小学奥数训练题 因数与最大公因数(无答案)

解析：由于两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以求乙数就用最大公因数乘最小公倍数再除以甲数。
解：224×8÷32=56
答：乙数是56。
我能行：
1、 两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，求另一个数。
2、 已知两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，这两个数各是多少？
第三关：我想会
例1.求3、9、27的最大公因数。
14
解析：求几个最简分数的最大公因数的方法是：取各最简分数分子的最大公因数做分子，取各最简分数分母的最小公倍数做分母，所得新分数就是这几个最简分数的最大公因数。
解：（3,9,27）=3
〔14,28,70〕=140（3，
9，27）=3
14
答：3、9、27的最大公因数是3。
例 1.求 24 和 32 的最大公因数
解析：要想求几个数的最大公因数，我们要掌握求最大公因数的几种方法。有：列举法、短除法、分解质因数法、和辗转相除法等。最常用、最方便的方法是短除法。
解： 2
2
2
34
(24,32)=2×2×2=8
答：24 和 32 的最大公因数是 8。
我试试：
1、用短除法求出下面各组的最大公因数
（1）25和15（2）140和35（3）24和36
（4）4，8和16（5）45和135（6）48，16 和24
2、直接说出下列各组数的最小公倍数，你发现了什么？
（1）18和3612和248、16和72
（2）9和105、7和113、4和5
3、填一填，判一判，选一选。
（1）填一填
①a 和 b 都是自然数，如果 a 除以 b 商是 5 没有余数，那么 a 和 b 的最大公约数是（），最小公倍数（）。

最大公因数同学们首先要了解什么是最大公因数把课上老师讲的课余时间要多加复习呀
五年级奥数(数论问题)题及答案-最大公因数
编者导语：小编为同学们带来一道五年级奥数(数论问题)每日一题及答案：最大公因数，同学们首先要了解什么是最大公因数，把课上老师讲的课余时间要多加复习呀！
甲数是36，甲、乙两数最大公因数是4，最小公倍数是2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8，那么乙数是多少?
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最大公因数小学奥数题100道及答案(完整版)题目1：求18 和24 的最大公因数。

答案：6。

通过分解质因数，18 = 2×3×3，24 = 2×2×2×3，所以最大公因数是2×3 = 6。

题目2：求30 和45 的最大公因数。

答案：15。

30 = 2×3×5，45 = 3×3×5，最大公因数是3×5 = 15。

题目3：已知两个数的积是120，它们的最大公因数是6，求这两个数。

答案：12 和10。

因为最大公因数是6，设这两个数分别为6a 和6b（a、b 互质），则6a ×6b = 120，ab = 10，所以a = 2，b = 5 或 a = 5，b = 2，这两个数为12 和10。

题目4：求48 和64 的最大公因数。

答案：16。

48 = 2×2×2×2×3，64 = 2×2×2×2×2×2，最大公因数是2×2×2×2 = 16。

题目5：求25 和35 的最大公因数。

答案：5。

25 = 5×5，35 = 5×7，最大公因数是5。

题目6：两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，其中一个数是18，求另一个数。

答案：45。

因为最小公倍数×最大公因数= 两数之积，所以另一个数= 90×9÷18 = 45。

题目7：求56 和70 的最大公因数。

答案：14。

56 = 2×2×2×7，70 = 2×5×7，最大公因数是2×7 = 14。

题目8：已知两个数的最大公因数是4，它们的和是20，求这两个数。

答案：12 和8 。

设这两个数分别为4a 和4b（a、b 互质），4a + 4b = 20，a + b = 5，所以a = 1，b = 4 或a = 4，b = 1，这两个数为12 和8。

五年级公因数和公倍数的题120道一、公因数相关题目（60道，先20道带解析）1. 求12和18的最大公因数。

- 解析：分别列出12和18的因数。

12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。

它们共有的因数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和18的最大公因数是6。

2. 求24和36的最大公因数。

- 解析：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。

共有的因数为1、2、3、4、6、12，最大公因数是12。

3. 求15和25的最大公因数。

- 解析：15的因数是1、3、5、15，25的因数是1、5、25。

它们的公因数有1和5，最大公因数是5。

4. 求8和12的最大公因数。

- 解析：8的因数有1、2、4、8，12的因数有1、2、3、4、6、12。

共有的因数为1、2、4，最大公因数是4。

5. 求20和30的最大公因数。

- 解析：20的因数有1、2、4、5、10、20，30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。

公因数有1、2、5、10，最大公因数是10。

6. 求16和24的最大公因数。

- 解析：16的因数有1、2、4、8、16，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。

共有的因数为1、2、4、8，最大公因数是8。

7. 求9和15的最大公因数。

- 解析：9的因数有1、3、9，15的因数有1、3、5、15。

公因数为1和3，最大公因数是3。

8. 求14和21的最大公因数。

- 解析：14的因数有1、2、7、14，21的因数有1、3、7、21。

共有的因数为1、7，最大公因数是7。

9. 求28和42的最大公因数。

- 解析：28的因数有1、2、4、7、14、28，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。

公因数有1、2、7、14，最大公因数是14。

10. 求10和15的最大公因数。

- 解析：10的因数有1、2、5、10，15的因数有1、3、5、15。

• 【举一反三4】
• 1、一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路 边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植 一棵树，那么两树间的距离最多有多少米？
• 【举一反三4】
• 2、有336只铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具最多可以分成多 少份同样的礼物，在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？
• 【举一反三2】
• 2、有50个梨、75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组， 并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
• 【举一反三2】
• 3、有3根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它 们截成同样长的小段，且不许有剩余，每段最长可以是多少厘米？
答：有4种裁法，最大的正方形可以裁20块。
• 【举一反三1】
• 1、把一张135厘米场，105宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，并且无 剩余，至少能裁多少块？
• 【举一反三1】
• 2、一块长45厘米，宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩 余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
• 【举一反三1】
• 3、将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。问小 正方形的面积最大是多少？
• 【王牌例题2】
• 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等 的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
• 【思路导航】 • 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米，要把长方体切成大小
五年级奥数
课本对应点
最大公因数（约数）
• 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几 个数的最大公因数。我们可以吧自然数a，b的最大公因数记作（a，b）， 如果（a，b）=1，则a和b互质。

五年级下册
最大公因数奥数题
几个数公有的因数，
叫做这几个数的公 因数；其中最大的 一个，叫做这几个 数的最大公因数。
方法一： 先找出18 的因数：1，2 ，3 ，6 ，9 ，18
或找出27 的因数：1，3 ，9 ，27
方法二：
• 18=2×3×3 • 27=3×3×3 • 18和27的最大公因数3×3=9
先求所有木棍 的最大公因数
相同木棍的长度
各自÷锯成 木棍的长度
结果相加
同步练习
2、有50个梨，75个橘子和100个苹 果，要把这些水果平均分给几个小 组，并且每个小组分得的三种水果 的个数也相同，最多可以分给几个 小组？
题型三：植树问题
例3 :条道路由甲村经乙村到丙村。甲、乙 两村相距450米，乙、丙两村相距630米。现 在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间相
2、一条公路由A地经B地到C地，已知AB之间相距600米，BC 之间相距780米。现在路边种树，要求相邻两棵之间的距离 相等，并且在B地以及AB、BC的中点上都要种一棵。那么相 邻两棵树之间的距离最多有多少米？
求3139和2117的最大公因数
3139÷2117= 1------1022 2117÷1022=1------73 1022÷73=14------0
最大公因数就是73
同步练习
1、用辗转相除法求568和1065的 最大公因数。
2、试用辗转相除法判断 1547与3135是否互质。
过关测试
1、为了进行科学种田的实验，要将一块长75米、宽 60米的长方形土地划分成若干块面积相等的小正方形， 那么每块小正方形的面积最大是多少平方米?
等，并且在甲、乙两村的中点和乙、丙两村
的中点都要栽上树。那么相邻两棵树的距离 最多是多少米?

课题：最大公因数和最小公倍数专题简析1：（最大公因数）几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a、b互质。

求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和断除法等方法。

例1 求下面每组数的最大公因数。

45和18 51和17 28和96 24、38和1860和36 180和240 72和60 60、36和72 例2 120的因数有多少个？例3 一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？例4 有三根小棒，长分别是12厘米，14厘米，16厘米，要把它们都裁成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？例5 一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少？举一反三1、将一块长80米、宽60米土地划分成面积相等的小正方形。

问：小正方形的面积最大是多少？2、一个长方体木块，长2.7米，宽18分米、高15分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余。

、，正方体的棱长最大是多少分米？3、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是多少？4、有一个三角形花圃，三边的长度分别是56米、36米、24米。

现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两株菊花之间的距离尽量大。

问：一共栽多少株菊花？5、一块三角形地，要在三条边上按等距离插红旗（三个顶点必须各插一面），要使插的面数最少，应该准备多少面红旗？甲48米72米乙54米丙专题简析2：（最小公倍数）几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕，当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。

两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。

因数与最大公因数1、 12345678987654321的除本身之外的最大因数是多少？2、将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的因数。

求这个两位数。

3、有一个自然数，它的最小的两个因数之和是4，最大的两个因数之和是100，求这个自然数。

4、有一个自然数，它的最大的两个因数之和是123，求这个自然数。

5、求只有8个因数但不大于30的所有自然数。

6、给出一个自然数n，n的所有因数的个数用T（n）表示。

（1）求T（42）；（2）求满足T （n）=8的最小自然数n；（3）如果T（n）=2，那么n是怎样的数？7、在1～100中，所有的只有3个因数的自然数的和是多少？8、如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的因数，那么a×b能否恰好有10个不同的因数？9、☆少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。

这200个灯泡按1～200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。

这样继续下去，每4分钟一个周期。

问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？10、 100以内因数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？11、一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成7，得出的乘积是756。

问：正确的乘积是多少？12、给出一个自然数n，n的所有因数的和用S（n）表示，求S（24）和S（36）。

13、☆对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？14、一个数如果等于除它本身以外的所有因数之和，则称此数为完全数。

已知30以内有两个完全数，请将它们找出来。

15、某商店把几十个单价原为0.2元的转笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元。

【例题4】
一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙 村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准 备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等， 并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上 树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
【练习4】
1，一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米， B、C相距215米。现在路边植树，要求相邻两树 间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要 植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？
2，有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水 果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种 水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
3，有3根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘 米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段， 且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？
【例题3】
一个数除200余4，除300余6，除500余10.求这个 数最大是多少？
【练习5】
1，有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24 厘米。如果要切成同样大小的小正方体，这些正方 体的棱长最长是多少厘米？
2，用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形 纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有 剩余，这些正方形的边长最长是多少？
3、求1065和568的最大公因数。
最大公因数
专题解析
几个数公有的约数叫做这几个数的公约 数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公 约数。我们可以把自然数a、b的最公约数记 作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互 质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因
一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。 现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边 长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的 正方形面积最大，可以裁多少块？

五年级奥数-最大公因数和最大公约数介绍:最大公因数和最大公约数是五年级奥数中重要的数学概念。

最大公因数指的是几个数中能够同时整除它们的最大正整数，而最大公约数是几个数中能够同时被它们整除的最大正整数。

掌握这两个概念对于解决奥数问题非常重要。

介绍最大公因数:最大公因数是指几个数中能够同时整除它们的最大正整数。

例如，对于数字12和18来说，它们的最大公因数是6，因为6是12和18的公因数，并且没有其他比6更大的公因数。

我们可以通过列举出两个数的所有因数，然后找到它们的公因数，并从中选出最大的那个数，就可以得到最大公因数。

介绍最大公约数:最大公约数是指几个数中能够同时被它们整除的最大正整数。

例如，对于数字24和36来说，它们的最大公约数是12，因为12能同时被24和36整除，并且没有其他比12更大的数能同时被它们整除。

我们可以通过列举出两个数的所有约数，然后找到它们的公约数，并从中选出最大的那个数，就可以得到最大公约数。

最大公因数和最大公约数的关系:最大公因数和最大公约数有一个重要的关系，即它们是相等的。

也就是说，对于任意两个数来说，它们的最大公因数和最大公约数是相等的。

这是因为最大公因数是能够同时整除这两个数的最大正整数，而最大公约数是能够同时被这两个数整除的最大正整数，因此它们是相等的。

解决问题的方法:在解决奥数问题中涉及到最大公因数和最大公约数的时候，我们可以使用一些简单的方法来求解。

一种常见的方法是通过展开数字的因式分解，然后求得最大公因数和最大公约数。

另一种方法是使用辗转相除法，通过不断地进行除法运算，直到余数为0，最后的除数即为最大公因数或最大公约数。

总结:最大公因数和最大公约数是五年级奥数中重要的数学概念。

掌握这两个概念可以帮助我们更好地解决奥数问题。

在求解最大公因数和最大公约数时，我们可以使用因式分解或辗转相除法等方法。

最大公因数和最大公约数的关系是相等的，即它们的值是相同的。

希望这份文档对你有帮助。

最大公因数例1：试求出270与252的最大公因数。

例2：试求出1617，1155，2695的最大公因数。

例3：把一块长为56厘米，宽42厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共裁成几块？例4：一块长方形的布长7米5分米，宽6米，现在要把它裁成一块块正方形的布，有几种裁法？如果要使裁得的正方形布最大，那么这个正方形的边长是多少？可以裁多少块？例5: 一个长方体木块，长2.7分米，宽1.8分米，高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余。

正方体的棱长最大是多少分米？例6: 有22块橡皮和33支铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结果橡皮多1块，铅笔少2支。

参加打扫卫生的同学最多有多少名？例7: 有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？例8：某幼儿园到图书馆借书，如借35本，平均分发给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。

问幼儿园最多有多少个小朋友？例9：两个数的和是70，它们的最大公因数是7。

这两个数的差是多少？例10：十个自然数之和等于1001，这十个自然数的最大公因数可能取的最大值是多少？应用与拓展1. 试求出1071与819的最大公因数。

2. 试求出210，924，1089的最大公因数。

3.一块长方形的纸片，长96厘米，宽60厘米，把它裁成同样大小的正方形，而无剩余，至少可以裁多少块？4. “六一”儿童节，学校准备将图书120本，钢笔180只，笔盒240个全部装成礼品袋，每袋礼品相同，送给学校尽可能多的班级，每班一袋应装多少袋？每袋三种东西各有多少？5. 有3根铁丝，长度分别是12厘米，18厘米和24厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？6．某班级开展为“希望小学”捐款活动，老师只记下四个小组各捐的钱分别是：261元、319元、261元、348元，又知道每个人捐的钱数一样多且超过1元。

奥数：最小公倍数除、最大公因数（3题）1、甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商为12，若甲、乙两数差为18，这两个数分别是多少？解：设最大公约数为X ,甲为AX ,乙为BX根据两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12得A×B=12 根据甲乙两数的差是18得(A-B)X=18可知A、B只能为3、4得X=18所以两数分别为54和72。

2、在一根长的木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成15等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？解：最小公倍数问题。

10，12，15的最小公倍数是60。

把这根木棍的1/60作为一个长度单位，这样：木棍10等份的每等份长6个单位；12等份的每等份长5单位；15等份的每等份长4单位．不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等分)，共计34个。

（10，12，15）＝60，设木棍60厘米60÷10＝6厘米，60÷12＝5厘米，60÷15＝4厘米10等分的为第一种刻度线，共10－1＝9条12等分的为第二种刻度线，共12－1＝11条15等分的为第三种刻度线，过15－1＝14条第一种与第二种刻度线重合的（6，5）＝30，60÷30－1＝2－1＝1条第一种与第三种刻度线重合的（6，4）＝12，60÷12－1＝5－1＝4条第二种与第三种刻度线重合的（5，4）＝20，60÷20－1＝3－1＝2条三种刻度线重合的没有，（6、5、4）＝60因此，共有刻度线9＋11＋14－1－4－2＝27条，木棍总共被锯成27＋1＝28段。

由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2，同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4由于这些相重点各不相同．所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点。

最大公因数专项训练题一、求两个数的最大公因数1. 求12 和18 的最大公因数。

-解析：分别列出12 和18 的因数。

12 的因数有1、2、3、4、6、12；18 的因数有1、2、3、6、9、18。

它们的公因数有1、2、3、6，所以最大公因数是6。

2. 求24 和36 的最大公因数。

-解析：24 的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；36 的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。

公因数有1、2、3、4、6、12，最大公因数是12。

3. 求15 和25 的最大公因数。

-解析：15 的因数是1、3、5、15；25 的因数是1、5、25。

公因数是1、5，最大公因数是5。

4. 求32 和48 的最大公因数。

-解析：32 的因数有1、2、4、8、16、32；48 的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。

公因数有1、2、4、8、16，最大公因数是16。

5. 求45 和60 的最大公因数。

-解析：45 的因数有1、3、5、9、15、45；60 的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。

公因数有1、3、5、15，最大公因数是15。

二、应用最大公因数解决问题1. 把一张长48 厘米、宽36 厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形，且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？-解析：求48 和36 的最大公因数，即为正方形的最长边长。

48 和36 的最大公因数是12，所以正方形的边长最长是12 厘米。

2. 有两根铁丝，一根长42 米，另一根长63 米。

现在要把它们剪成同样长的小段，且没有剩余，每小段最长是多少米？-解析：求42 和63 的最大公因数。

42 的因数有1、2、3、6、7、14、21、42；63 的因数有1、3、7、9、21、63。

它们的最大公因数是21，所以每小段最长是21 米。

3. 用96 朵红花和72 朵黄花做成花束，如果每个花束里的红花和黄花的朵数都相同，那么每个花束里最少有几朵花？-解析：先求96 和72 的最大公因数，为24。

4、最大公因数姓名：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫作这几个数的最大公因数。

a,b的最大公因数一般用(a,b)表示。

公因数只有1的两个数是互质数。

当两个或两个以上的数是互质数时，我们就说它们互质。

最大公因数的性质如下：①如果a、b互质、那么a和b的最大公因数是1。

②如果a是b的整数倍，那么a和b的最大公因数是b。

③两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

④两个数的最大公因数的因数，一定是这两个数的公因数。

⑤两个数的公因数都是这两个数的最大公因数的因数。

⑥如果a＞b,那么a-b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数，即两个数的最大公因数必定能整除这两个数的差。

因此，当两个数很大且比较接近时，不妨把较大的数换成两者的差，替代原来的数求最大公因数。

这也是我们后面要讲到的辗转相除法的理论依据。

⑦a+b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

求几个数的最大公因数，可以用分解质因数法和短除法。

最大公因数在数学中的应用十分广泛，最常用的解题方法是先分解质因数，看它可以是哪些数的乘积，然后结合其他条件解决问题。

例1.求36、108、126的最大公因数。

（36，108，126）=随堂练习1.求2520、14850、819的最大公因数。

例2.有一张75厘米，宽6分米的长方形纸片，现在要把它裁成若干正方形，使正方形的边长为整数厘米，且不能有剩余，有几种裁法?如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少个?随堂练习2.有一块长方形纸片，长80厘米，宽48厘米。

现在，要把它剪成边长都是整数厘米，且面积相等的小方形纸片，恰无剩余。

那么，至少可以剪多少块?例3.有一条街道AC,在AC的一点B处道路拐弯.AB长630米，BC长560米。

现要在条街道的一侧等距安装灯,A,B,C三点必须各安装一盏路灯，那么，这条街道最少装多少盏灯?（提示：先画图再思考，结合植树问题）随堂练习3.有一条街道由A经B到C,已知A,B相距140米，B,C相距105米。

最大公因数（约数）与最小公倍数（2）专题分析：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。

两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即，（a，b）×[a，b]=a×b。

例1、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

例2、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

例3、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

例4、某幼儿园借阅图书，如借35本，平均分给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。

这个班的小朋友最多有多少人？例5、一些三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一行，中间的一个数是多少？例6、有甲、乙、丙三种溶液，分别重614千克、433千克、922千克。

现在要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。

问：每瓶最多装多少千克？练习1、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。

2、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

满足条件的自然数有哪几组？3、两个数的积为5766,且它们的最大公因数为30,那么这两个数各为多少?4、以知A 数为24,A 与B 的最小公倍数为168,最大公因数为4,那么B 数为多少?5、有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6人,如果减少一条船,正好每船坐9人,求这个班有多少人?6、两个数的最大公因数为21,最小公倍数为126,那么这两数的和为多少?7、有一批砖,长45厘米,宽为30厘米,至少用这样的砖多少块,才能铺成一个正方型?8、在一条长96米的路两侧，计划每隔4米栽一棵树，画好“记号”后发现距离过近，改为每隔6米栽一棵树，还要重新做多少个“记号”？9、有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，然后沿有记号的地方剪断。

最大公因数几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b）,如果（a、b）=1，则a和b互质。

求几个数的最大公因数可以用短除法和辗转相除法等方法。

例1：求下列各组数的最大公因数（1）18和12 （2）7和91 （3）12、15和18 （4）3003和15022 练习：26和169 418和1309例2：用635和779除以同一个整数，余数都是23，求这个数。

练习：用348和635除以同一个整数，余数都是19，这个整数是多少？例3：一个数除200余4，除300余6，除500余10，求这个数最大是多少？练习：一个数除425余5，除500少4，除300余6，求这个数最大是多少？例4：一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。

现在要把它裁成一块块相同面积的正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？练习：把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，并且边长必须为整厘米数，至少能裁多少块？例5：有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？练习：有三根钢管，分别长18分米，36分米，72分米，把这三根钢管分别截成同样长的小段，每小段钢管最长是多少分米？一共可以截成多少段？例6：在一个长30米，宽12米的长方形池塘的四角和四条边上种树。

若相邻两棵树之间的距离相等，最少要种多少棵树？每相邻两棵树之间的距离是多少米？例7：有336个苹果、252个橘子、210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼品？在每份礼品中，苹果、橘子、梨各有多少个？。

因数与最大公因数1、的除自己以外的最大因数是多少？2、将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所获得的两个数都是78的大于1的因数。

求这个两位数。

3、有一个自然数，它的最小的两个因数之和是4，最大的两个因数之和是100，求这个自然数。

4、有一个自然数，它的最大的两个因数之和是123，求这个自然数。

5、求只有8个因数但不大于30的所有自然数。

6、给出一个自然数n，n的所有因数的个数用T（n）表示。

（1）求T（42）；（2）求知足T（n）=8的最小自然数n；（3）假如T（n）=2，那么n是如何的数？7、在1～100中，所有的只有3个因数的自然数的和是多少？8、假如自然数a和b各自恰巧都有5个不一样的因数，那么a×b可否恰巧有10个不一样的因数？9、☆少年宫游玩厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分风趣。

这200个灯泡按1～200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，所有灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变本来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变本来的亮暗状态。

这样持续下去，每4分钟一个周期。

问：第200秒时，光亮的灯泡有多少个？10、100之内因数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？11、一个学生做两个两位数乘法时，把此中的一个乘数的个位数字9误当作7，得出的乘积是756。

问：正确的乘积是多少？12、给出一个自然数n，n的所有因数的和用S（n）表示，求S（24）和S（36）。

13、☆关于随意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数仍是偶数，仍是不可以一定？14、一个数假如等于除它自己以外的所有因数之和，则称此数为完整数。

已知30之内有两个完整数，请将它们找出来。

15、某商铺把几十个单价原为0.2元的转笔刀降价后所有售出，共卖得2.53元。

问：降价后单价多少元？16、有一瓶440毫升的酒和容量不一样的甲、乙两种酒杯。