公因数与最大公因数

《公因数和最大公因数》教学内容：青岛版小学数学五年级下册29——31页信息窗1第1课时教学目标1、结合解决实际问题，理解公因数和最大公因数的意义，学会求两个数的最大公因数的方法。

2、在探索公因数和最大公因数意义的过程中，经历观察、猜测、归纳等数学活动，进一步发展初步的推理能力。

在解决问题的过程中，能进行有条理、有根据地进行思考。

3、在学生探索新知的过程中，体验学习和探索的乐趣，培养学生学好数学的信心以及小组成员之间互相合作的精神。

教学重难点教学重点：理解公因数、最大公因数的意义。

教学难点：选用恰当的方法求两个数的最大公因数。

教具、学具教师准备：多媒体、剪纸教学过程:一、创设情境，提出问题1. 谈话：剪纸是我国的一种民间艺术，剪纸具有装饰性，它可以美化环境，陶冶情操。

我们班的社团活动就要学习剪纸，同学们有兴趣吗？2.出示情境图，剪纸的第一步要先裁纸，观察信息窗你了解到哪些信息？同学们在裁纸时遇到了什么问题？这张纸长24厘米，宽18厘米；要想剪成边长是整厘米的正方形并剪完后没有剩余，正方形的边长可以是几厘米呢？二、自主学习，小组探究（一）动手操作，初步感知1. 师：整厘米是指多少厘米？你怎样理解没有剩余？2.提出要求：利用我们手中的学具，一起来摆一摆，用边长多少厘米的正方形纸片可以将长24厘米，宽18厘米的长方形纸片正好铺满？小组合作进行，可以将拼摆的结果纪录下来。

学生有的在摆，有的可能在想象。

（二）分析概括，提升数学问题1.讨论：正方形的边长可以是几厘米？最长是几厘米？学生：正方形的边长可以是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米，最长是6厘米。

2.正方形的边长为什么不能是4厘米、5厘米、7厘米……？3.想一想，正方形的边长与长方形的长和宽有什么关系？可见只有用边长是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米的正方形才能将长方形摆满。

4.那么1、2、3、6与24和18有什么关系？引导学生说：1、2、3、6既是24的因数，又是18的因数5. 24的因数有哪些？18的因数呢？6.引导学生填写下图并重点思考：两个集合相交的部分填哪些因数？（三）1.我们已经找到了24和18的公因数和最大公因数，现在我们可以试着用你喜欢的方法找一找12和18的公因数和最大公因数。

约分和通分板块一：知识点归纳：1、公因数与最大公因数：几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、求两个数的最大公因数的方法：（1）短除法如：求18和27的最大公因数（用短除法）（2）分解质因数的方法：先将这两个数分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数共有的质因数，共有的质因数相乘就是这两个数的最大公因数。

如：27=3×3×3 36=3×3×4 ，则27和36的最大公因数是（）。

3、互质数的意义和判断方法：公因数只有1的两个数叫做互质数。

注意：并不是两个质数才叫互质数，合数和合数也可能成为互质数，判断两个数是否是互质数，就要看他们是不是公因数只有1。

4、互质数的特殊情况：（1）1和任何非0的自然数都是互质数（2）2和任何奇数都是互质数（3）相邻的另个自然数是互质数（4）相邻的两个奇数都是互质数（5）不相同的两个质数都是互质数5、求两个数的最大公因数都特殊情况当两个数成倍数关系时，较小数就是两个数的最大公因数当公因数只有1的两个数（互质数）的最大公因数是1。

6、约分：把一个分数化成和他相等，但是分子和分母都比较小的分数叫做约分。

7、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

8、公倍数与最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

9、求最小公倍数的方法：（1）分解质因数法：A=2×3×7，B=2×5×3，则A和B的最小公倍数是（ 210 ）。

（2）短除法10、两个数的最小公倍数的特殊情况：（1）如果两个数种较大的数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如求13和52的最小公倍数。

（2）如果两个数都是质数，那么这两个数的积就是这两个数的最小公倍数。

如：求11和12的最小公倍数。

11、分母相同及分子相同的分数大小比较方法：（1）分母相同的两个分数大小比较方法：分母相同，分子越大，分数越大（2）分子相同的两个分数大小比较方法：分子相同，分母越小，分数越大。

公因数和最大公因数的概念
最小公倍数和最大公因数是学习初等数学的重要概念，是日常生活中非常普遍的数学应用。

它们两个概念紧密联系，互相帮助我们解决一些复杂的问题。

最小公倍数指的是一组自然数中所有数的乘积除以它们的最大公因数，也就是说，它是这些自然数中能同时整除所有数的最小正整数倍数。

最小公倍数常用来有效地求解多个自然数互质关系的最小数，可以用来求解方程组等问题。

最大公因数指一组非零正整数中，最大整数能被它们整除，同时也能整除它们之间的积，被称为它们的最大公因数。

最大公因数可以用来求解多个不是互质关系的数的最大数，可以有效解决多项式的分解式等问题。

如果想快速求解最小公倍数和最大公因数，可以使用辗转相除法或者更好的算法，这样可以极大地提高效率。

同时，最小公倍数和最大公因数也有着广泛的应用，在科学计算中、密码学、网络通信以及金融方面都有着广泛的应用。

因此，最小公倍数和最大公因数是学习初等数学的重要概念，既有着重要的数理意义，又有着广泛的应用价值，值得我们加以挖掘与研究。

8的因数有1，2，4，8。 其中1，2，4也是12的因数。 8和12的公因数有1，2，4， 最大的公因数是4。
我们可用下图表示8和12的因数。
8的因数
12的因数
12 4
12 4
8
3 6 12
8的因数 12的因数
8的因数 12的因数
8
12 3 6 4 12
8和12的公因数
是它们的最大公因数
在18的因数上画“ ”,在30的因数上画“ ”.
还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好 铺满这个长方形？有什么规律呢？
1、2、3、6……既是12的因数， 又是18的因数，它们是12和18的公因 数。 其中6是最大的公因数，叫做它 们的最大公因数。
4是12和18的公因 数吗？为什么？
归纳总结
1 两个数或几个数公有的因数叫作
它们的公因数，其中最大的一个
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
18和30的公因数有1、2、3、6
。
最大公因数是 6 。
怎样求18 和27 的最大公因数？ （l）学生先独立思考，用自己想到的方法
试着找出18 和27 的最大公因数。 （2）小组讨论，互相启发，再在全班交流。
列举
方法二：筛选 先找出18 的因数：1，2 ，3 ，6 ，9 ，18 再看18 的因数中有哪些是27 的因数，再看 哪个最大。
2.把15和20的因数.公因数分别填在下面 的圈里,再找出它们的最大公因数.
15的因数 20的因数
3
1 2 10
15
5 4 20
15和20的公因数

公因数和最大公因数的应用
一、截木棍、截纸片（长方形）类
1、把一张长1米20厘米，宽80厘米的彩纸裁成同样大小的正方形，不允许剩余，至少能裁成几块这样的正方形？
2、有一个长方体，长70厘米，宽50厘米，高45厘米，切成同样大小的小正方体，切后不许有剩余（损耗不计），小正方体木块的棱长最大是多少？照此切开，最后能切成多少个小正方体？
二、平均分组、装箱类
1、六年级3个班，分别有24个人，36个人，42个人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，每个班同学不能打乱，每组最多可以分多少人？各班可以分成几组？
2、超市仓库里面装着整箱的洗衣粉2010袋，每箱洗衣粉的袋数相等，拿出几箱后还剩1830袋，每箱洗衣粉最多有多少袋？
三、种树、插旗类
1、一个长方形的广场长200米，宽140米，计划在广场的四周种树，广场四个角各种一棵树，并要求相邻两树之间的距离相等
（1）在各个方案中，相邻两树之间的最大距离是多少？
（2）在各个方案中，至少要在广场的四周种几棵树？
2、为了迎接世博会，在如图所示的街道右侧等距离地插上彩旗，且要求两端和转弯处都必须要插旗，已知AB长1440米，BC长1680米，那么这条街道最少要插几面彩旗？
C B
A
3、短除法求两个数、三个数最大公因数的步骤：
（1）依次除以两个数或三个数的（），直到所得的商（）
（2）将所有的（）连乘，所得的积就是这两个数或三个数的最大公因数。

地面，可以吗？
18÷4=4（块）……2（厘米）
12÷4=3（行）
结论：边长是4厘米的正方形不能正好铺满。
12 厘 米
18厘米
12 厘 米
18厘米
12 厘 米
18厘米
12 厘 米
18厘米
边长是1厘米的正方形
边长是2厘米的正方形
边长是3厘米的正方形 边长是6厘米的正方形
1、2、3、6 与 12和 18
18 和27 的最大公因数=3×3= 9
两个数所有公有质因数的积，就是这两 个数的最大公因数。
求18和27的最大公因数
3 1 8 27
36 9
2
3
用公有的质因数3除 用公有的质因数3除
除到两个商是互质数为止
18和27的最大公因数是 3×3＝9
方法六：短除法
方法六： 如果要求最大公因数的两个数很大以上方法
拓展一下： 在此基础上再想一想求两
个数的最大公因数我们还可 以怎样解？一起来看18和27 的公约数，我们可以怎样求？
怎样求18 和27 的最大公因数？
列举
方法二：筛选 先找出18 的因数：1，2 ，3 ，6 ，9 ，18 再看18 的因数中有哪些是27 的因数，再看 哪个最大。
方法三： 筛选 先写出27 的因数，再看27 的因数中哪些是18 的 因数。从中找出最大的。 27 的因数：1，3，9，27
能铺几行呢？
12÷1=12（行）
结论：每行铺18块，铺12 行，刚好铺满。
方法2：
12 选用边长为2厘
厘
米 米的正方形地砖来 铺地面。
18厘米
18÷2=9（块）
方法2：
12
厘 米
选用边长为2厘

4和8
16和32
1和7
8和9
4和8的最大公因数是： 16和32的最大公因数是： 1和7的最大公因数是：
4 16
1
8和9的最大公因数是：大公因数；1和任何非0自然数的最大公因数是1；两个连续的自然数的 最大公因数是1。
巩固练习
1．请找出下面各组数的最大公因数：
5和7
34 和 17 3
3
16 和 48
15 和 16
6
15
1
17
16
1
★A=2X3X5，B=2X3X2，A和B的
最大公因数是（
）。
★A和B是两个相邻的非零的自然数，
它们的最大公因数是( )
★整数A除以整数B(A、B不为0，)商
是13,那么A和B的最大公因数是（ ）
★所有非零自然数的公因数是（ ）
★和24相邻的两个自然数是（ ）和
A. 1
B. 3
C. 4
D. 9
A
(2) 16 和 48 的最大公因数是______。
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
(3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因
数是______。
D
A. 1 B. 甲数 C. 乙数 D. 甲、乙两数的积
4. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。
7 9 ( )1
； （4）甲是乙1的，倍2，数3，，甲6、乙的最大公因数是——。
6 1
1 18
乙
在相应的( )里写出相邻阶梯上两个数的最大公因数。
72 36 ( 3)6 24 ( 1)2 18 ( 6) 15 ( 3) 10 ( 5)
找出下面每组数的最大公因数。

方法四： 先写出18 的因数：1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 。从大到小 依次看18 的因数是不是27 的因数，9 是27 的因 数，所以9 是18 和27 的最大公因数。
练一练：找出 16 和 24 的最大公因数。
16 的因数︰
24 的因数︰
16 = 1 ×16
24 = 1 ×24
16 = 2 ×8
24 = 2 ×12
16 = 4 ×4
24 = 3 ×8
24 = 4 ×6
16 的因数︰1 , 2 , 4 , 8 , 16
24 的因数︰ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 16 和 24 的公因数︰1, 2, 4, 8
16 和 24 的最大公因数︰8
苏教版五年级数学下册
教学目标
• 1.通过比较、分析、归纳、概括等思维活动， 发现和掌握求互质的两个数和成倍数关系 的两个数的最大公约数的方法，发展同学 们的学习能力和创新意识。
• 2.会用列举的方法找到100以内两个数的公 因数和最大公因数。
找出 12 的因数。
找出 18 的因数。
12 = 1 ×12 = 2 ×6 18 = 1 ×18 = 2 ×9
怎样求18 和27 的最大公因数？ （l）学生先独立思考，用自己想到的方法试着找 出18 和27 的最大公因数。 （2）小组讨论，互相启发，再在全班交流。
方法二： 先找出18 的因数：1，2 ，3 ，6 ，9 ，18 再看18 的因数中有哪些是27 的因数，再看哪个最 大。
方法三： 先写出27 的因数，再看27 的因数中哪些是18 的因数。从中找出最大的。 27 的因数：1，3，9，27
（1）当两个数成倍数关系时，较小 的数就是它们的最大公因数。

你能说出下面每个分数中分子和 分母的最大公因数吗
6 18 13
6
15 45 9
15
10
9
65
13
36
70
10
想一想，填一填
• 自然数m除以自然数n，商是17，它 们的最大公因数是（ n ） • 自然数m除自然数n，商是17，它们 的最大公因数是（ m ） • 如果甲数是乙数的倍数，那么它们 的最大公因数是（ 乙数）
9. 小巧匠。
要把它们截成同样长的小 棒，不能有剩余，每根小
棒最长是多少厘米? 12 cm
先把下面两个数分解质因数，再求出它们的最小公倍数． 30＝（ 2 ）×（ 3 ）×（ 5 ） 42＝（ 2 ）×（ 3 ）×（ 7 ） 30和42的最大公因数是 2×3＝6 A＝2×2 B＝2×2×3
×
A和B的最大公因数是 2×2＝4
1、在括号里填上一个数，使它和已知数至少有两个公因数。
12和（ ） 20和（ ） 28和（ ）
别平均分给一个组的同学，结果恰好分完，你
知道这个组最多有几位同学吗？
• 遇到这种问题我们怎么做？
• 显然，用以前学过的方法我们做不了， 那我们今天就来学习这种问题的解决 方法。
1.5公因数与最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公因数
植树节这天，某校老师带领男生24名 和女生32名的优秀少先队员，到公园去植 树，老师要把他们分成人数相等的若干小 组，每个小组中的男生人数相等，请问， 这56名同学最多能分成几组？ 分成的组数要既能 整除24也能整除32
13和9 8和7 8和6 15和21
( ( ( (
1 1 2 3
) ) ) )
把下面两根彩带剪成长度一样的短彩带 且没有多余，每根短彩带最长是多少厘米？

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选青岛版教材五年级下册数学《公因数和最大公因数》教案设计一、教案背景1、面向学生：□小学2，学科：数学2、课时：1公因数和最大公因数教学内容：青岛版小学数学五年级下册29-32页。

教学目标：1、知识目标：结合解决问题理解公因数和最大公因数的意义，学会求两个数的最大公因数的方法。

2、能力目标：⑴在探索公因数和最大公因数意义的过程中，经历观察、猜测、归纳等数学活动，进一步发展初步的推理能力。

在解决问题的过程中，能进行有条理、有根据地进行思考。

⑵学会用公因数、最大公因数的知识解决简单的现实问题，体验数学与生活的密切联系。

3、情感目标：在学生探索新知的过程中，培养学生学好数学的信心以及小组成员之间互相合作的精神。

教学重点：理解公因数与最大公因数的意义，用短除法求最大公因数的方法。

教学难点：找公因数和最大公因数的方法。

学具准备：若干张长24厘米，宽18厘米的长方形纸；若干张边长1—7厘米的各种正方形纸。

教学过程：一、创设情境，提出问题。

1、出示剪纸艺术图片，导入新课。

师：同学们，你们见过剪纸作品吗？下面请看大屏幕。

（出示多幅剪纸图片，如贴在窗上的剪纸-------）【百度百科】http://wenku.ba /view/769a767501f69e31433294a7.html师：漂亮吗！师：剪纸是我国传统的民间艺术之一，具有很强的普及性、装饰性和趣味性。

剪纸可用于点缀墙壁、门窗、房柱、镜子、灯和灯笼等，剪纸本身也可作为礼物赠送他人。

这节课我们先来学习与剪纸有关的知识。

（板书：剪纸中的数学）2、出示情景图，发现信息，提出问题。

师：请同学们认真观察情境图，你们都看到了什么？生1：4位小朋友在剪纸。

生2：他们已经剪成4幅漂亮的正方形纸花了。

生3：长方形纸的长是18厘米、宽是12厘米。

生4：要求把这张长方形的纸剪成边长是整厘米的正方形。

生5：剪完后没有剩余。

生6：正方形的边长可以是几厘米呢？二、合作探讨，理解意义，学习方法。

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公因数和最大的公因数
什么是公因数
• 两个自然数（0除外）共同拥有的因数叫 公因数。
如何求公因数
先把两个数的因数用枚举法列出来， 再看因数中那几个数相同，相同的数 就是公因数。
• 练一练 • 1.求出下列几组数的公因数。 • 8和16 6和18 52和96 52和12 16和35 15和75
• 8和16 • 8的因数：1，2，4，8。 16的因数：1，2，4，8，16。 8和16的公因数是1，2，4，8。 • 6和18 • 6的因数：1，2，3，6。 • 18的因数：1，2，3，6，9，18。 6和18的公因数是1，2，3，6。
如何求最大公因数
• 方法一：先算出两个数的公因数，在进 行比较。 • 方法二：用短除法。
• 例：2.求75和15的最大公因数。 • 3 75 15 被除数 • 5 25 5 除号 • 5 1 除数 商 商 75和15的最大5 • 16的因数：1，2，4，8，16。 35的因数：1，5，7，35。 52和96的公因数是1。 • 15和75 • 15 15的因数：1，3，5，15。 1 3 5 15 • 75的因数：1，3，5，15，25，75。 15和75的公因数是1，3，5，15 。
什么是最大公因数
• 两个自然数（0除外），它们的公因数 中，最大的叫最大公因数。
• 52和96 • 52的因数：1，2，4，13，26，52。 96的因数：1，2，3，4，6，8，12， 16，24，32，48，96。 52和96的公因数是1，2，4。 • 52和12 • 52的因数：1，2，4，13，26，52。 • 12的因数：1，2，3，4，6，12。 52和12的公因数是1，2，4。