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沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1＋∠2的度数为( )A.120°B.135°C.150°D.180°2、如图，△ABC的面积为1cm2， AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A. B. C. D.3、如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）A.△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长B.△ABE的面积＋△CDE 的面积＝△BCE的面积C.△ABE∽△DECD.△ABE∽△EBC4、若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角度数为A.20°B.50°C.80°D.100°5、平行四边形的两条对角线长分别为8cm和10cm，则其边长的范围是（）A.2＜x＜6B.3＜x＜9C.1＜x＜9D.2＜x＜86、如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（）A.110°B.120°C.130°D.140°7、如图，已知△ABC中，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A.90°B.135°C.270°D.315°8、如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（）A.70°B.80°C.90°D.100°9、如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是( )A.1B.5C.8D.1410、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD :S△ACD=( )A.3:4B.4:3C.16:9D.9:1611、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，则下列说法中错误的是（）A.如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°B.如果，则∠B=60°，∠A=30° C.如果，那么△ABC是直角三角= D.如果，那么△ABC是直角三角形12、如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，AD＝5，DH⊥AB于点H，则DH的长为( )A.24B.10C.4.8D.613、如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=16°，则∠ABC的度数是( )A. B. C. D.14、如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A.105°B.110°C.100°D.120°15、下列命题正确的有 ( )个①40°角为内角的两个等腰三角形必相似②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为750③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1⑤若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为等腰直角三角形。
沪科版八年级数学上册期末复习2一、三角形1、三角形的分类：（1）按边分类：（2）按角分类：不等边三角形直角三角形三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形钝角三角形2、三角形三边的关系：三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边.3、三角形内角和定理、外角及其推论：（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.（2）推论1：直角三角形的两个锐角互余.（3）三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与它相邻的内角互补.（4）推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（5）推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.4、三角形中的重要线段（1）在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（2）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.（3）从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高.注意：①一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，并且它们都是线段；②三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；而三角形的高未必在三角形内部.5、命题（1）凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题.（2）命题分为真命题和假命题.（3）命题的组成：每个命题都由条件和结论两部分组成.（4）几何推理中，把那些从长期实践中总结出来，不需要再作证明的真命题叫做公理. 如：经过两点，有且只有一条直线；两点之间，线段最短；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.（5）正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.如：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；在平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.二、全等三角形1、能够完全重合的两个图形，叫做全等形；能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应边上的中线、对应边上的高、对应的角平分线分别相等；全等三角形的周长相等，面积相等.注：用全等符号“≌”表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.3、全等三角形的判定 （1）“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS ）ABC 和△DEF 中，AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC ≌△DEF （2）.（ASA ） 在△ABC 和△DEF 中，∵ BE BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF（3）“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS ） 在△ABC 和△DEF 中，∵B EC F AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF（4）“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS ） 在△ABC 和△DEF 中，∵AB DEBC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF 另外，判定两个直角三角形全等还有另一种方法. （5对应相等的两个直角三角形全等.（HL ）在Rt △ABC 和Rt △DEF 中， ∵ AB DEAC DF=⎧⎨=⎩∴ Rt △ABC ≌Rt △DEF三、轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.2、轴对称：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称. 这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对称点.3、轴对称性质与判定：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段. （2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.4、轴对称和轴对称图形的区别与联系四、线段的垂直平分线1、经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线.2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.3、线段垂直平分线的判定定理：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.4、三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.五、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.2、性质：（1）等腰三角形两个底角相等.简称“等边对等角”.（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一）3、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等.简称“等角对等边”.六、等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.2、性质：等边三角形的三边相等；三个角都相等，每一个内角等于60°.3、判定：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形. （2）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.七、直角三角形含30°角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.八、角平分线1、性质定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.2、判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.3、三角形三条角平分线的性质：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.【考点习题】 一、选择题1、三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是（ ）A ．36-<<-aB ．5-<a 或2->aC ．52<<aD ．25-<<-a 2、如图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、 CE 的中点，且ABC S ∆＝4cm 2，则阴影S 等于( )A ．2cm 2B ．1 cm 2C ．21 cm 2 D ．41 cm 23、如图，a ∥b ，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝（ ）A 、100°B 、105°C 、110°D 、115°（第2题） （第3题）4、若△ABC 的三个内角满足关系式∠B ＋∠C=3∠A ，则这个三角形（ ）A ．一定有一个内角为45°B ．一定有一个内角为60°C ．一定是直角三角形D ．一定是钝角三角形 5、下列命题中正确的是（ ）A ．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B ．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角C．三角形外角一定是钝角D．△ABC中，如果∠A>∠B>∠C，那么∠A>60°，∠C<60°6、如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，那么补充一个条件后，仍无法判断△ABE ≌△ACD的是（）A.AD=AEB. ∠AEB=∠ADCC. BE=CDD. AB=AC（第6题）（第7题）（第8题）7、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。
专训一：三角形中的计数问题名师点金：在复杂的图形中数三角形个数的常见方法有：按顺序计数法、按基本图形计数法、由特殊到一般计数法．计数的原则是做到不重复、不遗漏．按顺序计数1．如图，在△ABG中，D，E，F都是BG上的点，则图中共有________个三角形，它们分别是_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________.(第1题)(第2题)2．如图，图中三角形的个数为()A．2B．18C．19D．20按基本图形计数3．如图，在△ABC中，M，N，P，Q，E为BC边上的点，连接AM，AN，AP，AQ，AE，数一数图中共有多少个三角形？并说明你是怎样数的．(第3题)由特殊到一般计数4．(1)如图①，当△ABC内部有1条线段(AD)时，共有________个三角形；(2)如图②，当△ABC内部有2条线段(AD，AE)时，共有________个三角形；(第4题)(3)如图③，当△ABC内部有3条线段(AD，AE，AF)时，共有________个三角形；(4)当△ABC内部有4条这样的线段时，共有________个三角形；(5)当△ABC内部有n条这样的线段时，共有________个三角形．5．阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点P，当P，A，B，C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形(如图)，当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？(第5题)完成下表：6.根据表中三角形叠加的规律，探求三角形叠加的层数与内部不再含三角形的三角形个数之间的关系，写出相应的关系式．(用含n的式子表示)专训二：几种热门考点名师点金：本章在学习三角形的基础知识中主要涉及与三角形有关的线段，命题与证明，和三角形内角、外角相关的知识，一般考查的题型包括三角形的三边关系，三角形的中线、高线、角平分线，命题与证明，以及与三角形内角和外角性质相关的角度的计算等．三角形的三边关系1．现有长度分别为3 cm，4 cm，7 cm，9 cm的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()A．1B．2C．3D．42．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为()A．9 B．12C．9或12 D．53．三角形的一边长是8，另一边长是1，第三边长如果是整数，则第三边长是________，这个三角形是________三角形．4．已知等腰三角形的周长是10，且三边长都是整数，求三边长．三角形的三种特殊线段(第5题)5．如图，AD是BC边上的中线，如果AB＝3厘米，AC＝4厘米，则△ACD 与△ABD的周长差、面积差分别为()A．1厘米，0厘米2B．2厘米，1厘米2C．3厘米，6厘米2D．无法确定6．以下说法错误的是()A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于三角形外部一点7．如图，CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，BF与CD交于点M，若∠A ＝60°，∠ABC＝50°，求∠BMC的度数．(第7题)命题与证明8．下列语句中，不是命题的是()A．过一点作已知直线的垂线B．两点确定一条直线C．钝角大于90°D．两个锐角的和是钝角9．举反例说明命题“一个角的补角大于这个角”是假命题．反例：_____________________________________________________________________ ___.10．命题“a，b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题．请你写出一种改法：________________________________________________________________________.三角形的内角和定理及推论的应用11．△ABC三个内角之间的关系为∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶8，这个三角形一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形12．(2015·资阳)如图，已知AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．35°C．40°D．45°(第12题)(第13题)13．(2014·泰安)如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是()A．∠1＋∠6>180°B．∠2＋∠5<180°C．∠3＋∠4<180°D．∠3＋∠7>180°14．如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB交AB于点D，∠ADC ＝150°，则∠B等于()A．120°B．130°C．140°D．150°(第14题)(第15题)15．(2015·南充)如图，点D在△ABC的边BC延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是________度．16．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？(1)∠A＝30°，∠C＝∠B；(2)三个内角的度数比为1∶2∶3.17．如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，DF 交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．(第17题)18．如图，BC平分∠ABE，DC平分∠ADE.求证：∠E＋∠A＝2∠C.(第18题)数学思想方法的应用a．方程思想19．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，BD是∠ABC的平分线，求∠A的度数．b．分类讨论思想20．已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于9，求这个三角形的周长．c．整体思想21．如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，试说明∠A与∠D之间的关系．(第21题)答案专训一1．10；△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，△ADE，△ADF，△ADG，△AEF，△AEG，△AFG点拨：图中的三角形都有一个公共顶点A，只需在BG上找出所有的线段即可，BG上共有10条线段：BD，BE，BF，BG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，运用这种有序化的思路来找，便可找出所有的三角形．2．D3．解：图中共有21个三角形．我们可以按基本图形计数，以1个三角形为基本图形，则有6个三角形，分别为△ABM，△AMN，△ANP，△APQ，△AQE，△AEC；以2个三角形为基本图形，则有5个三角形，分别为△ABN，△AMP，△ANQ，△APE，△AQC；以3个三角形为基本图形，则有4个三角形，分别为△ABP，△AMQ，△ANE，△APC；以4个三角形为基本图形，则有3个三角形，分别为△ABQ，△AME，△ANC；以5个三角形为基本图形，则有2个三角形，分别为△ABE，△AMC；以6个三角形为基本图形，则有1个三角形，它是△ABC.所以图中共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)三角形．4．(1)3(2)6(3)10(4)15(5)（n＋2）（n＋1）2点拨：本题利用了由特殊到一般的思想．当三角形内部有n条线段时，三角形的个数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋...＋3＋2＋1.设S＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋ (3)2＋1①，S＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n＋1)②，①＋②，得2S＝(n＋2)＋(n＋2)＋…＋(n＋2),\s\do4((n＋1)个))．所以S＝（n＋2）（n＋1）2.5．解：填表如下：点拨：当△ABC 内有1个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是3＝1×2＋1；当△ABC 内有2个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是5＝2×2＋1；当△ABC 内有3个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是7＝3×2＋1；参考上面数据可知，构成互不重叠的小三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n 个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n ＋1，故当△ABC 内有1 007个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是1 007×2＋1＝2 015.6．16；n 2 点拨：1层：1＝12；2层：1＋3＝22；3层：1＋3＋5＝32；4层：1＋3＋5＋7＝42；….以此类推，可以得出当叠加的层数为n 层时，内部不再含三角形的三角形个数为1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.专训二1．B 2.B 3.8；等腰4．解：设等腰三角形的腰长为a ，底边长为b ，由题意得⎩⎨⎧2a ＋b ＝10，2a ＞b ＞0，解得0＜b ＜5.∵a ，b 均取整数，∴b 只能取2或4.当b ＝2时，a ＝4，当b ＝4时，a ＝3. ∴三角形的三边长为4，4，2或3，3，4. 5．A 6.A7．解：因为∠A ＝60°，∠ABC ＝50°，所以∠ACB ＝70°.因为BF 是△ABC 的高，所以∠BFC ＝90°，所以∠FBC ＝180°－∠BFC －∠ACB ＝180°－90°－70°＝20°.因为CD 平分∠ACB ，所以∠BCM ＝12∠ACB ＝35°，所以∠BMC ＝180°－∠BCM －∠FBC ＝180°－35°－20°＝125°.点拨：本题综合考查了三角形的角平分线、高的定义，利用三角形的内角和为180°解题．8．A9．这个角是100°，它的补角是80° 10．a ＞b ＞0 点拨：答案不唯一． 11．D 12.C 13.D 14.C 15.6016．解：(1)因为∠A ＝30°，∠C ＝∠B ，所以∠B ＝∠C ＝180°－30°2＝75°.所以△ABC 是锐角三角形．(2)180°×16＝30°，180°×26＝60°，180°×36＝90°， 所以此三角形为直角三角形．17．解：因为∠A ＝35°，∠AFE ＝90°， 所以∠AEF ＝55°，所以∠CED ＝55°.又因为∠D ＝42°，所以∠ACD ＝180°－∠CED －∠D ＝180°－55°－42°＝83°.(第18题)18．证明：如图，∵∠1＋∠A ＝∠3＋∠C ①，∠2＋∠C ＝∠4＋∠E ②， 且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴①②两式相加可得：∠1＋∠A ＋∠4＋∠E ＝∠3＋∠C ＋∠2＋∠C ，∴∠E ＋∠A ＝2∠C.19．解：因为∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，所以∠A ＝∠BDC －∠ABD ＝∠BDC －12∠ABC ＝∠BDC －12∠BDC ＝12∠BDC ＝12∠C ＝12∠ABC.设∠A ＝x ，则∠ABC ＝∠C ＝2x ，列方程得x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°，即∠A ＝36°.20．解：若腰长为5，底边长为9， 因为5＋5＞9，符合三角形三边关系， 所以此时能组成三角形，周长为5＋5＋9＝19.若腰长为9，底边长为5，显然此时也能组成三角形，周长为9＋9＋5＝23. 所以这个三角形的周长为19或23.21．解：因为∠DBC ＝2∠ABD ，∠DCB ＝2∠ACD.所以∠ABC ＝32∠DBC ，∠ACB ＝32∠DCB. 所以∠A ＝180°－(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－⎝ ⎛⎭⎪⎫32∠DBC ＋32∠DCB ＝180°－32(∠DBC ＋∠DCB) ＝180°－32(180°－∠D)＝180°－270°＋32∠D＝32∠D －90°.即∠A ＝32∠D －90°.。
沪科版八年级上册数学全等三角形复习[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形判定 边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
而全等的判定却刚好相反。
2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。
在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS 找全等三角形。
4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。
以及等角，用于工业和军事。
有一定帮助。
5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
第十三章三角形中的边角关系
一、三角形的分类
1、按边分类：
2、按角分类：
不等边三角形直角三角形
三角形三角形锐角三角形等腰三角形(等边三角形是特例）斜三角形
钝角三角形
二、三角形的边角性质
1、三角形的三边关系:
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系：
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。
3、三角形的外角性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；(2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、三角形的角平分线、中线和高
(说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）
四、命题
1、命题:凡是可以判断出真（正确）、假(错误）的语句叫做命题.
2、命题分类
真命题：正确的命题
命题
假命题：错误的命题
3、互逆命题
4、反例：符合命题条件,但不满足命题结论的例子
原命题:如果p,那么q；
逆命题：如果q，那么p。
称为反例。
（说明:交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。
）。
专题：三角形的有关计算与证明三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系.例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE 的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可.【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA),∴CF＝BG，AF＝CG.(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点.又∵AD⊥AB，∴CH∥AD,∴G为BD中点，∠D＝∠EGC.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS),∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解.1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；(2)若∠OCD=30°，,求△AOC的面积.2.如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2-GE2=EA2.4.在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.(1)当BE=AE时，求证：BD=AE；(2)当BE≠AE时，“BD=AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式，若你认为成立，请给予证明.5.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.(1)求证：BE=CF；(2)在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME.求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN.参考答案1.(1)证明：由折叠的性质可得：AE ＝AB,∠E ＝∠B ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB,∠D ＝90°.∴AE ＝CD ，∠E ＝∠D ＝90°.在△AOE 和△COD 中，,,,AOE COD E D AE CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AOE ≌△COD(AAS).(2)在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°，∴OC=2OD.∵AB ＝CDOD 2+CD 2=OC 2，∴OD 2)2=4OD 2,解得OD ＝1.∴OC ＝2.由折叠知：∠BCA ＝∠ACO.∵AD ∥BC ，∴∠OAC ＝∠BCA ，∴∠OAC ＝∠ACO ，∴OA ＝OC ＝2，∴S △AOC=12·OA ·CD=12×22.图中的所有的等腰三角形有：△DCC ′，△DAC ′，△ABC ′，△BCC ′，理由如下：∵正方形ABCD，∴CD=AD=AB=BC，∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°.∵边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，∴DC′=DC=AD=AB，∠DCC′=∠DC′C=12(180°-30°)=75°，即△DCC′是等腰三角形.∵∠ADC=90°，∠CDC′=30°，∴∠ADC′=60°.∵DC′=AD，∴△DAC′为等边三角形.∴AC′=AD=AB，∠DAC′=∠DC′A=60°,∴△ABC′为等腰三角形，∠BAC′=90°-60°=30°,∴∠ABC′=∠AC′B=12(180°-30°)= 75°,∴∠C′BC=90°-75°=15°，∠C′CB=90°-75°=15°,∴∠C′BC=∠C′CB,∴△BCC′是等腰三角形.3.(1)BH=AC.证明：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°, ∠ABC=45°,∴∠BCD=45°=∠ABC,∴DB=DC.又∵∠BHD=∠CHE,∴∠DBH=∠DCA. ∴△DBH≌△DCA,∴BH=AC.(2)证明：连接GC.则GC2-GE2=EC2.∵F为BC中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC,∴BG=GC.∴BG2-GE2=EC2.∵∠ABE=∠CBE,∠CEB=∠AEB,BE=BE,∴△BCE≌△BAE.∴EC=EA,∴BG2-GE2=EA2.4.(1)证明：如图1，在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°. ∵BE=AE，∴∠ACE=∠ECB=30°.又∵CE=DE，∴∠D=∠ECD=30°.∴∠DEB=30°，∴BE=BD，∴BD=AE.(2)BD=AE还成立.证明：如图2，过点E作EF∥AC交BC于F，易证△EFB为等边三角形，∴EF=FB=BE.∴∠EFB=∠EBF.∴∠CFE=∠EBD.∵CE=DE，∴∠ECD=∠D.∴△ECF ≌△EDB ，∴CF=BD.∵AB=BC ，AB-BE=BC-BF ，即AE=CF.∴AE=BD.5.证明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠B=∠ACB=45°.∵FC ⊥BC ，∴∠BCF=90°.∴∠ACF=90°-45°=45°，∴∠B=∠ACF.∵∠BAC=90°，FA ⊥AE ，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF.在△ABE 和△ACF 中，,,,BAE CAF AB AC B ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACF(ASA).∴BE=CF.(2)①如图，过点E 作EH ⊥AB 于H ，则△BEH 是等腰直角三角形.∴HE=BH ，∠BEH=45°.∵AE 平分∠BAD ，AD ⊥BC ，∴DE=HE ，∴DE=BH=HE.∵BM=2DE ，∴HE=HM ，∴△HEM 是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME ⊥BC.②由题意，得∠CAE=45°+12×45°=67.5°， ∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE.在Rt △ACM 和Rt △ECM 中，,,CM CM AC CE =⎧⎨=⎩∴Rt △ACM ≌Rt △ECM(HL)，∴∠ACM=∠ECM=12×45°=22.5°.又∵∠DAE=12×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM.∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，∴AD=CD=12BC.在△ADE 和△CDN 中，,,,DAE ECM AD CD ADE CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CDN(ASA)，∴DE=DN.。
第1单元知识点一：三角形的概念【知识要点】1、如图，由不在的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形，用符号表示为：读作：A点叫做这个三角形的顶点；线段叫做这个三角形的边有时三边用它所对角的相应小写字母表示，如边AB记作： B叫做这个三角形的内角，简称知识点二：三角形中边的关系【知识要点】1、三角形中任何两边的和第三边2、三角形中任何两边的差第三边3、三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和【典型例题】1、下列长度的三条线段能组成三角形的是( )（A） 5cm 6cm 13cm （B）1cm 3cm 4cm（C）4cm 5cm 6cm （D） 1cm 2cm 3cm2、三角形的三边分别为4cm、6cm、acm，第三边a 的取值范围为知识点三：三角形中角的关系【知识要点】三角形的三个内角和等于【典型例题】已知:如图，△ABC中，BD⊥AC,垂足为D。
∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数。
知识点四：三角形的分类【知识要点】1.按边分类不等边三角形等边三角形（）（）（）如图：三角形按边长关系，可分为：、2.按角分类 （1） 叫做锐角三角形。
（2） 叫做直角三角形。
（3） 叫做钝角三角形。
（4） 叫做直角边，叫做斜边。
（5）直角三角形ABC 可以写成三角形按角分类，可分为 ， ，【典型例题】 1、等腰三角形中，周长为18cm 。
（1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长；（2）如果一边长为4cm ，求另两边长。
2、在△ABC 中，∠A ︰∠B ︰∠C=1︰2︰3，那么这个三角形是什么样的三角形呢？知识点五：认识并会画三角形的高线【知识要点】1、作出下列三角形三边上的高：2、上面第1图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC=∠ = °3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；（5）三角形三条高所在直线相交于一点，这点叫做三角形的垂心。
专题：三角形的有关计算与证明
三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系.
例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.
求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.
【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；
(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可.
【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.
∴∠BCG＝∠CAB＝45°.
又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，
∴△ACF≌△CBG(ASA),
∴CF＝BG，AF＝CG.
(2)延长CG交AB于点H.
∵AC＝BC，CG平分∠ACB，
∴CH⊥AB，H为AB中点.
又∵AD⊥AB，∴CH∥AD,
∴G为BD中点，∠D＝∠EGC.
∵E为AC中点，∴AE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEG，
∴△AED≌△CEG(AAS),
∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE.
由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.
方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解.
1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.
(1)求证：△AOE≌△COD；
(2)若∠OCD=30°，求△AOC的面积.
2.如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.
3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
(2)求证：BG2-GE2=EA2.。
