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数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。
3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。
（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。
【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。
（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。
最大公因数和最小公倍数训练A卷班级_______ 姓名_______ 得分_______1.选择题（把正确答案的字母填在括号里）（1）两个数的（）个数是无限的。
A.公因数B.公倍数C.最大公因数D.最小公倍数（2）下列四组数中，两个数只有公因数1的数是（）。
A.13和91B.21和51C.34和51D.15和28（3）17是136和476的（）。
A.公因数B.公倍数C.最大公因数D.最小公倍数（4）有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有（）对。
A.1B.2C.3D.4（5）自然数a、b，如果数a除以数b的商是2，那么两数的最大公因数是（）。
A. aB. bC.1D. 2（6）a、b和c是三个自然数，在a=b×c中，不一定成立的是（）。
A.a一定是b的倍数B.a一定能被b整除C.a一定是b和c的最小公倍数D.b一定是a的因数（7）甲数=2×3×7×A，乙数=2×5×7×A，当A=（）时，甲、乙两数的最大公因数是42。
A.2B.3C.5D.7（8）如果a能被b整除，c又是b的因数，那么a、b、c三个数的最小公倍数是（）。
A.abcB.a＋b＋cC.aD.b2.填空题（1）两个数的最大公因数是1，最小公倍数是221，这两个数是（）或（）。
（2）有一个数，用它去除18，36，42，正好都能整除，这个数最大是（）。
（3）（）与60的最大公因数是60，最小公倍数是120。
（4）如果A=2×2×3×3×5，B=2×3×3×7，C=2×3×11，那么A、B、C三个数的最大公因数是（）；A、B两个数的最小公倍数是（）；B、C两个数的最小公倍数是（）。
（5）三个数的和等于63，甲数比乙数少3，丙数是甲数的2倍，这三个数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
最大公因数专题简析：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个就是这几个数的最大公因数。
课本向我们介绍了用列举法来求几个数的最大公因数。
本讲我们一起来探讨用短除法、辗转相除法等几个方法求几个数的最大公因数。
自然数a、b的最大公因数可以记作（a，b）。
例1用短除法求36和54的最大公因数。
分析与解答：人们常常用短除法求两个数的最大公因数，短除法的形式如下：2 36 54 ……先同时除以公因数2；3 18 27 ……再同时除以公因数3；3 6 9 ……再同时除以公因数3；2 3 ……除到两个商为互质数为止。
把上式中所有的除数相乘所得的积即为36和54的最大公因数，即（36,54）=2×3×3=18.随堂练习：用短除法求40和32的最大公因数。
例2求45、60、90这三个数的最大公因数。
分析与解答：与前面的例1不同的是这道题要求三个数的最大公因数。
方法1：可以用列举法。
45的因数有：1，3，4，5，9，15，45；60的因数有：1,2,3,4,5，6,10,12,15,20,30,60；90的因数有：1,2,3,4,5，6,10,15,18,30,45,90.45,60和90的公因数有：1,3,5,15；所以（45,60,90）=15.方法2：也可以用短除法。
345 60 90 ……先同时除以公因数3；5 15 20 30 ……再同时除以公因数5；3 4 6 ……除到三个商只有公因数1为止。
把上式的除数3和5相乘所得的积即为45,60,和90的最大公因数，即（45,60,90）=3×5=15.随堂练习：用短除法求36、48和60的最大公因数。
例3求319和377的最大公因数。
分析与解答：求这两个数的最大公因数如果用短除法很难找出它们的公因数，我们可以用下面这种新的方法：用较大的数377除以较小的数319；377÷319=1 (58)上面的算式中有余数58，用上式中的除数319除以余数58：319÷58=5 (29)上面的算式中仍有余数，再用上式中的除数58除以余数29：58÷29=2上式中没有余数了，这时算式中的除数29就是想319和377的最大公因数，即（319,377）=29上面这张求最大公因数的方法被古希腊的大数学家欧几里德命名为“辗转相除法”。
巧用公因数专题简析：最大公因数的知识在解决生活实际问题中经常用到。
解决问题时，要根据题目中的已知条件对问题做全面的分析，辨清所求问题是求最大公因数还是求最小公倍数。
例1有两根彩带分别长48厘米和60厘米，把这两根彩带剪成长度相等的小段且没有剩余，每段彩带最长是多少厘米？最少一共剪成多少段？分析与解答：这两根彩带要剪成长度一样的小段且没有剩余，每段长度就是48和60的公因数，又要求每段的长度最长是多少厘米，所以每段的长度就是48和60的最大公因数。
（48,60）=1248÷12+60÷12=4+5=9（段）答：每段彩带最长是12厘米，最少一共剪成9段。
随堂练习：张老师把24支笔和32本本子平均奖励给班上的三好学生，正好全部分完，这个班最多有多少名三好学生？例2有三根钢管，长度分别是350厘米，250厘米和150厘米。
如果把它们截成同样长的小段而没有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？分析与解答：根据题意：要把这三根钢管截成尽量长而没有剩余，所以每段的长度就是350、250和150的最大公因数。
（350,250,150）=50350÷50+250÷50=150÷50=15（段）答：每小段最长是50厘米，一共可以截成15段。
随堂练习：有三根绳子分别长36米、26米和24米，要把它们剪成同样的小段做跳绳，每段最长是多少米？一共可以剪成多少根跳绳？例3一张长方形彩纸，长7分米5厘米、宽6分米。
现在把它截成一些大小相等且尽可能大的正方形而没有剩余，正方形边长是整厘米数，最少可截成多少块？分析与解答：7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。
根据题意，正方形的边长应是75和60的最大公因数。
（75,60）=15（75÷15）×（60÷15）=5×4=20（块）答：最少可以截成20块。
如果要求每一块的面积，你会算吗？随堂练习：将一块长90米、宽60米的长方形土地，划分成面积相等的正方形（边长是整厘米数）且没有剩余，小正方形土地的面积最大是多少？例4把64个苹果和78个梨分别平均分给一个组的同学，结果苹果剩4个、梨剩3个，这个组最多有几位同学？分析与解答：两种水果平均分给同样多的人，结果苹果剩4个、梨剩3个，说明两种水果的个数不是人数的倍数。
最大公因数小学奥数题100道及答案(完整版)题目1：求18 和24 的最大公因数。
答案：6。
通过分解质因数，18 = 2×3×3，24 = 2×2×2×3，所以最大公因数是2×3 = 6。
题目2：求30 和45 的最大公因数。
答案：15。
30 = 2×3×5，45 = 3×3×5，最大公因数是3×5 = 15。
题目3：已知两个数的积是120，它们的最大公因数是6，求这两个数。
答案：12 和10。
因为最大公因数是6，设这两个数分别为6a 和6b（a、b 互质），则6a ×6b = 120，ab = 10，所以a = 2，b = 5 或 a = 5，b = 2，这两个数为12 和10。
题目4：求48 和64 的最大公因数。
答案：16。
48 = 2×2×2×2×3，64 = 2×2×2×2×2×2，最大公因数是2×2×2×2 = 16。
题目5：求25 和35 的最大公因数。
答案：5。
25 = 5×5，35 = 5×7，最大公因数是5。
题目6：两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，其中一个数是18，求另一个数。
答案：45。
因为最小公倍数×最大公因数= 两数之积，所以另一个数= 90×9÷18 = 45。
题目7：求56 和70 的最大公因数。
答案：14。
56 = 2×2×2×7，70 = 2×5×7，最大公因数是2×7 = 14。
题目8：已知两个数的最大公因数是4，它们的和是20，求这两个数。
答案：12 和8 。
设这两个数分别为4a 和4b（a、b 互质），4a + 4b = 20，a + b = 5，所以a = 1，b = 4 或a = 4，b = 1，这两个数为12 和8。
课题：最大公因数和最小公倍数专题简析1：（最大公因数）几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。
我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a、b互质。
求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和断除法等方法。
例1 求下面每组数的最大公因数。
45和18 51和17 28和96 24、38和1860和36 180和240 72和60 60、36和72 例2 120的因数有多少个？例3 一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？例4 有三根小棒，长分别是12厘米，14厘米，16厘米，要把它们都裁成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？例5 一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少？举一反三1、将一块长80米、宽60米土地划分成面积相等的小正方形。
问：小正方形的面积最大是多少？2、一个长方体木块，长2.7米，宽18分米、高15分米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余。
、，正方体的棱长最大是多少分米？3、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是多少？4、有一个三角形花圃，三边的长度分别是56米、36米、24米。
现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两株菊花之间的距离尽量大。
问：一共栽多少株菊花？5、一块三角形地，要在三条边上按等距离插红旗（三个顶点必须各插一面），要使插的面数最少，应该准备多少面红旗？甲48米 72米乙 54米丙专题简析2：（最小公倍数）几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕，当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。
两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。
因数与最大公因数
1、 12345678987654321的除本身之外的最大因数是多少？
2、将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的因数。
求这个两位数。
3、有一个自然数，它的最小的两个因数之和是4，最大的两个因数之和是100，求这个自然数。
4、有一个自然数，它的最大的两个因数之和是123，求这个自然数。
5、求只有8个因数但不大于30的所有自然数。
6、给出一个自然数n，n的所有因数的个数用T（n）表示。
（1）求T（42）；（2）求满足T（n）=8的最小自然数n；（3）如果T（n）=2，那么n是怎样的数？
7、在1～100中，所有的只有3个因数的自然数的和是多少？
8、如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的因数，那么a×b能否恰好有10个不同的因数？
9、☆少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1～200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。
这样继续下去，每4分钟一个周期。
问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？
10、 100以内因数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？
11、一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成7，得出的乘积是756。
问：正确的乘积是多少？
12、给出一个自然数n，n的所有因数的和用S（n）表示，求S（24）和S（36）。
13、☆对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？
14、一个数如果等于除它本身以外的所有因数之和，则称此数为完全数。
已知30以内有两个完全数，请将它们找出来。
15、某商店把几十个单价原为0.2元的转笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元。
问：降价后单价多少元？
16、有一瓶440毫升的酒和容量不同的甲、乙两种酒杯。
如果将酒倒入甲种杯，则倒满若干杯后，还剩35毫升酒（不足一杯）；如果将酒倒入乙种杯，则倒满若干杯后也剩35毫升酒（不足一杯）。
已知甲、乙两种酒杯的容量都不超过100毫升，求甲、乙酒杯的容量。
17、把21，26，65，99，10，35，18，77分成若干组，要求每组中任意两个数都互质，至少要分成几组？如何分？
18、 a，b两数的最大公因数是12，已知a有8个因数，b有9个因数，求a和b。
19、用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公因数。
20、用1－7这七个数码组成两个三位数和一个一位数，要求三个数中任意两个都互质。
已知其中一个数为714，求另两个数。
21、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数最大可以到多少？
22、 100个正整数之和为6666，它们的最大公因数的最大可能值是多少？
23、 A、B是两个奇数，它们的最大公因数是3，求（A＋B）和（A－B）的最大公因数。
24、甲、乙两数的最大公因数是37，两数的和是444，这样的自然数有哪几组？
25、有一个大于1的自然数，用它除498，447和379得到相同的余数，求这个自然数。
26、两个小于150的数的积是2028，它们的最大公因数是13，求这两个数。
27、写出三个小于20的自然数，使它们的最大公因数是1，但两两均不互质。
28、试用2、3、4、5、6、7六个数码组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公因数尽可能大。
29、 1～8八个数字，按右图所示的次序排成一个圆圈，请你在某两个数字之间沿直径剪开，这时按顺时针次序形成两个四位数（例如，在1和5之间剪开，得到的两个数是5483和6721）。
如果要使剪开后所得到的两个数的最大公因数最大，那么应从何处剪开？最大公因数是几？
30、有一个长方形棋盘，每个小方格的边长都是1，长有200格，宽有120格（如下图）。
纵横线交叉的点称为格点，连结A，B两点的线段共经过多少个格点（包括A，B两点）？
31、在右图中，以O为一个端点，以A，B，C，D，E，F，G，H为另一个端点，共可以连出8条线段。
在这8条线段中，不经过图中任何一个格点的有几条？
（图错：在H点外还有一列）
32、有三根钢管，分别长200，240和360厘米。
现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？
33、两根铁丝分别长65米和91米，用一根木尺分别去丈量它们，都恰好量完而无剩余。
这根木尺最多有多长？
34、有三根铁丝，分别长300厘米、444厘米、516厘米。
把它们截成同样长且尽可能长的整厘米小段（不许剩余），每小段折成一个小正方形。
然后将这些小正方形混放在一起拼成一个长方形（每拼一次都必须全部用上这些小正方形），这样可能拼成的长方形有几种？
35、有336个苹果、252个桔子、210个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？
36、将22块橡皮和33支铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结果橡皮多1块，铅笔少2支，参加打扫卫生的同学有多少名？
37、☆如右图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距装路灯，要求A，B，C处各装一盏路灯，这条街道最少装多少盏路灯？
38、 96个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1～15报数。
如果报数一圈一圈地循环进行下去，那么有没有人1～15这15个数都报过？第一个小朋友报过哪几个数字？
39、 78个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1～18报数。
如果报数一圈一圈地循环
进行下去，那么至多有多少个小朋友报过数字1？有没有人同时报过5和10？
40、十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地循环报数。
如果报1和报100的是同一人，那么共有多少个小朋友？。
