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公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数在数学中，我们常常需要求出多个数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数。
掌握这些概念和求法是非常重要的。
最大公因数是几个数公有的因数中最大的那个，可以用列举法、观察法和短除法等方法求得。
例如，求8和6的最大公因数，我们可以先列出它们的因数，然后找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数，即2.观察法可以应用于特殊情况，例如两个数具有倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的数；两个数是互质数时，它们的最大公因数就是1.如果两个数不是倍数和互质关系，我们可以用小数缩小法，即把较小的数缩小，每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
短除法是一般情况下求最大公因数的常用方法。
我们可以用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。
然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。
除了最大公因数，我们还需要掌握最小公倍数的求法。
最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的那个，可以用列举法、分解质因数法和公式法等方法求得。
例如，求6和8的最小公倍数，我们可以先列出它们的倍数，然后找出它们的公倍数，最后找出它们的最小公倍数，即24.最后，我们需要学会如何解有关最大公因数和最小公倍数的应用题，例如求某些数的最大公因数或最小公倍数，或者求某些数的倍数关系等。
通过练，我们可以更好地掌握这些知识点，并在实际问题中灵活运用。
12和24的最大公因数是4，可以表示为（12，24）=4.互质数是指公因数只有1的两个数，例如1和任何自然数都是互质数，相邻两个自然数如2和3、8和9也是互质数。
两个质数一定是互质数，而两个合数可能是互质数，例如8和9、25和49.2和所有奇数都是互质数，质数与比它小的合数也是互质数。
需要注意的是，质数是对一个数来说，而互质数是对两个数的关系来说的。
在练中，需要判断每组数是不是互质关系或倍数关系，并求出它们的最大公因数。
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；【知识点1】最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。
其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
【知识点2】最大公因数求法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）找8和6的最大公因数8的因数有1、2、4、86的因数有1、2、3、68和6的最大因数数是2。
2、观察法(特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。
2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
3）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法案件分解：两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。
8和16的最大公因数（ 8 ） 4和8的最大公因数（ 4 ）9和3的最大公因数（ 3 ） 28和7的最大公因数（ 7 ）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
相邻两个自然数(0除外)2和3的最大公因数是（ 1 ） 8和9的最大公因数是（ 1 ） 99和98的最大公因数是（ 1 ）两个不同的质数5和7的最大公因数是（ 1 ） 17和29的最大公因数是（ 1 ） 11和19的最大公因数是（ 1 ）两个互质的合数4和9的最大公因数是（ 1 ） 20和49的最大公因数（ 1 ） 25和69的最大公因数是（ 1 ）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法把较小的数缩小（除以2、3、4……）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
18和48的最大公因数先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。
16和36的最大公因数16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4，4是36的因数，那么16和36的最大公因数4。
第三讲最大公因数和最小公倍数一．基本概念和知识1．公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
2．公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3．互质数如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。
二．例题例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，∴要求的数是30、60、75的公因数。
又∵要求符合条件的最大的数，∴就是求30、60、75的最大公因数。
解：（30，60，75）＝15所以，这个数最大是15。
例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求求的数是3、4、5的公倍数，且是最小公倍数。
解：∵ [3，4，5] ＝60，∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。
现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，∴每段长度必是120、180、300的公因数；又∵每段要尽可能长，∴要求的每段长度就是120、180、300的最大公因数。
解：∵（120，180，300）＝60，∴每小段最长60厘米。
120÷60＋180÷60＋300÷60=2＋3＋5＝10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
例4：加工某种机器零件，要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。
要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数。
要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。
解：∵[3，10，5]＝30∴各道工序均应加工30个零件。
第二讲：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数第一部分：公因数与最大公因数知识点归纳：1：公因数和最大公因数的意义几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。
注意：几个数的公因数必须包含它们公有的素因数（至少一个），而几个数的最大公因数必须包含它们全部公有的素因数。
2：互素的意义若两个数的公因数只有1 ，则称这两个数互素，它和素数、素因数是绝对不同的概念，素数是指一个数除了1和本身以外没有别的因数的数。
当素数是一个合数的因数时，则称这个素数为这个合数的素因数。
3：求公因数和最大公因数的方法若两个数互素，则它们的公因数为1.若两个数之间存在倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的那个数。
若两个数既不互素，也不存在倍数关系，则一般可用短除法或者分解素因数法找到它们全部公有的素因数，这些素因数的积就是这两个数的最大公因数。
典例练习1、用边长为6厘米、4厘米的正方形纸片分别铺长为18厘米、宽为12厘米的矩形。
哪种纸片能将矩形铺满？2、两个数的和是60 ，且它们的最大公因数为12 ，求这两个数。
3、若甲数= a×b×c ，乙数= a×c ×d (a、b 、c 、d 是不同的素数)，则甲、乙两数的最大公因数是什么？4、有12米长的铁丝8根，18米长的铁丝7根，要把它们截成一样长的铁丝，不浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长几米？可以截多少根？5、小华在制作船模时，将三根长分别为12厘米，18厘米，和30厘米的木条截成同样长的若干段，且都没有剩余，请你算一算每段最长是几厘米，一共截了多少段？6、把一张长42厘米，宽30厘米的长方形，剪成大小一样的正方形而无剩余，剪成的正方形至少有几个？7、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同的天数去图书馆一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次，有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再经过多少天他们三人又在图书馆相会？8、1路、2路和5路公交车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路每隔20分钟发一辆，当这三种线路的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线同时发车？9、有一个长方体木块，长60厘米，宽40厘米，高24厘米，如果要切成同样大小的小立方体，这些小立方体的棱长最长是多少厘米？10、一个数除253余1，除299余2，这个数最大是多少？11、一条成直角形状的街道，一条街道长840米，另一条街道长720米，要在这条街道的右侧等距离的装上路灯，且要求两端和转弯处都必须装灯，那么这条街道最少要装多少盏灯？12、有三个素数，它们的乘积是1001，求这三个素数分别是多少？13、某校购进72台同型号的录音机，由于发票上的字迹太淡，首尾两个数看不清楚，只能看出应付的钱数是 5928元，你能推算出这次学校购买的录音机的单价和总价吗？第二部分：公倍数与最小公倍数知识点归纳：1：公倍数和最小公倍数的意义几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
