江苏省昆山中学2020-2021学年第二学期3月月考高一数学试题 PDF版答案

高一下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知满足，则（ ）α1sin cos 3αα+=sin2α=A ．B ．C ．D ．23-2389-89【答案】C【分析】利用同角的平方和关系和二倍角公式即可. 【详解】，，1sin cos 3αα+=112sin cos 9αα∴+=即，8sin22sin cos 9ααα==-故选:C ．2．在如图中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则（ ）ABC BE =A ．B ． 1344AB AC -3144AB AC -+C ．D ．3144AB AC +1344AB AC -+【答案】B【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， AD BC 所以，1()2AD AB AC =+因为为的中点，E AD 所以可得， 111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-BE = 3144AB AC -+故选: B.3．若非向量、满足，且，则向量、的夹角为（ ）a b 2a b = ()a b b -⊥ a b【答案】B【分析】根据向量垂直得到方程，求出，利用向量夹角余弦公式求出答案.2a b b ⋅= 【详解】因为，所以，即，()a b b -⊥ ()20a b b a b b -⋅=⋅-= 2a b b ⋅= 设量、的夹角为，则，a b θ21cos 2b a a b a b b b a θ====⋅⋅⋅因为，所以.π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=故选：B4．已知，则（ ）πsin cos 16θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1 B C ．D ．1-12【答案】A【分析】根据余弦两角和公式和辅助角公式求解即可.【详解】. π11πsin cos sin sin sin sin 16223θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=-==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（ ） (),1a x = ()2,23b x =+ ,a bx A ．B ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()3,22,4∞⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭C ．D ．3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭332,,44∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据和不共线可构造不等式组求得结果.cos ,0a b a b a b ⋅<>=<⋅,a b【详解】夹角为钝角，且不共线， ,a b cos ,0a b a b a b ⋅∴<>=<⋅ ,a b 即且，解得：且，430a b x ⋅=+<()232x x +≠34x <-2x ≠-的取值范围为. x ∴()3,22,4∞⎛⎫--⋃--⎪⎝⎭故选：B.6．已知角，满足，，则（ ）． αβ1tan 3α=()sin 2cos sin βαβα=+tan β=【答案】B【分析】根据和角公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式()sin 2cos 2sin 2cos βααβ-=即可求解.【详解】由得，进而()sin 2cos sin βαβα=+()()sin sin sin βαβαααβ+--⎡⎤=+⎣+⎡⎤⎦⎣⎦， ()()sin sin 2sin 2sin sin 2sin 2cos cos 2sin βαβββαβαβαβ=+⇒=+-=+所以， ()222sin 22sin cos 2tan 1sin 2cos 2sin 2cos tan 2cos 23sin cos 3tan 12ααααβααββαααα-=⇒====-++故选：B7．已知函数的图象关于对称，且，则()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠6x π=()085f x a =0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ． B ． C ．D ．725-2425-7252425【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，再由6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b =()085f x a=可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】因为， ()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+0ab ≠其中，sin ϕ=cos ϕ=由于函数的图象关于对称，所以 6x π=6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭即， 12a b =所以，即，()00008sin cos 2sin 35f x a x x a x a π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以， 20000227sin 2sin 2cos 22sin 16323325x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C.8．如图，在等腰中，已知，，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且ABC 2AB AC ==120A ∠= ，，其中，，且，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则AE ABλ= AF AC μ=λR μ∈21λμ+=的最小值是（ ）MNA B C D 【答案】B【分析】根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得11(),()22AM AC AB AN AB AC μλ=+=+，又，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求MN AN AM =- 21λμ+=2MN μMN的最小值.【详解】在等腰中，已知则，因为ABC o2,120,AB AC A ==∠=u u u r u u u r cos 2AB AC AB AC A ⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r 分别是边的点，所以，而,E F ,AB AC 111()(),()222AM AF AE AC AB AN AB AC μλ=+=+=+，左右两边平方得1[(1)(1)]2MN AN AM AB AC λμ=-=-+-222221[(1)2(1)(1)(1)]4MN AB AB AC AC λλμμ=-+--⋅+- ， 22221[4(1)4(1)(1)4(1)]14λλμμλμλμλμ=----+-=+---+又因为，21λμ+=所以， 222237417()77MN μμμ=-+=-+u u u r 所以当时，的最小值为， 27μ=2MN 37即的最小值为MN 故选：B.二、多选题9．下列计算正确的是（ ）A ．B ． 2cos 75=1tan1051tan105+=-C ．D ．tan1tan44tan1tan441++=sin7012⎫=⎪⎪⎭【答案】AC【分析】根据二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式即可判断选项ABC ，根据同角三角函数之间的基本关系将切化弦即可计算出选项D 的结果.【详解】根据二倍角的余弦公式可得A 正确； 21cos150cos 752+===由可得，所以B 错误； tan 451=()1tan105tan45tan105tan 45105tan1501tan1051tan45tan105++===--+=因为，所以，即()tan1tan44tan 14411tan1t n44+a ==-+tan1tan4411+tan tan44=- ，所以C 正确；tan1tan44tan1tan441++=由于sin701sin701sin70⎫⎫-==⎪⎪⎪⎪⎭⎭，所以D 错误； ()2cos 4002cos 70sin140sin70sin701sin 40sin 40sin 430===⋅⋅=+故选：AC10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）ABCDEFA ．B ．AC AE BF -= 32AC AE AD += C ． D ．在上的投影向量为2AD AB AB ⋅= AD AB AB 【答案】BCD【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A 利用向量减法运算结合图形即可判断，对B 借助图形和共线向量的定义即可判断，对C 利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，对D 结合图形即可判断.【详解】对A ，，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；AC AE AC EA EC -=+= EC BF对B ，由图易得，直线平分角，AE AC =AD EAC ∠且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向， ACE △2AC AE AH += AD易知均为含,EDH AEH π6，4AD DH = 而，故，故，故B 正确；26AH DH = 232AH AD = 32AC AE AD +=对C ，， 2,3C ABC AB BC DC π∠=∠===，则，又，， π6BDC DBC ∴∠=∠=π2ABD ∠=AD //BC π3DAB ∴∠=，，故C 正确；2AD AB = 221cos 232AD AB AD AB AB AB π⋅==⨯=对D ，由C 知，则在上的投影向量为，故D 正确. π2ABD ∠=ADAB AB故选：BCD.11．已知函数（ ） ()2sin cos f x x x x =+()f x A ．最小值为2-B ．关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．最小正周期为πD ．可以由的图象向右平移个单位得到 sin2y x =π6【答案】BCD【分析】对于AC ，利用三角函数的恒等变换化简，从而得以判断； ()f x 对于B ，利用代入检验法进行检验即可；对于D ，利用三角函数平移变换求得新的三角函数，由此得以判断.【详解】对于A ，因为()211cos 2sin cos sin 222x f x x x x x -==， 1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以的最小值为，故A 错误；()f x 1-对于B ，因为，所以关于点对称，故B 正确；πππsin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π,06⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，因为，所以，故C 正确； 2ω=2ππT ω==对于D ，的图象向右平移个单位得到的的图象，故D 正sin2y x =π6ππsin2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭确.故选：BCD.12．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.ABC O BC O ,AB AC ,M N 设，则下列选项正确的是（ ）,AB mAM AC nAN ==A ．B ．C ．D ．1m n +=1mn ≤222m n +≥111m n+≤【答案】BC【分析】根据向量的共线定理可得，即可判断A ，利用均值不等式判断BCD. 2m n +=【详解】由图象可知，0,0m n >>因为，且三点共线，112222m n AO AB AC AM AN =+=+,,M O N 所以，即，选项A 错误； 122m n+=2m n +=，当且仅当时等号成立，B 正确；212m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭1m n ==，当且仅当时等号成立，C 正确；()()2222222m n m n m n mn ++=+-≥=1m n ==，当且仅当，即时等号成立，D 错()1111112222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n m m n =1m n ==误， 故选：BC三、填空题13．已知，且，则的值为______．π1cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】79【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】π2ππ2πsin 2sin 2cos 26323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22ππ17cos 22cos 1213339αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦故答案为：7914．在平行四边形ABCD 中，点E 满足，且O 是边AB 中点，若AE 交DO 于点M ．且2DE CE =-u u u r，则______．AM AB AD λμ=+λμ+=【答案】57【分析】由已知可得可得答()2437AM AD DM AD DE EM AD DC EA =+=++=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r 3277AD AB =+u u ur u u u r 案.【详解】在平行四边形ABCD 中，点E 满足，且O 边AB 中点，2DE CE =-u u u r所以E 是边DC 离近C 的三等分点，可得，， 43==DE EM AO MA 47=EM EA u u ur u u r 所以()AM AD DM AD DE EM =+=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r2437AD DC EA =++u u u r u u u r u u r()24243737AD AB AE AD AB AD DE =+-=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又，3277AD AB =+u u ur u u u r AM AB AD λμ=+ 所以， 57λμ+=故答案为：. 5715．若，，且，是方程的两个根，则ππ22α-<<ππ22β-<<tan αtan β240x ++=αβ+=______． 【答案】 2π3-【分析】根据韦达定理，可得的值，根据两角和的正切公式，化简整理，结tan tan ,tan tan αβαβ+合的范围，即可得答案.,αβ【详解】、是方程的两个根，tan α tan β240x ++=由韦达定理可得，，，，tan tan αβ∴+=-tan tan 40αβ=>tan 0α∴<tan 0β<ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ，π,,02αβ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭则， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++===-()π0αβ+∈-，则． 2π3αβ+=-故答案为： 2π3-四、双空题16．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，ABCD O l AB CD M N ，若是的中点，则的取值范围是___________；若是平面上一点，且满足Q BC QM QN ⋅P ，则的最小值是___________.()21OP OB OC λλ=+- PM PN ⋅【答案】[]1,0-74-【分析】根据向量的线性运算，将转化为，再结合，QM QN ⋅ 22QO OM - 1QO =即可求得答案；设，由题意可得点在上，推得，再将转化为，即可求2OT OP = T BC 12OP ≥ PM PN ⋅ 22PO OM - 得答案.【详解】因为直线过中心且与两边､分别交于点､， l O AB CD M N 所以为､中点，所以，O M N OM ON =-所以，()()22QM QN QO OM QO ON QO OM ⋅=+⋅+=-因为是的中点，所以，， Q BC 1QO = 2210QO OM -≤-≤ 即的取值范围为；QM QN ⋅[]1,0-令，由知点在上，2OT OP =()21OT OP OB OC λλ==+- T BC 又因为为､中点，所以，从而， O M N 1OT ≥ 12OP ≥，因为()()22PM PN PO OM PO ON PO OM ⋅=+⋅+=- 所以，即的最小值为.2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=- PM PN ⋅ 74-五、解答题 17．已知．2sin 3cos 1sin 2cos 4αααα+=-(1)求的值； tan α(2)求的值．sin 211sin 2cos2ααα+++【答案】(1) 2-(2)12-【分析】(1)将题干中式子化简，并结合同角三角函数的基本关系即可得到结果； (2)利用二倍角公式将所求式子化简成，然后利用（1）的结论即可求解.1(tan 1)2α+【详解】（1）因为，则，2sin 3cos 1sin 2cos 4αααα+=-sin 2cos 0αα-≠所以， 8sin 12cos sin 2cos αααα+=-所以，所以；7sin 14cos αα=-tan 2α=-（2）2222sin 21(sin cos )1sin 2cos2(sin cos )cos sin ααααααααα++=++++-．sin cos 11(tan 1)sin cos cos sin 22ααααααα+==+=-++-18．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边的两个锐角、，它们的终边分别交单位xOy Ox αβ圆于、两点，已知、. A B A B(1)求、的值；sin αsin β(2)求、的值； ()cos αβ+()sin 2αβ+【答案】(1)sin α=sin β=【分析】（1）求出的坐标，根据三角函数的定义即可求得答案；,A B （2）利用二倍角公式求得，根据两角和的正余弦公式即可求得答案. sin 2,cos 2ββ【详解】（1）由题意可得的坐标分别为， ,A B ,A B故，sin αsin β=（2）因为、为锐角，结合（1）可得， αβcos α=cos β=故 ()c s o cos cos sin si n αβαβαβ+=-==，243sin 22sin cos ,cos 22cos 155βββββ===-=故. ()sin 2sin cos 2cos si 345n 25αβαβαβ=+==+19．已知向量，点为直线上一动点.(1,7),(5,1),(2,1)OA OB OP ===Q OP (1)求；||OA OB + (2)当取最小值时，求的坐标.QA QB ⋅OQ 【答案】(1)； 10(2).(4,2)【分析】（1）根据平面向量加法运算的坐标表示，求出的坐标表示，再利用模的坐标表示OA OB +计算作答.（2）利用向量共线表示出向量的坐标，再结合向量线性运算及数量积运算，借助二次函数求OQ解作答.【详解】（1）因为，则， (1,7),(5,1)OA OB == (6,8)OA OB +=所以.|10|OA OB +==（2），因为点为直线上一动点，则，(1,7),(5,1),(2,1)OA OB OP === Q OP //OQ OP 于是设，则，(2,)OQ xOP x x == (12,7),(52,1)QA OA OQ x x QB OB OQ x x ==-=---=--，当且仅当时取等号， 22(12,7)(52,1)520125(2)88QA QB x x x x x x x ⋅=--⋅--=-+=--≥-2x =所以当时，取得最小值，此时的坐标为.2x =QA QB ⋅8-OQ (4,2)20．已知，且 2,,63ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 3πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求的值； sin 2α（2）求的值． αβ-【答案】（1；（2）．4π-【分析】（1）利用同角三角函数和二倍角公式可求得，，根据sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用两角和差正弦公式可求得结果；sin 2sin 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）根据同角三角函数可求得，由，结合两角和cos 3πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()sin cos 63ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦差余弦公式和的范围可求得结果. αβ-【详解】（1），， 2,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0,62ππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭sin 6πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，3sin 22sin cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，24cos 22cos 1365ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦314525=⨯+=（2），，， 2,63ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ,32ππβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭cos 3πβ⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭()sin sin cos 63263πππππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--++=--+⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦cos cos sin sin 6363ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛== ⎝，，. 2,,63ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,22ππαβ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭4παβ∴-=-21．如图，在平面四边形中，，，，，、分ABCD BC AD ∥2AB BC ==4=AD 120BAD ∠=︒E F 别是，的中点，为线段上一点，且.设，.AD DC G BC BG BC λ=AB a = AD b =(1)若，以，为基底表示向量与；13λ=a b AF EG u u u r (2)若，求的取值范围. ()0,1λ∈AF EG ⋅【答案】(1)；13+24AF a b = 13EG a b =-(2) ()61--，【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与；AF EG u u ur （2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围. EG u u u rAF EG ⋅ 【详解】（1）解：++AF AB BC CF =11++22a b CD =()11++++22a b CB BA AD =111+++222a b b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ， 13+24a b = 所以；13+24AF a b =因为，所以13λ=++EG EA AB BG =11++23b a BC =-11++26b a b =- ，13a b =- 所以；13EG a b =- （2）解：++EG EA AB BG =1++2b a BC λ=-11++22b a b λ=- ，()1+12a b λ=- 所以，()1+12EG a b λ=- 又，，，所以，120BAD ∠=︒2a = 4b = 1cos1202442a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以 ()131++1242AF EG a b a b λ⎛⎫⎡⎤⋅=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()22113+++142281a a b b λλ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ ()()221132++4+1442182λλ⎛⎫⨯--⨯ ⎪⎭=⎝⨯()511λ=--因为，所以，所以，01λ<<()65111λ-<--<-16AF EG -<⋅<-所以的取值范围为. AF EG ⋅()61--，22．如图，在扇形中，圆心角，A 是扇形弧上的动点． OMN π3MON ∠=(1)若平分时，求的值；OA MON ∠tan OAM ∠(2)若，矩形内接于扇形，求矩形面积的最大值．2OM =ABCD ABCD【答案】(1)2【分析】(1)由条件求的大小，再利用两角和正切公式求；OAM ∠tan OAM ∠(2) 设，利用表示矩形的面积，化简函数表达式，结合正弦函数性质和不等式AON θ∠=θABCD 性质求其最大值. 【详解】（1）因为，平分，所以，又，所以π=3MON ∠OA MON ∠π=6AOM ∠=OA OM ，ππ5π6=212OAM -∠=5πππtan =tan tan 21246OAM ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭（2）设，因为，所以，， AON θ∠=2OA =2cos OD θ=2sin AD θ=所以，2sin BC AD θ==在中，，，，所以，BOC 2sin BC θ=π3BOC ∠=π2BCO∠=πtan 3BC OC θ=2cos CD θθ=，222cos sin 4sin cos ABCDS CD AD θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 2226θθθ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝因为，得，当时，即时，，π03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ5π2+666θ⎛⎫∈⎪⎝⎭,ππ2+=62θπ=6θmax S。

江苏高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点A （0,2）且倾斜角的正弦值是的直线方程为 ．2.点在直线上的射影为,则直线的方程为 ．3.若关于x 的不等式的解集为（1,2），则关于x 不等式的解集为 ．4.P ，Q 分别为直线3x+4y ﹣12=0与6x+8y+6=0上任意一点，则PQ 的最小值为 ．5.已知,直线经过定点,定点坐标为 ．6.已知两直线ax+by+1=0和cx+dy+1=0都通过P （2，3），则过A （a,b ）B （c,d ）的直线方程为 ．7.二次函数的值域为[0，+），则的最小值为 ． 8.设，，则的大小关系为 ．9.若，则的最小值为 ．10.已知定点则的最小值为 ．11.在直角三角形中，=90°，，．若点满足，则 ． 12.在中，过中点任作一直线分别交，于，两点，设，（），则的最小值是 ． 13.已知两点，动点在线段上运动，则的取值范围是 ．14.已知正实数满足，则的最小值为 ．二、解答题1.已知三条直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：2x －y ＋8＝0，l 3：a x ＋3y －5＝0 ．分别求下列各题中a 的值：（1）三条直线相交于一点；（2）三条直线只有两个不同的交点；（3）三条直线有三个不同的交点．2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，． （1）求的值； （2）求函数的值域．3.直线通过点P （1，3）且与两坐标轴的正半轴交于A 、B 两点． （1）直线与两坐标轴所围成的三角形面积为6，求直线的方程； （2）求的最小值； （3）求的最小值．4.（1）过点P （-1,-2）的直线分别交x 轴和y 轴的负半轴于A 、B 两点,当|PA|·|PB|最小时,求的方程． （2）已知定点与定直线，过 点的直线与交于第一象限点，与x 轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程。

一、单选题1．已知，则（ ） cos 3sin 0αα+=tan 2α=A ．B ．C ．D ．3434-35-38-【答案】B【分析】由二倍角的正切公式即可求得的值. tan 2α【详解】由，可得cos 3sin 0αα+=1tan 3α=-则 2212()2tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯-===----故选：B2．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．“”是“是以C 为直角的ABC A cos cos a A b B =ABC A 直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用正弦定理将边角互化，结合充分条件、必要条件的定义计算可得； 【详解】解：若，由正弦定理可得，cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =，或，即或，sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=22A B π+=A B =2A B π+=所以为等腰三角形或是以为直角的直角三角形，故充分性不成立； ABC A C 若是以为直角的直角三角形，即，ABC A C 2A B π+=所以，所以，即，2A B π=-22A B π=-()sin 2sin 2sin 2A B B π=-=所以，则，故必要性成立；sin cos sin cos A A B B =cos cos a A b B =故“”是“是以C 为直角的直角三角形”的必要不充分条件； cos cos a A b B =ABC A 故选：B3．设M 为内一点，且，则与的面积之比为（ ） ABC A 1145AM AB AC =+ ABM A ABC A A ． B ． C ． D ．15144959【答案】A【分析】做出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为． AE AC【详解】如图所示，∵点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足，1145AM AB AC =+以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADME ，延长EM 交BC 与F ，， 15AE AC =则，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比， //EF AB 所以． 15ABM ABC S AE S AC ==A A 故选：A4．已知a ＝（1+tan21°）（1+tan22°），b ＝（1+tan23°）（1+tan24°），则（ ） A ．a ＝b ＝2 B ．ab ＝4C ．a 2+b 2＝9D ．a 2＝b 2﹣2【答案】B【分析】根据两角和的正切可求ab ＝4，再根据得到，从而可得tan152︒=236(74a -<<正确的选项.【详解】解：因为，故tan21°+tan24°＝1﹣tan21°tan24°，tan 21tan 241tan 451tan 21tan 24︒︒︒︒︒+==-故2＝（1+tan21°）（1+tan24°），同理2＝（1+tan22°）（1+tan23°）， 故ab ＝4，故B 成立；而tan15°＜tan21°＜tan23°＜1，0＜tan22°＜tan24°＜1， 故a ＜b ，故A 错误；而，故， tan 45tan 30tan1521tan 45tan 30︒︒︒︒︒-==+2(3a >因，故，所以，2(3,4a bab <<=2(32a <<236(74a -<<又若a 2+b 2＝9，则，解得22169a a +=2a =因为，36(736(74 1.733)2.448->-⨯=，故无解，故C 错误；9 4.123 2.43852-=22169a a +=若a 2＝b 2﹣2，则，则，22162a a=-21a =这与矛盾，故D 错误． 22.44836(74a <-<<故选：B ．5．已知、是两个非零向量，它们的夹角为，，则下列结论正确的是（ ）a bθb e b= A ．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量θa b ()cos a e θ θa b为()cos a e θ- B ．当为锐角时，在方向上的投影向量为；为钝角时，在方向上的投影向量θa b ()cos a b θ θa b为()cos a b θ- C ．若存在实数，使，则λb a λ=a b a b ⋅= D ．若，则一定存在唯一的实数，使 a b a b ⋅= λb a λ=【答案】D【分析】利用投影向量的定义可判断AB 选项；利用平面向量数量积的定义结合共线向量的定义可判断CD 选项.【详解】对于AB 选项，向量在上的投影为，易知为与同向的单位向量， a b cos a θ e b所以，在方向上的投影向量为，AB 均错；a b()cos a e θ 对于C 选项，若存在实数，使，则、共线，λb a λ=a b 若，则、共线，但，C 错； θπ=a ba b a b ⋅=- 对于D 选项，若，则，，则，即、方向相同， a b a b ⋅= cos 1θ=0θπ≤≤Q 0θ=a b则、共线，一定存在唯一的实数，使，D 对. a b λb a λ=故选：D.6．已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（ ）a b a b ⋅ 14=-2c a b =+cos a cA ．B C ．D 1314【答案】C【分析】先利用数量积表示模长.c a =+【详解】由已知知，，1a b ==r r 2c a =+=则 ()22||21cos ,4||||a a b a c a a b a c a c a c a c⋅+⋅+⋅====故选：C.7．已知函数的图象关于点及直线对称，且()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭π:3l x =在不存在最值，则的值为（ ）()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭ϕA ．B ．C ．D ．π3-π6-π6π3【答案】C【解析】根据对称得到，根据没有最值得到，得到，，再根据对2,12T k N kπ=∈+T π≥2T π=1ω=称中心得到，得到答案.,6m m Z πϕπ=+∈【详解】函数的图象关于点及直线对称.()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭π:3l x =则. 2+,,4236212T kT T k N kππππ=+=∴=∈+在不存在最值，则，故时满足条件，，.()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭T π≥0k =2T π=1ω=，则.sin 066f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,66m m m Z ππϕπϕπ-+=∴=+∈当时满足条件，故.0m =6πϕ=故选：.C 【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为P 为边BD 上一动点，则的取值范围为（ ）AP CP ⋅A ．B ．C ．D ．[]6,0-25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]7,0-【答案】C【分析】根据题意可计算出AB 的长，由此建立平面直角坐标系，设点P 的坐标，进而表示向量的坐标，计算，结合二次函数的知识求得结果.,AP CP AP CP ⋅【详解】由题意可知，为等边三角形，则有，， BCD △60DBC ∠=︒30ABD ∠=︒在中， ,； Rt △ABD tan 302AD BD =⨯== 24AB AD ==如图以B 为原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，BC BA则有，，由于，故可设P 点坐标为,且()0,4A ()C 60DBC ∠=︒()x 0x ≤≤所以，，()4AP x =- ()CP x =-所以， (4AP CP x x ⋅=-+-2244274x x ⎛- =⎝=-因为，当时，取得最小值 ，当 时，0x ≤≤x =22744x ⎛- ⎝274-0x =取得最大值为0， 22744x ⎛- ⎝所以， 2704AP CP -≤⋅≤故选：C.二、多选题9．下列等式成立的是（ ）A ．B ． ()21sin15cos152-=22sin 22.5cos 22.5-=C ．D ．1cos 24cos36cos 66cos542-=(3sin 40tan102=-【答案】AC【分析】利用二倍角公式可判断AB 选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断C 选项；利用辅助角公式以及二倍角的公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，，A 对； ()21sin15cos1512sin15cos151sin 302-=-=-=对于B 选项，B 错； 22sin 22.5cos 22.5cos 45-=-= 对于C 选项，()()cos 24cos36cos 66cos54cos 9066cos36cos 66cos 9036-=---，C 对； ()1cos36cos 66sin 36sin 6636sin 302sin 66=-=-==对于D 选项，(sin10sin 40tan10sin 40cos10⎛=⋅= ⎝，D 错.()()2sin 40sin 10602sin 40sin 502sin 40cos 401sin 80sin 80cos 9080-==-=-=--故选：AC.10．下列说法正确的是（ ）A ．向量与共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件ABCD B ．若，则存在唯一实数使得//a b λb a λ= C ．已知，则与的夹角为锐角的充要条件是()()=1,3,1,1= a b a a b l + ()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若，则是在上的投影向量 AB AC AD AB AC λ+=BDBA BC 【答案】ACD【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A ；根据向量共线的充要条件可判断B ；根据向量夹角的坐标运算可判断C ；由平面向量加法和的平分线表示的向量平行的向量可得BAC ∠AD 为的平分线，又因为为的中线可判断 D.BAC ∠AD BC 【详解】对于A 选项：A ，B ，C ，D 四点共线向量与共线，反之不成立，所以A 正确；⇒ABCD 对于B 选项：当，时，不存在实数使得，当，时，存在无数个实数0a = 0b ≠λb a λ=0a = 0b = λ使得，故B 错误；b a =对于C 选项：因为，，所以，则与的夹角为锐角的充()1,3a = ()1,1b =r ()1,3a b λλλ+=++ a a b l +要条件是且与不同向共线，()·0a a b λ+>a ab l + 即，()()1,3·1,31931040λλλλλ++=+++=+>1≠解得，则实数的取值范围是，故C 正确；()5,00,2λ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭λ()5,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭对于D 选项：由平面向量加法可知：为“与的平分线表示的向量平行的向量”因AB ACAB AC+BAC ∠为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，所AB ACAD AB ACλ+=AD BAC ∠AD BC AD BC ⊥以是在的投影向量，故选项D 正确. BDBA BC 故选：ACD. 11．已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）()cos 22si n 1fx x x =-+A ．的最小正周期为 B ．的最小值为()f x π()f x 2-C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在上单调递减()f x 2x π=()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD【分析】A. 利用周期函数的定义判断；B. 利用二倍角公式得到()22si n 2si n 2fx x x =--+，再令，利用二次函数的性质求解判断； C.利用二次函数的性质判断；D. 利用复[]sin 1,1x t =∈-合函数的单调性判断. 【详解】解：因为()()()cos 22si n 1fxx x πππ⎡⎤+=+-++⎣⎦，故A 错误；()cos 22si n 1x x fx =++≠，()cos 22si n 1fx x x =-+22cos 2si n x x =-22si n 2si n 2x x =--+令，[]sin 1,1x t =∈-则，当时，函数取得最小值-2，故B 正确；2215222222y tt t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭1t =因为关于对称，此时 ，则或2222y tt =--+12t =-1sin 2x =-2,6x k k Z ππ=-+∈， 52,6x k k Z ππ=-+∈所以函数的图像不关于直线对称，故C 错误；()f x 2x π=因为，在上递增，在上递减，而 在上递2222y tt =--+11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin y x =,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦增，在上递增，,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以由复合函数单调性知：函数在上递减，所以函数在上递减，故D 正()f x ,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦确；故选：BD12．如图，已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，，，m ＞0，n ＞0，记△ADE ，△ABC ，四边形BDEC 的面积分别为S 1，S 2，AD mAB = AE nAC =S 3，则（ ）A ．B ．C ．D ．113m n+=12S mn S =1345S S >1345S S ≤【答案】ABC【分析】A 选项，由题可得＝，设，，m ＞0，n ＞0，结AG(1)AD AE λλ+- AD mAB = AE nAC = 合可得答案；1()3AG AB AC =+B 选项，由S 1＝，S 2＝可得答案；1||||sin 2mn AB AC A ∠ 1||||sin 2AB AC A ∠CD 选项，，后利用基本不等式可得答案. 32111S S S S =-11mm=-【详解】A 选项，由D 、G 、E 三点共线，则＝，设，，AG(1)AD AE λλ+- AD mAB = AE nAC = m ＞0，n ＞0.则，(1)AG mAB nAC λλ=+-又由重心性质可知， 211()()323AG AB AC AB AC =⨯+=+ 则，，即，即选项A 正确； 13m λ=11(1)33n n λ-==113m n +=B 选项，S 1＝＝，1||||sin 2AD AE A ∠ 1||||sin 2mn AB AC A ∠ S 2＝，则，即选项B 正确；1||||sin 2AB AC A ∠12S mn S =CD 选项，＝≤，当且仅当，即时取等32121111S S S S S S S -==-11mm -2115()124m n +-=11m n =23m n ==号，则，即选项C 正确， D 错误. 1345S S >故选：ABC ．三、填空题13．如图，正八边形ABCDEFGH ，其外接圆O 半径为1.则___________.OA AB ⋅=1【分析】根据平面向量的基本运算，将转换为有关的表达式计算即可OA AB ⋅ OA OB，【详解】易得的夹角为，再由图可得OA OB ，4π()2,·AB OB OA OA AB OA OB OA OA OB OA =-⋅=-=⋅-. 1111=⨯=-1【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算与数量积运算，属于基础题14．若，，则_________．cos 2α=()sin αβ-=,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα,2πβπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭αβ+=【答案】##4π-45- 【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，根据()sin 2,cos ααβ-()()cos cos 2αβααβ+=--⎡⎤⎣⎦，由两角和差余弦公式可求得，结合的范围可得结果.()cos αβ+αβ+【详解】，，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 2,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭sin 2α∴==又，，，,2πβπ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭33,42ππαβ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭()cos αβ∴-==()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβααβααβααβ∴+=--=-+-⎡⎤⎣⎦⎛= ⎝，.3,04παβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭4παβ∴+=-故答案为：.4π-15．已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范()2cos 22f x m x x =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 围是______．【答案】11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】利用两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数后利用正弦函数性质求解．【详解】由已知， 1()22cos 222sin 22026f x x x m x m π⎫⎛⎫=-+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由题意此方程有两个不等实根．sin 26m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，()sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当时，，，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由得，∴时递减，时，递增，226x ππ-=3x π=0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x [,32x ππ∈()g x ，，，13g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭122g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1(0)2g =作出，的图象，作直线，如图，()sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦y m =∴当时，它们有两个不同的交点．有两解．112m ≤-<-sin 26m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故答案为：．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把问题通过方程的根转化为直线与函数图象交点个数，然后利用函数图象得出结论．四、双空题16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，a=2，⊙O 为△ABC 的外接圆，6A π=.OP mOB nOC =+（1）若m=n=1，则________.=OP （2）若m ，，则点P 的轨迹所对应图形的面积为________. []0,1n ∈【答案】【分析】（1）若，将两边同时平方，计算得出结果； 1m n ==OP OB OC =+（2）若m ，，讨论点P 的轨迹，得出是菱形，再去求面积即可. []0,1n ∈【详解】∵，，为的外接圆，6A π=2a =O A ABC A ∴，，. 22421sin 2a R R A ===⇒=260BOC A ∠=∠=︒ 2 OB OC ==（1）若，则，1m n ==OP OB OC =+()2222212OP OB OCOB OC OB OC OP =+=++⋅=⇒=（2）若m ，，则点P 的轨迹：[]0,1n ∈当，时，，此时点P 在线段上； 0m =[]0,1n ∈OP nOC =OC 当，时，，此时点P 在线段上；0n =[]0,1m ∈OP mOB =OB 当，时，，构造平行四边形，此时点P 在线段上（如图1m =[]0,1n ∈OP OB nOC =+OBDC BD 1）；当，时，，构造平行四边形，此时，点P 在线段上；1n =[]0,1m ∈OP mOB OC =+OBDC CD 当m ，时，，此时，点P 在菱形内部，（如图3）；()0,1n ∈OP mOB nOC =+OBDC 综上，P点的轨迹为菱形组成的图形区域，则 OBDC .12222sin 602OBC OBCD S S==⨯⨯⨯⨯︒=△菱形五、解答题17．已知单位向量的夹角为，向量，向量.12,e e 23π12a e xe =- 1232b e e =+(1)若∥，求x 的值；a b(2)若，求. a b ⊥a r 【答案】(1)23-【分析】（1）由，可得存在实数，使得，然后将，代入化简可求出x 的值， a b∥λλa b = a b （2）由，可得，再将，代入化简可求出x 的值，从而可求出a b ⊥0a b ⋅= a b a r 【详解】（1）因为，所以存在实数，使得，a b∥λλa b = 即，()1212123232e xe e e e e λλλ-=+=+ 则有，， 13λ=2x λ=-解得；23x =-（2）由，有，a b ⊥0a b ⋅= 即，()()()22121211221323(23)2323202e xe e e e x e e xe x x -⋅+=+-⋅-=---= 解得，4x =故，124a e e =-所以a ===18．已知,设函．())22cos ,1,,2cos ,m x n x x x R =-=∈ ()1f x m n =⋅+(1)求函数的最小正周期；()f x (2)若，且，求的值．7,312ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦8()5f α=cos 2α【答案】(1) π(2)【分析】（1）根据平面向量的数量积坐标公式，以及辅助角公式化简，再根据周期公式求最()f x 小正周期.（2）根据的值计算,再利用和角公式计算.()f απsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 2α【详解】（1）由已知条件得：21()cos 2cos 12cos 222cos 22f x x x x x x x x ⎫=-+=-=-⎪⎪⎭πππ2sin 2cos cos 2sin 2sin 2666x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最小正周期 2ππ2T ==（2），又 π8()2sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ π4sin 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭π7π312α≤≤ππ2π26α∴≤-≤故，进而可得πcos 206α⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭π3cos 265α⎛⎫-==- ⎪⎝⎭ππππππ341cos 2cos 2=cos 2cos sin 2sin 666666552αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+---=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．如图，、分别是的边、上的点，且，，交M N ABC ∆BC AB 14BM BC =1AN AB 2=AM CN 于.P（1）若，求的值；AM xAB y AC =+x y -（2）若，，，求的值.4AB =3AC =60BAC ∠= AP BC ⋅【答案】（1）；（2）. 12277-【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值； x y x y -（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、3144AP AM AB AC λλλ==+ NP k NC =λk的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，APAB AC AB AC BC 最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.AP BC ⋅【详解】（1），()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，，因此，； 34x ∴=14y =311442x y -=-=（2）设， 3144AP AM AB AC λλλ==+再设，则，即， NP k NC =()AP AN k AC AN -=- ()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ 所以，，解得，所以， 314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177AP AB AC =+ 因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB⋅=+-=+⋅- . 221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题. 20．在△ABC 中，，，O 是的外接圆圆心，若AB =2AC =56BAC π∠=ABC A ．AO AB AC λμ=+ (1)求及； AO AB ⋅AO (2)求，．λμ【答案】(1)32AO AB ⋅= (2) 74,2λμ==【分析】（1）如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，取的中点，的中点，连接A AB M AC N ，设，根据O 是的外接圆圆心，可得，则有,OM ON (),O x y ABC A ,OM AB ON AC ⊥⊥，求得点的坐标，再根据向量数量积的坐标表示及向量的模的坐标表示即可得解； 00MO AB NO AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩O （2）根据结合向量线性运算的坐标表示列出方程组，解之即可得解.AO AB ACλμ=+【详解】（1）解：如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， A 则，())()0,0,,A BC 取的中点，的中点，连接，AB M AC N ,OM ON 则， 1,2M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭设，则， (),O x y 1,2MO x y NO x y ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)(),AB AC ==因为O 是的外接圆圆心， ABC A 所以，,OM AB ON AC ⊥⊥则，解得，0102MO AB x NO AC x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩72x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以， )7322AO AB ⎫⋅=⋅=⎪⎪⎭；=（2）解：因为，AO AB AC λμ=+即，，)())7,2λμμ⎫=+=⎪⎪⎭所以，解得.72μ=⎪=⎪⎩472λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩所以. 74,2λμ==21．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且ABC ∆BC P B C H BC 满足.已知，，设.CH AB ⊥90ACB ∠=︒1dm AB =ABC θ∠=（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值ABC PCB ∠=∠CA CP +θ时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何60PBA ∠=︒CH CP +θ值时，取得最大值，并求该最大值. CH CP +【答案】（1）（2）当， π6θ=π12θ=CH CP +【解析】（1）设，则在直角中，，，计算得到ABC PCB θ∠=∠=ABC ∆sin AC θ=cos BC θ=，计算最值得到答案.2sin sin 1AC CP θθ+=-++（2）计算，得到.sin cos CH θθ=⋅πsin 23CH CP θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【详解】（1）设，则在直角中，，. ABC PCB θ∠=∠=ABC ∆sin AC θ=cos BC θ=在直角中，，PBC ∆2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=.sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=，，22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以当，即，的最大值为.1sin 2θ=π6θ=AC CP +54（2）在直角中，由，ABC ∆1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅可得. sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅在直角中，，PBC ∆πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭所以，， 1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎭π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=-， 11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以当，. π12θ=CH CP +【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.22．对于函数，若存在定义域中的实数a ，b 满足b ＞a ＞0且，则()f x ()()2()02a bf a f b f +==≠称函数为“M 类”函数．()f x (1)试判断＝sin x ，x ∈R 是否是“M 类”函数，并说明理由；()f x (2)若函数，，n ∈N *为“M 类”函数，求n 的最小值． ()2log 1f x x =-()0,x n ∈【答案】(1)不是M 类函数，理由见解析 (2)7【分析】（1）由题意，假设为“M 类”函数，则存在b ＞a ＞0，使得b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ()f x ＝π+2k π，k ∈Z .后分两种情况求的值，即可导出矛盾； sin a （2）由题可得，由对数运算性质结合可得22211212l og l og l og a ba b +-=-=-4ab =，后由零点存在性定理可得b 范围，由此可得n 的最小值． 24()8b b b+=326480b b b ⇒---=【详解】（1）由题意，假设为M 类函数，则存在b ＞a ＞0，使得sin a ＝sin b ， ()f x 则b ＝a +2k π，k ∈Z 或者b +a ＝π+2k π，k ∈Z ， 根据题意，有． sin 2sin2a ba +=①当b ＝a +2k π，k ∈Z 时，有 ，k ∈Z ， ()2si n si n πa a k =+即sin a ＝±2sin a ，解得sin a ＝0，不成立；②当b +a ＝π+2k π，k ∈Z 时，有，k ∈Z ，22πsi n si n πa k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即sin a ＝±2，不成立， ∴函数不是M 类函数；()f x （2）由题意，则在单调递减，在单调递增． ()22log 121log 02x x f x x x ->⎧=⎨-<≤⎩，，()f x ()0,2()2,+∞又∵是M 类函数，∴存在0＜a ＜2＜b ，满足， ()f x 22211o 1o 12|log 1|2a bg a g b +-=-=-又由等式可得：，则ab ＝4，()2log 2ab =所以，214(2)2(4)0222a b a a a a+--=+-=>则，所以得， 21o 102a b g +->221o 12(log 1)2a bg b +-=-从而有，则有，即，222log 1log ()2a b b ++=2()24a b b +=24()8b b b +=所以b 4﹣8b 3+8b 2+16＝0，则.()()3226480b b b b ----=由b ＞2，则b 3﹣6b 2﹣4b ﹣8＝0， 令＝x 3﹣6x 2﹣4x ﹣8，()g x 注意到当2＜x ＜6时，＝，()g x ()26480x x x ---<且，且连续不断，()()63207130，g g =-<=>()g x 由零点存在性定理可得存在，使得，此时. ()6,7b ∈()0g b =()0,2a ∈∴n 的最小值为7．【点睛】关键点睛：本题涉及函数新定义，难度较大.（1）先假设满足题意，从而得到相应等量关系，后由等量关系得，从而发现矛盾； ()f x sin a （2）问将求的最小值，转化为求的范围，关键为得到关于的等式.n b b。

2020-2021学年高一数学下学期3月月考试题 (II)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.空间四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，那么这四点中( )A ．必有三点共线B ．必有三点不共线C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线2.已知两条直线a ，b ，两个平面α，β，则下列结论中正确的是（ ）A. 若a ⊂β，且α∥β，则a∥αB. 若b ⊂α，a∥b，则a∥αC. 若a∥β，α∥β，则a∥αD. 若b∥α，a∥b，则a∥α 3.下列说法中正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等4.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中, ,,,?E F G H 分别为1111,,,AA AB BB B C 的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于( ) A. 45 B. 60 C. 90 D.1205.如图所示，A 是平面BCD 外一点，E 、F 、G 分别是BD 、DC 、CA 的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB 、AC 、AD 、BC 、CD 、DB 中，与平面α平行的直线有( ) A ． 0条 B ． 1条 C ． 2条 D ． 3条6.半径为R 的半圆卷成一个圆锥,圆锥的体积为( ) A.333R π B. 336R π C. 3324R π D. 316R π 7.如图为某空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A. 1242+B. 1882+C. 28D. 2082+5题图 4题图8. 数列{}n a 中， 1231,4a a ==，且()11112*,2n n nn N n a a a -++=∈≥，则10a 等于（ ） A. 17 B. 27 C. 14D. 49.设正方体的表面积为24,那么其外接球的体积是( ) A. 43π B. 83π C. 43π D. 323π10.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长都相等,其外接球的表面积是,则其侧棱长为( )A. B. C. D.11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛12.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ) A.35003cm π B. 38663cm π C. 313723cm π D. 320483cm π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.下列说法中正确的是_______(填序号)．①若直线a 不在平面α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α； ③若直线l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两条直线可以相交．14．如图，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E 是SA 上一点，当SE∶SA＝________时，SC∥平面EBD ． 15.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形12题图 11题图和边长为a 的正三角形,则它们的表面积之比为__________. 16.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第5行（3n ≥）从左向右的第3个数为______． 第n 行（3n ≥）从左向右的第3个数为______． 三、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点．证明：直线平面.18.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长．19.以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱,以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的外接圆柱. (1).求正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比(2).若正三棱柱的高为6cm ,其内切圆柱的体积为324cm π,求该正三棱柱的底面边长.20.在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形，且AB ＝BC ＝2 3，∠ABC ＝120°，若异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°，求AA 1的长．21．等差数列{a n }的各项都是整数，首项a 1＝23，且前6项和是正数，而前7项之和为负数．(2)设S n 为其前n 项和，求使S n 最大的项数n 及相应的最大值S n .22.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n，数列{b n }满足：b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ； (3)若c n ＝a n ·b nn，求数列{c n }的前n 项和T n .1-5 BABBC 6-10 CDCCB 11答案：B 解析：由l =1284r π⨯=, 得圆锥地面的半径1616π3r =≈ 所以米堆的体积2111256320πr 543499V h =⨯=⨯⨯=所以堆放的米有3201.62229÷≈斛, 12答案：A解析：设球的半径为,R cm 由題意知,球被正方体上面截得圆的半径为4cm ,球心到截面圆的距离为(2),R cm -则222(2)4,R R =-+解得5,R =所以球的体积为3345005()33cm ππ⨯=,故选A 13. ③④_ 14.15. 答案：2:117.如图，取OD 的中点P ，连接MP 、CP 。

江苏高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.集合的子集共有个．2.若，则是第象限角．3.在半径为2的圆中，一扇形的弧所对的圆心角为60°，则该扇形的弧长等于．4.已知幂函数的图象过点（2，4），则= ．5.的值为．6.已知，则的值为．7.= ．8.如果函数的零点所在的区间是，则正整数．9.已知函数，若则．10.若函数是偶函数，则的递减区间是．11.已知，满足，则．12.已知函数的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则．13.直线与曲线相距最近的两个交点间距离为，则的最小正周期为．14.已知函数，对于上的任意有如下条件：①；②；③，其中能使恒成立的条件是（填写序号）二、解答题1.已知集合A＝，．（1）求,；B）．（2）求，A∩（∁R2.已知锐角与锐角的终边上分别有一点（3，4），（，）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的值．3.已知是偶函数，当时，．（1）求的解析式；（2）若不等式在时都成立，求的取值范围．4.已知函数的一段图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3）若，求函数的值域．5.某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆．本年度为节能减排，对产品进行升级换代．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销售量增加的比例为．（1）写出本年度预计的年利润（万元）与投入成本增加的比例的关系式；（2）当投入成本增加的比例为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？6.若函数在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称在I上是“弱增函数”.（1）请分别判断，在是否是“弱增函数”，并简要说明理由．（2）若函数在上是“弱增函数”，请求出θ及正数b应满足的条件．江苏高一高中数学月考试卷答案及解析一、填空题1.集合的子集共有个．【答案】8【解析】，含有3个元素，因此子集有个【考点】集合的子集2.若，则是第象限角．【答案】二【解析】，在一二象限，，在二四象限，所以在第二象限【考点】三角函数性质3.在半径为2的圆中，一扇形的弧所对的圆心角为60°，则该扇形的弧长等于．【答案】【解析】圆心角为60°即【考点】弧长公式4.已知幂函数的图象过点（2，4），则= ．【答案】3【解析】将点代入函数式得【考点】幂函数5.的值为．【答案】【解析】【考点】三角函数求值6.已知，则的值为．【答案】【解析】【考点】同角间三角函数关系7.= ．【答案】28【解析】【考点】对数运算8.如果函数的零点所在的区间是，则正整数．【答案】2【解析】由可知，所以零点在内，即【考点】函数零点存在性定理9.已知函数，若则．【答案】或【解析】由，由为或【考点】分段函数求值10.若函数是偶函数，则的递减区间是．【答案】【解析】由函数为偶函数可知函数为偶函数，对称轴为开口向上，减区间为【考点】函数单调性与奇偶性11.已知，满足，则．【答案】【解析】由可得【考点】函数求值12.已知函数的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则．【答案】【解析】由对数函数图像及性质可知，代入得【考点】对数函数性质及函数求值13.直线与曲线相距最近的两个交点间距离为，则的最小正周期为．【答案】【解析】由直线与曲线得【考点】三角函数图像及性质14.已知函数，对于上的任意有如下条件：①；②；③，其中能使恒成立的条件是（填写序号）【答案】②③【解析】是偶函数，∴图象关于y轴对称．在上是增函数．∴图象类似于开口向上的抛物线，∴若，则，∵成立，不一定成立，∴①是错误的．∵成立，一定成立，∴②是正确的．∵成立，一定成立，∴③是正确的．故答案为②③．【考点】函数导数与单调性的应用二、解答题1.已知集合A＝，．（1）求,；（2）求，A∩（∁B）．R【答案】（1）（2），【解析】（1）集合A为函数的定义域，集合B为函数的值域；（2）两集合的交集为两集合的相同的元素构成的集合，两集合的并集为两集合所有的元素构成的集合，集合B的补集为全集中除去集合B中的元素，剩余的元素构成的集合试题解析：（1）由x（x－1）> 0，解得，所以由，得.B＝，（2）因为∁RB）＝所以A∪B＝，A∩（∁R【考点】集合的交并补运算2.已知锐角与锐角的终边上分别有一点（3，4），（，）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）结合三角函数定义可求得的值；（Ⅱ）结合三角函数诱导公式可将转化为的三角函数值求解试题解析：（Ⅰ）锐角α终边上一点（3，4），所以r=5，sinα==．锐角β的终边上一点（，）．R==1．∴cosβ=；（Ⅱ）tan（α+3π）=tanα==，cos（β﹣）=sinβ=．【考点】1.三角函数定义；2.诱导公式3.已知是偶函数，当时，．（1）求的解析式；（2）若不等式在时都成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）由函数为偶函数得到，由得到，代入已知函数式可求得函数解析式；（2）采用分离参数法将变形为恒成立，从而得到的取值范围试题解析：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴f（x）=．（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．=﹣1，∴m≤﹣1．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min【考点】1.函数奇偶性单调性与最值；2.求函数解析式4.已知函数的一段图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3）若，求函数的值域．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由三角函数图像可求得函数的最值，周期，从而得到的值，通过代入点的坐标可得到值，从而求得函数解析式；（2）由增区间只需令，解不等式可得到函数单调区间；（3）由得到的范围，借助于函数单调性可求得函数值域试题解析：（1）由题意知：A=2，T=，∴ω=2函数f（x）的解析式：（2）由得减区间为（3）∵x∈[﹣，]，∴，∴．∴函数的值域为【考点】1.三角函数图像与解析式；2.三角函数单调性与最值5.某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆．本年度为节能减排，对产品进行升级换代．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销售量增加的比例为．（1）写出本年度预计的年利润（万元）与投入成本增加的比例的关系式；（2）当投入成本增加的比例为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？【答案】（1）；（2）时，本年度比上年度利润增加最多，最多为2.25亿元【解析】（1）由题意可知，本年度每辆车的利润为10（1+0.75x）-8（1+x），本年度的销售量是12（1+0.5x），由此能求出年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）设本年度比上年度利润增加为f（x），则，因为，在区间上f（x）为增函数，由此能求出当投入成本增加的比例x为何值时，本年度比上年度利润增加最多，交能求出最多为多少试题解析：（1）由题意可知，本年度每辆车的利润为10（1+0.75x）﹣8（1+x）本年度的销售量是12（1+0.5x）×104，故年利润y=12（1+0.5x）[10（1+0.75x）﹣8（1+x）]×104=[（﹣3x2+6x+24）×104，x∈．（2）设本年度比上年度利润增加为f（x），则f（x）=[（﹣3x2+6x+24）﹣24]×104=[﹣3（x﹣1）2+3]×104，因为，在区间上f（x）为增函数，所以当时，函数y=f（x）有最大值为×104．故当时，本年度比上年度利润增加最多，最多为2.25亿元．【考点】函数模型的选择与应用6.若函数在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称在I上是“弱增函数”.（1）请分别判断，在是否是“弱增函数”，并简要说明理由．（2）若函数在上是“弱增函数”，请求出θ及正数b应满足的条件．【答案】（1）是“弱增函数”，不是“弱增函数”；（2）【解析】（1）依据“弱增函数”的定义逐个判断即可；（2）由于在上是“弱增函数”，所以在上单调递增，在上单调递减，由此可求出及正数满足的条件试题解析：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=在（1，2）上是减函数，所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”；g（x）=x2+4x+2在（1，2）上是增函数，但+在（1，2）上不单调，所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．（2）因为在上是“弱增函数”所以在上是增函数，且=在（0，1]上是减函数，由在（0，1]上是增函数，得恒成立，得sinθ，解得θ∈[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．由F（x）=在（0，1]上是减函数，利用单调减函数定义得，在（0，1]上恒成立，所以b≥1．综上所述，b≥1且时，h（x）在（0，1]上是“弱增函数”．【考点】新定义的形式考查函数的单调性。

江苏省苏州市昆山、太仓、苏州园三2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2021年江苏省实行“3+1+2”新高考模式，学生选科时语文､数学､英语三科必选，物理､历史两科中选择1科，政治､地理､化学､生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种2．在73ax⎛- ⎝的展开式中，若常数项为21，则a =（ ）A ．12B ．2C ．3D ．43．已知函数()()()()123f x x x x =---，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为（ ） A ．2y x =+B ．2y x =-+C ．2y x =-D ．2y x =--4．已知函数()3222f x x mx m x =-+在x =1处取得极大值，则m 的值为（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．2或2-5．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P 点处进，Q 点处出，沿图中线路游览A ､B ､C 三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O 外）的不同游览线路有（ ）A ．6种B ．8种C ．12种D ．48种6．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列排序正确是（ ）A ．()()()()11f a f a f a f a ''+-+＜＜B ．()()()()11f a f a f a f a ''++-＜＜C ．()()()()11f a f a f a f a ''++-＜＜D ．()()()()11f a f a f a f a ''+-+＜＜7．()532x y z ++展开式中3xy z 项的系数为（ ） A ．120B ．240C ．360D ．4808．已知函数()xf x ae x a -=--在[]0,1x ∈上有两个零点，则a 的取值范是（ ）A ．,11e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B ．,11e e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．,11e e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e -二、多选题9．直线y =2x +m 能作为下列函数图象的切线的有（ ） A ．()1f x x=B ．()4f x x =C ．()sin f x x =D ．()xf x e =10．对于,,,m n m n N ≤∈关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）A ．m n mn n C C -=B ．11m m mn n n C C C -+=+C ．()111m m n n A m A ++=+D ．()()1111mm n n n C m C +++=+11．一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（ ） A ．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X 服从二项分布 B ．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y 服从超几何分布C ．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为114D ．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为54212．已知函数()(),0,,2y f x x f x π⎛⎫'=∈ ⎪⎝⎭是其导函数，恒有()()sin cos f x f x x x'>，则（ ）A ．34f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．426f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2cos116f f π⎛⎫<⋅⎪⎝⎭D ．()cos 13f f π⎛⎫>21⋅⎪⎝⎭三、填空题13．已知曲线x m y e n +=+的切线为1y x =-，则一组满足条件的m ，n 的取值为___________.14．用X ，Y ，Z 三个不同的元件连接成如图系统，毎个元件是否正常工作相互独立，己知X ，Y ，Z 正常工作的概率均为13，则系统正常工作的概率为___________.15．若1010(1)(1)i i i x a x =+=-∑，则9a =___________.16．正方体六个上分别标有A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有___________种.(用数字作答)四、解答题17．一个实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的5只白鼠，若从中任取2只，记取到的2只白鼠中标号较大的为X ，求随机变量X 的分布列.18．将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中， （1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法;（2）若每个盒子放一球，求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数； （3）求恰有一个空盒子的放法种数． 19．已知()()11121.r r nn n n n f n a a C a C a C n N -*+=++++∈（1）若1n a n =-，求()f n ；（2）若13-=n n a ，求()20f 除以5的余数 20．已知函数()cos sin .f x x x x =-（1）当[]0,2x π∈，求()f x 的最大值与最小值； （2）对于()12,0,x x π∀∈，若12x x <，证明：1122sin sin x x x x <. 21．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为14.现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测. （1）方案一：4例逐个化验，设检测结果呈阳性的人数为X ，求X 的概率分布列； （2）方案二：4例平均分成两组化验，设需要检测的次数为Y ，求Y 的概率分布列. 22．函数()ln 2.f x x mx =-+ （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若()()()21xf x x e m ≤-+-在(]0,2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【分析】先求得物理､历史两科中选择1科的选法，再求得政治､地理､化学､生物四科中选择2科的选法，根据乘法计数原理，即可求得答案. 【详解】由题意得：物理､历史两科中选择1科，有122C =种选法， 政治､地理､化学､生物四科中选择2科，有246C =种选法， 所以学生不同的选科方案共有2612⨯=种. 故选：B 2．C 【分析】求得73ax⎛⎝的展开式的通项公式，令72102k -=，求得k 值，即可求得常数项，结合题意，即可求得答案. 【详解】73ax⎛ ⎝的展开式的通项公式为7213772177()(1)kkk k k k k k T C ax C a x ---+⎛==- ⎝，令72102k-=，解得k =6， 所以6167(1)21C a -=，解得3a =.故选：C 3．B 【分析】求得函数()f x 的导数，得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()()()()()()123213f x x x x x x x =---=---⎡⎤⎣⎦， 可得()()()()()()132[12]f x x x x x x ''=--+---，所以曲线()y f x =在点(2,0)处切线的斜率为()21k f '==-, 所以切线方程为0(2)y x -=--，即2y x =-+. 故选：B. 4．B 【分析】求导，令()01f '=，即可得求导m 值，分别代入导函数检验，当1m =时，在x =1处取得极小值，故舍去，当3m =时，在1x =处取得极大值，即可得答案. 【详解】由题意得：22()34f x x mx m '=-+，因为在x =1处取得极大值， 所以2(1)340f m m '=-+=，解得1m =或3m =，当1m =时，2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，解得13x =或1x =， 当1,,(1,)3x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 所以在1x =处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当3m =时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'， 令()0f x '=，解得1x =或3x =，当(),1,(3,)x ∈-∞+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数， 所以在1x =处取得极大值，故3m =满足题意 综上3m =. 故选：B 【点睛】易错点为，通过()01f '=，解得1m =或3m =，需代回导函数检验，x =1处为极大值点还是极小值点，方可得答案. 5．D 【分析】由环形线路知，每个景点都有两种进出方式，以分步计数方法即可求出不同游览的线路总数. 【详解】游览每一个景点所走环形路线都有2个出入口，1、3个景点选一个先游览有13C 种选法，2种进出方式，故有132C 种； 2、2个景点选第二个游览有12C 种选法，有2种进出方式，故有122C 种； 3、最后一个景点有2种进出方式； ∴综上，一共有1132848C C =种. 故选：D 【点睛】本题考查了分步计数原理，利用分步乘法求总计数，属于基础题. 6．C 【分析】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断. 【详解】因为'()f a 、'(1)f a +分别是函数()f x 在x a =、1x a =+处的切线斜率， 由图可知'(1)'()0f a f a +<<， 又0(1)()(1)()'()(1)f a f a f a f a f x a a+-+-==+-，0(,1)x a a ∈+，所以()()()()11f a f a f a f a ''++-＜＜， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关导数的几何意义的问题，正确解题的关键是理解函数的变化率和导数的几何意义. 7．D 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为()()5532[32]x y z x y z ++=++，所以通项公式为：515(32)r r rr T C x y z -+=⋅+⋅，令1r =，所以1425(32)T C x y z =⋅+⋅，设二项式4(32)x y +的通项公式为：'''''441(3)(2)rr r r T C x y -+=⋅⋅， 令'3r =，所以'33344(3)(2)96T C x y xy =⋅⋅=，因此3xy z 项的系数为：1596596480C ⨯=⨯=， 故选：D 8．C 【分析】根据解析式可得(0)0f =，原题转化为求()xf x ae x a -=--在(0,1]x ∈上有一个零点，当0a ≥时，求导可得()f x 的单调性，分析不符合题意；当0a <时，令()0f x '=，解得ln()x a =-，分别讨论ln()0a 、ln()1a -≥和0ln()1a <-<三种情况下()f x 的单调性，结合题意，即可求得a 的范围. 【详解】由题意得：0(0)00f ae a =--=，1(1)1f ae a -=--， 所以原题转化为求()xf x aex a -=--在(0,1]x ∈上有一个零点，()1x f x ae -'=--，当0a ≥时，()0f x '<，则()f x 在(0,1]上单调递减，且(0)0f =，不符合题意， 当0a <时，令()0f x '=，解得ln()x a =-，当ln()0a ，即1a ≥-时，()0f x '≤，此时()f x 在(0,1]上单调递减，且(0)0f =，不符合题意，当ln()1a -≥，即a e ≤-时，()0f x '≥，此时()f x 在(0,1]上单调递增，且(0)0f =，不符合题意，当0ln()1a <-<，即1e a -<<-时，()f x 在0,ln()a 上单调递增，在(]ln(),1a -上单调递减，当(1)0f ≤时，()f x 在(0,1]上有一个零点， 所以1(1)10f ae a -=--≤，解得1ea e ≥-，所以11e a e≤<--. 综上：a 的取值范是,11e e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭故选：C 【点睛】解题的关键是当0a <时，进行分段讨论，结合函数的单调性及零点的定义，分析求解，考查分析理解，分段讨论的思想，属中档题. 9．BD 【分析】分别求得各个函数的导数，若()2f x '=有解，则直线y =2x +m 能作为该函数图象的切线，若()2f x '=无解，则不满足题意，即可得答案. 【详解】对于A ：21()0f x x'=-<，故无论x 取何值，()'f x 不可能等于2，故A 错误；对于B ：3()4f x x ，令3()42f x x '==，解得x =y =2x +m 能作为该函数图象的切线；对于C ：()cos [1,1]f x x '=∈-，故无论x 取何值，()'f x 不可能等于2，故C 错误；对于D ：()xf x e '=，令2x e =，解得ln 2x =，所以直线y =2x +m 能作为该函数图象的切线； 故选：BD 10．ABD 【分析】利用排列数与组合数的公式及性质，依次分析选项是否正确，即可求解. 【详解】由题意，利用组合数的运算公式和性质，可得m n m n n C C -=，11m m mn n n C C C -+=+，所以A 、B 正确；因为11(1)(1)(1)m n A n n n n m ++=+--+，()1(1)(1)(1)mn m A m n n n m +=+--+，所以C 不正确； 由()!(1)!1(1)!()!!()!mn n n n C n m n m m n m ++=+⋅=⨯-⨯-，()11(1)!(1)!1(1)(1)!()!!()!m n n n m C m m n m m n m +++++=+⋅=-⨯-⋅-，所以D 正确.故选：ABD. 11．ABD 【分析】直接利用二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数的应用直接判断. 【详解】对A ，取出白球和取出黑球的概率分别为410和610，符合二项分布，故A 正确； 对B ，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数的分布列446410()k k C C P Y k C -==，符合超几何分布，故B 正确；对C ，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为22464103(2)7C C P Y C ===，故C 错误； 对D ，取出的白球为3和4，故()()3140464644101053442C C C C P P Y P Y C C ==+==+=，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解二项分布和超几何分布的概念. 12．AD 【分析】根据x 的范围，可得sin 0,cos 0x x >>，将题干条件整理为()cos ()sin f x x f x x '>，构造函数()()cos g x f x x =，求导可得()g x 的单调性，根据自变量的大小，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0x x >>， 又()()sin cos f x f x x x'>，所以()cos ()sin f x x f x x '>. 构造函数()()cos g x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=->，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，因为34ππ>，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为46ππ>，所以46g g ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 4466f f ππππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即426f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 因为16π<，所以()16g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以cos (1)cos166f f ππ⎛⎫<⎪⎝⎭，即(1)cos16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 错误；因为13π>，所以()13g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以cos (1)cos133f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，即2(1)cos13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 正确， 故选：AD 【点睛】解题的关键是根据题干条件，合理的构造函数，利用导数，结合条件，得到()g x 的单调性，再求解，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题. 13．0,2m n ==-(满足2m n +=-即可) 【分析】求出导数，设出切点()00,x y ，可得01x m e +=，0001x my x e n +=-=+，即可得出2m n +=-.【详解】x m y e n +=+的导数x m y e +'=，设切点为()00,x y ，可得切线的斜率为0x m e +， 则01x m e +=，0001x my x en +=-=+，化简可得02x m n =-=+，则可得2m n +=-，可取0,2m n ==-.故答案为：0,2m n ==-（满足2m n +=-即可）. 14．527【分析】系统正常工作的情况是X 正常工作，同时,Y Z 中至少一个能正常工作，由此利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式能求出系统正常工作的概率. 【详解】系统正常工作的情况是X 正常工作，同时,Y Z 中至少一个能正常工作，因为X ，Y ，Z 正常工作的概率均为13， 所以系统正常工作的概率为：2115[1(1)]3327P =--=，故答案为：527. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关概率的求法，正确解题的关键是用好相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式等基础知识. 15．20- 【分析】求得[]1010(1)(1)2x x +=-+展开式的通项公式，令k =1，可得99220(1)20(1)T x x =-=--，由题意得，9a 即为9(1)x -的系数，即可得答案.【详解】[]1010(1)(1)2x x +=-+展开式的通项公式为：10110(1)2k k kk T C x -+=-， 令k =1，得19992102(1)20(1)20(1)T C x x x =⨯⨯-=-=--，又129101291010(1)(1)(1)(1)(1)ii i a x x a x x a a a x =---=++⋅⋅+-⋅+-∑，则9a 即为9(1)x -的系数，即为-20. 故答案为：-20. 16．780 【分析】分类用3种颜色、用4种颜色和用5种颜色，分别求解涂色种数即可得出结果. 【详解】涂法可分三类，用3种颜色、用4种颜色和用5种颜色，用3种颜色时，有335360C A =种，用4种颜色时，有424534360C C A =种， 用5种颜色时，有1535360C A =种，则不同的染色方案有60360360780++=种. 故答案为：780. 【点睛】关键点睛：本题考查排列组合和计数原理，解题的关键是做到不重不漏. 17．答案见解析 【分析】X 可能取值为2,3,4,5，根据古典概型计算公式求出每种可能取值的概率，最后写出分布列即可. 【详解】X 可能取值为2,3,4,5，则()()25512211212,310105C P X P X C C =======，()()145213253424,510105C C P X P X C C =======，所以随机变量X 的分布列为：18．（1）24；（2）8；（3）144； 【详解】试题分析：（1）直接利用排列数公式即可；（2）先从四个球中选出一个与盒子号码相同，再把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中；（3）先从四个盒子中选出一个空盒子，再把球分成2、1、1三组放入三个盒子中，属于不平均分组问题．试题解析：（1）4424A =种；（2）先从四个球中选出一个与盒子号码相同由14C 种方法，再把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中有2种方法，所以有1428C ⋅=种；（3）先从四个盒子中选出一个空盒子有14C种方法，再把球分成2、1、1三组放入三个盒子中有2134232C C A ⋅种，所以有211342431442C C C A ⋅⋅=种考点：1．排列的定义；2．特殊元素优先排；3．不平均分组的排列组合； 19．（1）()12n f n n -=⋅；（2）余数为1.【分析】（1）根据倒序相加法，结合二项式系数和公式进行求解即可； （2）根据二项式定理进行求解即可. 【详解】（1）因为()01230123.nn n n nn f n C C C C nC =+⋅++⋅+所以()()()12101210nn n n nn n n f n nC n C n C C C --=+-+-++⋅+⋅()()01201222n nn n n n n n n n n f n nC nC nC nC n C C C C n =++++=++++=⋅，()12n f n n -∴=⋅（2）因为()011223333(13)4n nn n n n n n f n C C C C =++++=+=.()()202002011921818219120020202020202020451555555f C C C C C C ==-=-+-+-+除以5余数为1，所以()20f 除以5的余数为1. 20．（1）最大值为2π，最小值为0；（2）证明见解析. 【分析】（1）求得函数的导数()[]sin ,0,2f x x x x π=-∈'，得出函数的单调区间和极值，即可求解； （2）设函数()sin xg x x =，求得()()2f x g x x'=，根据（1）知，()g x 在()0,π递减，得到()()12g x g x >，即可求解.【详解】（1）由题意，()cos sin f x x x x =-，可得()[]cos sin cos sin ,0,2f x x x x x x x x π=--=-∈' 可得：所以当x π=时，函数取得最小值()min ()f x f ππ==-；当2x π=时，函数取得最大值()max 2f x π=. 所以()f x 的最大值为2π，最小值为0.（2）设函数()sin x g x x =，可得()()22cos sin f x x x x g x x x'-==， 由（1）知，()f x 在()0,π递减，又由()0f 0=，所以()0f x <在()0,π恒成立， 所以()0g x '<在()0,π恒成立，所以()g x 在()0,π递减， 因为120x x π<<<，所以()()12g x g x >， 即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <. 【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式()()()()()f x g x f x g x ><转化为证明()()0f xg x ->()()(0)f x g x -<，进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 21．（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）方案一：4例逐个化验，检测结果呈阳性的人数14,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别求得各个频率，即可得答案.（2）方案二：4人平均分成两组，若呈阴性，则检验次数为1，其概率为916，若呈阳性，则检验次数为3，概率为9711616-=，则Y 可取2,4,6，分别求得各个概率，即可得答案. 【详解】（1）方案一:4例逐个化验，检测结果呈阳性的人数14,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()()0430144138113270,1442564464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()223234413271332,3441284464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4044131444256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以X 的分布列为（2）方案二：4例平均分成两组化验，每一组两个样本检测，若呈阴性，则检验次数为1，概率为239416⎛⎫=⎪⎝⎭ 若呈阳性，则检验次数为3，概率为9711616-= ()()()2298197637492,42,616256161612816256P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以Y 的分布列为22．（1）答案见解析；（2）11ln2,2∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）求导，分别讨论0m ≤和0m >两种情况()f x '的正负，即可求得()y f x =的单调区间.（2）所求转化为求()242ln xm x e x x -≥-+-在(]0,2x ∈恒成立问题，设()()2ln x g x x e x x =-+-，利用导数判断其单调性，并求得()g x 的最大值，可得关于m的不等式，即可得答案. 【详解】 （1）()11,(0).mxf x m x x x-'=-=> 当0m ≤时，()0f x '>，所以()y f x =在()0,∞+为增函数，当0m >时，令()0f x '=，解得1x m=； 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()y f x =为增函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<， ()y f x =为减函数， 综上：当0m ≤时，()y f x =的单调增区间为()0,∞+， 当0m >时，()y f x =的单调增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()()()21xf x x e m ≤-+-在(]0,2x ∈恒成立，所以()242ln xm x e x x -≥-+-在(]0,2x ∈恒成立，设()()2ln xg x x e x x =-+-，则()()()11111x x g x x e x e x x ⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝⎭. 设()()211,0xx h x e h x e x x'=-=+> 所以()h x 在(]0,2单调递增，又()120,1102h h e ⎛⎫=<=->⎪⎝⎭， 因此存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x =， 所以当()00,x x ∈时，()0h x <， 当()0,1x x ∈时，()0.h x >当()00,x x ∈时，()0g x '>，当()0,1x x ∈时，()0.g x '< 所以函数()g x 在()00,x 递增，在()0,1x 递减，在(]1,2递增 因此()(){}m x 0a ()max ,2x g x g g =，由()00010xh x e x =-=得001xe x =，则00ln x x =-. 所以()()()0000000000112ln 2212xx x x g e x x x x x x ⎛⎫=-+----=-+ ⎪⎝⎭，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0012x x +>，所以()03g x <-，因为()2ln222g =->-，所以当(]0,2x ∈时，()max ()2ln22g x g ==-， 所以24ln22m -≥-，解得11ln 22m ≥+ 所以m 的取值范围是11ln2,2∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数判断函数单调性，求极（最）值的方法，并灵活应用，在得到()g x '解析式，并且不能直接判断其正负时，可令()()h x g x '=，再次求导，根据()h x 的单调性，求得()h x 的值域，进而可得()g x '的正负，即可得()g x 的单调性，属中档题.。

2020年江苏省苏州市昆山开发区高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数若是奇函数，则的（）A. B. C.D. 4参考答案：A略2. 已知数列﹛﹜为等比数列，且，则的值为（）A．B． C．D．参考答案：C3. 下列命题中，真例题的是A、，＜0B、，C、“a＋b＝0”的充要条件是“＝－1”D、“a＞1，b＞1”是“ab＞1“的充分条件参考答案：D4. 已知集合，，则（）A．? B．[0,1)∪(3,+∞) C．A D．B参考答案：C5. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为A. 25 B．24 C. 23 D．22参考答案：C略6. 函数f（x）=lnx+x2﹣10的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：C【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据连续函数f（x）=lnx+x2﹣10，满足f（2）=ln2﹣6＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，可得函数f（x）=lnx+x2﹣10的零点所在的区间．【解答】解：∵连续函数f（x）=lnx+x2﹣10，f（2）=ln2﹣6＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，∴函数f（x）=lnx+x2﹣10的零点所在的区间是（2，3）．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．7. 已知方程ln|x|﹣ax2+=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A. (0，)B. (0，]C.(0，)D. (0，]参考答案：A8. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，.若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D试题分析：如图，作出函数的图象和直线，直线过定点，由题意，解得．故选D．考点：函数与方程．【名师点睛】本题考查函数与方程思想，考查方程解的个数问题，解决这类问题大多数是把它转化为函数图象交点个数问题，利用数形结合思想求解，本题中，作出函数与直线，特别是直线过定点，由此易知它们要有三个交点，直线的位置变化规律，易得出结论．9. 映射如果满足集合中的任意一个元素在中都有原像，则称为满射，已知集合中有5个元素，集合中有3个元素，那么集合到的不同满射的个数为（）A．243 B．240 C．150 D．72参考答案：C10. 在等差数列{a n}中，S n为前n项和，，则（）A.55B. 11C.50D. 60参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 的展开式中项的系数为．参考答案：－2835二项式展开式的通项为，令，得．故展开式中项的系数为．12. 若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，4]【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；函数思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由已知可得a≤x+2lnx+，x＞0，令y=x+2lnx+，利用导数求出x=1时，y取最小值4，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：∵2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤x+2lnx+，x＞0，令y=x+2lnx+，则y′=1+﹣=，由y′=0，得x1=﹣3，x2=1，当x∈（0，1）时，y′＜0，函数y=x+2lnx+为减函数；当x∈（1，+∞）时，y′＞0，函数y=x+2lnx+为增函数．∴x=1时，y min=1+0+3=4．∴a≤4．∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．故答案为：（﹣∞，4]．【点评】本题考查恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法，是中档题．13. 设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣4=0与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相切，则m+n的取值范围是．参考答案：x≥2+2或x≤2﹣2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣4=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==2，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x（x＞0），则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为x≥2+2或x≤2﹣2，故答案为x≥2+2或x≤2﹣2．14. 若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为．参考答案：4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】根据：“左加右减”法则和条件，列出方程，进而由k的取值范围求出|ω|的最小值．【解答】解：由题意得到，，（k∈Z）所以ω=8﹣12k，k∈Z，则k=1时，|ω|min=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换法原则：“左加右减，上加下减”，注意左右平移时必须在x的基础进行加减，这是易错的地方．15. 已知定义在R上的可导函数的图明在点处的切线方程为_____________.参考答案：1略16. （13）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，，面积，则b等于．参考答案：517. （6分）（2015?浙江模拟）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为，单调增区间为，= ．参考答案：2π,[2kπ﹣，2kπ+],.【考点】：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论．解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），则函数的周期T==2π，由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，f（）=sin（+）=sin==，故答案为：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省吴江市高级中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量()1,2a =，()3,0b =，若()a b a λ-⊥，则实数λ=（ ） A ．0B ．35C ．1D ．32．在ABC ∆中，若sin cos()1sin()cos 22A B A B ππ-=--，则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．函数y ＝221tan 21tan 2xx-+的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π4．已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ=（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．65．若角6πα+的终边经过点()3,4-，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．425B ．1526- C ．725-D ．2-6．已知单位向量1e ，2e 满足112e e e =-，则()12e e -与2e 的夹角是（ ） A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°7．圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l ，那么表高为（ ）A ．(tan tan )tan tan αβαβ-lB ．tan tan tan tan l αβαβ-C ．(tan tan )tan tan l βαβα-D ．tan tan tan tan l βαβα-8．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足21AM AN +=，设AC xAM yAN =+，则23x y +的最小值为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．51二、多选题9．下列化简正确的是（ ）A ．tan 25tan3525tan35︒+︒⋅︒=B ．221cos sin 882ππ-=C ．12sin10=︒ D ．2tan 22.51tan 45tan 22.52︒=︒-︒10．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λa bB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 11．下列各式与tanα相等的是（ ）A B ．212sin cos αα+C ．12sin cos αα-D ．122cos sin αα-12．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 为单位向量 B ． a b ⊥ C ． //b BCD ．()4a b BC +⊥三、填空题13．若tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= ________．14．已知函数()()()())2sin cos 0f x x x x ϕϕϕϕ=++++>的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为___________. 15．如图，在ABC 中，12AD AB =，13AE AC =，CD 与BE 交于点P ，2AB =，4AC =，2AP BC ⋅=，则AB AC ⋅的值为______.四、双空题16．已知|a |＝2|b |＝2，e 是与b 方向相同的单位向量，且向量a 在向量b 方向上的投影向量为e -.（1）a 与b 的夹角θ＝________；（2）若向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直，则λ＝________.五、解答题17．已知(1,0)OA =，(0,1)OB =，(,)OM t t =(t ∈R )，O 是坐标原点． （1）若点A ，B ，M 三点共线，求t 的值；（2）当t 取何值时，·MA MB 取到最小值？并求出最小值．18．①,αβ都是锐角，且sin αβ==②,αβ都是钝角，且1tan 4α=-，cos β=③α是锐角，β是钝角，且53tan 2,tan 122αβ==-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． 已知________________________，求αβ+的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．已知向量1,22a ⎛=- ⎝⎭，()2cos ,2sin b θθ=，0πθ<<．（1）若//a b ，求cos θ的值；（2）若a b b +=，求πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．20．已知函数21()cos ,()1sin 22f x xg x x ==+.（1）若点(),A y α (0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)为函数()f x 与()g x 的图象的公共点，试求实数α的值；（2）设0x x =是函数()y f x =的图象的一条对称轴，求0(2)g x 的值；（3）求函数()()(),0,4h x f x g x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域.21．如图，现有一块半径为2m ，圆心角为3π的扇形木板，按如下方式切割一平行四边形：在弧AB 上任取一点P (异于A ､B )，过点P 分别作PC ､PD 平行于OB ､OA ，交OA ､OB 分别于C ､D 两点，记AOP α∠=.（1）当点P 位于何处时，使得平行四边形OCPD 的周长最大？求出最大值； （2）试问平行四边形OCPD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由.22．已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()1f x a b m a b =⋅-++，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，m R ∈. （1）当0m =时，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()f x 的最小值为1-，求实数m 的值； （3）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案1．B 【分析】根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得λ的值. 【详解】因为向量()1,2a =，()3,0b =，且()a b a λ-⊥，所以()0a b a λ-⋅=，即20a a b λ-⋅=，所以有530λ-=，解得35λ=，故选：B. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下： （1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式； （2）根据向量数量积运算法则进行化简； （3）利用向量数量积坐标公式求得结果. 2．D 【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得； 【详解】解：因为sin cos()1sin()cos 22A B A B ππ-=--所以sin sin 1cos cos A B A B =- 所以cos cos sin sin 1A B A B += 所以()cos 1A B -=因为(),0,A B π∈，所以0A B -=，即A B = 所以三角形为等腰三角形； 故选：D 3．B 【分析】首先将正切化简为正弦和余弦，再利用二倍角公式进一步化简，求函数的周期.【详解】y ＝221tan 21tan 2x x-+＝2222sin 21cos 2sin 1cos 22x x x x -+＝cos 22x －sin 22x ＝cos 4x ，所以最小正周期242T ππ==. 故选：B 4．B 【分析】首先利用正弦两角和差公式得到8sin cos 152cos sin 15αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再相除即可得到答案.【详解】()()2sin sin cos cos sin 32sin sin cos cos sin 5αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩， 解得8sin cos 152cos sin 15αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以sin cos tan 4cos sin tan αβααββ==.故选：B 5．C 【分析】法一：根据三角函数定义可得4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭用倍角公式表示为sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，代值计算化简；法二：根据三角函数定义可得4tan 63πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，将cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭用倍角公式表示为tan 6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+的表达式，代值计算化简；【详解】解:法一：因为角6πα+的终边经过点()3,4-，所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2327cos 212sin 1362525ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.法二：因为角6πα+的终边经过点()3,4-，所以4tan 63πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2cos 2cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222216cos sin 1tan 176669sin 166251sin cos tan 19666πππαααπαπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+====- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】应用三角公式化简求值的策略（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. （3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. 6．C 【分析】根据1121e e e =-=，求得1212e e ⋅=，进而求得()122e e e -⋅，由平面向量的夹角公式求解. 【详解】因为单位向量1e ，2e 满足112e e e =-， 所以()12112222221e e e e e e --⋅=+=，解得1212e e ⋅=， 所以()122122212e e e e e e =-=--⋅⋅，()()1221221221co 2,s e e ee e e e e e -=---=⋅⋅，因为()[]122,0,e e e π-∈， 所以)122,120e e e -=， 故选：C 7．D 【分析】由题意作图，在ACD △中，然后根据正弦定理表示出AC ，然后在直角三角形中，利用正弦值表示出表高AB ，上下同时除以cos cos αβ即可. 【详解】如图，在ACD △中，CAD βα∠=-，所以由正弦定理得，()sin sin AC CDαβα=-， 可得sin sin l ACαβα，在Rt ABC 中，sin sin tan tan sin sin tan tan l l AB AC βααβββαβα.故选：D8．B 【分析】建立平面直角坐标系，假设点,M N 坐标，然后得到,x y ，然后代入23x y +并结合基本不等式进行计算即可. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()4,3C ，()0,3D ， 设(),0M m ，()0,N n ，因为21AM AN +=， 所以21m n +=，102m <<，01n <<.因为AC xAM yAN =+，所以4x m =，3y n=， 所以()898981823225252449n mx y m n m n m n m n⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭. 当且仅当818n m m n=，即27m =，37n =时取等号.故选: B . 9．AD 【分析】根据三角和差公式与二倍角公式判断即可. 【详解】A 选项：由()tan 25tan 35tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒+︒==-︒⋅︒tan 25tan3525tan35︒+︒⋅︒=A 正确；B选项：22cos sin cos 2888πππ-=⨯=B 错； C选项：()2sin 3010141sin10sin 202︒-︒===︒︒，C 错； D 选项：因为22tan 22.5tan 222.511tan 22.5︒=⨯=-︒，所以2tan 22.51tan 45tan 22.52︒=︒-︒成立，D 正确 故选：AD 10．AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A ： 由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则 ()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直，故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD 【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π. 11．BD 【分析】利用三角函数恒等变换的应用逐项化简即可得解. 【详解】对于A =对于B ，222122sin sin cos sin cos cos cos ααααααα===+tanα，对于C ，()2211222112sin sin sin cos sin sin sin ααααααα===-----， 对于D ，()21121222sin cos sin sin sin cos cos ααααααα---===tanα. 故选：BD. 【点睛】三角函数恒等变形的方向：（1）从“角”分析解题思路；（2）从“函数名称”分析解题思路；（3）从“式子结构”分析解题思路. 12．ACD 【分析】利用向量的线性运算并结合ABC 的三边分别计算即可. 【详解】ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则12a AB =，2AB =，所以1a =，即a 是单位向量，A 正确；由2AB a =，2AC a b =+得，，2b AC a AC AB BC =-=-=，故a ，b 夹角为120︒，故B 错误；因为2AC AB BC a b =+=+，所以BC b =，C 正确；()244412cos1204440a b BC a b b +⋅=⋅+=⨯⨯⨯︒+=-+=，故D 正确． 故选ACD ． 13．1 【分析】把求值式转化为关于sin ,cos αα的二次齐次分式．然后转化为tan α，代入求值． 【详解】 ∵tan 4α=，∴222222cos 4sin cos 14tan 144cos 2sin 21sin cos tan 141ααααααααα+++⨯+====+++． 故答案为：1． 【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数关系．在已知tan α求值时，对关于sin ,cos αα的齐次式，一般转化为关于tan α的式子．再代入tan α值计算．如一次齐次式：sin cos sin cos a b c d αααα++，二次齐次式：2222sin sin cos cos sin sin cos cos a b c d e f αααααααα++++， 另外二次式22sin sin cos cos m n p αααα++也可化为二次齐次式．14．3π【分析】利用恒等变换公式化简()f x ，利用函数的奇偶性可得ϕ，进一步可求出其最小值.【详解】()()()()2sin cos f x x x x ϕϕϕ++++1sin(22)2x ϕ+1sin(22)2)2x x ϕϕ=++ sin(22)3x πϕ=++,因为函数()f x 的图象关于原点对称，所以23k πϕπ+=，k Z ∈，即126k πϕπ=-，k Z ∈， 因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为3π. 故答案为：3π 【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性求出ϕ是解题关键. 15．2 【分析】利用C 、P 、D 三点共线以及B 、P 、E 三点共线，可以推出2155AP AB AC =+，再根据2AP BC ⋅=结合向量的运算法则求解即可.【详解】令BP mBE =，CP nCD =，13=-+BE AB AC ，12=-+CD AC AB ，13⎛⎫=+=+=+-+ ⎪⎝⎭AP AB BP AB mBE AB m AB AC ，()13mm AB AC =-+，12⎛⎫=+=+=+-+ ⎪⎝⎭AP AC CP AC nCD AC n AC AB ，()12nAB n AC =+-， 所以1213n m m n⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3545m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2155AP AB AC =+， 因为()AP BC AP AC AB ⋅=⋅-，()21255AB AC AC AB ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭，即221122555AC AB AC AB +⋅-=， 又因为2AB =，4AC =， 所以2AB AC ⋅=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查平面向量基本定理及平面向量的数量积，还考查了运算求解的能力，属于难题. 16．23π47. 【分析】（1）利用投影向量的定义可求夹角的余弦值，从而可求夹角的大小. （2）利用两个向量的数量积为0可得关于λ的方程，其解即为所求的λ的值. 【详解】（1）由题意知2,1a b ==.又a 在b 方向上的投影向量为cos a e e b θ⎛⎫⎪⋅=- ⎪⎝⎭， 所以cos 1a bθ=-，故1cos 2θ=-，而[]0,θπ∈，故23πθ=.（2）因为a b λ+与3a b -互相垂直,所以()()30a b a b λ+⋅-=即()221330a a b b λλ+-⋅-=， 整理得到()41330λλ---=，故47λ=. 【点睛】结论点睛：如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=. 17．（1）t 12=；（2）当t 12=时，MA •MB 的最小值为12-. 【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知AB 与AM 共线，即可求解t 的值． （2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1）(1,1)AB OB OA =-=-，(1,)AM OM OA t t =-=-， ∵A ，B ，M 三点共线，∴AB 与AM 共线，即()AM AB R λλ=∈，∴1t t λλ-=-⎧⎨=⎩，解得：t 12=.（2）(1,)MA t t =--，(,1)MB t t =--，·MA 2211222()22MB t t t =-=--， ∴当t 12=时，MA •MB 取得最小值12-． 【点睛】 关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值. 18．①4παβ+=；②74παβ+=；③34παβ+=【分析】①由题意可得cos α=和sin β=cos()αβ+即可求出结果.②由题意可得sinαα=sin β，求出cos()αβ+即可求出结果.③求出1tan 5α=，由两角和的正切公式即可得出结果. 【详解】①αβ，是锐角， sin cos αα=∴=cos sin ββ∴=cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-==+=4παβ∴②,222，ππαπβππαβπ<<<<∴<+<，1tan ,sin 4ααα=-∴==cos sin ββ=∴cos()cos cos sin sin2αβαβαβ+=-==7+=4παβ∴ ③30,2222，ππππαβπαβ<<<<∴<+< 222tan 5tan 25tan 24tan 501tan 12ααααα==⇒+-=-，解得1tan 5α=（-5舍）13tan tan 52tan()1131tan tan 1()52αβαβαβ-++===---⨯-，所以3+=4παβ19．（1）1cos 2θ=-；（2【分析】（1）根据//a b 得到关于θ的方程，结合sin tan cos θθθ=求解出tan θ的值，由此确定出θ的值，则cos θ的值可求；（2）将等式a b b +=两边同时平方，通过化简先求解出πsin 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据π6θ+与π6θ-的关系，采用角的配凑以及两角和的正弦公式求解出πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）因为//a b，所以12sin 2cos 2θθ-⋅=，即sin θθ-=，所以tan θ=0πθ<<，所以2π3θ=，所以1cos 2θ=-；（2）因为a b b +=，所以22a b b +=，化简得220a a b +⋅=，又1,22a ⎛=- ⎝⎭，()2cos ,2sin b θθ=，则21a =，cos a bθθ⋅=-，1cos 2θθ=--，则π1sin 064θ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，又0πθ<<，ππ5,666πθ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又πsin 06θ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以ππ,066θ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以πcos 6θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以πππsin sin 663θθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 6363θθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 【点睛】结论点睛：已知向量()()1122,,,a x y b x y ==，（1）若//a b ，则有12210x y x y -=； （2）若a b ⊥，则有12120x x y y +=.20．（1）0；（2）1；（3）⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）利用升幂公式和二倍角的正弦公式可得结果;（2）利用余弦函数的对称轴得02,x k k Z π=∈，代入()g x 可求得结果； （3）化简()h x 的解析式，根据正弦函数的图象可求得结果. 【详解】（1）∵点(,)04A y παα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭为函数()f x 与()g x 的图象的公共点∴21111cos 1sin 2cos 21sin 22222αααα=+⇒+=+cos 2sin 21αα⇒-=22cos 2sin 22sin 2cos 21sin 40ααααα⇒+-=⇒=，∴4,,4k k k Z k Z παπα=∈⇒=∈ ∵0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴0α=或α=4π，当α=4π时，cos 2sin 21αα-=-，不合题意；当0α=时，符合题意， 所以0α=；(2)∵211()cos cos 222f x x x ==+，且0x x =是函数()y f x =的图象的一条对称轴， ∴02,x k k Z π=∈∴0(2)g x =0111sin 41sin 2122x k π+=+=；（3）∵()()()h x f x g x =+，∴21111()cos 1sin 2cos 21sin 22222h x x x x x =++=+++322)2x x +3)42x π=++，∵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，∴32444x πππ≤+≤，sin(2)14x π≤+≤∴32)42x π++≤.即函数()h x 的值域为⎡⎢⎣⎦.【点睛】关键点点睛：熟练掌握降幂公式、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式是本题的解题关键.21．（1）点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 的周长最大，；（2）【分析】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，从而可得PH =2sin α，OH =2cos α，PC CH =得出2cos OC OH CH α=-=-.（1）平行四边形OCPD 的周长为f (α) 3πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解.（2）()26S OC PH παα⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭. 【详解】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，因为OP =2，∠AOP =α，则PH =2sin α，OH =2cos α，2sinsin3PC απ=12CH PC ==所以2cos OC OH CH α=-=-， （1）设平行四边形OCPD 的周长为f (α)，则()2()4cos 4cos f OC PC ααα=+==3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为点P 异于A ､B 两点，所以03πα<<，所以当6πα=，即点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD （2）设平行四边形OCPD 的面积为S (α)，则()2cos 2sin S OC PH ααα⎛=⋅=⋅ ⎝⎭4sin cos αα=2sin 2α=26πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由（1）得，03πα<<，所以52666πππα<+<， 所以当262ππα+=，即6πα=，也就是点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD22．（1）32；（2（374m ≤<.【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可；（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可； （3）由()0g x =得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可. 【详解】 解：（1）33333cos ,sin cos ,sin cos cos sin sin cos cos 22222222222x x x x x x x x x x a b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0m =时，()1cos 21f x a b x =⋅+=+，则13cos 21cos 1166322f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2222cos2cos a b a a b b x +=+⋅+==，则()21cos22cos12cos2cosf x a b m a b x m x x m x=⋅-++=-+=-，令cost x=，则112t≤≤，则222y t mt=-，对称轴2mt=，①当122m<，即1m<时，当12t=时，函数取得最小值，此时最小值112y m=-=-，得32m=(舍)，②当1122m≤≤，即12m≤≤时，当2mt=时，函数取得最小值，此时最小值2212my m=-=-，得m③当12m>，即2m>时，当1t=时，函数取得最小值，此时最小值221y m=-=-，得32m=(舍)，综上若()f x的最小值为1-，则实数m=（3）令()22242cos2cos049g x x m x m=-+=，得3cos7mx=或47m，∴方程3cos7mx=或47m在,34xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有四个不同的实根，则3174173477mmm m≤<≤<⎪⎪≠⎪⎪⎩，得7374mmm≤<≤<⎪≠⎪⎪⎪⎩74m≤<，即实数m74m≤<.【点睛】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.。