初等变换法在求解矩阵方程与线性方程组中的应用
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2+ 1( - 1) 3+ 1( 3) 4+ 1( 1) 5+ 1( - 1)
0 - 1 1 1 4 0 0 0 0 0 0 - 1/ 4 0 0 - 1 1 4
0 6
0 7
0 1 - 1 - 1 0 0 0 1
1 3 1 → 1 0 0 0 0 0 0 0
0 - 4 4 - 1 1 0 0 0
0 6 3 0 1 0 0 1 3 1
Key words : primary t ransform at ion ; primary mat rix ; reversible matrix Abstract: T he w ay of solving mat rix equat ion direct ly wit h primary t ransformation m ethod is discussed w it h t he premise of t he m at rix of coeff icient s being reversible, w hich m akes the solving procedures more sim ple. A visualized prim ary transf ormation solving process t o general linear equat ions is given in t he meantime. 求解矩阵方程与线性方程组是线性代数中的一个主要内容, 当系数矩阵可逆时, 我们一般的解法是先求 系数矩阵的逆 , 再做矩阵乘法运算求得未知矩阵。但求逆过程一般是比较麻烦的 , 本文将给出如何把求逆过 程与求解方程的过程同时进行, 不写出逆矩阵而直接得出方程解的方法 , 对一般的线性方程组也可用同样的 方法直接求出其全部解。
. - 1 1 0 - 1 1 4 2 0 A = , C= , B= - 1 2 - 1 1 1 1 4 4 3 1 2+ 1( 1) 1 4 3 1 2( 6 ) → → 2 0 - 1 0 6 3 0 0 1 X 1 1 B1 =
3
1 1 1 2 1 0
0 - 1 3 1 1+ 2( - 4) 1 0 → 1 0 0 1 2
2000 年 ( 总第 73 期 )
王 玲 : 初等变换法在求解矩阵方程与线性方程组中的应用
行
67
I n, 同时对 B 进行同样的初等行变换 , 则 B 化成 X , 即 ( A B ) →( I n X ) . 证明 ∵ A 可逆, ∴A - 1存在且 A - 1 也可逆 , 从而 A - 1= P 1 P 2… P s , 其中 P i 为初等矩阵 ( i= 1, 2, … , s ) . 又∵A X = B , ∴X = A - 1 B , 即 X = P 1 P 2… P s B , 而 P 1 P 2… P s B = X , P 1 P 2… P s A = I n , 同时 P 1 P 2 … P s B = X 即 用符号表示即为 命题 1 得证。 命题 2 设矩阵方程 X A = B , 其中 A 可逆 , 则有 : 对 A 进行若干次初等列变换将 A 化成单位矩阵 I n, 同 时对 B 进行同样的初等列变换, 可将 B 化成 X , 即 ( 命题 2 的证明方法同命题 1, 证明从略。 命题 3 设矩阵方程 A X C = B , 其中 A 、 C 分别为 n 阶、 m 阶可逆矩阵, 对 A 作 s 次初等行变换 , 将 A 化 为单位矩阵 I n, 对 C 作 t 次初等列变换 , 将 C 化为单位矩阵 I m . 若对 B 作与 A 同样的 s 次初等行变换及与 C 同样的 t 次初等列变换 , 则 B 可化为 X , 即解矩阵方程 A X C = B 可分如下两步进行 行 In C ( 1) ( A B ) → ( I n B ) ; ( 2) ( 1 ) → ( ). 列 B X - 1 - 1 证明 ∵ A 、 C 可逆, ∴ A 、 C 存在, 且 A
1
,
2 n- r
, …,
n- r
就是 ( 1) 的导出组的一个基础解系, F n1 就是( 1)
的一个特解, 则( 1) 的通解为 k 1 1 + k 2 2+ …+ k n- r
+ Fn1 , 其中 k1 , k 2, … , kn- r 为任意常数。
x 1 + x 2 - 3x 3 - x 4 = 1 例 求线性方程组 3x 1 - x 2 - 3x 3 + 4x 4 = 4 的全部解。 x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 = 0 解 作矩阵 C =
1 预备知识
( 1) 初等矩阵 : 对单位矩阵 I 施以一次初等变换所得到的矩阵, 称为初等矩阵。 ( 2) 定理 : 设 A m ×n= ( aij ) m ×n 对 A 的行 , 施以某种初等变换得到的矩阵等于用同种的 m 阶初等矩阵左乘 A ; 对 A 的列, 施以某种初等 变换得到的矩阵等于用同种的 n 阶初等矩阵右乘 A .
1 2 , B= 5 3 3 2 3 - 1 1 0 1 0 0
2+ 1( - 2) 3+ 1( - 3)
3 - 1 1 0 0 1 1
作矩阵
(
A ) = B
4 0 3 0 0 - 3 - 3 6 1 - 2 2
→
4 - 3 - 9 0 - 1
→
1 0 4 0 由命题 2 可知 X =
0 1 - 3 1
第 20 卷 第 3 期 2 0 0 0年 6月
辽 宁 工 学 院 学 报
JOURNAL OF L IAONING INST IT UT E OF T ECHNOL OGY
V ol. 20 N o. 3 Jun. 2 00 0
文章编号 : 10051090( 2000) 03006605
初等变换法在求解矩阵方程 与线性方程组中的应用
2000 年 ( 总第 73 期 )
王 玲 : 初等变换法在求解矩阵方程与线性方程组中的应用
69
a11 其中 A = a21 … am1
a12 a22 … am2
… … … …
a1n a2n … amn B =
b1 b2 bm
记方程组的增广矩阵为 A = ( A B ) , 则有 : A 命题 设矩阵 C = . 若秧 A = r , 则 C 经过列的初等变换可化为 I n+ 1 D mr O1 O2 … On- r E m 1 G= 其中 O 1, O 2, … , On- r 均为 m 维零向量 ; *
1 1 C = A I5 = 1 0 0 0 0 1 5 0 1 0 0 0 1 3 1
7 4+ 3( - 6 ) 1 5+ 3( - 6 )
A , 并对 C 作初等列变换 I5
1 - 3 - 9 0 0 1 0 0 0 - 1 1 1/ 4 0 0 0 - 1 4 - 8 0 0 0 1 0 0 0 0 3/ 2 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 7/ 4 0 1 0
- 1
P1 P 2 … P s A = I n P1 P 2 … P s B = X
行
( A B) →( I n X )
A In ) →( ) B 列 X
= p 1 p 2 … p s , C A
- 1
- 1
= Q 1 Q 2 … Qt
其中 P i 、 Qj 均为初等矩阵 ( i= 1, 2, … , s ; j = 1, 2, … , t) . A = P1 P 2 … P s A = I n = C Q1 Q2 … Q t = I m ,即 X = A - 1 B C- 1 X = P 1 P 2 … P s B Q 1 Q2 … Qt P 1 P2 … Ps A = I n C Q1 Q2 … Qt = I m P 1 P 2 … P s B Q 1 Q2 … Qt = X 所以命题 3 成立。 例 1 解矩阵方程 解 设矩阵 A = 作矩阵 (A B) = 2 1 5 4 3 2
王 玲
( 辽宁商业高等专科学校 , 辽宁 锦州 121000)
摘 要 : 讨论了在系数矩阵可逆的前提下 , 如何用初等变换的方法直接求解矩阵方程 , 使求解过程更简化 , 同时 给出一般线性方程组的初等变换直 观解法。 关键词 : 初等变换 ; 初等矩阵 ; 可逆矩阵 中图分类号 : O241. 6 文 献标识码 : A
2 当系数矩阵可逆时, 用初等变换的方法求解矩阵方程
命题 1 设矩阵方程 A X = B , 其中 A 为 n 阶可逆矩阵。 对 A 进行若干次初等行变换, 将 A 化成单位矩阵
收稿日期 : 19990110 作者简介 : 王 玲 ( 1964-) , 女 , 辽宁锦州人 , 辽宁商业高等专科学校讲师。
1+ 2( 3) - 1
CC 而 A X C = B , 方程两边分别左乘 A 得到 于是 综上有
- 1
- 1
, 右乘 C A
- 1
A X C C- 1 = A - 1 B C- 1
2 1
5 3
X =
4 2
- 6 1
.
2 5 1 3
, B = 3 2 5 4
2( - 1)
4 - 6 2 1 - 6 1 0 0 1 1
3 - 7 - 8 1 0 0
1+ 3( - 4) 2+ 3( 3)
0 0 1 1 - 2
1 0 4 - 13
→
4 - 3 1 0 1 1 3 - 7 2
→
0 - 4 11
3 - 7 - 4 4 11 - 13 1 4 - 1 2
. 0 = 3 1
例 3 解矩阵方程 解 设 1 - 1
作矩阵 ( A B ) =
0 - 1 1 1 4 0 0 0 0 0 0 - 1/ 4 0 0 - 1 1 4
0 6
0 7
0 1 - 1 - 1 0 0 0 1
1 3 1 → 1 0 0 0 0 0 0 0
0 - 4 4 - 1 1 0 0 0
0 6 3 0 1 0 0 1 3 1
Key words : primary t ransform at ion ; primary mat rix ; reversible matrix Abstract: T he w ay of solving mat rix equat ion direct ly wit h primary t ransformation m ethod is discussed w it h t he premise of t he m at rix of coeff icient s being reversible, w hich m akes the solving procedures more sim ple. A visualized prim ary transf ormation solving process t o general linear equat ions is given in t he meantime. 求解矩阵方程与线性方程组是线性代数中的一个主要内容, 当系数矩阵可逆时, 我们一般的解法是先求 系数矩阵的逆 , 再做矩阵乘法运算求得未知矩阵。但求逆过程一般是比较麻烦的 , 本文将给出如何把求逆过 程与求解方程的过程同时进行, 不写出逆矩阵而直接得出方程解的方法 , 对一般的线性方程组也可用同样的 方法直接求出其全部解。
. - 1 1 0 - 1 1 4 2 0 A = , C= , B= - 1 2 - 1 1 1 1 4 4 3 1 2+ 1( 1) 1 4 3 1 2( 6 ) → → 2 0 - 1 0 6 3 0 0 1 X 1 1 B1 =
3
1 1 1 2 1 0
0 - 1 3 1 1+ 2( - 4) 1 0 → 1 0 0 1 2
2000 年 ( 总第 73 期 )
王 玲 : 初等变换法在求解矩阵方程与线性方程组中的应用
行
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I n, 同时对 B 进行同样的初等行变换 , 则 B 化成 X , 即 ( A B ) →( I n X ) . 证明 ∵ A 可逆, ∴A - 1存在且 A - 1 也可逆 , 从而 A - 1= P 1 P 2… P s , 其中 P i 为初等矩阵 ( i= 1, 2, … , s ) . 又∵A X = B , ∴X = A - 1 B , 即 X = P 1 P 2… P s B , 而 P 1 P 2… P s B = X , P 1 P 2… P s A = I n , 同时 P 1 P 2 … P s B = X 即 用符号表示即为 命题 1 得证。 命题 2 设矩阵方程 X A = B , 其中 A 可逆 , 则有 : 对 A 进行若干次初等列变换将 A 化成单位矩阵 I n, 同 时对 B 进行同样的初等列变换, 可将 B 化成 X , 即 ( 命题 2 的证明方法同命题 1, 证明从略。 命题 3 设矩阵方程 A X C = B , 其中 A 、 C 分别为 n 阶、 m 阶可逆矩阵, 对 A 作 s 次初等行变换 , 将 A 化 为单位矩阵 I n, 对 C 作 t 次初等列变换 , 将 C 化为单位矩阵 I m . 若对 B 作与 A 同样的 s 次初等行变换及与 C 同样的 t 次初等列变换 , 则 B 可化为 X , 即解矩阵方程 A X C = B 可分如下两步进行 行 In C ( 1) ( A B ) → ( I n B ) ; ( 2) ( 1 ) → ( ). 列 B X - 1 - 1 证明 ∵ A 、 C 可逆, ∴ A 、 C 存在, 且 A
1
,
2 n- r
, …,
n- r
就是 ( 1) 的导出组的一个基础解系, F n1 就是( 1)
的一个特解, 则( 1) 的通解为 k 1 1 + k 2 2+ …+ k n- r
+ Fn1 , 其中 k1 , k 2, … , kn- r 为任意常数。
x 1 + x 2 - 3x 3 - x 4 = 1 例 求线性方程组 3x 1 - x 2 - 3x 3 + 4x 4 = 4 的全部解。 x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 = 0 解 作矩阵 C =
1 预备知识
( 1) 初等矩阵 : 对单位矩阵 I 施以一次初等变换所得到的矩阵, 称为初等矩阵。 ( 2) 定理 : 设 A m ×n= ( aij ) m ×n 对 A 的行 , 施以某种初等变换得到的矩阵等于用同种的 m 阶初等矩阵左乘 A ; 对 A 的列, 施以某种初等 变换得到的矩阵等于用同种的 n 阶初等矩阵右乘 A .
1 2 , B= 5 3 3 2 3 - 1 1 0 1 0 0
2+ 1( - 2) 3+ 1( - 3)
3 - 1 1 0 0 1 1
作矩阵
(
A ) = B
4 0 3 0 0 - 3 - 3 6 1 - 2 2
→
4 - 3 - 9 0 - 1
→
1 0 4 0 由命题 2 可知 X =
0 1 - 3 1
第 20 卷 第 3 期 2 0 0 0年 6月
辽 宁 工 学 院 学 报
JOURNAL OF L IAONING INST IT UT E OF T ECHNOL OGY
V ol. 20 N o. 3 Jun. 2 00 0
文章编号 : 10051090( 2000) 03006605
初等变换法在求解矩阵方程 与线性方程组中的应用
2000 年 ( 总第 73 期 )
王 玲 : 初等变换法在求解矩阵方程与线性方程组中的应用
69
a11 其中 A = a21 … am1
a12 a22 … am2
… … … …
a1n a2n … amn B =
b1 b2 bm
记方程组的增广矩阵为 A = ( A B ) , 则有 : A 命题 设矩阵 C = . 若秧 A = r , 则 C 经过列的初等变换可化为 I n+ 1 D mr O1 O2 … On- r E m 1 G= 其中 O 1, O 2, … , On- r 均为 m 维零向量 ; *
1 1 C = A I5 = 1 0 0 0 0 1 5 0 1 0 0 0 1 3 1
7 4+ 3( - 6 ) 1 5+ 3( - 6 )
A , 并对 C 作初等列变换 I5
1 - 3 - 9 0 0 1 0 0 0 - 1 1 1/ 4 0 0 0 - 1 4 - 8 0 0 0 1 0 0 0 0 3/ 2 1 0 0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 7/ 4 0 1 0
- 1
P1 P 2 … P s A = I n P1 P 2 … P s B = X
行
( A B) →( I n X )
A In ) →( ) B 列 X
= p 1 p 2 … p s , C A
- 1
- 1
= Q 1 Q 2 … Qt
其中 P i 、 Qj 均为初等矩阵 ( i= 1, 2, … , s ; j = 1, 2, … , t) . A = P1 P 2 … P s A = I n = C Q1 Q2 … Q t = I m ,即 X = A - 1 B C- 1 X = P 1 P 2 … P s B Q 1 Q2 … Qt P 1 P2 … Ps A = I n C Q1 Q2 … Qt = I m P 1 P 2 … P s B Q 1 Q2 … Qt = X 所以命题 3 成立。 例 1 解矩阵方程 解 设矩阵 A = 作矩阵 (A B) = 2 1 5 4 3 2
王 玲
( 辽宁商业高等专科学校 , 辽宁 锦州 121000)
摘 要 : 讨论了在系数矩阵可逆的前提下 , 如何用初等变换的方法直接求解矩阵方程 , 使求解过程更简化 , 同时 给出一般线性方程组的初等变换直 观解法。 关键词 : 初等变换 ; 初等矩阵 ; 可逆矩阵 中图分类号 : O241. 6 文 献标识码 : A
2 当系数矩阵可逆时, 用初等变换的方法求解矩阵方程
命题 1 设矩阵方程 A X = B , 其中 A 为 n 阶可逆矩阵。 对 A 进行若干次初等行变换, 将 A 化成单位矩阵
收稿日期 : 19990110 作者简介 : 王 玲 ( 1964-) , 女 , 辽宁锦州人 , 辽宁商业高等专科学校讲师。
1+ 2( 3) - 1
CC 而 A X C = B , 方程两边分别左乘 A 得到 于是 综上有
- 1
- 1
, 右乘 C A
- 1
A X C C- 1 = A - 1 B C- 1
2 1
5 3
X =
4 2
- 6 1
.
2 5 1 3
, B = 3 2 5 4
2( - 1)
4 - 6 2 1 - 6 1 0 0 1 1
3 - 7 - 8 1 0 0
1+ 3( - 4) 2+ 3( 3)
0 0 1 1 - 2
1 0 4 - 13
→
4 - 3 1 0 1 1 3 - 7 2
→
0 - 4 11
3 - 7 - 4 4 11 - 13 1 4 - 1 2
. 0 = 3 1
例 3 解矩阵方程 解 设 1 - 1
作矩阵 ( A B ) =
