【附20套高考模拟试题】2020届云南省曲靖一中高考数学模拟试卷含答案

曲靖一中高考复习质量监测卷六文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{012}B A ==，，，A B A =I ，故选D ． 2．2(12i)i (34i)i 43i z =+=-+=--g g ，所以z 对应的点位于复平面内的第三象限，故选C ． 3．已知在抽取的500人样本中，到过中共一大会址或井冈山的学生共计40人，据题意可知，样本中到过中共一大会址的人数是40(2010)30--=，到过中共一大会址的样本频率等于306500100=，据此估计全校学生中到过中共一大会址的学生人数大约有63000180100⨯=，故选B ． 4．（||2AB =是干扰条件，与结论无关）ABC △内角A B C ，，成等差数列，则3A B C B ++==π，π3B =．设公差为d ，由A B C ，，成等比数列得2πππ333d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0d =，π3A B C ===，tan 4B A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan(6015)︒-︒=tan451︒=，故选A ．5．当1x >-时，()0f x >恒成立，排除A ，D ；当1x <-时，()0f x <恒成立，再排除C ，故选B ．6．145222v =⨯+=； 2225 3.5113.5v =⨯+=；3113.55 2.6564.9v =⨯-=；4564.95 1.7v =⨯+ 2826.2=，故选A ．7．e 2ln x y x x =-，e 2ln 2x y x '=--，1|e 2x y ='=-，曲线在点(1e)，处的切线l 的方程是e (e 2)(1)y x -=--，令0x =，求得l 的纵截距等于2，令0y =求得l 的横截距等于2e 2--，则l 与坐标轴围成的三角形面积12222e 2e 2S -==--g g ，故选C ．8．函数()(1)(2)(10)f x x x x =---L 的零点集合{12345678910}A =，，，，，，，，，，通过搭配列举，在A 中任意取两个数，共有45种不同取法，A 的全部质数组成的集合{2357}B =，，，，在B 中任意取两个数共有6种不同取法．则事件“在函数()f x 的全部零点中随机取两个数都是质数”发生的概率624515P ==，故选D ． 9．选项A 是正确的；对于选项B ，111A B C △是正三角形，1BB ⊥平面111A B C ，则1111BA BC AC =>，11A BC △不可能是正三角形（另可验证，C ，D 都是正确），故选B ．10．记C 是以12F F 为直径的圆与双曲线位于第一象限的交点，由21A B F C D F ，，，，，构成正六边形的六个顶点知2OF C △是正三角形，则2c C ⎛ ⎝⎭，代入双曲线方程解得1e =+，故选A ．11．①函数sin ||cos y x x =+是偶函数．当0x ≥时，πsin cos 4y x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，y 的取值范围是[，则在R 上，函数的值域是[，命题正确；②函数πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，πππ333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，因此命题正确；③sin y x x =-，1cos 0y x '=-≥（零点孤立），则函数sin y x x =-在实数集R 上单调递增； ④2cos y x x '=+，当π02x ≤≤时，0y '>，当π2x >时，πcos 0y x '>+>，故函数2sin y x x =+在区间[0)+∞，上单调递增，命题正确，故选C ． 12．①在方程22||40x y x y +--=中，将y 换成y -方程不变，曲线关于x 轴对称，命题正确；②取0y =，得2x =±，取||1y =，得x =Z ，取||2y =，得10x =，22x =，||3y ≥时，方程无解，则曲线上恰有6个整数点，命题正确；③曲线与坐标轴交于(02)±，及(20)±，四个点，曲线位于以四个点为顶点的菱形外，菱形面积等于8，则命题正确；④记曲线上的点()x y ，到坐标原点的距离为d ，则222222||44422x y d d x y x y +=+=++=+≤，||d ≤||2x y ==时取等号，命题正确，故①②③④都正确，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13141516 答案3；12032- 1y x=33【解析】13．在递推式21n n S a n =+-中，取2n =，得212221a a a +=+-，13a =．111n n n n S a S a ++++==2(1)1n ++-，22n S n n =+，10120S =．评分标准：只有其中一个空正确给3分（不分先后难易，两空都正确给5分） 14．由余弦定理，得2222341cos 2234B +-==-g g ，则1||||cos 234BA BC BA BC B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g 32=-． 15．设()M x y ，，将相关点的坐标代入等式||||||2MA MB -=，得2222(2)(2)(2)(2)22x y x y +++-+-=，化简整理得点M 的轨迹方程1xy =（即初三所学反比例函数1y x=，图象是双曲线）． 16．依题意作出正方体1111ABCD A B C D -，易知1111AC D B ⊥，111AC D D ⊥，已知1111D D D B D =I ，则11AC ⊥平面11DD B ，进而111B D AC ⊥．同理可证11B D A B ⊥．已知1111AC A B A =I ，则1B D ⊥平面11A BC ．如图1，取六条棱的中点得正六边形EFGHMN ，易证平面EFGHMN ∥平面11A BC ，则1B D ⊥平面EFGHMN ．使与1B D 垂直的截面沿着1B D 移动，截面接近点1B 或D 时，截面趋近于点，面积趋近于0，截面与正六边形EFGHMN 重合时，面积达到最大．已知正方体棱长等于2，则11122MH AC =，23633EFGHMN S MH ==，所以所求截面面积最大值等于33 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）图1解：（1）A 组实验小鼠样本容量1100n =，根据A 组实验甲离子残留百分比频率分布直方图，计算(估计)甲离子残留百分比频数如下表：………………………………………………………………………………………（3分）由B 组实验乙离子残留百分比频率分布直方图， 可知()0.050.150.30P C b =++=，解得0.10b =， 从而1(0.050.100.150.200.15)0.35a =-++++=.B 组实验小鼠样本容量2100n =，根据乙离子残留百分比频率分布直方图，计算(估计)乙离子残留百分比频数如下表：…………………………………………………………………………………（6分）（学生解答，允许直接填表，不写过程）（2）在甲离子残留百分比的频率分布直方图中，频率最大值等于0.30，对应区间是[3.5 4.5)，，则估计甲离子残留百分比的众数为3.54.54.02+=. 设甲离子样本中位数为0x ，因为0.150.20.350.5+=<，0.150.200.300.650.5++=>， 则0[3.5 4.5)x ∈，，00.1510.210.3( 3.5)0.50x ⨯+⨯+⨯-=，解得中位数0 4.0x =. 由（1）知0.35a =，0.10b =．取区间中点值代替区间均值来计算，乙离子残留百分比的平均值为0.0530.1040.1550.3560.2070.158 6.0⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.综上，估计甲离子残留百分比的众数和中位数都是4%，估计乙离子残留百分比的平均值是6%． ……………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）选择①sin cos2B Ca B +=作为依据，由正弦定理得sin sin cos 2B CA B B +，由sin 0B ≠，得πsin 2222B C A A A +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， π2sin cos 0022222A A A A ⎛⎫=≠<< ⎪⎝⎭，则cos 2A =π26A =，π3A =． ……………………………………………………（6分）（2）若选择添加④2a =作为条件， 由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-g ，2242cos602b c bc bc bc bc =+-︒-=g ≥，4bc ≤，b c =时取等号，max () 4.bc =所以，1sin 22ABC S bc A ==g △≤max ()ABC S =△……………………………………………………………（12分）若选择添加“⑤ABC △的周长等于6”作为条件，由余弦定理，得6b c =+=b c =时取等号），2，4bc ≤．所以，1sin 22ABC S bc A ==g △≤max ()ABC S =△． ……………………（12分）(命题说明：开放与选择，可能是未来高考命题的一个趋势．对于（1），选择③时最简单，选择②时转化稍烦，选择①时相对最烦，但三种选择求得的结果是一样的．对于（2），选择④与选择⑤时比较，难易差异不大．能凭直觉选择容易的来处理，节约考试时间，也是能力的体现．本问的设计是一种尝试，试探考试后师生的反映如何） 19．（本小题满分12分）解：（1）作出折叠后的四面体ACBE 的直观图如图2．………………………………………………………（4分）（2）平面ABE ⊥平面ACE . 证明如下：在五边形中，AC CE ⊥，AC CB ⊥，这种垂直关系保持到四面体ACBE 中，且CB CE C =I ， 则AC ⊥平面BCE ．因为AC ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面BCE ．3CE =，4BE =，5BC =，满足勾股定理，BE CE ⊥，则BE ⊥平面ACE .又因为BE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面.ACE ………………………………（8分）（3）已知AC CB ⊥，22223534AB AC CB =++． 如图3，取AB 的中点F ，则1342FC AB FA FB === 由（2）知，BE ⊥平面ACE ，则BE AE ⊥，1342FE AB ==， 所以，F 是四面体ACBE 外接球的球心，球半径34r =， 所以，四面体ACBE 外接球的体积341734π.3V r == ……………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）当2a =时，2()24ln f x x x x =--，4()22f x x x'=--，(1)1f =-，(1)4f '=-， 图3图2则曲线()y f x =在点(11)T -，处的切线的方程是14(1)y x +=--，即4 3.y x =-+ ……………………………………………………………（4分）（2）函数()f x 的定义域是(0)+∞，. 当0a =时，2()f x x =在(0)+∞，上没有零点，不符合题意； 当0a ≠时，2()(2)()2.a x a x a f x x a x x-+'=--= ①当0a >时，20x ax +>，()00f x x a x a '=⇒-=⇒=； 当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>，函数()f x 在(0)a ，上单调递减，在()a +∞，上单调递增， min ()()f x f x ==极小2()ln f a a a =-；当00x x >→，时，20ln x ax x -→→-∞，，22()ln .f x x ax a x =--→+∞ 所以()f x 在(0)+∞，上有零点2min ()0ln 0ln 01f x a a a a ⇔⇔-⇔⇔≤≤≥≥. ②当0a <时，0x ax->，()0202a f x x a x '=⇒+=⇒=-.当02ax <<-时，()0f x '<；当2a x >-时，()0f x '>，则函数()f x 在02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， min()()2a f x f x f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭极小223ln 42aa a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 又求得(1)10f a =->， 则()f x 在(0)+∞，上有零点 22min 33()0ln 0ln 4224a a f x a a ⎛⎫⎛⎫⇔⇔--⇔- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤≥3344e 2e .2a a ⇔-⇔-≥≤综上，函数()f x 在定义域上有零点时，a 的取值范围是342e [1).⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U ，，……………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由条件可得1222S a b ==g g ab 22222222221122c a b b e a b a a a -===-=⇒=，②联立①②解得1a b =，所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………………………………………（5分）（2）求得椭圆C 的右焦点坐标2(10)F ，，经过点2F 且倾斜角等于45︒的直线的方程是1y x =-，与2212x y +=联立，消去y ，整理得2340x x -=，12403x x ==，，从而得到41(01)33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，.点(01)A -，是椭圆C 的短轴端点，C 在点A 处的切线方程是1y =-. 设椭圆C 在点B 处的切线方程为1433y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即413k y kx -=-，与2212x y +=联立，消去y ，整理得2224(41)41(12)21033k k k k x x ⎡⎤--⎛⎫+-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 222216(41)418(12)1093k k k k ⎡⎤--⎛⎫∆=-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由相切得0∆=，解得2k =-.从而得到椭圆C 在点B 处的切线方程为23y x =-+. 由123y y x =-⎧⎨=-+⎩，，解得两条切线的交点(21)D -，.ABD △外接圆的圆心00()E x y ，在AD 的垂直平分线上，则00212x +==.||||EA EB =，解得023y =-.半径22210||(01)1.3r EA ⎛⎫==-+-+= ⎪⎝⎭所以ABD △外接圆的方程是22210(1).39x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ ………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）将极坐标方程π4cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤化成直角坐标方程为222(2)2x y -+=(20)x y ≥，≥，表示以点1(20)O ，（直角坐标）为圆心、半径等于2的四分之一圆弧（直角圆弧），记作1M ，将极坐标方程π3π4sin 44ρθθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭≤化成直角坐标方程为222(2)2(2)x y y +-=≥，表示以点2(02)O ，（直角坐标）为圆心、半径等于2的半圆弧（在直线2y =上方，左端点在直线2y =上），记作2M ， 将极坐标方程3π4cos π4ρθθ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭≤化成直角坐标方程为222(2)2(20)x y x y ++=<-，≥，表示以点3(20)O -，（直角坐标）为圆心、半径等于2的四分之一圆弧（直角圆弧），记作3M ．如图4，在网格坐标中分别作出三段圆弧123M M M ，，，三段圆弧拼接而成的曲线就是所要求作的曲线M （形如一朵云彩）.图4…………………………………………………………………………（5分）学生不写说明（解答过程），只要图形正确即可评给5分.（2）直线l 与曲线M 相切并恰好有两个切点，由于切线l 的倾斜角是锐角， 则l 与圆弧23M M ，恰好各切于一点． 圆弧23M M ，的圆心是23(02)(20)O O -，，，， 由于两个圆弧半径相等，231O O k =，则两段圆弧的公切线l 的斜率1l k =， 设切线l 的方程为0x y b -+=， 圆心3(20)O -，到切线l的距离为d =2b =±考虑圆弧的位置，只能取2b =+所以，所求切线的方程是20x y -++，化为极坐标方程就是ρ=…………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）14213()4222342x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪>⎪⎩，，，≤≤，，，由()1f x =，得34x =， ∴()1f x ≤的解集为34x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤. ……………………………………………………（5分）（2）()f x 的最小值为4-， 若0x ∃使20()3f x a a <-， 则234a a ->-，2340-+>，a a∴a∈R. ………………………………………………………………………（10分）11。

2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2} 2．已知复数z满足（1+i）z＝|+i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．+i3．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．4．设a＝log1.10.5，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤6．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k（k＞0），通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y＝k•0.9x（x∈N*），那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（）（参考数据：1g3≈0.477）A．9 B．10 C．11 D．127．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A．B．8 C．D．48．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A．6 B．10 C．7 D．169．函数的大致图象是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝﹣x（a＞0，b＞0）在x＝1处取得极小值，则27ab2的最大值为（）A．27 B．9 C．4 D．111．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6x+5＝0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．在四面体ABCD中，AB＝BD＝AD＝CD＝3，AC＝BC＝4，用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为（）A．B．C．D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝．14．设变量x，y满足约束条件，则2x+y的最小值为．15．一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，在几何体ADF﹣BCE内任取一点，则该点在几何体F﹣AMCD内的概率为．16．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣x．则方程g（x）＝0有个实数根．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评．“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）若已从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率．18．已知函数的最大值为1．（1）求t的值；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，△ABC的面积为，且f（A）＝，求b+c的值．19．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，EF∥平面ABCD．（1）求证：平面ACF⊥平面BDF；（2）若∠CBA＝60°，求多面体ADFBCE的体积．20．已知函数f（x）＝ae x，g（x）＝lnx﹣lna，其中a为常数，e是自然对数的底数，曲线y＝f（x）在其与y轴的交点处的切线记作l1，曲线y＝g（x）在其与x轴的交点处的切线记作l2，且l1∥l2．（1）求l1，l2之间的距离；（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于π，直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B （x2，y2）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作直线l的垂线，垂足为D．若OA⊥OB，求动点D的轨迹方程．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣1|﹣1（a∈R）的一个零点为1．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）若+＝a（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2} 【分析】求出B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．解：x2﹣x﹣2＜0，即为（x﹣2）（x+1）＜0，解的﹣1＜x＜2，即A＝{x|﹣1＜x＜2}，又A＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}，故选：D．2．已知复数z满足（1+i）z＝|+i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．解：（1+i）z＝|+i|＝＝2，∴z＝＝＝1﹣i，故选：A．3．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】根据条件即可求出，而根据即可得出，从而求出m的值．解：；∵；∴＝；∴解得．故选：D．4．设a＝log1.10.5，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】先利用函数的单调性比较a与b的大小，再利用中间量比较c与a、b大小．解：因为对数函数y＝log1.1x在（0，+∞）上单调递增，且0.5＜0.6＜1所以a＜b＜0，又c＝1.10.6＞1，所以a＜b＜c，故选：A．5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤【分析】由每一尺的重量构成等差数列{a n}，a1＝4，a5＝2，利用求和公式即可得出．解：由每一尺的重量构成等差数列{a n}，a1＝4，a5＝2，∴该金锤共重＝15斤．故选：D．6．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k（k＞0），通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y＝k•0.9x（x∈N*），那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（）（参考数据：1g3≈0.477）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】由题意可知，所以x＞，进而计算出结果即可解：设通过这样的玻璃x块，则由题意得，化得，两边同时取常用对数，可得，因为lg0.9＜0，所以，则至少通过11块玻璃，故选：C．7．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A．B．8 C．D．4【分析】将直线方程y＝x﹣1代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出||FA|﹣|FB||的值．解：F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝＝＝4．故选：C．8．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A．6 B．10 C．7 D．16【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数，由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，从而得解．解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10．故选：B．9．函数的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由函数为奇函数，图象关于原点对称，排除BC；由函数零点为﹣1和1，排除D，进而得到答案．解：函数的定义域为{x|x≠0}，函数为奇函数，排除B，C；又函数的零点为﹣1和1，排除D；故选：A．10．已知函数f（x）＝﹣x（a＞0，b＞0）在x＝1处取得极小值，则27ab2的最大值为（）A．27 B．9 C．4 D．1【分析】由已知，结合导数存在条件可求得a+b＝1，代入到所求式子，结合函数单调性可求．解：由，可得f'（x）＝ax2+bx﹣1，则f'（1）＝a+b﹣1＝0，即a+b＝1，所以ab2＝（1﹣b）b2＝﹣b3+b2，记g（b）＝﹣b3+b2，0＜b＜1，则g'（b）＝﹣3b2+2b，令g'（b）＞0，解得，所以g（b）在区间上单调递增，在区间上单调递减，，此时27ab2＝4，故选：C．11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6x+5＝0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意圆C：x2+y2﹣6x+5＝0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．解：因为圆C：x2+y2﹣6x+5＝0⇔（x﹣3）2+y2＝4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），∴a2+b2＝9①又双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，而双曲线的渐近线方程为：y＝±x⇔bx±ay＝0，∴＝2 ②连接①②得，可得c＝3，所以双曲线的离心率为：＝．故选：C．12．在四面体ABCD中，AB＝BD＝AD＝CD＝3，AC＝BC＝4，用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为（）A．B．C．D．3【分析】由直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HG∥AB，同理EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，EF∥HG．四边形EFGH为平行四边形．又AD ＝BD，AC＝BC的对称性，可知AB⊥CD．从而四边形EFGH为矩形．建立二次函数关系求解四边形EFGH面积的最大值．解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB，同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，∴FG∥EH，EF∥HG．∴四边形EFGH为平行四边形．又∵AD＝BD，AC＝BC的对称性，可知AB⊥CD．∴四边形EFGH为矩形．设BF：BD＝BG：BC＝FG：CD＝x，（0≤x≤1），∴FG＝3x，HG＝3（1﹣x），∴，当时，四边形EFGH的面积有最大值．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝15 ．【分析】由题意知2a2﹣4a1＝a3﹣2a2，即2q﹣4＝q2﹣2q，由此可知q＝2，a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，于是得到S41+2+4+8＝15．解：∵2a2﹣4a1＝a3﹣2a2，∴2q﹣4＝q2﹣2q，q2﹣4q+4＝0，q＝2，∴a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，∴S4＝1+2+4+8＝15．答案：1514．设变量x，y满足约束条件，则2x+y的最小值为 1 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z＝2x+y，利用数形结合以及目标函数的几何意义，转化就即可．解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（0，1）．令z＝2x+y，由图可知，当直线z＝2x+y过点A（0，1）时，z有最小值为1，即2x+y的最小值为1，故答案为：1．15．一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，在几何体ADF﹣BCE内任取一点，则该点在几何体F﹣AMCD内的概率为．【分析】先根据三棱锥的体积公式求出F﹣AMCD的体积与三棱锥的体积公式求出ADF﹣BCE的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．解：因为，，所以该点在几何体F﹣AMCD内的概率为．故答案为：．16．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣x．则方程g（x）＝0有1 个实数根．【分析】直接利用分段函数，转化求解函数的零点即可．解：当0＜x＜π时，g（x）＝f（x）﹣x＝x sin x﹣x＝0，得sin x＝1，解得；当x≥π时，，此时无解．综上：方程g（x）＝0有1个实数根，且．故答案为：1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评．“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）若已从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a．（2）第1，2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3．从5人中随机抽取3人，利用列举法能求出第2组抽到2人的概率．解：（1）由10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，解得a＝0.035．（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法共抽取5人，则第1，2组抽取的人数依次为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3；设从5人中随机抽取3人，则有（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，b3），（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3），（b1，b2，b3）共10个基本事件；其中第2组恰好抽到2人包含（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3）共6个基本事件；所以第2组抽到2人的概率．18．已知函数的最大值为1．（1）求t的值；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，△ABC的面积为，且f（A）＝，求b+c的值．【分析】（1）对f（x）化简，利用f（x）最大值为1，求出t；（2）由，求出A，利用面积公式，结合余弦定理求出b+c．解：（1）＝，∵f（x）的最大值为1，∴，解得，（2）∵，∴，又△ABC是锐角三角形，得，．∴，解得，由三角形面积公式得，，可得bc＝4，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得8＝（b+c）2﹣3bc，（b+c）2＝20，而b+c＞0，∴．19．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，EF∥平面ABCD．（1）求证：平面ACF⊥平面BDF；（2）若∠CBA＝60°，求多面体ADFBCE的体积．【分析】（1）推导出AC⊥BD，FD⊥AC，从而AC⊥平面BDF，由此能证明平面ACF⊥平面BDF．（2）推导出FD⊥平面ABCD，高为DF．取BC中点G，连接GE，GD，GA，则EG⊥平面ABCD，从而DFEG是矩形，．由此能求出多面体ADFBCE的体积．【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵FD⊥平面ABCD，∴FD⊥AC，∵BD∩FD＝D，∴AC⊥平面BDF，∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDF．解：（2）多面体ADFBCE由四棱锥F﹣ABCD和三棱锥F﹣BCE组合而成．在四棱锥F﹣ABCD中，∵FD⊥平面ABCD，∴高为DF．取BC中点G，连接GE，GD，GA（如图），则EG⊥平面ABCD，又EF∥平面ABCD，∴DFEG是矩形，．∵菱形ABCD的边长为2，∠CBA＝60°，∴，∴，∵，三棱锥F﹣BCE的高即，∴，所以多面体ADFBCE的体积为3．20．已知函数f（x）＝ae x，g（x）＝lnx﹣lna，其中a为常数，e是自然对数的底数，曲线y＝f（x）在其与y轴的交点处的切线记作l1，曲线y＝g（x）在其与x轴的交点处的切线记作l2，且l1∥l2．（1）求l1，l2之间的距离；（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）函数f（x）＝ae x的图象与y轴的交点为（0，a），函数y＝g（x）的图象与x轴的交点为（a，0），而f'（x）＝ae x，，利用l1∥l2，求出a，然后求解切线方程，求解平行线真假的距离．（2）由，推出在x≥0时有解，令，则只需m＜h（x）max，利用函数的导数求解函数的最大值即可．解：（1）函数f（x）＝ae x的图象与y轴的交点为（0，a），函数y＝g（x）的图象与x轴的交点为（a，0），而f'（x）＝ae x，，∵l1∥l2，∴f'（0）＝g'（a），得，又∵a＞0，∴a＝1．∴f（x）＝e x，g（x）＝lnx，∴切线l1过点（0，1），斜率为；切线l2过点（1，0），斜率为k2＝g'（1）＝1，l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，∴两平行切线l1，l2间的距离．（2）由，得，故在x≥0时有解，令，则只需m＜h（x）max，当x＝0时，m＜0；当x＞0时，可求得，∵，而e x＞1，∴，故，即h'（x）＜0，∴函数h（x）在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）max＝h（0）＝0，即m＜0，∴实数m的取值范围为（﹣∞，0）．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于π，直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B （x2，y2）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作直线l的垂线，垂足为D．若OA⊥OB，求动点D的轨迹方程．【分析】（1）由题意知，，求出a，b，然后求解椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，由消去y整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，利用韦达定理以及OA⊥OB转化求解即可．解：（1）由题意知，，解得，所以椭圆C的方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，由消去y整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，根据题设有：△＝16（1+4k2﹣m2）＞0且，．∵OA⊥OB，∴，即x1x2+y1y2＝0，将y1＝kx1+m，y2＝kx2+m代入，化得，把，代入整理得：5m2＝4（k2+1），∵OD⊥l，∴；当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，由，得，．∵OA⊥OB，∴|OA|2+|OB|2＝|AB|2，解得，∴．所以动点D的轨迹是以原点O为圆心，半径为的圆，方程为．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．【分析】（1）消去参数t能求出直线l的普通方程，由，得，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）点是直线l上的点，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得．由此能求出的值．解：（1）消去参数t得直线l的普通方程为；因为，所以，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为．（2）由题意判断点是直线l上的点，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得．其中，，t1t2＝﹣2．于是．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣1|﹣1（a∈R）的一个零点为1．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）若+＝a（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．【分析】（1）分类讨论去绝对值；（2）变形后，用基本不等式证明．解：（1）因为函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣1|﹣1（a∈R）的一个零点为1，所以a＝1，又当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|﹣1，f（x）≤1⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，上述不等式可化为或或，解得或或所以0≤x或＜x＜1或1，所以原不等式的解集为{x|0}（2）由（1）知＝a＝1，因为m＞0，n＞1，所以m+2（n﹣1）＝[m+2（n﹣1）]（+）＝5++≥0，当且仅当m＝3．n＝4时取等号，所以m+2n≥11．。

2020年高考数学一模试卷（文科）、选择题1,已知集合 A= {x|x>1}, B= {x|x 2-x - 2<0},则 An B=()尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤?6 .设光线通过一块玻璃，强度损失10%如果光线原来的强度为k （k>0）,通过x 块这样的玻璃以后强度为 y,则y=k? 0.9x（xC M ）,那么光线强度减弱到原来的 得以下时， 至少通过这样的玻璃块数为（ ）（参考数据：1g3 = 0.477 ）A. 9B. 10C. 11D. 127 .已知F 为抛物线y 2 = 4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于 A, B 两点，则|| FA T FB |的值等于（ ）A.B. 8C 4亡D. 48 .图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图， 1号到16号的同学的成绩依次为 AA,…，A 6,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输 出的结果是A. {x | - 1<x<2} B, {x |x>- 1}C. {x| - 1 vxvl}D. {X [1 <x< 2}2.已知复数z 满足（1+i ） z=|&j+i | , i 为虚数单位，则z 等于（3. A. 1 - i B. 1+iC. ---i2 2D.已知向量|a | = i ，b = (^ m),若U+b)l (a-b)，则实数m 的值为（B.4.设 a= log i.i 0.5 , b= log1.10.6 , c= 1.1 0.6,贝U ()A. a< bv cB.bv c< a C. cvavb D. bvavc5.我国古代名著《九章算术》 中有这样一段话: “今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤,斩末一尺，重二斤.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1A. 6斤B. 7斤C. 9斤D. 15 斤（）9 .函数£（工）=皿:的大致图象是（ x的最大值为（A. 27B. 9C. 4D. 12 211 .已知双曲线 C '一^=1 (a>0, b>0)的两条渐近线均与圆 x 2+y 2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则 C 的离心率为（ ）D.12 .在四面体 ABC 由，AB= BD= AD= C 氏3, AC= BC= 4,用平行于 面体，得到截面四边形 EFGH 则四边形EFG 丽积的最大值为（）D. 3、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.9 10 11 6123 4图!A. 6B. 10C.D. 1610.已知函数f/ 、1 31, 2(x) = yax 后卜区-x (a>0,b>0）在x=1处取得极小值，则 27ab 2AB CD 的平面截此四A.02D .13 .等比数列｛a n｝的前n项和为且4a i, 2a2, 观成等差数列.若a11,则$= x+2y-5=C014 .设变量x, y满足约束条件，x-y+l^>0 ,则2x+y的最小值为 .15 . 一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，在几彳S］■体ADF BC型任取一点，则该点在几何体F-AMCDJ的概率为 .xsinx, ＜兀16.已知函数f (x)=l , g (x) = f (x) - x.则方程g (x) = 0 有个实数根.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或?M算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17 .某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评.“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第 1 组［15 , 25),第2 组［25, 35)，第3 组［35 , 45),第4 组［45, 55),第5组［55, 65),得到的频率分布直方图如图所示.(1)求出a的值；(2)若已从年龄较小的第1, 2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.18 .已知函数f (x) =2sin(x 一丁)cx+t 的最大值为1.(1)求t 的值；(2)设锐角△ ABC 勺内角A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若a=21，△ ABC 勺面积 为如,且f (A)求b+c 的值.19 .如图，菱形ABC 安正三角形 BCE 勺边长均为2,它们所在平面互相垂直，FD ，平面ABCDEF//平面 ABCD(1)求证：平面ACFL 平面BDF(2)若/ CBA= 60° ,求多面体 ADFBCE1体积.20 .已知函数f (x) =ae x , g (x) = Inx - Ina ,其中a 为常数，e 是自然对数的底数，曲 线y = f (x)在其与y 轴的交点处的切线记作 1I ,曲线y=g (x)在其与x 轴的交点处的切线记作l2,且l 1 // l 2.(1)求l 1, l 2之间的距离；2221 .已知椭圆C ：= 1 (a>b>0)的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于旄兀，直线l 与椭圆C 交于A (XI , y) , B(x 2, y2)两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点O 作直线l 的垂线，垂足为 D.若OAL OB 求动点D 的轨迹方程.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多 做，则按所做的第一题计分.［选彳4-4 :坐标系与参数方程］(本小题满分10分)原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线(2)若存在x 使不等式成立，求实数 m 的取值范围.22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为‘X-1(t 为参数).以坐标C 的极坐标方程为p =-(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)设点P(l, -V3),直线l与曲线C相交于A, B两点，求七二的值. I PA | |F D I ［选彳4-5 :不等式选讲］(本小题满分0分)23.已知函数f (x) = |x-a|+|2 x-1| - 1 (aC R)的一个零点为 1.(1)求不等式f (x) W 1的解集；_ 1 9 ，一(2)右士+ --------- =a (m>0, n>1),求证：m+2n>11.m n-1、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1,已知集合 A= {x |x>1}, B= {x |x 2-x - 2<0},则 An B=()A. {x | - 1<x<2}B. {x |x>- 1}C. {x | - 1<x<1}D. {x |1 <x<2}【分析】求出 B 中不等式的解集，找出 A 与B 的交集即可.解：x 2- x - 2< 0,即为(x — 2) ( x+1) < 0,解的一1vxv2,即 A= {x| - 1< x< 2}, 又 A= {x | x> 1}, 则 An B= {x|1 <x<2}, 故选：D.2 .已知复数z 满足（1+i ） z =|V3+i| , i 为虚数单位，则z 等于（ ）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案. 解：(1+i ) z = | Vs +i I = V 3+1 = 2, ._ 22(1-i) . .z =TT = (1+iHi-i) = i ?故选：A.3 .已知向量I ：卜1，8石，加，若G+E ）J_（Z-E ），则实数 A 二=B --C.乙乙u。

2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2−2x ≤0}，集合B ={x|x =2a,a ∈A}，则A ∩B 为( )A. {0}B. {2}C. {0,2}D. {1,4}2. 复数(1+i)i 的虚部为( )A. 1B. −1C. iD. −i3. 在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 1 B. 7 C. 25 D. −74. 某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km 价格为1.8元(不足1 km 按1 km 计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为( )．A.B.C.D.5. 《九章算术》中有一题目：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：我羊食半马．马主曰：我马食半牛．今欲衰偿之，问各出几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：我羊所吃的禾苗只有马的一半．马主人说：我马所吃的禾苗只有牛的一半，若按比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？在这个问题中，若禾苗主人要求赔偿九斗粟，一斗粟相当于现在的13.5斤，则牛主人赔偿的粟比羊主人与马主人赔偿的粟之和还要多A. 277斤B.1087斤C.13514斤 D.24314斤6. 已知条件p ：|x +1|>2，条件q ：5x −6>x 2，则￢p 是￢q 的( )A. 充要条件B. 充分但不必要条件C. 必要但不充分条件D. 既非充分也非必要条件7. 阅读程序框图，则该程序运行后输出的k 的值是( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 已知实数x,y 满足线性约束条件{x −4y −1≤02x +y −2≤02x −3y +6≥0，则y−1x−2的最小值为( )A. −13B. −12C. 1D. 29. 已知抛物线y 2=2px(p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A. x =1B. x =−1C. x =2D. x =−210. 已知变量x 与y 的取值如表所示，且2.5<n <m <6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是( ) x 2 3 4 5y6.5mn2.5A. y ∧=0.8x +2.3B. y ∧=2x +0.4C. y ∧=−1.5x +8D. y ∧=−1.6x +1011. 已知A(−3,0)，B(0,4)，点C 在圆(x −m)2+y 2=1上运动，若△ABC 的面积的最小值为52，则实数m 的值为( )A. 12或112B. −112或12C. −12或112D. −112或−1212. f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)=2016x +log 2016x ，则函数f(x)的零点的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知a >0，a ≠1，则f(x)=log a2x+1x−1的图象恒过点_____14.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B、C恰好是双曲线M：x29−y216=1的左右焦点，且顶点A在双曲线M的右支上，则sinC−sinBsinA=______ ．15.已知球O与棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的各棱都相切，则该球的表面积为______．16.在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n−3，则a5=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如下(单位：cm)(1)根据频率分布直方图，求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值;(2)在身高为140—160的学生中任选2个，求至少有一人的身高在150—160之间的概率．18.在三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且sinB(√3cosB+sinB)=32．(1)求角B的大小；(2)若b=√3，求△ABC面积的最大值．19.如图所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F．(1)求证：SC⊥AF；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F1F2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|F1F2|=4，|PF1|=√55．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点P(3,0)的直线l和椭圆C交于A，B两个不同的点，设AB的中点为Q(x0,y0)，Q(x0,y0)，求x0+y0的取值范围．21. 已知函数f(x)=xlnx ．(1)求f(x)在[13,3]上的最大值与最小值； (2)求证：f(x)−(x +1)2≤ −3x −1．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l 的参数方程是{x =−35t +2y =45t(t 为参数).设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．23. 已知a,b,c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x −1|−|x −2|≤a +b +c 恒成立．(1)求证：a 2+b 2+c 2≥13；(2)求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合A ={x ∈Z|x 2−2x ≤0}={0,1，2}， 集合B ={x|x =2a,a ∈A}={0,2，4}， ∴A ∩B ={0,2}． 故选：C ．利用交集性质求解．本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：∵(1+i)i =−1+i ， ∴复数(1+i)i 的虚部为1． 故选：A ．3.答案：D解析：本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力．利用向量的加减法运算，以及向量的数量积化简求解即可． 解：在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9−16=−7． 故选：D ．4.答案：B解析：本题考查分段函数图象，由实际问题抽象出函数图象、理解实际问题的变化与函数图象变化的对应是解题的关键，本题采取了将实际问题的函数模型求出，再寻求函数图象的方法，理解本题中计费的方式是解题的难点．根据题意可知函数图象为分段的常数函数，观察图象即可直接判定． 解：∵出租车起步价为5元(起步价内行驶的里程是3km)， ∴(0,3]对应的值都是5，∵以后每1km 价为1.8元，不足1km 按1km 计价，∴3<x ≤4时，y =5+1.8=6.8，4<x ≤5时，y =5+1.8+1.8=8.6， 故选：B5.答案：D解析：本题主要考查数列的概念与表示和等比数列，属于基础题． 根据题意得a 1+2a 1+4a 1=9，即可得．解：羊、马、牛的主人赔偿粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3， 则这3个数依次成等比数列，公比q =2， 于是得a 1+2a 1+4a 1=9， 解得a 1=97，a 2=187，a 3=367，故牛主人比羊主人与马主人赔偿的粟之和还多97斗， 即97×13.5=97×272=24314斤，故选D ．6.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复合命题之间的关系是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．解：p：|x+1|>2，得x>1或x<−3，￢p：−3≤x≤1，q：5x−6>x2，即q：x2−5x+6<0，即2<x<3，即￢q：x≥3或x≤2，即￢p是￢q的充分不必要条件，故选：B．7.答案：B解析：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环k S循环前 0 0第一圈是 1 1第二圈是 2 3第三圈是 3 11第四圈是 4 2059第五圈否故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环结构，累加运算变量S的值，并输出S≥100成立时，程序的执行次数．本题考查的知识点是循环结构，在求程序的运行结果时，我们可采用模拟运行的方法，逐步分析程序执行过程中各变量的取值，即可得到答案．8.答案：B解析：本题考查线性规划问题，属于中档题．表示P与可行域内的点Q 根据条件画出可行域，得到如图所示的阴影部分．设P(2,1)，可得k=y−1x−2连线的斜率，得到PQ斜率的最小值即可．解：作出实数x ，y 满足线性约束条件{x −4y −1≤02x +y −2≤02x −3y +6≥0表示的平面区域：得到如图所示的阴影区域，其中A(0,2)，B(1,0)，设Q(x,y)为区域内的动点，可得 k =y−1x−2表示P 、Q 连线的斜率，其中P(2,1)，运动点Q ，可得当Q 与A 点重合时，k PQ =−12是最小值， 故选：B ．9.答案：B解析：本题主要考查抛物线与直线的位置关系，属于一般题． 可以求出直线，联立求出p ，也可以利用点差法求解． 解：方法一：过焦点F(p2,0)且斜率为1的直线方程为y =x −p 2， 与抛物线方程联立可得y 2−2py −p 2=0，Δ=8p 2>0， 所以y 1+y 2=2p =4，所以p =2， 故准线方程为x =−1．方法二：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵A 、B 两点在抛物线上，∴{y 12=2px 1①y 22=2px 2② ， ①−②得，(y 1−y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1−x 2)，又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1+y 2=4， 又直线的斜率为1，∴y 1−y 2x 1−x 2=1，∴2p =4，p =2， ∴抛物线的准线方程为x =−p2=−1． 故选B ．10.答案：D解析：解：由题意，x −=3.5，y −=14×(6.5+m +n +2.5)∈(3.5,5.5)， 由2.5<n <m <6.5，可得为负相关，排除A ，B ，代入选项C ，D ， 可得D 满足． 故选：D ．由题意，x −=3.5，y −=14×(6.5+m +n +2.5)∈(3.5,5.5)，代入选项，可得A 满足． 本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，基本知识的考查．11.答案：D解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，能够将已知问题进行巧妙地转化，是解决本题的关键，属于中档题．由圆(x −m )2+y 2=1的圆心为(m,0)，半径为1，过圆心作AB 所在直线的垂线，交圆于C ，此时△ABC 的面积最小，直线AB 的方程为4x −3y +12=0，|AB |=5，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB 的距离为d =|4m+12|5，利用三角形的面积公式求出S =12×5×(|4m+12|5−1)，即可求出实数m 的值． 解：如图，因为圆(x −m )2+y 2=1的圆心为(m,0)，半径为1， 过圆心作AB 所在直线的垂线，交圆于C ， 此时△ABC 的面积最小，直线AB 的方程为4x −3y +12=0，|AB |=5，所以圆心到直线AB 的距离为d =|4m+12|5，S =12×5×(|4m+12|5−1)=52，解得：m =−12或m =−112，所以实数m 的值为m =−12或m =−112． 故选D ．12.答案：D解析：函数f(x)在x ∈(0,+∞)上为单调递增函数，且当x →0时，2016x →1,log 2016x →−∞，即存在x 0>0使得f(x 0)<0，结合函数的单调性可知函数在上有且仅有一个零点；因为函数为奇函数，所以在上也只有一个零点．13.答案：(−2,0)解析：本题考查了对数函数图像的定点问题，属于中档题． 解：由对数函数性质可知，当2x+1x−1=1即x =−2时，y =0， 即函数图像过定点(−2,0)． 故答案为(−2,0)．14.答案：35解析：解：由双曲线的方程得a 2=9，b 2=16，c 2=9+16=25， 即a =3，c =5， 则BC =2c =10，∵顶点A 在双曲线M 的右支上， ∴AB −AC =2a =6， 由正弦定理得sinC−sinB sinA=AB−AC BC=2a 2c=610=35，故答案为：35根据双曲线的方程求出a ，c 的值，结合正弦定理进行转化求解即可．本题主要考查双曲线的方程和性质，根据定义以及正弦定理进行转化求解是解决本题的关键．15.答案：8π解析：解：球O与棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的各棱都相切，∴球的直径就是正方体的面对角线的长．∴球的半径为√2，该球的表面积为：4πr2=8π．故答案为：8π．求出内切球的半径，即可求解球的表面积．本题考查几何体的内切球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．16.答案：−13解析：解：∵a n+1=2a n−3，∴a n+1−3=2(a n−3)，∵a1=2，∴a1−3=−1≠0，∴数列{a n−3}是以−1为首项，2为公比的等比数列，∴a n−3=−2n−1，∴a n=3−2n−1，∴a5=3−16=−13．故答案为：−13．由已知a n+1=2a n−3，可得a n+1−3=2(a n−3)，转化为利用等比数列的通项公式即可得出．正确转化和熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．17.答案：(1)；；(2)．解析：试题分析：(1)中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，由此可以估计平均数的值；(2)这名学生中，身高在之间的有个，身高在150—160之间的有人，从中任选人，共有种不同的选法，而身高在之间的只有一种选法，从而至少有一人身高在150—160之间的有种，从而求出其概率．试题解析：:(1)中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，所以中位数的估计值为．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 则平均数的估计值为．(2)这名学生中，身高在之间的有个，分别为A ，B ，身高在150—160之间的有人，分别为C ，D ，E ，F ，G ，H ，则从这人中任选个的所有基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，AG ，AH ，BC ，BD ，BE ，BF ，BG ，BH ，CD ，CE ，CF ，CG ，CH ，DE ，DF ，DG ，DH ，EF ，EG ，EH ，FG ，FH ，GH 共个，两个身高都在之间的事件有AB 共个，所以至少有一个人在150—160之间的概率为． 考点：本题主要考查了频率分布直方图中对中位数、平均数的估计，以及古典概型概率计算公式．18.答案：解：(1)由题意得√3sinBcosB +sin 2B =32，化简得√32sin2B −12cos2B =1，∴sin(2B −π6)=1，即可得2B −π6=π2，∴B =π3；(2)∵b =√3，B =π3，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−32ac=12，即可得a 2+c 2=3+ac ≥2ac ，∴ac ≤3， ∴S △ABC =12acsinB ≤12⋅3⋅√32=3√34． ∴△ABC 面积的最大值：3√34．解析：(1)利用两角和与差的三角函数化简sinB(√3cosB +sinB)=32.转化求解可得B 的大小． (2)利用余弦定理结合基本不等式求出ac ≤3，然后求解三角形的面积的最大值即可．本题考查三角形的解法，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．19.答案：证明：(1)∵SA ⊥平面AC ，∴SA ⊥BC ．∵AB ⊥BC ，且SA ∩AB =A ，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE，又∵AE⊥SB，且SB∩BC=B，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC，且EF⊥SC，AE∩EF=E，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC；(2)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面ADS，∴CD⊥AG，由(1)得SC⊥平面AEF，而AG在平面AEF上，∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．解析：本题重点考查了空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质等知识，属于中档题．(1)首先，证明SC⊥平面AEF即可，得到AF⊥SC；(2)首先，证明CD⊥AD，然后，得到CD⊥平面ADS，再结合(1)，证明AG⊥平面SDC，从而得到AG⊥SD．20.答案：解：(1)由2c=4，c=2，由勾股定理丨PF2丨=√丨PF1丨2+丨F1F2丨2=√15+16=9√55，由椭圆定义2a=丨PF1丨+丨PF2丨=√55+9√55=2√5，a=√5，b=√a2−c2=1，故椭圆方程为：x25+y2=1；(2)当直线与x轴重合时，Q(x0,y0)，此时x0+y0=0，若直线与x轴不重合，设l的方程为x=my+3，与椭圆联立得(m2+5)y2+6my+4=0，由△=20m2−80m>0，解得：m>2或m<−2，由韦达定理：y1+y2=−6mm2+5，y0=y1+y22=−3mm2+5，μ=x0+y0=my0+3+y0=(m+1)y0+3=15−3mm2+5=3tt2−10t+30，其中t=5−m，t∈(−∞,3)∪(7,+∞)+当t=0时，μ=0，当t≠0时，μ=3tt2−10t+30=3t+30t−10，设f(t)=t+30t−10，其中t∈(−∞,0)∪(0,3)∪(7,+∞)，函数图象知：f(t)∈(97,+∞)∪(−∞,−10−2√30)，从而μ=3f(t)∈[15−3√3010,0)∪(0,73)，综上μ=x0+y0∈[15−3√3010,7 3 ).解析：(1)由2c=4，c=2，根据勾股定理可知丨PF2丨=9√55，由2a=丨PF1丨+丨PF2丨，求得a=√5，根据椭圆的性质b=√a2−c2，求得椭圆方程；(2)分类直线与x轴重合时，Q(x0,y0)，此时x0+y0=0，当直线与x轴不重合，设直线方程，将直线方程代入椭圆方程，△>0，求得m 的取值范围，根据韦达定理及中点坐标公式，y 0=y 1+y 22=−3mm 2+5，代入求得μ=x 0+y 0=3tt 2−10t+30，根据t 的取值范围，构造辅助函数，根据函数图形求得μ=x 0+y 0的取值范围．本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，构造法求函数的取值范围，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f ′(x)=lnx +1，令f ′(x)>0，解得：x >1e ， 令f ′(x)<0，解得：0<x <1e ， 故f(x)在[13,1e )递减，在(1e ,3]递增，故f(x)min =f(1e )=−1e ，f(x)max =f(3)=3ln3； (2)要证f(x)−(x +1)2≤−3x −1， 即证lnx −x +1≤0，令ℎ(x)=lnx −x +1，(x >0)， ℎ′(x)=1x −1=1−x x ，令ℎ′(x)>0，即1−x >0，解得：0<x <1， 令ℎ′(x)<0，解得：x >1， 故ℎ(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减， 故ℎ(x)max =ℎ(1)=0， 故ℎ(x)≤0，问题得证．解析：本题考查利用导数研究闭区间上函数的最值问题，考查函数恒成立问题，考查不等式的证明，是中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可； (2)问题转化为证lnx −x +1≤0，令ℎ(x)=lnx −x +1(x >0)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，从而证明结论即可．22.答案：解：曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ.又x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：y=−43(x−2)，令y=0，得x=2，即M点的坐标为(2,0).又曲线C的圆心坐标为(0,1)，半径r=1，则|MC|=√5，∴|MN|≤|MC|+r=√5+1．解析：利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：y=−43(x−2)，令y=0，可得M点的坐标为(2,0).利用|MN|≤|MC|+r即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：证明：(Ⅰ)∵|x−1|−|x−2|≤|x−1−x+2|=1，∴a+b+c≥1．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2≥1，∴a2+b2+c2≥13．(Ⅱ)∵a2+b2≥2ab，2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2，即a2+b2≥(a+b)22两边开平方得√a2+b2≥√22|a+b|=√22(a+b)，同理可得√b2+c2≥√22(b+c),√c2+a2≥√22(c+a)，当且仅当a=b=c时，等号成立．三式相加，得√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c)⩾√2．解析：本题主要考查绝对值不等式的应用，利用基本不等式证明不等式，属于中档题．(Ⅰ)由已知，a+b+c≥1，再利用基本不等式即可得证；(Ⅱ)分析可知√a2+b2≥√22(a+b)，√b2+c2≥√22(b+c),√c2+a2≥√22(c+a)，三式相加即可得证．。

云南省曲靖市第一中学2020届高考复习质量监测考试高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合212xxx⎧+⎫A=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1x xB=<，则()RA B=Ið（）A．112x x⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B．{}12x x≤< C．{}12x x-<≤D．{}12x x<<【答案】B考点：不等式的解法与集合运算.2.复数321izi+=-（i为虚数单位）的共轭复数z为（）A．1522i-+B．1522i--C．1522i+D．15 22i -【答案】D 【解析】试题分析：()()()()32132151112i ii izi i i++++===--+，所以z的共轭复数为1522z i=-，故选D.考点：复数的运算.3.阅读如图1的程序框图，若输入6n=，则输出k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6图1【答案】B考点：程序框图中的循环结构.4.某几何体的三视图如图2所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．5306B．5304C．5302D．515图2【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面为直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如下图所示，SC ⊥平面,ABC 90,CAB ∠=o 根据三视图的规则可知5,5,SA AB AC y ===,所以222SC AC SA +=即222225SC SA AC y =-=-，222530SC y x +=-=，所以22302x y xy +=≥，当且仅当15x y ==时，xy 有最大值，所以三棱锥的体积2115305152532V y =⨯⨯⨯⨯-=，故选A.考点：三视图与棱锥的体积.5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 【答案】DABy55考点：空间直线与平面的平行、垂直关系的判断.6.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若11a b =，99a b =，则（ ）A ．55a b =B ．55a b >C ．55a b <D ．以上都有可能 【答案】B 【解析】试题分析：由等差、等比中项可知195519,2a a ab b b +==，又11a b =，99a b =，所以1919192a a a ab b +≥=，即55a b >，故选B. 考点：等差中项和等比中项.7.五个人坐成一排，甲和乙坐在一起，乙不和丙坐一起，则不同的坐法种数为（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48 【答案】C考点：排列与组合.8.下列结论正确的个数是（ ） ①cos 0α≠是22k παπ≠+（k ∈Z ）的充分必要条件；②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变； ③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛硬币出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛硬币出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()()()111224P AB =P A P B =⨯=；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,σN （0σ>），若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：①中给出命题的逆否命题是“22k παπ=+（k ∈Z ）是cos 0α=的充分必要条件”，显然当cos 0α=时，2k παπ=+（k ∈Z ），所以必要性不成立，所以命题①错误；②方差表达了样本数据的波动大小，当一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变，所以②正确；③先后抛两枚硬币，显然事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，所以事件A 和B 相互独立，由相互独立事件概率公式可知它们同时发生的概率()()()111224P AB =P A P B =⨯=，所以③正确；④因为ξ服从正态分布()21,σN ，其对称轴为1x =，ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5，所以④错误，综上所述正确的命题只有②③两个，故选C.考点：充要条件、方差的数学意义、相互独立事件同时发生的概率及正态曲线的性质.9.()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ）A ．()()0,23,4UB ．()()0,24,5UC ．()()2,34,5UD ．()()2,33,4U 【答案】D考点：函数性质的综合应用及对数函数的性质.10. 已知函数()sin 3f x x x ωω=（0ω>），062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则ω等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：函数()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以2sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此,31,33k k k z ππωπω+==-∈，排除B,C ，当5ω=时()2sin 53f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，排除D ，故选A. 考点：三角恒等变换与正弦函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数的图象与性质，属于中档题.本题首先通过和角公式把()f x 化成正弦型函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解题的突破口在对条件062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的应用，变形即得62f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，实质上是给出了函数图象的一个对称中心，由此求得ω的一系列值，最后通过区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行验证、排除. 11.已知()1F ,0c -，()2F ,0c 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足212F F 2c P ⋅P =u u u r u u u r ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．20,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．3,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．13,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．23,⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及几何性质，属于中档题.椭圆的离心率是椭圆几何性质中考查最频繁的知识点，解题的基本思路是根据题目给出的条件，建立基本量,c a 或,a b 或,b c 的关系，再结合222a b c =+求出离心率的范围.本题中通过设出椭圆上一点P 的坐标，利用椭圆方程和已知条件求出椭圆上一点P 横坐标关于,,a b c 的表达式，再利用已知条件和椭圆的范围求出离心率的范围.12.设函数()()()22ln 22f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()015f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．110 B ．25 C ．15D ．1 【答案】A考点：导数的几何意义及函数的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点的切线的斜率问题，考查了数学转化与化归及数形结合的思想方法，用到了点到直线的距离公式，属于中档题.本题解答的关键是对函数()f x 进行转化，看成动点(),ln 2M x x 与点(),2N a a 距离的平方，利用导数求出曲线()ln 2g x x =上平行于直线2y x =的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线的距离的平方等于15，然后利用斜率公式求出实数a 的值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量()2,2a =r ，()1,1b =-r ，且()a b b λ+⊥r r r ，则2a b λ-r r的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意可知22,2,0a b a b ===r rr r g，因为()a b b λ+⊥r r r，所以()a b b λ+r r rg220a b b λλ=+==r r r g ，0λ∴=， 2242a b a λ-==r r r .考点：向量的数量积运算.14.若22sin 4m x dx ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则二项式6x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中含x 项的系数是 ． 【答案】60考点：定积分与二项式定理.15. 设命题:p 2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩（x ，y ，R k ∈，且0k >）；命题:q ()2215x y -+≤（x ，R y ∈）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 ． 【答案】02k <≤ 【解析】试题分析：作出不等式组2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如下图，因为p 是q 的充分不必要条件，所以命题p 不等式组表示的平面区域内的点都在命题q 表示的圆及其内部，因为()0,2C 恰好在()2215x y -+=上，所以只需要,A B 两点在圆()2215x y -+=上或者其内部即可，因此有()()()222212251253k k k k ⎧-+-≤⎪⎨⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解不等式组可得02k <≤.考点：简单的线性规划、充分条件与必要条件.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划及充分条件与必要条件，考查了数学结合、转化与化归的数学思想和方法，属于中档题.本题首先把“p 是q 的充分不必要条件”转化为两个命题中,p q 所表示的平面区域之间的真子集关系，然后通过作图，可以发现只需要三角形区域的三个顶点在圆或其内部即可，从而列出不等式组求得参数的取值范围. 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n n S a S ++=（2n ≥），123a =-，则n S 为 ． 【答案】12n n +-+立，由此可得12n n S n +=+. 考点：数列的递推公式.【方法点睛】本题主要考查了数列的递推公式在求数列前n 项和公式中的应用，属于中档题.本题解答的关键是把“和项混合式” 12n n nS a S ++=，利用()12n n n S S a n --=≥消去n a 得到n S 与1n S -之间的递推关系112n n S S -=+，由1123S a ==-逐步求出23,S S 的值，进行归纳，最后利用数学归纳法进行证明，当然作为填空题可以不用证明.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边长，且()222cos a bc b c -A =+． （I ）求角A 的大小；（II ）若sin sinC 1B+=，2b =，试求C ∆AB 的面积． 【答案】（I ）23πA =；（II 3试题解析：（I ）Q ()222cos a bc b c -A =+，又2222cos a b c bc =+-A ，∴22222cos 2cos 2b c bc bc b bc c +-A -A =++．∴4cos 2bc bc -A =．∴1cos 2A =-．Q 0π<A <，∴23πA =．…………………（5分） （II ）Q sin sinC 1B+=，∴sin sin 13π⎛⎫B +-B = ⎪⎝⎭．sin sincos cossin sincos cossin 3333ππππB +B -B =B +B sin 13π⎛⎫=B += ⎪⎝⎭．…………………（8分） 又B 为三角形内角，∴32ππB +=，6πB =，∴C 6π=，∴2b c ==，∴C ∆AB 的面积C 1sin 32S bc ∆AB =A =12分）考点：利用正、余弦定理解三角形. 18.（本小题满分12分）新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为0.06，只选修甲和乙的概率是0.09，至少选修一门课程的概率是0.82，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． （I ）求学生小张选修甲的概率；（II ）记“函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （III ）求ξ的分布列和数学期望．【答案】（I ）0.25；（II ）0.24；（III ）分布列见解析， 1.52ξE =．试题解析：（I ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得()()()()()()110.0610.0911110.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以学生小张选修甲的概率为0.25．…………………（4分） （II ）若函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数，则0ξ=， 若0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，∴()()()()()()()()01110.250.60.410.2510.610.40.24xyz x y z ξP A =P ==+---=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………（8分）（III ）依题意知0ξ=，2， 则ξ的分布列为ξ0 2P 0.24 0.76∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52ξE =⨯+⨯=．…………………（12分）考点：相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列. 19.（本小题满分12分）在等腰梯形CD AB 中，D//C A B ，1D C 2A =B ，C 60∠BA =o ，N 是C B 的中点，将梯形CD AB 绕AB旋转90o ，得到C D ''AB （如图3）．（I ）求证：C C 'A ⊥B ；（II ）求二面角C C 'A-N -的余弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）55-.试题解析：（I ）证明：Q 1D C 2A =B ，N 是C B 的中点，∴D C A =N ．又D//C A B ，∴四边形CD AN 是平行四边形，∴DC AN =．又CD AB 为等腰梯形，C 60∠BA =o ，∴D AB =BN =A ，∴四边形CD AN 是菱形，∴1C DC 302∠A B =∠B =o ，∴C 90∠BA =o ，即C A ⊥AB ．Q 平面C 'AB ⊥平面C AB ，平面C 'AB I 平面C AB =AB ，∴C A ⊥平面C 'AB ．又C 'B ⊂平面C 'AB ，∴C C 'A ⊥B ．…………………（6分） （II ）解：Q C A ⊥平面C 'AB ，同理C 'A ⊥平面C AB ． 如图1建立空间直角坐标系xyz A -，设1AB =，则()1,0,0B ，()C 3,0，(C 3'，13,,022⎛⎫N ⎪ ⎪⎝⎭，则(C 3'B =-u u u r ，(CC 0,3,3'=-u u u r ．设平面C C 'N 的法向量为()111,,n x y z =r ，C 0CC 0n n ⎧'B ⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r⇒)3,1,1n =r ．设平面C 'AN 的法向量为()222,,m x y z =r ，0C 0n n ⎧AN ⋅=⎪⎨'A ⋅=⎪⎩u u u r ru u u u r r()3,1,0m ⇒=-r ， 设二面角C C 'A-N -的平面角为θ，∴5cos n m n m θ⋅==r r r r ，∴二面角C C 'A-N -的余弦值为512分） 考点：空间中垂直关系的证明及空间向量的应用. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点2322⎛M - ⎝⎭，2，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O u u u r u u u r，求实数λ的取值范围．【答案】（I ）2212x y +=；（II ）2；（III ）22λ-<<且0λ≠．试题解析：（I ）由题意得：22c a =，222a b c -=，∴b c =．又椭圆经过点23,22⎛⎫M - ⎪ ⎪⎝⎭，则2213124a b +=，解得1c =，所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…………………（3分） （II ）当2m =-时，即直线:l 2y kx =-，依题意知若l x ⊥轴时，不存在∆OAB ，所以不合题意．设点A ，B 的坐标分别为()11,x y A ，()22,x y B ，由22222y kx x y =-⎧⎨+=⎩得()2212860k xkx +-+=，216240k ∆=->，得232k >，122812k x x k +=+，122612x x k =+， 所以()22222222861624141121212k k k k k k k -⎛⎫AB =+-⨯=+ ⎪++⎝⎭+．又点O 到直线l 的距离为21h k=+，∴∆OAB的面积()2222222111624231222212112k k S h k k kk ∆OAB--=⋅AB ⋅=⋅+⋅⋅=+++． 令223t k =-（0t >），得2223k t =+，则21222222244t S t t t∆OAB ==≤=++， 当且仅当4t t =，即2t =时等号成立，此时272k =且满足0∆>， 所以S ∆OAB 的最大值为22．…………………（6分） 考点：椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出Q 的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数λ的范围. 21.（本小题满分12分）设函数()322f x x x a =-+，()()2ln 1g x x m x =++．（I ）若()f x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，求实数a 的值；（II ）若()g x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （III ）在（I ）的条件下，当1m =时，令()()()F x f x g x =+，试证明311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成 立．【答案】（I ）0a =；（II ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（III ）证明见解析.试题解析：（I ）解：因为()322f x x x a =-+，所以()234f x x x '=-．令()0f x '=，得0x =或43x =．又()f x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递增，在(]0,1上递减，所以()()max 00f x f a ===．…………………（2分）（II ）解：因为()222211m x x mg x x x x ++'=+=++，又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．若()0g x '≥在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递增函数，则221122222m x x x ⎛⎫≥--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，由此可得12m ≥．…………………（4分）若()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递减函数，则221122222m x x x ⎛⎫≤--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上没有最小值，所以不存在实数m 使()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．…………………（6分）综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…………………（7分）（III ）证明：在（I ）的条件下，当1m =时，()()()()32F ln 1x f x g x x x x =+=-++，则()()232311F 3211x x x x x x x +-'=-+=++，显然当()0,x ∈+∞时，()F 0x '>，所以()F x 在()0,+∞上单调递增，所以()()F F 00x >=，即()23ln 1x x x +>-在()0,+∞上恒成立． 令()10,x n=∈+∞（n *∈N ），．…………………（10分） 则有23111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，即311ln n n n n +->（n *∈N ）恒成立．…………………（12分）考点：利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立等.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立及不等式的证明，考查了函数与方程的思想及转化的数学思想，属于难题.当明确函数在某个区间上单调时，通常转化为导数的符号非正或非负恒成立，进一步转化为求函数的最值问题，如果能分离参数，通过分离参数求最值得到参数的范围，如果不能分离参数可直接求最值来解决；证明不等式也是函数、导数中的常见题型，通常根据前面的解答和要证明不等式的形式构造合理的函数，通过研究其单调性、最值，利用赋值法或放缩等技巧得到要证明的不等式. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图7，EP 交圆于E ，C 两点，D P 切圆于D ，G 为C E 上一点且G D P =P ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （I ）求证：AB 为圆的直径； （II ）若C D A =B ，求证：D AB =E ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析.试题解析：（I ）Q D G P =P ，∴DG GD ∠P =∠P ．Q D P 为切线，∴D D ∠P A =∠BA ． Q GD G ∠P =∠E A ，∴D G ∠BA =∠E A ．∴D D G D ∠BA+∠BA =∠E A+∠BA ，由三角形内角和，得D F ∠B A =∠P A ．∴F A ⊥EP ，∴F 90∠P A =o ，D 90∠B A =o ，∴AB 为圆的直径．…………………（5分）（II ）如图2，连接C B ，DC ．Q AB 是直径，∴D C 90∠B A =∠A B =o ．在Rt D ∆B A 与Rt C ∆A B 中，AB =BA ，C D A =B ，从而Rt D Rt C ∆B A ≅∆A B ，于是D C ∠AB =∠BA ．Q DC D ∠B =∠AB ，∴DC C ∠B =∠BA ，∴DC//AB ．Q AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，DC ∠E 为直角，∴D E 为直径．由（I ）知AB 为圆的直径，∴D E =AB ．…………………（10分）考点：圆的切线、割线的性质及三角形全等的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-． （I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（II ）设曲线1C 与2C 的公共点为A ，B ，求PA ⋅PB 的值．【答案】（I ）1C 的普通方程为3440x y --=，2C 的直角坐标方程为24y x =；（II ）259. 试题解析：（I ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=．又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．…………………（4分）（II ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点()0,1P -．由（I ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以曲线1C 的参数方程为45315x y ⎧=T ⎪⎪⎨⎪=-+T ⎪⎩（T 为参数）， 将上式代入24y x =，得29110250T -T +=， 所以12259PA ⋅PB =T T =．…………………（10分） 考点：直线的参数方程与普通方程的互化、抛物线极坐标方程与直角坐标方程的互化及其应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-，()3g x x a =-++，R a ∈．（I ）解关于x 的不等式()6g x >；（II ）若函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）()()3,96a a a -->；（II ）4a <.试题解析：（I ）关于x 的不等式即36x a -++>，即36x a +<-， 当6a ≤时无解；当6a >时，由()636a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为()3,9a a --（6a >）．…………………（4分）考点：绝对值不等式的解法及分段函数的应用.。

曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知集合{})2lg(x y x A -==，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=4241x xB ，则B A ⋂=（ ） A ．{}2-≥x x B ．{}22<<-x xC ．{}22<≤-x xD ．{}2<x x 2. 若复数)(122R a iia ∈++是纯虚数，则i a 22+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗）（）（b a b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 抛物线方程为x y 42=，一直线与抛物线交于B A 、两点，其弦AB 的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）A ．012=--y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．012=---y x5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777 B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,7776. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥-100x y x y x ，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3[,4]2B ．(1]，2 C ．(,0][2)-∞⋃+∞，D ．(,1)[2)-∞⋃+∞， 9. 已知点(30),(03)A B -，，，若点P 在曲线21x y --=上运动，则PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．22329+ C ．3 D ．22329- 10．已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ-=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（ ） A ．173B ．32C ．53D ．10211. 已知)172(log 22+-=x x y 的值域为),[+∞m ,当正数b a ,满足m ba b a =+++2132时,则b a 47+的最小值为（ ）A ．49B ．5C ．4225+ D ．912. 已知函数)()(R x ex x f x∈=,若关于x 的方程01)(=+-m x f 恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．），（122e e B ．），（e e220 C ．），（111+e D ．)1221(+e e ，第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13. 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为______.14. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为_____.15. 在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的1O ，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为______. 16. 在数列}{n a 中，11=a ，n n a n a -=+21，则数列}{n a 的通项公式=n a ______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本小题满分12分）已知函数)(,212cos sin 23)(2R x x x x f ∈-+= (1) 当],0[π∈x 时，求函数的值域；(2) ABC △的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 ,1)(,3==C f c 求AB 边上的高h 的最大值.18.（本小题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,BC AC CB CA ⊥==,2(1) 证明：ABC PAB 面面⊥； (2) 求二面角B PA C --的余弦值．19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下： 研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒）1122.53.53.54.56（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211ni ii n ni i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑，178542.25≈．20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，离心率N M e ,,22=是直线ca x l 2:=上的两个动点，且满足021=⋅N F M F .(1) 若5221==N F M F ，求b a ,的值；(2) 证明：当MN 取最小值时，N F M F 21+与21F F 共线．21.（本小题满分12分）设函数）），（（其中∞+∈-++=0,1)1()(2-x kx e e x f x，且函数)(x f 在2=x 处的切线与直线0)2(2=-+y x e 平行.(1) 求k 的值；(2) 若函数x x x g ln )(-=，求证：)()(x g x f >恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 已知函数b x a x x f -++=)(，（其中0,0>>b a ） (1) 求函数)(x f 的最小值M .(2) 若M c >2，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CBAADBCDCDAD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.40 14. -3 15. 29π 16. ⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0Θ ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C Θ ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)18.（本小题满分12分）解：(1)取AB 中点O ，连结PO ，OC . ∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ， ∵PB=AP ＝ 3 ∴PO ＝2，CO ＝1 ∴∠POC 为直角 ∴PO ⊥0C∴PO ⊥平面ABC ，∴面PAB ⊥面ABC （6分）(2)如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1,0,0)，P (0,0，2)，C (0,1,0)，可取m ＝OC →＝(0,1,0)为平面PAB 的一个法向量．设平面PAC 的一个法向量为n ＝(l ，m ，n )．则PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，其中PA →＝(1,0，－2)，AC →＝(－1,1,0)，∴⎩⎨⎧l －2n ＝0，－l ＋m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝22l ，m ＝l .不妨取l ＝2，则n ＝(2，2，1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝0×2＋1×2＋0×102＋12＋02·22＋22＋12＝105. ∵C －PA －B 为锐二面角， ∴二面角C －PA －B 的余弦值为105.（12分）19.（本小题满分12分）【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==r ， 112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==u r ，由公式0.983402121785r ==≈⨯，0.980.75r ≈>Q ，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235X B ⎛⎫⎪⎝⎭:, ，()26355E X ∴=⨯=.20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ， 此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M →与F 1F 2→共线.（12分）21.（本小题满分12分）解：(1)k e e x f x++='-)1()(22)1()2(222+=++='-e k e e f ，解得1=k .(4分)(2) )()(x g x f >得x x x e e xln 1)1(2-->-++，变形得x x x e e x ln 1)1(2--->+令函数x x x x h ln 1)(--=x x h ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减 ∴221)()(--+=≤e e h x h而函数xe e x F )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e F x F∴x x x x h e F x F ln 1)()1()0()(2--=≥+=>-即x x x e e xln 1)1(2-->+- 即x x x e e x ln 1)1(2->+-+-∴)()(x g x f >恒成立（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+，将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为51253x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22525121⎛⎫⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得22540t t ++=，设12,t t 是方程22540t t ++=的两根，则1225t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t 的几何意义得121225MA MB t t t t +=+=+=23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(b a M +=∴(2)证明：为要证22.c c ab a c c ab -<<+- 只需证22c ab a c c ab -<-<- 即证2a c c ab -<-也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+， ∵0,2,0a c a b b >>+>， ∴2a bc ab +>≥，故2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴ 所求不等式22c c ab a c c ab -<<+-成立．。

2020年云南省曲靖市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x2≥9}，则A∩(∁R B)=()A. [3,4]B. (−3,4]C. [1,3)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)2.复数z=i，复平面内z的对应点的坐标为()A. (0,1)B. (1,0)C. (0,0)D. (1,1)3.已知向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(m,−1),c⃗=(3,−2),若(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，则m的值是()A. 72B. −53C. −3D. 34.若a=log21.5,b=log20.1 , c=20.2，则()A. c<b<aB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c5.等差数列{a n}中，若a5=6，a3=2，则公差为()A. 2B. 1C. −2D. −16.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN)，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C：大约增加了20％，则λ的值约为()(参考数据：1g2≈0.3，103.96≈9120)A. 7596B. 9119C. 11584D. 144697.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点且斜率为1的直线与C相交于A，B两点，若|AB|=4，则抛物线C的方程为()A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=8x8.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是()A. 7B. 8C. 9D. 109.函数f(x)=xlg|x−1||x|的函数图象是()A. B.C. D.10.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为()A. 4π3B. 4πC. 2π3D. 2π11.已知双曲线C1:x24−y2k=1与双曲线C2:x2k−y29=1有相同的离心率，则双曲线C1的渐近线方程为()A. y=±√32x B. y=±√62x C. y=±√34x D. y=±√64x12.已知函数f(x)=e x(sin x−a)有极值，则实数a的取值范围为()A. (−1,1)B. [−1,1]C. [−√2,√2]D. (−√2,√2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知数列{a n }为等比数列．若a 1=2，且a 1，a 2，a 3−2成等差数列，则{a n }的前n 项和为____．14. (√x +1x )10的展开式中x 2的系数是______．15. 已知函数f(x)={2+x , −2≤x ≤0 ,12f(x −2) , 0<x ≤4.若函数y =f(x)−log 2(a −x)恰有两个零点，则实数a 的取值范围为______．16. 如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =2，AC =BD =√3，AD =BC =√5，E,F 分别是AD,BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. “移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”，某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识．学习结束后，每人都进行限时答卷，得分都在[50,100]内．在这些答卷(有大量答卷)中，随机抽出200份，统计得分绘出频率分布直方图如图．(1)求出图中a 的值，并求样本中，答卷成绩在[80,90)上的人数；(2)以样本的频率为概率，从参加这次答卷的人群中，随机抽取4名，记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ，求X 的分布列和期望．18.已知函数f(x)=cosx(√3sinx−cosx)．(1)求函数f(x)的最小正周期．(2)记△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f(B)=1，a+c=1，求b的取值范2围．19.如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60∘，且FA=FC．(1)求证：平面ACF⊥平面ABCD;(2)求二面角A−FC−B的余弦值．20.已知函数f(x)=xlnx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求证：f(x)≥x −1．21. 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为√32，长轴端点与短轴端点间的距离为√5． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点D(0,4)的直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，O 为坐标原点，当∠EOF 为直角时，求直线l 的斜率．22. 在平面直角坐标系xOy 中，C 1:{x =1−t 21+t 2y =(1+t)21+t 2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2:ρ=2√3cosθ，射线l ：θ=π6(ρ>0).(1)求C 1的极坐标方程；(2)若C 1与y 轴的交点为P(异于原点)，射线l 与C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求△PAB 的面积．23.设函数f(x)=|2x−a|．(1)当a=3时，解不等式，f(x)<|x−2|．(2)若f(x)≤1的解集为[0,1]，1m +12n=a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥4．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B={x|x≤−3，或x≥3}；∴∁R B={x|−3<x<3}；∴A∩(∁R B)=[1,3)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，是基础题．根据复数的代数表示及其几何意义直接写出即可．解：复数z=i，复平面内z的对应点的坐标为(0,1)，故选A．3.答案：C解析：解：由题意知，a⃗=(−1,2),b⃗ =(m,−1)，∴a⃗−b⃗ =(−1−m,3)，∵(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，c⃗=(3,−2)，∴−3(1+m)−6=0，解得m=−3，故选C．根据向量的减法运算，求出a⃗−b⃗ 的坐标，再由向量垂直的等价条件求出m的值．本题考查了向量的坐标运算和向量垂直的坐标等价条件，根据题意代入公式求解即可．4.答案：D解析：解：log20.1<log21.5<log22=1，20.2>20=1；∴b<a<c．故选：D．容易得出log20.1<log21.5<1,20.2>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数的定义．5.答案：A解析：解：∵a5=6，a3=2，则公差=a5−a32=6−22=2．故选：A．利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：由题意得：Wlog2(1+λ)−Wlog2(1+1999)Wlog2(1+1999)≈20%，则log2(1+λ)log22000≈1.2，1+λ≈20001.2，∵lg20001.2=1.2lg2000=1.2(lg2+3)≈1.2(0.3+3)=3.96，故20001.2≈103.96≈9120，∴λ≈9119，故选：B．由题意可得λ的方程，再由对数的运算性质求解即可．本题主要考查了函数模型的实际应用，以及对数的运算性质，是基础题．7.答案：B解析：本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x A+x B.再利用弦长公式|AB|= x A+x B+p，得到p，即可求此抛物线的方程．解：抛物线y 2=2px 的焦点F(p 2,0)，∴直线AB 的方程为y =x −p 2，代入y 2=2px 可得4x 2−12px +p 2=0∴x A +x B =3p ，由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=x A +x B +p =4p =4∴p =1，∴此抛物线的方程为y 2=2x ．故选：B ． 8.答案：D解析：解析：本题考查了本题考查了循环结构及茎叶图的认识．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个，故选D ．9.答案：A解析：解：函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠1}，当x =3时，f(3)=3lg23=lg2>0，故排除D ；当x =−3时，f(−3)=−3lg43=−lg4<0，故排除C ； 当x =12时，f(12)=12lg 1212=lg 12<0，故排除B ； 故选：A ．取特殊值验证即可．本题考查函数图象的确定，考查数形结合思想，属于基础题．10.答案：B解析：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面等腰直角三角形的底边长为2，底面三角形的高为：1，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：1．其外接球的球心是底面斜边的中点，故外接球的半径R=1，∴外接球的表面积S=4πR2=4π，故选：B．通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出外接球的表面积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，球的表面积公式，根据已知，求出球的直径(半径)是解答的关键．11.答案：B解析：解：双曲线C1：x24−y2k=1与双曲线C2：x2k−y29=1有相同的离心率，可得√4+k2=√k+9√k，解得k=6，双曲线C1：x24−y26=1的渐近线方程为：y=±√62x．故选：B．求出双曲线的离心率，得到k的方程求出k，然后求解双曲线C1的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.答案：D解析：本题考查了函数单调性的运用求解参数问题，利用了导函数研究原函数的极值，属于中档题．利用导函数研究其单调性即可得答案．解：若函数f(x)=e x(sin x−a)有极值，则有根，因为e x>0，所以有根，因为，所以a∈[−√2,√2]，当a=√2时，f(x)单调递减，没有极值，当a=−√2时，f(x)单调递增，没有极值，所以实数a的取值范围为(−√2,√2)．13.答案：2n+1−2解析：本题考查等比数列求和，涉及等差中项的应用，属于基础题．由题意和等差数列的性质易得数列{a n}的公比q，然后由等比数列的求和公式可得答案．解：因为数列{a n}为等比数列，且a1=2，a1，a2，a3−2成等差数列，所以2a2=a1+a3−2=2+a3−2=a3，所以公比q=a3a2=2，所以{a n}的前n项和为2×(1−2n)1−2=2n+1−2．故答案为2n+1−2．14.答案：45解析：解：∵(√x+1x )10的展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅x10−3r2，令10−3r2=2，求得r=2，故展开式中x2的系数是C102=45，故答案为：45．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.答案：(1,3]解析：本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数解析式的求解，属于中档题．求出f(x)的解析式，做出f(x)的函数图象，令y=log2(a−x)与f(x)的图象有两个交点，列出不等式组解出a的范围．解：当0<x ≤2时，−2<x −2≤0，∴f(x)=12f(x −2)=12(2+x −2)=12x ，当2<x ≤4时，0<x −2≤2，∴f(x)=12f(x −2)=14(x −2)，作出y =f(x)的函数图象如图所示：∵函数y =f(x)−log 2(a −x)恰有两个零点，∴y =f(x)与y =log 2(a −x)的函数图象在[−2,4]上有两个交点．又y =log 2(a −x)是减函数，且与x 轴的交点横坐标为a −1，∴{0<log 2a ≤20<a −1≤2或{0<log 2a ≤2log 2(a −2)>12<a −1<4或{log 2a >20<log 2(a −2)≤12<a −1≤4， 解得1<a ≤3．故答案为：(1,3]．16.答案：√62解析：本题考查了四面体的特征以及平面得基本性质与应用. 将四面体补成长、宽、高分别为√3,√2,1的长方体，在长方体中可解决问题．：解：补成长、宽、高分别为√3,√2,1的长方体，，∴截面为平行四边形MNKL ，可得KL +KN =√5， 设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则，可得，，当且仅当NK =KL 时取等号，故答案为√62． 17.答案：解：(1)依题意，(2a +3a +7a +6a +2a )×10=1⇒a =0.005，故成绩在[80,90)上的频率为60a =0.3，答卷成绩的人数为200×0.3=60人，(2)由样本的频率分布直方图成绩在80分以上的频率为80a =25，由题得X ∼B (4,25)， 故P (X =0)=C 40(25)(35)4=81625,P (X =1)=C 41(25)(35)3=216625，P (X =2)=C 42(25)2(35)2=216625, P (X =3)=C 43(25)3(35)=96625,P (X =4)=C 44(25)0(35)4=16625，所以X 的分布列为X 的数学期望为E (X )=4×25=85．解析：本题考查频率分布直方图及离散型随机变量的期望和分布列问题，属于一般题．(1)利用频率分布直方图求a 和人数问题； (2)离散型随机变量求分布列和期望．18.答案：解：(1)∵函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)=√3sinxcosx −cos 2x =√32sin2x −12cos2x −12=sin(2x −π6)−12， ∵ω=2，∴T =π；(2)∵f(B)=12， ∴sin(2B −π6)=1，∵B 为三角形内角，∴2B −π6=π2，即B =π3，由b 2=a 2+c 2−2accosB,a +c =1,cosB =12，得b 2=3(a −12)2+14，又a +c =1，则0<a <1，∴14≤b 2<1，即b ∈[12,1)．解析：(1)根据倍角公式和和差角(辅助角)公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，进而根据ω=2，得到函数f(x)的最小正周期．(2)由f(B)=12，可得B =π3，结合a +c =1及余弦定理，结合二次函数的图象和性质，得到b 的取值范围．本题考查的知识点是正弦型函数的图象与性质，余弦定理，其中利用倍角公式和和差角(辅助角)公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，是解答的关键． 19.答案：(1)证明：AC 与BD 交于点O ，连接FO 、FD ，∵FA =FC ，O 是AC 中点，且O 是BD 中点，∴FO ⊥AC ，∵四边形BDEF 为菱形，∠DBF =60°， ∴FD =FB ，∴FO ⊥BD ，又AC ∩BD =O ，AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FO ⊥平面ABCD ，∵FO ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面ABCD ．(2)解：易知OA ，OB ，OF 两两垂直，以O 为原点，OA 、OB 、OF 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =2，∵四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°， 则BD =2，∴OB =1，OA =OF =√3，故O(0,0，0)，B(0,1，0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)，∴CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面BFC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +√3z =0n ⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−1)， 显然，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)为平面ACF 的一个法向量， ∴cos <OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√155， 由图知，二面角A −FC −B 的平面角为锐角，∴二面角A −FC −B 的余弦值为√155．解析：(1)AC 与BD 交于点O ，连接FO 、FD ，证明FO ⊥AC ，FO ⊥BD ，推出FO ⊥平面ABCD ，然后证明平面ACF ⊥平面ABCD ．(2)以O 为原点，OA 、OB 、OF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BFC 的一个法向量，平面ACF 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −FC −B 得余弦值即可．本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：(Ⅰ)解：设切线的斜率为k ，f′(x)=lnx +1，k =f′(1)=ln1+1=1因为f(1)=1⋅ln1=0，切点为(1,0)．切线方程为y −0=1⋅(x −1)，化简得：y =x −1．(Ⅱ)证明：要证：f(x)≥x −1只需证明：g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立，g′(x)=lnx +1−1=lnx当x ∈(0,1)时f′(x)<0，f(x)在(0,1)上单调递减；当x ∈(1,+∞)时f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增；当x =1时g(x)min =g(1)=1⋅ln1−1+1=0g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立 所以f(x)≥x −1．解析：(Ⅰ)设切线的斜率为k ，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程．(Ⅱ)要证：f(x)≥x −1，需证明：g(x)=xlnx −x +1≥0在(0,+∞)恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可本题考查切线方程的求法，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.答案：解：(1)由已知c a =√32，a 2+b 2=5，又a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(4分)(2)根据题意，过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在，设l ：y =kx +4，联立，{x 24+y 2=1 y =kx +4，消去y 得(1+4k 2)x 2+32kx +60=0， △=(32k)2−240(1+4k 2)=64k 2−240，令△>0，解得k 2>154.(6分) 设E ，F 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−32k 1+4k 2 , x 1x 2=601+4k 2，(8分)因为∠EOF 为直角，所以OE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1x 2+y 1y 2=0，所以(1+k 2)x 1x 2+4k(x 1+x 2)+16=0，(10分)所以15×(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k =±√19.(12分)解析：(1)利用椭圆的离心率，以及长轴端点与短轴端点间的距离为√5，求出a ，b ，得到椭圆方程．(2)设l ：y =kx +4，联立，{x 24+y 2=1 y =kx +4，消去y 得(1+4k 2)x 2+32kx +60=0，令△>0，设E ，F 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 22.答案：解：(1)由题意，曲线C 1：{x =1−t 21+t 2y =(1+t)21+t 2(t 为参数)， 由x =1−t 21+t 2，可得x =21+t 2−1∈(−1,1]， 又由y =(1+t)21+t 2，可得y −1=2t 1+t 2，所以y ∈[0,2]， 所以x 2+(y −1)2=(1−t 2)2(1+t 2)2+4t 2(1+t 2)2=1，即x 2+(y −1)2=1，又由x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得ρ2cos 2θ+(ρsinθ−1)2=1⇒ρ=2sinθ(除外)， (2)射线l ：θ=π6(ρ>0)，C 1与y 轴的交点为，当θ=π6时，，，又点P到射线l的距离为√3，所以S△PAB=S△OPB−S△OPA=12×√3(ρA−ρB)=√3，即△PAB的面积为√3．解析：本题考查参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，考查分析问题和解答问题的能力，属于中档题．(1)消去参数求得曲线C1的直角坐标方程为x2+(y−1)2=1，x∈(−1,1]，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；(2)当θ=π6时，ρA=1，ρB=3，再由S△PAB=S△OPB−S△OPA，即可求解．23.答案：解：(1)当a=3时，不等式变形为|2x−3|<|x−2|，两边平方整理得3x2−8x+5<0，解得1<x<53，所以不等式的解集为{x|1<x<53}(2)证明：由f(x)≤1，得a−12≤x≤a+12，由f(x)≤1的解集为[0,1]，可得a−12=0，a+12=1，解得a=1，则1m +12n=1，所以m+2n=(1m +12n)(m+2n)=2+2nm +m2n≥2+2√2nm⋅m2n=4，当且仅当m=2n=2，取得等号．解析：本题考查绝对值不等式的解法，注意运用两边平方的方法；同时考查不等式的证明，注意运用乘1法和基本不等式，属于中档题．(1)对不等式两边平方、整理，再由二次不等式的解法即可得到；(2)求出f(x)≤1的解集，由题意解得a=1，即1m +12n=1，再运用乘1法和基本不等式即可得证．。

曲靖一中高考复习质量监测卷六理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCBADCCDAABB【解析】1． (13)A =-，，[1)B =-+∞，，故选D ．2．71i 2525z =-，71i 2525z =+，22712||2525z ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ． 3．如图1，取AB 的中点C ，12AO AC CO AB CO =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴AO AB =u u u r u u u r g21922AB =u u ur ，故选B ． 4．145222v =⨯+=；2225 3.5113.5v =⨯+=；3113.55 2.6564.9v =⨯-=；4564.95 1.7v =⨯+2826.2=，故选A.5．tan 2α=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5ααααααα--===-++，故选D. 6．12113312(5)()a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，，11a =∴，3d =或14a =，0d =，91825a d =+=∴或94a =，故选C. 7．几何体（如图2）为三棱锥S ABC -，2ABC S =△，22SAB SBC S S ==△△23SAC S =△24223+，故选C.8．由题设知πππ3122πππ6122ωω⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥，≤，504ω<∴≤，故选D.9．()()4f x f x -+=∵，()f x ∴的图象关于点(02)，对称，224M m +=⨯=∴，故选A. 10．图3中阴影部分的面积为π34π432π23333⎛-+= ⎝⎭，故概率图1图2图34π34P==-，故选A.11．由()0f x=，得ln x ax=，ln xax=，设ln)xxxϕ(=，当(0)x∈+∞，，21ln()xxxϕ-'=，当0ex<<时，()0xϕ'>；当ex>时，()0xϕ'<，∴()xϕ在(0e)，上为增函数，在(e)+∞，上为减函数且()0xϕ>，∴1(e)eϕ=，∴1ea<<，故选B.12．设双曲线的渐近线与x轴的夹角为θ，则它与y轴的夹角为π2θ-，∴11coseθ=，211πsincos2eθθ==⎛⎫-⎪⎝⎭，∴1211πsin cos4e eθθθ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴11e+21(1e∈，故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．令0x=，得1a=，令1x=，得1001210(2)1024a a a a++++=-=L，∴12310a a a a++++L 10(2)1023=-=.14．由113n n n na a a a++=-，知1113n na a+-=，又111a=-，∴134nna=-，∴134nan=-.15．设切线方程为202yy y k xp⎛⎫-=-⎪⎝⎭，由2222yy y k xpy px⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，，得2200220ky py py ky-+-=，22200044(2)4()p k py ky p ky∆=--=-，由0∆=，求得pky=，∴切线方程为22ypy y xy p⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即00y y px px=+.16．∵OB OC OP===4PB PC==，∴222OB OP PB+=，222OC OP PC+=，∴OP OB⊥，OP OC⊥，∴OP⊥平面ABC，设(0PM t t=<<，则CN t=，111sin)323M OCNV CO CN OCN OM t t-=∠=g g g g，当t=23M OCNV-=最大.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）∵2cos m n a A =r rg ，∴cos cos 2cos b C c B a A +=， ………………………………………………（2分）sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，sin()2sin cos B C A A +=，sin 2sin cos A A A =， ……………………………………………………………（4分）又sin 0A >，∴1cos 2A =，∴60A =︒. ……………………………………………………………（6分） （2）设||||AB AC AD AB AC λ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ， 即||||AD AB AC AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ……………………………………………………（8分） ∵D 在BC 边上，∴1||||AB AC λλ+=u u ur u u u r ， 即1c b λλ+=，209bc b c λ==+. ………………………………………………（10分） ∵209||||AB AC AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2222020(121cos601)399AD ⎛⎫⎛⎫=+︒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r g g g ，||AD ∴ ……………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）3386331414C C ()1C C P A =-- ………………………………………………………（2分）197219191=-=. ………………………………………………………（5分） （2）Z 的取值为0，1，2，3，38314C 14(0)C 91P Z ===，2186314C C 42(1)C 91P Z ===g ，1286314C C 30(2)C 91P Z ===g ， 36314C 5(3)C 91P Z ===， ……………………………………………………………（8分）∴Z 的分布列为Z 0 1 2 3P1491 4291 3091 591……………………………………………………………（10分）1442305117()01239191919191E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，取AC 的中点O ，连接OD ，OB ， ∵DA DC =，∴AC OD ⊥， 又ABC △为正三角形，∴AC OB ⊥， 而OB OD O =I ，∴AC ⊥平面OBD ，又BD ⊂平面OBD ，∴AC BD ⊥. ……………………………………………………………………（5分） （2）解：在OBD △中，∵2AB BD ==，∴1OD =，3OB =， ∴222OD OB BD +=，∴DO OB ⊥，而DO AC ⊥，∴DO ⊥平面ABC . ………………………………………………（7分） 如图建立坐标系，(000)O ，，，(100)A ，，，(100)C -，，，(030)B ，，，(001)D ，，， (101)AD =-u u u r，，，设平面ABE 的一个法向量为()n x y z =r，，，由00n AB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，，得(313)n =-r ，，， ………………………………………………（9分） 记直线AD 与平面ABE 所成角为θ，图4则||sin ||||AD n AD n θ==u u u r r g u u u r r . ……………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）12||||2MF MF a +=，2221212||||2||||cos604MF MF MF MF c +-︒=，∴222123||||444MF MF a c b =-=，2124||||3MF MF b =，∴214sin 6023b ︒=g 26b =. …………………………………………………………（2分）又2214c a =，222a b c =+，∴28a =， ∴椭圆的方程为22186x y +=. ……………………………………………………（6分） （2）假设存在(0)P t ，，使得PN 平分APB ∠， 当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为12y kx =+， 由2212186y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22(34)4230k x kx ++-=， 设11()A x y ，，22()B x y ，， 则122434k x x k -+=+，1222334x x k -=+， ∵PN 平分APB ∠，0PA PB k k +=， ……………………………………………（8分） ∴12120y t y t x x --+=， 2112()()0x y t x y t -+-=，211211022x kx t x kx t ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121212()02kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，22231(4)2034234k k t k k -⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭gg， 2123t -=，12t =，∴存在点(012)P ，，使PN 平分APB ∠， 当l 垂直于x 轴时，l 过点P ，∴存在点(012)P ，，使得PN 平分APB ∠. ………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分） （1）解：2()e x f x ax =-，2()2e x f x a '=-. ……………………………………………………………（1分）i ．当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()-∞+∞，上为增函数，没有极大值，也没有极小值；…………………………………………………………………………（3分）ii ．当0a >时，由()0f x '=，得1ln 22a x =，当1ln 22ax <时， ()0f x '<，当1ln 22ax >时，()0f x '>，-∴()f x 的极小值为1ln ln 22222a a a af ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值. ………………………………（5分）（2）证明：0a >，2()e ln ln x F x a x a a =-+，(0)x ∈+∞，，2()2e x aF x x'=-为增函数， ∵当0x →时，()F x '→-∞，x →+∞时，()F x '→+∞， ∴存在00x >，使0()0F x '=，即0202e x ax =，00ln ln ln 22x a x =--， ………………………………………………………………………………（8分） 当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>， ∴()F x 的最小值为0200()e ln ln x F x a x a a =-+ 00(ln ln 22)ln 2aa a x a a x =---+ 002ln 22aa x a x =++g (2ln 2)a +≥，当且仅当012x =时取“=”.()(2ln2)F x a+∴≥. ………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）将极坐标方程π4cos04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤化成直角坐标方程为222(2)2x y-+=(20)x y≥，≥，表示以点1(20)O，（直角坐标）为圆心、半径等于2的四分之一圆弧（直角圆弧），记作1M，将极坐标方程π3π4sin44ρθθ⎛⎫=<⎪⎝⎭≤化成直角坐标方程为222(2)2(2)x y y+-=≥，表示以点2(02)O，（直角坐标）为圆心、半径等于2的半圆弧（在直线2y=上方，左端点在直线2y=上），记作2M，将极坐标方程3π4cosπ4ρθθ⎛⎫=-<⎪⎝⎭≤化成直角坐标方程为222(2)2(20)x y x y++=<-，≥，表示以点3(20)O-，（直角坐标）为圆心、半径等于2的四分之一圆弧（直角圆弧），记作3M．如图5，在网格坐标中分别作出三段圆弧123M M M，，，三段圆弧拼接而成的曲线就是所要求作的曲线M（形如一朵云彩）.…………………………………………………………………………（5分）学生不写说明（解答过程），只要图形正确即可评给5分.（2）直线l与曲线M相切并恰好有两个切点，由于切线l的倾斜角是锐角，则l与圆弧23M M，恰好各切于一点．圆弧23M M，的圆心是23(02)(20)O O-，，，，由于两个圆弧半径相等，231O Ok=，则两段圆弧的公切线l的斜率1lk=，设切线l的方程为0x y b-+=，图5圆心3(20)O -，到切线l的距离为d =2b =±考虑圆弧的位置，只能取2b =+所以，所求切线的方程是20x y -++，化为极坐标方程就是ρ=…………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）14213()4222342x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪>⎪⎩，，，≤≤，，，由()1f x =，得34x =， ∴()1f x ≤的解集为34x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤. ……………………………………………………（5分）（2）()f x 的最小值为4-， 若0x ∃使20()3f x a a <-， 则234a a ->-， 2340a a -+>，∴a ∈R . ………………………………………………………………………（10分）。

曲靖一中高考复习质量监测卷七文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C A CD C D B B D C B A【解析】1．由题，知阴影部分表示的为()N M N ð，{|1}M x x =>，{|02}N x x =<<，所以()N M N ð{|01}x x =<≤，那么题图中阴影部分表示的集合为{|01}x x <≤，故选C ．2．经计算44i 55z =+，故z =44i 55-，故选A ．3．由题意得，0.81013a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，3(0.8)1b -=>，33log 0.7log 10c =<=，所以c a b <<，故选C ．4．由题：输入：4x =，第一次进入循环：10x =；第二次：55x =；第三次：1540100x =>，输出结果1540，故选D ．5．2111421117482a a q a q a q a a q ⎧++=⎪⎨⎪=-⎩，，解得1112a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，，所以23114a a q ==，故选C ．6．因为αβ∥，a α⊥，所以αβ⊥，过b 作一个平面γ，使l γβ= ，因为b β∥，b l ∴∥，a l a b ⊥⊥∴，，故选D ．7．如图1，因为1F ，2F 分别为椭圆22194x y C +=：的左、右焦点，所以1(50)F -，，2(50)F ，，所以453A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即24||3F A =，因为BO 是12F F A △的中位线，所以2||3BO =，所以在直角2O BF △中，22222227||||||(5)33BF BO OF ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，故选B ．8．依题意，四边形ABCD 为平行四边形，因此AB DC AD BC == ，，因此BF BC CF =+=12AD AB - ，12DE DC CE AB AD =+=- ，因此BF DE = 1122AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图122511422AB AD AB AD =--= 2251121422AB AD -⨯-⨯ 54=-，故选B ．9．如图2，不等式224x y +≤表示的平面区域为圆心为(00)，，半径为2的圆内部，面积为4π，满足2||y x -≤的平面区域的面积为2π4+，故2π4π24π2πP ++==，故选D ．10．由题意知11(2)e e ()x x f x f x --+-=+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又111()e e x x f x --=+，由复合函数的单调性可知()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增，所以A ，B 错误，故选C ．11．*11112(2)n n n n n n a a a a a a n n -+-++=∈N ∵≥，，11112n n n a a a +-+=∴，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∴是等差数列，121nn a =-∴，121n a n =-∴，2020a =∴14039，故选B ．12．作出函数()f x ，()g x 的图象，如图3，由图可知，函数2()1(1)f x x =--的图象与1()(1234)3g x x x =-<<≤，≤的图象仅有1个交点，要使关于x 的方程()()f x g x =有3个不同的实数根，则2()1(1(01])f x x x =--∈，，与()(2)(01]g x k x x =+∈，，的图象有1个不同的交点，由(10)，到直线20kx y k -+=的距离为1，可得2|3|11k k =+，解得2(0)4k k =>，∵两点(20)(11)-，，，连线的斜率13k =，综上可知，k 的取值范围为12034⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案101052y x =-+221-205π3【解析】13．由题34tan π23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3tan 4α=，所以4cos 5α=．又24cos 12sin 52αα==-，得21sin 210α=，由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得π024α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则sin 02α>，所以10sin 210α=．图2图314．因为5()5e x f x -'=-，所以切线的斜率5k =-，(0)2f =，所以切线方程是25(0)y x -=--，即52y x =-+．15．由题，如图4，设1AF x =，则22AF x a =+，可得2283x x a c a x a c +++=⇒=-．又A 到直线b y x a=的距离为b ，则直线AF １与直线b y x a =平行，故12tan b AF F a ∠=，故1222cos aa AF F c ab ∠==+．由余弦定理可得222(5)(3)(2)2(3)(2)a c a c c a c c -=-+-- 12cos AF F ∠ ，整理得22270c ac a +-=，同除以2a 可得2270e e +-=，故24281222e -±+==-±．因为1e >，故221e =-．16．取BD 的中点E ，设1O 为ABD △的中心，因为边长为23，所以131AE O E ==，，同理，设2O 为BCD △的中心，所以231CE O E ==，．又因为32AC =，所以90AEC ∠=︒，所以22125R =+=，三棱锥外接球球的体积为205π3．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）假设存在点M 使得2ABM CBM ∠=∠，又因为3π4ABC ∠=，则π2ABM ∠=，π4CBM ∠=，因为sin()2sin A B A +=，即sin 2sin C A =，即2c a =，则1πsin 24BMC S BC BM =△，1πsin 22BMA S AB BM = △．故12BMC BMA S CM S AM ==△△．……………………………………………………………………（6分）（2）在ABC △中，由余弦定理可得2222cos b a c ac ABC =+-∠，即22225(2)2(2)2a a a a =++ ，解得5a =．103AM =∴，在Rt ABM △中，100101093BM =-=．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）图4解：（1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足5小时的有8人，女生中学习时间不足5小时的有4人．∴可估计全校中每天学习不足5小时的人数为12100060020⨯=人．………………………………………………………………………………………（6分）（2）学习时间不少于5小时的学生共8人，其中男学生人数为4人，设为A ，B ，C ，D ，女学生人数为4人，设为1，2，3，4，从已知的8人中随机抽取2人的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，1)，(A ，2)，(A ，3)，(A ，4)，(B ，C )，(B ，D )，(B ，1)，(B ，2)，(B ，3)，(B ，4)，(C ，D )，(C ，1)，(C ，2)，(C ，3)，(C ，4)，(D ，1)，(D ，2)，(D ，3)，(D ，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3），(2，4)，(3，4)，共28种，其中满足条件的有16种，故164287P ==．…………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图5，取棱PC 的中点N ，连接BN ，依题意，得BN ⊥PC ，又因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，所以BN ⊥平面PAC ．又PA ⊂平面PAC ，故BN PA ⊥．又已知PA BC ⊥，BC BN B = ，所以PA ⊥平面PBC ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以PAB PBC ⊥平面平面．……………………………………………………………（6分）（2）解：连接AN ，由（1）中，BN ⊥平面PAC ，可知BAN ∠为直线AB 与平面PAC 所成的角，因为PBC △为等边三角形，2BC =且N 为PC 的中点，所以3BN =．又BN AN ⊥，在Rt ANB △中，32sin 26BN BAN AB ∠===，45BAN ∠=︒∴，所以，直线AB 与平面PAC 所成角是45︒．…………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：1()1f x x'=-，图5令()0f x '>，得01x <<，则()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==-．…………………………………………………………………（4分）（2）证明：1()13cos f x x x'=-+，当(0π)x ∈，时，21()3sin 0f x x x ''=--<，所以()f x '在(0π)，上单调递减，又因为π33103π2f ⎛⎫'=-+> ⎪⎝⎭，π2102πf ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()f x '在ππ32⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有唯一的零点α；当(0)x α∈，时，()0f x '>，()f x 在(0)α，上单调递增；当(π)x α∈，时，()0f x '<，()f x 在(π)α，上单调递减，所以()f x 在(0π)，上存在唯一的极大值点ππ32αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以ππππ()ln 3302222f f α⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭，又因3333111133sin 330e e e e f ⎛⎫=--+<--+< ⎪⎝⎭，所以()f x 在(0)α，上恰有一个零点．又因为(π)ln ππ2π0f =-<-<，所以()f x 在(π)α，上也恰有一个零点，综上，()f x 有且仅有两个零点．………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）设33()A x y ，，44()B x y ，，2246101x y y y y x ⎧=⇒-+=⎨=+⎩，，12||28AB y y =++=∴．…………………………………………………………………（4分）（2）设11()C x y ，，22()D x y ，，11()G x y -，，m 的方程为1(0)y kx k =->．将1y kx =-代入24C x y =：，并整理得2440x kx -+=，由10k ∆>⇒>，从而121244x x k x x +== ，，11221212(1)(1)(1)(1)FC FD x y x y x x y y =--=+-- ，，=2212121212(2)(2)(1)2()4840x x kx kx k x x k x x k +--=+-++=-= ，解得2k =，所以m 的方程为21y x =-．设CD 的中点为00()x y ，，则1202222k x x x +===，03y =，CD 的中垂线方程为23(22)2y x -=--．令0x =，得5y =，圆心坐标为(05)，，到CD 的距离为23．||12321643CD =+-=，所以圆的半径为26r =，CDG △的外接圆M 的方程22(5)24x y +-=．………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即2240x y x +-=，直线l 化为直角坐标方程为y x =，联立2240y x x y x =⎧⎨+-=⎩，，解得交点为(00)，或(22)，，化为极坐标为(00)，，π224⎛⎫ ⎪⎝⎭，．……………………………………………………（5分）（2）π4cos224A ρ==，π4cos 236B ρ==，所以1ππ62sin 26332464ABO A B S ρρ-⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭△．………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（1）由柯西不等式：2222()(222)18a b c a b c ⎛⎫++++++= ⎪⎝⎭≥，1=3a b c ===当且仅当时，“”成立.…………………………………………………（5分）（2）2222()()b c a a b c a b c a bc ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥，2221b c a a b c++∴≥，1=3a b c ===当且仅当时，“”成立.…………………………………………………（10分）。

云南省曲靖市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=L （ ）A ．0B ．1C ．673D ．674【答案】B【解析】【分析】由题知()f x 为奇函数，且()()120f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为3，分别求出()00f ，=()11f =，()21f =-，知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为()f x 为奇函数，故()00f =；因为()()120f x f x ++-=，故()()()122f x f x f x +=--=-，可知函数()f x 的周期为3；在()()120f x f x ++-=中，令1x =，故()()211f f =-=-，故函数()f x 在一个周期内的函数值和为0，故(1)(2)(3)(2020)(1)1f f f f f ++++==L .故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．2．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．18-B ．-C ．18D ．【答案】C【解析】【分析】 在直角三角形ABC 中，求得12AC cos CAB AB ∠== ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，，12AC cos CAB AB ∠==， 若32AD AB =u u u v u u u v ，则2CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（） 223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=． 故选C.【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．3．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a << 【答案】A【解析】【分析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可.【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）A ．219B ．995C ．4895D ．519【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易. 5．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）【答案】B【解析】【分析】根据题意分析()f x 的图像关于直线1x =对称，即可得到()f x 的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x 的取值范围。

2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A{x|y＝lg（2﹣x）}，集合B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，则•的值为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．34．定义运算：，则函数f（x）＝1⊗2x的图象是（）A．B．C．D．5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4B．5C．6D．78．已知x，y满足，则的取值范围为（）A．[，4]B．（1，2]C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）9．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为（1，1），则直线的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．﹣2x﹣y﹣1＝0 10．已知变量x与变量y的取值如表所示，且2.5＜m＜n＜6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是（）x2345y 2.5m n 6.5A．＝0.8x+2.3B．＝2x+0.4C．＝﹣1.5x+8D．＝﹣1.6x+10 11．已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在曲线y＝﹣上运动，则△PAB面积的最小值为（）A．6B．3C．D．12．f（x）是R上的偶函数，f（x+2）＝f（x），0≤x≤1时f（x）＝x2，则函数y＝f（x）﹣|log5x|的零点个数为（）A．4B．5C．8D．10二、填空题（共4小题）13．函数y＝log a（x﹣5）2+1（a＞0，且a≠1）恒过点．14．在平面直线坐标系xOy中，△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则＝．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，若AB⊥BC，AB＝3，BC ＝4，则球O1的表面积为．16．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2n﹣a n，则数列{a n}的通项公式a n＝．三、解答题17．从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；（2）在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180，184]内的概率．18．已知函数．（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的高h的最大值．19．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，设F是CD的中点，P 是棱BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．20．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．21．设函数f（x）＝1﹣x﹣xlnx，g（x）＝（1+e﹣2）e x．（1）求函数f（x）最大值；（2）求证：f（x）＜g（x）恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中a＞0，b＞0）．（1）求函数f（x）的最小值M．（2）若2c＞M，求证：．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1．已知集合A{x|y＝lg（2﹣x）}，集合B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}【分析】利用交集定义和对数函数性质求解．解：∵集合A{x|y＝lg（2﹣x）}＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，集合B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜2}．故选：C．2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．解：复数＝＝（a+1）+（﹣a+1）i，该复数是纯虚数，∴a+1＝0，解得a＝﹣1；所以复数2a+2i＝﹣2+2i，它在复平面内对应的点是（﹣2，2），它在第二象限．故选：B．3．在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，则•的值为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【分析】根据ABCD是平行四边形可得＝+；＝+，然后代入数量积结合AB＝2，AD＝1即可求出结论．解：∵AB＝2，AD＝1，∴•＝（+）•（+）＝（+）•（﹣+）＝﹣＝12﹣22＝﹣3．故答案为：﹣3．故选：A．4．定义运算：，则函数f（x）＝1⊗2x的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题需要明了新定义运算a⊗b的意义，即取两数中的最小值运算．之后对函数f（x）＝1⊗2x就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解．解：由已知新运算a⊗b的意义就是取得a，b中的最小值，因此函数f（x）＝1⊗2x＝，因此选项A中的图象符合要求．故选：A．5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A．，，B．，，C．，，D．，，【分析】设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{a n}是公比为2的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食．解：设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{a n}是公比为2的等比数列，∴a1+a2+a3＝a1+2a1+4a1＝7a1＝50，解得，∴羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿升，升，升粮食．故选：D．6．若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．解：由p是¬q的充分不必要条件知“若p则¬q”为真，“若¬q则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则¬p”为真，“若¬p则q”为假，故选：B．7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4B．5C．6D．7【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选：B．8．已知x，y满足，则的取值范围为（）A．[，4]B．（1，2]C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【分析】设k＝，则k的几何意义为点（x，y）到点（2，3）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解：设k＝，则k的几何意义为点P（x，y）到点D（2，3）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：；由图可知当过点D的直线平行于X轴时，此时k＝＝0成立；k＝取所有负值都成立；当过点A时，k＝取正值中的最小值，⇒A（1，1），此时k＝＝＝2；故的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）；故选：C．9．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为（1，1），则直线的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．﹣2x﹣y﹣1＝0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得到，所以直线AB 的斜率为2，又过点（1，1），再利用点斜式即可得到直线AB的方程．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝2，又，两式相减得：，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴，∴直线AB的斜率为2，又∴过点（1，1），∴直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，故选：A．10．已知变量x与变量y的取值如表所示，且2.5＜m＜n＜6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是（）x2345y 2.5m n 6.5A．＝0.8x+2.3B．＝2x+0.4C．＝﹣1.5x+8D．＝﹣1.6x+10【分析】先根据两个变量的相关关系是正还是负，对选项进行排除，再把样本中心点代入选项进行检验．解：由表格中的数据可知，两个变量是正相关关系，所以排除C、D选项．，，把分别代入A、B选项，对于A，有，符合题意；对于B，有∉（3.5，5.5），不符合题意；故选：A．11．已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在曲线y＝﹣上运动，则△PAB面积的最小值为（）A．6B．3C．D．【分析】求得直线AB的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于（﹣1，0），结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值．解：曲线y＝﹣表示以O为原点，1为半径的下半圆（包括两个端点），直线AB的方程为x﹣y+3＝0，可得|AB|＝3，P在（﹣1，0）时，P到直线AB的距离最短，即为＝，则△PAB的面积的最小值为×3×＝3．故选：B．12．f（x）是R上的偶函数，f（x+2）＝f（x），0≤x≤1时f（x）＝x2，则函数y＝f（x）﹣|log5x|的零点个数为（）A．4B．5C．8D．10【分析】将求函数的零点问题转化为求两个函数f（x）和g（x）的交点问题，画出图象，容易解决．解：∵0≤x≤1时f（x）＝x2，f（x）是R上的偶函数，∴﹣1≤x≤1时，f（x）＝x2，令g（x）＝||，画出函数f（x）和g（x）的图象，如图示：，由图象得：函数f（x）和g（x）的交点有5个，∴函数y＝f（x）﹣|log5x|的零点个数为5个，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13．函数y＝log a（x﹣5）2+1（a＞0，且a≠1）恒过点（4，1）或（6，1）．【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，即为定点P的坐标．解：令（x﹣5）2＝1得，x＝4或6，此时y＝1，所以函数过定点（4，1）或（6，1），故答案为：（4，1）或（6，1）．14．在平面直线坐标系xOy中，△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则＝．【分析】由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB＝2a＝10，c＝6，＝＝＝；故答案为：．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，若AB⊥BC，AB＝3，BC ＝4，则球O1的表面积为4π．【分析】三棱柱的内切圆的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的内切圆的半径即可求解结论．解：由题意知内切球的半径为R与底面三角形的内切圆的半径相等，而三角形ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，所以AC＝5，设三角形内切圆的半径为r，由面积相等可得：R（3+4+5）＝3×4，所以R＝1，所以内切球的表面积S＝4πR2＝4π，故答案为：4π．16．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2n﹣a n，则数列{a n}的通项公式a n＝．【分析】由题意可得a n+1﹣a n﹣1＝2 （n≥2），又a1＝1，数列{a n}的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n分奇数和偶数两种情况，分别求出a n，从而得到数列{a n}的通项公式．解：∵a n+1＝2n﹣a n，∴a n+1+a n＝2n①，a n+a n﹣1＝2（n﹣1）（n≥2）②，①﹣②得：a n+1﹣a n﹣1＝2 （n≥2），又∵a1＝1，∴数列{a n}的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，∴当n为奇数时，a n＝n，当n为偶数时，则n﹣1为奇数，∴a n＝2（n﹣1）﹣a n﹣1＝2（n﹣1）﹣（n﹣1）＝n﹣1，∴数列{a n}的通项公式，故答案为：．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；（2）在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180，184]内的概率．【分析】（1）由频率分布直方图得[160，168）频率为0.48，[168，172）的频率为0.32，由此能求出中位数．（2）在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，[176，180）中的学生人数为4人，[180，184）中的学生人数为2人，由此能求出基本事件总数n＝＝15，恰有一人身高在[180，184]内包含的基本事件个数m＝＝8，由此能求出恰有一人身高在[180，184]内的概率．解：（1）由频率分布直方图得[160，168）频率为：（0.05+0.07）×4＝0.48，[168，172）的频率为：0.08×4＝0.32，∴中位数为：168+×4＝168.25．（2）在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，[176，180）中的学生人数为0.02×4×50＝4人，[180，184）中的学生人数为0.01×4×50＝2人，∴在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，基本事件总数n＝＝15，恰有一人身高在[180，184]内包含的基本事件个数m＝＝8，∴恰有一人身高在[180，184]内的概率p＝．18．已知函数．（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的高h的最大值．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．（2）由题意利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求得ab的最大值，可得AB 边上的高h的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝sin x+﹣＝sin x+﹣＝sin（x+），当x∈[0，π]时，x+∈[，]，sin（x+）∈[﹣，1]．（2）△ABC中，＝sin（C+），∴C＝．由余弦定理可得c2＝3＝a2+b2﹣2ab•cos C＝a2+b2﹣ab≥ab，当且仅当a＝b时，取等号，即ab的最大值为3．再根据S△ABC＝••h＝ab•sin，故当ab取得最大值3时，h取得最大值为．19．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，设F是CD的中点，P 是棱BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．【分析】（1）证明AE⊥BD，只需证明AE⊥平面BDM，利用△ABE与△ADE是等边三角形，即可证明；（2）证明平面PEF⊥平面AECD，只需证明PN⊥平面AECD，只需证明BM⊥平面AECD 即可；（3）DE与平面ABC不垂直．假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，从而可证明DE⊥平面ABE，可得DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．【解答】（1）证明：设AE中点为M，连接BM，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE 与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE．∵BM∩DM＝M，BM、DM⊂平面BDM，∴AE⊥平面BDM．∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD．（2）证明：连接CM交EF于点N，∵ME∥FC，ME＝FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．∵P是BC的中点，∴PN∥BM．∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．又∵PN⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD．（3）解：DE与平面ABC不垂直．证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．∵AB∩BM＝B，AB、BM⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE．∵AE⊂平面ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．∴DE与平面ABC不垂直．20．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．（Ⅱ）|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2．当且仅当或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线．解：由a2﹣b2＝c2与，得a2＝2b2，，l的方程为设则由得①（Ⅰ）由，得②③由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2＝4故（Ⅱ）证明：|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2当且仅当或时，|MN|取最小值此时，故与共线．21．设函数f（x）＝1﹣x﹣xlnx，g（x）＝（1+e﹣2）e x．（1）求函数f（x）最大值；（2）求证：f（x）＜g（x）恒成立．【分析】（1）先求导函数，通过导数判断单调区间，进而求最值，（2）有（1）知函数f（x）的最大值，通过单调性求不等式另一边的最小值，进而求证．解：（1）f'（x）＝﹣1﹣lnx﹣2＝﹣2﹣lnx，（x＞0），令f'（x）＝0，解之得x＝e﹣2，当x∈（0，e﹣2），f'（x）＞0，函数单调递增；当x∈（e﹣2，+∞），f'（x）＜0，函数单调递减；∴x＝e﹣2时，f（x）取最大值f（e﹣2）＝1﹣e﹣2﹣e﹣2lne﹣2＝1+e﹣2，（2）有（1）知f（x）≤1+e﹣2，而且函数（1+e﹣2）e x在（0，+∞）上单调递增，∴（1+e﹣2）e x＞（1+e﹣2）e0＝1+e﹣2，∴f（x）＜g（x）恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．【分析】（1）把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程；把ρ＝2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，代入ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，可得圆C的直角坐标方程；（2）化直线方程为参数方程的标准形式，代入圆的方程，化为关于t的一元二次方程，再由此时t的几何意义即根与系数的关系求解|MA|+|MB|的值．解：（1）把直线l的参数方程（t为参数）消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x+1；将ρ＝2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，得x2+（y﹣1）2＝1，∴圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1；（2）经检验点M（1，3）在直线l上，化直线方程为，代入圆C的直角坐标方程x2+（y﹣1）2＝1，得，即．设t1，t2是方程的两根，则．∵t1t2＝4＞0，∴t1与t2同号，由t的几何意义得|MA|+|MB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中a＞0，b＞0）．（1）求函数f（x）的最小值M．（2）若2c＞M，求证：．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M；（2）利用分析法，只需证明，两边平方后结合2c＞a+b，a＞0即可得证．解：（1）f（x）＝|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|＝a+b，当且仅当（x+a）（x ﹣b）≤0时取等号，∴f（x）的最小值M＝a+b；（2）证明：依题意，2c＞a+b＞0，要证，即证，即证a2﹣2ac+c2＜c2﹣ab，即证a2﹣2ac+ab＜0，即证a（a﹣2c+b）＜0，又2c＞a+b，a＞0可知，a（a﹣2c+b）＜0成立，故原不等式成立．。

2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1．（5分）已知集合{|(2)}A x y lg x ==-，集合1{|24}4xB x =剟，则(A B =I )A ．{|2}x x -…B ．{|22}x x -<<C ．{|22}x x -<„D ．{|2}x x <2．（5分）若复数22()1a iR iα+∈+是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）定义运算：,(),()a ab a b b a b ⎧=⎨>⎩⊗„，则函数()12x f x =⊗的图象是( )A ．B ．C ．D ．4．（5分）抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A 、B 两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为( ) A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=5．（5分）在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗10=升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？( ) A ．257，507，1007B ．2514，257，507C．1007，2007，4007D．507，1007，20076．（5分）若p是q⌝的充分不必要条件，则p⌝是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为()A．4B．5C．6D．78．（5分）已知x，y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32yx--的取值范围为()A．3[2，4]B．(1，2]C．(-∞，0][2U，)+∞D．(,1)[2-∞U，)+∞9．（5分）已知点(3,0)A-，(0,3)B，若点P在曲线21y x=--上运动，则PAB∆面积的最小值为()A．6B．93222C．3D．9322210．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于A，B两点，延长BF交右支于C点，若AF FB⊥，||3||CF FB=，则双曲线Γ的离心率是()A17B．32C．53D1011．（5分）已知22log(217)y x x=-+的值域为[m，)+∞，当正数a，b满足2132ma b a b+=++时，则74a b+的最小值为()A ．94B ．5C ．522+ D ．912．（5分）已知函数||()()x f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．2(1,1)e+ B ．2(0,)e C ．1(1,1)e+D ．2(,1)e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13．（5分）252()x x+的展开式中4x 的系数为14．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =．则AC BD u u u r u u u rg 的值为 ．15．（5分）在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球1O ，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q ．若AB BC ⊥，3AB =，4BC =，则球2Q 的表面积为16．（5分）在数列{}n a 中，11a =，12n n a n a +=-，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17．（12分）已知函数231()cos ,()22x f x x x R =+-∈． （1）当[0x ∈，]π时，求函数的值域；（2）ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且3,()1c f C ==，求AB 边上的高h 的最大值．18．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，3PA PB PC ===，2CA CB ==，AC BC ⊥． （1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值．19．（12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下： 研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒）1122.53.53.54.56（Ⅰ）求y 与x 的相关系数r （精确到0.01)，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：||0.75r …时，可用线性回归方程模型拟合）； （Ⅱ）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211()()ni ii n ni i i i x ynxyr x nx y ny ===-=--∑∑∑（2）81347i i i x y ==∑，8211308ii x ==∑，82193i i y ==∑178542.25≈20．（12分）设椭圆22221x y a b+=，({0})a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率2e =，右准线为l ，M ，N 是l 上的两个动点，120F M F N =u u u u r u u u u r g （Ⅰ）若12||||25F M F N ==u u u u r u u u u r，求a ，b 的值；。

绝密★启用前云南省曲靖市第二中学2020届高三毕业班第一次高考模拟考试数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1.设i i z -=1（i 为虚数单位），则=||z ( ) A.21 B.22 C.2 D. 2 2.已知集合{}2,1,0=A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=021|x x x B ，则=B A I ( ) A.{}1,0 B.{}2,1 C .}1{ D.}2{3.已知平面αI β＝l ,m 是α内不同于l 的直线,下列命题错误．．的是( ) A.若m ∥β,则m ∥l B.若m ∥l ,则m ∥βC .若m ⊥l ,则m ⊥β D.若m ⊥β,则m ⊥l4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且),(*1为常数a N n a a a n n ∈+=+,若平面内的三个不共线的非零向量,,满足a a 10061005+=,A ,B ,C 三点共线且该直线不过O 点,则2010S 等于( )A.1005B.1006C.2010D.20125.如图所示的程序框图,令y=)(x f ,若)(x f >1,则a 的取值范围是( )A.(-∞,2)∪(2,5]B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞) D .(-∞,-1)∪(1,5]6.已知m R ∈,“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在 0+∞（，）上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知某班学生的数学成绩x（单位：分）与物理成绩y（单位：分）具有线性相关关系,在一次考试中,从该班随机抽取5名学生的成绩,经计算：320,4755151==∑∑==iiiiyx,设其线性回归方程为：y^＝0.4x＋a^.若该班某学生的数学成绩为105,据此估计其物理成绩为()A.66B.68C.70D.728.等比数列{}n a的前n项和为n S,若,6,232-==SS则5S＝()A.-22B.-14C.10D.189.函数xxxf sin42)(-=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx的图像大致是()10.已知直线0=++ayx与圆222=+yx交于BA、两点.O是坐标原点,OBOA,满足条件||||-=+,则实数a的值为()A.2- B.2 C.2± D.1±11.已知21,FF是双曲线)0,0(12222>>=-babyax的左、右焦点,双曲线的离心率为e.若双曲线的右支上存在点M,满足||||212FFMF=,且1sin21=∠FMFe,则双曲线的离心率e=( )A.25B.25C.35D.3512.定义在R上的可导函数)(xf满足1)1(=f,且1)(2'>xf,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,2ππx时,不等式232sin2)cos2(2>+xxf的解集为( )A.)3,3(ππ- B.)34,3(ππ- C.)3,0(πD.)34,3(ππ。

曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（4，1），（6,1） 14. 6515. 4π 16.⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）6解：(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生身高的中位数为168.25 (4分) (2)由频率分布直方图知，后2组频率为(0.02＋0.01)×4＝0.12，人数为0.12×50＝6，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为6.（8分）身高介于[176，180]的有4人,用1,2,3,4表示, 身高介于[180，184]的有2人,用a,b 表示,从中任取2人的基本事件有（1,2）（1,3）（1,4）（1,a ）（1,b ）（2,3）（2,4）（2,a ）（2,b ）（3,4）（3,a ）（3,b ）（4,a ）（4,b ）（a,b ）. 恰有一人身高在[180，184]内的基本事件有（1,a ）（1,b ）（2,a ）（2,b ）（3,a ）（3,b ）（4,a ）（4,b ）.所以,恰有一人身高在[180，184]内的概率为158（12分） 18.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0Θ ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C Θ ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)19.（本小题满分12分）(1)证明：设AE 中点为M ，∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， ∴△ABE 与△ADE 都是等边三角形． ∴BM ⊥AE ，DM ⊥AE .∵BM ∩DM ＝M ，BM 、DM ⊂平面BDM ，∴AE ⊥平面BDM . ∵BD ⊂平面BDM ，∴AE ⊥BD .(4分)(2)证明：连结CM 交EF 于点N ，∵ME //=FC ， ∴四边形MECF 是平行四边形．∴N 是线段CM 的中点． ∵P 是BC 的中点，∴PN ∥BM .∵BM ⊥平面AECD ，∴PN ⊥平面AECD .又∵PN ⊂平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面AECD .（8分） (3)DE 与平面ABC 不垂直．证明：假设DE ⊥平面ABC ，则DE ⊥AB ， ∵BM ⊥平面AECD .∴BM ⊥DE .∵AB ∩BM ＝B ，AB 、BM ⊂平面ABE ，∴DE ⊥平面ABE . ∴DE ⊥AE ，这与∠AED ＝60°矛盾． ∴DE 与平面ABC 不垂直．（12分）20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ， 此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M→与F 1F 2→共线.（12分）21.（本小题满分12分）解：(1)x x f ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减 ∴221)()(--+=≤e e f x f21)(-+∴e x f 的最大值为（6分）(2)而函数xe e x g )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e g x g ∴)()1()0()(2x f e g x g ≥+=>-∴)()(x g x f <恒成立（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+， 将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22121⎛⎫⎫++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(b a M +=∴（5分）(2)证明：为要证c a c -<<只需证a c <-<即证a c -<也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+， ∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a bc +>≥2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴ 所求不等式c a c <<（10分）。