第九章统计量和抽样分布

数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布数理统计作为一门重要的学科，为我们分析和理解数据提供了基础和方法。

在数理统计中，样本统计量和抽样分布是两个关键概念。

本文将详细解释这些概念，并介绍相关的公式和定理。

一、样本统计量样本统计量是从数据样本中计算得到的数值，用于描述总体的特征。

常用的样本统计量有平均值、方差、标准差、相关系数等。

下面我们将详细介绍这些统计量以及它们的计算公式。

1. 平均值平均值是一组数据的总和除以观测数量，用于衡量数据的集中趋势。

样本平均值的计算公式如下：\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]其中，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，n 表示观测数量。

2. 方差方差衡量了一组数据的离散程度，它表示各观测值与平均值之差的平方和的平均值。

样本方差的计算公式如下：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n-1} \]其中，\( S^2 \) 表示样本方差，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，n 表示观测数量。

3. 标准差标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。

样本标准差的计算公式如下：\[ S = \sqrt{S^2} \]其中，S 表示样本标准差，\( S^2 \) 表示样本方差。

4. 相关系数相关系数衡量了两个变量之间的线性关系的强弱和方向。

样本相关系数的计算公式如下：\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i -\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}} \]其中，r 表示样本相关系数，\( x_i \) 和 \( y_i \) 分别表示第 i 个观测值的两个变量，\( \overline{x} \) 和 \( \overline{y} \) 分别表示两个变量的样本平均值，n 表示观测数量。

抽样与抽样分布在统计学中，抽样是一种常用的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。

抽样的目的是通过样本来推断总体的特征和性质。

在进行抽样时，我们需要了解抽样的方法和抽样分布的概念。

一、抽样方法1. 无偏抽样无偏抽样是指所有样本有相同被选中的机会。

这样可以确保样本的代表性，从而减小样本估计值和总体真值之间的误差。

常见的无偏抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。

2. 有偏抽样有偏抽样是指样本的选择并不具有相等的机会。

这样可能导致样本的代表性不足，从而产生较大的估计误差。

有时，有偏抽样也可以用于特定的研究目的，但需要明确地说明和分析偏差带来的影响。

二、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量在各个可能样本上的取值分布。

统计量可以是样本均值、样本方差等。

抽样分布的性质对于进行统计推断和假设检验非常重要。

2. 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在中心极限定理的条件下近似服从正态分布。

中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布都会接近正态分布。

3. 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在满足一些条件的情况下也近似服从正态分布。

这些条件包括样本容量足够大、总体比例接近0.5以及样本与总体之间的独立性等。

4. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布不服从正态分布。

通常情况下，样本方差的抽样分布呈右偏态，即偏度大于0。

为了得到样本方差的抽样分布，可以使用抽样分布的近似分布，如卡方分布。

三、应用案例抽样与抽样分布的方法和理论在实际统计学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用案例：1. 调查研究在进行调查研究时，我们经常需要从总体中选择一部分样本进行问卷调查或面访。

通过利用抽样与抽样分布的方法，我们可以将样本的调查结果推广到总体中，从而得到总体的特征和性质。

2. 假设检验假设检验是统计学中常用的推断方法之一。

通过比较样本统计量与假设的总体参数值，我们可以判断假设的合理性。

抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。

样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。

抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。

即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。

样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。

那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。

由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。

它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。

统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。

但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。

于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。

样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。

相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。

2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。

概率论与数理统计教案-统计量和抽样分布一、教学目标1. 理解统计量的概念，掌握常见统计量的计算方法。

2. 了解抽样分布的定义，掌握正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。

3. 学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。

二、教学内容1. 统计量的概念及计算方法统计量的定义样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量2. 抽样分布的定义及特点抽样分布的定义正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点3. 抽样分布的应用假设检验置信区间的估计三、教学方法1. 讲授法：讲解统计量的概念、计算方法，抽样分布的定义及特点。

2. 案例分析法：通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。

3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问、解答问题，提高学生的积极性和主动性。

四、教学步骤1. 引入统计量的概念，讲解样本均值、样本方差、样本标准差等常见统计量的计算方法。

2. 讲解抽样分布的定义，介绍正态分布、t分布、卡方分布等常见抽样分布的特点及应用。

3. 通过具体案例，让学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。

五、课后作业1. 复习本节课的内容，整理笔记。

2. 完成课后习题，加深对统计量和抽样分布的理解。

3. 选择一个感兴趣的话题，运用抽样分布进行实际问题的分析。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对统计量和抽样分布的理解程度。

2. 课后习题：检查学生对课堂内容的掌握情况。

3. 实际案例分析：评估学生运用抽样分布解决实际问题的能力。

七、拓展与延伸1. 引导学生探讨抽样分布在其他领域的应用，如经济学、生物学等。

2. 介绍与抽样分布相关的高级主题，如非参数统计、贝叶斯统计等。

3. 鼓励学生参加相关竞赛、研究项目，提高实践能力。

八、教学资源1. 教材：概率论与数理统计相关教材。

2. 课件：PPT课件，辅助学生理解统计量和抽样分布的概念及应用。

3. 案例资料：提供具体案例，方便学生学会使用抽样分布进行假设检验和置信区间的估计。

概率与统计中的统计量与抽样分布在概率与统计学中，统计量与抽样分布是两个重要的概念。

统计量是用来描述样本数据的特征，而抽样分布则是研究统计量在重复取样过程中的概率分布。

本文将介绍统计量和抽样分布的基本概念，并对其在概率与统计学中的应用进行讨论。

一、统计量的定义与分类统计量是用于对样本数据进行总结和描述的量。

它通过计算样本数据的函数得到，可以是一个数值、一个向量或一个矩阵。

常见的统计量包括样本均值、样本方差、样本标准差等。

样本均值是最常用的统计量之一，表示样本数据的平均水平。

对于一个具有n个观测值的样本，样本均值的计算公式为：1/n样本均值= Σ xi * -------i=1其中，xi表示第i个观测值。

样本方差是衡量样本数据分散程度的统计量。

它的计算公式为： 1/n样本方差 = Σ(xi - x)^2 * -------i=1其中，xi表示第i个观测值，x表示样本均值。

除了样本均值和样本方差，还有许多其他的统计量，如样本中位数、样本偏度、样本峰度等。

这些统计量在实际问题中起着重要的作用，可以帮助我们理解和分析数据。

二、抽样分布的基本概念抽样分布是指在某一总体中，从中抽取样本的所有可能组合，并计算其统计量的概率分布。

抽样分布的性质是概率论和数理统计中的重要内容。

它与样本容量、样本分布以及统计量的选择有关。

常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布。

其中，正态分布是最重要和最常用的抽样分布，具有许多重要的性质。

对于均值为μ、方差为σ^2的正态总体，样本均值的抽样分布也服从正态分布，其均值为μ，方差为σ^2/n。

这一性质被称为中心极限定理，是许多统计推断方法的基础。

t分布是在样本容量较小、总体标准差未知的情况下使用的抽样分布。

t分布的形状与样本容量有关，当样本容量较大时，t分布逼近于标准正态分布。

F分布是用于比较两个样本方差是否显著不同的抽样分布。

F分布的形状取决于两个样本容量的大小，具有非对称的特点。

抽样检验和抽样分布1. 引言抽样是统计学中非常重要的概念，通过对总体的一局部样本进行研究和分析，可以得出关于总体的推断和结论。

抽样检验是统计推断的一种方法，用于判断样本与总体之间是否存在显著差异。

抽样分布是抽样统计量的概率分布，是基于样本的随机变量，用于进行统计推断和估计。

2. 抽样检验抽样检验是统计推断的一种方法，用于判断样本与总体之间是否存在显著差异。

在抽样检验中，我们首先提出一个原假设和一个备择假设，然后通过计算样本统计量的概率来判断原假设是否成立。

常用的抽样检验方法包括：2.1 单样本 t 检验单样本 t 检验用于判断一个样本的均值是否与总体均值存在显著差异。

通过计算样本的 t 统计量来进行判断，如果 t 统计量的值较大，说明样本均值与总体均值之间存在显著差异。

2.2 双样本 t 检验双样本 t 检验用于判断两个样本的均值是否存在显著差异。

通过计算两个样本的 t 统计量来进行判断，如果 t 统计量的值较大，说明两个样本的均值之间存在显著差异。

2.3 卡方检验卡方检验用于判断两个或多个分类变量之间是否存在关联性。

通过计算卡方统计量来进行判断，如果卡方统计量的值较大，说明分类变量之间存在关联性。

2.4 方差分析方差分析用于判断一个因变量在不同组之间是否存在显著差异。

通过计算方差比率统计量来进行判断，如果方差比率统计量的值较大，说明不同组之间的因变量存在显著差异。

3. 抽样分布抽样分布是抽样统计量的概率分布，是基于样本的随机变量，用于进行统计推断和估计。

常用的抽样分布包括：3.1 正态分布在很多情况下，当样本容量足够大时，抽样分布可以近似地认为是正态分布。

正态分布是一种对称的连续概率分布，其概率密度函数可由均值和标准差完全描述。

3.2 学生 t 分布学生 t 分布是在样本容量较小、总体标准差未知的情况下使用的抽样分布。

学生 t 分布相比于正态分布，具有更宽的尾部，适用于小样本量的情况。

3.3 卡方分布卡方分布是基于正态分布的样本推断中经常使用的一种抽样分布。

统计学中的抽样分布理论统计学是一门深奥而又广泛应用的学科，其中抽样分布理论是其中一个重要支柱。

本文将从抽样、样本统计量和抽样分布三个方面进行论述，以便更好的理解其理论和应用。

一、抽样与样本统计量统计学的基本任务之一是推断总体特征。

但由于总体数据规模庞大，难以全面观察和分析，因此我们通常采用小样本的方式来代表总体。

这就是抽样的概念。

抽样是指从总体中随机抽取一部分数据，用这一部分数据代表总体，以此估计总体的特征。

常用的抽样包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。

在抽样中，一个样本统计量的重要性凸显出来，因为它可以帮助我们更好的估计总体的特征。

比如，一个数据集的均值和标准差就是两个重要的样本统计量。

二、抽样分布抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布情况。

这里需要区分参数（population）和统计量（sample statistic）之间的关系。

参数是总体参数，是我们想要研究的总体特征，比如总体均值、总体方差等。

统计量是在样本中计算出来的数值，比如样本均值、样本方差等。

样本统计量是对总体参数的估计，不同的样本统计量可能对总体参数的估计存在一定的差异。

抽样分布不同于总体分布。

总体分布是指总体中所有变量的分布，而抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布。

抽样分布是一个特殊的概率分布，其形状和参数取决于总体分布和样本大小。

这是因为在计算样本统计量时，会受到样本数量和样本变异的影响。

在实际使用中，我们通过抽样分布来推断总体参数。

具体方法是：首先，通过采样方法得到一个样本，计算该样本统计量的值。

然后，通过数学公式推算样本统计量的抽样分布，从而得到一个概率区间。

若该样本统计量恰好位于这个区间内，则认为该样本统计量的估计值与总体参数的差异可以用统计学上的概率来表示。

这个概率就是所谓的显著性水平（signicance level）。

三、中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中最为重要的定理之一。

抽样分布的概念及重要性抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了从总体中抽取样本的过程中，统计量的分布情况。

在统计学中，我们通常无法对整个总体进行研究，而是通过抽取样本来推断总体的特征。

抽样分布的概念帮助我们理解样本统计量的变异性，并为统计推断提供了理论基础。

本文将介绍抽样分布的概念及其重要性。

一、抽样分布的概念抽样分布是指在相同条件下，重复从总体中抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。

在抽样过程中，每次抽取的样本可能不同，因此样本统计量的取值也会有所不同。

抽样分布描述了样本统计量的所有可能取值及其对应的概率分布。

常见的样本统计量包括样本均值、样本方差、样本比例等。

以样本均值为例，假设总体均值为μ，样本均值为x̄，抽样分布描述了在相同样本容量的情况下，样本均值的所有可能取值及其对应的概率分布。

根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

二、抽样分布的重要性抽样分布在统计学中具有重要的意义，它对统计推断和假设检验提供了理论基础，具体体现在以下几个方面：1. 参数估计：抽样分布可以用于估计总体参数。

通过抽取样本并计算样本统计量，我们可以对总体参数进行估计。

例如，通过计算样本均值来估计总体均值，通过计算样本比例来估计总体比例等。

抽样分布提供了样本统计量的分布情况，帮助我们确定估计值的可信度和置信区间。

2. 假设检验：抽样分布可以用于假设检验。

在假设检验中，我们通常需要比较样本统计量与假设值之间的差异，以判断差异是否显著。

抽样分布提供了样本统计量的分布情况，可以帮助我们计算出观察到的差异在抽样误差范围内的概率，从而判断差异是否显著。

3. 抽样方法选择：抽样分布可以帮助我们选择合适的抽样方法。

不同的抽样方法会对样本统计量的分布产生不同的影响。

通过了解抽样分布的特点，我们可以选择合适的抽样方法，以提高样本统计量的准确性和可靠性。

4. 统计推断：抽样分布是统计推断的基础。

统计推断是指通过样本数据对总体特征进行推断。

第九章抽样与抽样估计一、单项选择题1、抽样极限误差是指抽样指标和总体指标之间（D）。

A．抽样误差的平均数B．抽样误差的标准差C．抽样误差的可靠程度D．抽样误差的最大可能范围2、样本平均数和总体平均数（B）。

解析：样本平均数是以总体平均数为中心，在其范围内变动（P213）A．前者是一个确定值，B．前者是随机变量，后者是随机变量后者是一个确定值C．两者都是随机变量D．两者都是确定值3、某场要对某批产品进行抽样调查，一直以往的产品合格率分别为90%，93%，95%，要求误差范围小于5%，可靠性为95.45%，则必要样本容量应为（B）。

A．144B．105C．76D．1094、在总体方差不变的条件下，样本单位数增加3倍，则抽样误差（C）。

A．缩小1/2B．为原来的3/√3C．为原来的1/3D．为原来的2/35、在其他条件不变的前提下，若要求误差范围缩小1/3，则样本容量（B）。

A．增加9倍B．增加8倍C．为原来的2.25倍D．增加2.25倍6、抽样误差是指（C）。

解析：这题考的是抽样误差的定义（P213)A．在抽查过程中由于观察、测量等差错所引起的误差B．在调查中违反随机原则出现的系统误差C．随机抽样而产生的代表性误差D．人为原因所造成的误差7、在一定的抽样平均误差条件下（A）。

A．扩大极限误差范围，可以提高推断的可靠程度B．扩大极限误差范围，会降低推断的可靠程度C．缩小极限误差范围，可以提高推断的可靠程度D．缩小极限误差范围，不改变推断的可靠程度8、抽样平均误差是（B）。

解析：这题考的是抽样平均误差的定义（P214）A．总体的标准差B．样本的标准差C．抽样指标的标准差D．抽样误差的平均差9、对某种连续生产的产品进行质量检验，要求每隔一小时抽出10分钟的产品进行检验，这种抽查方式（D）。

A．简单随机抽样B．类型抽样C．等距抽样D．整群抽样10、先将总体各单位按主要标志分组，再从各组中随机抽取一定单位组成样本，这种抽样形式被称为（C）解析：这题考的是抽样调查的几种不同的方式的定义（P211）。