如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ．（1）如果BC ＝6，AC ＝8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE ＝2，ED ＝3，求cos A 的值； （3）联结PD ，如果BP 2＝2CD 2，且CE ＝2，ED ＝3，求线段PD 的长． 【答案】解：（1）∵P 为AC 的中点，AC ＝8， ∴CP ＝4，∵∠ACB ＝90°，BC ＝6， ∴BP ＝2√13，∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点， ∴点E 是△ABC 的重心， ∴BE =23BP =43√13；（2）如图1，过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ， ∴BD DA=FD DC=BF CA，∵BD ＝DA ，∴FD ＝DC ，BF ＝AC ，∵CE ＝2，ED ＝3，则CD ＝5， ∴EF ＝8， ∴CP BF =CE EF =28=14，∴CP CA =14， ∴CP PA=13，设CP ＝k ，则P A ＝3k ， ∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点， ∴P A ＝PB ＝3k ∴BC ＝2√2k ， ∴AB ＝2√6k ， ∵AC ＝4k ， ∴cos A =√63；（3）∵∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点， ∴CD ＝BD =12AB ， ∵PB 2＝2CD 2，∴BP 2＝2CD •CD ＝BD •AB ， ∵∠PBD ＝∠ABP ， ∴△PBD ∽△ABP ， ∴∠BPD ＝∠A ， ∵∠A ＝∠DCA ， ∴∠DPE ＝∠DCP ， ∵∠PDE ＝∠CDP ， ∴△DPE ∽△DCP ， ∴PD 2＝DE •DC ， ∵DE ＝3，DC ＝5， ∴PD =√15．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2019•松江区一模）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）【答案】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP=MP AP，设P A＝PN＝x，∵∠MAP＝58°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP=MP BP，∵∠MBP＝31°，AB＝5，∴0.6=1.6x 5+x，∴x＝3，∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．3．（2019•徐汇区校级一模）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．（1）求楼间距MN；（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【答案】解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，则四边形PEMN为矩形．∴EP＝MN由题意知：∠EPD＝55.7°∠EPC＝30°．在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP＝tan30°×EP=√33EP≈0.58EP，在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP ＝tan55.7°×EP≈1.47EP，∵CD＝ED﹣EC，∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5∴EP＝MN＝50（m）答：楼间距MN为50m．（2）∵EC＝0.58EP＝0.58×50＝29（m）∴CM＝90﹣29＝61（m）∵61÷3≈20.3≈21（层）答：点C位于第21层．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．4．（2019•浦东新区一模）“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.4，√3≈1.7）【答案】解：过点A作AM⊥BC，垂足为M．由题意知：AB＝2海里，∠NAC＝∠CAE＝45°，∠SAB＝37°，∠DBC＝23°，∵∠SAB＝37°，DB∥AS，∴∠DBA＝37°，∠EAB＝90°﹣∠SAB＝53°．∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°，∠CAB＝∠EAB+∠CAE＝53°+45°＝98°．∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣98°﹣60°＝22°．在Rt△AMB中，∵AB＝2海里，∠ABC＝60°，∴BM＝1海里，AM=√3海里．在Rt△AMC中，tan C=AM CM，∴CM=AMtan22°≈√30.40≈1.70.40=4.25（海里）∴CB＝CM+BM＝4.25+1＝5.25（海里）答：“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离为5.25海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解决本题的关键是作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角间关系求解．5．（2019•宝山区一模）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【答案】解：作BC⊥P A交P A的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD=BD QD，∴tan14°=66+ED，即0.25=66+ED，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC=BCAC=7.518=512，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB=√7．52+182=19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．6．（2019•青浦区一模）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125）【答案】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sin B=AHAB，∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12，∵cos B=BHAB，∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH=tan∠ACH=AHCHAHCH，∴CH=AHtan∠ACH=12tan67°≈5，∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．∵21÷25＜1，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．7．（2019•闵行区一模）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，√2≈1.4142．【答案】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意，得 HB ＝CD ＝3，EC ＝15，HD ＝BC ，∠ABC ＝∠AHD ＝90°，∠ADH ＝32°，设AB ＝x ，则 AH ＝x ﹣3，在Rt △ABE 中，由∠AEB ＝45°，得 tan ∠AEB ＝tan45°=AB EB ．∴EB ＝AB ＝x ．∴HD ＝BC ＝BE +EC ＝x +15，在Rt △AHD 中，由∠AHD ＝90°，得 tan ∠ADH =AH HD ，即得tan32°=x−3x+15， 解得：x =15−tan32°+31−tan32°≈32.99 ∴塔高AB 约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8．（2019•浦东新区二模）已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过点M （3，﹣4），与x 轴相交于点A （﹣3，0）和点B ，与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果P 是这条抛物线对称轴上一点，PC ＝BC ，求点P 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，当点P 在x 轴上方时，求∠PCB 的正弦值．【答案】解：（1）∵抛物线y ═13x 2+bx +c 经过点M （3，﹣4），A （﹣3.0）， {−4=3+3b +c 0=3−3b +c， 解得：{b =−23c =−5，∴这条抛物线的表达式为y =13x 2−23x ﹣5；（2）∵A （﹣3，0），B （5，0），∴这条抛物线的对称轴为直线x ＝l ．设点P 的坐标为（l ，y ）．∵PC ＝BC ，点B 的坐标为（5，0），点C 的坐标为（0，5）．∴PC 2＝BC 2．12+（y +5）2＝52+52．解得y ＝2或y ＝﹣12．∴点P 的坐标为（1，2）或（l ，﹣12）；（3）作PH ⊥BC ，垂足为点H ．∵点B （5.0），点C （0，5），点P （1，2），∴PC ＝BC ＝5√2．设直线BC 的解析式为y ＝kx ﹣5，代入B （5，0）解得k ＝1，∴直线BC 的解析式为y ＝x ﹣5，把x ＝1代入得，y ＝﹣4，∴直线BC 与对称轴相交于点D （1，﹣4），∴PD ＝6，∵S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ，∴12×5√2⋅PH =12×6×1+12×6×4．解得PH ＝3√2．∴sin∠PCB=3√25√2=35．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，三角形面积等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，灵活运用三角形面积公式，属于中考常考题型．。

2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 07（基本立体图形）试卷满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．（2021·全国高一课时练习）下面四个几何体中，是棱台的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，观察可得答案.【详解】A 项中的几何体是棱柱．B 项中的几何体是棱锥；D 项中的几何体的棱AA ′，BB ′，CC ′，DD ′没有交于一点，则D 项中的几何体不是棱台； C 项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．故选：C2．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高一月考）如图，已知等腰三角形O A B '''△，OA AB ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ．【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以O A A B ''''==，所以原平面图形为：且2OB O B ''==，OA OB ⊥，2OA O A ''==所以原平面图形的面积是122⨯⨯=， 故选：D3．（2020·陕西西安市第三中学高一月考）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】由圆锥侧面展开所得扇形的弧长与底面周长相等可得圆锥母线与底面半径的数量关系，即可求轴截面底角的大小.【详解】若圆锥如下图所示，则侧面展开图半圆的半径R PA PB ==，底面半径r OA OB ==，由题意知：1222R r ππ⨯=，即2R r =， ∴轴截面对应等腰三角形的底角1cos 2OB r PBA PB R ∠===， ∴60PBA ∠=︒，故选：C4．（2020·四川省广元市八二一中学高一月考）某数学小组进行“数学建模”社会实践调查.他们在调查过程中将一实际问题建立起数学模型，现展示如下：四个形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口容器，如图所示.盛满液体后倒出一半，设剩余液体的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h .则它们的大小关系正确的是（ ）A ．214h h h >>B ．123h h h >>C ．324h h h >>D ．241h h h >>【答案】A【分析】可根据几何体的图形特征，结合题目，选择答案.【详解】观察图形可知体积减少一半后剩余就的高度最高为2h ，最低为4h .故选：A【点睛】本题考查旋转体的结构特征，属于基础题.5．（2020·山东德州市·高一期末）一个正三棱锥的底面边长是6（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】D【分析】画出正三棱锥A BCD -的图像，得到底面正三角形的中心O 到正三角形的CD 的距离，再利用勾股定理求斜高即可.【详解】正三棱锥A BCD -的底面边长6BC CD DB ===,高AO =所以底面正三角形的中心O 到正三角形的CD 的距离为1623OH =⨯=故正三棱锥的斜高3AH ==；故选：D.6．（2020·全国高一单元测试）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的侧棱最长的是（ ）A ．2B C D ．【答案】C【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解棱锥最长的棱长即可．【详解】由三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，取AB 的中点O ，则OC AB ⊥，易知2AB OC ==，1PC =，又PC ⊥底面ABC ，所以PC BC ⊥，从而最长棱为PA 和PB ，=．故选：C ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的几何量，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．关键在于根据三视图还原出几何体的形状，画出直观图，并分析几何体的结构特征.7．（2020·南阳市第四中学高一月考）给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】利用底面为菱形的直四棱柱可判断①的正误；利用底面为等腰梯形的直四棱柱可判断②的正误；利用正六棱锥的几何特征可判断③的正误；取长、宽、高都不相等的长方体可判断④的正误.【详解】对于①，底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱满足条件，但它不是正棱柱，①错误； 对于②，底面为等腰梯形的直四棱柱的对角面全等，但它不是长方体，②错误； 对于③，如下图所示：在正六棱锥P ABCDEF -中，六边形ABCDEF 为正六边形，设O 为正六边形的中心，则PO ⊥平面ABCDEF ，OA ⊂平面ABCDEF ，则PO OA ⊥，由正六边形的几何性质可知，OAB 为等边三角形，则AB OA =，PA OA ∴>，③错误；对于④，在长方体1111ABCD A BC D -中，若AB 、AD 、1AA 的长两两不相等， 则长方体1111ABCD A BC D -不是正四棱柱，④错误.故选：A.8．（2020·武汉市钢城第四中学高一月考）小蚂蚁的家住在长方体1111ABCD A BC D -的A 处，小蚂蚁的奶奶家住在1C 处，三条棱长分别是12AA =，3AB =，4=AD ，小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家1C 的最短距离是（ ）A B ． C D 【答案】D【分析】根据题意知蚂蚁所走的路线有三种情况，利用勾股定理能求出小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家1C 的最短距离．【详解】解：根据题意知：蚂蚁所走的路线有三种情况，如下图所示①②③，由勾股定理得：图①中，1AC =图②中，1AC ==图③中，1AC故小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家1C 故选：D ．【点睛】本题考查最短距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．（2020·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高一月考）已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是A ．圆锥的高为1B ．三角形PAB 为等边三角形C ．三角形PABD ．直线PA 与圆锥底面所成角的大小为π6 【答案】AD【分析】根据圆锥的性质判断各选项．【详解】由题意圆锥的高为1h ===，A 正确；PAB △中PA PB =是母线长，AB 是底面圆的一条弦，与PA 不一定相等，B 错；当PAB △是轴截面时，cos PAB ∠=，30PAB ∠=︒，则120APB ∠=︒，当,A B 在底面圆上运动时，21sin 2sin 22PAB S PA APB APB =∠=∠≤△，当且仅当90PB ∠=︒时取等号．即PAB △面积最大值为2．C 错；设底面圆圆心为O ，则PAO ∠为PA 与底面所成的角，易知cos 26PAO PAO π∠=∠=，D 正确． 故选：AD ．本题考查圆锥的性质，圆锥的轴截面是等腰三角形，腰即为圆锥的母线，底为底面直径，轴截面的高即为圆锥的高.10．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）下列命题中正确的有A ．空间内三点确定一个平面B ．棱柱的侧面一定是平行四边形C ．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D ．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内【答案】BC【分析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，要强调该三点不在同一直线上，故A 错误；对于B 选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B 正确；对于C 选项，可用反证法证明，故C 正确；对于D 选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D 错误.故选：BC.【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，考查棱柱的定义，属于基础题.11．（2020·全国高一课时练习）长方体1111ABCD A BC D 的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ）A ．长方体的表面积为20B ．长方体的体积为6C ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为D ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为【答案】BC【分析】由题意，可利用柱体体积公式和多面体表面积公式进行计算，沿表面最短距离可将临近两个面侧面展开图去计算，即可求解正确答案.长方体的表面积为2(323121)22⨯⨯+⨯+⨯=，A 错误.长方体的体积为3216⨯⨯=，B 正确.如图（1）所示，长方体1111ABCD A BC D -中，3AB =，2BC =，11BB =.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面11ABB A 和侧面11BCC B 展开，则有1AC ==，即经过侧面11ABB A 和侧面11BCC B如图（3）所示，将侧面11ABB A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==过侧面11ABB A 和底面1111D C B A 时的最短距离是4）所示，将侧面11ADD A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==11ADD A 和底面1111D C B A 时的最短距离是因为<，所以沿长方体表面由A 到1C 的最短距离是C 正确，D 不正确.故选：BC .【点睛】本题考查长方体体积公式、表面积公式和沿表面的最短距离，考查空间想象能力，属于基础题.12．（2020·瓦房店市高级中学高一期末）如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A BC D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值【答案】AD【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB 始终在桌面上），可得结论．【详解】由于AB 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正确；图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错；图（3）中11AC 与水面就不平行，C 错；图（3）中，水体积不变，因此AEH △面积不变，从而AE AH ⋅为定值，D 正确． 故选：AD ．【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（2020·浙江高一期末）如果用半径为R =个圆锥筒的高是___________.【答案】3【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高.【详解】半径为R =，圆锥的底面圆的周长为，3=，故答案为：3.14．（2020·河南）若正三棱锥A BCD -的侧棱长为8，底面边长为4，E ，F 分别为AC ，AD 上的动点（如图），则截面BEF 的周长最小值为______．【答案】11【分析】将正三棱锥A BCD -的侧面沿AB 剪开，然后展开'BB 即为所求，然后利用相似，分别求得BE ，EF ，'FB 即可.【详解】正三棱锥A BCD -的侧面展开图如图，由平面几何知识可得//BB CD '，所以BEC ECD ACB ∠=∠=∠，所以BE =BC =4，BCE ABC ∽， 所以CE BC BC AB =．即448CE =， 所以2CE =，所以6AE =， 又34EF AE CD AC ==， 解得3EF =．所以截面BEF 的周长最小值为：''BB BE EF FB =++=43411++=．故答案为：1115．（2020·浙江杭州市·高一期末）正方体1111ABCD A BC D -中，棱长为2，E 是线段1CD 上的动点，则||||AE DE +的最小值是_______．【分析】在正方体中，由图形可知||||,||||AE AP DE DP ≥≥，且当,E P 重合时，等号同时成立，即可求解.【详解】如图，取1CD 的中点为P ,连接AP ，DP则由1AC AD =，1DC DD =知，1AP CD ⊥, 1DP CD ⊥,所以||||,||||AE AP DE DP ≥≥，所以||||||||AE DE AP DP +≥+，在正方体中，棱长为2，所以2AP ==, 122DP ==故当E 在线段1CD 上运动，E 与P 重合时，||||AE DE +【点睛】关键点点睛：根据图象可知，当E 在线段1CD 上运动时，垂线段最短，可得||||AE AP ≥，同理，当E 在线段1CD 上运动时，||||DE DP ≥，且当E 与P 重合时等号同时成立. 16．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是______．【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A 到C 的直线距离，根据已知条件、余弦定理可求出最短距离.【详解】圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧AB 长为122ππ⨯=，∴3AVB π∠=，则3AVC π∠=， 由余弦定理可知22212cos 9123172AC VA VC VA VC AVC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，AC =四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．（2020·全国高一单元测试）画出图中水平放置的四边形ABCD 的直观图.【答案】图见解析.【分析】在四边形ABCD 中，过A 作出x 轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.【详解】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A 、C 在对应点1(3,1),(0,)2A C ''，而B 、D 对应点,B D ''位置不变，如下图示：18．（2020·福建漳州市·高一期末）已知球O 的半径为5.（1）求球O 的表面积；（2）若球O 有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.【答案】（1）100π；（2）1或7.【分析】（1）利用球的表面积公式计算即可；（2）先求球心到两个截面的距离，再计算即可.【详解】解：（1）因为球O 的半径为5R =，所以球O 的表面积为24100S R ππ==.（2）设两个半径分别为13r =和24r =的平行截面的圆心分别为1O 和2O ，所以14OO ===，所以23OO ===， 所以1212347O OO OO O =+=+=， 或1122431O OO OO O =-=-=，所以两个截面之间的距离为1或7.【点睛】本题考查了球的表面积和截面问题，属于基础题.19．（2020·河北沧州市一中高一月考）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，14AA =，M 为1AA 的中点，P 是BC 上的一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到M 的最.设这条最短路线与1CC 的交点为N ，求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；（2）PC 和NC 的长.【答案】（1（2）PC 的长为2，NC 的长为45. 【分析】（1）由展开图为矩形，用勾股定理求出对角线长；（2）在侧面展开图中三角形MAP 是直角三角形，可以求出线段AP 的长度，进而可以求PC 的长度，再由相似比可以求出CN 的长度.【详解】（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为339⨯=的矩形，=（2）将该三棱柱的侧面沿棱1BB 展开，如图所示.设PC 的长为x ，则222()MP MA AC x =++.因为MP =2MA =，3AC =，所以2x =(负值舍去)，即PC 的长为2.又因为//NC AM ， 所以PC NC PA AM =，即252NC =， 所以45NC =. 【点睛】 本题考查求侧面展开图的对角线长，以及三棱柱中的线段长，熟记三棱柱的结构特征即可，属于常考题型.20．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高一月考）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;（2.求圆柱的表面积.【答案】（1）π （2）(2π+【分析】（1）由圆锥侧面展开图的定义计算；（2）由圆锥截面性质，在轴截面中得到相似三角形，由比例性质可得圆柱的底面半径后可得圆柱表面积．【详解】（1）244r l ππαπ=== （2）如图所示，设圆锥的底面半径为R ,圆柱的底面半径为r ，表面积为S ,则2,4,R OC AC AO =====易知AEB AOC ∆∆AE EBAO OC ∴=,12r r =∴= 222,223S r S r h ππππ====底侧(22S S S ππ∴=+=+=+底侧【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，考查圆柱表面积，考查圆锥的内接圆柱性质．解题关键是掌握圆锥平行于底面的截面的性质．21．（2020·全国高一课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是11A B ，11AC 的中点，连接,,BE EF FC ，试判断几何体1A EF ABC -是什么几何体，并指出它的底面与侧面.【答案】几何体1A EF ABC -是三棱台.面ABC 是下底面，面1A EF 是上底面，面1ABEA ，面BCFE 和面1ACFA 是侧面【分析】根据题意以及三棱台的结构特征，可以猜想几何体1A EF ABC -是三棱台，再根据三棱台的定义证明即可，然后由三棱台定义可指出它的底面与侧面．【详解】,E F 分别是1111,A B AC 的中点，且11A B AB =，11ACAC =，11B C BC =， 1112A E A F EF AB AC BC ∴===.1~A EF ABC ∴，且1,,AA BE CF 延长后交于一点.又面111A B C 与面ABC 平行，∴几何体1A EF ABC -是三棱台.其中面ABC 是下底面，面1A EF 是上底面，面1ABEA ，面BCFE 和面1ACFA是侧面. 【点睛】本题主要考查三棱台的结构特征，以及利用三棱台定义判断几何体的形状，属于基础题． 22．（2020·全国）在正三棱台111ABC A B C -中，已知10AB =，棱台一个侧面梯形的面积，1,O O 分别为上、下底面正三角形的中心，连接11AO ，AO 并延长，分别交11B C ，BC 于点1D ，D ，160D DA ︒∠=，求上底面的边长.【答案】【分析】由题意，可设上底面边长为x ，利用题中所给侧面梯形面积列方程，求x 值即可.【详解】10AB =，2AD AB ∴==133OD AD ==.设上底面的边长为(0)x x >，则116O D x =. 如图所示，连接1O O ，过1D 作1D H AD ⊥于点H ，则四边形11OHD O 为矩形，且116OH O D x ==.36DH OD OH x ∴=-=-，在1Rt D DH 中，12cos 6036DH D D x ︒⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭. 四边形11BC CB 的面积为()11112B C BC D D +⋅，1(10)22x x ⎫=+⨯⎪⎪⎝⎭， 即40(10)(10)x x =+-，x ∴=【点睛】本题考查正棱台几何性质，空间想象能力，计算能力，属于中等题型.。

专题07 相似三角形的判定和性质（专题强化-基础）评卷人得分一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2018·全国初三单元测试）如图，ABC经平移得到DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（）A．3对B．4对C．5对D．6对【答案】D【解析】根据平移得到的三角形与原三角形相似，且对应边相互平行进行分析．【详解】解：根据平移的性质得，图中相似三角形有：△ABC∽△DEF∽△GEC∽△GDA，共6对．故答案选：D．【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定，注意要做到不重不漏．2．(本题4分)（2020·全国初三课时练习）下列能判定ABC A B C'''的条件是( )A．AB ACA B A C=''''B．AB ACA B A C=''''且A A'=∠C．AB A BBC A C''=''且B C'∠=∠D．AB ACA B A C=''''且B B'∠=∠【答案】B【解析】根据两三角形相似的判定方法之一：两边对就成比例，且夹角相等，两三角形相似.【详解】A只有两边对就成比例，不能判定相似；B.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；C有两对应成比例，但相等的两角一个是夹角，一个却是一边的对角，所以不能判定；D有两边对就成比例，相等的两角一边的对角，所以也不能判定两三角形相似．故选：B.【点睛】利用两边对边成比例且夹角相等判定两三角形相似来判定两三角形相似的关键在于能正确的找到成例的两条线段的夹角．3．(本题4分)（2019·山东泰山初二期末）若△ABC ∽△DEF ，相似比为4：3，则对应面积的比为（ ） A ．4：3 B ．3：4 C ．16：9 D ．9：16【答案】C【解析】直接利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵ABC DEF ∆∆∽，相似比为4:3 ∴它们的面积的比为16:9 故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质---相似三角形面积之比等于相似比的平方，属基础题，准确利用性质进行计算即可．4．(本题4分)（2020·北京大兴初三期末）如图，在△ABC 中，D ,E 两点分别在边AB ,AC 上，DE ∥BC .若:3:4DE BC =，则:ADE ABC S S ∆∆为（ ）A ．3:4B ．4:3C ．9:16D ．16:9【答案】C【解析】先证明相似，然后再根据相似的性质求解即可. 【详解】∵DE ∥BC ∴ ADEABC ∆∆∵:3:4DE BC = ∴:ADE ABC S S ∆∆=9:16 故答案为：C.【点睛】本题考查了三角形相似的性质，即相似三角形的面积之比为相似比的平方.5．(本题4分)（2020·大庆市第五十七中学初二期末）如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB ，②∠B=∠ACD ，③2AC AD AB =•，④AC ABCD BC=，其中不能判定ABC ∽ACD 的条件为（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】D【解析】由图可知△ABC 与△ACD 中∠A 为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】①∠ADC=∠ACB ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②∠B=∠ACD ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ④中∠A 不是已知的比例线段的夹角，不能判定两个三角形相似； 故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，理解和掌握相似三角形判定定理是解题的关键．6．(本题4分)（2019·安岳县李家镇初级中学初三期中）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判断ABCAED ∆∆的是( )A ．AEDB ∠=∠ B ．ADEC ∠=∠C ．AD ACAE AB= D ．AD ACDE BC= 【答案】D【解析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A 、AED B ∠=∠，∠A ＝∠A ，则可判断ABC AED ∆∆，故A 选项不符合题意；B 、∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，则可判断ABCAED ∆∆，故B 选项不符合题意；C 、ADACAE AB =且夹角∠A ＝∠A ，则可判断ABC AED ∆∆，故C 选项不符合题意； D 、ADACDEBC=，∠A ＝∠A 不是夹角对应相等，不能判断ABC AED ∆∆，故D 选项符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7．(本题4分)（2020·石家庄市第二十八中学初三一模）如图，EF 是ABC 纸片的中位线，将AEF 沿EF 所在的直线折叠，点A 落在BC 边上的点D 处，已知AEF 的面积为7，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．7B ．14C ．21D ．28【答案】B【解析】根据中位线的性质得：∆AEF~∆ABC ，12EF BC =，进而得到ABC 的面积为28，结合折叠的性质，即可得到答案．【详解】∵EF 是ABC 纸片的中位线， ∴EF ∥BC ，12EF BC =， ∴∆AEF~∆ABC ， ∴:1:4AEF ABC S S ∆∆=， ∵AEF 的面积为7， ∴ABC 的面积为28，∵将AEF 沿EF 所在的直线折叠，点A 落在BC 边上的点D 处， ∴DEF 的面积=AEF 的面积=7， ∴阴影部分的面积=28-7-7=14． 故选B ．【点睛】本题主要考查中位线的性质，折叠的性质以及相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．8．(本题4分)（2018·全国初三单元测试）如图，是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm ，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆A 端向下压( )A ．100cmB ．60cmC ．50cmD ．10cm【答案】C 【解析】试题解析：如图;AM 、BN 都与水平线垂直,即AM ∥BN ；易知：△ACM ∽△BCN ；AC AMBC BN∴=，∵杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为5:1，51AM BN ∴=，即AM =5BN ； ∴当10BN cm ≥时，50AM cm ≥；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压50cm . 故选C.9．(本题4分)（2017·扬州市翠岗中学中考模拟）如图，点A （1，2）在反比例函数(0)ky x x=>上，B 为反比例函数图象上一点，不与A 重合，当以OB 为直径的圆经过A 点，点B 的坐标为（ )A ．（2，1）B ．（3，23） C ．（4，12） D ．(5,25) 【答案】C 【解析】求得解析式2y x =，设B （m ，2n ），如图，证△AOC～△BAD 得AC OC BD AD=，即12212m m=--，求得m 的值即可. 解：将点A （1，2）代入k y x=，得：k=2，则反比例函数为2y x =，设B （m ，2n），如图所示，连接AB ，过点A 作x 轴的平行线，交y 轴于点C ，过点B 作y 轴的平行线，交直线AC于点D ，则∠OCA=∠D=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∵OB为圆的直径，∴∠OAB=90°，∴∠OAC+∠BAD=90°，∴∠AOC+∠BAD，则△AOC～△BAD，∴AC OC BD AD=，即12212mm=--，解得：m=1（舍去）或m=4，则点B（4，12），故选C.“点睛”本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及相似三角形的判定与性质、圆周角定理，根据相似三角形的判定与性质建立方程是解题的关键.10．(本题4分)（2019·湖南洪江初三一模）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【答案】B【解析】结合已知条件可以推出两三角形相似，以及它们的相似比，根据相似三角形的性质，即可得出面积比．【详解】∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE ：S △ABC ＝（AD AB）2， ∵12AD AB =， ∴S △ADE ：S △ABC ＝（AD AB）2＝1：4． 故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，关键在于求证三角形相似，根据已知推出相似比．如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方. 评卷人 得分二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2019·黑龙江鸡西初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．【答案】AE EF ⊥或∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC （任填一个即可） 【解析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】∵矩形ABCD ， ∴∠ABE ＝∠ECF ＝90︒，∴添加∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ， ∴△ABE ∽△ECF ，故答案为：∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．12．(本题5分)（2019·全国初三课时练习）在A B C '''和ABC △中，70A ∠=︒，65C =︒∠，70A '∠=︒，45B '∠=︒，则A B C '''与ABC △是否相似？______，理由是______．【答案】相似 一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似【解析】首先由三角形内角和定理求出∠B ，然后根据相似三角形的判定定理进行解答. 【详解】解：∵70A ∠=︒，65C =︒∠， ∴∠B ＝180°－70°－65°＝45°，∴70A A '∠=∠=︒，45B B '∠=∠=︒， ∴A B C ABC '''△，理由是：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似； 故答案为：相似，一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.13．(本题5分)（2019·黑龙江绥化初三三模）如图，△ABC 的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC 相似但不全等的△DEF （△DEF 的顶点在格点上），则△DEF 的三边长分别是___．【答案】2，2，10．【解析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案． 【详解】如图所示：△ABC ∽△DEF ， DF ＝2，ED ＝2，EF ＝10． 故答案为：2，2，10．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确运用勾股定理进行计算是解题关键．14．(本题5分)（2018·河南安阳中考模拟）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，直线DE 垂直平分BF ，垂足为D ．当△ACF 是直角三角形时，BD 的长为_____．【答案】2或7 8【解析】分两种情况讨论：（1）当AFC90∠︒＝时，AF BC⊥，利用等腰三角形的三线合一性质和垂直平分线的性质可解；（2）当CAF 90＝∠︒时，过点A作AM BC⊥于点M，证明AMC FAC∽，列比例式求出FC，从而得BF，再利用垂直平分线的性质得BD．【详解】解：（1）当AFC90∠︒＝时，AF BC⊥，142AB ACBF BC BF=∴=∴=∵DE垂直平分BF，8122BCBD BF=∴==.（2）当CAF90＝∠︒时，过点A作AM BC⊥于点M，AB AC＝BM CM＝∴在Rt AMC与Rt FAC中，AMC FAC90C C∠∠∠∠︒＝＝，＝，AMC FAC∴∽，AC MCFC AC=2ACFCMC∴=15,42254AC MC BCFC===∴=2578441728BF BC FCBD BF∴=-=-=∴==.故答案为2或78．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的三线合一性质和线段垂直平分线的性质定理得应用．本题难度中等．评卷人得分三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2019·全国初三课时练习）如图，AD、BC交于点O，P为AB、CD延长线的交点，且PA PB PC PD⋅=⋅．试说明：PAD PCB∽．【答案】见解析【解析】题干已经告知了PA PB PC PD⋅=⋅的关系，化成比例关系为PA PDPB PB=，可发现两对应边的夹角是公共角∠P.两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定定理去证明.【详解】证明：∵P A•PB=PC•PD（已知）∴PA PDPB PB=（比例的基本性质）∵∠APD=∠CPB（公共角）∴△P AD∽△PCB．（两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似）【点睛】本题考察了三角形相似判定定理：两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似.这里的注意是，对应成比例的两个边的夹角对应相等而不是任意的角.16．(本题8分)（2018·福建南安初三期中）在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．【答案】见解析【解析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可．【详解】证明：∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，A′B′＝18c m ，B′C′＝24cm ，A′ C′＝30cm ，∴61''183AB A B ==，81''243BC B C ==，101''303AC A C == ∴''''''AB BC ACA B B C A C == ∴△ABC ∽△A′B′C′．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 17．(本题8分)（2020·山东中区初三期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，AC ＝8，AB ＝10．求AE 的长．【答案】165． 【解析】求出AD 的长，根据△ADE ∽△ABC ，可得AD AEAB AC=，则可求出AE 的长． 【详解】解：∵AC ＝8，D 为AC 的中点， ∴AD ＝4， ∵DE ⊥AB ， ∴∠AED ＝90°， ∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AEAB AC =， ∴4108AE =， ∴AE ＝165．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形判定及其性质，熟记定理和性质是解题的关键.18．(本题8分)（2019·四川南充初三月考）如图，ABCD 中，,,,E F G H 分别在四条边上．AE AH =，BE BF =,DG DH =,22A B ECH ∠=∠=∠．（1）写出图中的相似三角形，并证明． （2）当2BE =，3DH =时，求EH 的长．【答案】（1）BEF ∆∽DGH ∆，EFC ∆∽CGH ∆．证明见解析；（2）21EH =【解析】（1）先求出BEF ∆、DGH ∆是等边三角形．从而可证BEF ∆∽DGH ∆.根据两角分别相等的两个三角形相似，可证EFC ∆∽CGH ∆.（2）设AE AH a ==．则2AB CD a ==+,3AD BC a ==+．从而可得1FC a =+,1GC a =-．利用相似三角形对应边成比例，可得EF FC CG GH =， 即得 2113a a +=-， 解出a 值并检验即得. 作AI EH ⊥于I ．则2EH EI =，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得2AE AI =，从而求出3EI AI =，继而求出,EH AE 的长.【详解】（1）解：BEF ∆∽DGH ∆，EFC ∆∽CGH ∆．证明如下： ∵ABCD 是平行四边形，∴180BAD B ∠+∠=． ∵2BAD B ∠=∠，∴120BAD ∠=,60B ∠=． ∵BE BF =，∴BEF ∆是等边三角形． 同理，DGH ∆是等边三角形． ∴BEF ∆∽DGH ∆．∵120BAD BCD ∠=∠=,560∠=， ∴4660∠+∠=． ∵34160∠+∠=∠=， ∴36∠=∠，27120∠=∠=． ∴EFC ∆∽CGH ∆．（2）解：设AE AH a ==．则2AB CD a ==+,3AD BC a ==+． ∴1FC a =+,1GC a =-．由EFC ∆∽CGH ∆，得EF FCCG GH= ∴2113a a +=- ∴(1)(1)6a a -+=． ∴27a =．取正根7a =作AI EH ⊥于I ．则2EH EI =∵120BAD ∠=, ∴830∠= ∴2AE AI = ∴3EI AI =． ∴321EH AE ==．故答案为：（1）BEF ∆∽DGH ∆，EFC ∆∽CGH ∆．证明见解析；（2）21EH =．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题．19．(本题10分)（2016·广东江门初三月考）已知：如图，∠1=∠2，AB•AC=AD•AE ．求证：∠C=∠E ．【答案】证明见解析. 【解析】分析：先根据AB•AC=AD•AE 可得出=AB AEAD AC，再由∠1=∠2可得出△ABE ∽△ADC ，由相似三角形的对应角相等即可得出结论．详解：证明：在△ABE 和△ADC 中， ∵AB •AC=AD •AE ，∴=AB AEAD AC， 又∵∠1=∠2， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴∠C=∠E ．点睛：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．20．(本题10分)（2020·福建漳州初三二模）在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，以CA 为边在ACB ∠的另一侧作ACM ACB ∠=∠，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE BD =，连接AD DE AE 、、．（1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，直接写出ADE ∠的度数；（2）如图2，当点D 落在线段BC （不含边界）上时，AC 与DE 于点F ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若6AB =，求CF 的最大值．【答案】（1）∠ADE ＝30°，理由详见解析；（2）（1）中的结论成立，证明详见解析；（3）92CF =最长 【解析】（1）利用SAS 定理证明△ABD ≌△ACE ，根据相似三角形的性质得到AD ＝AE ，∠CAE ＝∠BAD ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明； （2）同（1）的证明方法相同；（3）证明△ADF ∽△ACD ，根据相似三角形的性质得到AF ＝26AD ，求出AD 的最小值，得到AF 的最小值，求出CF 的最大值．【详解】解：（1）∠ADE ＝30︒．理由如下：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120︒，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30︒， ∵∠ACM ＝∠ACB ，∴∠ACM ＝∠ABC ， 在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，∠CAE ＝∠BAD ， ∴∠DAE ＝∠BAC ＝120︒， ∴∠ADE ＝30︒； （2）（1）中的结论成立，证明：∵∠BAC ＝120︒，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACB ＝30︒． ∵∠ACM ＝∠ACB ， ∴∠B ＝∠ACM ＝30︒． 在△ABD 和△ACE 中，AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE ．∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ．∴∠CAE +∠DAC ＝∠BAD +∠DAC ＝∠BAC ＝120︒．即∠DAE ＝120︒． ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝30︒； （3）∵AB ＝AC ，AB ＝6， ∴AC ＝6，∵∠ADE ＝∠ACB ＝30︒且∠DAF ＝∠CAD ， ∴△ADF ∽△ACD ． ∴AD AFAC AD=． ∴AD 2＝AF •AC ． ∴AD 2＝6AF ．∴26AD AF =．∴当AD最短时，AF最短、CF最长．当AD⊥BC时，AD最短，故AF最短、CF最长，此时132AD AB==．∴2233662ADAF===最短．∴39622 CF AC AF=-=-=最长最短．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．(本题12分)（2019·合肥市五十中学东校）如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，AF、AG与边BC的交点分别为D、E (点D不与点B重合,点E不与点C重合).(1)图中共有对相似而不全等的三角形.(2)选取其中一对进行证明.【答案】（1）3；（2）△DAE∽△DCA；证明见解析.【解析】（1）观察图形判断哪两个三角形可能相似，再根据所学知识进一步判断；（2）根据“如果两个三角形有两个角对应相等，那么这两个三角形是相似三角形”进行判断.【详解】解：(1)图中相似而不全等的三角形有：△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA，△DAE∽△DCA.故答案为3.(2)∵△ABC和△AFG是等腰直角三角形，∴∠GAF＝∠ACB，又∵△DAE 和△DCA 有一个公共角∠ADE ， ∴△DAE ∽△DCA.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.22．(本题12分)（2019·全国初三课时练习）如图，在平行四边形ABCD 中，G 是DC 的延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于点E ，F .求证：··AF AD AG BF =.【答案】证明见解析【解析】根据平行四边形性质可证DAG BFA ∠=∠，G BAF ∠=∠，得ABF GDA ∽△△，得AF BFAG AD=. 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB DC ，AD BC ∥，∴DAG BFA ∠=∠，G BAF ∠=∠，∴ABF GDA ∽△△，∴AF BFAG AD=，∴AF AD AG BF ⋅=⋅. 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.根据平行四边形性质得到对应角相等是关键.23．(本题14分)（2019·福建永安初三期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，动点M 以每秒1cm 的速度从点B 向点C 移动；同时动点N 以3cm 的速度从点C 向A 移动，当点N 到达点A 时，两点都停止移动，连接MN ，设移动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，S △MNC ＝S 四边形ABMN ？ （2）当t 为何值时，△MNC 与△ABC 相似？ 【答案】（1）t ＝2；（2）t 为65或2413【解析】（1）由题意可知：CM ＝6﹣t ，CN ＝3t ，因为S △MNC ＝S 四边形ABMN ，所以S △MNC 是△ABC 的面积一半，由此列出方程解答即可；（2）分两种情况：△MCN ∽△ACB ，△MCN ∽△BCA ，得出对应线段的比计算得出答案即可． 【详解】解：（1）∵AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴S△ABC＝24cm2，∵CM＝6﹣t，CN＝3t，S△MNC＝S四边形ABMN，∴12×3t（6﹣t）＝12，解得：t1＝2，t2＝4；∵当点N到达点A时，两点都停止移动，∴0＜t＜83，∴当t＝2时，S△MNC＝S四边形ABMN．（2）①当△MCN∽△ACB时，则MCAC＝CNCB，即68t-＝36t，解得：t＝65；②当△MCN∽△BCA时，则MCCB＝CNAC，即66t-＝38t，解得：t＝24 13，答：当t为65或2413时，△MNC与△ABC相似．【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，相似的性质，掌握三角形的面积和分类探讨是解决问题的关键．。

专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【答案】（1）＝，见解析；（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立，见解析；（3）线段CP的长为1或3 【解析】【分析】（1）证出∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠BAD＝∠CAF；可证△DAB≌△F AC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，得出∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC＝AG，易证△GAD≌△CAF（SAS），得出∠ACF＝∠AGD ＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（3）分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣2＝2，易证△AQD∽△DCP，得出对应边成比例，即可得出CP＝1；②点D在线段BC延长线上运动时，同理得出CP＝3．【详解】（1）①解：∠BAD＝∠CAF，理由如下：∵四边形ADEF是正方形∴∠DAF＝90°，AD＝AF∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF故答案为：＝②在△BAD和△CAF中，AB ACBAD CAF AD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD≌△CAF（SAS）∴CF＝BD∴∠B＝∠ACF∴∠B+∠BCA＝90°∴∠BCA+∠ACF＝90°∴∠BCF＝90°∴CF⊥BD（2）如图2所示：AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．理由如下：过点A作GA⊥AC交BC于点G则∠GAD＝∠CAF＝90°+∠CAD∵∠ACB＝45°∴∠AGD＝45°∴AC＝AG在△GAD和△CAF中，AG ACGAD CAF AD AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°∴CF⊥BD．（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，①点D在线段BC上运动时，如图3所示：∵∠BCA＝45°∴△ACQ是等腰直角三角形∴AQ＝CQ＝22AC＝4∴DQ＝CQ﹣CD＝4﹣2＝2∵AQ⊥BC，∠ADE＝90°∴∠DAQ+∠ADQ＝∠ADQ+∠PDC＝90°∴∠DAQ＝∠PDC∵∠AQD＝∠DCP＝90°∴△DCP∽△AQD∴CPDQ＝CDAQ，即CP2＝24解得：CP＝1②点D在线段BC延长线上运动时，如图4所示：∵∠BCA＝45°∴AQ＝CQ＝4∴DQ＝AQ+CD＝4+2＝6∵AQ⊥BC于Q∴∠Q＝∠F AD＝90°∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D ∴∠ADQ＝∠AFC′则△AQD∽△AC′F∴CF⊥BD∴△AQD∽△DCP∴CPDQ＝CDAQ，即CP6＝24解得：CP＝3综上所述，线段CP的长为1或3．【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________【答案】（1）AE=BD．∠APC=60°；（2）成立，见详解；（3）AE=BD【解析】【分析】（1）观察猜想：①证明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE=BD，∠CAE=∠BDC；②过点C向AE，BD作垂线，由三角形全等可得高相等，再根据角分线判定定理，推出PC平分∠APB，即可求出∠APC的度数；（2）数学思考：结论成立，证明方法类似；（3）拓展应用：证明△ACE≌△DCB（SAS），即可得AE=BD.【详解】解：（1）观察猜想：结论：AE=BD．∠APC=60°．理由：①∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，∴∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD；②由①得∠EAC=∠BDC，∵∠AOC=∠DOP，∴∠APB=∠AOC+∠EAC=180°-60°= 120°．过过点C向AE，BD作垂线交于点F与G∵由①知△ACE≌△DCB∴CF=CG∴CP为∠APB的角平分线∴∠APC=12APB∠=60°；（2）数学思考：结论仍然成立．①∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，∴∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD；②由①得∠AEC=∠DBC，∴∠CEA+∠PEB=∠CBD+∠PEB=60°，∴∠APB=∠CBD+∠CBE+∠PEB=120°．过过点P向AC，BC作垂线交于点H与I∵由①知△ACE≌△DCB∴PH=PI∴CP为∠APB的角平分线∴∠APC=12APB∠=60°；（3）∵△ADC，△ECB都是等腰直角三角形，∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=90°，CE=CB，∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD∴∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1P m，且四边形OADP的面积是ABC∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；（3）如图，动点M 从点C 出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB 运动，同时动点N 从点A 出发.以每秒2个单位的連度沿线段AO 运动，当N 到达O 点时，M ，N 同时停止运动，运动时间是t 秒()0t >，在M ，N 运动过程中.当5MN =时，直接写出时间t 的值.【答案】（1）()6,0A ，()0,4C （2）()18,1P -（3）1或3 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和直角坐标系中点的确定，即可求出A 点坐标和C 点坐标；（2）根据四边形OADP 的面积是ABC ∆面积的2倍，列出关于m 的方程，解方程即可求出点P 的坐标； （3）由题意表示出ON =6－2t ，MC =t ，过点M 作ON 得垂线ME 交OA 于点E ， 根据勾股定理列出关于t 的方程，求解即可. 【详解】（1）∵长方形OABC 的项点B 的坐标是(6,4)， ∴BC =6，AB =4， ∴OA =6，OC =4， ∴A （6,0）C （0,4）；（2）连接PD ，PO ，过点P 作PE ⊥OD ，交OD 于点E ，∵BC =6，AB =4； ∴11==64=1222ABC S AB BC ⋅⨯⨯△， ∵四边形OADP 的面积是ABC ∆面积的2倍， ∴四边形OADP 的面积是24， ∴==OADP S S S △OAD △ODP 四边形＋11=2422OA OD PE OD ⋅⋅＋ ∵D 为OC 中点， ∴OD =2;∵(),1P m 是第二象限的点， ∴PE =﹣m ， ∴可列方程为1162+2m =22⨯⨯⨯⨯（﹣）24；解得m =﹣18， ∴()18,1P -（3）如图，过点M 作ON 的垂线ME 交OA 于点E ，由题意得ON =6－2t ，MC =t ()3t ≤0＜； ∴ME =4，EN =6－3t 又∵5MN =，∴根据勾股定理可列方程为()22246t =5＋－3，解方程得t =1或t =3 ∴当t =1或t =3时，5MN =. 【名师点睛】本题考查了矩形的性质和直角坐标系中点的确定，勾股定理等，利用方程思想解决问题是解题的关键【举一反三】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连结PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．【答案】（1）BQ＝5﹣t;（2）52秒;（3）t＝165.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证△APO≌△CQO，则AP＝CQ，再利用BQ BC CQ=-即可得出答案；（2）由平行四边形性质可知AP∥BQ，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，建立一个关于t的方程，解方程即可求出t的值；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长度，进而求出AO的长度，然后利用ABC的面积求出EF 的长度，进而求出OE的长度，而AE可以用含t的代数式表示出来，最后在Rt AOE中利用勾股定理即可求值.【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠P AO＝∠QCO，∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝t，∵BC＝5，∴BQ＝BC-CQ=5﹣t；（2）∵AP ∥BQ ，当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是平行四边形， 即t ＝5﹣t ，t ＝52， ∴当t 为52秒时，四边形ABQP 是平行四边形；（3）t ＝165，如图，在Rt △ABC 中， ∵AB ＝3，BC ＝5，∴AC 2222534BC AC -=-= ∴AO ＝CO ＝12AC ＝2， 1122ABCSAB AC BC EF == AB AC BC EF ∴=∴3×4＝5×EF ， ∴125EF =， ∴65OE =，∵OE 是AP 的垂直平分线， ∴AE ＝12AP ＝12t ，∠AEO ＝90°， 由勾股定理得：AE 2+OE 2＝AO 2，22216()()225t ∴+=165t ∴=或165t =-（舍去）∴当165t =秒时，点O 在线段AP 的垂直平分线上． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及动点问题，掌握平行四边形的判定及性质，以及勾股定理是解题的关键.类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒? （2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行? 【答案】（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行103秒；（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行20秒后,直线PQ ∥AB 【解析】 【分析】（1）首先设蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行t 秒，可得方程：10-t =2t ，解此方程即可求得答案；（2）首先设P 、Q 两只蚂蚁最快爬行x 秒后，直线PQ ∥AB ，可得方程：x -10=50-2x ，解此方程即可求得答案. 【详解】(1)设蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行t 秒， ∵四边形ABCD 是长方形， ∴∠B =90∘， ∴BP =BQ ，∵AP =tcm ,BQ =2tcm ,则PB =AB −AP =10−t (cm )， ∴10−t =2t ，解得：t=103，∴蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行103秒；(2)设P、Q两只蚂蚁最快爬行x秒后,直线PQ∥AB，∵AD∥BC，∴四边形ABPQ是平行四边形，∴AQ=BP，∴x−10=50−2x，解得：x=20，∴P、Q两只蚂蚁最快爬行20秒后,直线PQ∥AB；【名师点睛】此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【举一反三】如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(1，0)，C(-3，0)；(2)23(023)33S t tS t t⎧=≤<⎪⎨=-⎪⎩（＞）（3）存在，点Q的坐标为(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（123）.【解析】【分析】（1）根据方程求出AO 、AB 的长，再由AB ：AC =1:2求出OC 的长，即可得到答案； （2）分点M 在CB 上时，点M 在CB 延长线上时，两种情况讨论S 与t 的函数关系式； （3）分AQ =AB ,BQ =BA ,BQ =AQ 三种情况讨论可求点Q 的坐标. 【详解】 （1）x 2-3x +2=0， （x -1）（x -2）=0， ∴x 1=1，x 2=2， ∴AO =1，AB =2， ∴A (1，0)，OB ===，∵AB ：AC =1:2, ∴AC =2AB =4， ∴OC =AC -OA =4-1=3， ∴C (-3，0).(2)∵3OB OC ==,∴22222312BC OB OC =+=+=, ∵2222416,24AC AB ====, ∴222AC AB BC =+,∴△ABC 是直角三角形，且∠ABC =90︒， 由题意得：CM =t ，BC=当点M 在CB 上时，1)2S t t =⨯=(0t ≤<， ②当点M 在CB 延长线上时，12(2S t t =⨯-=-t＞.综上，(0 S t t S t t ⎧=≤<⎪⎨=-⎪⎩＞. （3）存在，①当AB 是菱形的边时，如图所示，在菱形AP 1Q 1B 中，Q 1O =AO =1，∴ Q 1(-1，0)，在菱形ABP 2Q 2中，AQ 2=AB =2，∴Q 2(1，2)， 在菱形ABP 3Q 3中，AQ 3=AB =2，∴Q 3(1，-2)； ②当AB 为菱形的对角线时，如图所示， 设菱形的边长为x ，则在Rt △AP 4O 中，22244AO P O AP += 2221(3)x x =+-，解得x =233， ∴Q 4（1，233）. 综上，平面内满足条件的点Q 的坐标为(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，233）.【点睛】此题考查一次函数的综合运用、解一元二次方程，解题过程中注意分类讨论.类型四 【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y ＝ax 2﹣34x +c 与x 轴相交于点A （﹣2，0）、B （4，0），与y 轴相交于点C ，连接AC ，BC ，以线段BC 为直径作⊙M ，过点C 作直线CE ∥AB ，与抛物线和⊙M 分别交于点D ，E ，点P 在BC 下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．【答案】（1）y＝38x2﹣34x﹣3；（2）P（3，﹣138）；（3）点P（2，﹣3），最大值为12【解析】【分析】（1）用交点式设出抛物线的表达式，化为一般形式，根据系数之间的对应关系即可求解；（2）根据（1）中的表达式求出点C（0，-3），函数对称轴为：x=1，则点D（2，-3），点E（4，-3），当△PDE 是以DE为底边的等腰三角形时，点P在线段DE的中垂线上，据此即可求解；（3）求出直线BC的表达式，设出P、H点的坐标，根据四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP进行计算，化为顶点式即可求解．【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣2a＝﹣34，解得：a＝38，故抛物线的表达式为：y＝38x2﹣34x﹣3；（2）当x=0时，y=-3，故点C的坐标为（0，﹣3），函数对称轴为：x＝242-+=1，∵CE∥AB∴点D（2，﹣3），点E（4，﹣3），则DE的中垂线为：x＝242＝3，当x＝3时，y＝38x2﹣34x﹣3＝﹣138，故点P（3，﹣138）；（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0）C（0，﹣3）代入得：403k bb+=⎧⎨=-⎩解得：343 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线BC的表达式为：y＝34x﹣3，故点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，38x2﹣34x﹣3），则点H（x，34x﹣3）；四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP＝12⨯3×6+12⨯HP×OB＝9+12×4×（34x﹣3﹣38x2+34x+3）＝﹣3 4x2+3x+9=()23-2124x-+，∵﹣34＜0，故四边形ACPB的面积有最大值为12，此时，点P（2，﹣3）．【名师点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，掌握中点坐标公式及作辅助线的方法是关键．【举一反三】已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当t为32s时，点M是AB中点；（2）y与t的函数关系式是y28675t=-+；（3）t的值为52s；（4）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）求出BD＝3，根据BM BPAB BD=，即可求出时间t；（2）先判断出△MBP∽△ABD，进而得出MP，同理表示出QN和CN，然后利用梯形面积公式进行计算即可得出结论；（3）根据（2）中所求，结合面积之间的关系建立方程即可得出结论；（4）假设存在，先利用PM＝QN求出t，进而求出PM，PN，判断出PM≠PN即可得出结论．【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵PM⊥BC，∴PM∥AD，∴BM BP AB BD=，∵点M 是AB 中点 ∴12BM AB =， ∴12BP BD =， ∵AB = AC ， ∴132BD CD BC ===， ∵BP =t ， ∴132t =，解得：32t =， 即当t 为32s 时，点M 是AB 中点； （2）过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵PM ∥AD ， ∴△MBP ∽△ABD ， ∴MP BPAD BD=，∵4AD ==， ∴43MP t=， ∴43MP t =，同理，△QCN ∽△ACD ， ∴CQ QN CNAC AD CD==， ∵5CQ t =-， ∴5543t QN CN-==， ∴()445=455QN t t =--，()335=355CN t t =--， ∴32=63355PN t t t --+=-，∴y =S 四边形PNQM =()21144284362235575MP QN PN t t t t ⎛⎫⎛⎫+⋅=+-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即y 与t 的函数关系式是y 28675t =-+； （3）若S 四边形PNQM ：S △ABC ＝4：9，则y =49S △ABC ，∵S △ABC =11641222BC AD ⋅=⨯⨯=，∴2846=12759t -+⨯， 解得152t =，252t =-（不合题意，舍去）， ∴t 的值为52s ； （3）若四边形PNQM 为正方形，则需满足PM = QN ，PM = PN ，当PM = QN 时，44=435t t -，解得：158t =， 当158t =时，PM =44155==3382t ⨯，PN =221593=3=5584t --⨯，∴PM ≠PN ， ∴不存在． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、梯形和三角形的面积公式、解一元二次方程以及正方形的性质等知识点，解本题的关键是用方程的思想解决问题．【新题训练】1．如图①，△ABC 是等边三角形，点P 是BC 上一动点（点P 与点B 、C 不重合），过点P 作PM ∥AC 交AB 于M ，PN ∥AB 交AC 于N ，连接BN 、CM ．（1）求证：PM +PN ＝BC ；（2）在点P 的位置变化过程中，BN ＝CM 是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND ∥BC 交AB 于D ，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先证明△BMP，△CNP是等边三角形，再证明△BPN≌△MPC，从而PM=PB，PN=PC，可得PM+PN ＝BC；（2）BN＝CM总成立，由（1）知△BPN≌△MPC，根据全等三角形的性质可得结论；（3）作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，连接DF即可．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵PM∥AC，PN∥AB，∴∠BPM＝∠ACB＝60°，∠CPN＝∠ABC＝60°，∴△BMP，△CNP是等边三角形，∴∠BPM＝∠CPN＝60°，PN=PC，PN=PC，∴∠BPN＝∠MPC，∴△BPN≌△MPC，∴PM=PB，PN=PC，∵BP+PC＝BC，∴PM+PN＝BC;（2）BN＝CM总成立，理由：由（1）知△BPN≌△MPC，∴BN＝CM；（3）解：如图③即为所求．作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC于F，连接DF，作直线AH⊥BC交BC 于H，同（1）可证△AND，△AME，△BPM，△CEF都是等边三角形，∴D与N，M与E，B与C关于AH对称.∴BM=CE，∴BM=CF，∴P与F关于AH对称，∴所做图形是轴对称图形.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2) EF 1213；(3)S四边形CEFG最小=52.【解析】【分析】(1)利用矩形的性质及平行线的性质，可证得∠DCG=∠MAG，,∠CDG=∠AMG，△AGM∽△CGD，再利用相似三角形的对应边相等，可得比例线段，然后证明DC=AB=2AM，即可证得CG与AG的数量关系. (2)利用勾股定理，分别求出AC、DG的长，再分情况讨论：①当∠DEF=∠DCG时，△DEF∽△DCG；②当∠DEF=∠DGC时，△DEF∽△DGC，分别利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求出EF的长.(3)作GH⊥DC，FN⊥DC，易证△DNF∽△MAD，可证对应边成比例，求出NF的长，再根据S四边形CEFG=S△DCG-S△DEF，可得到S与t的函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出四边形CEFG的面积的最小值.【详解】证明：(1)在矩形ABCD中，AB∥DC,∴∠DCG=∠MAG,∠CDG=∠AMG,∴△AGM∽△CGD,∴CG DC AG AM=∵点M是边AB的中点, ∴DC=AB=2AM,∴CGAG=2，CG即CG=2AG(2)在Rt△ADC中,由勾股定理得AC=2222AD CD1218613+=+=,由(1)得CG=2AG，CG=23AC=413，同理可得DG=10①当∠DEF=∠DCG时,△DEF∽△DCG∴EF DECG DC=即EF618413=,解得EF=4133②当∠DEF=∠DGC时,△DEF∽△DGC∴EF DECG DG=,即EF610413=,解得EF=12135(3)作GH⊥DC,FN⊥DC,设运动时间为t，则DF=DG-FG=10-t，DE=2t，∵∠DNF=∠DAM,∠NDF=∠AMD,∴△DNF∽△MAD∴DF FN DM DA = 即 10t FN 1512-= ，解得NF = 404t5- ∵S 四边形CEFG =S △DCG -S △DEF ()22211404t 4404=18122t t t 72=5523225555-⨯⨯⨯-⨯⨯=-+-+t ∴当t =5时，S 四边形CEFG 最小=52 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的动点问题，以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的性质判定相似三角形，然后利用相似三角形的性质求出边长并建立二次函数模型是解题的关键.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC 的边长为4cm ，点D 从点C 出发沿CA 向A 运动，点E 从B 出发沿AB 的延长线BF 向右运动，已知点D 、E 都以每秒0.5cm 的速度同时开始运动，运动过程中DE 与BC 相交于点P ，设运动时间为x 秒．(1)请直接写出AD 长．（用x 的代数式表示） (2)当△ADE 为直角三角形时，运动时间为几秒？ (3)求证：在运动过程中，点P 始终为线段DE 的中点．【答案】（1）AD =4-0.5x ；（2）83；（3）证明见解析．【解析】 【详解】试题分析：（1）直接根据AD =AC -CD 求解；（2）设x 秒时，△ADE 为直角三角形，分别用含x 的式子表示出AD 和AE ，再根据Rt △ADE 中30°角所对的直角边等于斜边的一半得出x 的方程，求解即可；（3）作DG ∥AB 交BC 于点G ，证△DGP ≌△EBP 便可得. 解：（1）由AC =4，CD =0.5x ，得AD =AC -CD =4-0.5x ； （2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC =AC =4cm ，∠A =∠ABC =∠C =60°．设x 秒时，△ADE 为直角三角形，∴∠ADE =90°，CD =0.5x ，BE =0.5x ，AD =4-0.5x ，AE =4+0.5x ， ∴∠AED =30°，∴AE =2AD ， ∴4+0.5x =2（4-0.5x ），∴x =83.答：运动83秒后，△ADE 为直角三角形；（3）作DG ∥AB 交BC 于点G ，∴∠GDP =∠BEP ，∠CDG =∠A =60°，∠CGD =∠ABC =60°， ∴∠C =∠CDG =∠CGD ，∴△CDG 是等边三角形，∴DG =DC ， ∵DC =BE ，∴DG =BE ．在△DEP 和△EBP 中，∠GDP ＝BEP ，∠DPG ＝∠EPB ，DG ＝EB ， ∴△DGP ≌△EBP ，∴DP =PE ．∴在运动过程中，点P 始终为线段DE 的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？【答案】（1）1k =-，2b =-，1a =-；（2）22(12)L m m m =-++-<<；（3）当12m =时，S 取最大值，最大值为278【解析】 【分析】（1）把A 、B 坐标分别代入抛物线和一次函数解析式即可求出a 、b 、k 的值；（2）根据a 、b 、k 的值可得抛物线和直线AB 的解析式，根据P 点横坐标为m 可用m 表示P 、C 两点坐标，根据两点间距离公式即可得L 与m 的关系式；（3）如图，作AD ⊥PC 于D ，BE ⊥PC 于E ，根据PAB PAC PBC S S S ∆∆∆=+，可用m 表示出S ，配方求出二次函数的最值即可得答案. 【详解】（1）∵点A （-1，-1）在抛物线2(0)y ax a =≠图象上， ∴2(1)1a -=-， 解得：1a =-，∵点A （-1，-1）、B （2，-4）在一次函数y kx b =+的图象上，∴124k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩， 解得12k b =-⎧⎨=-⎩，∴1k =-，2b =-，（2）∵1k =-，2b =-，a =-1，∴直线AB 的解析式为2y x =--，抛物线的解析式为2y x =-，∵点P 在抛物线上，点C 在直线AB 上，点P 横坐标为m ，PC //y 轴， ∴()2,P m m-，(,2)C m m --，∴L 关于m 的解析式：22(12)L m m m =-++-<<，（3）如图，作AD ⊥PC 于D ，BE ⊥PC 于E ， ∴AD =m +1，BE =2-m ， ∵PAB PAC PBC S S S ∆∆∆=+， ∴S =12PC ·AD +12PC ·BE ()()()()2211122222m m m m m m =+-+++--++ ()2322m m =-++ 233322m m =-++配方得：23127228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当12m =时，S 取最大值，最大值为278【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的最值，熟练运用配方法求二次函数的最值是解题关键. 5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°； （2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上． 【答案】（1）t ＝125s 时，∠CPM ＝90°；（2）t ＝3s 时，S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形；（3）当t ＝83s 时，点P在∠CAD 的平分线上． 【解析】 【分析】（1）首先证明QM =PC ，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形MQCP ＝ABCD1532S 矩形，构建方程即可解决问题． （3）如图1中，作PH ⊥AC 于H ．证明△P AD ≌△P AH （AAS ），推出AD =AH =8，DP =PH ，设DP =PH =x ，在Rt △PCH 中，构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ＝6，BC ＝AD ＝8，∠D ＝90°，∴AC 10，∵∠CPM ＝∠D ＝90°， ∴PM ∥AD ， ∵QM ∥AB ∥CD ，∴四边形PCQM 是平行四边形， ∴PC ＝QM ＝6﹣t ，∵QM AB ＝CQCB ， ∴66t -＝28t ，解得t ＝125，∴t ＝125s 时，∠CPM ＝90°．（2）∵S 四边形MQCP ＝ABCD15S 32矩形， ∴12•（6﹣t ）•2t +12•2t •34×2t ＝1532×6×8，解得t ＝3或﹣15（舍弃）， 答：t ＝3s 时，S 四边形MQCP ＝ABCD 15S 32矩形． （3）如图1中，作PH ⊥AC 于H ．∵∠D ＝∠AHP ＝90°，AP ＝AP ，∠P AD ＝∠P AH ， ∴△P AD ≌△P AH （AAS ），∴AD ＝AH ＝8，DP ＝PH ，设DP ＝PH ＝x ， ∵AC ＝10， ∴CH ＝2，在Rt △PCH 中，∵PH 2+CH 2＝PC 2， ∴t 2+22＝（6﹣t ）2， 解得t ＝83，答：当t ＝83s 时，点P 在∠CAD 的平分线上．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．在等边三角形ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、AC （含线段AB 、AC 的端点）上的动点，且∠EDF ＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB ＝90°时，BE +CF ＝nAB ，则n 的值为 ；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?【答案】（1）12；（2）①见解析；②见解析；（3）周长L取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2．【解析】【分析】（1）先利用等边三角形判断出BD=CD=12AB，进而判断出BE=12BD，再判断出∠DFC=90°，得出CF=12CD，即可得出结论；（2）①构造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE=DF，即可得出结论；②由（1）知，BG+CH=12AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG=FH，即可得出结论；（3）由（1）（2）判断出L=2DE+12，再判断出DE⊥AB时，L最小，点F和点C重合时，DE最大，即可得出结论．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC，∵点D是BC的中点，∴BD=CD=12BC=12AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°-∠B=30°，在Rt△BDE中，BE=12 BD，∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°，∵∠C=60°，∴∠DFC=90°，在Rt△CFD中，CF=12 CD，∴BE +CF =12BD +12CD =12BC =12AB ， ∵BE +CF =nAB ， ∴n =12， 故答案为：12； （2）如图，①过点D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ， ∴∠DGB =∠AGD =∠CHD =∠AHD =90°， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =60°，∴∠GDH =360°-∠AGD -∠AHD -∠A =120°， ∵∠EDF =120°， ∴∠EDG =∠FDH ，∵△ABC 是等边三角形，且D 是BC 的中点， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵DG ⊥AB ，DH ⊥AC ， ∴DG =DH ，在△EDG 和△FDH 中，90DGE DHF DG DHEDG FDH ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△EDG ≌△FDH （ASA ）， ∴DE =DF ，即：DE 始终等于DF ；②同（1）的方法得，BG+CH=12 AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），∴EG=FH，∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=12 AB，∴BE与CF的和始终不变；（3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=12 AB，∵AB=8，∴BE+CF=4，∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD =DE+AB-BE+AC-CF+DF=DE+AB-BE+AB-CF+DE=2DE+2AB-（BE+CF）=2DE+2×8-4=2DE+12，∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DE⊥AB时，DE最小，L最小，此时∠BDE=90°-60°=30°，BE=12BD=2，当点F和点C重合或点E和点B重合时，DE最大，点F和点C重合时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°，∵∠B=60°，∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BE=DE=BD=12AB=4，当点E和点B重合时，DE=BD=4，周长L有最大值，即周长L取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2．【点睛】本题是四边形综合题，考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线定理，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．【答案】（1）8；（2）6；（3）,40cm,80cm2.【解析】【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，面积=矩形的面积-2个直角三角形的面积．【详解】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=16-t，解得t=8．答：当t=8时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形8t t时，四边形AQCP为菱形．当AQ=CQ22解得：t=6．答：当t=6时，四边形AQCP是菱形；（3）当t=6时，CQ=10，则周长为：4CQ=40cm，面积为：10×8=80（cm2）．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．。

专题07 与三角形角度有关的新定义问题1．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中α为“标准角”，如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】A【解析】【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【详解】解：由题意得：α＝2β，α＝100°，则β＝50°，180°﹣100°﹣50°＝30°，故选：A ．【点睛】本题考查三角形内角和，拓展了新的定义，按照新定义获取有用信息是解题关键.2．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的12时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（ ）A ．108°或27°B ．108°或54°C ．27°或54°或108°D ．54°或84°或108°【答案】D【解析】【分析】分类讨论，①54a =°，②54b =°，③54°既不是a 也不是b ，根据“友好三角形”的定义及三角形内角和定理列式计算即可．【详解】①54a =°，则这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为54°，②54b =°，则1542a b ==°，108a \=°，③54°既不是a 也不是b ，则54180a b ++°=°，154=1802a a \++°°，解得84a =°，综上所述：这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为54°或84°或108°．故选D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．3．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是_____．【答案】54°或99°【解析】【分析】根据新定义分三种情况：①当99°的内角是另一个角的两倍时，直接可得α的度数；②当一个内角α是99°的两倍时，不符合三角形的内角和关系，舍去；③当三角形中另两个角是“倍角”关系时，列方程得到199=1802a a ++°°，求解即可．【详解】解：分三种情况：①当99°的内角是另一个角的两倍时，倍角α的度数是99°；②当一个内角α是99°的两倍时，则=299=198a ´°°，不符合三角形的内角和关系，故舍去；③当三角形中另两个角是“倍角”关系时，得到199=1802a a ++°°，得α=54°，故答案为：54°或99°．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，新定义计算，一元一次方程，正确理解新定义并列式计算是解题的关键．4．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．【答案】15【解析】【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【详解】解：由题意得：α=2β，α=110°，则β=55°，180°-110°-55°=15°，故答案为：15°．【点睛】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．5．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“实验三角形”.如果一个“实验三角形”有一个角为108°，那么这个“实验三角形”的其它两个内角的度数分别为_______.【答案】36°、36°或18°、54°【解析】【分析】根据“实验三角形”的定义，分108°的角是另一个角的3倍和另两个角中一个角是另一个角的3倍两种情况，根据三角形内角和定理分别求出另两个角的度数即可.【详解】①当108°的角是另一个角的3倍时，108÷3=36°，180°-108°-36°=36°，②当另两个角中一个角是另一个角的3倍时，180°-108°=72°，72°÷（3+1）=18°，18°×3=54°，综上所述：其它两个内角的度数分别为36°、36°或18°、54°.故答案为：36°、36°或18°、54°【点睛】本题考查三角形内角和定理，理解“实验三角形”的定义并掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．6．设三角形三内角的度数分别为,,x y z °°°，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(,)()y z y z <是x 的和谐数对，当150x =时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当66x =时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对(,)y z 有三个时，请写出此时x 的范围_______．【答案】 （38，76），（33，81） 060x °<<°【解析】【分析】根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当060x °<<°时，当60120x °<°…时，当120180x °<°…时，三种情况讨论，从而得出结论．【详解】解：当66x =时，180-66=114，则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76），或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81），若对应的和谐数对(,)y z 有三个，当060x °<<°时，它的和谐数对有(1803,2)x x °-，3(,18022x x °-，180(3x °-，2(180))3x °-；当60120x °<°…时，它的和谐数对有3(,180)22x x °-，180(3x °-，2(180))3x °-，当120180x °<°…时，它的和谐数对有180(3x °-，2(180))3x °-，\对应的和谐数对(,)y z 有三个时，此时x 的范围是060x °<<°，故答案为：（38，76），（33，81）；060x °<<°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．7．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”，如果一个“梦想三角形”有一个角为132°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_____________________.【答案】4°或12°【解析】【分析】根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为132°，可得另两个角的和为48°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°-132°-132÷3°=4°，48°÷（1+3）=12°，由此比较得出答案即可．【详解】当132°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°-132°-132÷3°=4°，当180°-132°=48°的角是另一个内角的3倍时，最小角为48°÷（1+3）=12°，因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为4°或12°．故答案是：4°或12°．【点睛】考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．8．当三角形的一个内角a 是另一个内角b 的3倍时，我们称此三角形为“特异三角形”，其中b 称为“特异角”．若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异角”的度数为_______．【答案】30°或22.5°【解析】【分析】结合题意，若一个“特异三角形”为直角三角形，根据三角形的性质，分两种情况分析；再通过求解二元一次方程方程组，即可完成求解．【详解】结合题意，若一个“特异三角形”为直角三角形则：有两种情况，第一种是90a =o ，第二种是直角为()180+a b -o 假设90a =o 时，得=3=90a b a ìíîo ∴=90=30a b ìíîoo 假设直角为()180+a b -o 时，得()=3180+=90a b a b ìí-îo o ∴=67.5=22.5a b ìíîoo 故答案为：30°或22.5°．【点睛】本题考查了三角形内角和、直角三角形、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、直角三角形、二元一次方程组的性质，从而完成求解．9．当三角形中一个内角a是另一个内角b的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中a称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为15°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为____．【答案】135°##135度【解析】【分析】根据“半角三角形”的定义及已知条件求得β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．【详解】解：∵α=15°，∴β=2α=30°，∴最大内角的度数=180°-30°-15°=135°．故答案为：135°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解决问题的关键．10．当三角形中一个内角b是另一个内角a的1时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角a称为“希望2角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为________．【答案】54°或84°或108°【解析】【分析】分54°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：①54°角是α，则希望角度数为54°；α=β=54°,②54°角是β，则12所以，希望角α=108°；③54°角既不是α也不是β，则α+β+54°=180°，α+54°=180°，所以，α+12解得α=84°，综上所述，希望角度数为54°或84°或108°．故答案为54°或84°或108°．【点睛】本题考查了希望角的定义以及三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键．D 11．如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=20°，则∠B=_______．【答案】35°或50°【解析】【分析】根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题．【详解】解：∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，∴2∠B＋∠A＝90°或2∠A＋∠B＝90°，解得，∠B＝35°或50，故答案为：35°或50°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．三、解答题12．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.（1）判断（对的打“√”，错的打“×”）①等边三角形存在“和谐分割线”（ ）②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”（ ）（2）如图2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，请用尺规画出“和谐分割线”，并计算“和谐分割线”的长度．【答案】（1）①×，②√；（2）和谐分割线”的长度为4．【解析】【分析】（1）根据“和谐分割线”的定义即可判断；（2）如图作∠CAB的平分线，只要证明线段AD是“和谐分割线”即可,并根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半和CD+BD=BC=6，求出CD的长度即可.【详解】（1）①因为过等边三角形任意一顶点，分割的两个三角形都有一个角小于60°，即不可能是等边三角形，故等边三角形不存在“和谐分割线”，不正确，是假命题；②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”，理由如下：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的平分线交AC于D.∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC=12ABC Ð,∵∠ABC=2∠C∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴BD=DC，△BDC为等腰三角形∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C=∠ABC.故BD为△ABC的和谐分割线.正确，是真命题，故答案为×，√；（2）如图2，作∠CAB 的平分线AD ，∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠DAB ＝∠B ＝30°，∴DA ＝DB ，∴△ADB 是等腰三角形，且∠CAD ＝∠DAB ＝∠B ，∴∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠CAD +∠BAD ＝∠BAC∴线段AD 是△ABC 的“和谐分割线”，设CD ＝x ，则BD ＝6﹣x ，∵12CD BD = ，∴x ＝2，即AD ＝BD ＝6﹣2＝4；即和谐分割线”的长度为4．【点睛】本题考查直角三角形30°角所对边是斜边一半，等腰三角形的判定.理解“和谐分割线”的定义，会根据定义判断一个三角形是否存在“和谐分割线”是解决此题的关键.13．如果三角形满足一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.如图1，在ABC D 中，20A Ð=°，60B Ð=°，100C Ð=°，∵3B A Ð=Ð，∴ABC V 是智慧三角形.（1）如图2，199Ð=°，2108=°∠，证明ABC D 是智慧三角形；（2）已知DEF V 是智慧三角形，其中48D Ð=°且E D F Ð<Ð<Ð，求E Ð和F Ð.【答案】（1）证明见解析；（2）E Ð和F Ð的度数为16°，116°或33°，99°．【解析】【分析】（1）根据平角的定义即可分别求出∠ABC 和∠ACB ，利用三角形的内角和定理即可求出∠A ，从而证出结论；（2）根据“智慧三角形”的定义分类讨论，分别利用三角形的内角和定理即可求出结论．【详解】解：（1）∵1180ABC Ð+Ð=°，199Ð=°，∴81ABC Ð=°．∵2180ABC Ð+Ð=°，2108=°∠，∴72ACB Ð=°，∵180A ABC ACB Ð+Ð+Ð=°，∴27A Ð=°，∴3ABC A Ð=Ð，∴ABC V 是智慧三角形．（2）∵DEF V 是智慧三角形，E D F Ð<Ð<Ð，∴3D E Ð=Ð或3F E Ð=Ð或3F D Ð=Ð，①当3D E Ð=Ð时，∵48D Ð=°，∴11481633E D Ð=Ð=´°=°，∵180E DF Ð+Ð+Ð=°，∴1801804816116F E D Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．②当3F E Ð=Ð时，∵180E D F Ð+Ð+Ð=°，∴448180E Ð+°=°，∴33E Ð=°，∴99F Ð=°．③当3F D Ð=Ð时，483144F Ð=°´=°，∵180E D F Ð+Ð+Ð=°，∴180481441200E Ð=°-°-°=-°<，∴不存在．综上，EÐ和FÐ的度数为16°，116°或33°，99°．【点睛】此题考查的是新定义类问题和三角形的内角和，掌握“智慧三角形”的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．14．如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”．（1）小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC = 3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，联结AD，他猜测：当∠DAC = ∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由．（2）如小明研究结果可以总结为：有一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”．请通过自己操作研究，并根据上诉结论，总结“活三角形”的其他特征．（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结），该三角形是一个“活三角形”．，该三角形是一个“活三角形”．（3）如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为：度．（直接写出结果即可）【答案】（1）详见解析；（2）有一个内角是另一个内角2倍时；有一个内角为直角时；（3）90°，108°，36°，180 () 7°【解析】【分析】（1）证明△ADC和△ABD为等腰三角形即可；（2）作∠CAD=∠C，则∠ADB=2∠C，当∠ABD=2∠C时，∠ABD=∠ADB，则△ABC为“活三角形”；由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易证直角三角形为“活三角形”；（3）分四种情况讨论，根据三角形内角和为180°建立方程，解方程求出顶角即可．【详解】解：（1）∵∠DAC =∠C，∴∠ADB =2∠C ，△ADC 为等腰三角形，又∵∠BAC =3∠C ，∴∠BAD =2∠C =∠ADB ，∴△ABD 为等腰三角形，∴AD 是△ABC 的“生命线”；（2）∠ADB =2∠C ，当∠ABD =2∠C 时，∠ABD =∠ADB ，则△ABC 为“活三角形”，即：有一个内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”；当∠BAC =90°，AD 为斜边BC 的中线，则△ABC 为“活三角形”，即：有一个内角为直角时，该三角形是一个“活三角形”，故答案为：有一个内角是另一个内角的2倍时；有一个内角为直角时（3）①由（2）可知，直角三角形为“活三角形”，故等腰直角三角形也为“活三角形”，即顶角为90°；②如图，△ABC 为等腰三角形，AB =AC ，则有2180x x x x +++=°，解得：36x =°，顶角∠BAC =108°；③如图，△ABC 为等腰三角形，AB =AC ，则有，2180x x x x +++=°。

2021-2022学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题07 探索三角形相似的条件一．选择题1．（2021春•沂源县期末）如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中相似三角形有几对（）A．6对B．5对C．4对D．3对【思路引导】根据相似三角形的判定一一证明即可．【完整解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°，∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF，∵∠EBF＝∠ABD，∠BEF＝∠ADB＝90°，∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，∴共有6对相似三角形，故选：A．2．（2021春•芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【思路引导】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【完整解答】解：已知给出的三角形的各边分别为、2、、只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：A．3．（2021春•周村区期末）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2和x轴，y轴分别交于A，B两点，在第二象限内有一点P，使△P AO和△AOB相似，则符合要求的点P的个数为（）A．2B．3C．4D．5【思路引导】根据相似三角形的相似条件，画出图形即可解决问题．【完整解答】解：如图，①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等），②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似．③作∠AOP3＝∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似．④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似．故选：C．4．（2021春•雁塔区校级期末）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．【思路引导】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【完整解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当AC2＝AD•AB时，即＝，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．5．（2021•龙湾区模拟）如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝AP×AC【思路引导】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．【完整解答】解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；C、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC时，结合∠A＝∠A可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；D、当AB×CP＝AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．6．（2020•黄埔区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，E是BC 的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．下列结论错误的是（）A．四边形AECD的周长是20B．△ABC∽△FECC．∠B+∠ACD＝90°D．EF的长为【思路引导】根据平行四边形和菱形的判定即可证明A选项；根据菱形的性质和三角形的面积公式即可证明C选项和D选项；根据△ABC与△FEC的三边长即可证明B选项．【完整解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE＝BC＝5，∴四边形AECD是菱形，∴菱形AECD的周长是20，故A选项正确，不符合题意；∵四边形AECD是菱形，∴∠ACB＝∠ACD，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠B+∠ACD＝90°，故C选项正确，不符合题意；如图，过A作AH⊥BC于点H，∵S△ABC＝BC•AH＝AB•AC，∴AH＝＝，∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5，∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，∴EF＝AH＝．故D选项正确，不符合题意；在Rt△EFC中，EF＝，EC＝5，∴FC＝＝，在Rt△CAB中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∵＝，＝，＝，∴△ABC与△FEC不相似，故B选项错误，符合题意．故选：B．7．（2020秋•叶县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD•BC＝DE•AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路引导】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．【完整解答】解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意，故选：B．8．（2020•浙江自主招生）已知点A，C在直线BD的同侧，且AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，现有点P在直线BD上，并且满足△ABP与△CDP相似，则这样的点P的个数为（）A．3B．5C．6D．7【思路引导】设DP＝x，根据已知可以分三种情况：①当点P在线段BD上时；②当点P在线段BD的右侧时；③当点P在线段BD的左侧时；分别得出比例式得出方程，解方程求出x的值，即可得出结果．【完整解答】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，∴∠D＝∠B＝90°，设DP＝x，分三种情况：①当点P在线段BD上时，当PD：AB＝CD：PB时，△PDC∽△ABP，∴＝，解得：DP＝2或12，当PD：PB＝CD：AB时，△PCD∽△P AB，∴，解得：DP＝5.6；②当点P在线段BD的右侧，如图1所示：当时，△PCD∽△P AB，即，解得：x＝28；当时，△PCD∽△APB，即，解得：x＝﹣7±（负值舍去），∴PD＝﹣7+；③当点P在线段BD的左侧时，如图2所示：当时，△PCD∽△APB，即，解得：x＝7±（负值舍去），∴PD＝7+；综上所述：当DP＝5.6或2或12或28或﹣7+或7+时，△ABP与△CDP相似，即这样的点P的个数有6个；故选：C．9．（2019春•宝安区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝2，点N为AD为边上一点，连接BN，作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA＝∠PCB，连接CM．下列结论正确的个数有（）（1）△P AM∽△PBC（2）PM⊥PC；（3）∠MPB＝∠MCB；（4）若点N为AD中点，则S△PCN＝6（5）AN＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个【思路引导】根据互余角性质得∠P AM＝∠PBC，进而得△P AM∽△PBC，可以判断（1）；由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断（2）；由B、C、P、M四点共圆得∠MPB＝∠MCB，进而判断（3）；过P点作EF⊥BC，分别志AD、BC相交于点EF，由相似三角形得PF，进而由△BCN与△BCP的面积之差求得△PCN的面积便可判断（4）；由△APB∽△NAB得，再结合△P AM∽△PBC便可判断（5）．【完整解答】解：（1）∵AP⊥BN，∴∠P AM+∠PBA＝90°，∵∠PBA+∠PBC＝90°，∴∠P AM＝∠PBC，∵∠PMA＝∠PCB，∴△P AM∽△PBC，故（1）正确；（2）∵△P AM∽△PBC，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故（2）正确；（3）∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，∴B、C、P、M四点共圆，∴∠MPB＝∠MCB，故（3）正确；（4）过点P作EF⊥BC，分别交AD、BC于E、F点，∵N为AD的中点，AB＝2∴AN＝DN＝，BC＝EF＝2，∴BN＝，易证△ANP∽△NBA，得，即，∴PN＝1，∴PB＝5﹣1＝4，∵AD∥BC，∴△PEN∽△PFB，∴，∴PF＝，∴，故（4）错误；（5）易证△P AN∽△P AB，∴，∵△P AM∽△PBC，∴，∴，∵AB＝BC，∴AM＝AN，故（5）正确；故选：B．二．填空题10．（2021春•濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动或s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC 相似．【思路引导】分两种情形①当＝时，②当＝时，分别构建方程求解即可．【完整解答】解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，∴AD＝6﹣t，∵∠A＝∠A，∴分两种情况：①当＝时，即＝，解得：t＝；②当＝时，即＝，解得：t＝；综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．11．（2021•葫芦岛二模）如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝18，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC边上取一点E，便以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于12或．【思路引导】根据相似三角形对应边成比例得出＝或＝，再代值计算即可．【完整解答】解：∵△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴＝或＝，∵AD＝AB，AB＝15，∴AD＝10，∵AC＝18，∴＝或＝，解得：AE＝12或．故答案为：12或．12．（2020秋•北海期末）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，点Q 是BC边上一个动点，当BQ＝2或8 时，△BPQ与△BAC相似．【思路引导】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．【完整解答】解：∵AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，∴BP＝4．当△BPQ∽△BAC时，则＝，故＝，解得：BQ＝8；当△BPQ∽△BCA时，则＝，故＝，解得：BQ＝2，综上所述：当BQ＝2或8时，△BPQ与△BAC相似．故答案为：2或8．13．（2021•抚顺县模拟）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是③△DEB．（△ABC除外）【思路引导】分别求出三个三角形的三边的比，符合这个结果就是与△ABC相似的．【完整解答】解：∵△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1：：，②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1：：；③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：．∴③（△DEB）与△ABC相似，故答案为：③△DEB．14．（2021•河北模拟）如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有 4 条．【思路引导】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．【完整解答】解：如图所示，①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB；③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；④作∠PGC＝∠A，则△GCP∽△ACB．故答案为：4．15．（2020秋•松江区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上一点，将△ABC沿经过点P的直线折叠，使得点A落在边BC上的A′处，若△PBA′恰好和△ABC相似，则此时AP的长为或2﹣2 ．【思路引导】分两种情形：①如图1中，当∠P A′B＝∠C＝90°时，△BP A′∽△BAC，②如图2中，当∠PBC＝90°时，△BP A′∽△BCA，分别利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【完整解答】解：①如图1中，当∠P A′B＝∠C＝90°时，设P A＝P A′＝x．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵∠B＝∠B，∠BA′P＝∠C＝90°，∴△BP A′∽△BAC，∴＝，∴＝，∴x＝．②如图2中，当∠BP A′＝90°时，△BP A′∽△BCA，∴＝，∴＝，∴x＝2﹣2，综上所述，满足条件的AP的值为或2﹣2．16．（2020秋•江阴市月考）如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是6≤AP＜8 ．【思路引导】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．【完整解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜8；如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0＜AP≤8；如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，∴CP＝2，AP＝6，∴此时，6≤AP＜8；综上所述，要有4种不同的剪法，使得过点P沿直线剪下一个与△ABC相似，则AP长的取值范围是6≤AP＜8．故答案为：6≤AP＜8．17．（2019•东平县二模）如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B 出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝1.2 s时△APR∽△PRQ．【思路引导】先证△CRQ为等边三角形，并用含t的式子表示图中的相关线段，由QR∥BA推得∠QRP＝∠APR，从而△PRQ中再有一个角等于∠A，即等于60°，即可得△APR ∽△PRQ．根据相似三角形的性质列比例式求解即可．【完整解答】解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°∵QR∥BA∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60°∴△CRQ为等边三角形∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t∵QR∥BA∴∠QRP＝∠APR若要△APR∽△PQR，则需满足∠RPQ＝60°∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120°∴∠BPQ＝∠ARP又∵∠A＝∠B∴△APR∽△BQP∴＝∴＝解得t＝1.2故答案为1.2．18．（2011春•成华区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，AE＝EB，MN＝2，线段MN 的两端在CB、CD上滑动，当CM＝或时，△ADE与△CMN相似．【思路引导】根据AE＝EB，△AED中AD＝2AE，所以在△MNC中，分CM与AE和AD 是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【完整解答】解：∵AE＝EB，∴AD＝2AE，又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM与AD是对应边时，CM＝2CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+CM2＝4，解得：CM＝；②CM与AE是对应边时，CM＝CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+4CM2＝4，解得：CM＝．综上所述：当CM为或时，△AED与△CMN相似．故答案是：或．19．（2003•武汉）△ABC中，以AB为直径的▱O交BC边于点D，连接AD，要使△ABD与△ACD相似，则△ABC的边AB与AC之间，应满足的条件为AB⊥AC．（填入一个即可）【思路引导】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．【完整解答】解：∵AB为▱O的直径∴∠ADC＝∠BDA＝90°∴当∠CAD＝∠B时，△ABD∽△CAD∵∠CAD+∠C＝90°∴∠B+∠C＝90°∴AB⊥AC答案不唯一，如AB⊥AC．三．解答题20．（2021春•朝阳区校级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2＝CD•BC，求证：△ABC∽△DAC．【思路引导】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【完整解答】证明：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∵AC2＝CD•BC，∴＝，∴△ABC∽△DAC．21．（2021春•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？【思路引导】（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．【完整解答】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．×2x（8﹣x）＝×8×10×．解得x1＝x2＝4．答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．∵∠C＝∠C，∴可分为两种情况：①＝，即＝，解得t＝；②＝，即＝．解得t＝．答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．22．（2021•越秀区校级二模）如图，在△P AB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．【思路引导】根据等腰三角形的性质得出∠PCD＝∠PDC，根据三角形的外角性质得出∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，求出∠B＝∠APC，再根据相似三角形的判定推出即可．【完整解答】证明：∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，又∵∠A＝∠BPD，∴∠B＝∠APC，∴△APC∽△PBD．23．（2020秋•崇川区期末）如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝4，AC＝3，AB＝a，在线段AB上是否存在一点E，使△BDE∽△ACE？【思路引导】当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，利用相似三角形的性质解答．【完整解答】解：存在，理由如下：∵BD⊥AB于点B，AC⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，∴＝＝，∴AE＝BE，∴AE＝AB＝a．∴点E在线段AB上，距离点A的距离是a．24．（2020秋•宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．【思路引导】利用“两角法”证得结论．【完整解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°．∴∠ACB+∠ACD＝90°．又∵AC⊥DE，∴∠CDE+∠ACD＝90°．∴∠ACB＝∠CDE．∴△ABC∽△ECD．25．（2021•拱墅区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．【思路引导】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F 即可；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．【完整解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，∴∠DEC＝∠F，∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F，∵∠CED＝∠DEF，∴△CDE∽△DFE．26．（2020秋•肇源县期末）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？【思路引导】先利用勾股定理计算出AB＝5，由于∠P AQ＝∠BAC，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当＝时，△APQ∽△ABC，即＝；当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，然后分别解方程求出t即可．【完整解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝＝5，则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，∵∠P AQ＝∠BAC，当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．27．（2019秋•临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：△AEF∽△BCF．【思路引导】（1）根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质定理得到∠C＝∠E，结合图形，证明即可．【完整解答】（1）∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中＝，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠C＝∠E、在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF．28．（2020春•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始，沿AB边以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发．（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2？（2）几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？【思路引导】（1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP＝t，BP＝6﹣t，BQ＝2t，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP＝x，BP＝6﹣x，BQ＝2x，再分△BPQ∽△BAC与△BPQ∽△BCA两种情况进行讨论即可．【完整解答】解：（1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP＝t，BP＝6﹣t，BQ＝2t，∵S△PBQ＝BP•BQ，即（6﹣t）×2t＝8，即t2﹣6t+8＝0，解得t1＝2，t2＝4．∴2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP＝x，BP＝6﹣x，BQ＝2x，①若△BPQ∽△BAC，则＝，即＝，解得x＝3；②若△BPQ∽△BCA，则＝，即＝，解得x＝1.2．综上所述，1.2秒或3秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。